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2.1 图形的轴对称
课标要点
1.理解轴对称图形、两个图形关于某条直线对称的定义，能准确区分轴对称图形与图形成
轴对称两类概念。
2.掌握图形轴对称的基本性质，理解对称轴是对应点连线的垂直平分线，明确轴对称图形
中对应线段相等、对应角相等，能利用轴对称性质分析图形边角关系、等量关系。
3.掌握画轴对称图形的基本方法，能根据对称轴作出已知图形的轴对称图形。
4.了解轴对称在生活与几何解题中的应用，能利用轴对称的对称性转化线段、角度，解决
最短路径、线段最值、图形折叠等基础几何问题，体会数形结合与转化思想。
学习重难点
重点：
1.区分轴对称图形与图形成轴对称的概念，熟练掌握轴对称的核心性质，能运用对应边、
对应角相等的性质进行计算与说理。
2.能根据对称轴规范作出轴对称图形，精准定位对称点，掌握轴对称作图的标准步骤与作
图规范。
难点：
1.能在复杂组合图形中精准判断轴对称关系。
2.灵活运用轴对称性质解决折叠问题、最短路径问题，通过轴对称转化线段长度，构建几
何模型，突破图形变换类题型难点。
第二章
特殊三角形
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知识点
轴对称图形
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴
对称图形。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 元素：这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。
3. 判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能
够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形。
随学随练
1．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列体育图标中，是轴对
称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】轴对称图形的定义为：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形就是轴对称图
形．
【详解】解：A：不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不符合题意；
B：沿图形中间的竖直直线折叠，直线两侧部分可以完全重合，符合题意；
C：人物肢体左右不对称，无法折叠后重合，不符合题意；
教材延伸
等腰三角形、线段、角都是典型轴对称图形。
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D：球在图形左侧，整体左右不对称，无法折叠后重合，不符合题意．
2．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）地铁作为一种高效、低碳、大容量的公共交通方式，已成为许多国家
和地区城市化进程中不可或缺的基础设施．下列地铁标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形．
选项A，是轴对称图形；
选项B，不是轴对称图形；
选项C，不是轴对称图形；
选项D，不是轴对称图形．
知识点
轴对称图形的性质（重点）
2. 轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
随学随练
1．（2025·河北邯郸·一模）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点O，下列结论：
①𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′；②𝑂𝐵= 𝑂𝐵′；③𝐴𝐴′∥𝐵𝐵′；④△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′中，错误的有（ ）
易错提醒
不可颠倒表述：不能说对称点连线垂直平分对称轴。
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A．4 个
B．1 个
C．0 个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴
对称图形的性质可得𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′和𝐵𝐵′，则结论①和④正确；再根
据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点O，
∴根据轴对称图形的性质可得，𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′和𝐵𝐵′，所以结论①和④
正确；
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐵′，𝐴𝐴′∥𝐵𝐵′，所以结论②和③正确；
综上所述，错误的结论有0 个，所以选项C 正确，符合题意，
故选：C．
2．（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3 的流程进行操作，
即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，
观察选项中右下角的图是否符合图3 最右边的图即可得出答案．
【详解】
解：A、
中右下角的图符合图3 最右边的图，符合题意；
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B、
中右下角的图不符合图3 最右边的图，不符合题意；
C、
中右下角的图不符合图3 最右边的图，不符合题意；
D、
中右下角的图不符合图3 最右边的图，不符合题意；
故选：A．
知识点
轴对称及其性质
1. 轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿着某一条直线折叠后能够互相重
合，这样的图形变化叫作图形的轴对称，这条直线叫作对称轴。
2. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。
随学随练
1．（25-26 八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对
折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称．
根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意；
特别提醒
性质与轴对称图形性质相通，可通用。
易错提醒
成轴对称⇒全等；全等图形不一定成轴对称。
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B选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意；
C选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意；
D选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意．
故选：D．
2．（25-26 七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有𝑀，𝑁两个球，若要将球𝑀射向桌面的一边，
反弹一次后击中球𝑁，则𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点中，可以反弹击中球𝑁的是（ ）
A．点𝐴
B．点𝐵
C．点𝐶
D．点𝐷
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键．
过直线𝐴𝐵作点N 的对称点𝑁′，连接𝑀𝑁′，根据图形，即可求解．
【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线𝐴𝐵的夹角相等，
如图，过直线𝐴𝐵作点N 的对称点𝑁′，连接𝑀𝑁′，
根据图形可知𝑀𝑁′经过点C，且∠𝑀𝐶𝐴= ∠𝑁′𝐶𝐷，∠𝑁𝐶𝐷= ∠𝑁′𝐶𝐷，
∴∠𝑀𝐶𝐴= ∠𝑁𝐶𝐷符合题目要求，
∴反弹击中球𝑁的是点C．
故选：C．
知识点
作轴对称图形（重点）
1. 轴对称图形的画法：几何图形都可以看作由点组成。对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，
只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图
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形.
2. 具体步骤：①找图形的关键点；
②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的
对应点；
③按照原图形连接各对应点。
例：如图(1)，已知△ABC 和直线l，画出与△ABC 关于直线对称的图形。
（1）过点A 画直线l 的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A 关于直线l 的对称点；
（2）同理，分别画出点B，C 关于直线l 的对称点B'，C'；
（3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求。
随学随练
1．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角
形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴．
【答案】如图：
【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形．
【详解】略．
2．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，在8 × 8的正方形网格中，请在图中画出所给图形关于直线l 对
称的图形．
教材延伸
平面直角坐标系中可借助坐标规律快速确定对称点。
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【答案】
【分析】根据轴对称的性质作图即可．
【详解】略
3．（25-26 七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上．
(1)作△𝐴𝐵𝐶关于直线l 对称的图形△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)求△𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】(1)如图，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求：
(2)
13
2
【分析】（1）根据轴对称性质得到对应点，然后顺次连接可得图形；
（2）根据网格特点，利用割补法求解△𝐴𝐵𝐶的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：△𝐴𝐵𝐶的面积为3 × 5 −
1
2 × 3 × 2 −
1
2 × 2 × 3 −
1
2 × 1 × 5 = 15 −3 −3 −
5
2 =
13
2 ．
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拓展
轴对称图形与两个图形成轴对称对比
类别
轴对称图形
两个图形成轴对称
对象
一个独立平面图形
两个独立图形
本质
图形自身沿直线对折，两边重合
一个图形沿直线翻折后与另一个图形重合
对称轴数量
至少 1 条（圆无数条、正方形 4 条）
只有 1 条
性质
对称轴垂直平分图形内部任意一组对称点
的连线；图形自身全等对称
两个图形全等，对称点连线同样被对称轴
垂直平分
联系
把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，得到两
个成轴对称的图形
活学活用
1．（25-26 八年级上·新疆塔城·期末）体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，
是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
A．人物、车轮两侧形态不对称，无对称轴，不符合题意；
B．人物身体左右倾斜，两侧无法重合，无对称轴，不符合题意；
C．一手持拍、一手摆开，左右造型不同，无对称轴，不符合题意；
D．存在竖直中线，左右两边完全对称，是轴对称图形，符合题意．
2．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，
得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答
【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意；
B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意；
C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意；
D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意；
故选：C ．
3．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）．
A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形
D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质、全等三角形与轴对称图形的关系及等腰三角形、线段的对称轴定义，需
逐项分析各选项的正误．
【详解】解：∵全等的两个三角形仅形状大小完全相同，不一定关于某条直线成轴对称，例如随意摆放的
两个全等三角形，
∴A 选项错误．
∵成轴对称的两个图形能够完全重合，
∴关于某条直线成轴对称的两个三角形是全等三角形，
∴B 选项正确．
∵等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，并非任意一条边上的中线，且对称轴是直线而中线是
线段，
∴C 选项错误．
∵一条线段的对称轴是经过线段中点且垂直于该线段的直线以及线段本身所在的直线，并非所有经过线段
中点的直线，
∴D 选项错误．
故选：B．
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拓展
所有轴对称作图本质是「找点→作对称点→连线」
1.底层原理：任何几何图形由点构成，无需完整复刻图形，只处理关键点（顶点、端点、交点）即可；
2.对称点标准画法（通用步骤）：
①过关键点作对称轴垂线；
②垂线延长，截取等长线段得到对称点；
3.适用场景：
①给单个图形作自身对称轴（判断轴对称图形）；
②已知图形与直线，画另一侧对称图形。
活学活用
1．（25-26 七年级上·山东淄博·期中）一个轴对称图形的一半如图所示，直线𝑀𝑁是这个轴对称图形的对称
