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2.4 互逆命题与互逆定理
课标要点
1.结合本章知识体系，理解逆命题、逆定理的概念，掌握命题与逆命题、定理与逆定理的
相互转化关系，能准确写出任意命题的逆命题。
2.学会判断原命题与逆命题的真假，掌握举反例判断假命题的方法，明确并非所有定理都
有逆定理，能区分定理、逆定理、真命题、假命题的概念差异。
3.能结合轴对称相关性质、特殊三角形性质，对命题、逆命题进行真假推理与证明，规范
几何语言，完善几何逻辑推理体系。
4.探索并证明线段垂直平分线与角平分线性质定理的逆定理，分清性质与逆定理的双向逻
辑关系。
学习重难点
重点：
1.理解逆命题、逆定理的定义，熟练掌握原命题改写逆命题的方法，能准确辨析命题、逆
命题、定理、逆定理的关系。
2.能判断原命题与逆命题的真假，熟练运用举反例的方法证明假命题，掌握常见几何命题
的真假判定规律。
3.熟练用逆定理完成判定、线段相等、垂直证明。
难点：
1.对条件隐蔽、句式复杂的几何命题，准确提取条件与结论，正确改写逆命题，避免改写
遗漏、句式错误。
2.准确区分“逆命题为真”与“原定理有逆定理”的逻辑关系，理解定理不一定存在逆定
理的本质原因。
3.结合轴对称性质与命题推理，完成综合性几何说理与证明，整合图形性质与逻辑推理知
识，构建严谨的推理链条。
4.综合题型灵活搭配线段垂直平分线与角平分线性质定理逆定理，规范写出完整证明步
骤。
第二章
特殊三角形
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知识点
互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个
命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题。
2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理叫作
互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。
随学随练
1．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的中位线平行于第三条边
C．直角三角形的两锐角互余
D．等边三角形是等腰三角形
2．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题
B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理
D．任何一个定理都有逆定理
知识点
线段垂直平分线性质定理的逆定理（重点）
特别提醒
1）互逆命题只交换条件和结论，命题真假性互不影响；
2）定理一定是真命题，但它的逆命题不一定是真命题，不一定是逆定理。
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1. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
随学随练
1．（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝐷，𝐶𝐸相
交于点O．
(1)求证：△𝑂𝐵𝐶是等腰三角形；
(2)连接𝐴𝑂，求证：𝐴𝑂垂直平分𝐵𝐶．
知识点
角平分线性质定理的逆定理（重点）
1. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
随学随练
1．（25-26 八年级下·河北保定·期中）如图，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F．若𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
易错提醒
1）必须满足“点到线段两个端点距离相等”，单点距离相等无法判定；
2）不能直接得出直线是垂直平分线，需两点确定一条直线；
3）区分：性质是“垂直平分→距离相等”，逆定理是“距离相等→在垂直平分线上”。
易错提醒
1）必须满足角的内部+到两边垂线段距离相等，缺一不可；
2）距离特指垂线段长度，不是点到边的斜线段长度；
3）区分：性质是“角平分线上→距离相等”，逆定理是“距离相等→在角平分线上”。
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(1)求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
(2)已知𝐴𝐵= 10，𝐶𝐹= 2，求𝐴𝐶的长．
拓展
互逆命题与互逆定理核心概念对比
1.二者为易混淆基础概念，核心区别在于真假性、定理属性，具体对比如下：
对比维度
互逆命题
互逆定理
定义本质
两个命题的条件、结论互相互换，仅为命
题结构上的互逆关系
两个定理互为逆关系，是经过证明为真的
互逆命题
真假性要求
原命题为真，逆命题可真可假，无强制真
假关联
原定理和逆定理必须均为真命题
从属关系
范围更广，所有互逆定理都是互逆命题
是特殊的互逆命题，仅真命题才可成为互
逆定理
活学活用
1．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题也是真命题
B．每个命题都有逆命题
C．每个定理都有逆定理
D．假命题没有逆命题
2．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．若𝑎= 𝑏，则𝑎2 = 𝑏2
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．直角三角形的两个锐角互余
拓展
两大核心逆定理内容与适用范围对比
对比维度
线段垂直平分线性质逆定理
角平分线性质逆定理
定理内容
到一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个
角的平分线上
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判定依据
点到线段两端点的距离相等
点到角的两条边的距离相等（垂线段距离）
适用范围
平面内任意点与线段的位置关系判定
仅限角的内部的点，外部点不适用该定理
核心作用
判定点在线段垂直平分线上，可用于证明
线段垂直、相等关系
判定点在角平分线上，可用于证明角相等、
距离相等关系
活学活用
1．幸福小区的三个出口A，B，C 的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内
修建一个电动车充电桩，要求到3 个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．3 条高的交点处 B．3 条中线的交点处
C．3 条边的垂直平分线的交点处 D．3 个角的平分线的交点处
2．如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐸的平分线交于点P，𝑃𝑀⊥𝐴𝐷于点M，𝑃𝑁⊥𝐶𝐸于点N，判断点P
是否在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上，并说明理由．
题型
判断是否为命题的逆命题
▌例1．下列命题的逆命题正确的是（ ）．
A．对顶角相等
解题贴士
先明确原命题的题设（条件）和结论，将二者互换得到新命题，再依据“可以判断真假的陈述句为命题”，
判定所得语句是否为逆命题。
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B．互为相反数的两个数的平方相等
