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专题02 与三角形有关线段
（题型突破·举一反三）
题型01 判断能否组成三角形
题型02 利用三边关系解决问题
题型03 等腰三角形边长与周长
题型04 利用三边关系化简求值
题型05 三角形的稳定性
题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题
题型07 与三角形的高有关的计算
题型08 三角形中线分周长问题
题型09 三角形中线平分面积问题
题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明
▌题型01 判断能否组成三角形
1．三角形三边满足的条件
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边
符号语言：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐶 ；𝐵𝐶+ 𝐴𝐵> 𝐴𝐶；𝐴𝐶+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐵
𝐴𝐵−𝐴𝐶> 𝐵𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐵> 𝐴𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐶> 𝐴𝐵
方法指导：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可
构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
【典例1】以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．2，5，2
C．3，4，8
D．4，5，6
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
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【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成
三角形，反之则不能．
【详解】选项A：∵1 + 2 = 3，不满足两边之和大于第三边，∴不能构成三角形；
选项B：∵2 + 2 = 4 < 5，不满足两边之和大于第三边，∴不能构成三角形；
选项C：∵3 + 4 = 7 < 8，不满足两边之和大于第三边，∴不能构成三角形；
选项D：∵4 + 5 = 9 > 6，满足两边之和大于第三边，∴能构成三角形．
【变式1-1】下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ）
A．1，1，1，3
B．2，2，2，3
C．1，3，2，6
D．2，2，2，7
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】根据构成四边形的条件“最长线段的长度小于另外三条线段的长度和”，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．最长边为3，1 + 1 + 1 = 3 ，故不能构成四边形，不符合题意；
B．最长边为3，2 + 2 + 2 = 6 > 3，故能构成四边形，符合题意；
C．最长边为6，1 + 3 + 2 = 6 ，故不能构成四边形，不符合题意；
D．最长边为7，2 + 2 + 2 = 6 < 7 ，故不能构成四边形，不符合题意．
【变式1-2】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，
最多可以组成_____个．
【答案】7
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题
的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系．
从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数．
【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有：
2cm，3cm，4cm；
2cm，4cm，5cm；
2cm，5cm，6cm；
3cm，4cm，5cm；
3cm，4cm，6cm；
3cm，5cm，6cm；
4cm，5cm，6cm．
共有 7 种情况．
故答案为： 7 ．
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【变式1-3】已知线段𝑎= 𝑥+ 5，𝑏= 𝑥−2，𝑐= 2𝑥+ 5．
(1)判断𝑎和𝑐的大小，并说明理由；
(2)用𝑎、𝑏、𝑐能构成三角形吗？为什么？
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】求一元一次不等式的解集、构成三角形的条件
【分析】（1）根据题意可得线段𝑏= 𝑥−2 > 0，再利用作差法即可解答；
（2）得到𝑐> 𝑎> 𝑏，再利用作差法得到𝑐> 𝑎+ 𝑏，结合三角形三边关系即可判断．
【详解】（1）𝑐> 𝑎，理由：
𝑐−𝑎= 2𝑥+ 5 −(𝑥+ 5) = 𝑥，
∵线段𝑏= 𝑥−2 > 0，
∴𝑥> 2，
∴𝑐−𝑎= 𝑥> 2，
∴𝑐> 𝑎
（2）不能构成三角形，理由：
∵𝑎−𝑏= 𝑥+ 5 −(𝑥−2) = 7，
∴𝑐> 𝑎> 𝑏，
𝑎+ 𝑏= 𝑥+ 5 + 𝑥−2 = 2𝑥+ 3，
∵𝑐−(𝑎+ 𝑏) = 2𝑥+ 5 −(2𝑥+ 3) = 2 > 0，
∴𝑐> 𝑎+ 𝑏，即𝑎、𝑏、𝑐不能构成三角形
▌题型02 利用三边关系解决问题
已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。
【典例2】已知△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，边𝐵𝐶的长度分别是不等式组{2𝑥−1 ≤15
3𝑥−5 > 10
的最大整数解与最小整数解，且
△𝐴𝐵𝐶的周长为奇数，则△𝐴𝐵𝐶的第三条边𝐴𝐶的长度的最小值为_____．
【答案】3
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，三角形三边关系，解题的关键在于能够
准确求出不等式组的解集．
先求出不等式组的解集，然后根据解集求出其最大整数解与最小整数解，根据三边关系求出𝐴𝐶范围，再结
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合△𝐴𝐵𝐶的周长是奇数求解即可．
【详解】解：{2𝑥−1 ≤15①
3𝑥−5 > 10②
，
解不等式①得：𝑥≤8，
解不等式②得：𝑥> 5，
∴不等式组的解集为5 < 𝑥≤8，
则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6．
∵△𝐴𝐵𝐶的周长是奇数，8 + 6 = 14是偶数，
且2 < 𝐴𝐶< 14，
则△𝐴𝐵𝐶的第三条边𝐴𝐶的长度的最小值为3，
故答案为：3．
【变式2-1】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)若𝑎，𝑏，𝑐满足(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状；
(2)若𝑎= 6，𝑏= 2，且𝑐为整数，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【答案】(1)等边三角形
(2)13 或14 或15．
【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围、三角形的分类
【分析】（1）根据非负数的性质得出𝑎−𝑏= 0, 𝑏−𝑐= 0，整理得𝑎= 𝑏= 𝑐，进行判断即可；
（2）根据三角形的三边关系得出c 的取值范围，再由c 为正数得出c 的值，进而可得出结论．
【详解】（1）解：∵(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0 ，(𝑎−𝑏)2 ≥0，|𝑏−𝑐| ≥0，
∴(𝑎−𝑏)2 = 0，|𝑏−𝑐| = 0．
∴𝑎−𝑏= 0, 𝑏−𝑐= 0 ．
∴𝑎= 𝑏, 𝑏= 𝑐 ．
∴𝑎= 𝑏= 𝑐．
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形；
（2）解：∵𝑎= 6，𝑏= 2，𝑎−𝑏< 𝑐< 𝑎+ 𝑏，
∴4 < 𝑐< 8，
∵𝑐为整数，
∴𝑐可以取5，6，7．
当𝑐= 5时，△𝐴𝐵𝐶的周长为6 + 2 + 5 = 13 ；
当𝑐= 6时，△𝐴𝐵𝐶的周长为6 + 2 + 6 = 14 ；
当𝑐= 7时，△𝐴𝐵𝐶的周长为6 + 2 + 7 = 15 ；
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为13 或14 或15．
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【变式2-2】按要求完成下列计算：
(1)已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎= 12，𝑏= 18，求第三边𝑐的取值范围．
(2)已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎= 7，𝑏: 𝑐= 4: 3，求这个三角形周长𝐿的取值范围．
【答案】(1)6 < 𝑐< 30
(2)14 < 𝐿< 56
【知识点】不等式的性质、三角形三边关系的应用、求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围
【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）设𝑐= 3𝑥，则𝑏= 4𝑥，根据三角形的三边关系得出1 < 𝑥< 7，结合△𝐴𝐵𝐶的周长𝐿= 7𝑥+ 7，求出𝐿的
取值范围．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得，
|𝑎−𝑏| < 𝑐< 𝑎+ 𝑏，
∴6 < 𝑐< 30；
