文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
1 /
2.5 逆命题和逆定理
题型一：写出一个命题的已知、求证及证明过程
1．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为180．要求：根据题意画出图形，结合画出的
图形写出已知和求证，并尝试证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角
集中到同一个顶点，再由平角为180，证明即可．
【详解】解：已知：如图，
ABC
，
求证：
180
A
B
C
++
=
；
证明：过点A 作EF
BC
∥
，如图，
学科网（北京）股份有限公司
2 /
∵EF
BC
∥
，
1,
2
B
C
=
= ，
1
2
180
BAC
+
+=
，
180
A
B
C
++
=
，
三角形内角和180．
2．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内
角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可．
【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和．
已知：
ACD
是
ABC
的一个外角．
求证：
ACD
A
B
= +
．
证明：如图所示，在
ABC
中，
180
A
B
ACB
++
=
，
∵
180
ACB
ACD
+
=
，
∴
ACD
A
B
= +．
3．（24-25 七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
学科网（北京）股份有限公司
3 /
【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
(2)见解析
【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键．
（1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可；
（2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那
么这两条直线互相平行．
（2）已知：如图，a
b
c
，，是同一平面内的三条直线，且a
c
b
c
⊥
⊥
，
．
求证：a
b
．
证明：
a
c
b
c
⊥
⊥
，
．
1
90
2
90
=
=
，
1
2
=．
又
1
和
2
是同位角，
∴a
b
∥．
4．（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图
形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在
ABC
中，_____，BD和CE 是
ABC
的角平分线．
求证：_____．
证明：
【答案】AB
AC
=
，BD
CE
=
，证明见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出
学科网（北京）股份有限公司
4 /
(
)
ASA
DBC
ECB
≌
．由等腰三角形的性质推出
A
ABC
CB
=
∠
，由角平分线的定义得到
DBC
ECB
=
，
判定
(
)
ASA
DBC
ECB
≌
，推出BD
CE
=
．
【详解】解：已知：在
ABC
中，AB
AC
=
，BD和CE 是
ABC
的角平分线．
求证：BD
CE
=
．
证明：
AB
AC
=
，
ABC
ACB
=
，
BD
和CE 是
ABC
的角平分线，
1
2
DBC
ABC
=
，
1
2
BCE
ACB
=
，
DBC
ECB
=
，
在
DBC
△
和ECB
中，
DCB
EBC
BC
BC
DBC
ECB
=
=
=
(
)
ASA
DBC
ECB
≌
，
BD
CE
=
，
∴等腰三角形两底角的平分线相等．
故答案为：AB
AC
=
，BD
CE
=
.
5．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等。根据条件和结论，结合图形，
用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在
ABC
中，______，BD和CE 是
ABC
的角平分线．
求证：______
证明：
【答案】AB
AC
=
，BD
CE
=
，证明见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出
学科网（北京）股份有限公司
5 /
(
)
ASA
DBC
ECB
≌
．由等腰三角形的性质推出
ABC
ACB
=
，由角平分线的定义得到
DBC
ECB
=
，
判定
(
)
ASA
DBC
ECB
≌
，推出BD
CE
=
．
【详解】解：已知：在ABC
中，AB
AC
=
，BD和CE 是ABC
的角平分线．
求证：BD
CE
=
．
证明：
AB
AC
=
，
ABC
ACB
=
，
BD
和CE 是ABC
的角平分线，
1
2
DBC
ABC
=
，
1
2
BCE
ACB
=
，
DBC
ECB
=
，
在DBC
和ECB
中，
DCB
EBC
BC
BC
DBC
ECB
=
=
=
(
)
ASA
DBC
ECB
≌
，
BD
CE
=
，
∴等腰三角形两底角的平分线相等．
6．（24-25 七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F 分别是三角形ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，
给定以下三个条件：①DE
BA
∥
；②
FDE
A
= ；③DF
CA
∥
．请从这三个条件中选择两个作为条件（放
在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并
学科网（北京）股份有限公司
6 /
结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．
【详解】解：（答案不唯一）已知：DE
BA
∥
，DF
CA
∥
，
求证：
FDE
A
= ．
证明：DE
BA
∥
，
FDE
BFD
=
（两直线平行，内错角相等）．
DF
CA
∥
，
A
BFD
=
（两直线平行，同位角相等），
FDE
A
=．
已知：DE
BA
∥
，
FDE
A
= ，
求证：DF
CA
∥
．
证明：DE
BA
∥
，
FDE
BFD
=
（两直线平行，内错角相等）．
FDE
A
= ，
A
BFD
=
（等量代换），
DF
CA
∥
（同位角相等，两直线平行）．
已知：DF
CA
∥
，
FDE
A
= ，
求证：DE
BA
∥
．
证明：DF
CA
∥
，
A
BFD
=
（两直线平行，同位角相等）．
FDE
A
= ，
FDE
BFD
=
（等量代换），
DE
BA
∥
（内错角相等，两直线平行）．
7．（24-25 八年级上·上海·期中）求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等．
（要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明）
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是画出图形构造全等三角形，本题利用“ AAS ”证
学科网（北京）股份有限公司
7 /
明两个三角形全等即可．
【详解】已知：如图，AD是不等边ABC
的中线
求证：B 点和C 点到AD的距离相等．
证明：分别过B 点和C 点作BE
AD
⊥
于E ，CF
AD
⊥
于F ，
∴
90
BED
CFD
=
=
∵AD是不等边ABC
的中线
∴BD
CD
=
，
又∵
BDE
CDF
=
，
∴
(
)
BDE
CDF AAS
≌
∴BE
CF
=
，
∴B 点和C 点到AD的距离相等．
8．（24-25 七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）证明三角形内角和定理（画图并写出已知、求证、证明）
（2）证明全等三角形的对应边上的高一定相等．（画图并写出已知、求证、证明）
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】本题考查证明：
（1）利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为180，证明解题即可．
（2）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：（1）已知：如图，
ABC
为平面内任一三角形，
求证：
180
A
B
C
++
=
证明：过点A 作EF
BC
，如图，
学科网（北京）股份有限公司
8 /
EF
BC
1,
2
B
C
=
=
1
2
180
BAC
+
+=
180
A
B
C
++
=
三角形内角和180．
（2）
已知：如图，ABC
A B C
AD
BC
A D
B C
⊥
⊥
≌
，
，
．
求证：AD
A D
=
．
证明：∵
A
ABC
B C
≌
△
△
，
∴AB
A B
B
B
=
=
，
，
∵AD
BC
A D
B C
⊥
⊥
，
，
∴
90
ADB
A D B
=
=
，
在
ABD
△
和
A B D
△
中，
ADB
A D B
B
B
AB
A B
=
=
=
，
∴
AAS
ABD
A B D
≌
（
），
∴AD
A D
=
．
9．（23-24 七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数
学问题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行．
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直．
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
学科网（北京）股份有限公司
9 /
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题…
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，
并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明．
下面请你一起完成数学老师所说的任务．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判
断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的
命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得1
2
= ，
2
3
=
，从而可得1
3
= ，再根据平行线
的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得．
【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题．
已知：如图1，a
b
，b
c
，
求证：a
c
，
证明：作直线m 分别于直线a 、b 、c 相交，
∵a
b
（已知），
∴1
2
= （两直线平行，同位角相等），
∵b
c
（已知），
∴
2
3
=
（两直线平行，同位角相等），
∴1
3
= （等量代换），
∴a
c
（同位角相等，两直线平行）．
命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，
如图2，b
a
⊥
，c
a
⊥
，而b
c
．
学科网（北京）股份有限公司
10 /
题型二：已知证明过程填写理论依据
1．（23-24 七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，EF
BC
⊥
，AD
BC
⊥
，1
2
= ，试说明DG
BA
∥
．
解：∵EF
BC
⊥
，AD
BC
⊥
，（已知），
∴
90
BFE
BDA
=
=
（垂直的定义），
∴EF
AD
（____________）．
∴
2
3
=
（____________）．
∵1
2
= （已知），
∴____________（等量代换）．
∴DG AB
∥
（____________）．
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵EF
BC
⊥
，AD
BC
⊥
（已知），
∴
90
BFE
BDA
=
=
（垂直的定义），
∴EF
AD
∥
（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴
2
3
=
（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵1
2
=
（已知），
∴1
3
= （等量代换），
∴DG AB
∥
（ 内错角相等，两直线平行 ）．
学科网（北京）股份有限公司
11 /
2．（23-24 七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，已知AB CE
，
A
E
=，试说明：
CGD
FHB
=
，
解：∵AB CE
（已知）
A
ADC
=
（______）
A
E
=
（已知）
E
ADC
=
（______）
AD
EF
∥
（______）
CGD
GHE
=
（______）
FHB
GHE
=
（______）
CGD
FHB
=
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵AB CE
（已知），
A
ADC
=
（两直线平行，内错角相等），
A
E
=
（已知），
E
ADC
=
（等量代换），
AD
EF
∥
（同位角相等，两直线平行），
CGD
GHE
=
（两直线平行，同位角相等），
FHB
GHE
=
（对顶角相等），
CGD
FHB
=
．
3．（24-25 七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
