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2.1 图形的轴对称
题型一：轴对称图形的识别
1．（河南省2025 年招考模拟九年级数学试卷）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
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B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
2．（2025·海南海口·二模）下列图案中不是
．．轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据图形沿着某条直线对折，直线两侧的图形能完全重合，则该
图形为轴对称图形．
【详解】解：由轴对称图形的定义可知A、C、D 均是轴对称图形，
只有B 不是轴对称图形，
故选：B．
3．（2025·河北邯郸·二模）下列交通标志中，不属于轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
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B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
4．（2025·山东潍坊·三模）2025 年世界运动会将于8 月7 日至8 月17 日在四川省成都市举行，是中国第二
次举办世界运动会．下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全
重合．据此即可求解.
【详解】解：由轴对称图形的定义可知，A 是轴对称图形，
故选：A ．
5．（2025 九年级下·云南·学业考试）“国士无双”是人民对隐姓埋名30 年，一身忠骨铸丰碑的“中国核潜艇之
父”黄旭华院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
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故选：B．
6．（2025·山西运城·模拟预测）博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络、提升历史认知
的重要场所．以下四个博物馆标识，其文字上方的图案不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A，文字上方的图案是轴对称图形，不合题意；
B，文字上方的图案不是轴对称图形，符合题意；
C，文字上方的图案是轴对称图形，不合题意；
D，文字上方的图案是轴对称图形，不合题意；
故选B．
7．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴
对称图形的定义进行逐一分析判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
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D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
题型二：根据成轴对称图形的特征进行判断
1．（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）如图，
ABC
和
1
1
1
A BC
△
关于直线m 对称，则下列结论：①直线m 是
线段
1
AA 的垂直平分线；②直线m 被线段
1
BB 垂直平分；③
1
1
AB
A B
=
.其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，
那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等．
【详解】解：∵
ABC
与
1
1
1
A BC
△
关于直线l 对称，
∴
1
1
1
ABC
A BC
△
≌△
，所以
1
1
AB
A B
=
，故③说法正确；
∴直线m 是线段
1
AA 的垂直平分线，故①说法正确；
∴直线m 也是线段
1
BB 的垂直平分线，不会被线段
1
BB 垂直平分，故②说法错误；
故选：C．
2．（24-25 八年级上·河北保定·期中）如图，若
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，BB交MN 于点O，则
下列说法不一定正确的是（ ）
A．BC
B C
=
B．CO
C O
=
C．AA
MN
⊥
D．AB
B C
=
【答案】D
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【分析】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．根
据轴对称的性质解答．
【详解】解：∵
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，BB交MN 于点O，
∴BC
B C
=
，CO
C O
=
，AA
MN
⊥
，但AB
B C
=
不一定相等，
故选：D．
3．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD，
AB
AD
），AC 与BD相交于点O，BD
AC
⊥
，且AO
OC
=
，则下列推断不正确的是（ ）
A．AD
CD
=
B．
ABD
CBD
≌
△
△
C．
ABD
CBD
=
D．
ABC
是等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：AD
CD
=
，AB
BC
=
，
ABD
CBD
≌
△
△
，
ABD
CBD
=
，进而得到
ABC
是等腰三角形，即可判断．
【详解】解：其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD，AB
AD
），
AD
CD
=
，AB
BC
=
，
ABD
CBD
≌
△
△
，
ABD
CBD
=
，
ABC
是等腰三角形，
故A、B、C 正确；D 不正确；
故选：D．
4．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形ABED ）关于AE 所在
的直线对称，下列判断不正确的是（ ）
A．AB
AD
=
B．BC
CD
=
C．BE
DE
=
D．BC
AC
=
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称
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的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形ABED关于AE 所在的直线对称，且点C 为AE 上一点，
AB
AD
=
，故A 选项正确，不符合题意；
BC
CD
=
，故B 选项正确，不符合题意；
BE
DE
=
，故C 选项正确，不符合题意；
而BC 与AC 不一定相等，故D 选项不一定正确，符合题意．
故选：D．
5．（24-25 八年级上·江苏·课后作业）如图，
AOD
△
关于直线l 进行轴对称变换后得到BOC
，下列结论中
不正确的是（ ）
A．1
2
=
B．
3=
4
C．l 垂直平分
,
AB CD
D．
,
OA
OC OB
OD
=
=
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得
出结论．
【详解】解：∵
AOD
△
关于直线l 进行轴对称变换后得到BOC
，
∴1
2
= ，
3=
4
，l 垂直平分
,
AB CD ，OA
OB
=
，OC
OD
=
故选项A、B、C 正确；故选项D 不一定正确．
故选：D．
6．（24-25 九年级下·甘肃陇南·开学考试）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线
平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做“滑动对称变换”．如图，
2
2
2
A B C
△
是由
ABC
沿着直线l 滑动
对称变换得到的，下列不一定正确的是（ ）
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A．
1
1
2
AA
C C
⊥
B．
2
2
2
ABC
A B C
≌
C．
ABC
与
2
2
2
A B C
△
关于某点中心对称
D．直线l 垂直平分
1
BB
【答案】C
【分析】本题考查轴对称和平移的性质，根据轴对称和平移的性质逐项判断解题．
【详解】解：A.因为
1
1
AA
C C
，
1
1
2
CC
C C
⊥
，则
1
1
2
AA
C C
⊥
，故正确；
B. 因为
1
1
1
ABC
A BC
△
≌△
，
1
1
1
2
2
2
A BC
A B C
△
≌△
，则
2
2
2
ABC
A B C
△
≌△
，正确；
C.
ABC
与
2
2
2
A B C
△
对应点的连线不过同一点，不是中心对称，故错误；
D.因为B，
1
B 关于直线l 对称，则直线l 垂直平分
1
BB ，正确；
故选：C．
7．（24-25 八年级上·全国·期中）如图，
ABC
和A B C
关于直线l 对称，下列结论中不正确的（ ）
（1）
A
ABC
B C
≌
△
△
．
（2）
BAC
B AC
=
．
（3）直线l 垂直平分CC．
（4）直线BC 和B C
的交点不一定在直线l 上．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】D
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【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定及线段垂直平分线的性质，熟知轴对称的性质
是解题的关键．根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可．
【详解】解：因为
ABC
和A B C
关于直线l 对称，
所以
ABC
和A B C
能完全重合，
则
A
ABC
B C
≌
△
△
．
故（1）正确．
由（1）可知，
BAC
B AC
=
．
故（2）正确．
因为点C 和点C关于直线l 对称，
所以直线l 垂直平分CC．
故（3）正确．
因为直线BC 和直线B C
关于直线l 对称，
所以当直线BC 与直线B C
有交点时，此交点一定在对称轴上．
故（4）错误．
故选：D．
8．
（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，ABC
与A B C
关于直线l 对称，连接AA
BB
CC
，
，
，其中BB
分别交AC
A C
，
于点D
D
，
，下列结论：①AA∥BB；②
ADB
A D B
=
；③直线l 垂直平分AA；④直
线AB 与A B
的交点不一定在直线l 上．其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点
所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可．
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【详解】解：
ABC
和A B C
关于直线l 对称，
AA
BB
∥
，故①正确，
ABC
和A B C
关于直线l 对称，点D 与点D¢是关于直线l 对称的对称点，
ADB
ADB
=，故②正确；
ABC
和A B C
关于直线l 对称，
线段AA
BB
CC
，
，
被直线l 垂直平分，
直线l 垂直平分AA，故③正确；
ABC
和A B C
关于直线l 对称，
线段AB 、A B
所在直线的交点一定在直线l 上，故④错误，
正确的有①②③，共3 个
故选：C．
题型三：根据成轴对称图形的性质求角度
1．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在
ABC
中，
B
C
=
，
75
C
=
，
AB C
△
与
ABC
关
于直线EF 对称，
10
CAF
=
，则
CAB
的度数为 ．
【答案】50/50 度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，轴对称图形的性质，先由三角形内角和定理得到
30
BAC
=
，
再由轴对称图形的性质得到
30
10
B AC
BAC
CAF
CAF
=
=
=
=
∠
∠
，
，据此可得答案．
【详解】解：∵在
ABC
中，
75
B
C
=
=
，
∴
180
30
BAC
B
C
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∵
AB C
△
与
ABC
关于直线EF 对称，
∴
30
10
B AC
BAC
CAF
CAF
=
=
=
=
∠
∠
，
，
∴
50
CAB
CAF
CAF
CAB
=
+
+
=
∠
∠
，
故答案为：50．
2．（2025·山东济南·三模）如图，ABC
与
ADC
△
关于AC 所在直线对称，若
80
B
=
，
140
BAD
=
，则
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ACB
的度数为 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称图形对应角相等是解题关键．根
据轴对称图形的性质可知
1
70
2
BAC
DAC
BAD
=
=
=
，再结合
80
B
=
，可求出
180
70
80
30
ACB
?
?
?
?
? ．
【详解】解：∵
ABC
与
ADC
△
关于AC 所在直线对称，
140
BAD
=
，
∴
1
70
2
BAC
DAC
BAD
=
=
=
，
∵
80
B
=
，
∴
180
70
80
30
ACB
?
?
?
?