（2）解：设𝑐= 3𝑥，
∵𝑏: 𝑐= 4: 3，
∴𝑏= 4𝑥，
同理（1）可得，|4𝑥−3𝑥| < 7 < 4𝑥+ 3𝑥，
∴𝑥< 7 < 7𝑥，
解得1 < 𝑥< 7，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长𝐿= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 7𝑥+ 7，
∴14 < 𝐿< 56．
【变式2-3】已知𝑎, 𝑏，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长．
(1)已知𝑎= 3, 𝑏= 5，求c 的取值范围；
(2)若𝑏= 2𝑎−1, 𝑐= 𝑎+ 5，且△𝐴𝐵𝐶的周长不超过24，求a 的取值范围．
【答案】(1)2 < 𝑐< 8
(2)3 < 𝑎≤5
【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第
三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）．
（1）根据三边关系，列|𝑎−𝑏| < 𝑐< 𝑎+ 𝑏求解；
（2）先根据三边关系列不等式组确定𝑎的初步范围，再结合周长不超过24 的条件，进一步确定𝑎的取值范
围．
【详解】（1）解：∵𝑎= 3，𝑏= 5，
由三角形三边关系得：5 −3 < 𝑐< 5 + 3，即2 < 𝑐< 8，
答：𝑐的取值范围是2 < 𝑐< 8．
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（2）解：由三角形三边关系：{
2𝑎−1 + 𝑎+ 5 > 𝑎
2𝑎−1 + 𝑎> 𝑎+ 5
𝑎+ 𝑎+ 5 > 2𝑎−1
，
化简得{
2𝑎+ 4 > 0
2𝑎> 6
5 > −1
，解得𝑎> 3．
又∵周长𝑎+ 𝑏+ 𝑐≤24，即𝑎+ (2𝑎−1) + (𝑎+ 5) ≤24，
4𝑎+ 4 ≤24，
4𝑎≤20，解得𝑎≤5，
综上，3 < 𝑎≤5，
答：𝑎的取值范围是3 < 𝑎≤5．
▌题型03 等腰三角形的边长和周长
等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫作底.
熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角
形
【典例3】（1）已知(𝑎−5)2 + |9 −𝑏| = 0，则以a，b 为边长的等腰三角形的周长为________．
(2)等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为_________
(3)若等腰三角形一边长为12 cm，且腰长是底边长的
3
4，则这个三角形的周长为_________
(4) 等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为_________
【答案】19 或22 5cm 30 cm或40 cm 9 或8.5
【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义、构成三角形的条件
【分析】(1)先利用平方和绝对值的非负性求出𝑎，𝑏的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合
三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算符合条件的周长即可．
(2)分两种情况：①当腰长为3cm时，②当底边长为3cm时，再结合三角形的三边关系解答即可．
(3) 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；分两种情况：当腰为12cm时，当底边为12cm时，分
别讨论即可求解，理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键．
【详解】(1) 解：∵(𝑎−5)2 + |9 −𝑏| = 0，且(𝑎−5)2 ≥0，|9 −𝑏| ≥0，
∴𝑎−5 = 0，9 −𝑏= 0，
解得𝑎= 5，𝑏= 9，
分两种情况讨论：
当等腰三角形腰长为5，底边长为9时，
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∵5 + 5 = 10 > 9，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为9 + 5 + 5 = 19，；
当等腰三角形腰长为9，底边长为4时，9 + 9 > 4，9 + 4 > 9，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
此时等腰三角形的周长为9 + 9 + 4 = 22，
综上所述：等腰三角形的周长为19 或22．
(2)解：①当腰长为3cm时，则底边长为13 −3 −3 = 7(cm)，
三角形的三边长分别为3cm，3cm，7cm，此时3 + 3 = 6 < 7，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，
不符合题意，舍去；
②当底边长为3cm时，则腰长为
13−3
2
= 5(cm)，
三角形的三边长分别为3cm，5cm，5cm，此时3 + 5 = 8 > 5，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合
题意；
综上，该等腰三角形的腰长为5cm．
(3) 解：当腰为12cm时，底边长= 12 ÷
3
4 = 16cm，12 + 12 = 24 > 16，
则此时，这个三角形的周长为12 + 12 + 16 = 40cm；
当底边为12cm时，腰长= 12 ×
3
4 = 9cm，9 + 9 = 18 > 12，
则此时，这个三角形的周长为9 + 9 + 12 = 30cm；
综上，这个三角形的周长为30 cm或40 cm，
(4) 解：①当3x﹣2 是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x．
∵三角形为等腰三角形，
∴4x﹣3=6﹣2x，∴x=1.5，∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，∴3x﹣2=2.5，
∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5．
②当4x﹣3 是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x．
∵三角形为等腰三角形，
∴3x﹣2=6﹣2x，∴x=1.6，∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，∴4x﹣3=3.4，
∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9．
③当6﹣2x 是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3．
∵三角形为等腰三角形，
∴3x﹣2=4x﹣3，∴x=1，∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，∵1=1，
∴6﹣2x=4，
∵1+1＜4，
∴不能构成三角形．
故周长为：8.5 或9，故选C．
点睛：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，注意利用三角形的三边关系进行检验．
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【变式3-1】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为
10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（ ）
A．
3
4
B．
6
7
C．
4
3或
6
7
D．
3
4或
7
6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】本题分3 为腰长和3 为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边
关系验证能否构成三角形，即可得到结果．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当3为腰长时，
∵等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为10，
∴底边长= 10 −3 −3 = 4 ，
∵3 + 3 > 4，满足三角形三边关系，
∴“优美比”为
4
3；
②当3为底边长时，
∵等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为10，
∴腰长=
10−3
2
=
7
2，
∵3 +
7
2 >
7
2，满足三角形三边关系，
∴“优美比”为3 ÷
7
2 =
6
7；
综上，该等腰三角形的“优美比”是
4
3或
6
7．
【变式3-2】用一条长为24cm 细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2 倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为6cm 的等腰三角形吗？为什么？
(3)若等腰三角形的腰长为acm，求a 的取值范围？
【答案】(1)
48
5 cm，
48
5 cm，
24
5 cm
(2)能，理由见解析
(3)6 < 𝑎< 12．
【知识点】等腰三角形的定义、几何问题(一元一次方程的应用)、构成三角形的条件、三角形三边关系的应
用
【分析】（1）设底边长为𝑥cm，则腰长为2𝑥cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明6cm 所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
（3）根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】（1）解：设底边长为𝑥cm，
∵腰长是底边的2 倍，
