试卷第1 页，共74 页
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分层作业
3.3 轴对称与坐标变化
目 录
A 组 巩固过关
题型01 坐标系内的对称
题型02 坐标系内关于直线对称
题型03 坐标系内最值问题
题型04 图形坐标的变化
题型05 折叠问题求坐标
题型06 坐标系内动点问题
题型07 坐标系内确定等腰三角形
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
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坐标系内的对称
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(
)
2, 3
−
，则点P 关于x 轴的对称点的坐标为（ ）
A．(
)
2,3
B．(
)
2, 3
−
−
C．(
)
2,3
−
D．(
)
2, 3
−
【答案】A
【分析】关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果．
【详解】解：∵点P 的坐标为(
)
2, 3
−
，
∴点P 关于x 轴的对称点的横坐标为2 ，纵坐标为( 3)
3
−−
=
，
∴点P 关于x 轴的对称点的坐标为(
)
2,3 ．
2．点
(
)
1,2
P −
关于y 轴对称点的坐标是（ ）
A．(
)
1 2,
B．(
)
1, 2
−−
C．(
)
1, 2
−
D．(
)
2, 1
−
【答案】A
【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可．
【详解】解：点
(
)
1,2
P −
关于y 轴对称点的坐标是(
)
1 2, ．
3．在平面直角坐标系xOy 中，点
( ,8)
A a
与点
( 5, )
B
b
−
关于y 轴对称，则a
b
−
= （ ）．
A．13
−
B．13
C．3
D．3
−
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于y 轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出a 和b 的值. 再代入计算
即可得到结果．
【详解】解：在平面直角坐标系中，关于y 轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等，
又点
( ,8)
A a
与点
( 5, )
B
b
−
关于y 轴对称，
(
)
5
5
a
= −−
=
，
8
b =
，
5 8
3
a
b
−
= −= −．
4．点
(
)
2
4,
2
A
a
b
−
+
与点
(
)
4,2
1
B
b +
关于x 轴对称，则a
b
−
的值为（ ）
A．3
B．5
C．3
2
D．1
题型01
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【答案】B
【分析】本题考查了坐标与对称，熟练掌握以上知识是解题的关键．
关于x 轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，分别求解即可.
【详解】解：∵点A与点B 关于x 轴对称，
∴2
4
4
a −
=
，且
(
)
2
2
1
b
b
+
= −
+
，
解得：
4
a =
，
1
b = −，
∴
(
)
4
1
5
a
b
−
=
−−
=
，
故选；B．
5．已知点
( 7, 4)
P −
−
( 7,6)
Q −
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PQ 平行于x 轴
B．直线PQ 平行于y 轴
C．点P 与点Q 关于x 轴对称
D．点P 与点Q 关于y 轴对称
【答案】B
【详解】已知点
(
)
7, 4
P −
−
，
(
)
7,6
Q −
，
∵点P 和点Q 的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数，
∴直线PQ 平行于y 轴，不平行于x 轴，故A 不符合题意，B 符合题意．
若两点关于x 轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，4
−与6 不互为相反数，故C 不符合题意．
若两点关于y 轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D 不符合题
意．
选B．
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点
( 3,2)
A −
，
(3,2)
B
，
(1,1)
C
，
( 1,1)
D −
．下列说法正确的是（ ）
A．点A 与点B 关于x 轴对称
B．点A 与点B 关于y 轴对称
C．点A 与点B 关于直线OC 对称
D．点A 与点B 关于直线OD 对称
【答案】B
【详解】解：∵点
(
)
3,2
A −
与点
(
)
3,2
B
的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴点A与点B 关于y 轴对称．
7．已知ABC
在直角坐标系中的位置如图所示，如果
A B C
△
与ABC
关于x 轴对称，那么点A的对应点A
的坐标为（ ）．
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A．(
)
4,2
−
B．(
)
4, 2
−
−
C．(
)
4, 2
−
D．(
)
4,2
【答案】B
【分析】本题考查坐标系中对称点的坐标特征，关键掌握关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数．
先
A B C
△
与ABC
关于x 轴对称推出点A和点A也关于x 轴对称，再通过平面直角坐标系得到点A坐标，
然后求解点A的坐标即可．
【详解】解： ∵
A B C
△
与ABC
关于x 轴对称，
∴点A和点A也关于x 轴对称，
∵由图可知点A的坐标为(
)
4,2
−
，
∴点A的坐标为(
)
4, 2
−
−
．
故选：B．
二、填空题
8．已知点
(
)
2,
A
a 和点
(
)
, 1
B b −
关于x 轴对称，则
2
a
b
+
= ___________．
【答案】3
2
【分析】本题考查关于x 轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于x 轴对称的坐标特
征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出a 与b 的值，再代入所求代数式计算即可.
