文档内容
第 05 讲 勾股定理的逆定理【7 个必考点】
【人教版】
【知识点1 互逆命题与互逆定理】..........................................................................................................................2
【必考点1 判断逆命题的真假】..............................................................................................................................2
【知识点2 勾股定理的逆定理】..............................................................................................................................4
【必考点2 判断直角三角形的条件】.....................................................................................................................4
【必考点3 网格图中判断直角三角形】.................................................................................................................7
【知识点3 勾股数】..................................................................................................................................................9
【必考点4 勾股数的判断】......................................................................................................................................9
【必考点5 利用勾股定理逆定理在网格中求角的度数】...................................................................................11
【必考点6 利用勾股定理逆定理求面积】...........................................................................................................14
【必考点7 利用勾股定理逆定理证垂直】...........................................................................................................19
【知识点1 互逆命题与互逆定理】
1.互逆命题
如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那
么另一个叫做它的逆命题.
2.互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理为互逆定理，其中一个定
理叫做另一个定理的逆定理.
【必考点1 判断逆命题的真假】
【例1】判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a＞1且b＞1，则a+b＞2；③全等三角形对
应角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中逆命题正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】本题首先根据什么是逆命题对每个题进行说明，再判断出正确与错误，即可求出答案．
【解答】解：①：等腰三角形是轴对称图形；
它的逆命题是轴对称图形是等腰三角形，
故本选项错误，
②若a＞1且b＞1，则a+b＞2；它的逆命题是若a+b＞2，a＞1且b＞1；
故本选项错误，
③全等三角形对应角相等；
它的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形．
故本选项错误，
④直角三角形的两锐角互余．
它的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形．
故本选项正确．
故选：A．
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题
B．任何定理一定有逆定理
C．任何命题一定有逆命题
D．定理一定是命题，但不一定是真命题
【分析】利用命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系分别判断后即可确定正确答案．
【解答】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故原说法错误，不符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等，没有逆定理，故原说法错误，不符合题意；
C、任何命题一定有逆命题，原说法正确，符合题意；
D、定理一定是命题，且是真命题，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列命题的逆命题是真命题的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；
③直角三角形的两个锐角互余；
④全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别写出个命题的逆命题，然后再判定真假即可解答．
【解答】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是两边相等的三角形，此
命题是真命题；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为：角平分线上的点到角的两边的距离相
等，此命题为真命题；③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形为直角三角形，此命题为真命题；
④全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此命题为假命题．
故命题的逆命题中真命题的个数是3个．
故选：C．
【变式3】下列命题：
①全等三角形的对应角相等；
②一个正数的绝对值等于本身；
③若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形．
其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用全等三角形的性质、绝对值的意义、勾股定理的逆定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①逆命题为对应角相等的两三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
②逆命题为绝对值等于本身的数是正数，错误，是假命题，不符合题意
③逆命题为：若直角三角形的三边长a、b、c（c是斜边），则满足a2+b2＝c2，正确，是真命题，不符
合题意．
真命题的有1个，
故选：B．
【知识点2 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足 a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：
（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；
（3）比较二者是否相等；
（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直
角三角形.