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∴腰长为2𝑥cm，
∴2𝑥+ 2𝑥+ 𝑥= 24，解得，𝑥=
24
5 cm，
∴2𝑥=
48
5 cm，
∴各边长为：
48
5 cm，
48
5 cm，
24
5 cm．
（2）解：①当6cm 为底时，腰长=
24−6
2
= 9cm；
②当6cm 为腰时，底边= 24 −6 −6 = 12cm，
∵6 + 6 = 12，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为6cm 的等腰三角形，另两边长为9cm，9cm．
（3）解：由题意得：{𝑎+ 𝑎> 24 −2𝑎
24 −2𝑎+ 𝑎> 𝑎
，
解得：6 < 𝑎< 12．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏
解．
【变式3-3】王伟准备用一段长30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔已知第一条边长为𝑎
米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2 倍少4 米．
（1）请用𝑎表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7 米吗？为什么？请说明理由，并求出𝑎的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是等腰三角形形状？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
【答案】（1）34 −3𝑎；（2）第一条边长可以为7 米，理由见解析，
19
3 < 𝑎<
19
2 ；（3）能使得围成的小圈
是等腰三角形形状，三边分别为：
17
2 ,
17
2 , 13或
38
5 ,
56
5 ,
56
5
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先得到第二条边，再由周长表达出第三边即可；
（2）根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，列出不等式即可得到；
（3）根据a 的取值范围，分情况讨论，得出三角形的三边长度．
【详解】解：（1）由题意可知，第二边为：2𝑎−4，
∴第三边为：30 −𝑎−(2𝑎−4) = 34 −3𝑎，
∴第三条边长为：34 −3𝑎
（2）当a=7 时，第二、三条边分别为：10，13，
∵10 −7 < 13 < 10 + 7，
故可以构成三角形，
∴第一条边长可以为7 米，
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由{
34 −3𝑎+ 2𝑎−4 > 𝑎
34 −3𝑎+ 𝑎> 2𝑎−4
𝑎+ 2𝑎−4 > 34 −3𝑎
，
解得：
19
3 < 𝑎<
19
2 ，
（3）能使得围成的小圈是等腰三角形形状，
①若a 与2a-4 为腰，则a=2a-4，解得a=4，不符合；
②若a 与34-3a 为腰，则a=34-3a，解得𝑎=
17
2 ，符合a 的取值范围
此时三边为：
17
2 ,
17
2 , 13
③若2a-4 与34-3a 为腰，则2a-4=34-3a，解得𝑎=
38
5 ，符合a 的取值范围
此时三边为：
38
5 ,
56
5 ,
56
5
综上所述：能否使得围成的小圈是等腰三角形形状，三边分别为：
17
2 ,
17
2 , 13或
38
5 ,
56
5 ,
56
5 ．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系及一元一次不等式组的应用、等腰三角形的概念，解题的关键是熟知
三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
▌题型04 利用三边关系化简求值
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值
【典例4】．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题．
(1)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 2，𝐴𝐶的长为偶数，求△𝐴𝐵𝐶的周长；
(2)已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为3，7，m，化简|𝑚+ 2|−|𝑚−10|+2|𝑚−4|．
【答案】(1)14
(2)4𝑚−16
【知识点】整式的加减运算、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题
【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出𝐴𝐶的取值范围，结合𝐴𝐶为偶数确
定𝐴𝐶的长度，再计算三角形周长；
（2）先根据三角形三边关系得到𝑚的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果．
【详解】（1）解：∵ 𝐴𝐵−𝐵𝐶< 𝐴𝐶< 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 2，
∴ 6 −2 < 𝐴𝐶< 6 + 2，即4 < 𝐴𝐶< 8．
又∵𝐴𝐶为偶数，
∴𝐴𝐶= 6．
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为6 + 2 + 6 = 14．
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（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为3，7，𝑚，
∴7 −3 < 𝑚< 7 + 3，即4 < 𝑚< 10．
∴𝑚+ 2 > 0，𝑚−10 < 0，𝑚−4 > 0．
∴原式 = (𝑚+ 2) −(10 −𝑚) + 2(𝑚−4)
= 𝑚+ 2 −10 + 𝑚+ 2𝑚−8
= 4𝑚−16．
【变式4-1】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别是𝑎、𝑏、𝑐，化简|2𝑎+ 2𝑏−𝑐| −|𝑏−𝑎−𝑐|的结果是（ ）
A．2𝑎
B．𝑎+ 3𝑏−2𝑐
C．2(𝑎+ 𝑏)
D．−2𝑏
【答案】B
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、整式的加减运算
【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简
即可．
【详解】解：∵𝑎、𝑏、𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长，
∴𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴2𝑎+ 2𝑏> 𝑐，𝑏−𝑎−𝑐< 0．
∴|2𝑎+ 2𝑏−𝑐| −|𝑏−𝑎−𝑐| = (2𝑎+ 2𝑏−𝑐) −[−(𝑏−𝑎−𝑐)] = 2𝑎+ 2𝑏−𝑐+ 𝑏−𝑎−𝑐= 𝑎+ 3𝑏−2𝑐．
【变式4-2】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为a，b，c，化简|𝑎+ 𝑏−𝑐| −|𝑏−𝑎−𝑐|+∣𝑎−𝑏−𝑐∣=__________．
【答案】
−𝑎+ 3𝑏−𝑐
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、整式的加减运算
【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可．
【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得
𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎+ 𝑐> 𝑏，𝑏+ 𝑐> 𝑎，
∴𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，𝑏−𝑎−𝑐< 0，𝑎−𝑏−𝑐< 0，
∴原式= (𝑎+ 𝑏−𝑐) −[−(𝑏−𝑎−𝑐)] + [−(𝑎−𝑏−𝑐)]
= 𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑏−𝑎−𝑐−𝑎+ 𝑏+ 𝑐
= −𝑎+ 3𝑏−𝑐．
【变式4-3】已知𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长．
(1)若|𝑎−𝑏| + (𝑏−𝑐)2 = 0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
(2)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏+ 𝑐−𝑎| + |𝑐−𝑎−𝑏|．
【答案】(1)等边三角形
(2)−𝑎+ 3𝑏+ 𝑐
【知识点】绝对值非负性、带有字母的绝对值化简问题、乘方的应用、三角形三边关系的应用
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【分析】（1）根据非负数的性质，可得出𝑎= 𝑏= 𝑐，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到𝑎−𝑏−𝑐＜0，𝑏+ 𝑐−𝑎> 0，𝑐−𝑎−𝑏＜0，然后去绝对值符号后化简即
可．
【详解】（1）解：∵|𝑎−𝑏| + (𝑏−𝑐)2 = 0，
∴𝑎−𝑏= 0，且𝑏−𝑐= 0，
∴𝑎= 𝑏= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
（2）解：∵𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长，
∴𝑎−𝑏−𝑐＜0，𝑏+ 𝑐−𝑎> 0，𝑐−𝑎−𝑏＜0，
∴：|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏+ 𝑐−𝑎| + |𝑐−𝑎−𝑏| = −𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑏+ 𝑐−𝑎−𝑐+ 𝑎+ 𝑏= −𝑎+ 3𝑏+ 𝑐．