轴，请画出这个图形的另一半．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
利用轴对称变换的性质分别作出A，B，P 的对应点𝐴′，𝐵′，𝑃′即可．
【详解】解：如图所示：
2．（25-26 八年级上·山东菏泽·期中）在如图1 和图2 的正方形方格中，分别画出已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷关于直
线m，n 成轴对称的图形．
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【答案】见解析
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，先分别作出点A、B、C、D 关于直线m、n 的对称点E、F、G、
H，然后顺次连接即可．
【详解】解：如图，四边形𝐸𝐹𝐺𝐻为所求作的四边形；
如图，四边形𝐸𝐹𝐺𝐻为所求作的四边形；
3．（25-26 八年级上·辽宁铁岭·期中）在直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1（其中𝐴1，𝐵1，𝐶1分别是𝐴，𝐵，𝐶的对应点，不写画法）；
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(2)在𝑦轴上求作点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点𝑃的位置）
【答案】(1)
如下图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求：
(2)
如下图，点𝑃即为所求：
【分析】本题考查的知识点是轴对称作图、根据成轴对称图形的特征进行求解，解题关键是熟练掌握轴对
称的性质．
（1）由点的对称性，作出图形即可；
（2）此时点𝐵1是点𝐵关于𝑦轴的对称点，连接𝐴𝐵1交𝑦轴于点𝑃，点𝑃即为所作．
【详解】（1）略
（2）略
题型
轴对称图形的识别
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▌例1．（2026·江苏徐州·模拟预测）下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
▌例2．（25-26 七年级下·湖南株洲·期末）美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融
合．下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解： A．梅花不是轴对称图形；
B．石榴花不是轴对称图形；
C．茶花不是轴对称图形；
D．水仙花是轴对称图形．
解题贴士
尝试沿某条直线折叠图形，若直线两侧部分能完全重合，即为轴对称图形，只需找到至少一条对称轴即
可判定。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山西运城·期末）下列图片对应的四种非遗文化中，其图形设计不是轴对称
图形的是（ ）
A．
剪纸
B．
面塑
C．
绛州鼓乐
D．
平遥推光漆器
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以是轴对称图形，
B 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿
色环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，符合题意．
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▌对点练1-3．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）下列数学符号中，不是轴对称图形的是（ ）
A．⇒
B．≌
C．∞
D．∑
【答案】B
【分析】根据轴对称图形定义逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花
窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）下列汉字中可以近似看作是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A“热”、B“爱”、C“和”，都不存在一条直线能让图形对折后两侧完全重合，不是轴对称图形；
D“平”，沿竖直中间一条直线对折后，直线两侧部分可以近似重合，符合要求．
题型
成轴对称的两个图形的识别
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▌例1．（25-26 八年级上·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够
完全重合，就是成轴对称图形）可得答案．
【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意；
B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意；
C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意；
D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意；
故选：A．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的
三角形成轴对称图形的有（ ）
A．②，④
B．②，③
C．③，④
D．②，③，④
【答案】A
【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平
面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形．
【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称
图形，
编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形，
故选：A．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“𝐸”有各种不同的摆放形式，下面各种组合
中的两个字母“𝐸”关于直线𝑙成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题贴士
观察两个独立图形，是否存在一条直线，使两个图形沿该直线折叠后完全重合，符合则两图形成轴对称。
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【答案】A
【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．
根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线𝑙对折后能否完全重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、两个字母沿直线𝑙对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线𝑙成轴对称，符合
题意；
B、两个字母沿直线𝑙对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线𝑙成轴对称，不符合题意；
C、两个字母沿直线𝑙对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线𝑙成轴对称，不符合题意；
D、两个字母沿直线𝑙对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线𝑙成轴对称，不符合题意．
故选：A．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜
活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对
称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形．
【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形
故选：B．
题型
根据成轴对称图形的性质判断正误
▌例1．（25-26 八年级上·河北石家庄·期中）已知，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点
𝑂，则下列结论中不一定成立的是（ ）
解题贴士
熟记核心性质：成轴对称的两个图形全等、对称轴是对应点连线的垂直平分线、对应线段相等、对应角
相等、对应线段或延长线交点在对称轴上，据此逐一辨析对错。
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A．𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′
B．𝐴𝐵∥𝐴𝐵′
C．𝐴𝐴′ ∥𝐶𝐶′
D．𝐵𝑂= 𝐵′𝑂
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到
两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应
线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出
非对应线段的关系．
【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A 选项成立；对应线段是平
行，即C 选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D 选项成立；𝐴𝐵与𝐴𝐵′为非对
应线段，无法得到𝐴𝐵与𝐴𝐵′的关系，
故选：B．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于
点O．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′
B．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′
C．𝐴𝐴′ ⊥𝑀𝑁
D．𝐴𝐵∥𝐵′𝐶′
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
根据轴对称的性质逐项判断即可得解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，𝐴𝐴′ ⊥𝑀𝑁，
而𝐴𝐵和𝐵′𝐶′不一定平行，
故选D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·北京海淀·期中）如图，直线𝑀𝑁是四边形𝐴𝑀𝐵𝑁的对称轴，点𝑃是直线𝑀𝑁
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上的点，下列判断错误的是（ ）
A．𝐴𝑁= 𝐵𝑁
B．∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐵𝑀𝑁
C．∠𝑃𝐴𝑁= ∠𝑃𝐵𝑁
D．𝐴𝑃= 𝐴𝑁
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．，
【详解】解：∵直线𝑀𝑁是四边形𝐴𝑀𝐵𝑁的对称轴，点𝑃是直线𝑀𝑁上的点，
∴𝐴𝑁= 𝐵𝑁，∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐵𝑀𝑁，∠𝑃𝐴𝑁= ∠𝑃𝐵𝑁，𝐴𝑃= 𝐵𝑃，
故选项A、B、C 判断正确，不符合题意，选项D 判断错误，符合题意，
故选：D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝑃为𝑀𝑁上一
点（𝐴，𝑃，𝐴′不共线），下列结论不一定
．．．正确的是（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵′𝐴′𝐶′ B．直线𝑀𝑁垂直平分线段𝐴𝐴′、𝐶𝐶′
C．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′的面积相等 D．△𝐴𝐴′𝑃是等腰三角形
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的对应角相等、对应边相等、轴对称的三角形全等、对称
轴垂直平分对应点连接的线段，所以轴对称的两个三角形的面积相等．解决本题的关键是根据轴对称的性
质进行判断．
【详解】解：A 选项：根据轴对称的性质可知∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵′𝐶′，但是∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵′𝐴′𝐶′不一定成立，故A
选项符合题意；
B 选项：根据对称轴垂直平分对应点连接的线段，可知直线𝑀𝑁垂直平分线段𝐴𝐴′，𝐶𝐶′，故B 选项不符合
题意；
C 选项：根据轴对称的定义可知，把△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′沿直线𝑀𝑁折叠后两个三角形可以完全重合，∴ △
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𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′的面积相等，故C 选项不符合题意；
D 选项：根据轴对称的性质可知𝑃𝐴= 𝑃𝐴′，∴ △𝐴𝐴′𝑃是等腰三角形，故D 选项不符合题意．
故选：A．
题型
根据成轴对称图形的性质求解
▌例1．（25-26 七年级下·江苏徐州·期中）如图，𝐷为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上一点，点𝐴关于直线𝐶𝐷的对称点𝐸恰
好在线段𝐵𝐶上，连接𝐷𝐸，若𝐴𝐵= 8, 𝐴𝐶= 3, 𝐵𝐶= 9，则△𝐵𝐷𝐸的周长是（ ）
A．10
B．13
C．14
D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出𝐴𝐷= 𝐷𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐶= 3，进而得出
𝐵𝐸= 6，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答．
【详解】解：∵点A 关于直线𝐶𝐷的对称点E 恰好在线段𝐵𝐶上，连接𝐷𝐸，𝐴𝐶= 3，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐶= 3，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 9 −3 = 6，
∴△𝐵𝐷𝐸的周长= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸
= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸
= 8 + 6 = 14．
▌例2．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑙对称，若∠𝐴= 50°，∠𝐶=
25°，则∠𝐵′的度数为________°．
