文档文本内容
答案第1 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
分层作业
2.2 平方根与立方根
目 录
A 组 巩固过关
题型01 平方根概念的理解
题型02 平方根的性质
题型03 算术平方根的性质
题型04 算术平方根的非负性
题型05 算术平方根的估算
题型06 算术平方根整数部分的确定
题型07 算术平方根的探究规律问题
题型08 算术平方根的实际应用
题型09 立方根概念的理解
题型10 立方根的性质
题型11 平方根立方根的综合应用
题型12 程序问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
答案第2 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
平方根概念的理解
一、单选题
1．7 的平方根是（ ）
A．7
B．
7
−
C．7
D．
7
2．
1
2 4 的平方根是（ ）
A．1
2
B．
1
2
C．3
2
D．
3
2
3．16 的平方根是（ ）
A．-4
B．2
C．4
D．4
4．下列各式，正确的是（ ）
A．64
8
=
B．
64
8
=
C．
64
8
−
= −
D．(
)
2
64
64
−
= −
5．下列算式中，正确的是（ ）
A．25
5
=
B．
9
3
=
C．(
)
2
6
6
−
= −
D．
16
4
−
= −
6．若
2
25
x =
，则x =（ ）
A．5
B．5
−
C．5
D．5
7．9 的平方根是（ ）
A．
3
±
B．9
C．3
D．3
±
8．25
64 的平方根是（ ）．
A．5
4
B．5
8
C．
5
4
D．
5
8
9．下列计算正确的是（ ）
A．
81
9
=
B．36
6
=
C．
16
4
−
= −
D．(
)
2
5
5
−
= −
10．下列各式正确的是（ ）
A．
9
3
=
B．
2
0 1
0 1
.
.
题型01
答案第3 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
C．(
)
2
16
16
−
=
D．
1
1
4
2
9
3
=
二、填空题
11．直接写出结果：
（1）
25
= ________；（2）(
)
2
3
−
= ________．
12．若
2
(
10)
8
0
b
a
−
+
+
=
，则a
b
+
的平方根是__________．
13．若3
−是m 的一个平方根，则
18
m+
的平方根是______．
三、解答题
14．一个正数b 的平方根是2
1
a−与
2
a
−+
，
(1)求a 和b 的值．
(2)求5a
b
+ 平方根．
15．一个正数x 的两个不同的平方根分别是2
3
a −和5
a
−
．
(1)求a 和x 的值．
(2)求
12
x
a
+
的平方根．
平方根的性质
一、单选题
1．下列各数没有平方根的是（ ）
A．4
−
B．0
C．7
D．16
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．64 的平方根是8
B．
4 的平方根是2 和2
−
C．(
)
2
3
−
没有平方根
D．16的平方根是4 和4
−
3．下列算式中，正确的是（ ）
A．25
5
=
B．
9
3
=
C．
2
( 7)
7
−
=
D．
8
4
−
= −
4．若
2
x−
有平方根，则x 的取值范围为（ ）
A．
0
x
B．
0
x
C．
2
x
D．
3
x
5．下列说法中：①不带根号的数都是有理数；②8
−没有立方根：③平方根等于本身的数是1；④a 有
意义的条件是a 为正数；其中正确的有（）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
6．正数x 的平方根是（ ）
题型02
答案第4 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
A．x
B．
x
C．x
D．
x
7．“25 的平方根是5
”用数学式子表示正确的是（ ）
A．25
5
=
B．
25
5
=
C．
25
5
=
D．
25
5
−
= −
8．关于“ 25 ”的三种说法：①
25 表示25 的平方根；②25
5
=
；③25 是无理数．其中正确的个数是
（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
9．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（ ）
A．2025
B．0
C．2025
−
D．
1
2025
10．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2
1
a+ 和3 4
−a ，则这个正数是（ ）
A．25
B．5
C．5
−
D．2
二、填空题
11．5 的平方根是__________．
12．若2
x
−的平方根只有一个，则x 的值是____________．
13．已知一个正数的两个平方根分别是3
2
a −和
14
a+
，则这个正数是__________．
14．如果300的平方根是a 和b，那么
300
a
b
ab
−
+
+
=_______．
三、解答题
15．已知一个正数m 的两个平方根分别是3 a
−
和2
1
a+ ．
(1)求m 和a 的值；
(2)若2
1
b−的立方根为5
−，求
1
2 a
b
−
−的平方根．
算术平方根的性质
一、单选题
1．49 的算术平方根是（ ）
A．7
B．7
−
C．7
D．23
2．化简
2
10−的结果正确的是( )
A．10
B．100
C．1
10
D．1
100
3．下列说法正确的是（ ）
A．4 的平方根是2
B．2 是4 的算术平方根
C．16
4
=
D．负数有平方根
题型03
答案第5 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
4．16 的算术平方根等于（ ）
A．4
B．2
C．2
−
D．2
5．
4
5 9
的值等于（ ）
A．2
5 3
B．5
−
C．
7
3
D．7
3
6．下列说法正确的是（ ）
A．6
−没有平方根
B．4 的平方根是2
C．(
)
2
3
−
的算术平方根是3
−
D．8 的立方根是2
