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2.2 等腰三角形+2.3 等腰三角形的性质定理
课标要点
1.理解等腰、等边三角形相关概念，分清腰、底边、顶角、底角，能够准确识别图形，辨
析两类三角形之间的包含关系。
2.掌握 “等边对等角” 性质，能利用定理进行角度计算，规范写出推理过程，初步建立
几何等量转化思维。
3.理解等腰三角形 “三线合一” 定理，明确适用条件，分清三线指代，能借助定理寻找
相等线段与垂直关系。
4.掌握等边三角形各项性质，知晓三角均相等且为 60°，厘清等边三角形与等腰三角形
性质的联系与区别。
5.通过观察、猜想、证明探究性质，提升识图与逻辑推理能力，学会运用性质解决基础计
算与简单证明题型。
学习重难点
重点：
1.掌握等边对等角，熟练运用定理求解等腰三角形相关角度问题。
2.理解并正确运用等腰三角形三线合一的性质定理解题。
3.熟记等边三角形性质，理清等腰与等边三角形性质关联。
难点：
1.正确把握三线合一适用前提，杜绝不分条件盲目套用结论。
2.等腰三角形边角问题合理分类讨论，避免解题出现漏解。
3.综合运用多个性质定理完成复杂几何推理与证明。
第二章
特殊三角形
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知识点一 等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫
做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B、
∠C 是底角．
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即学即练
．．．．
1．如图，在方格纸上，A，B 是格点，网格中存在格点C 使得
是以
为顶角的等腰三角形，这
样的格点C 的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4 倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4 倍边等腰
三角形”.如果一个等腰三角形是“4 倍边等腰三角形”，且周长为
，那么该等腰三角形的底边长为
________________
.
知识点二 尺规作等腰三角形
等腰三角形的作法
已知线段a,b( 如图). 用直尺和圆规作等腰三角形ABC, 使
AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；
特别提醒
等腰三角形指有两条边相等的三角形，相等两边为腰，另一边是底边，两腰夹角为顶角，腰与底边
夹角是底角。注意等边三角形属于特殊等腰三角形，不可二者并列。解题留意分类讨论：未指明边长是
腰还是底边、角度为顶角或底角时，要分情况验证三边能否构成三角形。区分 “等边对等角” 只适用
于同一三角形，牢记三线合一针对底边上中线、高与顶角平分线，不可随意套用在腰上。
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2.分别以B,C 为圆心，以b 为半径画弧， 两弧相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC 为所求作的等腰三角形.
即学即练
．．．．
3．已知：
中，边
上一点D．
求作：等腰
，使
为等腰
的底边，且点P 到
、
两边的距离相等．（保留作图痕迹，
不必写作法）
4．已知：如图，点
在
的边
上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答
下列问题．
(1)填空：由作图可知，射线
是
的______；
(2)以点
为圆心、
长为半径画弧，交射线
于点
，连接
，试判断
与
的位置关系并说
明理由．
知识点三 等腰三角形的性质
1、等腰三角形
特别提醒
垂直平分线不要漏画两弧上下交点；
不要直接徒手画垂线、相等线段，严格使用直尺圆规；
看清要求：是否需要作出对称轴。
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（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫
做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）性质
①两腰相等
②两底角相等（简称等边对等角）
③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）
④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。
证明题目中的写法：
①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD
2.等腰三角形的构造
（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形
①如下左图所示，OP 评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD 是等腰三角形
②如下右图所示，OP 评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD 是等腰三角形
（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形
如下左图所示，已知AD 是∠BAC 的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形
（3）“角平分线+中线”构造等腰三角形
如下中图所示，已知AD 是∠BAC 的平分线，D 是BC 中点，则△ABC 是等腰三角形
（4）“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示
(5)“平行+等腰”构造等腰三角形
已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线
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即学即练
