文档文本内容
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2.1 图形的轴对称
课标要点
1.理解轴对称图形、两个图形关于某条直线对称的定义，能准确区分轴对称图形与图形成
轴对称两类概念。
2.掌握图形轴对称的基本性质，理解对称轴是对应点连线的垂直平分线，明确轴对称图形
中对应线段相等、对应角相等，能利用轴对称性质分析图形边角关系、等量关系。
3.掌握画轴对称图形的基本方法，能根据对称轴作出已知图形的轴对称图形。
4.了解轴对称在生活与几何解题中的应用，能利用轴对称的对称性转化线段、角度，解决
最短路径、线段最值、图形折叠等基础几何问题，体会数形结合与转化思想。
学习重难点
重点：
1.区分轴对称图形与图形成轴对称的概念，熟练掌握轴对称的核心性质，能运用对应边、
对应角相等的性质进行计算与说理。
2.能根据对称轴规范作出轴对称图形，精准定位对称点，掌握轴对称作图的标准步骤与作
图规范。
难点：
1.能在复杂组合图形中精准判断轴对称关系。
2.灵活运用轴对称性质解决折叠问题、最短路径问题，通过轴对称转化线段长度，构建几
何模型，突破图形变换类题型难点。
第二章
特殊三角形
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知识点
轴对称图形
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴
对称图形。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 元素：这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。
3. 判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能
够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形。
随学随练
1．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列体育图标中，是轴对
称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）地铁作为一种高效、低碳、大容量的公共交通方式，已成为许多国家
和地区城市化进程中不可或缺的基础设施．下列地铁标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
教材延伸
等腰三角形、线段、角都是典型轴对称图形。
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D．
知识点
轴对称图形的性质（重点）
2. 轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
随学随练
1．（2025·河北邯郸·一模）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点O，下列结论：
①𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′；②𝑂𝐵= 𝑂𝐵′；③𝐴𝐴′∥𝐵𝐵′；④△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′中，错误的有（ ）
A．4 个
B．1 个
C．0 个
D．2 个
2．（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3 的流程进行操作，
即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点
轴对称及其性质
易错提醒
不可颠倒表述：不能说对称点连线垂直平分对称轴。
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1. 轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿着某一条直线折叠后能够互相重
合，这样的图形变化叫作图形的轴对称，这条直线叫作对称轴。
2. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。
随学随练
1．（25-26 八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有𝑀，𝑁两个球，若要将球𝑀射向桌面的一边，
反弹一次后击中球𝑁，则𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点中，可以反弹击中球𝑁的是（ ）
A．点𝐴
B．点𝐵
C．点𝐶
D．点𝐷
知识点
作轴对称图形（重点）
1. 轴对称图形的画法：几何图形都可以看作由点组成。对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，
只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图
形.
2. 具体步骤：①找图形的关键点；
②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的
对应点；
③按照原图形连接各对应点。
例：如图(1)，已知△ABC 和直线l，画出与△ABC 关于直线对称的图形。
特别提醒
性质与轴对称图形性质相通，可通用。
易错提醒
成轴对称⇒全等；全等图形不一定成轴对称。
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（1）过点A 画直线l 的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A 关于直线l 的对称点；
（2）同理，分别画出点B，C 关于直线l 的对称点B'，C'；
（3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求。
随学随练
1．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角
形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴．
2．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，在8 × 8的正方形网格中，请在图中画出所给图形关于直线l 对
称的图形．
3．（25-26 七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上．
(1)作△𝐴𝐵𝐶关于直线l 对称的图形△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)求△𝐴𝐵𝐶的面积．
教材延伸
平面直角坐标系中可借助坐标规律快速确定对称点。
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拓展