? ．
故答案为：30．
3．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，在
ABC
中，
38
A
=
，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD
的对称点为B，当B D
AC
∥
时，则
CDB
的度数为 ．
【答案】109
【分析】本题主要考查轴对称的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用方程思想
解决实际问题成为解题的关键．
设
CDB
x
=
．由轴对称的性质可得
CDB
CDB
x
，易得
38
ADC
x
=
−
，根据
180
ADC
CDB
+
=
，
据此构建方程求解即可．
【详解】解：设
CDB
x
=
．
∵点B 关于直线CD的对称点为B，
∴
CDB
CDB
x
，
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∵B D
AC
∥
，
∴
38
ADB
A
= =
，
∴
38
ADC
x
=
−
，
∵
180
ADC
CDB
+
=
，
∴
38
180
x
x
−
+
=
，解得：
109
x =
．
故答案为：109．
4．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）在
ABC
中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于D，点B 关于CD的对称点B
在AD上，若
18
ACB
=
，则
B
= ．
【答案】54/54 度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由题意可得
72
BCB
ACB
ACB
=
−
=
，由折叠
的性质可得
1
36
2
BCD
B CD
BCB
=
=
=
，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
18
ACB
=
，
∴
72
BCB
ACB
ACB
=
−
=
，
由折叠的性质可得：
1
36
2
BCD
B CD
BCB
=
=
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
=90
BDC
，
∴
90
54
B
BCD
=
−
=
，
故答案为：54．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，
50
80
B
C
=
=
，
，D 是BC 上任意一点，M 和
N 分别是点D 关于AB 和AC 的对称点．连接AM 和AN ，则
MAN
的度数为 ．
【答案】100/100 度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的
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关键，利用轴对称的性质解答即可．
【详解】解：如图，连接AD，
点M 和点N 分别是点D 关于AB 和AC 的对称点，
MAB
BAD
NAC
CAD
=
=
，
，
50
80
B
C
=
=
，
，
180
80
50
50
BAC
BAD
DAC
=
+
=
−
−
=
，
2
100
MAN
BAC
=
=
，
故答案为：100．
6．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，AOC
△
和
AOB
关于直线AO 对称，DOB
和
AOB
关于直线BO
对称，AC 与BD相交于点E ．若
20
C
=
，
30
D
=
，则
BEA
的度数为 ．
【答案】80/80 度
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，首先根据轴对称的性质可知
20
DBO
ABO
C
=
=
=
、
30
BAO
D
=
=
，根据三角形内角和定理可以求出
130
AOC
BOD
BOA
=
=
=
，根据周角等于360可以求出
360
130
130
100
BOC
=
−
−
=
，根据三角形
的内角和定理可知
60
CFE
BFO
=
=
，再根据三角形外角的性质可得
80
BEA
C
CFE
= +
=
．
【详解】解：如下图所示，
AOC
和
AOB
关于直线AO 对称，
20
ABO
C
=
=
，
DOB
和
AOB
关于直线BO对称，
30
BAO
D
=
=
，
20
DBO
ABO
=
=
，
在ABO
中，
180
180
20
30
130
AOB
ABO
BAO
=
−
−
=
−
−
=
，
130
AOC
BOD
=
=
，
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360
130
130
100
BOC
=
−
−
=
，
在BFO
中，
180
BFO
DBO
BOC
+
+
=
，
180
20
100
60
BFO
=
−
−
=
，
60
CFE
BFO
=
=
，
BEA
是CEF
的外角，
20
60
80
BEA
C
CFE
= +
=
+
=
．
故答案为：80 ．
7．（24-25 八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，
ABC
中，
60
B
=
，
47
C
=
，点D 为BC 边上一动点，
分别作点D关于AB ，AC 的对称点E ，F ，连接AE ，AF ，则
EAF
的度数等于 ．
【答案】146/146
【分析】此题考查轴对称的性质和三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．
利用轴对称的性质得出
,
EAB
BAD
FAC
CAD
=
=
∠
∠
∠
∠
，再根据三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵点E 和点F 分别是点D 关于AB 和AC 的对称点，
∴
,
EAB
BAD
FAC
CAD
=
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
2
EAF
EAB
BAD
DAC
CAF
BAC
=
+
+
+
=
，
∵
60 ,
47 ,
180
B
C
BAC
B
C
=
=
+ +
=
，
∴
180
60
47
73
BAC
BAD
DAC
=
+
=
−
−
=
，
∴
2
146
EAF
BAC
=
=
，
故答案为：146．
8．
（24-25 八年级上·安徽芜湖·期末）如图，ABC
和ABE
关于直线AB 对称，ABC
和
ADC
△
关于直线AC
对称，AD与BE 相交于点F，若
32
ABC
=
，
18
ACB
=
，则
BFD
= ．
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15 /
【答案】132/132 度
【分析】本题考查三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求得
BAC
，
再根据轴对称的性质求得
DAE
和
EAC
，再根据三角形外角的性质可求得
CFE
．
【详解】解：∵
32
ABC
=
，
18
ACB
=
，
∴
180
130
BAC
ABC
ACB
=
−
−
=
∠
∠
，
根据轴对称的性质可知
130
DAC
BAC
=
=
，
32
ABE
ABC
=
=
，
∴
360
100
BAF
BAC
DAC
=
−
−
=
，
∴
132
BAF
A
BFD
BE
+
=
=
．
故答案为：132．
9．（24-25 七年级上·山东威海·期末）如图，
MON
内有一点P ，点P 关于OM 的轴对称点是G ，点P 关于
ON 的轴对称点是H ，GH 分别交OM 、ON 于A 、B 点，若
35
MON
=
，则
APB
= ．
【答案】110
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，并确定出相等的角是解题的关键．
连接OP ，根据轴对称的性质得出
GOM
MOP
=
，
PON
NOH
=
，得到
2
GOH
MON
=
，得到
110
G
H
+
=
，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OP ，
点P 关于OM 的轴对称点是G ，点P 关于ON 的轴对称点是H ，
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16 /
GOM
MOP
=
，
PON
NOH
=
，
2
GOH
GOM
MOP
PON
NOH
MON
=
+
+
+
=
，
35
MON
=
，
70
GOH
=
，
180
110
G
H
GOH
+
=
−
=
，
G
OPA, H
OPB
=
=
，
110
APB
G
H
=
+
=
，
故答案为：110 ．
题型四：根据成轴对称图形的性质求线段长度
1．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图，MON
内有一点P，P 点关于OM 的轴对称点是G，P 点关于ON
的轴对称点是H，GH 分别交OM 、ON 于A、B 点．若GH 的长为16，则PAB
的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对
应点所连线段的垂直平分线．根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂
直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG
AP
=
，
=
PB
BH ，然后可得答案．
【详解】解：∵P 点关于OM 的轴对称点是G，P 点关于ON 的轴对称点是H，
∴AG
AP
=
，
=
PB
BH ，
∵GH 的长为16，
∴PAB
的周长为：
16
AP
PB
AB
AG
AB
BH
GH
+
+
=
+
+
=
=
，
故答案为：16．
2．（24-25 九年级上·新疆喀什·期中）如图，
ABC
和DEF
关于直线L 对称，
10
AB =
，
7
EF =
，
ABC
的周长为25，则AC =
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17 /
【答案】8
【分析】本题考查关于直线成轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质得出
ABC
DFE
△
≌△
，
进而得出
10
AB
DF
=
=
，
7
EF
BC
=
=
，进而得出答案．
【详解】解：∵
ABC
和DEF
关于直线L 对称，
∴
ABC
DFE
△
≌△
，
∴
10
AB
DF
=
=
，
7
EF
BC
=
=
，
∴
25 10 7
8
AC =
−
−
=
，
故答案为：8．
3．（23-24 七年级上·上海·单元测试）如图，点P 是
AOB
外的一点，点M ，N 分别是
AOB
两边上的点，
点P 关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，若
3
PM =
，
4
PN =
，
5
MN =
，则线段QR 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质．
由轴对称的性质可得OA垂直平分PQ ，进而得到
3
QM
PM
=
= ，同理得到
4
RN
PN
=
= ，进而根据线段的和差
即可解答．
【详解】解：点P 关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN 上，
OA
垂直平分PQ ，
3
QM
PM
=
= ，
5
3
2
QN
MN
QM
=
−
=
−
=
，
点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，
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18 /
OB
垂直平分PR ，
4
RN
PN
=
= ，
2
4
6
QR
QN
RN
=
+
=
+
= ．
故答案为：6
4．（23-24 七年级下·江西吉安·期末）如图，在
ABC
中，
8cm
AB =
，
4cm
AC =
，
5cm
=
BC
，点D ，E 分
别在AC ，AB 上，且
BCD
△
与BED
关于BD对称，则
ADE
的周长为 cm．
【答案】7
【分析】本题考查了轴对称图形的特征．根据“关于某直线对称的图形对应边相等”即可求得结果．
【详解】解：∵
BCD
△
与BED
关于BD对称，
∴CD
DE
=
，BC
BE
=
，
∵
8cm
AB =
，
5cm
=
BC
，
∴
(
)
3 cm
AE
AB
BE
AB
BC
=
−
=
−
=
，
∴
(
)
7 cm
ADE
C
AD
DE
AE
AD
DC
AE
AC
AE
=
+
+
=
+
+
=
+
=
，
故答案为：7．
5．（23-24 七年级下·河北保定·期末）如图，点P 是
AOB
外的一点，点M，N 分别是
AOB
两边上的点，
点P 关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，若
2.5
PM =
，
3.5
PN =
，
3
MN = ，则线段QR 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线
段的垂直平分线．根据轴对称的性质可求MQ 、NR 的长度，然后根据线段的和差求解即可．
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19 /
【详解】解：∵点P 关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN 上，
2.5
PM =
，
∴
2.5
MQ
MP
=
=
，
同理
3.5
RN
PN
=
=
，
又∵
3
MN = ，
∴
3
2.5
3.5
4
QR
MN
MQ
RN
=
−
+
=
−
+
= ．
故答案为：4．
题型五：台球桌面上的轴对称问题
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角
落以45角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1 中回弹次数为1 次，图2
中回弹次数为2 次，图3 中回弹次数为3 次，图4 中回弹次数为5 次．若某台球桌长宽之比为5:4，按同样
的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使
问题比较简单直观．
【分析】解：根据图形可得总共反射了7 次．
故选：B．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向
击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，
则球最后落入的球袋是（ ）
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20 /
A．1 号袋
B．2 号袋
C．3 号袋
D．4 号袋
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行
判断．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
则球最后落入的球袋是2 号袋．
故选：B．
3．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如
图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的
关键．
根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，
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21 /
∴最后进入的球洞的序号是①，
故选：A ．
4．（2023 八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四
个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1 号袋
B．2 号袋
C．3 号袋
D．4 号袋
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性
质作出球的运动路线，即可进行判断．
【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
该球最后落入2 号袋．
故选：B．
5．（23-24 八年级上·辽宁铁岭·期中）中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得
了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表
示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋
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22 /
是 号袋．
【答案】3
【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴该球最后将落入的球袋是3 号．
故答案为：3．
6．（23-24 八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N 两个球，若要将M 球射向桌面的一边，
反弹一次后击中N 球，则A，B，C，D，4 个点中，可以反弹击中N 球的是 点．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
【详解】解：如图，
可以瞄准点D 击球．
故答案为：D ．
7．（23-24 八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，
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23 /
如图所示，1
2
= ，若
3
35
=
，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证
1
为 ．
【答案】55
【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出
2
的度数，即可求出1
的度数．利用数形结
合的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：∵
2
3
90
+
=
∠
∠
，
3
35
=
，
∴
2
55
=
，
∵1
2
= ，
∴1
55
=
，
故答案为：55
题型六：轴对称中光线反射问题
1．（2025·山西吕梁·二模）如图，AB 为平面镜，CD为水面，AB
CD
．一束光线从点O射入，经过平面镜
AB 反射后，从光线OE 变成光线EF ，再经过水面CD折射，从光线EF 变成光线FG ．若1
45
=
，2 15
=
，
则
DFG
的度数为（ ）
A．55
B．60
C．65
D．70
【答案】B
【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到
1
45
FEH
= =
，再由平行线性质、对顶角相等确定
45
DFI
EFC
=
=
，最后数形结合表示出
DFG
即
可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