▌题型05 三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
怎样判断一个图形是否具有稳定性
从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中
除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性
【典例5】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．
【变式5-1】为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ）
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A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性
D．三角形两边之和大于第三边
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结
构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理．
【详解】解：A 选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据．
B 选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据．
C 选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角
形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形．
D 选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据．
【变式5-2】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性及应用
【详解】
解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是
．
【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
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【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角
线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5 −3 = 2条对角线，所以至少要钉上2 根木条．
▌题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题
1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。
★三角形的高是线段，而垂线是直线
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高(已知)
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 或∠𝐴𝐷𝐵= 90°或∠𝐴𝐷𝐶= 90° (三角形高的定义)
2、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
★三角形的中线是线段
几何语言：
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的中线(已知)
∴AD = DB =
1
2 𝐴𝐵 (三角形中线的定义)
3、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角
平分线.
★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的平分线(已知)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶(三角形角平分线的定义)
∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷
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【典例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，从顶点𝐴引出三条线段𝐴𝐷、𝐴𝐸、𝐴𝐹，其中：𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸是角平
分线，𝐴𝐹是𝐵𝐶边上的中线．下列说法错误
．．的是（ ）
A．𝐵𝐹= 𝐹𝐶
B．∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸
C．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
D．𝐴𝐵= 𝐵𝐶
【答案】D
【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐹是𝐵𝐶边上的中线．
∴𝐵𝐹= 𝐹𝐶，故A 正确，
∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，故B 正确，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，故C 正确，
没有条件判断𝐴𝐵= 𝐵𝐶，故D 错误，
故选：D．
【变式6-1】下列说法中，正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
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④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫作重心．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【知识点】重心的概念、画三角形的高、三角形角平分线的定义
【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，
统计正确个数即可得到答案．
【详解】解：对四个说法逐一判断：
① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点
到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确；
② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误；
③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误；
④ ∵三角形三条中线的交点叫作重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误；
综上，只有1 个说法正确，故选A．
【变式6-2】下列叙述正确的个数为（ ）．
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；
③三角形的三条高交于一点；
④三角形的三条角平分线交于一点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】根据三角形中线求面积、画三角形的高、三角形角平分线的定义
【分析】由三角形的面积、角平分线、中线和高分别对各个结论进行判断即可．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，故①不正确；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，故②正确；
③三角形的三条高是线段，不一定交于一点，故③不正确；
④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确．
【变式6-3】如图，𝐶𝐷、𝐴𝐸、𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误
．．的是（ ）
A．𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
B．∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐶𝐴𝐵
C．𝐴𝐹= 𝐵𝐹
D．𝐵𝐸= 𝐶𝐸
【答案】D
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【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可．
【详解】解：∵𝐶𝐷是高线，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，故选项A 正确；
∵𝐴𝐸是角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，故选项B 正确；
∵𝐶𝐹是中线，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐹，故选项C 正确；
无法证明𝐵𝐸= 𝐶𝐸，故选项D 错误．
▌题型07 与三角形的高有关计算
1.三角形的面积𝑆=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐶𝐹=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐸
可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”
2.等底,等高的三角形面积相等
3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比；
4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比.