【详解】解：关于x 轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∵点
(
)
2,
A
a 和点
(
)
, 1
B b −
关于x 轴对称，
∴
2
b =
，
(
)
1
1
a = −−
= ，
∴
1 2
3
2
2
2
a
b
+
+
=
=
.
试卷第5 页，共74 页
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9．在平面直角坐标系中，将点(
)
3, 2
A
−
沿x 轴折叠，得到对应点A，则A点的坐标为________．
【答案】(
)
3,2
【分析】本题考查折叠的性质，关于x 轴对称的点的坐标特征．
根据折叠的性质和关于x 轴对称的点的坐标特征，可知点A和点A的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即
可得A点的坐标．
【详解】解：∵将点(
)
3, 2
A
−
沿x 轴折叠，得到对应点A，
∴A点的坐标为(
)
3,2 ．
故答案为：(
)
3,2 ．
10．已知：平面直角坐标系中，点M 的坐标是(
)
,a b 且点M 与点N 关于y 轴对称，则点N 关于x 轴对称的
点的坐标是_______．
【答案】(
)
,a
b
−
−
【分析】根据关于y 轴对称的点的坐标规律得到点N 的坐标，再根据关于x 轴对称的点的坐标规律求解即
可．
【详解】解：∵点M 的坐标是(
)
,a b ，点M 与点N 关于y 轴对称，
∴点N 的坐标为(
)
,a b
−
，
∴点N 关于x 轴对称的点的坐标是(
)
,a
b
−
−
．
11．在平面直角坐标系中，如果点(
)
1,
2
A a
b
−
+
和
(
)
3,
3
B
a
−
−
关于x 轴对称，则3a
b
+ =_____．
【答案】3
−
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，关于x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐
标互为相反数，据此求出a、b 的值即可得到答案．
【详解】解：∵点
(
)
1,
2
A a
b
−
+
和
(
)
3,
3
B
a
−
−
关于x 轴对称，
∴
(
)
1
3
3
2
a
a
b
−= −
−
= −
+
，
，
解得
2
3
a
b
= −
=
，
，
∴
(
)
3
3
2
3
6
3
3
a
b
+
=
−
+
= −+
= −，
故答案为：3
−．
试卷第6 页，共74 页
三、解答题
12．如图，在平面直角坐标系中，ABC
各顶点的坐标分别为：
( 3,2)
A −
，
( 4, 3)
B −
−
，
( 1, 1)
C −−
．
（1）在图中作
1
1
1
A B C
△
，使
1
1
1
A B C
△
与ABC
关于y 轴对称；
（2）在（1）的条件下，写出点A、B、C 的对应点
1A 、
1
B 、
1
C 的坐标．
【答案】（1）见详解；（2）
1A （3，2）、
1
B （4，-3）、
1
C （1，-1）
【分析】（1）根据关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标为相反数，画出
1
1
1
A B C
△
即可；
（2）根据关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标为相反数，写出
1
1
1
A B C
△
各顶点坐标即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）
1A （3，2）、
1
B （4，-3）、
1
C （1，-1）
【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，熟知关于对称轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
13．如图，在直角坐标系中，已知
(
)
3,2
M
，点
(
)
1,6
N −
．
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(1)若点M与M 关于x 轴对称，在直角坐标系中作出点M，并写出点M的坐标．
(2)点P 为x 轴上一动点，求
−
NP
MP的最大值，并直接写出点P 的坐标．
【答案】(1)M的坐标为(3, 2)
−
(2)最大值4 2 ，P 的坐标为(5,0)
【分析】（1）依据关于x 轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点M的坐标并