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24 /
由反射性质可知，
1
45
FEH
= =
，
EH
AB
⊥
，
90
HEB
=
，则
90
45
45
BEF
=
−
=
，
AB
CD
，
45
CFE
BEF
=
=
，
45
DFI
EFC
=
=
，
2 15
=
，
1
45
15
60
DFG
DFI
=
+=
+
=
，
故选：B．
2．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面AB 上放置一平面镜，从激光笔的P 点发出的光线照射到平面镜
的O处，反射光线为OQ ，且点Q 恰好落在与地面垂直的墙面AC 上．若
58
AQO
=
，则
BOP
的度数为（ ）
A．25
B．21
C．32
D．43
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先得出
90
A
=
，
32
QOA
=
，根据反射角等于入射角，即得
32
POB
QOA
=
=
．
【详解】解：∵
58
AQO
=
，CA
AB
⊥
，
∴
90
A
=
，
180
90
58
32
QOA
=
−
−
=
，
∵从激光笔的P 点发出的光线照射到平面镜的O处，反射光线为OQ ，
∴
32
POB
QOA
=
=
，
故选：C．
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25 /
3．（24-25 九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，镜面AB 与水平桌面b 的夹角
50
ABC
=
，光线PD经平面镜反
射到水平天花板a ，与反射光线DE 的夹角
30
PDE
=
，则光线PD与天花板所形成的夹角
DFE
的度数为
（ ）
A．20
B．25
C．30
D．45
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，理解反射原理，掌握角度的计算方法是关
键．
如图所示，过点D 作DG
b
，作DH
AB
⊥
，可得
50
ABC
BDG
=
=
，
DFE
PBG
=
，根据反射原理，
可得
1
15
2
EDH
PDH
EDP
=
=
=
，根据垂直的定义得到
90
90
15
50
25
PDG
HDP
BDG
=
−
−
=
−
−
=
，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点D 作DG
b
，作DH
AB
⊥
，
∵水平桌面b 与天花板a 平行，
∴a b
DG
，
∴
50
ABC
BDG
=
=
，
DFE
PBG
=
，
根据反射原理，可得
1
15
2
EDH
PDH
EDP
=
=
=
，
∵DH
AB
⊥
，
∴
90
HDB
HDP
FDB
GDB
=
=
+
+
，
∴
90
90
15
50
25
PDG
HDP
BDG
=
−
−
=
−
−
=
，
∴
25
DFE
=
，
故选：B ．
4．
（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线EF 经平面镜CD反射后，反射光线FG 与水平地面AB 平行．测
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26 /
得平面镜与水平地面的夹角
CDA
的度数为32，则此时的太阳光线EF 与水平地面所形成的锐角的度数是
（ ）
A．32
B．45
C．58
D．64
【答案】D
【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题
关键．延长EF 与AB 交于点H ，由反射定理可得
CFE
DFG
=
，结合平行线的性质得到
32
DFG
=
，再
利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长EF 与AB 交于点H ，
由反射定理可得
CFE
DFG
=
，
FG
AB
∥
，
32
CDA
=
，
32
DFG
=
，
32
CFE
=
，
32
DFH
=
，
64
EHA
CDA
DFH
=
+
=
，
即太阳光线EF 与水平地面所形成的锐角的度数是64，
故选：D．
5．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M 射出的光线射到直线a 上的A 点，
入射角为15，然后反射光线射到直线b 上的B 点，当这束光线继续从B 点反射出去后，反射光线与直线b
所夹锐角的度数为（ ）
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27 /
A．30
B．25
C．20
D．15
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的
夹角相等”得到
15
=
，由平行线的性质可得
15
ABC
=
，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
【详解】解：如图，
∵从点光源M 射出的光线射到直线a 上的A 点，入射角为15，然后反射光线射到直线b 上的B 点，
∴
15
=
，
∵a
b
∥，
∴
15
ABC
=
=
，
∴当这束光线继续从B 点反射出去后，反射光线与直线b 的夹角度数为15．
故选：D
6．（23-24 七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，
1
2
50
= =
，则
3
的度数为（ ）．
A．80
B．90
C．100
D．120
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键．
先根据平角的定义求出
4
的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果．
【详解】解：
1
2
50
= =
，
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28 /
4
180
1
2
80
=
−−=
，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行，
3
4
80
= =
；
故选：A．
7．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平
面镜1l ，2l ，两个平面镜所成的夹角为1
，位于点 D 处的甲同学在平面镜2l 中看到位于点A 处的乙同学
的像，其中光的路径为入射光线AB 经过平面镜1l 反射后，又沿BC 射向平面镜2l ，在点 C 处再次反射，
反射光线为CD，已知入射光线
2
AB
l
∥，反射光线
1
CD
l
∥ ，则1
等于（ ）
A．40
B．50
C．60
D．70
【答案】C
【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出1
3
5
= = ，再结合三角形内角和，推出1
的度数．
【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道
5
2
= ，
3=
4
2
AB
l
∥，
1
CD
l
∥
1
2
=，1
4
=
1
3
5
= =
1
3
5
180
++=
1
60
=
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29 /
故选：C ．
8．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一
平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角( 入射角) 等于反射光线与法
线的夹角( 反射角) ，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜CD以
改变光的路线，当太阳光线EF 与水平线AB 的夹角
30
AFE
=
时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井
底( 即FG
AB
⊥
) ，则调整后平面镜CD与水平线AB 的夹角
AFC
为（ ）
A．30
B．60
C．70
D．80
【答案】B
【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作FH
CD
⊥
，求出
EFH
，从
而得出
CFE
，继而得解．
【详解】解：过点F，作FH
CD
⊥
，则
90
HFC
=
，
依题意得：
EFH
GFH
=
，
∵
30
AFE
=
，FG
AB
⊥
，
∴
30
90
120
GFE
AFE
AFG
=
+
=
+
=
，
∴
1
60
2
EFH
GFH
GFE
=
=
=
，
∴
30
CFE
HFC
EFH
=
−
=
，
∴
60
AFC
AFE
CFE
=
+
=
，
故选：B．
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30 /
题型七：折叠问题
1．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，将一张长方形纸片进行折叠，若
2
1
20
−=
，则
EFB
的度数为
（ ）
A．45
B．50
C．65
D．55
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是关键．根据平行的性质得到
1
2
180
+=
，解得，1
80
=
，根据折叠得到
1
50
2
DEF
GEF
DEG
=
=
=
，再根据两直线平行，内
错角相等即可求解．
【详解】解：根据题意，AE
BG
∥
，
∴1
2
180
+=
，
∵
2
1
20
−=
，则
2
1 20
= +
，
∴1
1 20
180
++
=
，
解得，1
80
=
，
∴
180
1 100
DEG
=
−=
，
由折叠的性质可得，
1
50
2
DEF
GEF
DEG
=
=
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
50
EFB
DEF
=
=
，
故选：B ．
2．（24-25 七年级下·浙江丽水·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，使点A ，点B 重合
于点E ，折痕分别为
,
,
CG DF CE
DF
∥
，且
3
GCD
ECD
=
，则
CED
的度数是（ ）
A．30
B．36
C．45
D．72
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【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识点，根据折叠的性质求出
ACG
ECG
BDF
EDF
=
=
，
，结合平角的定义求出
36
ECD
=
，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得，
ACG
ECG
BDF
EDF
=
=
，
，
∵
3
GCD
ECG
ECD
ECD
=
+
=
，
∴
2
ECG
ECD
ACG
=
=
，
∵
180
ACG
ECG
ECD
+
+
=
，
∴
36
ECD
=
，
∵CE
DF
∥
，
∴
36
BDF
EDF
ECD
CED
EDF
=
=
=
=
，
，
∴
36
CED
=
，
故选：B．
3．（24-25 七年级下·广东广州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点H 和点G 分别在边AD和BC 上的
动点，点E 和点F 分别是边AD和BC 上的点，现将点A ，B ，C ，D 分别沿EF ，GH 折叠至点N ，M ，
P ，K ，若MN
PK
∥
，且
86
KHD
=
，则
EFC
的度数为（ ）
A．34或94
B．43或133
C．34或113
D．43或47
【答案】D
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．当PK
在AD上方时，延长
,
MN KH ，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解
答即可；当PK 在AD下方时，延长
,
MN HK ，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的
判定和性质，解答即可．
【详解】解：当PK 在AD上方时，
延长
,
MN KH ，二线交于点Q，
∵长方形纸片ABCD，
∴
90
A
B
C
D
= =
=
=
，AD
BC
∥
，
∴
EFC
AEF
=
，
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根据折叠的性质，得
90
A
FMN
B
ENM
P
C
D
K
=
= =
= =
=
=
=
，
AEF
NEF
=
，
∴
AEF
NEF
EFC
=
=
，
∵MN
PK
∥
，
∴
180
Q
K
+
=
，
∴
90
Q
=
，
∴
180
Q
ENQ
+
=
，
∴EN
QK
，
∴
D
NEH
QH
=
，
∵
86
KHD
=
，
∴
94
QHD
=
，
∴
94
NEH
=
，
∴
180
43
2
AEF
NE
NEH
EFC
F
−
=
=
=
=
；
当PK 在AD下方时，
延长
,
MN HK ，二线交于点T，
∵长方形纸片ABCD，
∴
90
A
B
C
D
= =
=
=
，AD
BC
∥
，
∴
EFC
AEF
=
，
根据折叠的性质，得
90
A
FMN
B
ENM
P
C
D
HKP
=
= =
= =
=
=
=
，
AEF
NEF
=
，
∴
AEF
NEF
EFC
=
=
，
∵MN
PK
∥
，
∴
90
T
TKP
=
=
，
∴
180
T
ENT
+
=
，
∴EN
TK
，
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∴
D
NEH
KH
=
，
∵
86
KHD
=
，
∴
86
NEH
=
，
∴
180
47
2
AEF
NE
NEH
EFC
F
−
=
=
=
=
；
故选：D．
4．（24-25 七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形纸条折叠得1
和
2
，则1
与
2
满足的数量关系为
（ ）
A．1
2
90
+=
B．1
2 2
=
C．2 1
2
90
−
=
D．2 1
2 180
?
?
?
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线性质可得1
3
= ，通过折叠性质可知
2
3
4
+= ，从而可得2 1
2 180
?
?
? ，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵a
b
∥，
∴1
3
= ，
由折叠性质可知：
2
3
4
+= ，
∵
3
4
180
+=
，
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∴2 3
2
180
+=
，
∴2 1
2 180
?
?
? ，
故选：D ．
5．（24-25 七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1 的基础上继续折
叠，使得图1 中的CD边与CB 边重合( 如图2) ，若继续沿CB 边折叠，CE 边恰好平分
ACB
，则此时的
度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．60
D．70
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用折叠性质得出角
之间的等量关系，结合平行线性质和角平分线定义求解．
根据两直线平行，同位角相等，可知
OAC
=
，根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后
的
ACE
都相等，而这四个角的和为180，故每个角为45，从而可知
90
ACB
=
，即可得的值．
【详解】解：根据上下边互相平行可知，
OAC
=
，
又
2
180
OAC
+
=
，
根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，
根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的
ACE
都相等，而这四个角的和为180，故每个角为45，
90
ACB
=
，
根据上下边互相平行可知，
ACB
OAC
=
=
，
即
90
=
，
(
)
1
180
90
45
2
=
−
=
故选：B．
6．
（24-25 七年级下·山东菏泽·期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF 折叠后，点 D，C 分别落在点D¢，
C的位置上，ED与 BC 的交点为 G，若
2
110
=
，则
EFC
的度数是 ．
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【答案】125
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质．根据折叠的性质可知：
3=
4
，
EFC
EFC
=
，
根据平行线的性质得出
2
2 4
= ，
180
4
125
EFC
=
−=
，据此求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知：
3=
4
，
EFC
EFC
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
2
3
4
2 4
= += ，
∵
2
110
=
，
∴
1
4
110
55
2
=
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
180
4
125
EFC
=
−=
，
∴
125
EFC
EFC
=
=
，
故答案为：125．
7．（24-25 七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形ABCD沿EF 翻折，再沿ED翻折，若
108
FEA
=
，
则
=
CFE
度．
【答案】156
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键．
首先根据平行线的性质，可设
DEF
BFE
x
=
= ，再根据折叠的性质可得，
108
DEA
DEA
x
=
=
+ ，
108
2
AEF
FEA
x
=
=
+
，再根据平行线的性质，可得
180
AEF
BFE
+
=
，即可求得x 的值，据此即
可求得．
【详解】解：四边形ABCD是长方形，
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AD
BC
∥
，
DEF
BFE
=
，
设
DEF
BFE
x
=
= ，
DEA
FEA
DEF
=
+
，
108
FEA
=
，
108
DEA
x
=
+ ，
由沿AD折叠可知：
108
DEA
DEA
x
=
=
+ ，
108
2
FEA
DEA
DEF
x
=
+
=
+
，
由沿EF 折叠可知：
108
2
AEF
FEA
x
=
=
+
，
AD
BC
∥
，
180
AEF
BFE
+
=
，
即108
2
180
x
x
+
+ =
，
解得
24
x =
，
24
BFE
=
，
180
180
24