【典例7】八年级上册课本上有一道题：如图1，
（1）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐷=
3
2,求CE 的长
（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 4，则△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷与𝐶𝐸的比是多少？
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图2，
若△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是边𝐵𝐶上的点，则
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐶𝐷=
𝐵𝐷
𝐶𝐷．
(3)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
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(4)如图3，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐶上的点，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝑂．若𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐴𝐸= 2𝐶𝐸，请直接
写出
𝐴𝑂
𝐴𝐷的值．
【答案】(1)3
(2)
𝐴𝐷
𝐶𝐸=
1
2
(3)猜想正确，
证明：如图，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸．
∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝐵𝐷⋅𝐴𝐸
1
2𝐶𝐷⋅𝐴𝐸=
𝐵𝐷
𝐶𝐷．
(4)
4
5
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出𝐴𝐵× 𝐶𝐸= 𝐵𝐶× 𝐴𝐷
（2）根据三角形的面积公式得出2𝐴𝐷= 𝐶𝐸，即可求解；
（3）过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，根据三角形的面积公式，分别表示出△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐶𝐷的面积，再求比值，即
可求解；
（4）连接𝐶𝑂，设𝑆△𝐶𝑂𝐸= 𝑎，𝑆△𝐶𝑂𝐷= 𝑏，根据已知条件，分别得出𝑆△𝐴𝑂𝐸= 2𝑆△𝐶𝑂𝐸= 2𝑎，𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 𝑏，
结合图形分别求得△𝐴𝑂𝐵，△𝐴𝐵𝐷的面积，进而根据
𝐴𝑂
𝐴𝐷=
𝑆△𝐴𝑂𝐵
𝑆△𝐴𝐵𝐷，即可求解．
【详解】(1) 解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸，
∴
1
2 × 4 ×
3
2 =
1
2 × 2 × 𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸= 3
（2）解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸，
∴
1
2 × 4 × 𝐴𝐷=
1
2 × 2 × 𝐶𝐸，
∴2𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴
𝐴𝐷
𝐶𝐸=
1
2．
（3）略
（4）连接𝐶𝑂，
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设𝑆△𝐶𝑂𝐸= 𝑎，𝑆△𝐶𝑂𝐷= 𝑏．
∵𝐴𝐸= 2𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐸= 2𝑆△𝐶𝑂𝐸= 2𝑎，
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 𝑏．
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐸+ 𝑆△𝐶𝑂𝐸+ 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 2𝑎+ 𝑎+ 𝑏= 3𝑎+ 𝑏．
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐵𝑂𝐷= 3𝑎+ 𝑏−𝑏= 3𝑎．
∵𝐴𝐸= 2𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 2𝑆△𝐵𝐶𝐸．即𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝐸= 2(𝑆△𝐵𝑂𝐷+ 𝑆△𝐶𝑂𝐷+ 𝑆△𝐶𝑂𝐸)，
∴3𝑎+ 2𝑎= 2(𝑏+ 𝑏+ 𝑎)，
∴𝑏=
3
4 𝑎．
∴𝑆△𝐵𝑂𝐷=
3
4 𝑎，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 3𝑎+
3
4 𝑎=
15
4 𝑎．
∴
𝐴𝑂
𝐴𝐷=
𝑆△𝐴𝑂𝐵
𝑆△𝐴𝐵𝐷=
3𝑎
15
4 𝑎=
4
5．
∴
𝐴𝑂
𝐴𝐷的值为
4
5．
【变式7-1】(1)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，则∠𝐵𝐴𝐶是___________度．
(2)已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1．若△𝐴𝐵𝐶的面积为6，则𝐵𝐷的长为______．
【答案】(1)40 或80/80 或40
(2) 2 或3
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】(1)根据题意，由于△𝐴𝐵𝐶类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三
角形外部讨论求解．
(2)分两种情况：当点D 在线段𝐴𝐶上时，或当点D 在线段𝐴𝐶的延长线上时，分别求出结论即可．
【详解】解：(1)根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
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∵在Δ𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐵𝐶= 90° −30° = 60°，
∵ ∠𝐶𝐴𝐷= 20°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 60° + 20° = 80°；
②高在三角形边上，如图所示：
可知∠𝐶𝐴𝐷= 0°，
∵ ∠𝐶𝐴𝐷= 20°，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
∵在Δ𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐵𝐶= 90° −30° = 60°，
∵ ∠𝐶𝐴𝐷= 20°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 60° −20° = 40°；
综上所述：∠𝐵𝐴𝐶= 80°或40°，
故答案为：40或80．
(2)解：如图所示，当点D 在线段𝐴𝐶上时，
∵𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1，
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∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 6，
∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，且△𝐴𝐵𝐶的面积为6，
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷= 6，
即
1
2 × 6 ⋅𝐵𝐷= 6，
解得：𝐵𝐷= 2；
如图所示，当点D 在线段𝐴𝐶的延长线上时，
∵𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷−𝐶𝐷= 4，
∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，且△𝐴𝐵𝐶的面积为6，
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷= 6，
即
1
2 × 4 ⋅𝐵𝐷= 6，
∴𝐵𝐷= 3；
综上，𝐵𝐷的长为2 或3．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论
是解决问题的关键．
【变式7-2】(1)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，其中𝐷𝐸= 2𝐴𝐸．若△𝐴𝐵𝐶的面积为60，𝐵𝐷= 5，
则△𝐵𝐷𝐸中，𝐵𝐷边上的高是______．
(2) 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐸: 𝐷𝐸= 2: 1，𝐸𝐹: 𝐶𝐹= 3: 1，且𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12cm2，则𝑆△𝐵𝐸𝐹为____cm2．
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【答案】(1)8,(2)3
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】(1)设△𝐵𝐷𝐸中，𝐵𝐷边上的高是h，根据三角形中线的性质可得△𝐴𝐵𝐷的面积，再由𝐷𝐸= 2𝐴𝐸，可
得△𝐵𝐷𝐸的面积，即可求解．
(2) 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 12 =
6(cm2)，再根据𝐴𝐸: 𝐷𝐸= 2: 1得出𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
3 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
3 × 6 = 2(cm2)，𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
3 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
3 × 6 = 2(cm2)，
即可求出△𝐵𝐸𝐶的面积，再由𝐸𝐹: 𝐶𝐹= 3: 1，即可求出△𝐵𝐸𝐹的面积