轴对称图形与两个图形成轴对称对比
类别
轴对称图形
两个图形成轴对称
对象
一个独立平面图形
两个独立图形
本质
图形自身沿直线对折，两边重合
一个图形沿直线翻折后与另一个图形重合
对称轴数量
至少 1 条（圆无数条、正方形 4 条）
只有 1 条
性质
对称轴垂直平分图形内部任意一组对称点
的连线；图形自身全等对称
两个图形全等，对称点连线同样被对称轴
垂直平分
联系
把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，得到两
个成轴对称的图形
活学活用
1．（25-26 八年级上·新疆塔城·期末）体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，
是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）．
A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形
D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形
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拓展
所有轴对称作图本质是「找点→作对称点→连线」
1.底层原理：任何几何图形由点构成，无需完整复刻图形，只处理关键点（顶点、端点、交点）即可；
2.对称点标准画法（通用步骤）：
①过关键点作对称轴垂线；
②垂线延长，截取等长线段得到对称点；
3.适用场景：
①给单个图形作自身对称轴（判断轴对称图形）；
②已知图形与直线，画另一侧对称图形。
活学活用
1．（25-26 七年级上·山东淄博·期中）一个轴对称图形的一半如图所示，直线𝑀𝑁是这个轴对称图形的对称
轴，请画出这个图形的另一半．
2．（25-26 八年级上·山东菏泽·期中）在如图1 和图2 的正方形方格中，分别画出已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷关于直
线m，n 成轴对称的图形．
3．（25-26 八年级上·辽宁铁岭·期中）在直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的位置如图所示．
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(1)请画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1（其中𝐴1，𝐵1，𝐶1分别是𝐴，𝐵，𝐶的对应点，不写画法）；
(2)在𝑦轴上求作点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点𝑃的位置）
题型
轴对称图形的识别
▌例1．（2026·江苏徐州·模拟预测）下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌例2．（25-26 七年级下·湖南株洲·期末）美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融
合．下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是（ ）
解题贴士
尝试沿某条直线折叠图形，若直线两侧部分能完全重合，即为轴对称图形，只需找到至少一条对称轴即
可判定。
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A．
B．
C．
D．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山西运城·期末）下列图片对应的四种非遗文化中，其图形设计不是轴对称
图形的是（ ）
A．
剪纸
B．
面塑
C．
绛州鼓乐
D．
平遥推光漆器
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿
色环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）下列数学符号中，不是轴对称图形的是（ ）
A．⇒
B．≌
C．∞
D．∑
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花
窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯，是轴对称图形的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）下列汉字中可以近似看作是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
成轴对称的两个图形的识别
▌例1．（25-26 八年级上·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的
三角形成轴对称图形的有（ ）
A．②，④
B．②，③
C．③，④
D．②，③，④
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“𝐸”有各种不同的摆放形式，下面各种组合
中的两个字母“𝐸”关于直线𝑙成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜
活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是
（ ）
解题贴士
观察两个独立图形，是否存在一条直线，使两个图形沿该直线折叠后完全重合，符合则两图形成轴对称。
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A．
B．
C．
D．
题型
根据成轴对称图形的性质判断正误
▌例1．（25-26 八年级上·河北石家庄·期中）已知，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点
𝑂，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′
B．𝐴𝐵∥𝐴𝐵′
C．𝐴𝐴′ ∥𝐶𝐶′
D．𝐵𝑂= 𝐵′𝑂
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于
点O．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′
B．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′
C．𝐴𝐴′ ⊥𝑀𝑁
D．𝐴𝐵∥𝐵′𝐶′
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·北京海淀·期中）如图，直线𝑀𝑁是四边形𝐴𝑀𝐵𝑁的对称轴，点𝑃是直线𝑀𝑁
上的点，下列判断错误的是（ ）
解题贴士
熟记核心性质：成轴对称的两个图形全等、对称轴是对应点连线的垂直平分线、对应线段相等、对应角
相等、对应线段或延长线交点在对称轴上，据此逐一辨析对错。