C．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．等边三角形是锐角三角形
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·山东枣庄·期末）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．全等三角形的三条对应边相等
C．在角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．对顶角相等
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．若𝑎< 𝑏，则𝑎2 < 𝑏2
B．等边三角形的各角都等于60°
C．两条直线平行，同位角相等
D．全等三角形的对应边相等
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应边相等
D．全等三角形的对应角相等
题型
写出命题的逆命题
▌例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·安徽马鞍山·期中）写出“如果𝑎> 𝑏，那么𝑎2 > 𝑏2”的逆命题．________．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题
___________．
▌对点练1-3．命题“如果∠1 + ∠2 = 180°，那么∠1与∠2互为邻补角”的逆命题是
________________________，它是______命题（填“真”或“假”）．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·宁夏吴忠·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____
（写出它的逆命题，不用判断它的真假）
解题贴士
先把原命题改写为“如果…那么…”标准形式，精准拆分条件与结论，直接互换条件和结论，整理语句
通顺即可。
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题型
互逆定理
▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．同位角相等，两直线平行
C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等
▌例2．（25-26 八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________．
▌对点练1-1．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等
D．等角对等边
▌对点练1-2．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）
A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”
D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理
▌对点练1-3．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边
的中线，那么这个三角形是_________三角形．
题型
线段垂直平分线的判定
▌例1．（25-26 八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在𝐴，𝐵，𝐶所在位置，现要规划一个
饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（ ）
解题贴士
1）一个定理的逆命题经过证明为真命题，即为原定理的逆定理，二者互为互逆定理；
2）核心判定：原定理、逆命题均为真命题。
解题贴士
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线，取两
个满足条件的点，即可确定线段垂直平分线。
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A．△𝐴𝐵𝐶三边的垂直平分线的交点处
B．△𝐴𝐵𝐶的三条高线的交点处
C．△𝐴𝐵𝐶的三条角平分线的交点处
D．△𝐴𝐵𝐶的三条中线的交点处
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站
到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点
▌对点练1-2．如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝑀𝐵= 𝑀𝐶．直线𝐴𝑀是线段𝐵𝐶的垂直平分线吗？
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶
于点𝐸，若∠𝐵𝐴𝐸= 40°，∠𝐶𝐴𝐷= 30°，求证：点𝐸在线段𝐴𝐵的垂直平分线上．
题型
线段垂直平分线的性质与判定综合
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▌例1．（25-26 八年级下·山西太原·期中）如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，D 是线段𝐴𝐸上一点（不与A，
D 重合），下列结论不一定正确的是（ ）
A．𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐵𝐸𝐶
B．𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐶
C．∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸
D．𝐵𝐷= 𝐷𝐸
▌例2．（25-26 八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷，点𝐸在边𝐴𝐵上，且
𝐵𝐷= 𝐷𝐸，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹，连接𝐶𝐸．
(1)求证：𝐴𝐸= 𝐵𝐶；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为21，𝐴𝐶= 8，求△𝐵𝐶𝐸的周长．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东淄博·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点𝐴，𝐶为圆心，大于
1
2 𝐴𝐶长
为半径画弧，两弧交于𝑀，𝑁两点，作直线𝑀𝑁，交𝐴𝐶于点𝐸，交𝐴𝐵于点𝐹，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷．若
∠𝐴= 32°，点𝐷恰好是𝐵𝐹的中点，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
A．32°
B．52°
C．64°
D．84°
解题贴士
先用判定定理证明点在垂直平分线上，再用性质定理得线段相等、垂直平分关系；反复结合等量代换、
三角形周长、角度计算、证明。
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▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片𝐴𝐵𝐶的一角沿𝐴𝐵的垂直平分线翻