学科网（北京）股份有限公司
12 /
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴AB∥CD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（ ）．
∴AB∥EF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角
互补；平角的定义；等量代换
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴AB∥EF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
题型三：判断命题的真假
1．（24-25 七年级下·江苏无锡·期末）关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是( )
A．原命题是真命题，逆命题是假命题
学科网（北京）股份有限公司
13 /
B．原命题是假命题，逆命题是真命题
C．原命题和逆命题都是真命题
D．原命题和逆命题都是假命题
【答案】A
【分析】本题考查了逆命题，判断真假命题；原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题为“相等的角是对顶
角”，需判断逆命题的真假．
【详解】解：对顶角的定义是两条直线相交形成的角中，互为反向延长线的两个角．根据几何基本定理，
对顶角一定相等，因此原命题是真命题．
逆命题为“如果两个角相等，那么它们是对顶角”， 原命题的逆命题是假命题．
故选：A．
2．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（ ）
①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立
A．①和②都正确
B．①和②都不正确
C．只有①不正确
D．只有②不正确
【答案】D
【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构．
根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可．
【详解】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，
∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，
∴①正确，
∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，
∴②不正确，
∴只有②不正确，
故选：D ．
3．（24-25 八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果|
| |
|
a
b
=
，那
么a
b
=
．则下列判断正确的是（ ）
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题
C．命题甲的逆命题是真命题
D．命题乙的逆命题是假命题
【答案】B
【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系
学科网（北京）股份有限公司
14 /
是解题的关键．
【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”．
逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A 错误．
由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C 错误．
命题乙：例如，
1
a = ，
-1
b =
时，|
| |
|
a
b
=
但a
b
，故“若|
| |
|
a
b
=
，则a
b
=
”是假命题．选项B 正确．
命题乙的逆命题为：“若a
b
=
，则|
| |
|
a
b
=
”是真命题（因a
b
=
时绝对值必相等），选项D 错误．
故选：B．
4．（24-25 八年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的周长相等
B．全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．如果a＝b，那么a2＝b2
【答案】C
【分析】本题考查了求一个命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握求一个命题的逆命题及判断命题的
真假是解题的关键．
分别写出各命题的逆命题，并判断其真假．
【详解】A．原命题：“全等三角形的周长相等”，逆命题：“周长相等的三角形是全等三角形”．周长相等但
形状不同的三角形不全等，故逆命题为假命题，该选项不符合题意；
B．原命题：“全等三角形的对应角相等”，逆命题：“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等仅说
明三角形相似，未必全等，故逆命题为假命题，该选项不符合题意；
C．原命题：“直角三角形的两个锐角互余”，逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．若两锐角之
和为90°，则第三个角为90°，必为直角三角形，故逆命题为真命题，该选项符合题意；
D．原命题：“如果a
b
=
，那么
2
2
a
b
=
”，逆命题：“如果
2
2
a
b
=
，那么a
b
=
”．当a
b
= −时，
2
2
a
b
=
但a
b
，
故逆命题为假命题，该选项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25 八年级下·山西运城·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补．
B．五边形是多边形
C．如果
0
a
，
0
b
，则
0
a
b
+
．
D．两个全等三角形的面积相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题的相关概念、平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定
定理，正确写出各选项的逆命题是解题关键．
先写各选项的逆命题，再根据平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理逐项
学科网（北京）股份有限公司
15 /
判断即可．
【详解】解：A、逆命题：同旁内角互补，两直线平行．
由平行线的判定可知，逆命题正确，是真命题；
B、逆命题：多边形是五边形．
多边形不一定是五边形，逆命题错误，则是假命题；
C、逆命题：如果
0
a
b
+
，则
0
a
，
0
b
．
逆命题错误，则是假命题；
D、逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形．
由三角形全等的判定定理可知，逆命题错误，是假命题；
故选：A．
6．（24-25 八年级下·山西晋中·期末）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（ ）
A．原命题、逆命题都是真命题
B．原命题为假命题，逆命题为真命题
C．原命题为真命题，逆命题为假命题
D．原命题、逆命题都是假命题
【答案】A
【分析】题目主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键
写出命题的逆命题，然后根据平行线的判定和性质进行判断即可
【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”，根据平行线的判定定理，若同旁内角互补，则两直线平行，
故原命题为真命题；
逆命题为：若两直线平行，则它们被第三条直线所截形成的同旁内角互补，根据平行线的性质定理，逆命
题也为真命题，
综上，原命题和逆命题均为真命题，
故选：A
7．（24-25 八年级下·辽宁营口·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．全等三角形的对应边相等
C．对顶角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司
16 /
【分析】本题主要考查命题的逆命题及平行线判定、全等三角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质，熟
练掌握这些定理和定义是解题关键．先写出各命题的逆命题，再依据相关数学定理（平行线判定、全等三
角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质 ）判断逆命题真假．
【详解】解：原命题逆命题为“同位角相等，两直线平行”．
这是平行线判定定理，是真命题
A 不符合题意，排除．
原命题逆命题为“对应边相等的三角形全等”．
符合SSS（边边边）全等判定，是真命题
B 不符合题意，排除．
原命题逆命题为“相等的角是对顶角”．
存在相等但不是对顶角的角（如两直线平行，同位角相等，同位角不是对顶角 ），是假命题
C 符合题意．
原命题逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”．
这是垂直平分线判定定理，是真命题
D 不符合题意，排除．
故选：C ．
8．（24-25 七年级下·上海崇明·期末）下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．等腰三角形的两个底角相等
C．直角三角形中有两个锐角
D．对顶角相等
【答案】B
【分析】本题考查了判断命题的真假，全等三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的定义，逐一
分析各选项的原命题和逆命题的真假，判断是否均为真命题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
【详解】解：A、原命题“全等三角形对应角相等”为真；逆命题“对应角相等的三角形全等”为假（如相似三
角形不全等），故不符合题意；
B、原命题“等腰三角形的两个底角相等”为真；逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”为真（根据等
角对等边），故符合题意；
C、原命题“直角三角形中有两个锐角”为真；逆命题“有两个锐角的三角形是直角三角形”为假（如锐角三角
形有三个锐角），故不符合题意；
D、原命题“对顶角相等”为真；逆命题“相等的角是对顶角”为假（如同位角可能相等但不是对顶角），故不
学科网（北京）股份有限公司
17 /
符合题意；
综上，只有选项B 的原命题和逆命题均为真命题，
故选：B．
9．（24-25 八年级下·湖北武汉·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等
C．对顶角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
【答案】C
【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断正误即可．本题考查了逆命题，平行线的判定，全等三角形
的判定，对顶角相等，实数等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：由题意知，A 中逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，故不符合要求；
B 中逆命题为实数的立方相等，这两个实数相等，正确，故不符合要求；
C 中逆命题为相等的角是对顶角，错误，故符合要求；
D 中逆命题为两个全等三角形的三边分别相等，正确，故不符合要求；
故选：C．
10．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）下列命题的逆命题不正确的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．若
2
2
a
b
=
，则a
b
=
C．对顶角相等
D．等腰三角形的两个底角相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了逆命题以及其正确性，先写出每个命题的逆命题，再判断其正确性．
【详解】解：A．原命题：“两直线平行，同位角相等”，逆命题为“同位角相等，两直线平行”．根据平行线
判定定理，同位角相等则两直线平行，逆命题正确．
B．原命题：“若
2
2
a
b
=
，则a
b
=
”，逆命题为“若a
b
=
，则
2
2
a
b
=
”．显然a
b
=
时平方必相等，逆命题正确．
C．原命题：“对顶角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”．存在相等的角不是对顶角的情况（如等腰三角
形的底角），逆命题错误．
D．原命题：“等腰三角形的两个底角相等”，逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．根据等角对
等边可知是等腰三角形，逆命题正确．
故选：C．
11．
（23-24 八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
18 /
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
【答案】C
【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可．
【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”，
故选C．
题型四：写出逆命题（选填题）
1．（2024·江苏南京·一模）直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ．
【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形