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A．𝐴𝑁= 𝐵𝑁
B．∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐵𝑀𝑁
C．∠𝑃𝐴𝑁= ∠𝑃𝐵𝑁
D．𝐴𝑃= 𝐴𝑁
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝑃为𝑀𝑁上一
点（𝐴，𝑃，𝐴′不共线），下列结论不一定
．．．正确的是（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵′𝐴′𝐶′ B．直线𝑀𝑁垂直平分线段𝐴𝐴′、𝐶𝐶′
C．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′的面积相等 D．△𝐴𝐴′𝑃是等腰三角形
题型
根据成轴对称图形的性质求解
▌例1．（25-26 七年级下·江苏徐州·期中）如图，𝐷为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上一点，点𝐴关于直线𝐶𝐷的对称点𝐸恰
好在线段𝐵𝐶上，连接𝐷𝐸，若𝐴𝐵= 8, 𝐴𝐶= 3, 𝐵𝐶= 9，则△𝐵𝐷𝐸的周长是（ ）
A．10
B．13
C．14
D．15
▌例2．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑙对称，若∠𝐴= 50°，∠𝐶=
25°，则∠𝐵′的度数为________°．
解题贴士
利用轴对称全等、对应边角相等、对称轴垂直平分对应点连线的性质，进行边角等量代换，结合线段和
差、三角形内角和计算求值。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏镇江·期中）如图，直线l 是长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称轴，点E 是直线l 上的
点，若𝐴𝐷= 4，𝐴𝐵= 3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O 为∠𝐴𝐵𝐶内部一点，且𝑂𝐵= 5，E，F 分别为点
O 关于射线𝐵𝐴，射线𝐵𝐶的对称点，当∠𝐴𝐵𝐶= 90°时，则𝐸𝐹的长为_______．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·江西上饶·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于直线𝑙对称，其中∠𝐵= 90°，
𝐴𝐵= 4cm，𝐷𝐹= 5cm，𝐵𝐶= 3cm．
(1)求∠𝐸的度数．
(2)求△𝐴𝐵𝐶的周长．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·云南临沧·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶是轴对称图形，对称轴是𝐴𝐷．
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(1)找出所有对应点、对应边、对应角．
(2)如果𝐴𝐵= 5cm，∠𝐵= 60°，求𝐴𝐶和∠𝐶．
(3)如果𝐵𝐷= 4cm，求𝐶𝐷．
题型
画对称轴
▌例1．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴．
▌对点练1-1．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴．
▌对点练1-2．指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴．
▌对点练1-3．如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐹𝐸关于直线l 对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出
直线l．
解题贴士
找出两组对应点，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，该直线即为图形的对称轴。
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▌对点练1-4．（25-26 八年级上·河北保定·期中）按要求完成下列各小题．
(1)在图1 中，画出灰色图形的对称轴直线𝑚；
(2)在图2 各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线𝑙成轴对称．
题型
求对称轴条数
▌例1．（25-26 七年级下·湖南娄底·期末）下列图形中有且只有3 条对称轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌例2．（25-26 八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是
解题贴士
1）逐一尝试所有可使图形折叠重合的直线，不重复、不遗漏，统计全部有效对称轴数量；
2）熟记常见图形对称轴条数：圆无数条、正方形4 条、长方形2 条、等腰三角形1 条、等边三角形3
条。
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（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A．等腰三角形
B．正方形
C．正五边形
D．圆
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条
数为2 条的图形的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
题型
画轴对称图形
▌例1．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）在6 × 8正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在
格点的三角形叫做格点三角形．△𝐴𝐵𝐶是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即
可）．
(1)在图甲中画格点△𝐷𝐵𝐶，使△𝐷𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐶．
(2)在图乙中画格点Rt △𝐷𝐵𝐶，使Rt △𝐷𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶面积相等．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知△𝐴𝐵𝐶，
解题贴士
①找图形关键点；
②过关键点作对称轴的垂线并延长，截取等长线段得到对应点；
③依次连接所有对应点，得到轴对称图形。