156
CFE
BFE
=
−
=
−
=
，
故答案为：156．
题型八：轴对称中作图问题
1．（23-24 七年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形ABCD与四边形A B C D
成轴对称．
(1)请画出它们的对称轴l；
(2)若CM
AB
⊥
，垂足为M，试画出点M 关于直线l 的对称点M．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握其性质是关键．
（1）根据轴对称图形的性质“对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等；沿对称轴将图形对折，两侧的图
形能够完全重合；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”作图即可；
（2）根据轴对称图形的性质作图即可．
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【详解】（1）解：根据轴对称图形的性质作图如下，
（2）解：如上图所示，点M即为所求点的位置．
2．（23-24 七年级下·全国·课后作业）如图，
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，A B C
与
A B C
△
关于
直线EF 对称．
(1)请用直尺和圆规作出直线EF （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)设直线MN 与EF 相交于点O，试探究直线MN ，EF 所夹锐角
MOE
与
BOB
的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
2
BOB
MOE
=
【分析】本题考查画对称轴，成轴对称的性质，熟练掌握成轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据对称轴垂直平分对应点所连线段，连接B B
，作B B
的垂直平分线即可；
（2）连接
,
,
OB OB OB
，根据成轴对称的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，直线EF 即为所求；
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（2）解：如图②，连接
,
,
OB OB OB
，
∵
ABC
与A B C
关于直线MN 对称，
∴
BOM
B OM
=
．
∵A B C
与
A B C
△
关于直线EF 对称，
∴
B OE
B OE
=
．
∴
(
)
2
2
BOB
BOM
B OM
B OE
BOE
B OM
B OE
MOE
=
+
+
+
=
+
=
．
3．（23-24 七年级下·全国·单元测试）如图，用直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹）：
(1)如图①，在
ABC
中，
90
C
=
，
60
B
=
，在边AC 上作一点D ，使
BCD
△
的三个内角分别为30，
60，90；
(2)作图②的对称轴．
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合．
（1）在
ABC
中，
90
C
=
，
60
B
=
，则
30
A
=
，作线段AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD，
得到AD
BD
=
，推出
30
ABD
A
= =
，则
60
BDC
A
ABD
= +
=
，
30
CBD
ABC
ABD
=
−
=
，则
点D 即为所求所作；
（2）作线段AB 的垂直平分线即可．
【详解】（1）解：如图，点D 即为所求；
（2）如图，即为所求．
4．（24-25 七年级上·山东烟台·期中）在如图所示的方格纸中，
ABC
三个顶点均在格点上，这样的三角形
叫做格点三角形．请在下列方格纸中，分别画出不同的与原
ABC
成轴对称的格点三角形，并画出对称轴m ．
【答案】图见解析
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个
图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的
定义求解即可得．
【详解】解：如图，直线m 和阴影三角形即为所求．
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5．（24-25 七年级下·全国·期末）如图，ABC
和A B C
的顶点都在边长为1 的正方形网格线的交点上，且
ABC
和A B C
关于直线m 成轴对称．
(1)
ABC
的面积为________；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴m ；
(3)请在线段BC 的上方找一点D （不与点A 重合），画出
DCB
△
，使DCB
ABC
≌
．
【答案】(1)5
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用割补法求解即可；
（2）在如图所示的网格中作出对称轴m 即可；
（3）在线段BC 的上方找一点D （不与点A 重合），画出
DCB
△
，使DCB
ABC
≌
即可．
【详解】（1）解：
1
1
1
4 4
3 4
1 2
2 4
16
6 1 4
5
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
−−−
=
△
，
故答案为：5；
（2）解：如图，直线m 即为所求作；
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（3）解：如图，
DCB
△
即为所求作．
6．（24-25 八年级上·江苏南京·期中）如图，网格中的
ABC
与DEF
为轴对称图形．
(1)
ABC
的面积为_______；
(2)利用网格线作出
ABC
与DEF
的对称轴l；
(3)结合所画图形，在直线l 上画出点P，使PA
PC
+
最小．
【答案】(1)3
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短．
（1）结合网格，利用割补法得到长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得；
（2）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得；
（3）连接CD，与直线l 的交点即为点P．
【详解】（1）解：
1
1
1
2 4
2 2
1 2
1 4
3
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
，
故答案为：3；
（2）解：利用网格线作出
ABC
与DEF
的对称轴l；
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（3）解：连接CD，与直线l 的交点即为点P，点P 如图所示，此时由对称可得PA
PD
=
，
PA
PC
PD
PC
CD
+
=
+
=
最小．
7．（24-25 八年级上·河北承德·期末）如图，
ABC
和A B C
的顶点都在边长为1 的正方形网格的格点上，
且
ABC
和A B C
关于直线m 成轴对称．
(1)直接写出
ABC
的面积为 ；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴m；
(3)请在线段AC 的右侧找一点D，画出
DCB
△
，使
ABC
DCB
△
≌△
．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据割补法求三角形的面积即可求解；
（2）连接BB，CC，根据网格的特点过BB，CC的中点作直线m，即可求解；
（3）根据轴对称的性质作出
DCB
△
，即可．
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43 /
【详解】（1）解：（1）
ABC
的面积为
1
1
1
4 4
1 2
2 4
3 4
5
2
2
2
−
−
−
=
，
故答案为：5；
（2）解：如图1，直线m 即为所求．
（3）解：如图2，
DCB
△
即为所求．
题型九：钟表中镜面对称问题
1．（23-24 八年级上·广西河池·期中）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（ ）
A．2110
∶
B．10 21
∶
C．10 51
∶
D．12 01
∶
【答案】C
【分析】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键．
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根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可
解答．
【详解】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是10 51
∶，
故选：C．
2．（24-25 八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8:00的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和
实物应关于过12 时、6 时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可．
【详解】解：A、实际时间大约为4:10；
B、实际时间大约为3:55；
C、实际时间大约为7:50；
D、实际时间大约为8:05；
∴实际时间最接近8:00的是8:05．
故选：D．
3．（24-25 八年级上·甘肃平凉·期中）如图，图中显示的是从镜子中看到背的电子钟读数，由此你推断这时
的实际时间是（ ）
A．20:05
B．21:02
C．20:15
D．21 05
【答案】D
【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．根据镜面对称的性质，
在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与21 05
成轴对称，
所以此时实际时刻为21 05
；
故选：D．
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45 /
4．（24-25 七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：
，实际
时间是 ．
【答案】16:25
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜
面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与16:25成轴对称，所以此时实际时刻为16:25，
故答案为：16:25．
5．（24-25 八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是80:25:41，则实际时间是 ．
【答案】14:25:08
【分析】本题主要考查镜面对称，解决此类问题应认真观察，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据镜面
对称的性质可知在平面镜内的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：实际时间是14:25:08；
故答案为14:25:08．
6．（24-25 八年级上·江苏泰州·阶段练习）从镜中看到的一串数字是80080，这串数字应为 ．
【答案】08008
【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看
到的顺序是颠倒的，可根据这个特点来解决镜面对称的问题．
【详解】解：这串数字应为08008，
故答案为：08008．
7．
（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）从镜子里看黑板上写着
，那么实际上黑板写的是 ．
【答案】50281
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左
右对称；据此分析并作答.
【详解】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是50281．
故答案为50281.
题型十：设计轴对称图形
1．（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）如图所示在3×3 的正方形网格中，已经有3 个小正方形涂了阴影，请
你在余下的空白小方格中涂上1 个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来．
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46 /
【答案】有2 种，图形见解析．
【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键．
【详解】解：根据题意作图如下：
2．（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，16 个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小
方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义
进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做
轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：如图，（答案不唯一）
3．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段练习）把一个大正方形分成9 个相同的小方格，给图中的1 个白色小方
格涂上阴影，使整个图形成为一个轴对称图形，请用4 种不同的画法表示．
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47 /
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图案的设计，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此设计图案即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
4．（24-25 八年级上·吉林·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家
柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，
轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的
图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据图形中已有的阴影正方形的位置和轴对称图形的定义作
图．
【详解】解：如下图所示，
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48 /
（答案不唯一）
5．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，方格纸上画有AB 和CD两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中
添上一条线段，使图中的3 条线段组成一个轴对称图形（画出4 种，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】此题考查了轴对称图案设计．如果一个图形沿某条直线折叠后，图形的两部分能够完全重合，则
这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形定义进行作图即可．
【详解】解：如图所示，即为所求，
6．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“4 4
”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请
你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点
．．．．．．的三角形，将所画三角形涂上阴影
．．．．．（注：所画
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49 /
的四幅图不能重复）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分完
全重合画图即可．
【详解】解：在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影
如下图所示：（答案不唯一）
7．（24-25 八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16 个全等的三角形，将其中若干个三角形涂
黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
图乙与图丙是一种涂法，请在图1~ 3中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，
则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
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50 /
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图−轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可．
【详解】解：如图所示，
8．（24-25 八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在4 4
的方格内，已将其中的2 个小正方形涂成黑色，
请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4 个黑色小正方形组成一个
轴对称图形，画出与示意图不同的4 种方案．（每个4 4
的方格内限画一种）
要求：
（1）4 个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能
够重合，均视为一种方案）
【答案】见解析
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51 /
【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握相关图形性质是解题关键．利用轴对称图形的性质
以及旋转的性质、平移的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示：
．
题型一：轴对称中最值问题
1．
（23-24 八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形ABCD中，
130
90