二、填空题
7．2 4
−的相反数是______ ；1
9 的算术平方根是______ ．
8．如图，正方形ABCD的面积为6，它的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，AD长为半径
画弧，交数轴于点E （点E 在点A的左侧），则点E 所表示的数为___________．
9．已知x 的平方根是
3
a + 与2
12
a −
，则x 的算术平方根是______．
三、解答题
10．求下列各数的算术平方根：
(1)64；
(2)225；
(3) 9
16 ．
11．化简：
(1) 100 ；
(2)
25
49 ；
(3)
2
13 ．
12．计算：
(1)
(
)
2
16
2
3
−−
+ −
答案第6 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
(2) (
)
2
2
3
8
x +
=
；
算术平方根的非负性
一、单选题
1．下列没有算术平方根的是（ ）
A．5
−
B．0
C．6
D．
2
2．若
2
a
a
=
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
a
D．a 为任意实数
3．关于代数式7
4
x
−
+
的值说法正确的是（ ）
A．
0
x =
时最小
B．
4
x = −时最大
C．
0
x =
时最大
D．
4
x = −时最小
4．若一直角三角形的两边长x，y 满足
(
)
2
1
2
0
x
y
−+
−
=
，则此三角形第三边的边长为（ ）
A．3
B．3 或3
C．3 或5
D．5 或3
二、填空题
5．已知
3
2
a +
=
，则a 的值是__________．
6．若(
)
2
4
2
3
0
a
b
c
−
+
+
+
−
=
，则abc = ______．
三、解答题
7．若a
b
c
、、是ABC
的三边长，且a
b
c
、、满足(
)
2
2
7
3
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
．
(1)求a
b
c
、、的值；
(2) ABC
是直角三角形吗？请说明理由．
算术平方根的估算
一、单选题
1．估计
29 的值（ ）
A．在4 到5 之间 B．在3 到4 之间
C．在5 到6 之间
D．在6 到7 之间
2．已知n 是整数，且
68
1
n
n
+ ，则n 的值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
题型04
题型05
答案第7 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
3．估计61
3
−的值应在（）
A．2 到3 之间
B．3 到4 之间
C．4 到5 之间
D．5 到6 之间
二、填空题
4．若
1
28
n
n
−
，其中n 为正整数，则n =_______．
三、解答题
5．根据下表回答下列问题：
x
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
x²
196
198.81
201.64
204.49
207.36
210.25
213.16
216.09
219.04
222.01
(1)
213.16 =_______，20736 =__________，0.020164 = __________
(2)
22000 与哪个整数最接近？求2.1 的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若143
144
n
，则满足条件的整数n 有__________个．
算术平方根整数部分的确定
一、单选题
1．已知
1
x + 的算术平方根是3，y 是14 的整数部分，则x
y
+
的值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
二、填空题
2．若13 的整数部分为a，小数部分为b，求
2
a
b
+
的值为______．
3．若规定用符号
x 表示一个实数的整数部分，例如：[
]
3.36
3
= ，
3
1
=
，按此规定：
13 1
−
=
____．
4．若3
5
+
的整数部分是a，3
5
−
的整数部分是b，则a
b
+
的值为________．
三、解答题
5．已知：8
17
x
y
+
=
+
，其中x 是8
17
+
的整数部分，y 是8
17
+
的小数部分．
(1)填空：17 的整数部分是______，小数部分是______；
(2)求代数式
17
x
y
−
+
的值．
6．阅读下列材料：
题型06
答案第8 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
∵
4
7
9
．即2
7
3
，∴7 的整数部分为2，小数部分为
7
2
−，仿照上例回答下列问题；
(1) 17 介于连续的两个整数a 和b 之间，且a
b
，那么a =______，b = ______；
(2)x 是17
2
+ 的小数部分，y 是17
1
−的整数部分，求x =______，y =______；
(3)在（2）的条件下求(
)
17
y
x
−
的平方根．
算术平方根的探究规律问题
一、单选题
1．若2026
45.01
，202.6
14.23
，则20.26 （ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
2．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数9对应的密码是9
3
=
，
数900对应的密码是900
30
=
．已知数2026对应的密码约为45.01，数202.6 对应的密码约为14.23，则数
20.26 对应的密码约为（ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
3．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下：
…
0.0225
0.225
2.25
22.5
…
…
0.15
0.4743
1.5
4.743
…
根据以上规律，
2250 （ ）
A．47.43
B．15
C．474.3
D．150
二、填空题
