文档内容
专题 09 等腰三角形与等边三角形
考点一 等腰三角形的定义 考点二 根据等边对等角求角度
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解 考点四 等腰三角形的性质与判定
考点五 等边三角形的性质与判定
考点一 等腰三角形的定义
例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．7或8
【答案】D
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三
角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，
分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰 ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40° B．55° △ C．65° D．70°
【答案】C
【解析】【分析】
根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：当∠A＝70°为顶角时，则两底角为： ；
当∠A＝70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°
∴∠C的度数不可能是65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分
类讨论是解题关键．
2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ ）
A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解．
【详解】
解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2，
此时另两边长分别为4，2； 可以构成三角形，满足题意；
若底边长为4，则腰长为 ，
此时另两边长分别为3，3； 可以构成三角形，满足题意；
综上所述，另两边长分别为4，2或3，3．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
考点二 根据等边对等角求角度
例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在 ABC中，AC＝DC＝DB， ，则 的大小为
（ ） △A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．
【详解】
解：设∠B=x
∵AC=DC=DB
∴∠CAD=∠CDA=2x
∴∠ACB=180°-2x -x=105°
解得x=25°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质，（1）三角形的外角等于与它不
相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180°，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一
隐含的条件．
【变式训练】
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在 中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝
10，则CE的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．5
【答案】D【解析】
【分析】
先由直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10，从而求得
∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，然后由含30度的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=10，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，
∴CE= AE=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形
的性质是解题的关键．
2．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中， ，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，
交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．
【答案】18°
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可求解∠BAD=36°，根据直角三角形的性质可求得∠BAC的度数，进而可求解
∠DAC的度数．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，
∵∠B=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°-36°=54°，
∴∠DAC=54°-36°=18°．
故答案为：18°．
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求解∠BAD，∠BAC的度数是
解题的关键．
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图， 中， ， 于点D， ，若
，则 的度数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作 于点E，可证 ，
即可求出 的度数．
【详解】
解：如图，过点A作 于点E，∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分 ．
∵ ，
∴BD=BE．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，
AE是△BAD的角平分线，DF AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的内角和定理可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 ，且AD平分
，从而可得 ，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得 ，
最后根据等腰三角形的定义即可求解．
【详解】
解： 在 中， ，
，
是 的中线，
，且AD平分 ，
， ，
是 的角平分线，
，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含 的直角三角形性质等知识点，
熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
2．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝ ，AB的垂直平分线交BC于点D．
且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CD DE＝_______．
【答案】
【解析】【分析】
作AF⊥BC于F，证明 BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形
的性质即可求解． △
【详解】
解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在 BDE和 ADF中，
△ △
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC= ，
∴CF= BC= ．
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形
的性质是解题的关键．考点四 等腰三角形的性质与判定
例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，AD BC，∠A＝90°，AD＝BE，
CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)25°
【解析】
【分析】
（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根
据ASA可证明 ABD≌△ECB，可得结论；
（2）由（1）知△BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
∵∠A＝90°，CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠A＝90°，
在 ABD和 ECB中，
△ △
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
∴BD＝CB；
(2)
解：∵BD＝CB，
∴ BCD是等腰三角形，
△∴∠BCD＝∠BDC＝ （180°﹣∠DBC）＝ （180°﹣50°）＝65°，
∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明 ABD≌△ECB是
解题的关键． △
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝
90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACB的度数为22.5°
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论；
（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE （180°
﹣∠CAD） （180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案．
(1)
证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
(2)
解：由（1）知，AC＝CD，
∵∠ACD＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE （180°﹣∠CAD） （180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠ACB的度数为22.5°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证
明△ABC≌△DEC是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与
B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)15，理由见解析
(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析【解析】
【分析】
（1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求
出∠DAE；
（2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝
65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明；
（3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论．
(1)
∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，
∴∠ADC＝70°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，
故答案为：20；
(2)
解：∠BAD＝15°时，△ABD ≌△DCE，理由如下：
在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAE＝65°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝∠DAE＝65°，
∴AD＝DE，
在△ABD中，
∠BAD＋∠ADB＝130°，
∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠CAD＝DE，
∴△ABD≌△DCE；
(3)
能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，
①当DA＝DE时，
∵∠ADE＝50°，
∴∠CAD＝ （180°﹣∠ADE）＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，
②当EA＝ED时，
∴∠DAC＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性
质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在 中， 分别垂直平分 和 ，交 于M、N
两点， 与 相交于点F．
(1)若 的周长为18cm，求 的长；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)AB=18cm；
(2)∠MCN=40°．
【解析】
【分析】
（1）垂直平分线上的点到两端距离相等，则AM=CM，BN=CN，△CMN的周长
=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB
（2）根据三角形的内角和定理，易知∠MNF+∠NMF=110°，对顶角相等则∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF，即可求出∠A+∠B的度数，再根据三角形的内角和求出 即可．
(1)
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
(2)
∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的垂直平分线，通过“垂直平分线上的点到两端距离相等”得到线段和角度之间的
关系是解题的关键．
考点五 等边三角形的性质与判定
例题：（2022·江苏·八年级）如图， 是 上一点，点 ， 分别在 两侧， ，且 ，
．
(1)求证 ；(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质，结合条件可证明 ，即可得出 ；
（2）证明 是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
(1)
证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：
由（1）知， ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ．
∴ 的长为 ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在 ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的
中点，AB=4，则BD=__． △
【答案】2
【解析】
【分析】
根据已知条件证明△ABC是等边三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．
【详解】
解：∵∠BAC=∠B=60°，
∴∠C=∠BAC=∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4，
∵D点为BC的中点，
∴BD=2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定及性质定理，熟记三个角相等的三角形是等边三角形是解题的关键．
2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边 ABC内一点，D是 ABC外的一点，∠AOB＝
110°，∠BOC＝α， BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接△OD． △
△
(1)求证： OCD是等边三角形；
(2)当α＝1△50°时，试判断 AOD的形状，并说明理由；
△(3)探究：当α为多少度时， AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析 △
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的
形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即
可．
(1)
证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)
△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】
题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况
是解题关键．
一、选择题
1．（2022·江西吉安·八年级期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．80°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解： 等腰三角形的顶角 ，
每个底角 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）如图，点D在 ABC的边AC上，且AD=BD=CD．若
△∠A=40°，则∠C=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．45°
【答案】B
【分析】根据∠ABD=∠A，∠C=∠DBC，由三角形的内角和定理求出∠C即可解决问题．
【详解】解：∵AD=BD=CD，
∴∠ABD=∠A，∠C=∠DBC，
∵∠A=40°，
∴∠C=（180°-40°×2）÷2=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