．．．．
5．如图，把三角形纸片
分别沿
，
所在直线折叠，使得点
都与点
重合，若
，则
的度数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．如图，四边形
中，
，对角线
平分
，
，
，则
______ ．
知识点四 等边三角形的性质
等边三角形
（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。
特别提醒
运用等腰三角形性质解题时，最易出错的是滥用“三线合一”，该性质仅适用于顶角平分线、底边
上的中线和高，不能用于腰上的线段。未明确已知角、已知边类型时，必须分类讨论，区分顶角与底角、
腰与底边，舍去不符合三角形三边关系的情况。牢记等边对等角仅限同一个三角形，不可跨三角形套用。
同时注意等边三角形具备等腰三角形所有性质，做题切勿遗漏特殊情况，避免因思维片面导致答案不全
或解题错误。
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（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°
总结：
即学即练
．．．．
7．如图，已知
，
是
内部的一个定点，且
，点
、
分别是
、
上的动
点，则
周长的最小值等于____．
8．如图，C 为线段
上一动点（点C 不与点A，E 重合），在
同侧分别作等边三角形
和等边三
角形
，
与
交于点O．
(1)求证：
；
(2)求
．
图形
等腰三角形
等边三角形
性
质
两条边都相等
三条边都相等
两个角都相等
三个角都相等，且都是60º
底边上的中线、高和顶角的平分线互相
重合
每一边上的中线、高和这一边所对的角的
平分线互相重合
对称轴（1 条）
对称轴（3 条）
特别提醒
等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的全部性质，做题不可将二者割裂看待。等边三
角形三边相等、三个内角均为60°，任意一角均可作为顶角，任意边上的中线、高、角平分线都满足三
线合一，切勿局限单一底边。判定时注意区分条件，避免仅凭两角相等误判等边三角形。解题时不要忽
略其轴对称性，同时需分清等腰与等边性质差异，避免乱用普通等腰三角形的分类讨论方法造成多余解
题失误。
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题型01 等腰三角形的定义与求解
典｜例｜精｜析
1．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰
长相等且有一个角是
的两个等腰三角形全等；④等腰三角形的对称轴是底边中线；其中说法正确的有
（ ）个．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变｜式｜巩｜固
2．已知等腰三角形的三边长分别为
，
，
，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．5
B．5 或
C．
或14
D．5 或
或14
3．如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是
，那么这个三角形的周长是___
；如果一
个等腰三角形中，有一个角是
，那么这个三角形的顶角是_____°．
4．已知等腰三角形周长为25．
(1)若一边长为9，则另两边长分别为 ．
(2)若一边长为1，则另两边长分别为 ．
题型02 尺规作等腰三角形
典｜例｜精｜析
5．在
中，
，用尺规在
边上找一点
，仔细观察、分析，能使
成立的作
图是（ ）
解题贴士
尺规作等腰三角形需严格保留圆弧、虚线等作图痕迹，禁止徒手描线。利用垂直平分线作图时，依据三
线合一确定顶点位置，保证图形对称。分清已知条件是腰、底边还是高，找准对应作图步骤。作图完成
必须写结论，同时检验边长关系，避免出现无法构成三角形的错误。
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A．
B．
C．
D．
变｜式｜巩｜固
6．如图，已知直线
，线段
分别与直线m，n 相交于点
、点
，以点
为圆心，
的长为半径
画弧交直线
于点
、点
．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在
中，
，点
在边
上．请用尺规作图法，在
内求作一点
，使
．（保留作图痕迹，不写作法）
8．如图
中，
，
，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线
上找一点
，
使
为等腰三角形，并求
的度数．
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题型03 等边对等角
典｜例｜精｜析
9．如图，在
中，
，D 在
延长线上，
，则
________ ．
变｜式｜巩｜固
10．如图，在
中，
，
于点D，E 为
上一点，且
，连接
．若
，求
的度数．
11．如图，在
中，
，点D，E 在
上，
．
(1)求证：
；
(2)尺规作图：在
上作一点F，使得
．（保留作图痕迹，不要求写作法）
12．如图，在
中，
是边
上的一点，且
．
解题贴士
运用等边对等角时，前提必须在同一个三角形内，不可跨三角形使用。相等的两条边所对的角才相等，
注意找准边角对应关系。题目没有指明边是腰时，需要分类讨论，求出角度后验证内角和。切勿凭直观
判定等角，严格依据定理推理，防止出现边角匹配错误。
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(1)求证：
；
(2)求
的大小．
题型04 三线合一
典｜例｜精｜析
13．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再
从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不
是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形的“三线合一”
变｜式｜巩｜固
14．如图，在等腰
中，
，
于点
，
，则点
