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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14.1 全等三角形及其性质 知识点一 全等图形 概念：能______的图形叫做全等图形． 特征：（1）______；（2）______；（3）__________________． 知识点二 全等三角形概念 概念：两个能______的三角形叫做全等三角形．把两个全等三角形重合到一起，重合 的顶点叫做______，重合的边叫做______，重合的角叫做______． 2．表示方法：全等用符号______，读作______． 特别提醒 1．书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上． 2．找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）有公共边的，公共边是对应边． （4）有公共角的，公共角是对应角． （5）有对顶角的，对顶角是对应角． （6）两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短 边（或最小角）是对应边（或对应角）． （7）由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若 ，则 AB 和DE，AC 和DF，BC 和EF 分别是对应边； 和 ， 和 ， 和 分别是对应角． 第十四章 全等三角形 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点三 全等三角形的性质 性质1：______________________________________________________． 性质2：______________________________________________________． 拓展延伸（常用推论）：由对应边、对应角相等可进一步推出： 全等三角形的______相等；全等三角形的______相等； 全等三角形对应边上的________________________分别相等． 标准几何语言：若△ABC≌△DEF，则：对应边：__________________， 对应角：________________________. 特别提醒 1．书写全等三角形时，对应顶点一一对应书写，否则会找错对应边、对应角． 2．全等三角形⟹ 周长相等、面积相等；周长/面积相等⟹ 三角形全等（反过来不 成立）． 3．只有全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线才相等． 4．图形翻转、旋转、平移后得到的全等三角形，先锁定对应顶点，再依次找边和 角，不跳步． 易错1：对应关系混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，AB=5，AC=7，∠A=50°，求DE 和DF 的长。 错解：DE=AB=5，DF=AC=7。（错误 地将AB 对应DE，AC 对应DF，但未确认对应顶点顺序） 错因：全等三角形表示时，对应顶点必须按顺序书写。△ABC≌△DEF 表示A↔D，B↔E，C↔F。若题目给出 的对应关系不同，直接按字母顺序对应会导致错误。 规避方法：先看全等符号两边的字母排列顺序，确定对应顶点→再找对应边和对应角。书写时严格对应。 易错2：全等三角形性质应用不完整 错例：已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，求∠F 的度数。 错解：∠F=∠A=60°。（误认为∠F 与∠ A 是对应角） 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 错因：未根据对应顶点顺序找对应角。由△ABC≌△DEF 知，C 与F 对应，故∠F=∠C=180°-60°-70°=50°， 而非∠A。 规避方法：找对应角/边时，务必先写出对应顶点关系（如A↔D，B↔E，C↔F），再一一对应求解，切勿凭 感觉匹配。 易错3：全等三角形周长、面积、对应高线/中线/角平分线的性质混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，△ABC 的周长为20，AB=6，BC=8，求EF 的长。 错解：EF=AB=6。（误以为EF 一 定等于AB） 错因：未利用全等三角形周长相等及对应边关系综合求解。由全等知DE=AB=6，EF=BC=8，DF=AC。应先求 AC=20-6-8=6，再得DF=6，而EF=BC=8。 规避方法：牢记全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积均相等。解题时先明确对应边， 再结合周长或面积公式列式计算。 题型一：全等图形 方法技巧 能够完全重合的图形即为全等图形，全等图形形状、大小完全相同 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000 多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图 形的是（ ） A． B． C． D． 2． 年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多 种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3．雕窗是我国古代一种常见的窗户样式，其外框为圆形，中间具有精美的图案．如图，琳琳家的一个雕 窗出现了破损，为买到同款雕窗，她应前往商店购买的样式为（ ） A． B． C． D． 4．下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 题型二：全等三角形的概念及表示方法 方法技巧 记作△ABC≌△DEF 时，对应顶点必须一一对应书写，据此快速确定对应边、对应角 1．下列命题是真命题的是（ ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 2．若 ，则 的对应边是（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知 ，则 的对应角是（ ） A． B． C． D． 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型三：利用全等三角形的性质求角度 方法技巧 全等三角形对应角相等，结合三角形内角和、外角性质综合计算． 