【分析】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．直接写出原
命题的逆命题即可．
【详解】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．（24-25 七年级下·江苏常州·期末）命题“如果
0
a =
或
0
b =
，那么
2
2
2
(
)
a
b
a
b
+
=
+
”的逆命题是 ．
【答案】如果
2
2
2
(
)
a
b
a
b
+
=
+
，那么
0
a =
或
0
b =
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换
命题的题设和结论之后即可写出原命题的逆命题．
【详解】解：命题“如果
0
a =
或，那么
2
2
2
(
)
a
b
a
b
+
=
+
”的逆命题是：如果
2
2
2
(
)
a
b
a
b
+
=
+
，那么
0
a =
或
0
b =
．
故答案为：如果
2
2
2
(
)
a
b
a
b
+
=
+
，那么
0
a =
或
0
b =
．
3．（24-25 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是 ，此逆
命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 在同一个三角形中，等边对等角 真
【分析】本题考查了命题，根据互逆命题的定义即可求解，掌握互逆命题的定义是解题的关键．
【详解】解：“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是“在同一个三角形中，等边对等角”，逆命题是真
命题，
学科网（北京）股份有限公司
19 /
故答案为：在同一个三角形中，等边对等角，真．
4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知命题：“同位角相等”它的逆命题是
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同位角
【分析】本题考查了逆命题的问题，交换原命题的题设与结论得到它的逆命题，掌握逆命题的定义是解题
的关键．
【详解】解：“同位角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角．
5．（24-25 七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形
式写出）．
【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形
【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答．
【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等
边三角形”．
故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形．
6．（24-25 八年级下·江西萍乡·期中）命题“等腰直角三角形的两个锐角相等”，请写出它的逆命
题 ．该逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
【答案】 有两个角相等的三角形是等腰直角三角形 假
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命
题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆
命题，然后分析其真假即可．
【详解】解：逆命题为有两个角相等的三角形是等腰直角三角形，该逆命题是假命题，
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰直角三角形，假．
7．（24-25 八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题
是 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键．
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可．
【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这
两个角是同一个角的补角．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
学科网（北京）股份有限公司
20 /
8．（24-25 八年级上·全国·期末）把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式
为： ．
【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
【分析】本题考查逆命题及命题的扩充改写．先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描
述语言进行适当扩充．
【详解】解：命题“等边对等角”的逆命题改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，
那么它们所对的边也相等；
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等．
题型五：写出逆命题并判断真假
1．（24-25 八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11 页的部分内容：
定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(1)请写出上述定理的逆命题；
(2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)此命题是真命题，理由见解析
【分析】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角
形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）交换原命题的题设和结论即可；
（2）延长AC 至点D，使CD
AC
=
，连接BD，证明
ABD
△
是等边三角形，得到
60
ABD
=
，根据等腰三
角形的三线合一证明即可．
【详解】（1）逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30；
（2）此命题是真命题，理由如下：
已知：在
ABC
中，
,
1
2
90
C
A
A
C
B
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
21 /
求证：
30
B
=
．
证明：延长AC 至点D，使CD
AC
=
，连接BD，
∵
90 ,
ACB
CD
AC
=
=
，
∴BC 是线段AD的垂直平分线，
∴AB
BD
=
∵
1
2
AC
AB
=
，
∴BD
AB
AD
=
=
，
∴
ABD
△
是等边三角形，
∴
60
ABD
=
，
∵BC
AD
⊥
，
∴
1
30
2
ABC
ABD
=
=
．
2．（24-25 八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）说出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
(1)如果两个角是锐角，那么这两个角相等；
(2)全等三角形的对应边相等；
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【答案】(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是锐角．不成立
(2)逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形．成立
(3)逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．成立
【分析】本题主要考查逆命题，真假命题的判定，掌握逆命题的结构，真假命题的判定方法是关键．
（1）找出题设和结论，根据逆命题的书写规范即可求解；
（2）找出题设和结论，根据逆命题的书写规范即可求解；
（3）找出题设和结论，根据逆命题的书写规范即可求解．
【详解】（1）解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是锐角，不成立．
（2）解：逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形，成立．
学科网（北京）股份有限公司
22 /
（3）解：逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立．
3．（24-25 七年级下·四川绵阳·期中）举例说明下列命题的逆命题是假命题：
(1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5 整除；
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假，正确写出逆命题是解此题的关键．
（1）先写出原命题的逆命题，再根据数的整除判断即可；
（2）先写出原命题的逆命题，再根据直角的概念判断即可．
【详解】（1）解：如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5 整除，逆命题是如果一个整数能被5
整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题，
反例：30 能被5 整除，但个位数字不是5；
（2）解：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角都是直角，
是假命题，
反例：两个角都是40，但都不是直角．
4．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）阅读下面内容：
“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其
中一个命题称为另一个命题的逆命题．
请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，
判断它的真假并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题与逆命题，以及真假命题，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
将原命题的题设和结论互换，即可得到逆命题，即可写出题设和结论，根据平行线的判定即可判断真假．
【详解】解：逆命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则内错角必相等．
题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．结论：内错角相等．它是真命题．
理由：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则两直线平行，所以内错角相等．
5．（23-24 八年级上·全国·单元测试）如图．
学科网（北京）股份有限公司
23 /
(1)在四边形ABCD中，
ABC
与
ADC
△
的面积相等，求证：直线AC 必平分BD
(2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么?
【答案】(1)见解析
(2)逆命题为：若四边形ABCD的对角线AC 平分对角线BD，则AC 必将四边形分成面积相等的两个三角
形．通过证明，判定是真命题
【分析】
（1）过点B作BE
AC
⊥
于点E，过点D作DF
AC
⊥
于点F ，设AC 与BD的交点为点G，证明BE
DF
=
，
再证明
(
)
AAS
EGB
FGD
≌
，得到GB
GD
=
，即可证明直线AC 平分BD．
（2）根据题意，其逆命题为：若四边形ABCD的对角线AC 平分对角线BD，则AC 必将四边形分成面积相
等的两个三角形．通过证明，判定是真命题．
本题考查了三角形全等的判定和性质，逆命题的书写与真假判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解
题的关键．
【详解】（1）证明：过点B 作BE
AC
⊥
于点E，过点D 作DF
AC
⊥
于点F ，设AC 与BD的交点为点G，
∵
ABC
与
ADC
△
的面积相等，
∴1
1
2
2
AC BE
AC DF
=
，
∴BE
DF
=
，
∵
90
BGE
DGF
BEG
DFG
BE
DF
=
=
=
=
∴
(
)
AAS
EGB
FGD
≌
．
∴GB
GD
=
，
∴直线AC 平分BD．
学科网（北京）股份有限公司
24 /
（2）解：根据题意，其逆命题为：若四边形ABCD的对角线AC 平分对角线BD，则AC 必将四边形分成面
积相等的两个三角形．
证明：过点B 作BE
AC
⊥
于点E，过点D 作DF
AC
⊥
于点F ，设AC 与BD的交点为点G，
∵直线AC 平分BD，
∴GB
GD
=
，
∵
90
BGE
DGF
BEG
DFG
BG
DG
=
=
=
=
∴
(
)
AAS
EGB
FGD
≌
，
∴BE
DF
=
，
∴1
1
2
2
AC BE
AC DF
=
，
∴
ABC
与
ADC
△
的面积相等．
故逆命题是真命题．
6．（23-24 八年级下·江西九江·阶段练习）说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．
(1)两个全等三角形的面积相等．
(2)如果
0
ab＞，那么
0
a＞，
0
b＞．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）其逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.