到
所在直线的距离是
（ ）
解题贴士
使用三线合一务必看清适用条件，只针对等腰三角形顶角平分线、底边上的高与底边上的中线。不适用
于腰上的高线、中线与角平分线，不可随意套用。解题先明确底边与顶角，找准对应线段。不能直接逆
推证明等腰三角形，书写推理过程规范，避免不加条件滥用定理。
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A．
B．
C．
D．
15．浏水月夜民宿用等腰
形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使
，并用
连接
和加固支架．已知
是
边的中点，且
，则
________．
16．如图，在
中，
的垂直平分线
交
于点E，交
于点F，
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
的度数．
题型05 利用等腰三角形的性质求角度
典｜例｜精｜析
17．如图，等腰
中，
，
，线段
的垂直平分线交
于
，交
于
，连接
，则
( )
A．
B．
C．
D．
变｜式｜巩｜固
18．如图，在
中，
，点D，E 分别在
，
上，将
沿直线
折叠，点A 的对应
点恰好是点B．若
，则
的大小是（ ）
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A．
B．
C．
D．
19．如图，在
中，
，点
分别在边
上，且满足
，
，则
______．
20．如图，在
中，
，D、E 为边
上的两点，且
，
，
是等边三角形．
(1)求证：
；
(2)求
的度数．
题型06 利用等腰三角形的性质求长度
典｜例｜精｜析
21．如图，在等边三角形
中，
，D 是边
上一点，且
，则
的长为（ ）
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A．1
B．
C．2
D．3
变｜式｜巩｜固
22．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰
的周长为
，
其中一边长为
，则它的“和谐比”为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
23．如图，
，
的垂直平分线
交
于点D．
(1)若
，求
的度数；
(2)若
，
，求
的周长．
24．如图，
，
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若点F 在
的延长线上，求证：
平分
；
(3)若
，
，直接写出
的长度为______________．
题型07 根据等腰三角形的性质证明
典｜例｜精｜析
25．如图，在
中，
．
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(1)求作
边的垂直平分线
，交
于点
，交
于点
，连接
．（要求：尺规作图，不写作
法，保留作痕迹）
(2)若
，求
的度数，请根据以下的思路完成下列填空．
解：
，
______（等边对等角），
又
是
的垂直平分线，
______（垂直平分线的性质），
，
，
______（等量代换）．
．
，
．
（三角形的内角和为
）．
______．
由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的垂直平分线交另一腰于一点，当此点
与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征
的等腰三角形为“黄金三角形”．
变｜式｜巩｜固
26．下面是小明设计的尺规作图过程：
已知：如图，
．
求作：
，使点D 在
上，且
．
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作法：①分别以点A 和点B 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点；
②作直线
，交
于点D；
③连接
．
所以
为所求
据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接
．
∵
，
∴点M，N 均在线段
的垂直平分线上．
即：直线
是线段
的垂直平分线．
∵点D 在直线
上，
∴
_____（_______________________________________）（填推理的依据)．
∴
（__________________________________）（填推理的依据)．
∵
，
∴
．
27．在
中，
是中线．
(1)如图1，若
，
，求
的取值范围；
(2)如图2，
是
的中线，若
，求证：
．
28．如图，在
中，
．
(1)作出边
，
的垂直平分线
，
，并分别与边
交于点
，
．（要求：尺规作图，保留作图痕
迹，不写作法，标明字母）
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(2)连接
，
．
①若
，则
的周长为______．
②若
，求
的度数．
题型08 等边三角形的性质
典｜例｜精｜析
29．如图，点
、
分别是等边
边
、
上的点，已知
，连接
、
交于点
．则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变｜式｜巩｜固
30．如图，已知
为等边三角形，点D，E 分别在边
，
上，且
，若
交
于点F，
则
的大小为___________度．
31．如图，已知：
与
都是等边三角形，点B、C、D 在一直线上，连接
．
(1)求证：
；
(2)若
，求证：
．
32．综合与探究
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问题情境：
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，
存在一对全等三角形．
【模型呈现】
(1)如图1，
与
都是等腰三角形，其中
，
，
，则
，即
，所以
，以上判定全等的依据是 ．
A．
B．
C．
D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，
、