折，折痕为𝐷𝐸，点B 与点A 重合，已知△𝐴𝐶𝐷的周长是18，△𝐴𝐵𝐶的周长是26，则𝐴𝐵=_________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广东梅州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，直线l 垂直平分边𝐵𝐶，分别交𝐴𝐶，
𝐵𝐶于点D，E，连接𝐵𝐷．
(1)若𝐴𝐵= 9，△𝐴𝐵𝐷的周长为19，则𝐴𝐶的长为 ；
(2)若∠𝐴𝐷𝐵= 90°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(3)已知点P 在线段𝐷𝐸上，且点P 在边𝐴𝐶的垂直平分线上，连接𝑃𝐶，试判断点P 是否在边𝐴𝐵的垂直平分
线上，并说明理由．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边的垂直平分线𝑙1交𝐵𝐶于点𝐷，
𝐴𝐶边的垂直平分线𝑙2交𝐵𝐶于点𝐸，𝑙1与𝑙2相交．点𝑂，连接𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶．
(1)若△𝐴𝐷𝐸的周长为8 cm，线段𝐵𝐶的长为_____；
(2)判断点𝑂是否在𝐵𝐶的垂直平分线上，并说明理由；
(3)若∠𝐵𝐴𝐶= 120°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
题型
角平分线的判定
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▌例1．（25-26 八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树𝑂处延伸出两段小路𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝐶到𝑂𝐴，𝑂𝐵的距离
均为3米，若∠𝐵𝑂𝐶= 25°，则∠𝐴𝑂𝐵=（ ）
A．25°
B．50°
C．60°
D．65°
▌例2．（25-26 八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．
如图，过△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶的垂直平分线𝑀𝑁上的点M，作△𝐴𝐵𝐶的另外两边𝐴𝐵, 𝐵𝐶所在直线的垂线，垂足分
别为D，E，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，作射线𝐵𝑀，求证：𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶．
证明：连接𝑀𝐴, 𝑀𝐶，
∵点M 在𝐴𝐶的垂直平分线上，
∴𝑀𝐴= 𝑀𝐶．（依据： ）
∵𝑀𝐷⊥𝐴𝐵, 𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝐶𝐸𝑀= ．
在Rt △𝑀𝐴𝐷和Rt △𝑀𝐶𝐸中，{𝑀𝐴= (
)
(
) = 𝐶𝐸
∴Rt △𝑀𝐴𝐷≌Rt △𝑀𝐶𝐸（填判定依据，用字母表示），
∴𝑀𝐷= ______.
又∵𝑀𝐷⊥𝐵𝐴, 𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，
∴点M 在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上，（依据： ）
即𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶．
解题贴士
判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；距离特指点到边的垂线段
长度，据此可判定角平分线。
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▌对点练1-1．（25-26 八年级上·福建福州·期末）在锐角△𝐴𝐵𝐶内一点P，且点P 到△𝐴𝐵𝐶三边的距离相
等，则点P 是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．重心
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在∠𝐴𝑂𝐵内部，将两个完全一样的含30°角的直角
三角尺按如图所示的方式放置，连接𝑂𝑃，则可得到𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，判断依据是__________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知△𝑃𝑀𝑁，𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，交𝑀𝑁于点𝐸，
交𝑀𝑃于点𝑄，𝑂𝐵垂直平分𝑃𝑁，交𝑀𝑁于点𝐹，交𝑃𝑁于点𝑅，连接𝑂𝑃．
(1)连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，若𝑀𝑁= 15，求△𝑃𝐸𝐹的周长；
(2)若𝑃𝑀= 𝑃𝑁，求证：𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．
▌对点练1-4．∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°, 𝐵𝐶= 𝐴𝐶, 𝐸𝐶= 𝐷𝐶，直线𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝐹．
(1)如图1，若∠𝐶𝐸𝐵= 90°，求证：𝐹𝐶平分∠𝐵𝐹𝐷；
(2)如图2，若∠𝐶𝐸𝐵≠90°，（1）中的结论是否成立？说明理由．
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题型
角平分线的性质与判定综合
▌例1．（25-26 九年级下·上海杨浦·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐸，
连接𝐴𝐸，如果要求出∠𝐶𝐴𝐸的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐶
B．∠𝐴𝐶𝐵
C．∠𝐵𝐴𝐶
D．∠𝐴𝐸𝐶
▌例2．（25-26 七年级下·福建福州·期末）在四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，点F 在边𝐴𝐵上，𝐷𝐹= 𝐶𝐷，连接𝐶𝐹，𝐷𝐸⊥
𝐶𝐹于E，连接𝐴𝐷交𝐶𝐹于点M．
(1)求证：𝐹𝐸= 𝐶𝐸；
(2)若∠𝐵= 90°，∠𝐴𝐹𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，求证：∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶；
(3)在（2）的条件下，若𝐴𝐶= 6𝐵𝐹，𝑀𝐸= 1，求𝑀𝐹．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·重庆大足·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于
D，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，点F 在𝐴𝐶上，点G 在𝐴𝐵上，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐹𝐷平分∠𝐶𝐹𝐺，下列结论中正确的个数
（ ）．
①𝐷𝐶= 𝐷𝐸；②𝐺𝐷平分∠𝐹𝐺𝐸，③∠𝐶𝐴𝐵+ 2∠𝐹𝐷𝐺= 180°；④∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐺𝐷𝐸；⑤𝑆△𝐹𝐷𝐺= 𝑆△𝐶𝐷𝐹+