作图；（2）利用轴对称性质将MP 转化为M P，再结合三角形三边关系确定
−
NP
MP的最大值，进而求出对
应点P 的坐标．
【详解】（1）解：如图，
∵
(3,2)
M
，其关于x 轴对称的点M的横坐标保持3 不变，纵坐标为2 的相反数2
−，
因此M的坐标为(3, 2)
−
．
在直角坐标系中，找到横坐标为3、纵坐标为2
−的位置，标记该点即为M．
（2）解：由于点M是M 关于x 轴的对称点，且点P 在x 轴上，
MP
M P
=
．
NP
MP
NP
MP
−
=
−
．
试卷第8 页，共74 页
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，
即NP
M P
NM
−
．
当且仅当点P 在直线NM的延长线与x 轴的交点时，等号成立，
此时NP
M P
NM
−
=
，
即
−
NP
MP的最大值为NM的长度．
4
=
MM
，MP
MP
=
，
90
=
MPM
，
2 2
=
=
MP
M P
，
2
2
2
=
−
=
AP
MP
AM
，
(5,0)
P
，
2
2
( 1 5)
(6
0)
6 2
=
−−
+
−
=
NP
，
−
NP
MP的最大值为6 2
2 2
4 2
-
=
．
坐标系内关于直线对称
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形ABO沿直角边OA翻折，点B 落在点C 处，若点A 坐标
为(
)
3,2 ，则点C 坐标为（ ）
题型02
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A．(
)
5, 1
−
B．(
)
5, 2
−
C．(
)
6, 1
−
D．(
)
6, 2
−
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过A作AM
y
⊥
轴于M ，过C 作
CN
AM
⊥
交AM 于N ，交x 轴于D ，先由翻折得到ACO
是等腰直角三角形，再证明
(
)
AAS
MAO
NCA
≌
，
得到
1
CD
CN
DN
=
−
= ，
5
MN
OD
AM
AN
=
=
+
= ，即可求出点C 坐标．
【详解】解：如图，过A作AM
y
⊥
轴于M ，过C 作CN
AM
⊥
交AM 于N ，交x 轴于D ，
∴
90
MOD
NMO
N
=
=
=
，
∴OM
DN
=
，MN
OD
=
，
∵点A 坐标为(
)
3,2 ，
∴
2
OM
DN
=
=
，
3
AM = ，
∵将等腰直角三角形ABO沿直角边OA翻折，点B 落在点C 处，
∴ACO
是等腰直角三角形，
∴OA
OC
=
，
90
OAC
=
，
∴
90
MAO
ACN
NAC
=
=
−
，
∴
(
)
AAS
MAO
NCA
≌
，
∴
2
OM
AN
=
=
，
3
AM
CN
=
= ，
∴
3 2
1
CD
CN
DN
=
−
= −
= ，
3 2
5
MN
OD
AM
AN
=
=
+
= +
= ，
试卷第10 页，共74 页
∴点C 坐标为(
)
5, 1
−
，
故选：A．
二、填空题
2．在平面直角坐标系中，点(
)
5, 1
−
关于(
)
2,0 对称的点的坐标是______．
【答案】
(
)
1,1
−
【分析】此题主要考查了点的对称，正确把握对称的性质是解题关键．
点关于点对称时，对称中心是两点的中点，利用中点公式列方程求解．
【详解】解：设对称点的坐标为(
)
,x y ，则点(
)
2,0 是点(
)
5, 1
−
和点(
)
,x y 的中点．
根据中点公式，得：
对于x 坐标：5
2
2
x
+
=
，解得
-1
x =
；
对于y 坐标：1
0
2
y
−+
=
，解得
1
y = ．
故对称点的坐标为(
)
1,1
−
．
3．在平面直角坐标系中，已知
(
)
1,
A
a
−
，(
)
,3
B b
两点关于直线
2
x =
对称，则a
b
−
= ________．
【答案】2
−
【分析】根据关于
2
x =
成轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相加等于4，求解.
【详解】已知(
)
1,
A
a
−
，
(
)
,3
B b
两点关于直线
2
x =
对称，
1
2
2
3
b
a
−+
=
=
，
3
5
a
b
=
=
，
3 5
2
a
b
−
= −= −，
故答案为：-2.
【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.