是等腰直角三角形，
，
，
，连接
、
，试探究
、
的数量关系与位置关系，并说明理由．
【模型深化】
(3)如图3，已知
、
、
三点共线，分别以
、
为边向外作等边
和等边
（三边都相
等，三个内角都相等），
、
交于点
，请直接写出
的度数为 ．
题型09 利用等边三角形的性质证明
典｜例｜精｜析
33．如图，在
中，
，
，
于点
，且
，
，
分别是边
，
上的点，且
．
(1)求证：
是等边三角形；
(2)若
，
，求
的长．
变｜式｜巩｜固
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34．在
中，
，
平分
，
平分
，过O 点作
，使
，且
．
(1)图中有几个等边三角形？
(2)若
，你能求出
的周长吗？
(3)你还能求出
的周长吗？
35．如图，
是等边三角形，
是
的中点，
，垂足为
，
是由
沿
方向平移得
到的，连接
，已知
过点
，
交
于点
．
(1)求
的度数；
(2)若
，求
的长度；
(3)求证：
是等边三角形．
36．如图，在四边形
中，
，
是
的中点，连接
，
，且
，
．
(1)求证：
平分
；
(2)若
，判断
的形状，并说明理由．
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题型10 等腰（等边）三角形的存在性问题
典｜例｜精｜析
37．
为等边三角形，点E 在边
上，在射线
上取点D，使
，连接
并延长交射线
于点F，从下列①②两问中选择一个解答．
①是否存在点E，使得
?若存在，求
的度数；若不存在，说明理由．
②判断
是否成立，并说明理由．
变｜式｜巩｜固
38．如图，在
中，
，
，
，点
为
边上的中点，连接
；
点
从点
出发，以每秒2 个单位长度向点
运动，同时点
从点
出发，以同样的速度向点
运动，当
一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接
，
，
，设运动时间为．
(1)求
的大小；
(2)当
是以
为腰的等腰三角形时，求的值．
(3)在
点的运动过程中，
的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存
在最小值，请说明理由．
39．如图，在平面直角坐标系中，长方形
的
点坐标为
，边
在
轴上，边
在
轴上，
点
从
运动，速度为1 单位长度/秒，到达
点停止运动．
解题贴士
解决等腰、等边三角形存在性问题，优先分类讨论等腰三角形三边谁为底边。结合距离相等条件列出情
况，逐一画图分析。求出边长后检验三边能否构成三角形，及时舍去不合理解。等边三角形只需满足三
边相等，注意区分动点位置，防止漏解、多解，规范梳理所有可能性。
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(1)当
在
上运动时，直线
能否将长方形
的面积分为
两部分，若能，求点
的坐标，若不
能，请说明理由；
(2)经过多长时间，
的面积等于长方形
面积的
？并求此时点
的坐标．
(3)是否存在点
，使以点
、点
、点O 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点
的坐标；若
不存在，请说明理由．
40．如图1，以
的两边
，
为边向外作等边三角形
，
，连接
，
．
(1)求证：
；
(2)如图2，
与
交于点
，连接
，探究
的大小；
(3)如图3，若
，
，
，
，射线
上是否存在一点
，使
也是等边三角
形，若存在，试探究
满足的条件；若不存在，请说明理由．
题型11 等腰三角形的旋转问题
典｜例｜精｜析
41．已知，如图，
和
是两个等边三角形，
可以绕点A 旋转，连接
并延长交
于点
G，F 为
延长线上一点，连接
，连接
并延长交
于点H，若点H 为
中点，
时，此时
______．
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变｜式｜巩｜固
42．如图，
和
都是等边三角形，
旋转后能与
重合，
与
相交于点F．
(1)试说明
．
(2)求
的度数．
43．如图，在
中，
于
，
，
是
上的一点，且
，连接
，
．
(1)求证：
；
(2)如图
，若将
绕点
旋转一定的角度后，试判断
与
的位置关系和数量关系，并说明理由；
(3)如图，若将（
）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
试猜想
与
的数量关系，并说明理由；
你能求出
与
的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
44．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，且AD=6，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动
点，则PC 与PE 的和最小是（ ）
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A．3
B．4
C．6
D．8
题型12 等腰三角形的最值问题
典｜例｜精｜析
45．如图，等边
的周长为
，
为
边上的中线，动点
，
分别在线段
，
上运动，
连接
，
，当
的长为__________
时，线段
的和最小．
变｜式｜巩｜固
46．教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第
页《问题解决策略：转化》的部分内容．课
本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种
重要策略．
【模型一】两定一动异侧求线段和最小
如图1，在直线的两侧分别有
，
两点，在直线上确定一个点
，使得
最短．
问题解决：
小明的思考过程如下：如图1，连接
，
两点，交直线于点
，此时
，
，
共线，即
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．
在直线上另取任一点
，连接
，
，在
中可知，
综上所述：
．故，当
，
，
共线时，即
【模型二】两定一动同侧求线段和最小
如图
，在直线的同侧分别有
，