显然是假命题．
（2）逆命题是如果
0
a＞，
0
b＞，那么
0
ab＞，是真命题．
本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键．
【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
判断：逆命题是假命题．
学科网（北京）股份有限公司
25 /
（2）逆命题：如果
0
a＞，
0
b＞，那么
0
ab＞．
判断：逆命题是真命题．
7．
（23-24 八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查命题书写及判断真假：
（1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
（2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
“若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，
∵三角形全等对应边相等，
∴该命题是真命题，
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；
（2）解：由题意可得，
“若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，
∵两个互为相反的数和为0，
∴是真命题，
逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题．
8．（23-24 八年级上·广西百色·期中）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)若a
b
=
，则
2
2
a
b
=
；
(3)末位数字是0 的数一定能被5 整除．
【答案】(1)两直线平行，同位角相等，是真命题
(2)若
2
2
a
b
=
，则a
b
=
，是假命题
(3)能被5 整除的数末位数字一定是0，是假命题
【分析】此题考查命题的逆命题，真假命题的定义，
（1）写出逆命题，判定真假命题；
（2）写出逆命题，判定真假命题；
学科网（北京）股份有限公司
26 /
（3）写出逆命题，判定真假命题；
正确掌握逆命题的定义及真假命题的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同位角相等．
是真命题；
（2）逆命题为：若
2
2
a
b
=
，则a
b
=
．
是假命题；
（3）逆命题为：能被5 整除的数末位数字一定是0．
是假命题．
9．（23-24 八年级上·山东菏泽·期中）已知命题“如果a
b
=
，那么
2
2
a
b
=
．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反
例．
【答案】(1)条件为：a
b
=
，结论为：
2
2
a
b
=
(2)如果
2
2
a
b
=
，那么a
b
=
(3)假命题，反例不唯一，见解析
【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题、命题真假的判断；
（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论；
（2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；
（3）举出反例即可．
【详解】（1）解：此命题的条件为：a
b
=
，结论为：
2
2
a
b
=
；
（2）此命题的逆命题为：如果
2
2
a
b
=
，那么a
b
=
；
（3）此命题的逆命题是假命题，
当a ，b 为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等，
如
2
a =
，
2
b = −时，
(
)
2
2
2
2
= −
，而2
2
−．
10．（23-24 七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线AB
CD
EF
、
、
被直线BF 所截，
180 ,
2
3
B
F
+
=
= ． 求证：
1 180
B
+=
．
学科网（北京）股份有限公司
27 /
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来．
【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命
题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个
反例即可．
（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断
,
AB
EF CD
EF
∥
∥
，则利用平行线
的传递性得到AB
CD
∥
，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
【详解】（1）证明：∵
180 ,
2
3
B
F
+
=
= ，
∴
,
AB
EF CD
EF
∥
∥
，
∴AB
CD
∥
，
∴
1 180
B
+=
；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，
同旁内角互补．
题型一：逆命题和逆定义综合
1．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3 整除？小明对下列一些能被3 整除的整数进行了研究：27，123，
159，246，1233，23454．
小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3 整除，如：整数246 各个数位上的数
字之和为2
4
6
12
+ +
=
，12 能被3 整除；整数1233 各个数位上的数字之和为1 2 3 3
9
+ + + =
，9 能被3 整除．由
此，他提出了这样一个命题；
命题1：如果一个数能被3 整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3 整除．小明以两位数为例进行了
学科网（北京）股份有限公司
28 /
证明；
设ab 是一个两位数，若两位数ab 能被3 整除，求证：a
b
+
能被3 整除．
证明：∵两位数ab 能被3 整除，
∴设
3
ab
k
=
（k 为正整数）．
10
3
a
b
k
+
=
．
(
)
9
3
a
a
b
k
+
+
=
．
(
)
3
9
3
3
a
b
k
a
k
a
+
=
−
=
−
．
3
k
a
−
为整数．
a
b
+ 可以被3 整除．
由此推断，命题1 是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1 的逆命题也是真命题．
结论：在判断一个数是否能被3 整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断．
小明在研究时还发现，整数123 中，1 3
2 2
+ = ；整数159 中，1
9
5 2
+
= ；整数246 中，2 6
4 2
+
=
．于
是，他又提出了这样一个命题；
命题2：如果一个三位数能被3 整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数
字的两倍．
任务1：证明命题
（1）设abc是一个三位数，若a
b
c
+ + 可以被3 整除，求证：这个三位数也能被3 整除．
任务2：写逆命题
（2）判断命题2 是真命题还是假命题，并写出它的逆命题；
任务3：应用结论
（3）若四位数abcd 能被3 整除，且a
b
c
d
+
=
+ ，这个四位数的最小值为______．
（4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3 整除的两位数；0.5h 后，看到里程
碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过2h ，看到里程碑上的数是第一次看
到的两位数的两个数字之间添加一个数字m 所得的三位数，且这个三位数也能被3 整除．则第一次看到的
里程碑上的两位数是多少？
【答案】（1）见解析；（2）假命题，逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十
位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3 整除；（3）1203；（4）15 或39
【分析】本题主要考查了新定义，判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正确理解题意是解题的关键．
（1）设
3
a
b
c
k
+ + =
（k 为正整数），则
(
)
3 33
3
abc
a
b
k
=
+
+
，根据33
3
a
b
k
+
+
为整数，即可得abc可以被3
整除，
（2）根据348能被3 整除，但是3 8
2 4
8
+
= 可判断命题真假；把原命题的结论与条件互换写出对应的逆
命题即可；
学科网（北京）股份有限公司
29 /
（3）根据题意可得1000
100
10
a
b
c
d
+
+
+
能被3 整除，则可推出+ + +
a
b
c
d 能被3 整除；设
3
a
b
c
d
k
+ + +
=
（k 为正整数），则可得到
3
2
a
b
k
+
=
，要使这个四位数最小，首先要满足a 最小，其次要保证b 最小，再要
保证c 最小，据此求解即可；
（4）设第一次看到的两位数为ab ，则第二次看到的两位数为ba ，第三次看到的三位数为amb ，设
3
a
b
k
+
=
（k为正整数），根据amb 可以被3整除得到
3
a
b
m
k
m
+
+
=
+
可以被3整除；可求出汽车的速度为18
18
b
a
−
，
则可推出
(
)
9
45
9
3
2
2
b
a
m
b
a
−
=
=
−
，则
3
b
a
−
一定是大于等于0 的偶数，当
3
0
b
a
−
=
时，
0
m =
，则
3
b
a
=
，
当
3
2
b
a
−
=
时，
9
m =
，则
3
2
=
+
b
a
，据此讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵a
b
c
+ + 可以被3 整除，
∴设
3
a
b
c
k
+ + =
（k 为正整数）
∴
(
)
(
)
100
10
99
9
99
9
3
3 33
3
abc
a
b
c
a
b
a
b
c
a
b
k
a
b
k
=
+
+
=
+
+
+ +
=
+
+
=
+
+
，
∵33
3
a
b
k
+
+
为整数，
∴abc可以被3 整除，
（2）命题2 是假命题，理由如下：
例如348能被3 整除，但是3 8
2 4
8
+
= ；
逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数
能被3 整除；
（3）∵四位数abcd 能被3 整除，
∴1000
100
10
a
b
c
d
+
+
+
能被3 整除，
∴
(
)
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
+
+