4．若(
)
4,3
A
，B 是平面直角坐标系内的两个点，且它们关于直线
3
y
−
=
对称，则点B 的坐标是________．
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【答案】(
)
4, 9
−
【分析】根据关于直线
3
y
−
=
对称的点，横坐标相同，纵坐标之和等于6
−，求解．
【详解】解：(
)
4,3
A
，B 关于直线
3
y
−
=
对称，横坐标相同，纵坐标相加等于6
−
设
(
)
,
B m n ，则
4
3
3
2
m
n
=
+
= −
，
4
9
m
n
=
= −
，
故答案为：(
)
4, 9
−
．
【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．在平面直角坐标系中，若点
(
)
1,
1
A a
b
−
+
和点
(
)
3,
3
B
a
−
−
关于直线
1
y
−
=
对称，则a
b
+
=_________．
【答案】0
【分析】直接利用关于直线
1
y
−
=
对称点的坐标特点：横坐标不变，1
−是两个点的纵坐标的中点，得出,a b
的值，进而得出答案．
【详解】解：点
(
)
1,
1
A a
b
−
+
和点
(
)
3,
3
B
a
−
−
关于直线
1
y
−
=
对称
(
) (
)
1
3
1,
1
3
2
b
a
a
+
+
−
= −
−= −
2,
2.
a
b
= −
=
2
2
0.
a
b
+
= −+
=
故答案为：0．
坐标系内最值问题
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中有
(
)
1,3
A
，(
)
4,2
B
两点，P 为x 轴上一动点．连接
,
AP BP ，则AP
BP
+
的最
小值为（ ）
题型03
试卷第12 页，共74 页
A．10
B．4
C．
26
D．34
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x 轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握
以上知识点．
如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A，连接A B
交x 轴于点P，得到AP
BP
AP
BP
AB
+
=
+
，当点A，
P，B 三点共线时，AP
BP
+
有最小值，即A B
的长度，然后得到由对称得
(
)
1, 3
A
−
，然后利用勾股定理求解
即可．
【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A，连接A B
交x 轴于点P，
∴AP
A P
=
∴AP
BP
AP
BP
AB
+
=
+
∴当点A，P，B 三点共线时，AP
BP
+
有最小值，即A B
的长度
∵
(
)
1,3
A
，
∴由对称得，
(
)
1, 3
A
−
，
∵
(
)
4,2
B
∴
(
)
(
)
2
2
1 4
3
2
34
A B =
−
+ −−
=
∴AP
BP
+
的最小值为34 ．
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故选：D．
二、填空题
2．如图，C，D 是直线
1
x = 上的两动点，且
1
CD = ，已知
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,4
B
，则四边形ABCD的周长最小
值时，该四边形的面积为________．
【答案】7
2 /3.5
【分析】本题考查轴对称—最短路径问题、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．先将点
(
)
0,4
B
向下平移1 个单位长度得到点
(
)
0,3
E
，连接DE ，易得四边形BEDC 是平行四边形，
因此BC
DE
=
， 可得四边形ABCD的周长
17
1
ABCD
C
AB
BC
CD
AD
DE
AD
=
+
+
+
=
+
+ +
，作点(
)
1,0
A −
关
于直线
1
x = 的对称点
(
)
3,0
A
，连接A D
，易得当A、E 、D 三点共线时，AD
DE
+
取最小值，由
(
)
3,0
A
，
(
)
0,3
E
，求出直线A E
所在的解析式为
3
y
x
= −+
，即可求出点
(
)
1,2
D
，点
(
)
1,3
C
，求出此时该四边形的面
积即可．
【详解】解：将点
(
)
0,4
B
向下平移1 个单位长度得到点
(
)
0,3
E
，连接DE ，
C，D 是直线
1
x = 上的两动点，且
1
CD = ，
BE
CD
=
，BE
CD
∥
，
四边形BEDC 是平行四边形，
BC
DE
=
，
(
)
1,0
A −
，
(
)
0,4
B
，
4
OB =
，
1
OA = ，
2
2
4
1
17
AB =
+
=
，
试卷第14 页，共74 页
四边形ABCD的周长
17
1
ABCD
C
AB
BC
CD
AD
DE
AD
=
+
+
+
=
+
+ +
，
作点
(
)
1,0
A −
关于直线
1
x = 的对称点
(
)
3,0
A
，连接A D
，
AD
A D
=
，
AD
DE
AD
DE
+
=
+
当A、E 、D三点共线时，AD
DE
+
取最小值，如图所示，
(
)
3,0
A
，
(
)
0,3
E
，