解题贴士
先通过垂线段相等用判定证角平分线，再用性质得新的垂线段相等，结合面积、边长、角度、三角形内
心性质综合求解、证明。
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𝑆△𝐷𝐸𝐺．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏宿迁·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线交于点
𝐷，连接𝐴𝐷，若∠𝐵𝐷𝐶= 35°，则∠𝐷𝐴𝐶的度数是_____________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·四川成都·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐵𝐶𝐻的平分线𝐵𝑃，𝐶𝑃相交
于点𝐹．
(1)求证：𝑃𝐸= 𝑃𝐹；
(2)连接𝐴𝑃，若∠𝑃𝐴𝐻= 18°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·河南洛阳·期末）已知：∠𝐴𝑂𝐵= 60°，小惠在学习了角平分线的知识后，
做了一个夹角为120°（即∠𝐷𝑃𝐸= 120°）的角尺来作∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．
(1)如图1，她先在边𝑂𝐴和𝑂𝐵上分别取𝑂𝐷= 𝑂𝐸，再移动角尺使𝑃𝐷= 𝑃𝐸；然后她就说射线𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的
角平分线．试根据小惠的做法证明射线𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线；
(2)如图2，将角尺绕点𝑃旋转了一定的角度后，𝑂𝐷≠𝑂𝐸，但仍然出现了𝑃𝐷= 𝑃𝐸，此时𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的角
平分线吗？如果是，请说明理由．
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基础通关
1．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（ ）
A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”
B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补”
C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补”
D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补”
2．（25-26 八年级上·河南周口·期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．等边三角形的每个内角都是60°
3．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．等边对等角
D．全等三角形对应边相等
4．（25-26 八年级上·河南南阳·期末）如图，𝐴𝐶= 𝐴𝐷, 𝐵𝐶= 𝐵𝐷，则有（ ）
A．𝐶𝐷垂直平分𝐴𝐵
B．𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷
C．△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形
D．𝐴𝐵与𝐶𝐷互相垂直平分
5．（25-26 八年级上·四川宜宾·期末）下列 4 个命题中，是真命题的个数有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②如果两个实数相等，则它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相
等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（25-26 八年级上·贵州黔西南·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别
与△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶重合，它们的顶点重合于点M，则点M 一定在（ ）
A．∠𝐴的平分线上
B．边𝐴𝐶的高线上
C．边𝐵𝐶的垂直平分线上
D．边𝐴𝐵的中线上
7．（25-26 七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______．
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8．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若𝑎< 𝑏，则𝑎2 < 𝑏2”的逆命题：__________．
9．（25-26 七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果
__________________，那么_____________________．
10．（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，
𝐵𝐷, 𝐶𝐸相交于F．
(1)求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐷；
(2)试判断𝐴𝐹所在直线与𝐵𝐶的位置关系，并证明．
11．（25-26 八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝑀𝑁均为等边三角形，将△𝐴𝑀𝑁绕点𝐴旋转（△
𝐴𝑀𝑁在直线𝐴𝐶的右侧）．
(1)求证：△𝐵𝐴𝑀≌△𝐶𝐴𝑁；
(2)若点𝐶，𝑀，𝑁在同一条直线上，点𝑀是𝐶𝑁的中点，求证：𝐵𝑀⊥𝐴𝐶．
12．（25-26 七年级下·重庆·期中）请将下面的解答过程补充完整．
在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，∠1 = ∠2，试判断𝐴𝐷与𝐵𝐶的位置关系，
并说明理由．
解：𝐴𝐷与𝐵𝐶的位置关系为： ① ，理由如下：
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶（已知）
∴∠𝐸𝐹𝐶= 90°（垂直的定义）
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线（已知）
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∴ ②
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠𝐶𝐴𝐷
∴ ③ （同位角相等，两直线平行）
∴ ④ = ∠𝐸𝐹𝐶= 90°（ ⑤ ）
∴ ⑥
13．（25-26 八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△𝐴𝐷𝐹中，∠𝐹= 90°，点𝐵、𝐶分别在边𝐴𝐹、𝐷𝐹上，连接
𝐴𝐶、𝐵𝐶，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹，在边𝐴𝐷上截取𝐷𝐸= 𝐵𝐹，连接𝐶𝐸．求证：𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵．
素养提升