【必考点2 判断直角三角形的条件】
【例1】适合下列条件的△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则直角三角形的个数为（
）
①a： b：=1c：❑√3：2；1 1
②∠A= ∠B= ∠C；
2 3
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
④a=❑√5，b=❑√12，c=❑√13；
⑤a＝82，b＝152，c＝172．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①设a=k，b=❑√3k，c=2k，
∵a2 +b2 =k2 +(❑√3k) 2 =4k2 =c2，
∴△ABC是直角三角形；
1 1
②∵∠A= ∠B= ∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
2 3
1 2
∴ ∠C+ ∠C+∠C=180°，
3 3
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
5
∴∠C=180°× =75°，
3+4+5
∴△ABC不是直角三角形；
④a2+b2＝5+12＝17≠c2，
∴△ABC不是直角三角形；
⑤∵a2+b2＝642+2252＝50625≠2892＝c2，
∴△ABC不是直角三角形；
综上所述，直角三角形的个数是2个，
故选：A．
【变式1】在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣
c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断
△ABC为直角三角形的条件有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可．【解答】解：①若∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，正
确，符合题意；
②若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意；
5
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角为180°× =75°，错误，不符合题意；
3+4+5
④若a：b：c＝5：4：3，设a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），则（3k）2+（4k）2＝（5k）2，则△ABC
是直角三角形，正确，符合题意；
⑤若a2：b2：c2＝1：2：3，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，正确，符合题意；
故能判断△ABC为直角三角形的条件有：①②④⑤．
故选：C．
【变式2】下面的三角形中：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
1 1 1
③△ABC中，a：b：c＝5：12：13；④△ABC中，三边长分别为 ， ， ．其中，直角三角形的个
3 4 5
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形内角和定理即可判断②；根据勾股定理的逆定理即可判断③④．
【解答】解：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B，
即∠C+∠B＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，故②错误；
③∵△ABC中，a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故③正确；
1 1 1
④∵△ABC中，三边长分别为 ， ， ，
3 4 5
1 1 1
∴（ ）2+（ ）2≠（ ）2，
5 4 3即△ABC不是直角三角形，故④错误；
即正确的个数是2个，
故选：B．
【变式3】如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2m，m2+1，其中m为大于1的正整数，则（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边为m2﹣1
B．△ABC是直角三角形，且斜边为2m
C．△ABC是直角三角形，且斜边为m2+1
D．△ABC不是直角三角形
【分析】用三勾股定理的逆定理即可作出判断．
【解答】解：（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，
故△ABC是直角三角形，m2+1是斜边．
故选：C．
【必考点3 网格图中判断直角三角形】
【例1】如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在
格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵AM2＝12＝1，MN2＝12+12＝2，AN2＝12+22＝5，
∴AM2+MN2≠AN2，
∴△AMN不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵MN2＝12+12＝2，MB2＝12+22＝5，BN2＝12+22＝5，
∴MN2+MB2≠BN2，
∴△BMN不是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵MN2＝12+12＝2，CN2＝12+22＝5，MC2＝32＝9，
∴MN2+CN2≠MC2，∴△CMN不是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵MN2＝12+12＝2，MD2＝12+32＝10，DN2＝22+22＝8，
∴MN2+DN2＝MD2，
∴△DMN是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【变式1】如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成三角形不是
直角三角形的是（ ）
A．△ABD B．△ADC C．△BCD D．△ABC
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．
【解答】解：∵AB2＝5，BD2＝5，CD2＝10，AC2＝20，AD2＝10，BC2＝25，
∴AB2+BD2＝AD2，AD2+DC2＝AC2，BD2+DC2≠BC2，AB2+AC2＝BC2，
∴△BCD不是直角三角形，
故选：C．
【变式2】如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要
求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A．C B．C C．C D．C
1 2 3 4
【分析】在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可．【解答】解：AB2＝10，AC2 =5，BC2 =5，
1 1
∴AB2=AC2 +BC2，
1 1
∴△ABC 是直角三角形，
1
∵AC2 =10，AB2＝10，BC2 =20，
2 2
∴BC2 =AC2 +AB2，
2 2
∴△ABC 是直角三角形，
2
∵AB2＝10，AC2 =20，BC2 =10，
3 3
∴AC2 =AB2+BC2，
3 3
∴△ABC 是直角三角形，
3
∵AC2 =16，BC2 =18，AB2＝10，
4 4
∴BC2≠AC2 +AB2，
4 4
∴△ABC 不是直角三角形，
4
所以△ABC ，△ABC ，△ABC 是直角三角形，但△ABC 不是直角三角形，
2 3 1 4
故选：D．
【变式3】如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有 A、B、C、D、E、F、G七个点，则
在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分
析．【解答】解：A、AB2＝1+36＝37，AC2＝16+25＝41，BC2＝1+9＝10，37+10≠41，不可以构成直角三
角形；
B、AD2＝16+16＝32，AG2＝9+36＝45，DG2＝1+4＝5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；
C、BE2＝36+16＝52，BF2＝25+25＝50，EF2＝1+1＝2，50+2＝52，可以构成直角三角形
D、BG2＝25+9＝34，BE2＝36+16＝52，GE2＝9+1＝10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．
故选：C．
【知识点3 勾股数】
1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.