设直线A E
所在的解析式为y
kx
b
=
+
，
把点
(
)
3,0
A
，
(
)
0,3
E
代入解析式，
得
0
3
3
k
b
b
=
+
=
，解得
1
3
k
b
−
=
=
，
直线A E
所在的解析式为
3
y
x
= −+
，
当
1
x = 时，点
(
)
1,2
D
，
1
CD = ，
点
(
)
1,3
C
，
1
1
1
7
2 4
1 4
2 2
1 1
2
2
2
2
ABCD
S
= −
−
−
=
．
三、解答题
3．ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1 个单位长度．
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(1)画出ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A B C
△
，并直接写出
1
1
1
A B C
△
各顶点的坐标；
1A ________；
1
B ________；
1
C
________；
(2)直接写出ABC
的面积是________；
(3)在y 轴上找一点P ，使PA PB
+
最小，最小值为多少？
【答案】(1)画图见解析；
(
)
1 2 4
A
，，
(
)
1 4 2
B
，，
(
)
1 31
C
，
(2) 2
(3)画图见解析；2 10
【分析】本题考查了关于 y 轴对称的图形变换、三角形面积计算及最短路径问题（利用轴对称求线段和的
最小值），解题关键是掌握轴对称的坐标规律、割补法求面积，以及利用轴对称转化线段和求最小值的方法．
（1）根据“关于y 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数”，确定三角形各顶点的对称点，连接得
1
1
1
A B C
△
并写坐标即可；
（2）用割补法（矩形面积减周围三角形面积）计算ABC
的面积即可；
（3）作点A关于y 轴的对称点
1A ，连接
1A B 交y 轴于P ，此时
1
PA
PB
AB
+
=
，计算的
1A B 长度即最小值．
【详解】（1）解：如图所示，
1
1
1
A B C
△
即为所求
试卷第16 页，共74 页
(
)
1 2 4
A
，，
(
)
1 4 2
B
，，
(
)
1 31
C
，，
故答案为：(
)
2 4
，，(
)
4 2
，，(
)
31，．
（2）解：
1
1
1
1
3
S
2 3
1 1
2 2
1 3
6
2
2
2
2
2
2
2
ABC = −
−
−
=
−
−−
=
△
，
故答案为：2 ．
（3）解：如图所示，点P 即为所求
由图可知
1
1
PA
PB
PA
PB
A B
+
=
+
=
，
由勾股定理得
2
2
1
2
6
40
2 10
A B =
+
=
=
，
最小值为2 10 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC
的顶点坐标分别是(
)
1,1
A
，
(
)
(
)
4,2 ,
3,4
B
C
．
试卷第17 页，共74 页
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(1)画出ABC
关于x 轴对称的
A B C
△
，其中点A的对应点是点A，点B 的对应点是点B；
(2)请分别写出点A
B
C
，，
的坐标，并求出
A B C
△
的面积；
(3)在x 轴上找一点P ，使得PA PB
+
的值最小，点P 的坐标为___________．
【答案】(1)见解析
(2)
(
)
1, 1
A
−
，
(
)
(
)
4, 2 ,
3, 4
B
C
−
−
；
A B C
△
的面积为3.5；
(3)(2,0)
【分析】本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、坐标与图形变化，熟练掌握轴对称的性质是解题
的关键；
（1）根据轴对称的定义画出图形，即可求解；
（2）根据图形写出点的坐标，
A B C
△
的面积等于长方形的面积减去周围3 个三角形的面积，即可求解；
（3）根据题意，利用轴对称的性质，找到点B 关于x 轴的对称点B，连接AB，即可解答．
【详解】（1）解：如图，
A B C
△
为所作的图形；
（2）解：由图，可得
(
)
1, 1
A
−
，
(
)
(
)
4, 2 ,
3, 4
B
C
−
−
．
试卷第18 页，共74 页
1
1
1
3 3
1 3
1 2
2 3
9 1.5 1 3
3.5
2
2
2
A B C
S
= −
−
−
=
−
−−=
．
（3）解：连接AB，与x 轴的交点即为点P，由图可得，点P 的坐标为(2,0) ．理由如下：
∵点B 与点B关于x 轴对称，
∴PB
PB
=
，
∴AP
BP
AP
PB
AB
+
=
+
=
，
根据“两点之间，线段最短”，可得此时PA PB
+
的值最小．
故答案为：(2,0)．
图形坐标的变化
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，ABC
的顶点坐标分别为
(0,2)
A
，(8,2)
B
，
(
)
6,8
C
，若ABD
ABC
≌
，且
点D在第四象限，则点D的坐标是（ ）
A．(6, 4)
−
B．(6, 6)
−
C．(6, 8)
−
D．(6,
)
10
−
【答案】A
【分析】根据题意，易得点D 和点C 关于直线AB 对称，即可得出结果.