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(1)作△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙的轴对称图形△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)作出△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在7 × 6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1，网格中有一个格点△𝐴𝐵𝐶（即三角形的顶点都在格点上），利用网格画图．
(1)在图中作出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)连接𝐶𝐶′，则𝐶𝐶′与𝑀𝑁的位置关系是 ，线段𝐵𝐶与𝐵′𝐶′的数量关系是 ．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，在6 × 8的正方形网格中，每个小正方形的边长均是
1，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上（每个小正方形的顶点叫格点），请在图中画出△𝐴𝐵𝐶关于直线l 对称的图形
△𝐴′𝐵′𝐶′（点A、B、C 的对应点分别为点𝐴′、𝐵′、𝐶′）．
题型
实际生活中的轴对称问题
▌例1．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋
中，此时∠2 = ∠3，且∠1 + ∠3 = 90∘，若∠2 = 57∘，则∠1 =（ ）
解题贴士
易错：①受实物图案干扰，忽略几何对称本质；②审题不清，混淆对称、全等、相似概念；③作答不
结合实际场景，缺少必要文字说明。
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A．57∘
B．43∘
C．53°
D．33∘
▌例2．（25-26 七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实
际号码应该是___________．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河南安阳·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射
光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，𝐴𝐵是平面镜，若入射光线𝑃𝑂与水平镜面的夹角为∠1，反射光线
𝑂𝑄与水平镜面的夹角为∠2，则∠1 = ∠2．如图2，𝑂𝑀和𝑂𝑁是两块平面镜，入射光线𝐴𝐵经过两次反射后，
得到反射光线𝐶𝐷．则下列判断错误的是（ ）
A．若𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，则𝛼= 45°
B．若𝑂𝑀⊥𝑂𝑁，则𝐴𝐵∥𝐶𝐷
C．若𝐴𝐵∥𝐶𝐷，则𝛼+ 𝛽= 90°
D．若𝛼= 𝛽，则𝐴𝐵∥𝐶𝐷
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子
钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子
中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________．
题型
折叠问题
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▌例1．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵上一点，沿𝐶𝐷折叠△𝐶𝐵𝐷，使点𝐵恰好
落在𝐴𝐶边上的点𝐸处，𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 2，则𝐴𝐸等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
▌例2．（25-26 七年级下·湖北恩施·期中）如图，将三角形纸片𝐴𝐵𝐶折叠，折痕为𝐴𝐷，点𝐶落在点𝐸处，已
知∠𝐴𝐷𝐵= 70°．求∠𝐵𝐷𝐸的度数．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·广东清远·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个
三角形，𝐵𝐶为折痕，若∠1 = 44°，则∠𝐷𝐶𝐵的度数为（ ）
A．48°
B．58°
C．68°
D．78°
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若∠1 = 62°，
则∠2的度数为______．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川德阳·期中）如图1 是长方形纸带𝐴𝐵𝐶𝐷，∠𝐷𝐸𝐹= 28°，先将纸带沿𝐸𝐹
折叠成图2，再沿𝐵𝐹折叠成图3，则图3 中∠𝐶𝐹𝐸的度数为___．
解题贴士
折叠本质是轴对称，折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴；结合三角形内角和、线
段和差列等式求解。
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▌对点练1-4．（25-26 七年级下·河南周口·期末）综合与探究
已知长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，对边互相平行，4 个角均为直角．E，F 分别为𝐴𝐷, 𝐵𝐶边上两点，将长方形纸片沿
𝐸𝐹折叠后，点A，B 分别落在点𝐴′，𝐵′的位置．
(1)如图1，若𝐸𝐴′的延长线恰好过点C，且∠𝐸𝐹𝐵= 105°，求∠𝐷𝐸𝐶的度数；
(2)如图2，若𝐸𝐴′交边𝐷𝐶于点G，∠𝐸𝐹𝐵= 120°，求∠𝐸𝐺𝐶的度数．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）若两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“美妙
角”．即|∠𝛼−∠𝛽| = 60°，则称∠𝛼和∠𝛽互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
(1)若∠𝛼和∠𝛽互为“美妙角”，当∠𝛼= 80°时，求∠𝛽的度数；
(2)一张长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，点𝑃在边𝐵𝐶上，点𝐸在边𝐴𝐵上．将纸片沿着𝑃𝐸折叠，点𝐵落在点𝐵′处．若∠𝐸𝑃𝐵
与∠𝐵′𝑃𝐶互为“美妙角”，求∠𝐵𝑃𝐸的度数．
题型
最短路径问题
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▌例1．（25-26 七年级上·山东淄博·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别为𝐴(−1,3)，𝐵(−3,1)，