4．已知2.14
1.463
，21.4
4.626
，则
214 ______；已知3 0.3
0.669
，3 3
1.442
，则3 300 ______．
5．观察下列一组算式的特征及运算结果：①1 5
4
9
3
+
=
=
，②
2 6
4
16
4
+
=
=
，③
3 7
4
25
5
+
=
=
，…，请根据规律计算1 5
4
2 6
4
3 7
4
4 8
4
2026 2030
4
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
的值为______．
6．观察下表规律：
a
0.04
4
400
40000
题型07
答案第9 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
a
0.2
2
20
200
利用规律求值：若3.15
1.775
，31.5
5.612
，31500 ________．
三、解答题
7．阅读素材：
3
1
1
4
2
−
=
，
5
2
1
9
3
−
=
，
7
3
1 16
4
−
=
，
9
4
1
25
5
−
=
…按照此规律：
(1)初步探究：
①填空：
17
1
81
−
________________；
②计算：
3
5
7
89
1
1
1
1
4
9
16
2025
−
−
−
−
；
(2)迁移应用：计算：
5
7
9
91
1
1
1
1
4
9
16
2025
+
+
+
+
8．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律．
已知1
1
= ，则100
10
=
，10000
100
=
；已知9
3
=
，则900
30
=
，90000
300
=
；
已知3 1
1
= ，则3 1000
10
=
，3 1000000
100
=
；已知3 8
2
=
，则3 8000
20
=
，3 8000000
200
=
；
(1)根据小明的发现，请填空：若
2.5
a =
，那么100a = ；若3
1.2
b = −
，那么3 1000000b = ．
(2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3
8
4
x
y
+
−
=
．
①求该长方形的周长C ．
②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的值．
算术平方根的实际应用
一、单选题
1．关于“ 11 ”，下列说法不正确的是（ ）．
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点表示
C．它可以表示面积为11的正方形的边长
D．它不是实数
2．图1 为由五个边长为1 的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上1
−表示
题型08
答案第10 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点A，如图2 所示，则点A表示的数是（ ）
A．5
B．3
C．3
1
+
D．5
1
−
二、填空题
3．如图1，把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，就可以
得到一个面积为
2
2dm 的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为5dm ，宽为1dm的长方形如图2 所示进
行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________dm．
三、解答题
4．阅读材料：在引入无理数2 时，如图1，是把两个边长为1 的小正方形沿对角线剪开，将所得的4 个直
角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 的大正方形，设大正方形的边长为x ，则
2
2
x =
，从而求出
2
x =
，
就得到了大正方形的边长为2 ，借助此过程就可以将2 在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题：
(1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号）
①数形结合 ②分类讨论 ③转化与化归
(2)类比阅读材料完成下列问题：
①某同学受到启发，把长为2，宽为1 的两个长方形沿着对角线（设为x ）剪开，将所得的4 个直角三角形
拼成如图2 所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即x 的值）；
②在数轴上画出表示1
5
−+
的点．（不写作法，保留作图痕迹）
答案第11 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
立方根概念的理解
一、单选题
1．8的立方根是（ ）
A．2
−
B．2
C．2 2
D．2 2
2．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根
B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
D．一个不为0 的数的立方根与被开方数同号
3．要使3
3
a
a
=
成立，那么a 的取值范围是（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
a
D．任意数
4．下列选项正确的是（ ）
A．8 的立方根是2
B．(
)
3
3
3
3
−
=
C．3
1
1
27
3
−
= −
D．立方根等于本身的数只有1 和0
5．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1
6．下列说法：①2
−是4 的平方根；②16 的平方根是4；③125
−
的平方根是15；④0.25 的算术平方根是
0.5；⑤27
125 的立方根是
3
5
；⑥81 的平方根是9．其中正确的说法有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．给出下列各式：3
10
4
2 27
3
=
，3 0.008
0.2