【详解】(1)解：设△𝐵𝐷𝐸中，𝐵𝐷边上的高是h，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为60，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴△𝐴𝐵𝐷的面积为
1
2 × 60 = 30，
∵𝐷𝐸= 2𝐴𝐸，
∴𝐷𝐸=
2
3 𝐴𝐷，
∴△𝐵𝐷𝐸的面积为
2
3 × 30 = 20，
∵𝐵𝐷= 5，
∴
1
2 𝐵𝐷× ℎ=
1
2 × 5ℎ= 20，
解得：ℎ= 8，
即△𝐵𝐷𝐸中，𝐵𝐷边上的高是8．
(2)解：∵𝐷为𝐵𝐶的中点，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12cm2，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 12 = 6(cm2)，
∵𝐴𝐸: 𝐷𝐸= 2: 1，
∴ 𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
3 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
3 × 6 = 2(cm2)，𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
3 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
3 × 6 = 2(cm2)，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐶= 𝑆△𝐵𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2 + 2 = 4(cm2)，
∵𝐸𝐹: 𝐶𝐹= 3: 1，
∴ 𝑆△𝐵𝐸𝐹=
3
4 𝑆△𝐵𝐸𝐶=
3
4 × 4 = 3(cm2)．
【变式7-3】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为直线𝐵𝐶上任意一点，连接𝐴𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，
𝐵𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺．
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(1)如图1，观察、测量、猜想、证明𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=__________+𝑆△𝐴𝐶𝐷．
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+__________．
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴__________．
(2)如图1，当点𝐷为𝐵𝐶中点时，试判断𝐵𝐺与𝐷𝐸的数量关系__________．
(3)如图2，当点𝐷在𝐵𝐶的延长线上时，请猜想𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系并证明．
【答案】(1)𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；𝑆△𝐴𝐵𝐷；
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹；𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹
(2)𝐵𝐺= 2𝐷𝐸
(3)𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹；证明见解析
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；
（2）由点D 为𝐵𝐶中点，得到
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，结合𝐴𝐵= 𝐴𝐶，推出𝐷𝐸= 𝐷𝐹，然后结合𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹
即可作答；
（3）同（1）的方法求解．
【详解】（1）解：𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；
证明：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；
（2）解：∵点𝐷为𝐵𝐶中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹；
∵𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹，
∴𝐵𝐺= 2𝐷𝐸；
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（3）解：𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹，理由如下：
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴
1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐶× 𝐵𝐺+
1
2 𝐴𝐶× 𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹
▌题型08 三角形中线分周长问题
∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差
【典例8】（1）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的中线，已知𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 5，△𝐵𝐶𝐷的周长为20，求△𝐴𝐵𝐷
的周长．
（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的中线,BD把△ABC的周长分成两部分，若周长之差为3cm, BC = 8，求𝐴𝐵的
长
【答案】（1）17 （2）5 或11
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】（1）首先由三角形中线的定义得到𝐴𝐷= 𝐶𝐷，然后求出𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 12，然后求解即可．
（2）由三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形另外两边之差，推得
两边之差为3，再分类讨论
分类讨论
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐵𝐶𝐷的周长为20，
∴𝐵𝐷+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 20，即𝐵𝐷+ 8 + 𝐶𝐷= 20，
∴𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 12，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 5 + 12 = 17．
小学
初中
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（2）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴若周长之差为3cm = 𝐵𝐶−𝐴𝐵或𝐴𝐵−𝐵𝐶
∵BC = 8
∴𝐴𝐵= 5或11
【变式8-1】在△ABC 中，AB＜AC，BC 边上的中线AD 将△ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB 与
AC 的和为13cm，则AC 的长为 _____．
【答案】9cm
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】根据三角形的中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，然后求出△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐷𝐶的周长差是𝐴𝐶与𝐴𝐵的差，然后
代入数据计算即可得解．
【详解】解：如图
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵中线𝐴𝐷将△𝐴𝐵𝐶分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB＜AC
∴(𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷) −(𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷) = 5，
∴𝐴𝐶−𝐴𝐵= 5，
∵𝐴𝐵与𝐴𝐶的和为13cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 13，
∴{𝐴𝐵= 4
𝐴𝐶= 9
．
故答案为：9cm．
【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解答本题的关
键．
【变式8-2】已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求这个等腰三角形的底
边BC 的长
【答案】11cm 或7cm
【知识点】三角形中线
【分析】分两种情况讨论：当AB+AD＝12，BC+DC＝15 或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根据等腰三角形的
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两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8，8，11 或10，10，7．所以BC 的长为7cm 或11cm．
【详解】如图，
设AD＝xcm，则当2x+x＝12 时，x＝4，即AB＝AC＝8cm，
∵周长是12+15＝27cm，
∴BC＝11cm；
当2x+x＝15 时，x＝5，即AB＝AC＝10cm，
∵周长是12+15＝27cm，
∴BC＝7cm，
综上可知，底边BC 的长为7cm 或11cm．
故答案为40°或140°；7cm 或11cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可
以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
【变式8-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐶> 𝐴𝐵)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成80 和60 两