+
+
+ +
能被3 整除，
∵
(
)
999
99
9
9 111
11
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
能被3 整除，
∴
+ + +
a
b
c
d 能被3 整除；
设
3
a
b
c
d
k
+ + +
=
（k 为正整数），
∵a
b
c
d
+
=
+ ，
∴(
)
2
3
a
b
k
+
=
，
∴
3
2
a
b
k
+
=
，
∵要使这个四位数最小，
∴首先要满足a 最小，
学科网（北京）股份有限公司
30 /
当
1
a = 的同时，要满足b 最小，则此时
2
b =
，
∴
3
c
d
a
b
+
=
+
=
，
∴当
0
c =
，
3
d = 时，这个四位数最小，最小为1203；
（4）设第一次看到的两位数为ab ，则第二次看到的两位数为ba ，第三次看到的三位数为amb
∵ab 可以被3 整除，
∴设
3
a
b
k
+
=
（k 为正整数）
∵amb 可以被3 整除
∴
3
a
b
m
k
m
+
+
=
+
可以被3 整除，
∵0.5h 后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置，
∴汽车的速度为10
10
18
18
0.5
b
a
a
b
b
a
+
−
−
=
−
，
∵再过2h，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m 所得的三位数，
∴
(
)
100
10
10
2 18
18
a
m
b
b
a
b
a
+
+
=
+
+
−
，
∴
(
)
9
27
9
3
2
2
b
a
m
b
a
−
=
=
−
，
∵m 为整数且0
9
m
，
∴
3
b
a
−
一定是大于等于0 的偶数，
当
3
0
b
a
−
=
时，
0
m =
，则
3
b
a
=
，
∵
3
a
b
k
+
=
，
∴4
3
a
k
=
，
∴a 一定是3 的倍数，
∴
3
a = ，
∴
9
b =
，
∴
39
ab =
；
当
3
2
b
a
−
=
时，
9
m =
，则
3
2
=
+
b
a
，
∵
3
a
b
k
+
=
，
∴
3
2
3
a
a
k
+
+
=
，
∴
2
a+
一定是3 的倍数，
∴
1
a = ，
∴
5
b =
，
∴
15
ab =
；
学科网（北京）股份有限公司
31 /
综上所述，第一次看到的里程碑上的两位数是15 或39．
2．（24-25 八年级上·北京朝阳·期中）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补
全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
， ．
求证： ．
方法一
证明：如图，延长BC 到点D ，使得
CD
BC
=
，连接AD．
方法二
证明：如图，在线段AB 上取一点D ，使得
BD
BC
=
，连接CD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题的证明，等边三角形的判定与性质等知识，根据命题写出已知，求证，然后根据
题干的思路，根据等边三角形的判定与性质，等角对等边等知识证明即可．
【详解】解∶已知：如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
．
求证：
1
2
BC
AB
=
．
方法一
证明：如图，延长BC 到点D ，使得CD
BC
=
，连接AD．
学科网（北京）股份有限公司
32 /
∵
90
ACB
=
，
∴
180
90
ACD
ACB
=
−
=
，
∴
ACB
ACD
=
，
又CD
BC
=
，AC
AC
=
，
∴ACB
ACD
≌
，
60
B =
∴AB
AD
=
，
∵
90
ACB
=
，
30
A
=
，
∴
=60
B
，
∴ACD
是等边三角形，
∴BD
AB
=
，
又
1
2
CD
BC
AB
=
=
，
∴
1
2
BC
AB
=
；
方法二
证明：如图，在线段AB 上取一点D ，使得BD
BC
=
，连接CD．
∵
90
ACB
=
，
30
A
=
，
∴
=60
B
，
∵BD
BC
=
，
∴
BCD
△
是等边三角形，
∴
60
BDC
=
，BC
CD
BD
=
=
，
∵
30
A
=
，
学科网（北京）股份有限公司
33 /
∴
30
DCA
BDC
A
=
−=
，
∴
DCA
A
= ，
∴AD
CD
=
，
∴
1
2
BC
CD
BD
AD
AB
=
=
=
=
．
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出
了以下问题，请你完成．
任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是
________________．
任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论：
南南：
阳阳，这个
问题好难啊，我没有任何思
路，你能分享一下你的想法
吗？
阳阳：
由于直角边AC
AC
=
，我们移动
Rt
ABC
△
，使点A 与点A、点C 与点C重合，且使点B
与点B分别位于A C
的两侧，这样就构成了等腰三角形，
利用其性质及三角形的判定就可以完成．
以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善．
如图，在Rt
ABC
△
和Rt A B C
中，
90
ACB
A C B
=
=
，AB
A B
=
，AC
AC
=
．
求证：
t
Rt
R
A B
ABC
C
≌
．
证明：由于直角边AC
AC
=
，我们移动Rt
ABC
△
，使点A 与点A、点C 与点C重合，且使点B 与点B分
别位于A C
的两侧．
∵
90
ACB
A C B
=
=
，
∴
180
B C B
A C B
A C B
=
+
=
，即点B、C、B 在同一条直线上．
……
学科网（北京）股份有限公司
34 /
【答案】（1）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等；
（2）见解析
【分析】此题考查了全等三角形判定，等边对等角性质，命题的条件和结论，解题的关键是掌握以上知识
点．
（1）根据命题的条件和结论求解即可；
（2）由AB
A B
=
得到
B
B
=
，然后根据AAS证明出Rt
Rt
ABC
A B C
≌
即可．
【详解】解：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式
是“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等”；
（2）证明：由于直角边AC
AC
=
，我们移动Rt
ABC
△
，使点A 与点A、点C 与点C重合，且使点B 与点
B分别位于A C
的两侧．
∵
90
A C B
A C B
=
=
，
∴
180
B C B
A C B
A C B
=
+
=
，即点B、C、B 在同一条直线上．
∵AB
A B
=
，
∴
B
B
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
AAS
ABC
A B C
≌
．
4．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】对折
(
)
ABC AB
AC
△
，使点C 落在边AB 上的点E 处，得到折痕AD，把纸片展平，如图①，
发现四边形AEDC 满足：
,
AE
AC DE
DC
=
=
．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【初步应用】
（1）如图①，在
ABC
中，若
80 ,
30
BAC
B
=
=
，则
EDB
=____________；
【类比探究】
（2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：AD
EC
⊥
．
【答案】（1）
40
EDB
=
；（2）见解析．
学科网（北京）股份有限公司
35 /
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分
线的判定是解题的关键．
（1）根据三角形内角和性质，求得
70
C
=
，再根据轴对称的性质，求得
70
AED
=
，最后根据三角形
的外角性质，即可求得答案；
（2）由筝形的定义可知AE
AC
=
，DE
DC
=
，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图①，
80
BAC
=
，
30
B
=
，
180
180
80
30
70
C
BAC
B
=
−
−=
−
−
=
，
对折
ABC
，使点C 落在边AB 上的点E 处，
70
AED
C
=
=
，
70
30
40
EDB
AED
B
=
−=
−
=
；
故答案为：40．
（2）证明：如图②，
四边形AEDC 是筝形，
AE
AC
=
，DE
DC
=
，
点A，点D 都在线段EC 的垂直平分线上，
AD
是线段EC 的垂直平分线，
AD
EC
⊥
．
5．（24-25 九年级上·福建厦门·期中）小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”
与判定定理“等角对等边”存在互逆关系．
由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即：
（1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线；
（2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；
（3）……
由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即：
Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；
Ⅱ．……
学科网（北京）股份有限公司
36 /
(1)请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：______；
(2)小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，
他把第一个命题根据下图写出了已知，求证：
命题Ⅰ：在
ABC
中，AD平分
BAC
，AD
BC
⊥
，求证：
ABC
是等腰三角形；
命题Ⅱ：______；
①请你写出命题Ⅱ的几何语言；
②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明．
【答案】(1)如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形
(2)①见解析；②都是真命题，见解析
【分析】（1）根据原命题写出逆命题即可；
（2）①用几何语言写出命题即可；②证明
ABD
ACD
△
≌△
全等，进而结论得证．
【详解】（1）解：由题意知，命题Ⅱ为：如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高线，那么这个三角