=
，3 0.01
0.1
=
，
3
3 ( 27)
27
−
−
= −
．其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知3 10
2.154
，3 100
4.642
，那么3 10000 约为（ ）
A．21.54
B．215.4
C．46.42
D．464.2
9．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（ ）
题型09
答案第12 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
A．0，1
B．1，1
−
C．0，1
−
D．0，1
二、填空题
10．已知
4
a =
，则3
8
a −
的值是_______．
11．若3
2
x −
有意义，则x 的取值范围是_________．
12．已知3 2
1.2599
=
，3 20
2.7144
=
，则3 0.02 =____________．
13．填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ．
（2）3
1
27
−
= ___________________ ；(
)
3
3 8
= _____ ．
（3）3 64 的平方根是 _______ ；
64 的立方根是 _____ ．
14．已知3
1
y −和3 3
2y
−
的值互为相反数，且3
21
x−
的平方根是它本身，则x
y
+
的平方根为_______．
15．观察下列各式：3
3
2
2
2
2
7
7
=
，3
3
3
3
3
3
26
26
=
，3
3
4
4
4
4
63
63
=
，3
3
5
5
5
5
124
124
=
，按照此规律，第8 个
等式是_____．
三、解答题
16．求下列各数的立方根：
(1) 8
−
(2) 125
216
(3)0.125
17．化简：
(1) 3 27000 ；
(2) 3
125000
−
；
(3) 3
1000000
−
．
18．已知3
2
a −
与3 2
7
a −
互为相反数，求a 的值．
19．计算及解方程
(1)计算：
2
3
25
8
( 4)
−
−−
−
(2)解方程：(
)
3
1
27
x −
=
．
20．阅读与思考
答案第13 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
小明研究大数的立方根后写下如下报告．
以50653
−
的立方根为例求大数的立方根
①首先进行了估算：因为
3
3
10
1000100
10000001000
50653
1000000
=
=
，
，
，所以
3 50653 是两位数；
②其次观察了立方数：
3
3
3
3
3
3
3
1
1 2
8 3
27 4
64 5
125 6
216 7
343
=
=
=
=
=
=
=
，
，
，
，
，
，
，
3
3
8
512 9
729
=
=
，
，猜想个位数字是7 ；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为
3
3
3
27 4
64
=
=
，
，所以3 50653 的十
位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37 ；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
50653
37
−
= −
，同时发现结论：若两个数互
为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)计算：3 175616 =________．
(2)若3
3
3
3
6
0
x −
+
=
，则x =________．
(3)已知3
3
3
x
x
−
+
=
，求x 的值．
立方根的性质
一、单选题
1．已知3 2m 是整数，则满足条件的正整数m 最小是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
二、填空题
2．若3
3
−
= −
a
，则a =___________．
3．已知(
)
3
1
8
x −
= ，则x 的值是_____．
三、解答题
4．求下列各式中x 的值：
(1) (
)
2
3
2
27
x −
=
；
题型10
答案第14 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
(2) (
)
3
1
1
2
7
3 x +
−
=
5．计算
(1)
3
3
3 8
1
7
2
125
27
4
9
+
−−
−
−
−
．
(2)已知(
)
2
a −
的平方根是2
，(
)
2
7
a
b
+
+
的立方根是3，求(
)
2
2
a
b
+
的算术平方根．
6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728
−
的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 1728 是两位数；
②其次观察了立方数：31
1
= ，3
2
8
=
，33
27
=
，3
4
64
=
，35
125
=
，3
6
216
=
，3
7
343
=
，38
512
=
，3
9
729
=
；
猜想3 1728 的个位数字是2 ；
③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为31
1
= ，
3
2
8
=
，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想
3 1728
12
=
，验证得：1728的立方根是12；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
1728
12
−
= −
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
3375
−
= ；
(2)若3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，则x = ；
(3)已知3
2
2
x
x
−
+
=