3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.
4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等.
【必考点4 勾股数的判断】
【例1】下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ）
①32，42，52
②6，8，10
③7，24，25
1 1 1
④ ， ，
3 4 5
⑤1.5，2，2.5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即
可．
【解答】解：①（32）2+（42）2≠（52）2，所以①不是勾股数；
②62+82＝102，所以②是勾股数；
③72+242＝625＝252，所以③是勾股数；
1 2 1 2 1 2
④( ) +( ) ≠( ) ，所以④不是勾股数；
3 4 5
⑤1.52+22＝6.25＝2.52，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数．
综上所述②③是勾股数，共2个．
故选：B．
n n n
【变式1】当n为正整数时，下列各组数：①3n，4n，5n；② ， ， ；③2n﹣1，2n+1，2n+3．其中
3 4 5是勾股数的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：①∵（3n）2+（4n）2＝9n2+16n2＝25n2，（5n）2＝25n2，
∴（3n）2+（4n）2＝（5n）2，
∵n为正整数，
∴3n，4n，5n都是正整数，
∴3n，4n，5n是勾股数；
n
②当n为正整数时， 不一定是正整数，
3
n n n
∴ ， ， 不一定是勾股数；
3 4 5
③∵（2n﹣1）2+（2n+1）2＝8n2+2，（2n+3）2＝4n2+12n+9，
∴（2n﹣1）2+（2n+1）2与（2n+3）2不一定相等，
∴2n﹣1，2n+1，2n+3不一定是勾股数；
故选：A．
【变式2】如果m表示大于1的整数，设a＝2m，b＝m2﹣1，c＝2m2+2m，d＝m2+1，其中任选三个数能构
成勾股数的为（ ）
A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d
【分析】根据完全平方公式、勾股数的概念判断即可．
【解答】解：∵a＝2m，b＝m2﹣1，d＝m2+1，
∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝+m4+2m2+1＝（m2+1）2，
d2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝d2，
∴a，b，d三个数能构成勾股数，
故选：B．
【变式3】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，
32 +1 52 +1
144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5= ，13=
2 2
，…）
【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从 3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．
【解答】解：由题意得：a2+1442＝1452，
a2＝1452﹣1442，
a＝17．
故答案为：17．
【必考点5 利用勾股定理逆定理在网格中求角的度数】
【例1】如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△ABM是等腰直角三角形，且∠BAM＝90°即可得到答
案．
【解答】解：如图所示，连接AB，
由题意得，AM=❑√12 +22 =❑√5，AB=❑√12 +22 =❑√5，BM=❑√12 +32 =❑√10，
∴AM2+AB2＝BM2，AM＝AB，
∴△ABM是等腰直角三角形，且∠BAM＝90°，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
【变式1】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，则∠ACB＝（ ）
A．100° B．120° C．125° D．135°【分析】先证明Rt△ANC≌Rt△CMD，Rt△CMD≌Rt△BHD，再运用全等三角形的对应角相等、对应
边相等，分别得出∠ACD＝180°﹣（∠NCA+∠DCM）＝90°，∠DCB＝45°，即可作答．
【解答】解：如图所示：
结合网格特征，
∴NC＝DM＝DH，AN＝CM＝BH，∠ANC＝∠CMD＝∠BHD＝90°，
∴∠CDM+∠DCM＝90°，Rt△ANC≌△RtCMD（HL），Rt△CMD≌Rt△BHD（HL），
∴∠NCA＝∠CDM，∠NCA+∠DCM＝90°，CD＝DB，
∴∠ACD＝180°﹣（∠NCA+∠DCM）＝90°，
同理得∠CDB＝90°，
∵CD＝DB，
∴∠DCB＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+45°＝135°，
故选：D．
【变式2】如图所示的网格是正方形网格，∠PAB﹣∠PCD＝（ ）°．（点A，B，C，D，P是网格线交
点）
A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB＝∠PCD，则∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，然
后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAE的形状，从而可