𝐶(−5,4)．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于x 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，其中点A，B，C 的对称点分别为𝐴1，𝐵1，𝐶1；
(2)在y 轴上找一点D，使𝐴𝐷+ 𝐵𝐷的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别是
𝐴(4, −1)，𝐵(1,−2)，𝐶(4,−4)．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)请在𝑥轴上标出点𝑃的位置，使得𝐵𝑃+ 𝐴𝑃的值最小（不要求写作法，保留作图痕迹）．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在边长为1 的正方形网格的格点
上，△𝐴′𝐵′𝐶′和△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙成轴对称．
解题贴士
利用轴对称转化线段，核心模型：
①两点在直线同侧：作一点对称点，连接对称点与另一点，和直线交点为最短路径点，线段长为最短距
离；
②两点在直线异侧：直接连接两点，与直线交点即为所求。
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(1)请在如图所示的网格中作出△𝐴′𝐵′𝐶′．
(2)连接𝐴𝐴′，则𝐴𝐴′与直线𝑙的关系是______．
(3)在直线𝑙上找一点𝑃，使得𝑃𝐴+ 𝑃𝐶值最小．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·广东惠州·期中）如图，在10 × 8的方格图中，每个小方格都是边长为1 个
单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点在格点上．
(1)画出△𝐴′𝐵′𝐶′，使它与△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑚对称；
(2)在直线𝑚上找一点𝐷，使得𝐵𝐷+ 𝐶𝐷的和最小；（保留作图痕迹）
题型
轴对称综合问题
▌例1．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 8cm，𝐵𝐶= 6cm，
𝐴𝐵= 10cm，动点𝑃从点𝐴出发，以每秒2cm的速度沿𝐴𝐵向终点𝐵运动，连接𝐶𝑃．设点𝑃的运动时间为𝑡
（秒）．
解题贴士
易错：①知识点混用，混淆内心、外心、轴对称性质；②推导过程逻辑断层，遗漏隐含条件；③多情
况题型漏解、错解；④折叠、对称结合题型找不准对应关系。
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(1)用含𝑡的代数式表示线段𝐵𝑃的长度；
(2)当线段𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶的面积分成2: 3两部分时，求𝑡的值；
(3)点𝐸是点𝐴关于直线𝐶𝑃的对称点，当点𝐸在𝐵𝐶的下方时，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸．在整个运动过程中，求△𝐴𝐵𝐸面
积的最大值．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏无锡·期中）尺规作图：
如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 7，𝐵𝐶= 9，𝐴𝐵= 10，请仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，并完成
填空．
(1)作∠𝐶𝐴𝐵的平分线𝐴𝐷，交边𝐵𝐶于点D；
(2)作点C 关于直线𝐴𝐷的对称点E；
(3)连接𝐷𝐸，则△𝐷𝐸𝐵的周长=______．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即𝐵𝐷被𝐴𝐶垂直平分．
(1)小深通过测量得到了𝐴𝐵= 𝐴𝐷，还需测量得到______（不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），
即可判断制作的风筝面𝐴𝐵𝐶𝐷为轴对称图形，请说明理由．
(2)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是轴对称图形，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= 50°，求∠𝐴𝐷𝐵的度数．
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基础通关
1．（2026·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下
列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 七年级下·山西运城·期末）人工智能正深刻改变着我们的生活，国内多家AI科技企业的品牌标志
中蕴含着丰富的几何知识．观察下列人工智能科技企业的Logo图案，其文字上方的图案属于轴对称图形的
是（ ）
A．字节跳动
B．华为
C．百度
D．科大讯飞
4.下列两个电子数字成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 七年级下·河南开封·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于直线l 对称，下列所连线段中，不能被直
线l 垂直平分的是（ ）
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A．𝐵𝐸
B．𝐴𝐷
C．𝐶𝐹
D．𝐶𝐷
6．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，P 为𝑀𝑁上任一点，
下列结论中错误的是（ ）
A．直线𝐴𝐵和直线𝐴′𝐵′的交点不一定在𝑀𝑁上 B．𝐴𝑃= 𝐴′𝑃
C．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′面积相等 D．𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′，𝐶𝐶′
7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．无数条
8．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有𝐸，𝐹两个桌球，若要将𝐸球射向球桌的一边，反弹一
次后击中𝐹球，则𝐸球应射向𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点中的点_____ ．
9．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠2的度数为55°，则∠1 =