，且3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求x ，y 的值．
平方根立方根的综合应用
一、单选题
1．若
3
3
11
25
a
b
c
=
=
=
，
，
，则a
b
c
，，的大小关系是（ ）
A． a
b
c
B． a
c
b
C． c
b
a
D． c
a
b
二、填空题
2．一个正数的平方根分别是2
5
a −和2
1
a+ ，
30
b −
的立方根是3
−，则
a
b
+
的算术平方根为______．
三、解答题
3．计算与解方程：
题型11
答案第15 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
(1)
2
2
3
3
9
1
0.064
1
17
8
25
125
+
−
−
−
−
．
(2) (
)
2
2
1
8
x +
= ．
4．已知a 是27 的立方根，b 是1
9 的算术平方根与
1
8
−
的立方根的和，c 是
6
a
b
+
的平方根．
(1)直接写出a ，b 的值，并比较a ，b ，a
b
−
的大小；
(2)求c 的所有可能值．
5．（1）已知5
2
a + 的立方根是3，3
1
a
b
+
−的算术平方根是4，c 是13 的整数部分，求3a
b
c
−
+ 的平方根．
（2）一个正数x 的平方根分别是2
5
a −和2
1
a+ ，求正数x．
程序问题
一、填空题
1．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x 的值是64 时，输出y 的值是______．
2．按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x 为81 时，最终输出的数是_______．
3．根据图中的程序，当输入的x 为64 时，输出的y 值是______．
4．有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x 值为64 时，输出的y 值是___________．
题型12
答案第16 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
5．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序：
（1）当输入x 的值是64 时，输出的y 值是________．
（2）分析发现，当非负数x 取________时，该程序无法输出y 值．
一、单选题
1．已知一个正方体的体积是
3
729cm ，现要在它的8 个角上分别截去1 个大小相同的小正方体，截去小正方
体后余下部分的体积恰好是
3
665cm ，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．6cm
B．4cm
C．2cm
D．1cm
2．在如图所示的运算程序中，输入x 的值是64 时，输出的y 值是（ ）
A．3 2
B．2
C．2
D．8
3．若一直角三角形的两边长x，y 满足
(
)
2
1
2
0
x
y
−+
−
=
，则此三角形第三边的边长为（ ）
A．3
B．3 或3
C．3 或5
D．5 或3
二、填空题
4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出3 ，5 ……线段（如图所示）．”即：
1
OA = ，过A作
1 ⊥
AA
OA
答案第17 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
且
1
1
AA = ，根据勾股定理，得
1
2
OA =
；再过
1A 作
1
2
1
A A
OA
⊥
且
1
2
1
=
A A
，得
2
3
=
OA
；…以此类推，则
2026
OA
=
_______．
5．若规定用符号
x 表示一个实数的整数部分，例如：[
]
3.36
3
= ，
3
1
=
，按此规定：
13 1
−
=
____．
三、解答题
6．实数, ,
a b c 在数轴上对应的点的位置如图所示．化简3
3
2
|
|
(
)
c
a
b
c
a
+
+
+
−
7．计算与解方程
(1)计算(
)
2
3
2
1
27
3
−
−
+
−
−
；
(2)解方程①
2
5
125
x =
；
②(
)
3
2
1
128
0
x−
+
=
．
8．已知2
1
a−的平方根是3
，25
b
+ 的立方根是3，m 是a
b
+
的算术平方根．
(1)求a、b、m 的值；
(2)若m 的整数部分是x，小数部分是y，求y
x
−的值．
9．已知
2
a+
的立方根是2
−，
2
b−的算术平方根为3，
2
25
c =
，且
0
c
．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求
3
b
a
c
−
+ 的平方根；
(3)求a
b
c
+ + 的立方根．
10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389
的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结
果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)已知24389 是一个整数的立方，求3 24389 ；
答案第18 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，可以确定3 24389 是________位数；
②由24389 的个位上的数字是9，可以确定3 24389 的个位上的数字是________；
③如果划去24389 后面的三位389 得到数24，而
3
2
8
=
，
33
27
=
，可以确定3 24389 的十位上的数字是
________；由此求得3 24389 = ________
(2)已知592704 也是一个整数的立方，用类似的方法可以求3 592704 的值．
一、单选题
1．如图，在数轴上方作一个4 4
的方格（每一方格的边长为1 个单位），依次连接四边的中点A，B，C，
D 得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A的左侧的数轴上取点E ，使AE
AB
=
，若点A在原点