3．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）一个等腰三角形的两边长分别为2dm、9dm，则它的周长是
（ ）
A．13dm B．20dm C．13dm或20dm D．无法确定
【答案】B
【分析】题目给出等腰三角形有两边长分别为2dm、9dm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨
论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰长为9dm时，三边为2dm、9dm、9dm，
根据三角形三边关系可知此情况成立，
周长=9+9+2=20（dm）；
当腰长为2dm时，三边为2dm、2dm、9dm，
根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是20dm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于
点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）A．45° B．60° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC＝EC，又由AB＋BC＝BE，易证得
AB＝AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝180°−4∠E＋∠E
＝105°，继而求得答案．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC＝EC，
∴∠CAE＝∠E，
∵AB＋BC＝BE，BC＋EC＝BE，
∴AB＝EC＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝2∠E，
∴∠B＝2∠E，
∴∠BAC＝180°−∠B−∠ACB＝180°−4∠E，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝180°−4∠E＋∠E＝105°，解得：∠E＝25°，
∴∠B＝2∠E＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，准确作出辅助线，
注意数形结合思想的应用是解决问题的关键．
5．（2021·浙江·余姚市舜水中学八年级期中）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC
的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质可以得出 ，得 ， ，可用AAS得
，得出 ，根据边之间的关系即可得EP=1，综上，即可得．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ， ，
故①正确；
在 和 中，
∴ （AAS），
故②正确；
∵ ，
∴只有当 时， ，故③错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
综上，①②④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．
二、填空题
6．（2021·福建·莆田第七中学八年级期中）在 ABC中，∠A＝70°，AB＝AC，则∠B的度数是____．
【答案】55°##55度 △
【分析】根据三角形内角和定理及等腰三角形的两个底角相等解答即可．
【详解】解：
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
又∵∠A=70°，
∴ ，
故答案为：55°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等的性质是解题的
关键．
7．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）已知等腰三角形的一边是5，周长是18，则它的腰长
为___________．
【答案】5或6.5
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，分类讨论，即可判断求解．
【详解】以5为腰，则第三边等于8，因为 ，符合；
以5为底，则腰为6.5，因为 符合．
故答案为：5或6.5
【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形三边长关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，”是关键．
8．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，△ABC中， ， ，CD是
△ABC的中线，过点D作BC的平行线与∠BCD的平分线交于点E，则DE的长度为______．
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半得出CD=
AC，再根据平行线的性质求得∠E=∠ECB，进而求得∠E=∠DCE，从而得出DE的长．
【详解】解：∵∠A=∠B=30°，
∴AC=BC=7，
∵CD是底边AB上的中线，
∴CD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴CD= AC= = ，∵DE BC，
∴∠E=∠ECB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB=∠DCE，
∴∠E=∠DCE，
∴DE=CD= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性
质，平行线的性质，等角对等边的性质，判断出DE=CD是解题的在关键．
9．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，延长DE交于AB于
F，若EF＝2，则DF＝_________．【答案】6
【分析】由 ， 得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质和 ，推出
BE=4，再由∠DBE=∠CDE=30°，推出ED=BE=4，从而求出DF的长度．
【详解】解：∵ ， ，
∴△ABC是等边三角形，
又∵ ，
∴∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°，
∵∠ACB=60°， ，
∴∠CED=∠CDE=30°，
∴∠AEF=30°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BFE=90°，
∵ ，
∴BE=4，
∵∠DBE=∠CDE=30°，
∴ED=BE=4，
∴ ED+EF=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性
质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF是直角三角形．
10．（2022·江西吉安·七年级期末）在 中， ，点P是射线BA上的任意一点，当 为等
腰三角形时， 的度数为______．
【答案】108°或72°或36°
【分析】分三种情况讨论：当 时，推出 ，推出；当 时，推出 ；当 时，推
出 ．
【详解】解：当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ．
综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°．
故答案为：108°或72°或36°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的
三个角都有可能是顶角，分类讨论．
三、解答题
11．（2021·江苏·飞达路中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，AE＝
AF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．
(1)求证：△ABE≌△ACF；
(2)若∠BAE＝30°，求∠ADC的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，从而可以证明结论
成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
（1）
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠AEF+∠AEB=∠AFE+∠AFC=180°，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（AAS）；
（2）
解：∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠CAF=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
，
即 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件．