【详解】解：∵ABC
的顶点坐标分别为
(0,2)
A
，
(8,2)
B
，
(
)
6,8
C
，
∴
//
AB x轴，
题型04
试卷第19 页，共74 页
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∵ABD
ABC
≌
，且点D 在第四象限，
∴点D和点C 关于直线AB 对称，
∴
(
)
6, 4
D
−
.
2．如图，AOB
和
A OB
△
关于x 轴对称．若AOB
内点P 的坐标是(
)
2,2 ，则点P 在
A OB
△
中的对应点Q
的坐标是（ ）
A．(
)
2,2
B．(
)
2,2
−
C．(
)
2, 2
−
−
D．(
)
2, 2
−
【答案】D
【分析】关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】解：∵AOB
和
A OB
△
关于x 轴对称，
点P 与点Q 关于x 轴对称．
又点P 的坐标是(
)
2,2 ，
点Q 的坐标是(
)
2, 2
−
．
3．在平面直角坐标系中，以
(
)
1,2
A −
，(
)
3, 1
B −
−
为端点的线段关于y 轴的对称图形为线段A B
，则点A 的
对应点A的坐标是（ ）
A．(
)
1 2,
B．(
)
1, 2
−−
C．(
)
2, 1
−
D．(
)
2,1
−
【答案】A
【分析】直接利用规律即可求出对称点A的坐标．
【详解】解：∵ 平面直角坐标系中，关于y 轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数．
而点A的坐标为(
)
1,2
−
，
试卷第20 页，共74 页
∴ 点A的纵坐标为2 ，横坐标为(
)1
1
−−
= ，
即A的坐标为(
)
1 2, ．
二、填空题
4．如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x 轴，镜面侧面为y 轴（镜面厚
度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰S点的坐标是(
)
1,2
m +
，此时对应的虚像S的坐标是
(
)
4,
4
n −
，则m
n
+
的值为______．
【答案】1
【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出m 、n 的值，再求代数式m
n
+
的值即可．
【详解】解：物体与像关于平面镜对称，
可得：
1
4
0
4
2
m
n
+ +
=
−
=
，
解得：
5
6
m
n
= −
=
，
5 6
1
m
n
+
= −+
= ．
5．如图，在平面直角坐标系中，ABC
与
A B C
△
关于x 轴对称，其中点A，B，C 的对应点分别为点A，
B，C，若点
(3,2)
P
在ABC
的边上，则点P 在
A B C
△
上的对应点P的坐标是________．
【答案】(3, 2)
−
【分析】根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
试卷第21 页，共74 页
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【详解】解：∵ABC
与
A B C
△
关于x 轴对称，
点
(
)
3,2
P
在ABC
的边上，
∴点P 在
A B C
△
上的对应点P的坐标是(
)
3, 2
−
．
6．若点A的横坐标不变，纵坐标乘以1
−后得点C ，则在平面直角坐标系xOy 中，点C 与点A关于______
轴对称．
【答案】x
【分析】根据坐标变换得到点A与点C 的坐标特征，结合对称点的坐标特征判断对称轴即可．
【详解】解：设点A的坐标为(
)
,x y
由题意得，变换后点C 的坐标为(
)
,x
y
−
根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于x 轴对称．
可得点C 与点A关于x 轴对称．
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC
的顶点C 的坐标为(
)
2,2
−
，
1
1
1
A B C
△
与ABC
关于直线m （直线
m 上各点的横坐标都为1）成轴对称，则点
1
C 的坐标为______．
【答案】(
)
4,2
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-对称，能根据题意画出图形是解题的关键．
根据题意，画出
1
1
1
A B C
△
的位置，据此可解决问题．
【详解】解：如图所示，
试卷第22 页，共74 页
所以点
1
C 的坐标为(
)
4,2 ，
故答案为：(
)
4,2 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(
)
5,4 ，ABC
是关于直线
1
y = 的轴对称图形，则点B 的
坐标为______．
【答案】(
)
5, 2
−
【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴
对称的性质可知，点A和点B 到
1
y = 的距离相等，是3 个单位长度，且AB
x
⊥
轴，据此即可获得答案．
【详解】解：根据题意，点A和点B 是关于直线
1
y = 对称的对应点，
它们到
1
y = 的距离相等，是3 个单位长度，且AB
x
⊥
轴，
点A的坐标为(
)
5,4 ，
点B 的坐标是(5, 2)
−
．
故答案为：(5, 2)
−
．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(
)
2,1
−
，点B 的坐标为(
)
2,4
−
，点C 与点A 关于y 轴对称．
试卷第23 页，共74 页
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(1)点C 的坐标是______；
(2)点D 在第四象限内，且ACD
与ABC
全等，在图中画出点D 并直接写出点D 的坐标是______；
(3)在y 轴上存在一点E，使得
2
ACE
ABC
S
S
=
△
△
，那么点E 的坐标是______．
【答案】(1)(
)
2,1
(2)图见解析，(
)
2, 2
−
(3)(
)
0,7 或(
)
0, 5
−
【分析】（1）根据关于y 轴对称的点的坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解；
（2）按要求画出点D，再由图写出点D 的坐标；
（3）根据题意，可知点E 到AC 的距离等于2AB，在y 轴上到AC 的距离等于2AB 的点有两个，先画出点
E，再由图写出点E 的坐标．
【详解】（1）解：∵点C 与点A 关于y 轴对称，点A 的坐标为(
)
2,1
−
，
∴点C 的坐标是(
)
2,1 ；
（2）解：点D 如图所示，
∵AB
CD
=
，
90
BAC
DCA
=
=
，AC
CA
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
CDA
≌
；
由图可得，点D 的坐标是(
)
2, 2
−
；
（3）解：∵在y 轴上存在一点E，使得
2
ACE
ABC
S
S
=
△
△
，
∴点E 到AC 的距离等于2
6
AB =
，
试卷第24 页，共74 页
如图，在y 轴上到AC 的距离等于2AB 的点有两个，点E 的坐标是(
)
0,1
6
+
或(
)
0,1
6
−
，即(
)
0,7 或(
)
0, 5
−
．
10．如图，每个小方格都是边长为1 的正方形，四边形ABCD四个顶点都在格点上，已知点C 的坐标是(
)
1,1
−
，
点D的坐标是(
)
3,5
−
；
(1)建立适当的平面直角坐标系，并写出点
,
A B 的坐标；
(2)若四边形ABCD各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘－1，请在同一坐标系中描出对应的点
1
1
1
1
A
B
C
D
、、、
，
并依次连接这四个点，则所得四边形
1
1
1
1
A BC D 与四边形ABCD有怎样的位置关系？
(3)计算四边形
1
1
1
1
A BC D 的面积．
【答案】(1)坐标系见解析；(
) (
)
6,4 ,
7 1
−
−，；
(2)图见解析，四边形
1
1
1
1
A BC D 与四边形ABCD关于y 轴对称．
(3)16
【分析】本题主要考查建立直角坐标系，轴对称图形的判断，利用网格求四边形的面积等知识．
（1）按照点C 的坐标和点D 的坐标建立直角坐标系，然后再写出点A，B 的坐标即可．
（2）根据四边形ABCD各顶点的横坐标不变，横坐标都乘1
−，描出对应的点
1A ，
1
B ，
1
C ，
1
D ，进而可判
试卷第25 页，共74 页
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断四边形
1
1
1
1
A BC D 与四边形ABCD的位置关系．
（3）把四边形ABCD分成两个三角形面积和一个梯形的面积求解即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示，
点
,
A B 的坐标为(
) (
)
6,4 ,
7 1
−
−，；
（2）解：由题意可知：
(
)
(
)
1
1
6,4 ,
7,1
A
B
，
(
)
1 1,1
C
，
(
)
1 3,5
D
，四边形
1
1
1
1
A BC D 如图所示，
四边形
1
1
1
1
A BC D 与四边形ABCD关于y 轴对称．
（3）解：
(
)
1 1 1
1
1
1
1
2 4
4
3
3
1 3
16
2
2
2
A B C D
S
=
+
+
+
=
11．如图，ABC
在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为
(
)
2,1
A −
，(
)
4,5
B −
，
(
)
5,2
C −
．
(1)作ABC
关于直线
1
l
x = −
：
对称的
1
1
1
A B C
△
，点A，B，C 的对应点分别为
1A ，