右侧且到原点的距离为1 个单位，则点E 表示的数是（ ）
A．
8
−
B．1
8
−
C．
6
−
D．1
6
−
二、填空题
2．如果
2
6
x −
与
2
y
+
互为相反数，那么x
y
+
的算术平方根是_________．
三、解答题
3．如图为一个数值转换器．
(1)若输入的x 值为5，则输出的y 值为______；若输入的x 值为36，则输出的y 值为______；
(2)若输入x 值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y 值为7 ，求输入的x 的值；
(3)某同学输入的非负数x 值后，却始终不输出y 值，请你分析，他输入的x 值是？
4．对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这
答案第19 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平
方根”．例如：对于1，4，9 这三个数，1 4
2
=
，1 9
3
=
，4 9
6
=
，这些算术平方根都是整数，因
此，1，4，9 这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)1，9，24 这三个数________“漂亮数”（填“是”或“不是”）；
(2)请判断4，16，25 这三个数是不是“漂亮数”，若是，请求出其“最小算术平方根”；若不是，请说明理由；
(3)已知正整数9，25，m 是“漂亮数”，且
25
m
，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3 倍，求m 的
值．
5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728
−
的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 1728 是两位数；
②其次观察了立方数：31
1
= ，3
2
8
=
，33
27
=
，3
4
64
=
，35
125
=
，3
6
216
=
，3
7
343
=
，38
512
=
，3
9
729
=
；
猜想3 1728 的个位数字是2 ；
③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为31
1
= ，
3
2
8
=
，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想
3 1728
12
=
，验证得：1728的立方根是12；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
1728
12
−
= −
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
3375
−
= ；
(2)若3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，则x = ；
(3)已知3
2
2
x
x
−
+
=
，且3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求x ，y 的值．
6．阅读与探究：
在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根．
(1)填表与定义
①填表
4x
1
16
81
x
1
___________
___________
②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：
答案第20 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．
立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．
四次方根的定义：一般地，___________．
(2)思考与归纳
求一个数a 的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算．
①探究：
81的四次方根是___________，16
81的四次方根是___________，0 的四次方根是___________．
4
−___________（填“有”或“没有”）四次方根．
②归纳：
根据上述①中正数、0 、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________．
③总结：
我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0 、负数三类进行研究，这种思想叫___________．
A．类比思想 B．分类讨论思想
C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想
(3)巩固与应用
类似于平方根和立方根，一个数a 的四次方根用符号“
4 a
”表示，读作“正、负四次根号a ”，其中a 是被开
方数，4 是根指数．例如
4 16
表示16 的四次方根，
4 16
2
= ．
①
4 625
=___________（将结果直接填到横线上）
②比较大小：1.5___________ 4 4 （填“<”或“=”或“>”）
一、单选题
1．下列实数中最大的是（ ）
A．π
B．
2
−
C．1
−
D．0
2．实数a、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简
2
a
b
a
−
−
的结果是（ ）
A．2a
b
−
B．b
C．b
−
D．2a
b
−
+
答案第21 页，共21 页
学科网（北京）股份有限公司
二、填空题
3．计算：
3
5
27
−+
−
=________．
4．计算(
)
3
0
1
π
1
16
2
−
−
+ −
+
的结果为__________．
5．若m ，n 为实数，且(
)
2
4
5
0
m
n
+
+
−
=
，则(
)
2
m
n
+
的值为______．
6．已知a、b 为两个连续整数，且a＜17 ＜b，则a+b=___．
三、解答题
7．计算：
(
)
2
0
1
9
(2026
π)
4
2
2
−
−
−
+
+ −
．