BAD
B
D
=
=
=
，
，在BC
CD
、
上分别找一点M、N，使AMN
周长最小时，则
AMN
ANM
+
的度数为（ ）
A．130
B．120
C．110
D．100
【答案】D
【分析】作点A 关于BC 的对称点A，关于CD的对称点A，根据轴对称确定最短路线问题，连接A A
与
BC
CD
、
的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出
A
A
+
，再根据轴对称的性质
和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
(
)
2
AMN
ANM
A
A
+
=
+
，然后计算即可得
解．
【详解】解：如图，作点A 关于BC 的对称点A，关于CD的对称点A，
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52 /
连接A A
与BC
CD
、
的交点即为所求的点M、N，
∵
130
90
BAD
B
D
=
=
=
，
，
∴
180
130
50
A
A
+
=
−
=
，
由轴对称的性质得：
A
A AM
A
A AN
=
=
，
，
∴
(
)
2
2 50
100
AMN
ANM
A
A
+
=
+
=
=
．
故选：D．
2．（23-24 七年级下·广东深圳·期末）如图，将线段BC 沿着射线CA 折叠得到CD，延长CD到E，连接BE ，
点F 是射线CA 上的一个动点，连接FE，FD ，若
20
BC =
，
28
EC =
，DEF
的周长的最小值为22，则BE
长为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段BC 沿着射线CA 折叠得到CD，可得
20,
CB
CD
FB
FD
=
=
=
，
求解
28 20
8
DE =
−
= ，当
,
,
E F B 共线时，
DEF
C
DE
EF
DF
DE
EF
BF
=
+
+
=
+
+
，此时周长最短；再进一步
解答即可；
【详解】解：如图，
∵线段BC 沿着射线CA 折叠得到CD，
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53 /
∴
20,
CB
CD
FB
FD
=
=
=
，
∵
28
CE =
，
∴
28 20
8
DE =
−
= ，
当
,
,
E F B 共线时，
DEF
C
DE
EF
DF
DE
EF
BF
=
+
+
=
+
+
，此时周长最短；
∴
22
DE
EF
BF
+
+
=
，
∴
22 8
14
BE
EF
BF
=
+
=
−=
；
故选C
3．（23-24 八年级上·北京西城·期中）ABC
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，
8
AB =
，BD是
ABC
的角平
分线，点E、F 分别是线段BD、线段AB 上的动点，则AE
EF
+
的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．8
D．16
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线，轴对称的性质，含30 度的直角三角形，垂线段最短等知识．熟练它们的性
质是解题的关键．
作F 关于BD的对称点F，连接AF，由作图和结合已知条件分析得知：当A、E、F三点共线时，即AF、
AC 重合时时，此时AE
EF
+
的值最小，根据含30 度的直角三角形的性质定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作F 关于BD的对称点F，连接AF， 则EF
EF
=
，
∵BD是
ABC
的角平分线，
∴F在BC 上，
∴| AE
EF
AE
EF
+
=
+
，
∴当A、E、F三点共线，且AF
BC
⊥
即AF、AC 重合时，AE
EF
+
的值最小，
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54 /
∵
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，
8
AB =
，
1
4
2
AC
AB
=
=
∴
4
AF
AC
=
=
AE
EF
+
的最小值为4，
故选：A．
4．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在长方形ABCD中，
3
AB = ，
4
BC =
，点E 在四边形ABCD内
部，且点E 到BC 边的距离为2，当BE
EC
的值最小时，
ECB
的度数为（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用将军饮马模型求最值．由点E 到BC 边的距离为2，可知点E 在平行BC 而且
到BC 的距离等于2 的直线上运动，根据将军饮马模型，作点B 关于GF 的对称点B，可得B，E ，C 三点
共线时BE
EC
的值最小，再证明
B BC
△
为等腰直角三角形，即得结论．
【详解】如图，过点E 作FG
BC
∥
分别交CD，AB 于点F，G，则
2
BG = ，作点B 关于GF 的对称点B，
连接B C
与GF 交于点E，B E
EC
B C
+
=
即为最短路径．
∵
2
4
BB
BG
BC
=
=
=
，
90
ABC
=
，
∴
B BC
△
为等腰直角三角形，
∴
45
ECB
=
，
故选：D．
5．（24-25 八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC 中
5
AB =
，
ABC
的面积15，BD平分
ABC
交AC 于点D，若M
N
、分别是BD
BC
、
上的动点，则CM
MN
+
的最小值为（ ）
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55 /
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】过 C 作 CE
AB
⊥
于点 E ，交 BD 于点 M， 过 点 M 作 M N
BC
⊥
于 N，则 CE 即
为 CM
MN
+
的最小值，再根据三角形的面积公式求出 CE 的长，即为 CM
MN
+
的最小值；
【详解】过 C 作 CE
AB
⊥
于点 E ，交 BD 于点 M ，过点 M 作 M N
BC
⊥
于 N，如图：
∵BD 平分
,
ABC ME
AB
⊥
于点
,
E M N
BC
⊥
于 N，
∴MN
ME
=
，
∴CE
CM
ME
CM
MN
=
+
=
+
是 CM
MN
+
最小值，此时 M 与 M 重合，N 与 N 重合，
∵三角形 ABC 的面积为 15,
5
AB =
，
∴1 5
15
2
CE
=
，
∴
6
CE =
，
即 CM
MN
+
的最小值为 6 ；
故选：D
6．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，
ABC
中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
4
AB =
，点E 在BC 上，
且
2
BE = ，点P 在
ABC
的平分线BD上运动，则PE
PC
+
的长度最小值为（ ）
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56 /
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可．
【详解】将E 关于BD对称至点E，连接 CE，
∴EP
PE
=
，
∴PE
PC
PE
PC
+
=
+
，
∴
min
(
)
PE
PC
CE
+
=
，
∵
90
ACB
=
，AC
BC
=
，
4
AB =
，且
2
BE =
，
∴E是AB 中点，
∴
1
2
2
CE
AB
=
=
．
∴(
)min
2
PE
PC
+
=
故选：B
7．（24-25 八年级上·四川绵阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，点E ，M ，N 分别是各边上的动
点，若
10
AB =
，
8
AC =
，
6
BC =
，则EM
EN
MN
+
+
的最小值是 ．
【答案】9.6
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57 /
【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线．
作CE
AB
⊥
，交AB 于点E，作点E 关于AC 的对称点E，关于BC 的对称点E．
将EM
EN
MN
+
+
转化为求线段E E的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高CE ，进而得到的最小值．
【详解】解：作CE
AB
⊥
，交AB 于点E，
∴CE 为C 到AB 的垂线段，即高，是CE 的最小值，
作点E 关于AC 的对称点E，关于BC 的对称点E．
∴EN
E N
=
，EM
E M
=
，则EM
EN
MN
E M
MN
E N
+
+
=
+
+
．
当M，N 与C 重合时，
0
MN =
，
EN
E C
=
，EM
E C
=
，
路径
0
EM
EN
MN
E C
E C
+
+
=
+ +
∴当E、N、M、E共线时，和最小，即E E的长度．
90
ACB
=
，
∴
180
E CE
=
，即E、C、E共线，
故
2
E E
CE
CE
CE
=
+
=
．
ABC
面积
1
1 8 6
24
2
2
S
AC
BC
=
=
=
，
又
1
2
S
AB CE
=
，即
1
24
10
2
CE
=
，
解得
24
5
CE =
．
∴
24
2
9.6
5
E E=
=
，即EM
EN
MN
+
+
的最小值为9.6．
故答案为：9.6．
8．（2025·广东·模拟预测）如图，在
ABC
中，
8
AB
AC
=
=
，
60
BAC
=
，点E 为高AD上的一动点，以BE
为边作等边
BEF
△
，连接DF ，CF ，则
BCF
= ，FB
FD
+
的最小值为 ．
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58 /
【答案】 30 4 3
【分析】①利用等边三角形的性质和SAS判定出BAE
BCF
≌
，即可求解；
②过点D作定直线CF 的对称点G ，连CG ，利用轴对称的性质分析出FB
FD
FB
FG
BG
+
=
+
，求出BG 的
长即可．
【详解】①∵
60
BAC
=
，AB
AC
=
∴
ABC
为等边三角形，
∴AB
BC
=
∵AD
BC
⊥
，
∴
1
30
2
BAE
BAC
=
=
，
∵
BEF
△
是等边三角形，
∴
60
EBF
ABC
=
=
，BE
BF
=
，
∴
60
ABE
ABC
EBC
EBC
=
−
=
−
，
60
CBF
EBF
EBC
EBC
=
−
=
−
，
∴
ABE
CBF
=
，
在BAE
和
BCF
中，
AB
BC
ABE
CBF
BE
BF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BAE
BCF
≌
，
∴
30
BCF
BAE
=
=
；
②过点D作定直线CF 的对称点G ，连CG ，
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59 /
∴
30
BCF
GCF
=
=
，CD
CG
=
，
∴
60
BCG
=
∴
DCG
△
为等边三角形，
∴CF 为DG 的中垂线，FD
FG
=
，
∴FB
FD
FB
FG
+
=
+
，连接BG ，
∴FB
FD
FB
FG
BG
+
=
+
，又
1
2 C
D
DC
B
G =
=
，
∴B ，G ，C 三点共圆，BC 为直径，
∴BGC
为直角三角形，
∵
8
BC = ，
∴
1
4
2
CG
CD
BC
=
=
=
，
∴
tan
4
3
4 3
BG
BCG CG
=
=
=
∠
，
∴FB
FD
+
的最小值为4 3 ；
故答案为：30；4 3 ．
题型二：解答题中的折叠问题
1．（24-25 七年级下·四川南充·期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF 折叠，点D，C 分别落在点D¢，
C的位置，ED的延长线与BC 相交于点G．
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60 /
(1)如图1，1:
2
2:3
=
，求
EGB
的度数；
(2)如图2，延长EG AB
,
交于点M，若
20
M
=
，求
EFC
的度数．
【答案】(1) 720
7
(2)125
【分析】本题考查折叠的性质和平行线的性质，三角形内角和定理，掌握折叠的性质、平行线的性质定理，
并熟练进行等量代换是解题的关键．
（1）利用折叠的性质得
DEF
DEF
=
，CFE
C FE
=
，再利用平行线的性质得
180
CFE
DEF
+
=
，
通过等量代换得到1
2
1 180
++=
，求出
360
1
7
=
，进而求出
AEG
、
EGB
的度数；
（2）利用三角形内角和定理求出
180
70
AEM
A
M
=
−−
=
，再结合折叠的性质得出
(
)
1 180
55
2
DEF
AEM
=
−
=
，再利用平行线的性质求出
CFE
，进而得出
EFC
的度数．
【详解】（1）解：由折叠得：
DEF
DEF
=
，
CFE
C FE
=
，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD
BC
∥
．
∴
180
CFE
DEF
+
=
，
1
DEF
= ，
180
AEG
EGB
+
=
，
∴1
2
1 180
++=
，
∵1:
2
2:3
=
，
∴
3
2
1
2
=
，
∴
3
1
1
1 180
2
+
+=
，
解得：
360
1
7
=
．
∴
360
7
DEF
=
，
∴
360
7
D EF
=
，
∴
540
180
7
AEG
DEF
D EF
=
−
−
=
，
∴
540
720
180
7
7
EGB
=
−
=
；
（2）解：由折叠的性质可得
DEF
DEF
=
，
CFE
C FE
=
，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD
BC
∥
，
90
A
=
，
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∴
180
DEF
EFC
+
=
，
∵
20
M
=
，
∴
180
70
AEM
A
M
=
−−
=
，
∴
(
)
1 180
55
2
DEF
AEM
=
−
=
，
∴
180
125
CFE
DEF
=
−
=
，
∴
125
EFC
CFE
=
=
．
2．（24-25 七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知M ，N 分别是长方形纸条ABCD边AB ，CD上两点（其中
AB
CD
∥
且AM
DN
），如图1所示沿M ，N 所在直线进行第一次折叠，点A ，D 的对应点分别为点E ，F ，
EM 交CD于点P ．
(1)若
30
NMA
=
，则
FNP
的度数为 ．
(2)如图2 ，继续沿PM 进行第二次折叠，点B ，C 的对应点分别为点G ，H ．
①若
70
CPM
=
，则
AMG
的度数为 ．
②若
4
AMG
CNM
=
，请求出
CPM
的度数．
【答案】(1)120
(2)①40；②
45
CPM
=
【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补
角和为180以及平角为180 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建
立方程等方法来求解角度．
（1）本题涉及平行线的性质以及折叠的性质．利用AB
CD
得到角的关系，再结合折叠前后角相等的性质
来求解
FNP
的度数．
（2）①根据折叠性质和邻补角的定义求出相关角的度数，再利用平角的度数为180来计算
AMG
的度
数．②设未知数，依据折叠性质、平行线性质以及平角定义建立方程，从而求解
CPM
的度数．
【详解】（1）解：∵AB
CD
，
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∴
30
DNM
NMA
=
=
．
∴折叠可知
30
FNM
DNM
=
=
．
又∵
180
FNP
FNM
DNM
+
+
=
，
∴
180
30
30
120
FNP
=
−
−
=
．
（2）解：①∴折叠可知
70
CPM
HPM
=
=
，
∴
180
70
70
40
BMP
=
−
−
=
．
又∵
40
BMG
BMP
=
=
，且
180
AMG
BMG
+
=
，
∴
180
40
40
40
AMG
=
−
−
=
．
②设
CNM
x
=
，则
4
AMG
x
=
．
∵AB
CD
，
∴
NMA
CNM
x
=
=
．
∴折叠可知
BMP
PMG
=
，
DNM
FNM
=
．
∵
180
AMG
BMG
+
=
，
2
BMG
BMP
=
，
180
BMP
CPM
+
=
，且
DNM
NMA
x
=
=
，
∴
FNM
x
=
，
180
BMP
CPM
=
−
．
∴
(
)
4
2 180
180
x
CPM
+
−
=
，
又∵
180
2
CPM
x
=
−
，
∴
(
)
4
2 180
180
2
180
x
x
+
−
−
=
，
解得
22.5
x =
．
∴
180
2 22.5
45
CPM
=
−
=
．
3．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，E
F
、分别是边AD
BC
、
上一点，
(
)
0
90 ,
60
DEF
=
，将纸带ABCD沿EF 折叠成图1，再沿GF 折叠成图2．
(1)当
25
=
时，则
FGD
=______，
GFC
=______；
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(2)两次折叠后，求
NFE
的大小（用含的代数式表示）；
(3)当
NFE
和
DEF
的度数之和为100时，求的值．
【答案】(1)50 ,130
(2)
180 3
NFE
=
−
或3
180
−
(3)
40
=
或
70
=
【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质：
（1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出
BGE
的度数，对顶角即可得出
FGD
的度数，再根据平行
线的性质，求出
GFC
即可；
（2）分0
60
和60
90
两种情况进行讨论求解即可；
（3）分0
60
和60
90
两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：当0
60
时，如图，
∵将长方形纸带ABCD沿EF 折叠，
∴
,
,
AD
BC ED
FC
D EF
DEF
=
=
∥
∥
，
∴
2
2 ,
180
BGE
DED
DEF
D GF
C FG
=
=
=
+
=
，
∴
2 ,
18
1 0
2
0
8
FGD
G
BGE
C FG
F D
=
=
−
=
=
−
；
∴当
25
=
时，
50 ,
180
130
FGD
F
C FG
GD
=
−
=
=
；
故答案为：50 ,130
；
（2）当0
60
时：
由（1）可知：
180
2
C FG
=
−
，AD
BC
∥
，
∴
EFG
GFE
=
=
，
∵折叠，
∴
180
2
NFG
C FG
=
=
−
，
∴
180
3
NFE
NFG
EFG
=
−