以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB﹣∠PCD的度数．
【解答】解：连接AE，PE，∵EF＝PD＝1，∠AFE＝∠CDP＝90°，AF＝CD＝3，
∴△AFE≌△CDP（SAS），
∴∠EAB＝∠PCD，
设正方形网格的边长为a，
则PA=❑√a2 +(2a) 2 =❑√5a，
AE=❑√a2 +(3a) 2 =❑√10a，
∴PE=❑√5a，
∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∵∠EAB＝∠PCD，
∴∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，
∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，
故选：C．
【变式3】如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】作B关于AC的对称点B'，连接B'A'，B'D，则∠BAC＝∠B′AC，在网格中运用勾股定理得到
线段长，进而证明△AB'D是等腰直角三角形，得到∠B'AD＝45°，即∠BAC+∠DAC＝45°．
【解答】解：作B关于AC的对称点B'，连接B'A'，B'D，如图所示：∴∠BAC＝∠B′AC，
∵B′ A=❑√12 +32 =❑√10，B′D=❑√12 +32 =❑√10，AD=❑√22 +42 =2❑√5，
∴AB'＝B'D，B'A2+B'D2＝AD2，
∴△AB'D是等腰直角三角形，
∴∠B'AD＝45°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B'AC+∠DAC＝∠B'AD＝45°，
故选：B．
【必考点6 利用勾股定理逆定理求面积】
【例1】某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形
状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由勾股定理得BD=❑√AB2 +AD2，即可求解；
（2）可得BD2+BC2＝CD2，由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，求四边形的面积，即可求
解；
【解答】解：（1）连接BD，∵∠A＝90°，
∴BD=❑√AB2 +AD2
=❑√42 +32
＝5（m），
故B、D之间的距离为5m；
（2）∵52+122＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
1 1
∴四边形ABCD的面积= AB•AD+ BC•BD
2 2
1 1
= ×4×3+ ×12×5
2 2
＝36（m2）．
【变式1】我区某校校园有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化
施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪．
（1）求四边形的空地ABCD的面积；
（2）已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？【分析】（1）连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠DAC＝90°，求出区域的
面积，即可求出答案；
（2）根据草坪每平方米160元求出总花费即可．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3米，CB＝4米，
由勾股定理得AC=❑√32 +42 =5（m），
∵AD＝12米，CD＝13米，
AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
1 1
该区域面积S＝S△ADC ﹣S△ABC =
2
×5×12−
2
×3×4=24（m2），
（2）用该草坪铺满这块空地共需花费＝24×160＝3840元．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元．
【变式2】如图有一块等腰三角形菜地，其中AC＝BC＝26，AB＝20，点E为AB的中点．现需要开辟一块
△AEF的空地用于堆肥，已知AF＝8，EF＝6．
（1）你能确定△AEF的形状吗，请说明理由；
（2）计算阴影部分的面积．【分析】（1）先求出AE的长，再由勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）连接CE，由等腰三角形的性质可知CE⊥AB，根据勾股定理求出CE的长，根据S阴影 ＝S△ABC ﹣
S△AEF 即可得出结论．
【解答】解：（1）△AEF是直角三角形，理由：
∵AB＝20，点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝10，
∵AF＝8，EF＝6，82+62＝102，
∴△AEF是直角三角形；
（2）连接CE，
∵AC＝BC＝26，AB＝20，点E为AB的中点，
∴CE⊥AB，AE＝BE＝10，
∴CE=❑√BC2−BE2 =24，
∴S阴影 ＝S△ABC ﹣S△AEF
1 1
= AB•CE− AF•EF
2 2
1 1
= ×20×24− ×6×8
2 2
＝240﹣24
＝216．
【变式3】某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所
示）已知AB＝12m，BC＝9m，CD＝8m，AD＝17m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点C的小路，请问这条小路的