形是等腰三角形；
（2）①解：由题意知，命题Ⅱ：在
ABC
中，AD是
ABC
的中线，AD
BC
⊥
，求证：
ABC
是等腰三角
形；
②解：命题Ⅰ、Ⅱ都是真命题，证明如下；
命题Ⅰ：证明：∵AD平分
BAC
，
∴
BAD
CAD
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
∵
BAD
CAD
=
，AD
AD
=
，
ADB
ADC
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
ACD
≌
，
∴AB
AC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形；
命题Ⅱ：证明：∵AD是
ABC
的中线，
学科网（北京）股份有限公司
37 /
∴BD
CD
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
∵AD
AD
=
，
ADB
ADC
=
，BD
CD
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACD
≌
，
∴AB
AC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形．
6．（23-24 七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，
BPC
B
C
= +
，求证：AB
CD
∥
．
（2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为
（3）小明发现当AB
CD
∥
时，改变点P 的位置（点P 不在
、
AB
CD上），
BPC
B
C
、
、
三个角的数量
关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两
个即可）．
【答案】（1）见解析；（2）如果AB
CD
∥
，那么
BPC
B
C
= +
；（3）
360
BPC
B
C
++
=
或
BPC
C
B
=
－
或
BPC
B
C
=
－
，示意图见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）根据平行线性质可证得
C
CPE
=
，从而得出结论；
（2）写出命题的逆命题即可；
（3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点P 作PE
AB
∥
，
BPE
B
= ，
学科网（北京）股份有限公司
38 /
又
BPC
B
C
BPE
CPE
= +
=
+
，
C
CPE
=
，
PE
CD
∥
，
AB
CD
∥
；
（2）如果
BPC
B
C
= +
，那么AB
CD
∥
，的逆命题为：如果AB
CD
∥
，那么
BPC
B
C
= +
，
故答案为：如果AB
CD
∥
，那么
BPC
B
C
= +
；
（3）①如图，
360
BPC
B
C
++
=
，理由如下：过点P 作PE
AB
∥
，
180
B
BPE
+
=
，
AB
CD
∥
，PE
AB
，
PE
CD
∥
，
180
C
CPE
+
=
，
180
180
BPC
BPE
CPE
B
C
=
+
=
−+
−
，
360
BPC
B
C
++
=
；
②如图，
BPC
C
B
=
－
，理由如下：过点P 作PE
AB
∥
，
BPE
B
= ，
AB
CD
∥
，
PE
CD
∥
，
CPE
C
=，
BPC
CPE
BPE
=
−
，
BPC
C
B
=
－
；
③如图，
BPC
B
C
= −
，理由如下：过点P 作PE
AB
∥
，
学科网（北京）股份有限公司
39 /
180
B
EPB
+
=
，
AB
CD
∥
，PE
AB
，
PE
CD
∥
，
180
C
EPC
+
=
，
BPC
EPC
EPB
=
−
，
(
) (
)
180
180
BPC
C
B
B
C
=
−
−
−
= −
．
7．（23-24 七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】
如果把一个命题（记作p ）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q ），那么这两个命题叫做互逆
命题，其中命题p 称为原命题，命题q 称为原命题的逆命题．
例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．
【解决问题】
给出命题
:
p “如果a
b
=
，那么a
b
=
．”
(1)写出命题p 的题设和结论，及逆命题q ．
(2)判断命题q 是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．
【答案】(1)a
b
=
是题设，a
b
=
是结论；逆命题q 是：如果a
b
=
，那么a
b
=
(2)假命题，见解析．
【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，
只需举出一个反例即可．
（1）命题的题设为a
b
=
，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题；
（2）命题q 是假命题，举出一个反例进行说明即可．
【详解】（1）解：∵命题
:
p “如果a
b
=
，那么a
b
=
．
∴a
b
=
是题设，a
b
=
是结论；
逆命题q 是：如果a
b
=
，那么a
b
=
．
（2）解：命题q 是假命题，
学科网（北京）股份有限公司
40 /
反倒：
3
3 3
3
a
b
=
= −
= −
，
，
，但是3 不等于3
−．
8．（23-24 八年级上·北京顺义·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角
三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证：
1
2
AC
AB
=
．
(2)补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段AB 的垂直平分线DE ，交AB 于点D，交BC 于点E，连接AE ．（在图中用尺规作图，并保留
作图痕迹）
∵直线DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
=
．（________________________________）（填推理依据）．
∴
B
BAE
=
．（________________________________）（填推理依据）．
∵
30
B
=
，
∴
30
BAE
=
．
∵
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
∴
90
60
BAC
B
=
−=
．（________________________________）（填推理依据）．
∴
60
30
30
EAC
BAC
BAE
=
−
=
−
=
．
∴
BAE
EAC
=
．
∵DE
AB
⊥
，
90
C
=
，
∴
90
ADE
C
=
=
．
在
ADE
和
ACE
△
中，
BAE
EAC
ADE
C
AE
AE
=
=
=
，
∴
ADE
ACE
△
≌△
（________________________________）（填推理依据）．
学科网（北京）股份有限公司
41 /
∴AD
AC
=
，
∵直线DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD
BD
=
= ________．
∴
1
2
AC
AB
=
．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，证明见解析
【分析】（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可；
（2）先作出线段AB 的垂直平分线DE ，再由线段垂直平分线的性质得到AE
BE
=
，进而得到
B
BAE
=
，
利用直角三角形两锐角互余推出
BAE
EAC
=
，进而证明
(
)
AAS
ADE
ACE
≌
得到AD
AC
=
，则
AD
BD
AC
=
=
，由此即可证明
1
2
AC
AB
=
．
【详解】（1）解：已知：在Rt
ABC
△
中，
90
30
C
B
=
=
，
，
求证：
1
2
AC
AB
=
．
（2）证明：作线段AB 的垂直平分线DE ，交AB 于点D，交BC 于点E，连接AE ．
∵直线DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
=
．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴
B
BAE
=
．（等边对等角）
∵
30
B
=
，
∴
30
BAE
=
．
∵
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
∴
90
60
BAC
B
=
−=
．（直角三角形两锐角互余）
∴
60
30
30
EAC
BAC
BAE
=
−
=
−
=
．
∴
BAE
EAC
=
．
∵DE
AB
⊥
，
90
C
=
，
∴
90
ADE
C
=
=
．
学科网（北京）股份有限公司
42 /
在
ADE
和
ACE
△
中，
BAE
EAC
ADE
C
AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
ACE
≌
．
∴AD
AC
=
，
∵直线DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD
BD
AC
=
=
．
∴
1
2
AC
AB
=
．
9．（23-24 八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】
阅读材料：课本第53页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形
叫做“筝形”．
我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形
边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究：
第一步：根据定义剪出一个“筝形”；
第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论；
第三步：通过证明得到性质．
解答问题：
(1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来．
(2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质．
(3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式．
【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直；
(2)见解析；
(3)“筝形”的面积等于对角线积的一半．
学科网（北京）股份有限公司
43 /