解题贴士
利用轴对称全等、对应边角相等、对称轴垂直平分对应点连线的性质，进行边角等量代换，结合线段和
差、三角形内角和计算求值。
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【答案】105
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑙对称，
∴∠𝐵= ∠𝐵′，
∵∠𝐴= 50°，∠𝐶= 25°，
∴∠𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 105°，
∴∠𝐵′ = ∠𝐵= 105°．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏镇江·期中）如图，直线l 是长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称轴，点E 是直线l 上的
点，若𝐴𝐷= 4，𝐴𝐵= 3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【详解】解：由轴对称的性质可知，𝑆𝐴𝐸𝑀= 𝑆△𝐷𝐸𝑀，𝑆四边形𝐴𝐵𝑁𝐸= 𝑆四边形𝐶𝐷𝐸𝑁，
∴𝑆阴影= 𝑆𝐴𝐸𝑀+ 𝑆四边形𝐶𝐷𝐸𝑁=
1
2 𝑆长方形𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 4 × 3 = 6．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O 为∠𝐴𝐵𝐶内部一点，且𝑂𝐵= 5，E，F 分别为点
O 关于射线𝐵𝐴，射线𝐵𝐶的对称点，当∠𝐴𝐵𝐶= 90°时，则𝐸𝐹的长为_______．
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【答案】10
【分析】先求出𝐵𝐸= 𝑂𝐵= 5，𝐵𝐹= 𝑂𝐵= 5，再得出点𝐸, 𝐵, 𝐹三点共线，根据𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐹解答即可．
【详解】解：如图，连接𝑂𝐸, 𝑂𝐹, 𝐵𝐸, 𝐵𝐹，
∵点𝐸, 𝐹分别为点𝑂关于射线𝐵𝐴，射线𝐵𝐶的对称点，
∴𝐵𝐴垂直平分𝑂𝐸，𝐵𝐶垂直平分𝑂𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝑂𝐵= 5，𝐵𝐹= 𝑂𝐵= 5，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝑂，∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝑂，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐶𝐵𝑂= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
∴点𝐸, 𝐵, 𝐹三点共线，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐵𝐹= 10．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·江西上饶·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于直线𝑙对称，其中∠𝐵= 90°，
𝐴𝐵= 4cm，𝐷𝐹= 5cm，𝐵𝐶= 3cm．
(1)求∠𝐸的度数．
(2)求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【答案】(1)∠𝐸= 90°
(2)12cm
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【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案；
（2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出𝐴𝐶= 𝐷𝐹= 5cm，进而求出△𝐴𝐵𝐶的周长即可．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于直线𝑙对称，
∴∠𝐸= ∠𝐵，
∵∠𝐵= 90°，
∴∠𝐸= 90°．
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于直线𝑙对称，𝐷𝐹= 5cm，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐹= 5cm，
∵𝐴𝐵= 4cm，𝐵𝐶= 3cm，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 4 + 3 + 5 = 12cm．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·云南临沧·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶是轴对称图形，对称轴是𝐴𝐷．
(1)找出所有对应点、对应边、对应角．
(2)如果𝐴𝐵= 5cm，∠𝐵= 60°，求𝐴𝐶和∠𝐶．
(3)如果𝐵𝐷= 4cm，求𝐶𝐷．
【答案】(1)对应点：B 和C，对应边：𝐴𝐵和𝐴𝐶，𝐵𝐷和𝐶𝐷，对应角：∠𝐵和∠𝐶，∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐵𝐷𝐴和
∠𝐶𝐷𝐴
(2)𝐴𝐶= 5cm，∠𝐶= 60°
(3)𝐶𝐷= 4cm
【分析】本题考查了轴对称图形的特征，熟记相关结论即可；
（1）根据图形即可求解；
（2）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解；
（3）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：对应点：B 和C，对应边：𝐴𝐵和𝐴𝐶，𝐵𝐷和𝐶𝐷，对应角：∠𝐵和∠𝐶，∠𝐵𝐴𝐷和
∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐵𝐷𝐴和∠𝐶𝐷𝐴
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶是轴对称图形，对称轴是𝐴𝐷．
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶（对应边相等），∠𝐵= ∠𝐶（对应角相等），
∵𝐴𝐵= 5cm，∠𝐵= 60°，
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∴𝐴𝐶= 5cm，∠𝐶= 60°；
（3）解：∵△𝐴𝐵𝐶是轴对称图形，对称轴是𝐴𝐷．
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷（对应边相等），
∵𝐵𝐷= 4cm，
∴𝐶𝐷= 4cm；
题型
画对称轴
▌例1．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可，熟练掌握定
义是解题的关键．
【详解】解：是轴对称的为：
，
画对称轴如下：
．
▌对点练1-1．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴．
解题贴士
找出两组对应点，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，该直线即为图形的对称轴。
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【答案】都是轴对称图形，见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，画对称轴等知识点，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关
键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图
形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、
圆、线段、相交直线等．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可得出答案，然后画出轴对称图形的对称
轴即可．
【详解】解：由轴对称图形的定义可知，这四幅图都是轴对称图形，
画对称轴如下所示：
▌对点练1-2．指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可．
本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下：
．
▌对点练1-3．如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐹𝐸关于直线l 对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出
直线l．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．根
据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过𝐵𝐶，𝐸𝐹的交点和点A 作直线，该直线
就是所求作的直线l，图②中，过𝐵𝐶，𝐹𝐸的延长线的交点和𝐴𝐶，𝐷𝐸的延长线的交点作直线，该直线就是
所求作的直线l．
【详解】解：如图①，过𝐵𝐶，𝐸𝐹的交点和点A 作直线，该直线就是所求作的直线l．如答图②，过𝐵𝐶，
𝐹𝐸的延长线的交点和𝐴𝐶，𝐷𝐸的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·河北保定·期中）按要求完成下列各小题．
(1)在图1 中，画出灰色图形的对称轴直线𝑚；
(2)在图2 各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线𝑙成轴对称．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
（1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可；
（2）利用轴对称图形的性质补全图形即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
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题型
求对称轴条数
▌例1．（25-26 七年级下·湖南娄底·期末）下列图形中有且只有3 条对称轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，有2条对称轴，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，有4条对称轴，不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，有0条对称轴，不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，有3条对称轴，符合题意．
▌例2．（25-26 八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
【答案】C
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对
称图形，这条直线就是其对称轴．
【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合，
∴雪花有6 条对称轴．
解题贴士
1）逐一尝试所有可使图形折叠重合的直线，不重复、不遗漏，统计全部有效对称轴数量；
2）熟记常见图形对称轴条数：圆无数条、正方形4 条、长方形2 条、等腰三角形1 条、等边三角形3
条。
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故选C．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形
所对应的选项．
【详解】解：对于A 选项：该图形有1 条对称轴；
对于B 选项：该图形有1 条对称轴；
对于C 选项：该图形有5 条对称轴；
对于D 选项：该图形有3 条对称轴；
故图形对称轴条数最多的是5 条，即C 选项．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A．等腰三角形
B．正方形
C．正五边形
D．圆
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数，需明确各选项图形的对称轴数量，再通过比较得出结果．
【详解】解：∵等腰三角形有3 条对称轴，正方形有4 条对称轴，正五边形有5 条对称轴，圆有无数条对
称轴．
又∵无数条>5 条>4 条>3 条，
∴对称轴条数最多的是圆，
故选：D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条
数为2 条的图形的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此逐一
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判断即可．
【详解】解：从左边起，第一幅图是轴对称图形，对称轴有2 条；
第二幅图是轴对称图形，对称轴有2 条；
第三幅图是轴对称图形，对称轴有2 条；
第四幅图是轴对称图形，对称轴有3 条．
故选：D．
题型
画轴对称图形
▌例1．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）在6 × 8正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在
格点的三角形叫做格点三角形．△𝐴𝐵𝐶是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即
可）．
(1)在图甲中画格点△𝐷𝐵𝐶，使△𝐷𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐶．
(2)在图乙中画格点Rt △𝐷𝐵𝐶，使Rt △𝐷𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶面积相等．
【答案】(1)
△𝐷𝐵𝐶为所求作
(2)
Rt △𝐷𝐵𝐶为所求作；
解题贴士
①找图形关键点；
②过关键点作对称轴的垂线并延长，截取等长线段得到对应点；
③依次连接所有对应点，得到轴对称图形。
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【分析】本题考查了作格点三角形，画轴对称图形等知识．
（1）取点A 关于𝐵𝐶的对称点D，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，则△𝐷𝐵𝐶为所求作；
（2）取点B 正下方2 格处的格点D，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，则Rt △𝐷𝐵𝐶为所求作；
【详解】（1）略
（2）略
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知△𝐴𝐵𝐶，