=
−
；
当60
90
时，如图：
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∵AD
BC
∥
，
∴
2
2
FGD
DED
DEF
=
=
=
，
EFG
DEF
=
=
，
∵FC
D G
∥
，
∴
180
2
NFG
=
−
，
∴
3
180
NFE
EFG
NFG
=
−
=
−
；
综上：
180
3
NFE
=
−
或3
180
−
；
（3）当
180
3
NFE
=
−
时，180
3
100
−
+
=
，解得
40
=
；
当
3
180
NFE
=
−
时，3
180
100
−
+
=
，解得
70
=
；
故：
40
=
或
70
=
．
4．（24-25 七年级下·湖北武汉·期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着MN 折叠，
,
C D 翻折后的对应点
分别为
,
C D
．
(1)如图（1），若点C恰好落在AD上，且NC平分
BNM
，求
D C M
的度数；
(2)如图（2），将长方形纸片沿PQ 折叠，点
,
A B 翻折后的对应点分别为
,
A B
，使得QB和MD'在同一条直
线上，求证PQ
MN
∥
；
(3)若直线D C
与直线AD相交于点E ，
(
)
0
90
MNC
=
，直接写出
DEM
的度数（用含的式子
表示）．
【答案】(1)30
(2)证明见解析
(3) 2
90
−
或90
2
−
【分析】本题考查翻折变换、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握相关几何知识，并灵活运用．
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（1）证明
60
BNC
C NM
MNC
=
=
=
，再利用翻折变换、平行线的性质求解即可得到答案；
（2）证明
NMD
MQP
=
，可得结论；
（3）画出图形，利用翻折变换的性质求解．
【详解】（1）解：如图所示：
∵NC平分
BNM
，
BNC
C NM
=
，
由翻折变换的性质可知
C MN
MNC
=
，
60
90
，
BNC
C NM
MNC
NC D
C
=
=
=
=
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
AD
CB
∥
，
60
MC N
BNC
=
=
，
90
60
30
D C M
=
−
=
；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
AD
CB
∥
，
DMQ
BQM
=
，
由翻折变换的性质可知，
1
1
2
2
，
NMD
DMQ
PQM
MQB
=
=
，
NMD
MQP
=
，
PQ
MN
∥
；
（3）解：如图所示：
，
AD
CB
MNC
=
∥
，
180
，
NMD
NMD
AMN
MNC
=
=
−
=
=
，
180
180
2
D ME
=
−
−
=
−
，
90
=
D
，
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(
)
90
180
2
2
90
D EM
=
−
−
=
−
．
5．（24-25 七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN 和PQ 折叠得到一个轴对称的帽子，
折痕角
=
AMN
DPQ ，点A ，D 的对应点分别为点G ，H ，折叠后点B ，C 的对应点恰好都在点E．
(1)若折痕角
105
AMN
=
，求帽子顶角
NEQ
的度数；
(2)设
=
GMD
x度，
=
NEQ
y 度．
①请用含x 的代数式表示y ，则y =________；
②当
2
=
MNE
GMD 时，帽子比较美观，求此时y 的值．
【答案】(1)120
(2)①180
2x
−
；②108
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相
关性质是解题的关键．
（1）由AD
BC
∥
得
180
75
MNB
AMN
=
−
=
，由折叠的性质得
75
MNE
MNB
=
=
，利用平角的定义
求出
ENQ
的度数，根据轴对称的性质得
EQN
ENQ
=
，最后在
ENQ
△
中利用三角形内角和定理即可求
解；
（2）由GM
EN
∥
和AD
BC
∥
推出
GMD
ENQ
=
，由轴对称的性质得
EQN
ENQ
=
，在
ENQ
△
中利用
三角形内角和定理即可求解；②由（1）得
MNE
MNB
=
，由①得
ENQ
GMD
x
=
=
度，利用平角的定
义表示出
MNE
的度数，结合
2
=
MNE
GMD 求出x 的值，即可求出此时y 的值．
【详解】（1）解：由题意得，AD
BC
∥
，
180
AMN
MNB
+
=
，
105
AMN
=
，
180
75
MNB
AMN
=
−
=
，
由折叠的性质得，
75
MNE
MNB
=
=
，
180
2
180
2 75
30
ENQ
MNB
=
−
=
−
=
，
由轴对称的性质得，
EQN
ENQ
=
，
180
180
30
30
120
NEQ
ENQ
EQN
=
−
−
=
−
−
=
，
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帽子顶角
NEQ
的度数为120．
（2）解：①
GM
EN
∥
，
180
DMN
GMD
MNE
+
+
=
，
AD
BC
∥
，
180
DMN
ENQ
MNE
+
+
=
，
GMD
ENQ
=
，
由轴对称的性质得，
EQN
ENQ
=
，
设
=
GMD
x度，
=
NEQ
y 度，
EQN
ENQ
x
=
=
度，
在
ENQ
△
中，2
180
x
y
+
=
，
180
2
y
x
=
−
，
故答案为：180
2x
−
；
②由（1）得，
MNE
MNB
=
，
由①得，
ENQ
GMD
x
=
=
度，
180
2
x
MNE
−
=
度，
2
MNE
GMD
=
，
180
2
2
x
x
−
=
，
解得：
36
x =
，
180
2
180
2 36
108
y
x
=
−
=
−
=
，
y
的值为108．
6．（24-25 七年级下·全国·期末）如图1，将一条长方形纸带沿EF 折叠，设
AED
x
= 度．
(1)若
130
x =
，则
EFB
= 度；
(2)将图1 纸带继续沿BF 折叠成图2，则
EFC
= 度．（用含x 的代数式表示）
【答案】(1)25
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(2) 3
90
2 x
−
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出
50
DED
=
，再由折叠的性质结合平行线的性质即可得解；
（2）设ED与BC 相交于点G ，先求出
(
)
180
DED
x
=
−
，再由折叠的性质结合平行线的性质得出
1
90
2
DEF
EFB
x
=
=
−
，
AED
EGF
x
=
= ，再由平行线的性质得出
EGF
GFC
x
=
= ，由折叠
的性质可得：
GFC
GFC
x
=
= ，即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得
130
AED
=
，
∴
180
50
DED
AED
=
−
=
，
由折叠得：
1
25
2
DEF
DED
=
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
25
DEF
EFB
=
=
，
故答案为：25；
（2）解：设ED与BC 相交于点G ，
∵
AED
x
= ，
∴
(
)
180
180
DED
AED
x
=
−
=
−
，
由折叠得：
1
1
90
2
2
DEF
DED
x
=
=
−
，
∵AD
BC
∥
，
∴
1
90
2
DEF
EFB
x
=
=
−
，
AED
EGF
x
=
= ，
∵E
C
D
F
∥
，
∴
EGF
GFC
x
=
= ，
由折叠的性质可得：
GFC
GFC
x
=
= ，
∴
1
3
90
90
2
2
EFC
GFC
GFE
x
x
x
=
−
= −
−
=
−
，
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故答案为：3
90
2 x
−
．
7．
（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）已知M ，N 分别是长方形纸条ABCD边AB ，CD上两点（其中AB
CD
∥
且AM
DN
），如图1所示沿M ，N 所在直线进行第一次折叠，点A ，D 的对应点分别为点E ，F ，EM 交
CD于点P ．
(1)若
35
NMA
=
，则
FNP
的度数= __________．
(2)如图2，继续沿PM 进行第二次折叠，点B ，C 的对应点分别为点G ，H ．
①若
72
CPM
=
，则
2
的度数= __________．
②若
2
2 1
= ，请求出
CPM
的度数．
【答案】(1)110；
(2)①36；②60
【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补
角和为180以及平角为180 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建
立方程等方法来求解角度．
（1）根据平行线的性质得出
35
CNM
NMA
=
=
，根据折叠得出
35
EMN
NMA
=
=
，根据平行线的
性质得出
180
145
FNM
EMN
=
−
=
，最后求出结果即可．
（2）①根据平行线的性质得出
180
108
BMP
CPM
=
−
=
，
72
AMP
CMP
=
=
，根据折叠得出
108
GMP
BMP
=
=
，最后求出结果即可；
②设1
x
=
，则
2
AMG
x
=
，根据平行线的性质得出
1
NMA
x
=
=
．根据折叠得出
NMA
NMP
x
=
=
，
BMP
PMG
=
，根据平行线的性质得出
2
CPM
AMP
x
=
=
，
180
CPM
BMP
+
=
，列出方程
4
2 =180
x
x
+
，求出x 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵AB
CD
∥
，
∴
35
CNM
NMA
=
=
，
∴折叠可知
35
EMN
NMA
=
=
，
∵FN
EM
∥
，
∴
180
145
FNM
EMN
=
−
=
，
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∴
110
FNP
FNM
CNM
=
−
=
．
（2）解：①∵AB
CD
∥
，
∴
180
108
BMP
CPM
=
−
=
，
72
AMP
CMP
=
=
，
根据折叠可知
108
GMP
BMP
=
=
，
∴
2
108
72
36
GMP
AMP
=
−
=
−
=
．
②设1
x
=
，则
2
AMG
x
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
1
NMA
x
=
=
．
∴折叠可知
NMA
NMP
x
=
=
，
BMP
PMG
=
，
∴
2
AMP
NMA
NMP
x
=
+
=
，
∴
2
4
BMP
PMG
AMP
x
=
= +
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
2
CPM
AMP
x
=
=
，
180
CPM
BMP
+
=
，
∴4
2 =180
x
x
+
，
解得
30
x =
．
∴
2
60
CPM
x
=
=
．
题型三：轴对称图形中的探究问题
1．（24-25 七年级下·河南驻马店·期中）综合与实践．
【知识初探】
（1）如图①，长方形纸条ABCD中，AB
CD
∥
，AD
BC
∥
，
90
A
B
C
D
= =
=
=
，将纸条按如图①
所示方式折叠，点A 落在A处，点D 落在D¢处，得到折痕EF ，A E
交CD于点G ．
①若
41
AEF
=
，则
AGC
= ______度
②若
AEF
=
，则
A GC
=______（用含的式子表示）
【类比再探】
（2）如图②，在图①的基础上将
CGE
对折，点C 落在直线CE 上的C处点B 落在B处．得到折痕GH ．则
折痕EF 与GH 有怎样的位置关系？说明理由．
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【答案】（1）①98；②180
2
−
；（2 ）EF
GH
∥
，理由见解析．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质
是解题的关键．
（1）①由题意得
41
AEF
AEF
=
=
，则
82
AEG
A EF
AEF
=
+
=
，由平行线的性质得
82
CGE
AEG
=
=
，由平角的定义即可得出结果；
②由题意得
A EF
AEF
=
=
，则
2
AEG
A EF
AEF
=
+
=
+
=
， 由平行线的性质得
2
CGE
AEG
=
=
，由平角的定义即可得出结果；
（2 ）由题意得
1
2
AEF
A EF
AEG
=
=
，
1
2
CGH
C GH
CGE
=
=
，由平行线的性质得
CGE
AEG
=
，推出
C GH
A EF
=
，即可得出EF
GH
∥
．
【详解】解：（1）①由题意得：
41
AEF
AEF
=
=
，
∴
41
41
82
AEG
A EF
AEF
=
+
=
+
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
82
CGE
AEG
=
=
，
∴
180
180
82
98
A GC
CGE
=
−
=
−
=
，
故答案为：98；
②由题意得：
A EF
AEF
=
=
，
∴
2
AEG
A EF
AEF
=
+
=
+
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
2
CGE
AEG
=
=
，
∴
180
180
2
A GC
CGE
=
−
=
−
，
故答案为：180
2
−
；
（2 ）EF
GH
∥
，理由如下：
由题意得：
1
2
AEF
A EF
AEG
=
=
，
1
2
CGH
C GH
CGE
=
=
，
∵AB
CD
∥
，
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∴
CGE
AEG
=
，
∴
C GH
A EF
=
，
∴EF
GH
∥
．
2．（2025 七年级下·河南·专题练习）【提出问题】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题
——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A 出发，到达河岸饮马后再回到点B 宿营，他时常想，怎么走才
能使每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B 关于直线l 的对称点B，连接AB与直线l 交于点C，点C 就是饮马的地方，此时所走的路程之
和就是最短的（如图2）．
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l 上另取任意一点C，连接AC，BC，B C
，我只要说明AC
CB
AC
C B
+
+
即可．因
为直线l 是点B，B的对称轴，点C，C在l 上，所以CB =______，C B= ______，所以AC
CB
AC
CB
+
=
+
=
______．
在
AC B
△
中，因为AB
AC
C B
+
，所以______
AC
C B
+
，即
+
AC
CB最小．
请完善小亮的说明过程．
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B 转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形
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73 /
两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，B两点的线中，线段AB最短）．
【解决问题】
如图4，牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B 处，请画出最短路径．
【答案】解：【分析问题】CB C B AB
+
AC
CB 两点之间，线段最短
【解决问题】图见解析．
【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键．
（1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再
结合三角形三边关系证明路径最短；
（2）作点A 关于草地的对称点A，作点B 关于河的对称点B，连接A B
AC
CD
BD
−
−
，
即为最短路径．
【详解】（1）∵直线l 是点B，B的对称轴，点C，C在l 上，
∴CB
CB
=
，C B
C B
=
，
∴AC
BC
AC
B C
AB
+
=
+
=
，AC
BC
AC
CB
+
=
+
，
由两点之间线段最短可知，AB
AC
B C
+
，
∴AC
CB
AC
C B
+
+
，
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的
,
A B 转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”
及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A
B
，
两点的线中，线段AB最短）。
故答案为：CB C B AB
+
AC
CB 两点之间，线段最短；
（2）如图，AC
CD
BD
−
−
即为最短路径．
3．（24-25 七年级下·辽宁铁岭·期中）【综合与实践▪操作探究】
在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相
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关问题．
操作步骤：
1．如图，准备锐角三角形纸片ABC ；
2．第一次折叠，将
B
折叠，使点B 落在AB 边上的点B处，折痕为DE （D 在BC 上，E 在AB 上）；
3．第二次折叠：将
C
折叠，使点C 落在B D
边上点C处，折痕为DF （F 在AC 上）．
问题：
(1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕DE 与AB 的位置关系，并说明理由；
(2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明DF
AB
；
(3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：
180
A
B
C
++
=
．
【答案】(1) DE
AB
⊥
，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质.
（1）根据折叠的性质得到
BED
BED
=
，即可判断；
（2）由折叠可知，
BDE
EDB
=
，
CDF
FDC
=
，可得
90
B DE
C DF
+
=
，再由同旁内角两直线
平行证明即可；
（3）过点C作C G
AB
交AC 于点G ，根据平行线的判定和性质得到
BB D
B C G
=
，
DFC
A
= ，
由折叠得
C
DC F
=
，由
180
B C G
GC F
DC F
+
+
=
可得
180
A
B
C
++
=
.