部分，求𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
【答案】𝐴𝐶= 64, 𝐴𝐵= 44
【知识点】三角形三边关系的应用、代入消元法、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解二元一次方程组等知识点，正确理解三角形三边关系是解题
的关键．分两种情况讨论，列方程组求解，根据三角形三边关系判断即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
设𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥, 𝐴𝐵= 𝑦, 则𝐴𝐶= 2𝐵𝐶= 4𝑥，
存在两种情况：
①𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 80, 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 60，
则{4𝑥+ 𝑥= 80
𝑥+ 𝑦= 60
，
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解得{𝑥= 16
𝑦= 44
，
即𝐴𝐶= 4𝑥= 64, 𝐴𝐵= 44, 𝐵𝐶= 2𝑥= 32，
则𝐴𝐵+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶
此时符合三角形三边关系
②𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 60, 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 80
则{4𝑥+ 𝑥= 60
𝑥+ 𝑦= 80
解得{𝑥= 12
𝑦= 68
即𝐴𝐶= 4𝑥= 48, 𝐴𝐵= 68
则𝐴𝐶< 𝐴𝐵，与已知𝐴𝐶> 𝐴𝐵矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述𝐴𝐶= 64, 𝐴𝐵= 44．
▌题型09 三角形中线平分面积问题
1.中线分面积
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
2.拓展推论：如图AD, BE, CF 分别为▲ABC 边BC, AC, AB 边上的中线，
则（1）𝑺∆𝑨𝑶𝑬= 𝑺∆𝑨𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑫= 𝑺∆𝑪𝑶𝑬= 𝑺∆𝑪𝑶𝑫
（2）𝑺∆𝑨𝑶𝑪= 𝑺∆𝑩𝑶𝑪= 𝑺∆𝑨𝑶𝑩
（3）𝐴𝑂= 2𝑂𝐷,𝐵𝑂= 2𝑂𝐸,𝐶𝑂= 2𝑂𝐹任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又
叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2 倍）
【典例9】如图，在△𝐴𝐵𝐶，点F、D、E 分别是边𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶上的点，且𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹相交于点O，若点
O 是△𝐴𝐵𝐶的重心，则以下结论：①线段𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的三条角平分线；②△𝐵𝑂𝐷的面积是△𝐴𝑂𝐶
面积的一半；③图中与△𝐵𝑂𝐶面积相等的三角形有2 个；④𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐸；⑤𝑂𝐹=
1
3 𝐴𝐷．其中一定正确
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结论有（ ）
A．②③
B．①③④
C．②④⑤
D．②③④
【答案】D
【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积
【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的三条中线，可判断①错误，继而得
出𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐸𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐹𝐶= 𝑆△𝐵𝐹𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷,𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆△𝐶𝑂𝐸, 𝑆△𝐴𝑂𝐹=
𝑆△𝐵𝑂𝐹，进一步推出𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆△𝐶𝑂𝐸= 𝑆△𝐴𝑂𝐹= 𝑆△𝐵𝑂𝐹，然后逐个分析即可．
【详解】解：①∵𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹相交于点𝑂，点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的重心，重心是三条中线的交点，
∴线段𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的三条中线，故①错误；
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐸𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐹𝐶= 𝑆△𝐵𝐹𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷,𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆△𝐶𝑂𝐸, 𝑆△𝐴𝑂𝐹= 𝑆△𝐵𝑂𝐹，
∵𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆四边形𝐶𝐷𝑂𝐸, 𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐷−𝑆四边形𝐶𝐷𝑂𝐸，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐸，
同理可求：𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆△𝐶𝑂𝐸= 𝑆△𝐴𝑂𝐹= 𝑆△𝐵𝑂𝐹，故④正确；
∴△𝐵𝑂𝐷的面积是△𝐴𝑂𝐶面积的一半，故②正确；
图中与△𝐵𝑂𝐶面积相等的三角形有△𝐴𝑂𝐶,△𝐴𝑂𝐵共2 个，故③正确；
∵𝑆△𝐵𝑂𝐹=
1
3 𝑆△𝐵𝐶𝐹，△𝐵𝑂𝐹与△𝐵𝐶𝐹等高，
∴𝑂𝐹=
1
3 𝐶𝐹，
∵𝐶𝐹与𝐴𝐷不一定相等，
∴𝑂𝐹=
1
3 𝐴𝐷不一定成立，故⑤错误．
综上所述，正确的结论有②③④，共3 个．
【变式9-1】
(1)如图，点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的重心，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16，则阴影部分的面积之和为__________．
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(2) 如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，点E 为线段𝐴𝐷的中点，𝐴𝐵= 12cm，𝐴𝐶= 9cm．若△𝐴𝐵𝐶的面积为80cm2，
则△𝐴𝐶𝐸的面积为_______．
(3)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，若△𝐷𝐸𝐹的面积为1，则△𝐴𝐵𝐶的面积为________．
(4) 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐵𝐷: 𝐶𝐷＝1:2，连接𝐴𝐷，点𝐸为𝐴𝐷上一点，点𝐹、𝐺分别为𝐴𝐶、𝐶𝐷的
中点，连接𝐸𝐹，𝐸𝐺．若△𝐴𝐵𝐶的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ．
【答案】8 20cm2 8 3
【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积
【分析】(1)根据三角形重心的定义可知𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中线，再利用三角形中线的性质即可求解．
(2) 根据三角形重心的定义可知𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中线，再利用三角形中线的性质即可求解
(3) 根据三角形重心的定义可知𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中线，再利用三角形中线的性质即可求解
(4)根据三角形面积公式，利用 𝐵𝐷: 𝐶𝐷= 1: 2 得到 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
2
3 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，利用点 𝐹、𝐺 分别为 𝐴𝐶、𝐶𝐷 的
中点得到 𝑆△𝐸𝐶𝐺=
1
2 𝑆△𝐸𝐶𝐷，𝑆△𝐸𝐶𝐹=
1
2 𝑆△𝐸𝐶𝐴，所以阴影部分的面积 =
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐷．
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【详解】(1)解：∵点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐴𝐸，𝐴𝐹= 𝐵𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，𝑆△𝐵𝐶𝐸= 𝑆△𝐵𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐹，
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷−𝑆△𝐶𝑂𝐷，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐴𝑂𝐶，
同理可得，𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐵𝑂𝐶，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐶=
1
3 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