(1)作△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙的轴对称图形△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)作出△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷．
【答案】(1)如图，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所作：
(2)如图，高𝐴𝐷即为所作．
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【分析】（1）分别作出𝐴、𝐵、𝐶关于直线𝑙的对称点，依次连接即可；
（2）过点𝐴作𝐵𝐶所在直线的垂线段，垂足为𝐷，𝐴𝐷即为所求高．
【详解】（1）略
（2）略
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在7 × 6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1，网格中有一个格点△𝐴𝐵𝐶（即三角形的顶点都在格点上），利用网格画图．
(1)在图中作出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)连接𝐶𝐶′，则𝐶𝐶′与𝑀𝑁的位置关系是 ，线段𝐵𝐶与𝐵′𝐶′的数量关系是 ．
【答案】(1)
(2)互相垂直，相等
【分析】（1）利用网格作图，分别作出𝐴、𝐵、𝐶关于直线𝑀𝑁的对称点，依次连接三点，得到的△𝐴′𝐵′𝐶′
即为所求的轴对称图形；
（2）依据轴对称性质：对应点连线垂直对称轴，判定𝐶𝐶′与𝑀𝑁互相垂直，依据轴对称变换里对应线段长
度不变，可得𝐵𝐶与𝐵′𝐶′长度相等．
【详解】（1）解：分别过格点𝐴、𝐵、𝐶作直线𝑀𝑁的垂线，延长垂线，在𝑀𝑁另一侧截取和原始顶点到𝑀𝑁
距离相等的线段，得到对称点𝐴′、𝐵′、𝐶′（三点均落在网格格点上），按顺序依次连接𝐴′𝐵′、𝐵′𝐶′、𝐶′𝐴′，
△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求的轴对称图形；
（2）如图：
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依据轴对称性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，
∴对称轴𝑀𝑁⊥𝐶𝐶′，
∴𝐶𝐶′与𝑀𝑁的位置关系：互相垂直；
依据轴对称性质：轴对称变换前后对应线段长度相等，
∴线段𝐵𝐶与𝐵′𝐶′的数量关系：𝐵𝐶= 𝐵′𝐶′．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，在6 × 8的正方形网格中，每个小正方形的边长均是
1，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上（每个小正方形的顶点叫格点），请在图中画出△𝐴𝐵𝐶关于直线l 对称的图形
△𝐴′𝐵′𝐶′（点A、B、C 的对应点分别为点𝐴′、𝐵′、𝐶′）．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质找出点𝐴′、𝐵′、𝐶′，进而连线即可．
【详解】略．
题型
实际生活中的轴对称问题
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▌例1．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋
中，此时∠2 = ∠3，且∠1 + ∠3 = 90∘，若∠2 = 57∘，则∠1 =（ ）
A．57∘
B．43∘
C．53°
D．33∘
【答案】D
【分析】根据题意可得∠3 = 57°，结合∠1 + ∠3 = 90°求解即可．
【详解】解：∵∠2 = 57°，∠2 = ∠3，
∴∠3 = 57°，
∵∠1 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = 90° −∠2 = 90° −57° = 33°．
▌例2．（25-26 七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实
际号码应该是___________．
【答案】3265
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求
解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265 成轴对称，所以此时实际号码为3265，
故答案为：3265．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河南安阳·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射
光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，𝐴𝐵是平面镜，若入射光线𝑃𝑂与水平镜面的夹角为∠1，反射光线
𝑂𝑄与水平镜面的夹角为∠2，则∠1 = ∠2．如图2，𝑂𝑀和𝑂𝑁是两块平面镜，入射光线𝐴𝐵经过两次反射后，
得到反射光线𝐶𝐷．则下列判断错误的是（ ）
解题贴士
易错：①受实物图案干扰，忽略几何对称本质；②审题不清，混淆对称、全等、相似概念；③作答不
结合实际场景，缺少必要文字说明。
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A．若𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，则𝛼= 45°
B．若𝑂𝑀⊥𝑂𝑁，则𝐴𝐵∥𝐶𝐷
C．若𝐴𝐵∥𝐶𝐷，则𝛼+ 𝛽= 90°
D．若𝛼= 𝛽，则𝐴𝐵∥𝐶𝐷
【答案】D
【分析】对于A，由题可知𝛼= ∠𝑂𝐵𝐶，进而可得𝛼= 45°；对于B，由题可得𝛼+ 𝛽= 90°，进而得到
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断；对于C，根据平行的性质即可判
断；对于D，由𝛼= 𝛽可得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷，无法判定𝐴𝐵∥𝐶𝐷．
【详解】解：对于A，由题可知𝛼= ∠𝑂𝐵𝐶，又𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°，即𝛼+ ∠𝑂𝐵𝐶= 90°，则𝛼= 45°，故A 正确，不符合题意；
对于B，∵𝑂𝑀⊥𝑂𝑁，
∴∠𝑀𝑂𝑁= 90°，∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 90°，即𝛼+ 𝛽= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180° −2𝛼+ 180° −2𝛽
= 360° −2(𝛼+ 𝛽) = 360° −2 × 90° = 180°，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷（同旁内角互补，两直线平行），故B 正确，不符合题意；
对于C，∵ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 360° −2(𝛼+ 𝛽) = 180°，即𝛼+ 𝛽= 90°，故C 正确，不符合题意；
对于D，∵𝛼= 𝛽，又∵∠𝐴𝐵𝐶= 180° −2𝛼, ∠𝐵𝐶𝐷= 180° −2𝛽，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷，同旁内角相等，不一定互补，则𝐴𝐵、𝐶𝐷不一定平行，故D 错误，符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子
钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________．
【答案】12: 51
【分析】本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下
顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12: 51成轴对称，所以此时实际时刻为
12: 51．
故答案为：12: 51．
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▌对点练1-3．（25-26 八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子
中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________．
【答案】70625
【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可．
【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，
故他的学号为70625．
故答案为：70625．
题型
折叠问题
▌例1．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵上一点，沿𝐶𝐷折叠△𝐶𝐵𝐷，使点𝐵恰好
落在𝐴𝐶边上的点𝐸处，𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 2，则𝐴𝐸等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】解：由折叠的性质可知𝐶𝐸= 𝐵𝐶= 2，
∵𝐴𝐶= 5，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶−𝐶𝐸= 3．
▌例2．（25-26 七年级下·湖北恩施·期中）如图，将三角形纸片𝐴𝐵𝐶折叠，折痕为𝐴𝐷，点𝐶落在点𝐸处，已
知∠𝐴𝐷𝐵= 70°．求∠𝐵𝐷𝐸的度数．
解题贴士
折叠本质是轴对称，折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴；结合三角形内角和、线
段和差列等式求解。
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【答案】40°
【分析】平角的定义，求出∠𝐴𝐷𝐶的度数，折叠，得到∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸，再根据角的和差关系进行求解即
可.
【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐵= 70°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐵= 110°，
∵折叠，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶= 110°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐵= 110° −70° = 40°．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·广东清远·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个
三角形，𝐵𝐶为折痕，若∠1 = 44°，则∠𝐷𝐶𝐵的度数为（ ）
A．48°
B．58°
C．68°
D．78°
【答案】C
【分析】由折叠得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵𝐶=
1
2 (360° −∠𝐴𝐵𝐴′) = 112°，然后利用平行线的性质求解．
【详解】解：∵∠1 = 44°
∴∠𝐴𝐵𝐴′ = 180° −∠1 = 136°
由折叠得， ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵𝐶=
1
2 (360° −∠𝐴𝐵𝐴′) = 112°
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∴∠𝐷𝐶𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝐶= 68°．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若∠1 = 62°，
则∠2的度数为______．
【答案】59°/59 度
【详解】解：如图，
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∵∠1 = 62°，
∴∠𝐸𝐴𝐵= 180° −∠1 = 118°，
由折叠得，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐸𝐴𝐵= 59°，
∵𝐷𝐶∥𝐴𝐵，
∴∠2 = ∠𝐷𝐴𝐵= 59°．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川德阳·期中）如图1 是长方形纸带𝐴𝐵𝐶𝐷，∠𝐷𝐸𝐹= 28°，先将纸带沿𝐸𝐹
折叠成图2，再沿𝐵𝐹折叠成图3，则图3 中∠𝐶𝐹𝐸的度数为___．
【答案】96 度/96°
【分析】由𝐴𝐷∥𝐵𝐶得出∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 28°，然后结合折叠的性质求解．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为长方形，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 28°．
由翻折的性质得，图2 中，∠𝐷𝐸𝐹= 28°，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐹
∴∠𝐸𝐹𝐶= 180° −∠𝐹𝐸𝐺= 152°，
∴∠𝐵𝐹𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶−∠𝐵𝐹𝐸= 124°，
∴图3 中，∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐶−∠𝐵𝐹𝐸= 96°．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·河南周口·期末）综合与探究
已知长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，对边互相平行，4 个角均为直角．E，F 分别为𝐴𝐷, 𝐵𝐶边上两点，将长方形纸片沿
𝐸𝐹折叠后，点A，B 分别落在点𝐴′，𝐵′的位置．
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(1)如图1，若𝐸𝐴′的延长线恰好过点C，且∠𝐸𝐹𝐵= 105°，求∠𝐷𝐸𝐶的度数；
(2)如图2，若𝐸𝐴′交边𝐷𝐶于点G，∠𝐸𝐹𝐵= 120°，求∠𝐸𝐺𝐶的度数．
【答案】(1)30°
(2)150°
【分析】（1）根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，得到∠𝐷𝐸𝐶+ 2(105° −∠𝐷𝐸𝐶) = 180°，进行
求解即可；
（2）同（1）法求出∠𝐷𝐸𝐺的度数，再根据互余关系，求出∠𝐸𝐺𝐷的度数，进而求出∠𝐸𝐺𝐶的度数即可.