【详解】（1）DE
AB
⊥
理由：由折叠可知，
BED
BED
=
180
BED
B ED
+
=
90
BED
=
DE
AB
⊥
∴
（2）证明：由折叠可知，
BDE
EDB
=
，
CDF
FDC
=
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75 /
1
2
B DE
BDB
=
，
1
2
C DF
CDC
=
180
BDB
CDC
+
=
(
)
1
90
2
B DE
C DF
BDB
CDC
+
=
+
=
即
90
EDF
=
由（1）知
90
BED
=
，
EDF
BED
=
DF
AB
（3）过点C作C G
AB
交AC 于点G
又
DF
AB
∥
AB
C G
DF
∥
BB D
B C G
=
∴
GC F
C FD
=
又
DF
AB
∥
∴
DFC
A
=
由折叠得
C FD
CFD
=
，
B
BBD
=
A
GC F
=
，
B
B C G
=
由折叠得
C
DC F
=
180
B C G
GC F
DC F
+
+
=
180
A
B
C
++
=
4．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知
45
AOB
＝
．
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【初步认识】
（1）尺规作图：求作直线l ，使OA和OB 关于直线l 对称；（不写作法，保留痕迹）
【理解应用】
（2）如图2 ，若OP 在
AOB
内部，OP 和
1
OP 关于OB 对称，OP 和
2
OP 关于OA对称，求
1
2
POP
的度数；
（3）如图3，若OP 在
AOB
外部，且0
45
AOP
，OP 和
1
OP 关于OB 对称，OP 和
2
OP 关于OA对称，
求
1
2
POP
的度数；
【拓展提升】
（4）若OP 和
1
OP 关于
AOB
的边OB 对称，且
1
1
4
AOP
BOP
=
，则
AOP
的度数是_____．
【答案】（1）作图见解析；（2 ）
1
2
90
POP
=
；（3）
1
2
90
POP
=
；（4 ）30或54．
【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，轴对称的性质，角度和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的
关键．
（1）作OP 平分
AOB
，直线l 即为所求；
（2 ）根据OP 和
1
OP 关于OB 对称，得到
1
2
POP
BOP
=
，根据OP 和
2
OP 关于OA对称，得到
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2
2
POP
AOP
=
，根据角的和差即可得到结论；
（3）根据OP 和
1
OP 关于OB 对称，得到
1
2
POP
BOP
=
，根据OP 和
2
OP 关于OA对称，求得
2
2
POP
AOP
=
，根据角的和差即可得到结论；
（4 ）①OP 在
AOB
内部，②当OP 在
AOB
外部，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1中，直线l 即为所求；
（2 ）如图2 中，
∵OP 和
1
OP 关于OB 对称，
∴
1
2
POP
BOP
=
，
又∵OP 和
2
OP 关于OA对称，
∴
2
2
POP
AOP
=
，
∵
1
2
1
2
POP
POP
POP
=
+
，
∴
1
2
2
2
2
90
POP
BOP
AOP
AOB
=
+
=
=
；
（3）如图3中，
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78 /
∵OP 和
1
OP 关于OB 对称，
∴
1
2
POP
BOP
=
，
又∵OP 和
2
OP 关于OA对称，
∴
2
2
POP
AOP
=
，
∵
1
2
1
2
POP
POP
POP
=
−
，
∴
1
2
2
2
2
90
POP
BOP
AOP
AOB
=
−
=
=
；
（4 ）①OP 在
AOB
内部，如图4 ，
∵OP ，
1
OP 关于OB 对称，
∴
1
BOP
BOP
=
，
∵
1
1
4
AOP
BOP
=
，
∴
1
3
45
AOB
BOP
=
=
，
∴
1
15
BOP
=
，
∴
1
15
BOP
BOP
=
=
，
∴
30
AOP
=
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79 /
②当OP 在
AOB
外部，
∵
1
1
4
AOP
BOP
=
，
∴射线OP 在射线OB 的上面，如图5，
∵OP ，
1
OP 关于
AOB
的OB 边对称，
∴
1
BOP
BOP
=
，
∵
1
1
4
AOP
BOP
=
，
∴
1
1
1
5
45
AOB
BOP
AOP
BOP
=
+
=
=
，
∴
1
9
BOP
= ，
∴
1
9
BOP
BOP
=
= ，
∴
45
9
54
AOP
=
+ =
，
综上所述，
30
AOP
=
或54，
故答案为：30或54．
5．（24-25 七年级下·山东济宁·期中）如图，
ABC
．
某同学进行了下面操作：
第一步，将边AB 沿过点A 的一条直线折叠，使AB 与AC 所在直线重合，折痕与BC 交于点D，折叠后展开；
第二步，将边AD沿过点D 的一条直线折叠，使AD与DC 所在直线重合，折痕与AC 交于点E，折叠后展
开；
第三步，对折线段AD（即把线段AD沿某一直线折叠，使点A 与点D 重合），折痕与AB ，AD分别交于点
F，G，折叠后展开；
第四步，对折线段FG （即把线段FG 沿某一直线折叠，使点F 与点G 重合），折痕与AB
BD
FG
，
，
分别交
于点H，K，P，折叠后展开．
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根据上面的操作，解答下面问题：
(1)猜想HK 与AD的位置关系，并证明你的猜想；
(2)若
ADE
DAE
=
，
39
B
=
，求
HKC
的度数．
【答案】(1) HK
AD
∥
，见解析
(2)
78
HKC
=
【分析】此题考查了平行线的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）证明
GPK
FGA
=
，即可得到结论；
（2）求出
78
ADC
=
．根据HK
AD
∥
即可得到答案．
【详解】（1）HK
AD
∥
．
证明：由折叠可知：
FGA
FGD
=
．
∵
180
FGA
FGD
+
=
．
∴
1 180
90
2
FGA
=
=
．
同理：
1 180
90
2
GPK
=
=
．
∴
GPK
FGA
=
∴HK
AD
∥
．
（2）解：由折叠可知：
BAD
DAC
ADE
EDC
=
=
，
．
∵
ADE
DAE
=
，
∴
BAD
ADE
=
．
∴AB
DE
∥
．
∴
39
EDC
B
= =
．
∴
2
2 39
78
ADC
EDC
=
=
=
．
∵HK
AD
∥
，
∴
78
HKC
ADC
=
=
．
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81 /
1．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4 个汉字中，可以看作是轴对称
图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
2．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）如图1 是长方形纸带，
25
DEF
=
，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF
折叠成图3，则图3 中的
CFE
的度数是（ ）
A．105
B．110
C．115
D．135
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由长方形的性质可知AD
BC
∥
，
由此可得出
25
BFE
DEF
=
=
，再根据折叠的性质求得图2 中
BFC
，由此即可算出图3 中
CFE
度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
AD
BC
∥
，
25
BFE
DEF
=
=
．
由折叠的性质可知：
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82 /
图2 中，
180
180
25
155
EFC
BFE
=
−
=
−
=
，
∴
155
25
130
BFC
EFC
BFE
=
−
=
−
=
，
∴图3 中，
130
25
105
CFE
BFC
BFE
=
−
=
−
=
．
故选：A．
3．（24-25 七年级下·江苏南京·阶段练习）如图的3×3 的正方形网格中，ABC
的顶点都在小正方形的格点
上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC
成轴对称的格点三角形一共有（ ）个
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．
【详解】解：如图所示：
．
故选：D．
4．
（24-25 六年级下·黑龙江大庆·期中）若
和均为大于0小于180的角，且
60
−
=
，则称
和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着EP对折（点P 在线段BC 上，点E 在线段
AB 上）使点B 落在点B，若1
与
2
互为“伙伴角”，
3
的度数（ ）
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A．40
B．80或40
C．80或60
D．40或60
【答案】B
【分析】本题考查了折叠性质，角度和差运算，由折叠性质可知，1
3
= ，又1
与
2
互为“伙伴角”，则
1
2
60
−
=
，然后通过1
2
3 180
++=
即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由折叠性质可知，1
3
= ，
∵1
与
2
互为“伙伴角”，
∴
1
2
60
−
=
，
∴1
2
60
−=
或
2
1
60
−=
，
∵1
2
3 180
++=
，
∴2 1
2
180
+=
，
则
2
40
=
或
2
80
=
，
∴
3
40
=
或
3
80
=
，
故选：B．
5．
（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，ABC
和DEF
关于直线l 对称，G 是直线l 上一点，连接AG ，DG ，
CG ，FG ，下列说法错误
．．的是（ ）
A．
ACB
DFE
=
B．线段AD，BE，CF 被直线l 垂直平分
C．AGC
DGF
≌
D．AB
DF
∥
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形的性质，垂直平分线的性质，根据轴对称图形和垂直平分线的性质，逐项判
断解答即可．
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84 /
【详解】解：∵
ABC
和DEF
关于直线l 对称，
∴
ACB
DFE
=
，线段AD，BE，CF 被直线l 垂直平分，AC
DF
=
，故A 和B 正确，不符合题意；
∴GA
GD
=
，GC
GF
=
，
∴AGC
DGF
≌
，故C 正确，不符合题意；
不等判断D 选项正确，故符合题意；
故选：D．
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，
ABC
和
AB C
△
关于直线l 对称，直线l 与CC相交于点O，
若
5
AB =
，
2
B C
=
，
1
CO = ，则五边形ABCC B
的周长为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出AB
AB
=
，BC
B C
=
，OC
OC
=
，
再用周长公式计算即可得出答案，熟练掌握轴对称的性质并能正确得出对应线段是解决此题的关键．
【详解】解：
ABC
和
AB C
△
关于直线l 对称，直线l 与CC相交于点O，
AB
AB
=
，BC
B C
=
，OC
OC
=
．
5
AB =
，
2
B C
=
，
1
CO = ，
5
AB
= ，
2
BC =
，
1
OC= ．
五边形ABCC B
的周长为：5
2 1 1 2 5
16
+ + + + + =
．
故选：B．
7．（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3 个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上
阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（ ）
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85 /
A．1 种
B．3 种
C．5 种
D．7 种
【答案】B
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的
性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示，
一共有3 种涂法，
故选：B．
8．
（24-25 七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，将
BFE
沿着EF 折叠，点B 刚好落在AD上的点B处；再将
CFD
沿着DF 折叠，点C 刚好落在EF 上的点C处，
已知
30
AB E
=
，则
B FD
的度数为（ ）
A．60
B．45
C．30
D．15
【答案】B
【分析】此题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性
质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，角的计算是解决问题的关键．
据长方形的性质及
30
AB E
=
，则
180
120
BEB
AEB
=
−
=
，由折叠的性质得
1
60 ,
2
BEF
B EF
BEB
B FE
BFE
=
=
=
=
即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
A
B
= =
∵
30
AB E
=
∴
60
AEB
=
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∴
180
120
BEB
AEB
=
−
=
由折叠性质可得：
1
60 ,
2
BEF
B EF
BEB
B FE
BFE
=
=
=
=
∴
90
30
B FE
BFE
BEF
=
=
−
=
∴
180
150
EFC
BFE
=
−
=
∵将
CFD
沿着DF 折叠，点C 刚好落在EF 上的点C处，
∴
1
75
2
CFD
C FD
EFC
=
=
=
∴
45
B FD
C FD
B FE
−
=
=
故选：B．
9．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，在
ABC
中，D、E 分别是AC
BC
、
上的点，把四边形ABED 沿
直线DE 折叠得到四边形GFED ，GF
AC
∥
，若
,
DEF
C
=
=
，则
G
= ．（用含
、
的式子表
示）
【答案】2
2
−
【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，平行线的性质，根据折叠的性质，
结合平角的定义，求出
CEF
的度数，进而求出
CED
的度数，外角的性质，求出
ADE
的度数，折叠结
合周角的定义求出
ADG
的度数，平行线的性质求出
G
的度数即可．
【详解】解：∵折叠，
∴
,
2
2
ADE
GDE
BEF
DEF
=
=
=
，
∴
180
180
2
CEF
BEF
=
−
=
−
，
∴
180
DEC
DEF
CEF
=
+
=
−
，
∴
180
GDE
ADE
DEC