【分析】（1）根据题意写出答案即可；
（2 ）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“ SSS ”可证明
ABD
ACD
△
≌△
，得到
BAD
CAD
=
，
利用“SAS”可证明
ABO
ACO
△
≌△
，即可证明“筝形”的对角线互相垂直；
（3）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式；
本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直；
（2）已知：四边形ABCD是“筝形”，AB
AC
=
，DB
DC
=
，对角线AD
BC
、
相交于点O．
求证：AD
BC
⊥
．
证明：∵
AB
AC
AD
AD
DB
DC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
ACD
≌
，
∴
BAD
CAD
=
，
∵
AB
AC
BAO
CAO
AO
AO
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABO
ACO
≌
△
△
，
∴
AOB
AOC
=
，
∵
180
AOB
AOC
+
=
，
∴
90
AOB
AOC
=
=
，
∴AD
BC
⊥
；
（3）∵AD
BC
⊥
，
学科网（北京）股份有限公司
44 /
∴
(
)
1
1
1
1
·
·
·
·
2
2
2
2
ABC
DBC
ABCD
S
S
S
BC AO
BC DO
BC AO
DO
BC AD
=
+
=
+
=
+
=
筝形
，
∴“筝形”的面积等于对角线积的一半．
1．（24-25 八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是真命题
【答案】A
【分析】本题主要考查了命题与逆命题的关系，正确判定命题的真假成为解题的关键．
根据命题与逆命题的关系逐项分析即可解答．
【详解】解：A． 命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此命题一定有逆命题，正
确，符合题意；
B． 定理的逆命题不一定为真，即不一定有逆定理，例如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的
三角形全等”不成立，故错误，不符合题意；
C． 真命题的逆命题不一定是真命题．例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”为假，
错误，不符合题意；
D． 假命题的逆命题不一定是真命题．例如“若两个角相等，则它们是对顶角”是假命题，其逆命题“若两个
角是对顶角，则它们相等”为真；但若原命题为“若今天下雨，则地湿”，其逆命题“若地湿，则今天下雨”可
能为假，故错误，不符合题意．
故选A．
2．（24-25 八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角不相等
B．同位角相等，两直线平行
C．同位角不相等，两直线不平行
D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查命题的逆命题的概念．逆命题是将原命题的条件和结论互换后的命题，据此解答即可．
【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”．
学科网（北京）股份有限公司
45 /
故选：B
3．（24-25 八年级下·重庆合川·期末）下列命题中，其逆命题不成立
．．．．．．的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】B
【分析】本题考查逆命题的真假判断，平行线性质定理，垂直平分线判定定理，等腰三角形性质等，需先
写出各命题的逆命题，再判断其是否成立．
【详解】解：A. 原命题：“同位角相等，两直线平行”；逆命题：“两直线平行，同位角相等” ．根据平行线
性质定理，逆命题成立，故不符合题意；
B. 原命题：“两个实数都是正数，则它们的积是正数”；逆命题：“若两实数的积是正数，则它们都是正数” ．反
例：两负数相乘积也为正数（如2
−和3
−），逆命题不成立，符合题意；
C. 原命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”；逆命题：“到线段两端距离相等的点在线段垂直
平分线上” ．根据垂直平分线判定定理，逆命题成立，故不符合题意；
D. 原命题：“三角形中有两角相等，则它是等腰三角形”；逆命题：“等腰三角形有两角相等” ．根据等腰三
角形性质，逆命题成立，故不符合题意．
故选：B．
4．（24-25 八年级下·湖北恩施·期中）下列命题：①两直线平行，同位角相等；②两个全等三角形的面积相
等；③线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：④若(
)
0
1
1
x −
= ，则
1
x ．其中原命题与逆命
题均为真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查命题真假的判断，互逆命题的定义，需要判断每个命题的原命题和逆命题是否均为
真命题，逐一分析后统计符合条件的个数．
【详解】解：①原命题：“两直线平行，同位角相等”是真命题（平行线性质定理）；
逆命题：“同位角相等，两直线平行”也是真命题（平行线判定定理）；故①符合题意；
②原命题：“两个全等三角形的面积相等”是真命题（全等三角形性质）；
逆命题：“面积相等的三角形全等”是假命题（反例：底和高不同但面积相等的三角形不全等）；故②不合
学科网（北京）股份有限公司
46 /
题意；
③原命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”是真命题（垂直平分线性质定理）；
逆命题：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”也是真命题（垂直平分线判定定理）；故③符合
题意；
④原命题：“若(
)
0
1
1
x −
= ，则
1
x ”是真命题（当
1
x = 时，(
)
0
1
x −
无意义，故条件成立时
1
x ）；
逆命题：“若
1
x ，则(
)
0
1
1
x −
= ”也是真命题（当
1
x 时，(
)
0
1
x −
有意义且值为1）；故④符合题意；
综上，命题①、③、④的原命题和逆命题均为真命题，共3 个；
故选：C．
5．（24-25 八年级下·河南郑州·期末）“若
2
a =
，则
2
=
a
”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【分析】本题考查的是命题与定理，掌握逆命题的概念、真假命题的判断是解题的关键．
把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据绝对值的性质判断真假．
【详解】解：命题“若
2
a =
，则
2
a =
”的逆命题是“若
2
a =
，则
2
a =
”,
2
a =
，
2
a
= ,
若
2
a =
，则
2
a =
是假命题，
故答案为：假．
6．（24-25 七年级下·全国·假期作业）（1）命题“如果m 是有理数，那么m 一定是整数”是 命题
（填“真”或“假”）．
（2）“如果m，n 互为相反数，那么
0
m
n
+
=
”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
【答案】 假 真
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据有理数和整数的
关系及相反数的概念判断即可．
【详解】解：（1）如果m 是有理数，那么m 不一定是整数，如0.5是有理数，不是整数，所以原命题是假命
题；
故答案为：假；
（2）“如果m，n 互为相反数，那么
0
m
n
+
=
”的逆命题是“如果
0
m
n
+
=
，那么m，n 互为相反数”，是真命
题，
学科网（北京）股份有限公司
47 /
故答案为：真．
7．（24-25 七年级下·上海长宁·期末）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
【答案】两个三角形面积相等则这两个三角形全等
【分析】本题考查了命题的逆命题，掌握逆命题的书写方法是关键．
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆
命题，确定条件和结论，根据逆命题的书写方法即可求解．
【详解】解：“两个全等三角形的面积相等”的条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”，
∴逆命题为：两个三角形面积相等则这两个三角形全等，
故答案为：两个三角形面积相等则这两个三角形全等 ．
8．（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并
用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和
求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，OP 平分
AOB
，点P 在OC 上，___________．
求证：___________．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关
键．结合题意补全已知和求证，证明PDO
PEO
≌
，由全等三角形的性质可证明结论．
【详解】已知：如图，OP 平分
AOB
，点P 在OC 上， PD
OA
⊥
，PE
OB
⊥
，垂足分别为点D ，E ．
求证：PD
PE
=
．
证明：∵PD
OA
⊥
，PE
OB
⊥
，
∴
90
PDO
PEO
=
=
；
∵在
PDO
△
和PEO
中，
90
PDO
PEO
OP
OP
AOC
BOC
=
=
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
48 /
∴
(
)
ASA
PDO
PEO
≌
，
∴PD
PE
=
．
9．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．
(1)请写出该命题的逆命题；
(2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，
请举反例画图说明．
【答案】(1)如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行；
(2)真命题，过程见解析．
【分析】本题主要考查逆命题，平行线的判定，三角形内角和定理，掌握平行线的判定是关键．
（1）根据逆命题的书写方法即可求解；
（2）根据角平分线的定义得到
1
1
2
FMB
=
∠
，
1
3
2
END
=
∠
，根据三角形内角和定理得到
1
3
180
P
++=
，结合平行线的判定方法即可求解．
【详解】（1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两
条直线互相平行．
（2）解：已知：如图，直线AB 、CD被直线EF 所截，MP 平分