【详解】（1）解：由题意，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐸𝐹𝐵= 105°，
∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐹𝐸𝐷−∠𝐷𝐸𝐶= 105° −∠𝐷𝐸𝐶，
∵折叠，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 2∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶+ 2(105° −∠𝐷𝐸𝐶) = 180°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 30°；
（2）解：同（1）法可得∠𝐷𝐸𝐺+ 2(120° −∠𝐷𝐸𝐺) = 180°，
∴∠𝐷𝐸𝐺= 60°，
∵∠𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐺𝐸= 90° −∠𝐷𝐸𝐺= 30°，
∴∠𝐶𝐺𝐸= 180° −∠𝐷𝐺𝐸= 150°
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）若两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“美妙
角”．即|∠𝛼−∠𝛽| = 60°，则称∠𝛼和∠𝛽互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
(1)若∠𝛼和∠𝛽互为“美妙角”，当∠𝛼= 80°时，求∠𝛽的度数；
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(2)一张长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，点𝑃在边𝐵𝐶上，点𝐸在边𝐴𝐵上．将纸片沿着𝑃𝐸折叠，点𝐵落在点𝐵′处．若∠𝐸𝑃𝐵
与∠𝐵′𝑃𝐶互为“美妙角”，求∠𝐵𝑃𝐸的度数．
【答案】(1)∠𝛽= 20∘或∠𝛽= 140∘
(2)∠𝐵𝑃𝐸= 40°或∠𝐵𝑃𝐸= 80°
【分析】（1）根据“美妙角”的定义列出含绝对值的方程，解出即可；
（2）根据折叠的性质得到∠𝐵𝑃𝐸= ∠𝐵′𝑃𝐸， 设∠𝐵𝑃𝐸= 𝑥，得到∠𝐵𝑃𝐵′ = 2𝑥，∠𝐵′𝑃𝐶= 180° −2𝑥；根据
∠𝐸𝑃𝐵与∠𝐵′𝑃𝐶互为“美妙角”，列出方程并代入计算即可．
【详解】（1）根据“美妙角”的定义，可得： ∣∠𝛼−∠𝛽∣= 60°
代入∠𝛼= 80∘，得： ∣80∘−∠𝛽∣= 60∘
∴80° −∠𝛽= 60°或80° −∠𝛽= −60°
解得：∠𝛽= 20° 或 ∠𝛽= 140°，
两个度数都满足0° < ∠𝛽< 180°的要求，
∴∠𝛽= 20°或∠𝛽= 140°；
（2）根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，
∴∠𝐵𝑃𝐸= ∠𝐵′𝑃𝐸，
设∠𝐵𝑃𝐸= 𝑥，则∠𝐵′𝑃𝐸= 𝑥，
∴∠𝐵𝑃𝐵′ = 2𝑥
∵点𝑃在𝐵𝐶上，∠𝐵𝑃𝐶= 180°，
∴∠𝐵′𝑃𝐶= 180° −2𝑥；
∵∠𝐸𝑃𝐵和∠𝐵′𝑃𝐶互为“美妙角”，代入定义得： ∣𝑥−(180° −2𝑥) ∣= 60°
整理得∣3𝑥−180° ∣= 60°，
∴ 3𝑥−180° = 60°或3𝑥−180° = −60°，
当 3𝑥−180° = 60°时，
解得𝑥= 80°，此时∠𝐵′𝑃𝐶= 20°，符合角的范围要求；
当3𝑥−180° = −60°时，
解得𝑥= 40°，此时∠𝐵′𝑃𝐶= 100°，也符合角的范围要求；
∴∠𝐵𝑃𝐸= 40°或∠𝐵𝑃𝐸= 80°．
题型
最短路径问题
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▌例1．（25-26 七年级上·山东淄博·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别为𝐴(−1,3)，𝐵(−3,1)，
𝐶(−5,4)．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于x 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，其中点A，B，C 的对称点分别为𝐴1，𝐵1，𝐶1；
(2)在y 轴上找一点D，使𝐴𝐷+ 𝐵𝐷的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形，以及轴对称图形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性
质．
（1）根据轴对称图形的性质作图即可；
（2）先找到点B 关于y 轴的对称点𝐵′，再连接𝐴𝐵′，则𝐴𝐵′与y 轴的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图1 所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求，
解题贴士
利用轴对称转化线段，核心模型：
①两点在直线同侧：作一点对称点，连接对称点与另一点，和直线交点为最短路径点，线段长为最短距
离；
②两点在直线异侧：直接连接两点，与直线交点即为所求。
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（2）解：如图2 所示，作点B 关于y 轴的对称点𝐵′，连接𝐴𝐵′，则𝐴𝐵′与y 轴的交点D 即为所求．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别是
𝐴(4, −1)，𝐵(1,−2)，𝐶(4,−4)．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)请在𝑥轴上标出点𝑃的位置，使得𝐵𝑃+ 𝐴𝑃的值最小（不要求写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
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【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键：
（1）根据轴对称的性质，画出△𝐴′𝐵′𝐶′即可；
（2）连接𝐴′𝐵，根据对称性得到𝐴𝑃= 𝐴′𝑃，进而得到𝐵𝑃+ 𝐴𝑃= 𝐵𝑃+ 𝐴′𝑃，得到当𝐴′, 𝑃, 𝐵三点共线时，
𝐵𝑃+ 𝐴𝑃的值最小为𝐴′𝐵的长，即𝐴′𝐵与𝑥轴的交点即为点𝑃
【详解】（1）解：如图，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求；
（2）解：如图，点𝑃即为所求；
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在边长为1 的正方形网格的格点
上，△𝐴′𝐵′𝐶′和△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙成轴对称．
(1)请在如图所示的网格中作出△𝐴′𝐵′𝐶′．
(2)连接𝐴𝐴′，则𝐴𝐴′与直线𝑙的关系是______．
(3)在直线𝑙上找一点𝑃，使得𝑃𝐴+ 𝑃𝐶值最小．
【答案】(1)见解析
(2)𝐴𝐴′ ⊥𝑙
(3)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由轴对称的性质，解答即可．
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（3）连接𝐴′𝐶，交直线l 于点P，连接𝐴𝑃，点P 即为所求．
【详解】（1）解：如图，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求；
（2）解：∵△𝐴′𝐵′𝐶′和△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙成轴对称，
∴𝐴𝐴′ ⊥𝑙；
故答案为：𝐴𝐴′ ⊥𝑙
（3）解：如图，连接𝐴′𝐶，交直线l 于点P，连接𝐴𝑃，点P 即为所求．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·广东惠州·期中）如图，在10 × 8的方格图中，每个小方格都是边长为1 个
单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点在格点上．
(1)画出△𝐴′𝐵′𝐶′，使它与△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑚对称；
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(2)在直线𝑚上找一点𝐷，使得𝐵𝐷+ 𝐶𝐷的和最小；（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是
掌握上述知识点并能运用求解．
（1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可；
（2）连结𝐶′𝐵交m 于点D，点D 即可为所求作．
【详解】（1）解：如图，作△𝐴′𝐵′𝐶′，使它与△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑚对称；
（2）连结𝐵𝐶′交m 于点D，连结𝐶𝐷，
因为𝐶与𝐶′关于直线m 对称，
所以𝐶𝐷= 𝐶′𝐷，
所以𝐵𝐷+ 𝐶𝐷=𝐵𝐷+ 𝐶′𝐷= 𝐵𝐶′，
依据两点之间线段最短，可知点D 为所作求的点．
题型
轴对称综合问题
▌例1．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 8cm，𝐵𝐶= 6cm，
𝐴𝐵= 10cm，动点𝑃从点𝐴出发，以每秒2cm的速度沿𝐴𝐵向终点𝐵运动，连接𝐶𝑃．设点𝑃的运动时间为𝑡
（秒）．
解题贴士
易错：①知识点混用，混淆内心、外心、轴对称性质；②推导过程逻辑断层，遗漏隐含条件；③多情
况题型漏解、错解；④折叠、对称结合题型找不准对应关系。
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(1)用含𝑡的代数式表示线段𝐵𝑃的长度；
(2)当线段𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶的面积分成2: 3两部分时，求𝑡的值；
(3)点𝐸是点𝐴关于直线𝐶𝑃的对称点，当点𝐸在𝐵𝐶的下方时，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸．在整个运动过程中，求△𝐴𝐵𝐸面
积的最大值．
【答案】(1)(10 −2𝑡)cm
(2)𝑡= 2或𝑡= 3
(3)16cm2
【分析】（1）先表示𝐴𝑃= 2𝑡(cm)，进一步可得答案；
（2）由线段𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶的面积分成2: 3两部分，可得𝐴𝑃: 𝐵𝑃= 2: 3或𝐴𝑃: 𝐵𝑃= 3: 2，进一步列方程求解即
可；
（3）连接𝐶𝐸交𝐴𝐵于𝐻，证明𝐶𝐴= 𝐶𝐸= 8(cm)，当𝐶𝐸⊥𝐴𝐵时，𝐸到𝐴𝐵的距离最大，可得△𝐴𝐵𝐸的面积最
大，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 10cm，动点𝑃从点𝐴出发，以每秒2cm的速度沿𝐴𝐵向终点𝐵运动，
∴𝐴𝑃= 2𝑡(cm)，
∴𝐵𝑃= (10 −2𝑡)cm.
（2）解：∵线段𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶的面积分成2: 3两部分，
∴𝐴𝑃: 𝐵𝑃= 2: 3或𝐴𝑃: 𝐵𝑃= 3: 2，
∴2𝐵𝑃= 3𝐴𝑃或3𝐵𝑃= 2𝐴𝑃，
∴2(10 −2𝑡) = 3 × 2𝑡或3(10 −2𝑡) = 2 × 2𝑡，
解得：𝑡= 2或𝑡= 3.
（3）解：如图，连接𝐶𝐸交𝐴𝐵于𝐻，
∵点𝐸是点𝐴关于直线𝐶𝑃的对称点，点𝐸在𝐵𝐶的下方，𝐴𝐶= 8cm，
∴𝐶𝐴= 𝐶𝐸= 8(cm)，
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当𝐶𝐸⊥𝐴𝐵时，𝐸到𝐴𝐵的距离最大，
∴△𝐴𝐵𝐸的面积最大，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐶= 6cm，𝐴𝐵= 10cm，
1
2 𝐴𝐶⋅𝐶𝐵=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐻，
∴𝐶𝐻=
6×8
10 = 4.8(cm)，
∴𝐸𝐻= 8 −4.8 = 3.2(cm)，
∴△𝐴𝐵𝐸的最大面积为：
1
2 × 10 × 3.2 = 16(cm2).