两点，在直线上确定一个点
，使得
最短．
（问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点
关于直线轴的对
称点
，连接
，交于点
，由轴对称可知
，则
【应用】
(1)如图3，在等边
中，
，
，
是
的中点，
是
上的一点，求
的
最小值；
【拓展】两动一定三角形周长最小
(2)如图4，在四边形
中，
，
，在
，
上分别找一点
、
，当
周长最小时，求
的值．
47．如图，
中，
，以
为边在
外作等边三角形
，过点
作
的垂线，垂
足为
，与
相交于点
，连接
．．
(1)说明：
；
(2)若
是直线
上的一点，则当
在何处时，
最小，并求出此时
的
值．
48．如图，在
中，
，
的垂直平分线与
，
分别相交于点E，D，连接
．
(1)若
，则
的度数为______；
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(2)若
，
的周长为14．
①求
的长；
②在直线
上是否存在点P，使得
的值最小？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说
明理由．
题型13 等腰三角形的新定义问题
典｜例｜精｜析
49．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条
角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD 平分∠ABC，其中BD 是“优美线”的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变｜式｜巩｜固
50．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰
是
“倍长三角形”，腰
的长为6，则
的周长为______．
51．定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰
△ABC 中，若
，则它的特征值k＝_____．
52．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，
这就是特殊化策略．
【定义】如果一个三角形的一条角平分线和一条中线互相垂直，则称它们的交点为中垂点，该三角形为中
垂三角形，这条角平分线平分的内角为中垂角．
为了更好的研究中垂三角形的一般性质，请利用特殊化策略进行探究．
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【特殊图形】
(1)从下列特殊的三角形切入研究，根据定义，是中垂三角形的有________．
①等边三角形；②顶角为
的等腰三角形；③三边长分别为4，4，2 的等腰三角形．
【一般性质】
(2)勤思组在上述特殊的三角形中探究发现，中垂三角形的边满足特定的数量关系．如图1，在
中，
平分
交
于点
，
为
的中线，
与
交于点
，若
，则
为中垂三
角形，此时
的边
和
满足怎样的数量关系？请你写出来并说明理由．
【拓展应用】
(3)如图2，线段
的长度为
，在射线
上取一点
，使
是以
为中垂角的中垂三角形，作
平分
交
于点
，中垂点为点
，若
的面积为3，请你画出符合题意的图形（不限作图
工具），在图上标注
的长度（用含
的式子表示），并直接写出
的面积．
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基础通关
1．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．1，2，1
C．2，2，3
D．2，5，2
2．（24-25 八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为
的木条截成三段，围成一个等腰
三角形支架，若第一段木条的长为
，则第二段木条的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在
中，以A 为圆心，
长为半径画弧交
于点
E，以点E 为圆心，
长为半径画弧交
于点D，若
，
，则
的度数为（ ）度
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线
，点
分别在直线和
上，以点
为圆心，
长为半径画弧，交于点
，连接
．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知
、
是等腰
的两边且
，则
的周长是________．
6．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，
，为了方便灌溉，从顶点A 修了一条与底边
垂直的水渠
， 已知
， 则
_______m．
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7．（25-26 八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在
中，
，
是
上的高，
，
，则
的度数为______．
8．（24-25 八年级下·陕西渭南·期中）如图，在
中，
，D 为
的中点，连接
，
延长
至点E，使
，连接
，
，则
的大小为______ ．
9．（25-26 九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，已知在锐角
中，点
在
上，
，在线段
上找一点
，使得
，甲、乙两人分别给出了正确的作
法：
甲：作
的垂直平分线交
于点
，则
即为所求；
乙：以
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
（异于
点），则
即为所求．
请从以上作法中选择一种，作图并证明．
10．（2022·浙江温州·三模）如图，在
中，点
在
上，点
在
外，连结
，
，
，
交
于点
，
，
，
．
(1)求证：
．
(2)若
，
，求
的度数．
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素养提升