C
=
=
+
=
−
+
，
∴
(
)
360
2
180
2
2
ADG
=
−
−
+
=
−
，
∵GF
AC
∥
，
∴
2
2
G
ADG
=
=
−
；
故答案为：2
2
−
．
10．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在
ABC
中，AD
BC
⊥
于点D ，点C 关于AD的对称点为点E ，
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连接AE ，若
50
ABC
=
，
30
CAD
=
，则
BAE
的度数为 ．
【答案】10或70
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，对称的性质，根据题意分点D 在BC 上和点D 在BC
延长线上两种情况，画出示意图，结合三角形内角和定义即可解答．
【详解】解：如图，当点D 在BC 上时，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∵
50
ABC
=
，
∴
40
BAD
=
，
∵点C 关于AD的对称点为点E ，
30
CAD
=
，
∴
30
EAD
=
，
∴
10
BAE
BAD
EAD
=
−
=
；
如图，当点D 在BC 延长线上时，
同理，
40
BAD
=
，
30
EAD
=
，
∴
70
BAE
BAD
EAD
=
+
=
；
综上，
BAE
的度数为10或70．
故答案为：10或70．
11．
（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
3,
4,
5,
ACB
AC
BC
AB
B
=
=
=
=
=
，
．点
P 是边AB 上一点，连接CP ，将BCP
沿CP 对折，点B 落在点B处，CB与AB 交于点M ．当B P
AC
∥
时，
PCB
= （用含的代数式表示）．此时若BPC
的面积是2.4 ，则重叠部分MPC
的面积为 ．
小学
初中
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【答案】
1
45
2
−
1.44
【分析】根据折叠得出
BCP
B CP
=
，
B
B
= =
，根据平行线的性质得出
ACB
B
=
=
，最后求
出
1
1
45
2
2
PCB
BCB
=
=
−
即可；延长B P
交BC 于点Q，证明PQ
BC
⊥
，根据三角形面积求出
2 2.4
1.2
4
PQ
=
=
，
3 4
2.4
5
AC BC
CM
AB
=
=
=
，证明
(
)
ASA
MCP
QCP
≌
，得出
2.4
CQ
CM
=
=
，最后根
据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】解：根据折叠可知：
BCP
B CP
=
，
B
B
= =
，
∵B P
AC
∥
，
∴
ACB
B
=
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
BCB
=
−
，
∴
1
1
45
2
2
PCB
BCB
=
=
−
；
延长B P
交BC 于点Q，如图所示：
∵B P
AC
∥
，
∴
180
90
B QC
ACB
=
−
=
，
∴PQ
BC
⊥
，
∵
1
2.4
2
BCP
S
BC PQ
=
=
，
∴
2 2.4
1.2
4
PQ
=
=
，
∵
ACB
B
B
=
= ，
A
B
=
+
90 ，
∴
90
ACB
A
+=
，
∴
90
CMP
A
ACB
= +
=
，
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∴CM
AB
⊥
，
∴
1
1
2
2
ACB
S
AC BC
AB CM
=
=
，
∴
3 4
2.4
5
AC BC
CM
AB
=
=
=
，
∵
MCP
QCP
=
，CP
CP
=
，
90
CMP
CQP
=
=
，
∴
(
)
ASA
MCP
QCP
≌
，
∴
2.4
CQ
CM
=
=
，
∴
1
1
2.4 1.2
1.44
2
2
CMP
PCQ
S
S
CQ PQ
=
=
=
=
．
故答案为：
1
45
2
−
；1.44．
12．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点
, ,
A B C
均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的A B C
．
(2)直接写出A B C
的面积为___________．
【答案】(1)见解析
(2) 7
2
【分析】（1）根据对称的垂直等距性质，画图即可．
（2）利用分割法表示面积计算即可．
本题考查了对称作图，分割法表示面积，熟练掌握作图是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
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90 /
则A B C
即为所求．
（2）解：根据题意，得
A B C
的面积为：
1
1
1
7
2 4
1 4
3 1
2 1
2
2
2
2
−
−
−
=
．
故答案为：7
2 ．
13．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P 是
AOB
外的一点，点E 与点P 关于OA对称，点F
与点P 关于OB 对称，连接FE并延长分别交OA、OB 于C、D 两点，连接PC 、PD、PE、PF ．若
20
OCP
F
=
=
，求
CPD
的度数．
【答案】100
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根
据轴对称的性质得出
20 ,
20
OCE
OCP
DPF
F
=
=
=
=
，根据三角形内角和定理求出
180
120
CPF
F
PCF
=
−−
=
，即可得出答案．
【详解】解：∵点E 与点P 关于OA对称，点F 与点P 关于OB 对称，
20
OCP
F
=
=
，
∴
20 ,
20
OCE
OCP
DPF
F
=
=
=
=
，
∴
40 ,
180
120
PCF
CPF
F
PCF
=
=
−
−
=
，
∴
100
CPD
CPF
DPF
=
−
=
．
14．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现
象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，PQ 是将正
方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中点P
Q
，
分别在边AD
CD
，
上．
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(1)折叠正方形纸片ABCD，使得PA，CQ 依次落在直线PQ 上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分
别作出折痕PE，QF （不写作法，保留作图痕迹），其中点E ，F 分别在边BC
AB
，
上．
(2)设PE，QF 的交点为O，请求出
POQ
的度数．
(3)折叠正方形纸片ABCD，使得BC 落在直线PQ 上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕MN
（不写作法，保留作图痕迹），其中点M ，N 分别在边AB ，CD上．
【答案】(1)见解析
(2)45
(3)见解析
【分析】本题考查了正方形的折叠问题，尺规作角平分线，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）作
APQ
，
CQP
的角平分线即可．
（2）根据三角形外角的性质得到
270
APQ
CQP
+
=
，再根据角平分线的性质得到
135
OPQ
OQP
+
=
，
即可得到
45
POQ
=
；
（3）延长PQ ，BC 交于T，作
BTP
的角平分线即可．
【详解】（1）解：作
APQ
，
CQP
的角平分线，
如图所示PE、QF 即为所求：
（2）解：如（1）图所示，
∵
APQ
D
DQP
=
+
，
CQP
D
DPQ
=
+
，
∴
180
APQ
CQP
D
DQP
D
DPQ
D
+
=
+
+
+
=
+
，
∵四边形ABCD为正方形，
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∴
90
D
?
? ，
∴
180
270
APQ
CQP
D
+
=
+
=
；
∵PE，QF 分别是
APQ
，
CQP
的角平分线，
∴
(
)
1
1
270
135
2
2
OPQ
OQP
APQ
CQP
+
=
+
=
=
，
∴
8
13
4
1 0
180
5
5
OPQ
O
PO
QP
Q
−
=
=
=
−
−
；
（3）解：延长PQ ，BC 交于T，作
BTP
的角平分线，
如图所示MN 即为所求：
15．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）图1、图2、图3 均是4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点，△ABC 的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1）
(1)在图1 中，将
ABC
平移到DEF
，使点A 与点D 对应；
(2)在图2 中，作出一个与
ABC
关于直线BC 成轴对称的格点三角形BCG
；
(3)在图3 中，作出四边形ABCH ，使四边形ABCH 为轴对称图形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图；
（1）将
ABC
向右平移2 ，再向下平移1，作出图形，即可求解；
（2）利用轴对称的性质，作出A 关于直线BC 的对称点，即可求解；
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（3）以直线AC 为对称轴，作出B 关于直线AC 的对称点，即可求解；
掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
DEF
为所求作图形；
（2）解：如图，
BCG
为所求作图形；
（3）解：如图，
四边形ABCH 为所求作图形．
16．（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）长方形纸片ABCD的一角任意折向长方形内，使点B 落在点B的
位置，折痕为EF ，G 为边CD上一点，再把CEG
折叠，使点C 落在点C的位置，折痕为GE ．
(1)如图1，当折叠得到的B EF
与C EG
没有重叠部分时．
①若
35 ,
20
BEF
CEG
=
=
，则
B EC
= _______；
②若
64
B EC
=
，求
FEG
的度数．
(2)如图2，当折叠得到的B EF
与C EG
有重叠部分时，试猜想
B EC
与
FEG
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①70；②122
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94 /
(2)2
180
FEG
B EC
+
=
，理由见解析
【分析】本题考查折叠的性质，角度间的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）①根据折叠的性质可得
35 ,
20
BEF
B EF
CEG
C EG
=
=
=
=
，进而求出
70 ,
40
BEB
CEC
=
=
，再根据
180
BEB
CEC
B EC
+
+
=
即可求解；②同理①得
116
BEB
CEC
+
=
，再根据
(
)
1
180
180
2
FEG
BEF
CEG
BEB
CEC
=
−
−
=
−
+
即可求解；
（2）由折叠的性质可得
,
BEF
B EF
CEG
C EG
=
=
，根据题意可得
FEG
B EF
C EG
B EC
=
+
−
，
再根据
180
BEF
CEG
FEG
+
=
−
，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵
35 ,
20
BEF
CEG
=
=
，
由折叠的性质可得
35 ,
20
BEF
B EF
CEG
C EG
=
=
=
=
，
∴
70 ,
40
BEB
CEC
=
=
，
∵
180
BEB
CEC
B EC
+
+
=
，
∴
180
70
B EC
BEB
CEC
=
−
−
=
；
②同理①得
180
116
BEB
CEC
B EC
+
=
−
=
，
∵
1
1
,
2
2
BEF
B EF
BEB
CEG
C EG
CEC
=
=
=
=
，
∴
(
)
1
180
180
122
2
FEG
BEF
CEG
BEB
CEC
=
−
−
=
−
+
=
；
（2）解：2
180
FEG
B EC
+
=
，理由如下：
由折叠的性质可得
,
BEF
B EF
CEG
C EG
=
=
，
∵
FEG
B EF
B EG
B EF
C EG
B EC
=
+
=
+
−
，
180
BEF
CEG
FEG
+
=
−
，
∴
180
FEG
FEG
B EC
=
−
−
，
∴2
180
FEG
B EC
+
=
．
17．（24-25 七年级下·辽宁葫芦岛·期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AF 平分
DAC
交BC 的延长线
于点F ，
CAF
CFA
=
．
求证：AD
BC
∥
．
（2）在四边形ABCD中，点E 为CD边上的一点，连接AE ，沿AE 折叠三角形ADE ，得到三角形AEF ．
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①如图2，当点F 落在BC 的延长线上时，且AD
BC
∥
，EF
BF
⊥
，若
50
D
=
，求
DAE
的度数；
②如图3，当点F 落在射线BC 的下方时，求证：(
)
2
180
D
DAE
CEF
+
+
=
．
【答案】（1）见解析；（2）①20°；②见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，折叠的性质，过拐点作平行线是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义和平行线的判定证明即可；
（2）①利用折叠的性质，结合平行线的性质求解即可；
②过点F 作FG
AD
∥
，过点E 作EH
AD
∥
，利用折叠的性质先证
DAF
AFG
=
，再根据平行线的判定和
性质证
=2
2
DEF
D
DAE
+
，最后根据邻补角的性质即可得证．
【详解】（1）证明：
AF
平分
DAC
，
DAF
CAF
=
，
又
CAF
CFA
=
，
DAF
CFA
=
，
AD
BC
∥
．
（2）①解：沿AE 折叠三角形ADE ，得到三角形AEF ，
50
D
AFE
=
=
，
1
2
DAE
FAE
DAF
=
=
，
AD
BC
，
DAF
AFC
=
，
EF
BF
⊥
，
90
CFE
=
，
90
AFE
AFC
+
=
，
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50
90
AFC
+
=
，
40
AFC
=
，
40
DAF
=
，
20
DAE
=
∠
②证明：过点F 作FG
AD
∥
，过点E 作EH
AD
∥
，
∴AD
EH
FG
∥
∥
，
∴
D
DEH
=
，
EFG
FEH
=
，
DAF
AFG
=
，
∵沿AE 折叠三角形ADE ，得到三角形AEF ，
∴
D
AFE
=
，
2
2
DAF
DAE
FAE
=
=
，
∴
2
EFG
AFE
AFG
D
DAF
D
DAE
=
+
=
+
=
+
，
∴
=
2
2
2
DEF
DEH
FEH
D
EFG
D
D
DAE
D
DAE
=
+
=
+
+
+
=
+
，
又
180
DEF
CEF
+
=
，
∴2
2
180
D
DAE
CEF
+
+
=
，
(
)
2
180
D
DAE
CEF
+
+
=
．