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏无锡·期中）尺规作图：
如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 7，𝐵𝐶= 9，𝐴𝐵= 10，请仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，并完成
填空．
(1)作∠𝐶𝐴𝐵的平分线𝐴𝐷，交边𝐵𝐶于点D；
(2)作点C 关于直线𝐴𝐷的对称点E；
(3)连接𝐷𝐸，则△𝐷𝐸𝐵的周长=______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)12
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）过点C 尺规作𝐴𝐷的垂线，与𝐴𝐵的交点即为点E，
（3）证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹，得到𝐶𝐹= 𝐸𝐹，𝐴𝐶= 𝐴𝐸= 7，求出𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 10 −7 = 3，𝐶𝐷= 𝐸𝐷，
再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∠𝐶𝐴𝐵的平分线𝐴𝐷如图所示：
（2）解：点C 关于直线𝐴𝐷的对称点E 如图所示：
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（3）解：∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∵𝐴𝐹= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹，
∴𝐶𝐹= 𝐸𝐹，𝐴𝐶= 𝐴𝐸= 7，
∴C、E 关于直线𝐴𝐷对称，即𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐸，𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 10 −7 = 3，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐷，
∴△𝐷𝐸𝐵的周长= 𝐷𝐸+ 𝐸𝐵+ 𝐷𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐵+ 3 = 𝐵𝐶+ 3 = 9 + 3 = 12．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即𝐵𝐷被𝐴𝐶垂直平分．
(1)小深通过测量得到了𝐴𝐵= 𝐴𝐷，还需测量得到______（不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），
即可判断制作的风筝面𝐴𝐵𝐶𝐷为轴对称图形，请说明理由．
(2)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是轴对称图形，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= 50°，求∠𝐴𝐷𝐵的度数．
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【答案】(1)解：还需测量得到𝐵𝐶= 𝐷𝐶，理由如下：
如图所示，设𝐴𝐶, 𝐵𝐷交于点O，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
𝐵𝐶= 𝐷𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SSS)，
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐷, ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷
在△𝐶𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，
{
𝐶𝐵= 𝐶𝐷
∠𝑂𝐶𝐵= ∠𝑂𝐶𝐷
𝑂𝐶= 𝑂𝐶
，
∴△𝐶𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷(SAS)，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐷, ∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∵∠𝐶𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐷= 180°，
∴∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°，
∴𝐵𝐷被𝐴𝐶垂直平分，
∴制作的风筝面𝐴𝐵𝐶𝐷为轴对称图形；
还需测量得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，理由如下：
如图所示，设𝐴𝐶, 𝐵𝐷交于点O，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，
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∴𝐶𝐵= 𝐶𝐷, ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷
在△𝐶𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，
{
𝐶𝐵= 𝐶𝐷
∠𝑂𝐶𝐵= ∠𝑂𝐶𝐷
𝑂𝐶= 𝑂𝐶
，
∴△𝐶𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷(SAS)，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐷, ∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∵∠𝐶𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐷= 180°，
∴∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°，
∴𝐵𝐷被𝐴𝐶垂直平分，
∴制作的风筝面𝐴𝐵𝐶𝐷为轴对称图形；
(2)25°
【分析】（1）添加条件𝐵𝐶= 𝐷𝐶或∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，得到𝐶𝐵= 𝐶𝐷, ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷，
再证明△𝐶𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷，得到𝑂𝐵= 𝑂𝐷, ∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，则可证明𝐵𝐷被𝐴𝐶垂直平分，则制作的风筝面
𝐴𝐵𝐶𝐷为轴对称图形；
（2）设𝐴𝐶, 𝐵𝐷交于点O，证明△𝐶𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷，得到𝐶𝐵= 𝐶𝐷, ∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐷= 25°，则
∠𝐶𝐷𝑂= 65°；再证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，得到∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，则∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐶𝐷𝑂= 25°．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，设𝐴𝐶, 𝐵𝐷交于点O，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是轴对称图形，即𝐵𝐷被𝐴𝐶垂直平分，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐷, ∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°，
在△𝐶𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，
{
𝑂𝐵= 𝑂𝐷
∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷
𝑂𝐶= 𝑂𝐶
，
∴△𝐶𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐷, ∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐷= 25°，
∴∠𝐶𝐷𝑂= 180° −∠𝐶𝑂𝐷−∠𝑂𝐶𝐷= 65°；
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，
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∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°；
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
{
𝐶𝐵= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐶𝐷𝑂= 25°．
基础通关
1．（2026·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下
列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A 不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B 不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C 不符合题意；
D．是轴对称图形，故D 符合题意．
2．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【详解】解：A，C，D：沿着任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能互相重合，因此不是轴对称图
形，故A，C，D 不符合题意；
B：沿着竖直居中的直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，故B 符合题意．
3．（25-26 七年级下·山西运城·期末）人工智能正深刻改变着我们的生活，国内多家AI科技企业的品牌标志
中蕴含着丰富的几何知识．观察下列人工智能科技企业的Logo图案，其文字上方的图案属于轴对称图形的
是（ ）
A．字节跳动
B．华为
C．百度
D．科大讯飞
【答案】B
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意．
4.下列两个电子数字成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线
折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫
做对称轴．根据定义逐一分析即可．
【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称；
B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称；
C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称；
D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称．
故选：D．
5．（25-26 七年级下·河南开封·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于直线l 对称，下列所连线段中，不能被直
线l 垂直平分的是（ ）
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A．𝐵𝐸
B．𝐴𝐷
C．𝐶𝐹
D．𝐶𝐷
【答案】D
【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于直线l 对称，
∴点A 与点D 是对应点，点B 与点E 是对应点，点C 与点F 是对应点，
∴直线l 垂直平分线段𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹，
∵C 与D 不是对应点，
∴线段𝐶𝐷不能被直线l 垂直平分．
6．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，P 为𝑀𝑁上任一点，
下列结论中错误的是（ ）
A．直线𝐴𝐵和直线𝐴′𝐵′的交点不一定在𝑀𝑁上 B．𝐴𝑃= 𝐴′𝑃
C．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′面积相等 D．𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′，𝐶𝐶′
【答案】A
【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，P 为𝑀𝑁上任一点，
∴𝐴𝑃= 𝐴′𝑃，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′面积相等，𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′，𝐶𝐶′，
故选项B，C，D 均正确，不符合题意；
直线𝐴𝐵和直线𝐴′𝐵′关于直线𝑀𝑁对称，故两条直线的交点一定在𝑀𝑁上；故A 错误，符合题意；
故选A．
7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（ ）
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A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．无数条
【答案】C
【详解】解：如图所示：
该图形有3 条对称轴．
8．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有𝐸，𝐹两个桌球，若要将𝐸球射向球桌的一边，反弹一
次后击中𝐹球，则𝐸球应射向𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点中的点_____ ．
【答案】C
【分析】作点𝐸关于直线𝐴𝐵的对称点𝐸′，连接𝐸′𝐹与直线𝐴𝐵的交点即为所求的点．
【详解】解：如下图所示，作点𝐸关于直线𝐴𝐵的对称点𝐸′，
连接𝐸′𝐹与直线𝐴𝐵交于点𝐶，
点𝐶即为所求．
9．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠2的度数为55°，则∠1 =
______．
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【答案】
70°
【分析】根据平行线的性质得出内错角相等，同旁内角互补，即∠3 = ∠2 = 55°，∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°，
结合折叠的性质得到∠4 = ∠3 = 55°，最后根据对顶角相等即可得解．
【详解】如图，∵纸带两边互相平行，
∴∠3 = ∠2 = 55°，∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°，
由折叠的性质可得∠4 = ∠3 = 55°，
∴∠5 = 180° −(∠3 + ∠4) = 180° −(55° + 55°) = 70°，
根据对顶角相等可得∠1 = ∠5 = 70°．
10．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期末）（1）在如图1 所示的编号为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑的四个三角形中，关于𝑦轴对
称的两个三角形的编号为 ；
（2）在图2 中，画出与△𝐴𝐵𝐶关于x 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，点𝐴，𝐵，𝐶分别对应点𝐴1，𝐵1，𝐶1．
【答案】（1）𝑎，𝑏；（2）见解析
【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的识别，画轴对称图形．
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（1）根据轴对称的性质可得𝑎，𝑏两个图形关于𝑦轴对称；
（2）根据轴对称的性质找到𝐴，𝐵，𝐶的对应点𝐴1，𝐵1，𝐶1，顺次连接，即可求解．
【详解】解：（1）关于𝑦轴对称的两个三角形的编号为𝑎，𝑏；
故答案为：𝑎，𝑏．
（2）如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求
11．（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在
正方形的顶点上．
(1)在图中画出△𝐷𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙成轴对称，点D 与点A 对应，画出直线𝑙和△𝐷𝐸𝐹；
(2)在直线𝑙上找一点𝑃，使𝑃𝐵+ 𝑃𝐴的值最小．（在图形中标出点𝑃，保留作图痕迹）
【答案】(1)
先连接𝐴𝐷，作𝐴𝐷的垂直平分线，观察发现𝐴𝐷是2 × 2组成的正方形的对角线，则作出该正方形的另一条对
角线并延长对角线，这条对角线即为直线𝑙，
分别作点𝐵、𝐶关于直线𝑙的对称点，连接𝐷𝐸、𝐸𝐹、𝐷𝐹，得到△𝐷𝐸𝐹，如下图所示：
(2)
根据轴对称的性质，连接𝐵𝐷，𝐵𝐷与直线𝑙的交点为所求的点𝑃，
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【分析】本题考查轴对称变换的性质、正方形的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
（1）连接𝐴𝐷，作𝐴𝐷的垂直平分线，这条垂直平分线即为直线𝑙，分别作点𝐵、𝐶关于直线𝑙的对称点，连接
𝐷𝐸、𝐸𝐹、𝐷𝐹得到△𝐷𝐸𝐹即可；
（2）连接𝐵𝐷与直线𝑙的交点即为所求的点𝑃，根据轴对称的性质得到𝑃𝐵+ 𝑃𝐴= 𝑃𝐵+ 𝑃𝐷当𝐵、𝑃、𝐷三点
共线时，𝑃𝐵+ 𝑃𝐷的值最小， 即证得𝑃𝐵+ 𝑃𝐴的值最小．
【详解】（1）略
（2）解：因为点𝐴与点𝐷关于直线𝑙对称，
所以𝑃𝐴= 𝑃𝐷，
那么𝑃𝐵+ 𝑃𝐴= 𝑃𝐵+ 𝑃𝐷,
当𝐵、𝑃、𝐷三点共线时，𝑃𝐵+ 𝑃𝐷的值最小， 即𝑃𝐵+ 𝑃𝐴的值最小．
素养提升
1．（25-26 七年级下·安徽合肥·期末）如图，△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷关于直线𝐴𝐷对称，若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，则图中阴影
部分的面积为_____．
【答案】
1
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷关于直线𝐴𝐷对称，
∴直线𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的对称轴，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐸𝐹与△𝐶𝐸𝐹关于直线𝐴𝐷对称，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐶𝐸𝐹，
∴𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐵𝐸𝐹+ 𝑆△𝐶𝐷𝐹
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= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐶𝐸𝐹+ 𝑆△𝐶𝐷𝐹
= 𝑆△𝐴𝐶𝐷
=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，
∴𝑆阴影=
1
2 × 2 = 1.