1．（25-26 八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．等角对等边 B．若𝑎= 𝑏，则𝑎2 = 𝑏2
C．对顶角相等 D．直角都相等
2．（2026·山东聊城·二模）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形是锐角三角形
B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．两条直线平行，内错角相等
D．全等三角形的对应角相等
3．（25-26 七年级上·山东淄博·期末）如图，已知𝑃𝐴⊥𝑂𝑁于点𝐴，𝑃𝐵⊥𝑂𝑀于点𝐵，且𝑃𝐴＝𝑃𝐵，
∠𝑀𝑂𝑁＝50°，∠𝑂𝑃𝐶＝20°，则∠𝑃𝐶𝐴＝____°．
4．（2026·山东临沂·二模）命题“如果
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐，那么𝑎= 𝑏”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题．
5．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶上的一点，连接𝐴𝐷，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于
点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，且𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐸𝐹．
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(1)证明：𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹；
(2)若△𝐴𝐵𝐶面积为36,𝐵𝐶= 12,𝐷𝐸= 4，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
6．（25-26 八年级上·福建福州·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵于点
𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐶𝐷，𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵= 30°，求∠𝐶𝐴𝐸的度数；
(2)在（1）的条件下，求证：点𝐸在线段𝐶𝐷的垂直平分线上．
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 100°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥
𝐴𝐵，垂足为F，且∠𝐴𝐸𝐹= 50°，连接𝐷𝐸．
(1)求∠𝐶𝐴𝐷的度数；
(2)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(3)若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 8，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
8．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图1，△𝑂𝐴𝐵,△𝑂𝐶𝐷都是等腰三角形，𝑂𝐴= 𝑂𝐵, 𝑂𝐶=
𝑂𝐷, ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，连接𝐴𝐶和𝐵𝐷相交于点E，连接𝑂𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐶𝑂≌△𝐵𝐷𝑂；
(2)若∠𝐴𝑂𝐵= 2𝛼，求∠𝑂𝐸𝐷的大小；
(3)如图2，若∠𝐴𝑂𝐵= 60°，F 为𝐵𝐷上一点，𝐷𝐹= 𝐶𝐸, 𝑂𝐹= 𝐵𝐸，𝐴𝐶交𝑂𝐵于点G，求证：𝐴𝐶垂直平分
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𝐵𝑂．
9．（25-26 八年级上·四川广安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐵𝐶的延长线上，连接𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶的平
分线交𝐴𝐷于点𝐸，连接𝐶𝐸，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐵𝐷于点𝐻，若∠𝐴𝐶𝐸= 34°，∠𝐶𝐸𝐻= 56°．
(1)求证：𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐹；
(2)若𝐴𝐵= 8，𝐶𝐷= 10，𝐴𝐶= 6，且𝑆△𝐴𝐵𝐸= 16，求△𝐴𝐶𝐷的面积．
迁移创新
1．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50 页的部分内
容．
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上
呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【定理证明】
（1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的
平分线上”完整的证明过程．
已知：点𝑃在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，垂足分别为𝐷、𝐸，且______．
求证：𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线．
请根据上述已知和求证，写出证明过程．
【定理应用】
（2）如图2，∠𝐵= ∠𝐶= 90°，𝐸是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷．求证：𝐷𝐸是∠𝐴𝐷𝐶的平分线．
【拓展提升】
（3）如图3，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶．若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 3，𝐶𝐷= 5，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 16，请求出△𝐴𝐵𝐸的面积．(提示：过点𝐸作𝐴𝐵的垂线)
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2．（2025·广东惠州·一模）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝
的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1 所示．
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵= 𝐴𝐷且𝐶𝐵= 𝐶𝐷，则四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷为筝形．
【任务1】如图2 是由小正方形组成的10 × 5网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在
格点的筝形𝐸𝐹𝐺𝐻；
【任务2】探究筝形的性质：结合图1 请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行
证明．
