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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 勾股定理与逆定理常见题型 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理求线段长度 题型02 勾股定理的逆定理 题型03 勾股定理的证明 ▌题型01 利用勾股定理求线段长度 1．勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 2．表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c ，那么 2 2 2 a b c + = 3．变式：①a²=c²- b²；②b²=c²- a² 4．适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在 应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 【典例1】（25-26 八年级上·重庆·期中）小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟 到达书店（如图所示），已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（ ） A．880米 B．1100米 C．1540米 D．1760米 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】如图，在边长为1 个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（ ） A．AB B．BC C．AE D．CD 【变式1-2】若一直角三角形两边的长为12 和5，则第三边的平方为（ ） A．13 B．169 C．169 或225 D．169 或119 【变式1-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 4，𝑃为直线𝐴𝐵上一动点，连接𝑃𝐶，则线段𝑃𝐶 长度的最小值是 ． 【变式1-4】如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个 点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△𝐴𝐵𝐶全等的三角形是（ ） 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．△𝐴𝐸𝐺 B．△𝐴𝐷𝐹 C．△𝐷𝐹𝐺 D．△𝐷𝐸𝐺 【变式1-5】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C 在正方形网格的格点上，𝐴𝐵2 = 5，𝐴𝐶= 2， 𝐵𝐶2 = 13， (1)请在网格中画出△𝐴𝐵𝐶； (2)过点C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，求𝐴𝐷2． 【变式1-6】（25-26 八年级上·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树𝐴𝐵上觅食，它的巢筑 在与该树水平距离（𝐵𝐷）为8m的一棵9m高的大树𝐷𝑀上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的𝐶处，当它听到巢中 幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2.5m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( ) A．1s B．3s C．4s D．6s 【变式1-7】消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图， 一架云梯𝐴𝐵斜靠在墙𝐴𝑂上，已知𝐴𝑂= 24米，云梯的长度比云梯底端到墙的距离长18 米． (1)求云梯𝐴𝐵的长度． (2)现云梯顶端下方4 米C 处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C 处，则云梯底端在水平方向上滑动距 离𝐵𝐷为多少米？ 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-8】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 13，D 为𝐴𝐵的中点，𝐷𝐶⊥𝐴𝐶 ．求△𝐴𝐵𝐶 的面积． 【变式1-9】△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 13，高𝐴𝐷= 12，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ） A．32 B．42 C．32 或42 D．38 或42 【变式1-10】（25-26 八年级上·河南周口·期中）如图，公路𝐴𝐵和公路𝐶𝐷在点P 处交汇，且∠𝐴𝑃𝐶= 45°， 点Q 处有一座火箭发射塔，𝑃𝑄= 120√2km，假设龙卷风来临时，周围150km 内都会受到大风影响． (1)若龙卷风恰好沿公路𝐴𝐵由B 向A 处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？ ▌题型02 勾股定理的逆定理 1.概念内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足 2 2 2 a b c + = ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 2.注意事项： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若 2 2 a b + = 2c 则以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中a，b ，c 及 2 2 2 a b c + = 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满 足 2 2 2 a c b + = ，那么以a，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例2】 （25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎, 𝑏, 𝑐,满足(𝑎−5)2 + |𝑏−12| + √𝑐−13 = 0， 则△𝐴𝐵𝐶是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式2-1】下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D． 1 3， 1 4， 1 5 【变式2-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中， 是“勾股数”的是（ ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 【变式2-3】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上 面的规律，写出第8 组勾股数： ． 【变式2-4】已知△𝐴𝐵𝐶中，a、b、c 分别是∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边，下列条件能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的 个数有（ ） ①∠𝐴= ∠𝐶−∠𝐵；②𝑎2 = 𝑏2 −𝑐2；③𝑎: 𝑏: 𝑐= 2: 3: 4；④𝑎= 3 4 , 𝑏= 5 4 , 𝑐= 1；⑤∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3； ⑥∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式2-5】（25-26 八年级上·山东济宁·期中）给出下列命题：其中，正确命题的个数为( ) ①在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2，则∠𝐶= 90°； ③△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶= 1：5：6，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形； ④△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎：𝑏：𝑐= 1：2：√5，则这个三角形是直角三角形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式2-6】如图，图中小正方形的边长都为1， ABC 的顶点都在格点上，则 ABC 是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-7】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确 的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-8】（25-26 八年级上·山东临沂·期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4， 𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 13，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，则阴影部分的面积为（ ） A．24 B．36 C．48 D．12 【变式2-9】（25-26 八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地𝐴𝐵𝐶𝐷，测 得𝐴𝐵= 9m，𝐵𝐶= 12m，𝐶𝐷= 8m，𝐴𝐷= 17m，且∠𝐴𝐵𝐶= 90°，这块菜地的面积是（ ） A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型03 勾股定理的证明 1.基本方法：等面积法，即用两种方法表示同一个图形的面积，得到两个不一样的式子，建立等式，得到结 论。 2.常见证明方法： 赵爽弦图 毕达哥拉斯证法 加菲尔德证法 【典例3】（25-26 八年级上·安徽六安·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证 明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一 个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a， b，那么(a-b)2 的值是( ) A．1 B．2 C．12 D．13 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式3-2】（25-26 八年级上·河南驻马店·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐷𝐸中，𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐸，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，点𝐶是 边𝐵𝐷上一点，𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 𝑎，𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 𝑏，𝐴𝐶= 𝐶𝐸= 𝑐．下列结论：①△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸；②∠𝐴𝐶𝐸= 90°； ③四边形𝐴𝐵𝐷𝐸的面积是 1 2 (𝑎+ 𝑏)2；④ 1 2 (𝑎+ 𝑏)2 − 1 2 𝑐2 = 2 × 1 2 𝑎𝑏；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确 的结论个数是（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式3-3】用图1 中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2 的大正方形． 解答下列问题： （1）请用含𝑎、𝑏、𝑐的代数式表示大正方形的面积. 方法1： ；方法2： . （2）根据图2，利用图形的面积关系，推导𝑎、𝑏、𝑐之间满足的关系式. （3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且(𝑎+ 𝑏)2 = 49，求小正方形的面积. 【变式3-4】（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗 称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角 边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4× 1 2ab＋(a－b)2，所以4× 1 2ab＋ (a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c， 则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC 的两直角边长为3 和4，则斜边上的高为 ． 【变式3-5】“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中 空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（ ） A．2√5 B．3√3 C．4√2 D．3√2