16
3 ，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐹=
1
2 𝑆△𝐴𝑂𝐵=
8
3，𝑆△𝐴𝑂𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝑂𝐶=
8
3，𝑆△𝐶𝑂𝐷=
1
2 𝑆△𝐵𝑂𝐶=
8
3，
∴阴影部分的面积之和= 𝑆△𝐵𝑂𝐹+ 𝑆△𝐴𝑂𝐸+ 𝑆△𝐶𝑂𝐷=
8
3 +
8
3 +
8
3 = 8．
(2) 解：∵ 𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 40(cm2)，
又点E 为线段𝐴𝐷的中点，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 20(cm2)．
(3)解：∵点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，
∴𝐵𝐶= 2𝐶𝐷、𝐴𝐷= 2𝐷𝐸、𝐶𝐸= 2𝐸𝐹，
∴𝐷𝐹是△𝐶𝐷𝐸的中线，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2𝑆△𝐷𝐸𝐹= 2，
∴𝑆𝐴𝐷𝐶= 2𝑆△𝐷𝐸𝐶= 2 × 2 = 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆𝐴𝐷𝐶= 2 × 4 = 8．
(4) 解：∵𝐵𝐷: 𝐶𝐷= 1: 2，
∴𝐷𝐶: 𝐵𝐶= 2: 3，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=
2
3 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
2
3 × 9 = 6，
∵ 点 𝐹、𝐺 分别为 𝐴𝐶、𝐶𝐷 的中点，
∴𝑆△𝐸𝐶𝐺=
1
2 𝑆△𝐸𝐶𝐷，𝑆△𝐸𝐶𝐹=
1
2 𝑆△𝐸𝐶𝐴，
∴𝑆△𝐸𝐶𝐺+ 𝑆△𝐸𝐶𝐹=
1
2 (𝑆△𝐸𝐶𝐷+ 𝑆△𝐸𝐶𝐴)，
即阴影部分的面积 =
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 6 = 3．
【变式9-2】如图，把△𝐴𝐵𝐶的三边𝐵𝐴、𝐶𝐵和𝐴𝐶分别向外延长一倍，将得到的点𝐴′、𝐵′、𝐶′顺次连接成△𝐴′𝐵′𝐶′，
若△𝐴𝐵𝐶的面积是10cm2，则△𝐴′𝐵′𝐶′的面积是_________
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【答案】70cm2
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的中线性质，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的
关键．
连接𝐴𝐵′、𝐵𝐶′、𝐶𝐴′，由题意得，𝐴𝐵= 𝐴𝐴′，𝐵𝐶= 𝐵𝐵′，𝐴𝐶= 𝐶𝐶′，由三角形的中线性质即可得出△𝐴′𝐵′𝐶′
的面积．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐵′、𝐵𝐶′、𝐶𝐴′，
由题意得：𝐴𝐵= 𝐴𝐴′，𝐵𝐶= 𝐵𝐵′，𝐴𝐶= 𝐶𝐶′，
∴𝑆△𝐴𝐴′𝐵′ = 𝑆△𝐴𝐵𝐵′ = 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10cm2，𝑆△𝐶𝐴′𝐶′ = 𝑆△𝐴𝐶𝐴′ = 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10cm2，𝑆△𝐵𝐵′𝐶′ = 𝑆△𝐵𝐶𝐶′ = 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
10cm2，
∴𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′ = 𝑆△𝐴𝐴′𝐵′ + 𝑆△𝐴𝐵𝐵′ + 𝑆△𝐶𝐴′𝐶′ + 𝑆△𝐴𝐶𝐴′ + 𝑆△𝐵𝐵′𝐶′ + 𝑆△𝐵𝐶𝐶′ + 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 70cm2．
【变式9-3】如图，D、E 分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵、𝐵𝐶上的点，𝐴𝐷= 2𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，设△𝐴𝐷𝐹的面积为𝑆1，△𝐶𝐸𝐹
的面积为𝑆2，若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，则𝑆1 −𝑆2的值为_____________
【答案】1
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键知道当高相等时，面积的比等于底边的比，据此可求出三角形
的面积，然后求出面积差即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷= 2𝐵𝐷，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=
2
2+1 × 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4，𝑆△𝐴𝐸𝐶=
1
1+1 × 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3，
∴𝑆1 −𝑆2 = (𝑆△𝐴𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐶𝐹) −(𝑆△𝐴𝐸𝐶−𝑆△𝐴𝐶𝐹) = 𝑆△𝐴𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐸𝐶= 1．
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▌题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明
角平分线→得角的一半→结合其他条件计算
【典例10】已知：如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于𝐶，𝐸𝐹⊥𝐵𝐷于𝐹，∠𝐴= ∠1．
求证：𝐸𝐹平分∠𝐵𝐸𝐷．
【答案】见解析
【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义
【详解】证明：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐸𝐹⊥𝐵𝐷．
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐸𝐹𝐵= 90°（垂直的定义）
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐹𝐵
∴𝐸𝐹∥𝐴𝐶（同位角相等，两直线平行）
∴∠𝐴= ∠3（两直线平行，同位角相等）
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶
∴∠2 = ∠1（两直线平行，内错角相等）
又∵∠𝐴= ∠1
∴∠2 = ∠3
∴𝐸𝐹平分∠𝐵𝐸𝐷（角平分线的定义）
【变式10-1】如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE∥BC，交AC 于点E．若∠AED=50°，则∠D 的度数为______．
【答案】25°
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
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【分析】根据平行线的性质求得∠ACB 度数，然后根据角平分线的定义求得∠DCB 的度数，然后利用两直线
平行，内错角相等即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，∠AED=50°，
∴∠ACB=∠AED=50°，
∵CD 平分∠ACB，
∴∠BCD=
1
2∠ACB=25°，
∵DE∥BC，
∴∠D=∠BCD=25°，
故答案为25°．
【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
【变式10-2】如图，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分∠𝐶𝐸𝐹，则
∠1的度数为_________°．
【答案】60
【知识点】三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等
【分析】根据角平分线的定义可求出∠𝐶𝐸𝐺的度数，即可得到∠𝐶𝐸𝐹的度数，再利用平行线的性质即可解决问
题．
【详解】∵一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，
∴∠𝐹𝐸𝐺= 30°，
∵𝐸𝐺平分∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐶𝐸𝐺= ∠𝐹𝐸𝐺= 30°，
∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐸𝐺+ ∠𝐹𝐸𝐺= 60°，
∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠1 = ∠𝐶𝐸𝐹= 60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式10-3】如图，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶角平分线，𝐷𝐸∥𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点E，点F 是𝐴𝐷上一点且∠4 = ∠3，那么𝐸𝐹平
分∠𝐷𝐸𝐵吗？
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【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、内错角相等两直线平行、三角形角平分线的定
义
【分析】先根据角平分线定义得∠1 = ∠2；再由平行线性质得∠1 = ∠3；结合已知条件，利用内错角相等判
定两直线平行；再由平行线性质得同位角相等，等量代换后证得EF 平分∠𝐷𝐸𝐵．
【详解】证明：∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶角平分线（已知），
∴∠1 = ∠2，
∵𝐴𝐶∥𝐷𝐸（已知），
∴∠1 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠2 = ∠3（等量代换），
∵∠4 = ∠3（已知），
∴𝐶𝐷∥𝐸𝐹（内错角相等，两直线平行），
∠2 = ∠5（两直线平行，同位角相等），
∴∠4 = ∠5（等量代换）．
∴𝐸𝐹平分∠𝐷𝐸𝐵．