12．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，在 中， ，DE是AC的垂直平分线．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 的周长是26， ，求 的周长．
【答案】(1)证明见详解；
(2)36
【分析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB= =72°，然后由DE是AC的垂直平分线，
可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对
等边可得CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD=CD=CB=10，由△BCD的周长是26，可得AB=26-10=16，由AB=AC，可得AC=16，
进而得到△ACD的周长=AC+AD+CD=16+10+10 =36．
（1）
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB= =72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）
∵AD=CD=CB=10，△BCD的周长是26，
∴AB=26-10=16，
∵AB=AC，
∴AC=16，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=26+10+10=36．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合
性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
13．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）如图， ABC中，∠A=50°，AB=AC，点D、E分别在边
△AB、AC上，且DE BC．
(1)求证：BD=CE；
(2)围绕A点移动 ADE的位置，使其一边AD落在线段AC上(如图所示)，连接CE、BD并延长相交于M点．
试求∠BMC的度△数；
【答案】(1)见解析
(2)∠BMC=50°．
【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADE=∠AED，推出AD=AE即可解决问题；
（2）证明 BAD≌△CAE（SAS），推出∠ABD=∠ACE，可得∠BAD=∠CMD=50°．
（1） △
证明：如图1中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=EC；
（2）解：如图2中，
根据旋转的特点可得：AD=AE，∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ADB=∠CDM，
∴∠BAD=∠BMC=50°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形解决问题．
14．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，在等边 中，点E在 上，点D在 的延长线上．
(1)如图1， ，求证： ；
(2)如图2，若E为 上异于A、C的任一点， ，（1）中结论是否仍然成立？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质由 得到BE平分 ，则可求出，再由 得到 ，利用外角的性质求出 ，最后
利用等角对等边即可证明 ；
（2）过点E作EF//BD交AB于点F，如图（见详解），根据平行得到同位角相等继而得到 是等边
三角形，利用边角边证明 ，最后根据全等三角形的性质即可证明 ．
（1）
证明：∵ 是等边三角形， ，
∴BE平分 ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵ 是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，
则 ， ，
∴ 是等边三角形．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定以及外角的性质等，
解题的关键是要熟练掌握相关的性质和判定定理，并能够在图中作出适当的辅助线解决问题．
15．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分
别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F．
(1)求证∠CAE=∠ABD；
(2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE；
(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BG=AE+EG，见解析
【分析】（1）根据∠CAE=90°-∠BAE，∠ABD=90°-∠BAE，等量代换即可得证．
（2）作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M，证明 ABD≌△CAM和 EDC≌△EMC即可得证．
（3）延长AE至点N，作EN=EG，先证明 BEG≌△BEN，再△证明AN=BN即可△．
（1） △
证明：∵BD⊥AF，
∴∠BFA=90°，
∵∠CAE+∠BAF=90°，∠ABD+∠BAF=90°
∴∠CAE=∠ABD．
（2）证明：如图，作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M
由①知，∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAM中， ，
△ △
∴△ABD≌△CAM（ASA）
∴BD=AM，
∵∠AEB=∠CEM，
∴∠DEC=∠CEM，
又∵∠ACBA=45°
∴∠MCE=45°
在 EDC和 EMC中，
△ △
，
∴△EDC≌△EMC（ASA）
∴EM=ED，
∵AM=AE+EM，
∴BD=DE+AE．
（3）
证明：如图，延长AE至点N，作EN=EG，
∵∠AEB =∠GEC，∠AEB =∠CEN，
∴∠GEC =∠CEN，
∴∠BEG =∠BEN，
在 BEG和 BEN中，
△ △∴△BEG≌△BEN（SAS），
∴BN=BG，∠GBC =∠NBC，
∵∠GBC =45°－∠ABD，
∴∠ABN =90°－∠ABD，
∵∠BAN =90°－∠CAE，且∠ABD =∠CAE，
∴∠ABN =∠BAN，
∴AN=BN=BG，
∵AN=AE+EN=AE+EG
∴BG=AE+EG．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练
掌握补短法证明线段间的关系是解题的关键．
16．（2021·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线
上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F
在DC左侧或下侧），连接AE、BF
(1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出
结论（不需要证明）；
(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的
数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
【答案】(1)AE+BF＝AB，证明见解析
(2)BF﹣AE＝AB
(3)AE﹣BF＝AB
【分析】（1）AE+BF=AB，可证明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论；
（2）BF-AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论；
（3）AE-BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论．
（1）
AE+BF＝AB，如图1，
∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°．
∴∠ACD＝∠BCF，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴AD＝BF
同理：△CBD≌△CAE（SAS）
∴BD＝AE
∴AE+BF＝BD+AD＝AB；
（2）BF﹣AE＝AB，如图2，
同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD＝BF，BD＝AE，
∴BF﹣AE＝AD﹣BD＝AB；
（3）
AE﹣BF＝AB，如图3，
同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD＝BF，BD＝AE，
∴AE﹣BF＝BD﹣AD＝AB．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用类比思想，在变化中发现不变是解决问题的
关键．