11．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）如图，在
中，
，
，点
是边
上一
点，
，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·湖北武汉·二模）如图，在
中，
，点D，E 分别在
，
上，将
沿
直线
折叠，点A 的对应点恰好是点B．若
，则
的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·浙江绍兴·二模）如图，
和
都是等边三角形，
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 八年级下·山东青岛·期中）如图，等腰
中，
，
，点
、
、
、
在同一直线上，且
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在
中，点
在
的垂直平分线上，
，若
，则
的度数为_____．
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16．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在
中，已知
，
的角平分线
交
于点
，
交
于点
．若
，则
的度数为____________．
17．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，
是等边三角形，在
中，
，连接
交
于点E，则
的度数为___．
18．（25-26 八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在
中，
，
，已知
的顶点P 是线段
上一点，
经过顶点C，
与
交于点D，
，设
与
的夹角为
（
）．
（1）若
，则
的度数为_______；
（2）当
是等腰三角形时，
的度数为______．
19．（25-26 八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，
中，
的垂直平分线分别交
、
于点
E、F，且
，作
交
于点D．
(1)若
，求∠
的度数．
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(2)若
，
的周长为
，求
的长．
20．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图1，
和
均为等边三角形，点E 在
内，连
接
，
．
(1)证明：
；
(2)如图2，若点B、E、D 恰好在同一条直线上，且
，
的面积为1，求
的面积．
迁移创新
21．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，点
是
内一点，连接
，
，
，且满足
．若
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边
中，点
，
分别为边
，
上的点，
在
上取点
，在
上取点
，使
，
，连结
，
并交于点
．若
，且四
边形
的周长比四边形
的周长大7，则
的长为_____________．
23．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知
，在边
上顺次取点
，在
边
上顺次取点
，使得
，得到等腰
小学
初中
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（1）若
，可以得到的最后一个等腰三角形是_________．
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是
，则
的度数
的取值范围是
_________．
24．（25-26 八年级上·浙江衢州·期中）浙教版八年级配套资料《数学作业本2》
有这样一道题：
7．如图，在
中，
．你能把这个三角形分成两个等
腰三角形吗？．．．．．．
(1)请根据题意，在图1 中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数．
(2)小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答：
【问题一】如图2，
中，
，请设计一个方案把
分割成两个小
三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等
腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上）
【问题二】如果有一个内角为
的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与
原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可
能的值为___________．
25．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要
关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据．基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同
学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运
用．
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(1)【观察猜想】
如图1，
和
均为等边三角形，点A、D、E 在同一直线上，连接
．
①
的度数为______；
②线段
、
之间的数量关系为______．
(2)【拓展探究】
如图2，
和
均为等腰直角三角形，
，点A、D、E 在同一直线上，
为
中
边上的高，连接
．请写出线段
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
(3)【解决问题】
在
中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，请求出点C 到
的距离．