2．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）网格小正方形边长为1，点A、B 关于中间竖直线对称，点C 在B 正
上方6 格，则点C 的对称点与A 的竖直距离为_________．
【答案】6
【详解】解：由对称性可知，点C 的对称点与A 的竖直距离等于点𝐶与点𝐵的竖直距离，
∵点C 在B 正上方6 格，
∴点C 的对称点与A 的竖直距离为6.
3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀、𝑁分别是边𝐴𝐵、𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐶沿直
线𝑀𝑁折叠，使点𝐵与点𝐴重合，连接𝐴𝑁．
(1)若∠𝐶= 80°，∠𝐵= 40°，求∠𝐶𝐴𝑁的度数；
(2)若𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 7，则△𝐴𝐶𝑁的周长为__________．
【答案】(1)20°
(2)11
【分析】（1）由三角形内角和定理得∠𝐵𝐴𝐶= 60°，由折叠的性质得∠𝑁𝐴𝐵= ∠𝐵= 40°，即可求解；
（2）由折叠的性质得𝐴𝑁= 𝐵𝑁，将△𝐴𝐶𝑁的周长转化为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶即可求解．
【详解】（1）解：∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐵= 180° −80° −40° = 60°，
由折叠的性质得：∠𝑁𝐴𝐵= ∠𝐵= 40°，
∴∠𝐶𝐴𝑁= 60° −40° = 20°．
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（2）解：由折叠的性质得：𝐴𝑁= 𝐵𝑁，
△𝐴𝐶𝑁的周长= 𝐴𝐶+ 𝐶𝑁+ 𝐴𝑁= 𝐴𝐶+ 𝐶𝑁+ 𝐵𝑁= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 4 + 7 = 11．
4．（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）作图题
如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C 均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定
的网格中按要求作图(不能用圆规，保留作图痕迹)．
(1)作△𝐴𝐵𝐶关于直线𝐸𝐹对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)作△𝐴𝐵𝐶的中线𝐵𝐷．
【答案】(1)如图，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求
(2)如图，△𝐴𝐵𝐶的中线𝐵𝐷即为所求
【分析】（1）根据轴对称性质找到△𝐴𝐵𝐶的顶点关于直线𝐸𝐹成轴对称的对应点𝐴′，𝐵′，𝐶′，再顺次连接即
可；
（2）利用网格找到𝐴𝐶的中点D，再连接𝐵𝐷即可．
【详解】（1）略
（2）略
5．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均
在格点上．
小学
初中
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(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁对称的△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)在直线𝑀𝑁上找一点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的值最小．
(3)找到格点𝐷，连接𝐵𝐷，满足𝐵𝐷与𝐴𝐶平行且相等．
【答案】(1)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
(2)如图，点P 即为所求；
(3)如图，点𝐷1、𝐷2即为所求；
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【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C 的对应点𝐴1、𝐵1、𝐶1，然后顺次连接即可；
（2）连接𝐴1𝐶交𝑀𝑁于点P，则点P 即为所求；
（3）根据格点特点找出符合条件的点D 即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接𝑃𝐴，如图所示：
根据轴对称可得：𝑃𝐴1 = 𝑃𝐴，
∴𝑃𝐴+ 𝑃𝐶= 𝑃𝐴1 + 𝑃𝐶，
∵两点之间线段最短，
∴此时𝑃𝐴1 + 𝑃𝐶最小，即𝑃𝐴+ 𝑃𝐶最小；
（3）略
6．（25-26 七年级下·广东清远·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐵关于直线𝑀𝑁对称，直线𝑀𝑁分别与𝐵𝐷、
𝐵𝐶交于点𝐸，𝐹，𝐸𝐹= 3，𝐴𝐶= 7.5，𝐵𝐶= 8，3𝐷𝐸= 𝐴𝐶．
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(1)求𝐵𝐸的长．
(2)求△𝐸𝐵𝐶的面积．
(3)求△𝐷𝐵𝐶的面积．
【答案】(1)5
(2)12
(3)18
【分析】（1）先得出𝐷𝐵= 𝐴𝐶= 7.5，再求出𝐷𝐸的长，由此即可得；
（2）先得出𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，再根据三角形的面积公式计算即可；
（3）先求出𝐷𝐵=
3
2 𝐵𝐸，再根据△𝐸𝐵𝐶的𝐵𝐸边上的高与△𝐷𝐵𝐶的𝐷𝐵边上的高相等可得△𝐷𝐵𝐶的面积与△
𝐸𝐵𝐶的面积之间的关系，由此即可得．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐵关于直线𝑀𝑁对称，且𝐴𝐶= 7.5，
∴𝐷𝐵= 𝐴𝐶= 7.5，
∵3𝐷𝐸= 𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸=
1
3 𝐴𝐶= 2.5，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐵−𝐷𝐸= 5．
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐵关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝑀𝑁⊥𝐵𝐶，即𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，
∵𝐸𝐹= 3，𝐵𝐶= 8，
∴△𝐸𝐵𝐶的面积为
1
2 𝐵𝐶⋅𝐸𝐹=
1
2 × 8 × 3 = 12．
（3）解：由（1）已得：𝐷𝐵= 7.5，𝐵𝐸= 5，△𝐸𝐵𝐶的面积为12，
∴𝐷𝐵=
3
2 𝐵𝐸，
又∵△𝐸𝐵𝐶的𝐵𝐸边上的高与△𝐷𝐵𝐶的𝐷𝐵边上的高相等，
∴△𝐷𝐵𝐶的面积为
3
2 𝑆△𝐸𝐵𝐶=
3
2 × 12 = 18．
7．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点𝐴落在点𝐴′处，折痕为𝐶𝐵；
再将长方形纸片的另一角也折叠，使顶点𝐷落在点𝐷′处，𝐷′在𝐵𝐴′的延长线上，折痕为𝐸𝐵．
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(1)若∠𝐴𝐵𝐶= 60°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(2)若∠𝐴𝐵𝐶= 𝑚°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数，从计算中你发现了∠𝐶𝐵𝐸的度数有什么规律？
(3)∠𝐷′𝐵𝐸的补角为____________．
【答案】(1)90°
(2)∠𝐶𝐵𝐸= 90°，发现∠𝐶𝐵𝐸始终为90°
(3)∠𝐴𝐵𝐸
【分析】（1）根据图形翻折变换的性质可知∠𝐴′𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐷′𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸=
1
2 (180° −∠𝐴𝐵𝐶−
∠𝐴′𝐵𝐶) = 30°，故可得出结论；
（2）根据图形翻折变换的性质可知∠𝐴′𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 𝑚°，∠𝐷′𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸=
1
2 (180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴′𝐵𝐶) =
90° −𝑚°，故可得出结论；
（3）根据补角的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：∵△𝐴′𝐵𝐶由△𝐴𝐵𝐶翻折而成，△𝐷′𝐵𝐸由△𝐷𝐵𝐸翻折而成，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴′𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐷′𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸=
1
2 (180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴′𝐵𝐶) =
1