FMB
，NP 平分
END
，MP
NP
⊥
．
求证：AB
CD
∥
，
证明：∵MP 平分
FMB
，NP 平分
END
，
∴
1
1
2
FMB
=
∠
，
1
3
2
END
=
∠
（角平分线的定义），
∵MP
NP
⊥
，
∴
90
P
=
，
∵1
3
180
P
++=
（ 三角形内角和定理 ），
∴
1
3
90
+=
，
学科网（北京）股份有限公司
49 /
∴1
1
90
2
2
FMB
END
+
=
，
∴
180
FMB
END
+
=
，
∴AB
CD
∥
．
10．（24-25 七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F 分别是三角形ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，
给定以下三个条件：①DE
BA
∥
；②
FDE
A
= ；③DF
CA
∥
．请从这三个条件中选择两个作为条件（放
在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并
结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．
【详解】解：（答案不唯一）已知：DE
BA
∥
，DF
CA
∥
，
求证：
FDE
A
= ．
证明：DE
BA
∥
，
FDE
BFD
=
（两直线平行，内错角相等）．
DF
CA
∥
，
A
BFD
=
（两直线平行，同位角相等），
FDE
A
=．
已知：DE
BA
∥
，
FDE
A
= ，
求证：DF
CA
∥
．
证明：DE
BA
∥
，
FDE
BFD
=
（两直线平行，内错角相等）．
FDE
A
= ，
A
BFD
=
（等量代换），
学科网（北京）股份有限公司
50 /
DF
CA
∥
（同位角相等，两直线平行）．
已知：DF
CA
∥
，
FDE
A
= ，
求证：DE
BA
∥
．
证明：DF
CA
∥
，
A
BFD
=
（两直线平行，同位角相等）．
FDE
A
= ，
FDE
BFD
=
（等量代换），
DE
BA
∥
（内错角相等，两直线平行）．
11．（24-25 八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明：
已知：如图，BE
CF
∥
，BE ，CF 分别平分
ABC
和
BCD
．
求证：AB
CD
∥
．
证明：
BE
，CF 分别平分
ABC
和
BCD
（已知），
1
1
2
=
_____，
1
2
2
=
_____（_____________）．
BE
CF
∥
（已知），
1
2
=（_______________），
1
1
2
2
ABC
BCD
=
（___________），
ABC
BCD
=
（等式的性质），
AB
CD
∥
（_____________）．
（2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
【答案】（1）ABC ；BCD；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线
平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两
直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
学科网（北京）股份有限公司
51 /
（1）根据平行线的性质，可得
1
2
= ，根据角平分线的定义，可得
ABC
BCD
=
，再根据平行线
的判定，即可得出 AB
CD
∥
；
（2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
【详解】解：（1）∵
,
BE CF 分别平分
ABC
和
BCD
（已知），
1
1
1
,
2
2
2
ABC
BCD
=
=
（角平分线的定义），
BE
CF
∥
（已知），
1
2
=（两直线平行，内错角相等），
1
1
2
2
ABC
BCD
=
（等量代换），
ABC
BCD
=
（等式的性质），
AB
CD
∥
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：
;
ABC BCD ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平
行；
（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
12．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③均是2 2
的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点，点M、N 均在格点上．
(1)在图①中，画出线段AB 关于MN 对称后的线段CD．
(2)在图②中，画出线段AB 关于MN 对称后的线段EF ．
(3)在图③中，画出点P 关于MN 对称后的点Q．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）分别确定
,
A B 关于直线MN 的对称点
,
C D ，再顺次连接即可；
（2）如图，确定B 关于MN 的对称点F ，记AB 与格线的交点为O，连接FO并延长交格线于E ，则EF 即
为所求；
学科网（北京）股份有限公司
52 /
（3）如图，连接BP交MN 于K ，确定B 关于MN 的对称点T ，连接TK 并延长交格线于Q ，则Q 即为所求；
【详解】（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：如图，确定B 关于MN 的对称点F ，记AB 与格线的交点为O，连接FO并延长交格线于E ，则EF
即为所求；
理由：由正方形的性质可得：BN
FN
=
，ON
BF
⊥
，AM
BF
∥
，
∴OB
OF
=
，
EAO
OBF
=
，
AEO
BFO
=
，
∴
OBF
OFB
=
，
∴
AEO
OAE
=
，
∴OE
OA
=
，
∵OM
AE
⊥
，
∴AM
ME
=
，
∴线段AB 的对称线段为EF ．
（3）解：如图，连接BP交MN 于K ，确定B 关于MN 的对称点T ，连接TK 并延长交格线于Q ，则Q 即为
所求；
由正方形的性质可得：
MTK
MBK
=
，
90
TMQ
=
，MT
MB
=
，
∴MTQ
MBP
≌
，
学科网（北京）股份有限公司
53 /
∴MQ
MP
=
，
∴P 关于MN 的对称点为Q ．
13．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）如图①所示，将两个含30角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以
证得
ABD
△
是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角
边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题： ．
(1)请在上面空格中写出该命题；
(2)小聪发现（1）中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已
知”和“求证”，并写出证明过程．
已知：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
， ．
求证： ．
证明：
【答案】(1)若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则这条直角边所对的角为30角；
(2)
1
2
BC
AB
=
；
30
BAC
=
；证明见详解
【分析】（1）将条件与结论对调即可得到答案；
（2）根据命题写出已知求证，延长BC 至D 使BC
DC
=
，连接AD，证明
(SAS)
ACB
ACD
≌
即可得到得到
答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
命题为：若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则直角边所对的角为30角；
（2）解：由（1）得，
已知：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
1
2
BC
AB
=
，
求证：
30
BAC
=
；
证明：延长BC 至D 使BC
DC
=
，连接AD，
学科网（北京）股份有限公司
54 /
∵
90
ACB
=
，
∴
90
ACB
ACD
=
=
，
在
ACB
△
与ACD
，
∵
BC
DC
ACB
ACD
AC
AC
=
=
=
，
∴
(SAS)
ACB
ACD
≌
，
∴AB
AD
=
，
BAC
DAC
=
，
∵
1
2
BC
AB
=
，BC
DC
=
，
∴AB
AD
BD
=
=
，
∴
ABD
△
是等边三角形，
∴
60
BAD
=
，
∴
30
BAC
=
；
故所填答案为：
1
2
BC
AB
=
；
30
BAC
=
．(证明如上)
14．（24-25 八年级下·辽宁锦州·期中）小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”
是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图，
ABP
CBP
=
，点D 在射线BP上， ，
求证： ．
(1)补全图形，已知和求证；
(2)按小颖的想法写出证明过程．
学科网（北京）股份有限公司
55 /
(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．它是真命题，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质直接画图，直接填写已知条件和结论即可；
（2）通过证明全等三角形得到边相等即可；
（3）根据逆命题的定义直接写出逆命题，然后证明全等三角形，再证明角平分线即可．
【详解】（1）补全图形如图所示．
已知：如图，
ABP
CBP
=
，点D 在射线BP上，DE
BA
DF
BC
⊥
⊥
，
，垂足分别为E，F．
求证：DE
DF
=
．
（2）∵DE
BA
⊥
， DF
BC
⊥
．
∴
90
DEB
DFB
=
=
．
在BED
和
BFD
△
中，
DEB
DFB
ABP
CBP
BD
BD
=
=
=
∴
(AAS)
BED
BFD
≌
．
∴DE
DF
=
．
（3）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
它是真命题．
已知：如图，点P 为
ABC
内一点，PD
AB
PE
BC
⊥
⊥
，
，垂足分别为D，E，且PD
PE
=
．
求证：BP平分
ABC
．
证明：∵PD
AB
PE
BC
⊥
⊥
，
，垂足分别为D，E．
∴
90
BDP
BEP
=
=
．
在Rt
DBP
△
和Rt EBP
中，
学科网（北京）股份有限公司
56 /
PD
PE
BP
BP
=
=
∴Rt
Rt
(HL)
DBP
EBP
≌
．
∴1
2
= （全等三角形的对应角相等）．
∴BP平分
ABC
．