1．如图，已知 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图， ， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知 ， ， ，则 （ ） A．30 B．40 C．50 D．60 4．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得 的度数是（ ） A． B． C． D． 题型四：利用全等三角形的性质求线段长 方法技巧 全等三角形对应边相等，结合线段和差关系求解长度． 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．如图，这是某大桥及其侧面示意图， ，若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 2．如图， ，若 ， ，则 的长是（ ） A．3 B． C．4 D．6 3．如图， ，若 的周长为 ，则 的长为（ ） A．7 B．9 C．5 D．14 4．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔 （ ）水平钉入长为10cm 的长方形木条中（点B，C，F，E 在同一条直线上）．若 ，则BC 的长为（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 题型五：利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 方法技巧 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到 线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线 段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件． 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．如图所示， ，且点 在同一条直线上． (1)试判断 与 的位置关系，并说明理由． (2)线段 与线段 相等吗？说明理由． 2．如图， ， ， ，点B，C，D 在同一直线上，点E 在 上，延长 交 于点F． (1)求 的长； (2)求证： ． 3．如图，在 中， 于点D，点E 在 边上，连接 交 于点F， ． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 ， ，求 的面积； (2)试判断 与 之间的位置关系，并说明理由． 4．如图，已知 ， 是锐角， ， ，延长 交 于点F，交 于点G． (1)判断直线 与 是否垂直？请说明理由； (2)若 ，求 的度数． 题型六：全等三角形的性质在图形变换中的应用 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方法技巧 图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个三角形全等；变换只改变位置，对应边、 对应角大小不变 1．如图，点 ， 在 的边 上，且 ，下列说法错误的是（ ） A． 经过平移可与 重合，平移的距离为 的长 B．将 沿 的垂直平分线翻折，可与 重合 C．将 沿 的垂直平分线翻折，可与 重合 D．将 绕 的中点逆时针旋转 ，不能与 重合 2．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N 五个点，其中点B，O，A 表示的数分别为 ，0， 4．如图2，将数轴在点O 的左侧部分绕点O 顺时针方向旋转 ，将数轴在点A 的右侧部分绕点A 逆时针 方向旋转 ，连接BM，MN．若 和 全等，则点M 表示的数为______． 3．两个全等的三角形按如图方式摆放，其中 ．此时 B，E 重合，B，C，D 在同一直线上．现将 沿射线 向右平移．在平移过程中，直线 与 交 于点 的平分线与直线 交于点 ，则 ______ （用含 的代数式表示）． 题型七：利用全等三角形的性质研究动点问题 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方法技巧 动点运动过程中，始终保持三角形全等关系，对应边、对应角恒定不变；结合路 程、速度、线段长度列等式求解． 1．如图，已知线段 米， 于点 ， 米， 于 ， 点从 点向 运动，每 秒走1 米， 点从 点向 运动，每秒走2 米， 、 同时从 出发，则出发 秒后，在线段 上有一 点 ，使 与 全等，则 的值为（ ） A． B．5 或10 C．10 D． 或10 2．如图， 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以2 厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．若点 的运动速度为厘 米/秒，则当 与 全等时，的值为（ ） A． 或 B． 或2 C． 或2 D． 或 3．题目：“如图，已知 ， ， ，动点 以 的速度从点 出发沿 边 向终点 移动，动点 以 的速度从点 出发沿边 向终点 匀速移动，动点 从点 出发沿 对角线 向终点 移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接 ，求动点 的速度为多少时，存在某个时刻，使得以 为顶点的三角形与 全等 （点 与点 是对应点）．”甲答： ，乙答： ，丙答： ，则正确的是（ ） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 4．如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交 于点 ．动点 ， 同时从点 出 发，其中动点 以 的速度沿射线 运动，动点 以 的速度在直线 上运动．已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．当动点 在直线 上运动时，若 与 全等， 则的值为______． 5．如图，在四边形 中， ， ．动点P 以 的速度从点 A 出发沿边 向点D 匀速移动，动点Q 以 的速度从点B 出发沿边 向点C 匀速移动，动点M 从 点B 出发沿对角线 向点D 匀速移动，三点同时出发．连接 ，当动点M 的速度为 __________ 时，存在某个时刻，使得以P、D、M 为顶点的三角形与 全等．