2 × 60° = 30°，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴′𝐵𝐶+ ∠𝐷′𝐵𝐸= 60° + 30° = 90°；
（2）解：∵△𝐴′𝐵𝐶由△𝐴𝐵𝐶翻折而成，△𝐷′𝐵𝐸由△𝐷𝐵𝐸翻折而成，∠𝐴𝐵𝐶= 𝑚°，
∴∠𝐴′𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 𝑚°，∠𝐷′𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸=
1
2 (180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴′𝐵𝐶) =
1
2 × (180° −2𝑚°) = 90° −𝑚°，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴′𝐵𝐶+ ∠𝐷′𝐵𝐸= 𝑚° + 90° −𝑚° = 90°，
发现∠𝐶𝐵𝐸始终为90°；
（3）解：∵由（2）知，∠𝐷′𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸，∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸= 180°，
∴∠𝐷′𝐵𝐸的补角是∠𝐴𝐵𝐸．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直
线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）-（4）所示，虚线部分表示折
痕）．
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将正方形纸片按以上方式折叠，标记字母如下图．
(1)求证：𝐴𝐵∥𝐶𝐷；
(2)联系拓展：若∠𝑀𝐷𝐶= 25°，求∠𝐸𝐵𝐴的度数．
【答案】(1)证明：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕𝑃𝑄与直线𝐴𝐵之间的位置关系是𝐴𝐵⊥𝑃𝑄；
第二次折叠，得到的折痕𝐶𝐷与第一次折痕之间的位置关系是𝑃𝑄⊥𝐶𝐷；
∵𝐴𝐵⊥𝑃𝑄, 𝑃𝑄⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝑃𝑄= ∠𝑀𝑄𝐵= 90°，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷；
(2)115°
【分析】（1）根据折叠可得，𝐴𝐵⊥𝑃𝑄、𝑃𝑄⊥𝐶𝐷，再根据平行线的判定求解即可；
（2）过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
由（1）可知，𝐶𝐷∥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐷∥𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝑀𝐷𝐶= ∠𝑀𝐸𝐹, ∠𝐹𝐸𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐴= 180°，
∵正方形纸片，
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∴∠𝑀𝐸𝐵= 90°，
∵∠𝑀𝐷𝐶= 25°,
∴∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝑀𝐸𝐵−∠𝑀𝐸𝐹
= 90° −25°
= 65°，
∴∠𝐸𝐵𝐴= 180° −∠𝐹𝐸𝐵
= 180° −65°
= 115°．
2．（25-26 七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成下面项目．
项目任务单：《光的镜面反射》
项目
项目内容
图形
素材
光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反
射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小
相等，例如：在图1中，有∠1 = ∠2．
完成项目：
(1)项目1：如图2，已知有两个平面镜镜面𝐴𝐵与镜面𝐶𝐷，入射光线𝐸𝐹先后经镜面𝐴𝐵，𝐶𝐷形成反射，记反
射光线分别为𝐹𝐺，𝐺𝐻．
①若∠𝐴𝐹𝐸= 60°，求∠𝐸𝐹𝐺的度数．
②若∠𝐴𝐹𝐸= 𝛼，∠𝐷𝐺𝐻= 𝛽，𝐸𝐹∥𝐺𝐻，求𝛼，𝛽之间的数量关系．
(2)项目2：如图3，现有三个平面镜𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，入射光线𝐸𝐹先后经镜面𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷反射，反射光线
依次为𝐹𝐺，𝐺𝐻，𝐻𝐼，且满足𝐹𝐸∥𝐻𝐼．
①若∠𝐴𝐹𝐸= 30°，∠𝐷𝐻I = 40°，求∠𝐹𝐺𝐻的度数．
②求∠𝐴𝐹𝐺，∠𝐹𝐺𝐻，∠𝐺𝐻𝐷的数量关系．
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【答案】(1)①60°；②𝛼+ 𝛽= 90°
(2)①140°；②∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐺𝐻𝐷+
1
2 ∠𝐹𝐺𝐻= 360°
【分析】（1）①根据光的反射规律得∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐸= 60°，结合平角的定义即可解答；
②由反射规律得∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐸= 𝛼，∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐷𝐺𝐻= 𝛽， 结合平行线的性质即可解答；
（2）①由反射规律得∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺= 30°，∠𝐷𝐻𝐼= ∠𝐶𝐻𝐺= 40°， 结合平角的定义即可求出∠𝐺𝐹𝐸=
120°，∠𝐼𝐻𝐺= 100°， 过点𝐺作𝐺𝐾∥𝐻𝐼，根据𝐹𝐸∥𝐻𝐼和平行线的性质得出∠𝐹𝐺𝐻= ∠𝐹𝐺𝐾+ ∠𝐻𝐺𝐾即可
求解；
②设∠𝐴𝐹𝐸= 𝛼，∠𝐷𝐻𝐼= 𝛽，由反射规律得∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺= 𝛼，∠𝐷𝐻𝐼= ∠𝐶𝐻𝐺= 𝛽， 则∠𝐸𝐹𝐺= 180° −
2𝛼，∠𝐺𝐻𝐼= 180° −2𝛽，同①可得∠𝐹𝐺𝐻= ∠𝐹𝐺𝐾+ ∠𝐻𝐺𝐾= 2(𝛼+ 𝛽)，再表示出∠𝐴𝐹𝐺，∠𝐺𝐻𝐷即可解
答；
【详解】（1）解：①根据光的反射规律得：∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐸= 60°，
∵∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐵𝐹𝐺= 180°，
∴∠𝐸𝐹𝐺= 180° −60° −60° = 60°；
②由反射规律得：∠𝐵𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐸= 𝛼，∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐷𝐺𝐻= 𝛽，
∴∠𝐸𝐹𝐺= 180° −2𝛼，∠𝐹𝐺𝐻= 180° −2𝛽，
∵𝐸𝐹∥𝐺𝐻，
∴∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐹𝐺𝐻= 180°，
∴(180° −2𝛼) + (180° −2𝛽) = 180°，
整理得𝛼+ 𝛽= 90°；
（2）解：①由反射规律得：∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺= 30°，∠𝐷𝐻𝐼= ∠𝐶𝐻𝐺= 40°，
∴∠𝐺𝐹𝐸= 180° −∠𝐴𝐹𝐸−∠𝐵𝐹𝐺= 180° −30° −30° = 120°，∠𝐼𝐻𝐺= 180° −∠𝐷𝐻𝐼−∠𝐶𝐻𝐺= 180° −
40° −40° = 100°，
过点𝐺作𝐺𝐾∥𝐻𝐼，
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∵𝐹𝐸∥𝐻𝐼，
∴𝐹𝐸∥𝐻𝐼∥𝐺𝐾，
∴∠𝐹𝐺𝐾+ ∠𝐺𝐹𝐸= 180°，∠𝐻𝐺𝐾+ ∠𝐼𝐻𝐺= 180°，
∴∠𝐹𝐺𝐾= 180° −∠𝐺𝐹𝐸= 60°，∠𝐻𝐺𝐾= 180° −∠𝐼𝐻𝐺= 80°，
∴∠𝐹𝐺𝐻= ∠𝐹𝐺𝐾+ ∠𝐻𝐺𝐾= 60° + 80° = 140°；
②设∠𝐴𝐹𝐸= 𝛼，∠𝐷𝐻𝐼= 𝛽，
由反射规律得：∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺= 𝛼，∠𝐷𝐻𝐼= ∠𝐶𝐻𝐺= 𝛽，
∴∠𝐸𝐹𝐺= 180° −2𝛼，∠𝐺𝐻𝐼= 180° −2𝛽，
过点𝐺作𝐺𝐾∥𝐻𝐼，
∵𝐹𝐸∥𝐻𝐼，
∴𝐹𝐸∥𝐻𝐼∥𝐺𝐾，
∴∠𝐹𝐺𝐾= 180° −∠𝐺𝐹𝐸= 180° −(180° −2𝛼) = 2𝛼，∠𝐻𝐺𝐾= 180° −∠𝐼𝐻𝐺= 180° −(180° −2𝛽) =
2𝛽，
∴∠𝐹𝐺𝐻= ∠𝐹𝐺𝐾+ ∠𝐻𝐺𝐾= 2𝛼+ 2𝛽= 2(𝛼+ 𝛽)；
∵∠𝐴𝐹𝐺= 180° −∠𝐵𝐹𝐺= 180° −𝛼，∠𝐺𝐻𝐷= 180° −∠𝐶𝐻𝐺= 180° −𝛽，
∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐺𝐻𝐷+
1
2 ∠𝐹𝐺𝐻= 360°（或等价形式2∠𝐴𝐹𝐺+ 2∠𝐺𝐻𝐷+ ∠𝐹𝐺𝐻= 720°等也正确）．