______．
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10．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）（1）在如图1 所示的编号为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑的四个三角形中，关于𝑦轴对
称的两个三角形的编号为 ；
（2）在图2 中，画出与△𝐴𝐵𝐶关于x 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，点𝐴，𝐵，𝐶分别对应点𝐴1，𝐵1，𝐶1．
11．（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在
正方形的顶点上．
(1)在图中画出△𝐷𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙成轴对称，点D 与点A 对应，画出直线𝑙和△𝐷𝐸𝐹；
(2)在直线𝑙上找一点𝑃，使𝑃𝐵+ 𝑃𝐴的值最小．（在图形中标出点𝑃，保留作图痕迹）
素养提升
1．（25-26 七年级下·安徽合肥·期末）如图，△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷关于直线𝐴𝐷对称，若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，则图中阴影
部分的面积为_____．
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2．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）网格小正方形边长为1，点A、B 关于中间竖直线对称，点C 在B 正
上方6 格，则点C 的对称点与A 的竖直距离为_________．
3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀、𝑁分别是边𝐴𝐵、𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐶沿直
线𝑀𝑁折叠，使点𝐵与点𝐴重合，连接𝐴𝑁．
(1)若∠𝐶= 80°，∠𝐵= 40°，求∠𝐶𝐴𝑁的度数；
(2)若𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 7，则△𝐴𝐶𝑁的周长为__________．
4．（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）作图题
如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C 均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定
的网格中按要求作图(不能用圆规，保留作图痕迹)．
(1)作△𝐴𝐵𝐶关于直线𝐸𝐹对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)作△𝐴𝐵𝐶的中线𝐵𝐷．
5．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均
在格点上．
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(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁对称的△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)在直线𝑀𝑁上找一点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的值最小．
(3)找到格点𝐷，连接𝐵𝐷，满足𝐵𝐷与𝐴𝐶平行且相等．
6．（25-26 七年级下·广东清远·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐵关于直线𝑀𝑁对称，直线𝑀𝑁分别与𝐵𝐷、
𝐵𝐶交于点𝐸，𝐹，𝐸𝐹= 3，𝐴𝐶= 7.5，𝐵𝐶= 8，3𝐷𝐸= 𝐴𝐶．
(1)求𝐵𝐸的长．
(2)求△𝐸𝐵𝐶的面积．
(3)求△𝐷𝐵𝐶的面积．
7．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点𝐴落在点𝐴′处，折痕为𝐶𝐵；
再将长方形纸片的另一角也折叠，使顶点𝐷落在点𝐷′处，𝐷′在𝐵𝐴′的延长线上，折痕为𝐸𝐵．
(1)若∠𝐴𝐵𝐶= 60°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(2)若∠𝐴𝐵𝐶= 𝑚°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数，从计算中你发现了∠𝐶𝐵𝐸的度数有什么规律？
(3)∠𝐷′𝐵𝐸的补角为____________．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直
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线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）-（4）所示，虚线部分表示折
痕）．
将正方形纸片按以上方式折叠，标记字母如下图．
(1)求证：𝐴𝐵∥𝐶𝐷；
(2)联系拓展：若∠𝑀𝐷𝐶= 25°，求∠𝐸𝐵𝐴的度数．
2．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目．
项目任务单：《光的镜面反射》
项目
项目内容
图形
素材
光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反
射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小
相等，例如：在图1中，有∠1 = ∠2．
完成项目：
(1)项目1：如图2，已知有两个平面镜镜面𝐴𝐵与镜面𝐶𝐷，入射光线𝐸𝐹先后经镜面𝐴𝐵，𝐶𝐷形成反射，记反
射光线分别为𝐹𝐺，𝐺𝐻．
①若∠𝐴𝐹𝐸= 60°，求∠𝐸𝐹𝐺的度数．
②若∠𝐴𝐹𝐸= 𝛼，∠𝐷𝐺𝐻= 𝛽，𝐸𝐹∥𝐺𝐻，求𝛼，𝛽之间的数量关系．
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(2)项目2：如图3，现有三个平面镜𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，入射光线𝐸𝐹先后经镜面𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷反射，反射光线
依次为𝐹𝐺，𝐺𝐻，𝐻𝐼，且满足𝐹𝐸∥𝐻𝐼．
①若∠𝐴𝐹𝐸= 30°，∠𝐷𝐻I = 40°，求∠𝐹𝐺𝐻的度数．
②求∠𝐴𝐹𝐺，∠𝐹𝐺𝐻，∠𝐺𝐻𝐷的数量关系．