最短长度是多少m？
（2）这块绿化用地的面积是多少m2？【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾
股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，
∴AC=❑√AB2 +BC2 =❑√122 +92 =15（m），
答：这条小路的最短长度是15m；
（2）∵AC2+CD2＝152+82＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
1 1 1 1
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD =
2
AB⋅BC+
2
AC⋅CD=
2
×12×9+
2
×15×8＝54+60＝114（m2），
答：这块绿化用地的面积是114m2．
【必考点7 利用勾股定理逆定理证垂直】
【例1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD．25 7
（1）如果AC＝6，BD= ，CD= ，求证：∠C＝90°；
4 4
（2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据勾股定理的逆定理证明∠C＝90°；
（2）根据三角形内角和定理、直角三角形的性质得到∠B＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质计
算即可．
25
【解答】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，BD= ，
4
25
∴AD＝BD= ，
4
7 625 25 625
在△ACD中，AC2+CD2＝62+（ ）2= ，AD2＝（ ）2= ，
4 16 4 16
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠B＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠DAB+∠B+∠CAD＝90°，
∴∠B＝30°，
1
∴AC= AB＝2．
2
【变式1】如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣
CD2．
（1）求证：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，根据BD2﹣CD2＝BC2列出方程计算即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD2，
∴CB2＝BD2﹣CD2，
∴CB2+CD2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
7
解得：x= ，
8
7
∴CD的长为 ．
8
【变式2】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝AC由
于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占 H（A，H，B在同一条直线上），并修建一条路CH，测得CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米，
（1）问CH是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【分析】（1）由题意得CH2+HB2＝CB2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得出AC2＝CH2+（AC﹣AH）2，计算即可得到答案．
【解答】解：（1）CH是村庄C到河边最近的一条路，理由如下：
∵CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米，
∴CH2+HB2＝22+（1.5）2＝6.25（千米），
CB2＝（2.5）2＝6.25（千米），
∴CH2+HB2＝CB2，
∴CH⊥HB，
∴CH是村庄C到河边最近的一条路；
（2）由（1）知，CH⊥HB，
∴∠AHC＝90°，
∵AC＝AB，
∴AC2＝CH2+AH2＝CH2+（AC﹣BH）2，
∴AC2＝22+（AC﹣1.5）2，
25
∴AC= （千米）．
12
【变式3】如图，在△ABC中，BC＝2，AC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，且
AD=❑√5．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：∠BCA＝90°；
（2）求AF的长．【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AB=2❑√5，在△ABC中，根据勾股定理的逆定理即可得出结
论；
（2）根据垂直平分线的性质得出BF＝AF，进而可得CF＝AF﹣2，在Rt△ACF中，勾股定理即可求
解．
【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AB，AD=❑√5，
∴AB=2❑√5．
∵在△ABC中，BC＝2，AC＝4，AB=2❑√5，
∴BC2+AC2＝20＝AB2，
∴AC⊥BC，即∠BCA＝90°．
（2）解：∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，
∴CF＝BF﹣BC＝AF﹣2．
∵∠ACF＝90°，
∴CF2+AC2＝AF2，
∴（AF﹣2）2+42＝AF2，
∴AF＝5，即AF的长为5