1
B ，
1
C ；
(2)直接写出点
1A ，
1
B ，
1
C 的坐标及
1
1
1
A B C
△
的面积．
【答案】(1)
解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求作的三角形；
试卷第26 页，共74 页
(2)
(
)
1 0,1
A
，
(
)
1 2,5
B
，
(
)
1 3,2
C
；5
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，求三角形的面积，作出对应点的位置，是解题的关键．
（1）先作出点A、B、C 关于直线
1
x = −的对称点
1A ，
1
B ，
1
C ，然后顺次连接即可；
（2）根据作出的图形写出点
1A ，
1
B ，
1
C 的坐标，利用割补法求出
1
1
1
A B C
△
的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：根据图形可得：
(
)
1 0,1
A
，
(
)
1 2,5
B
，
(
)
1 3,2
C
；
1 1 1
1
1
1
3 4
1 3
1 3
2 4
5
2
2
2
A B C
S
= −
−
−
=
．
折叠问题求坐标
一、填空题
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt
ABO
△
的直角边OA，OB 分别在x轴和y轴上，其中
(
)
(
)
(
)
12,0 ,
0,5 ,
0,0
A
B
O
，
E 是OA上一点，将ABE
以BE为轴翻折，点A 刚好落在y 轴的点D 处，则点E 的坐标是______．
【答案】10 ,0
3
【分析】先在Rt
ABO
△
中，由勾股定理得
2
2
12
5
13
AB =
+
=
，根据翻折性质，
13
BD
AB
=
=
，DE
AE
=
，
算出
8
OD = ．设
,0
E x
，在Rt ODE
中，由
2
2
2
OE
OD
DE
+
=
列方程，解得
10
3
x =
，得到点E 坐标．
【详解】解：在Rt
ABO
△
中，
12
OA=
，
5
OB =
，
题型05
试卷第27 页，共74 页
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∴
2
2
2
2
12
5
13
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
，
由翻折性质得：
13
BD
AB
=
=
，DE
AE
=
．
(
)
0,5
B
，D 在y 轴上，
13 5
8
OD
BD
OB
=
−
=
−= ，即
(
)
0, 8
D
−
．
设
,0
E x
，则OE
x
=
，
12
AE
x
=
−，
∴
12
DE
x
=
−
．
在Rt ODE
中，
2
2
2
OE
OD
DE
+
=
即
(
)
2
2
28
12
x
x
+
=
−
解得
10
3
x =
，
∴点E 的坐标为10 ,0
3
．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A的坐标为(
)
0, 2 ,E 是线段BC 上一点，且
67.5
AEB
=
，
沿AE 折叠后B 点落在点F 处，那么点F 的坐标为___________．
【答案】(
)
1, 2
1
−
−
/(
)
1, 1
2
−−+
【分析】此题考查了勾股定理、坐标与图形、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性
质是解题的关键．作FD
OC
⊥
于点D，FG
OA
⊥
于点G，根据折叠的性质得到
90
22.5
BAE
FAE
AEB
=
=
−
=
，
2
AF
AB
=
=
，则
2
1
2
AG
GF
AF
=
=
= ，则
2 1
OG
OA
AG
=
−
=
−，
即可得到点F 的坐标．
【详解】解：如图，作FD
OC
⊥
于点D，FG
OA
⊥
于点G，
试卷第28 页，共74 页
正方形OABC的点A的坐标为(
)
0, 2 ，
2
OA
AB
=
=
，
正方形OABC中，
67.5
AEB
=
，沿AE 折叠后B 点落在点F 处，
90
22.5
BAE
FAE
AEB
=
=
−
=
，
2
AF
AB
=
=
，
90
45
FAG
BAE
FAE
=
−
−
=
，
2
2
2
1
2
2
AG
GF
AF
=
=
=
= ，
2 1
OG
OA
AG
=
−
=
−，
1
OD = ，
点F 的坐标为(
)
1, 2
1
−
−
，
故答案为：(
)
1, 2
1
−
−
．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x 轴上，且(
)
8,10
B −
，点D 在边BC 上．将ABD
沿
AD折叠，点B 落在OC 边上的点E 处，则CD的长为____．
【答案】3
【分析】本题考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据矩形
顶点坐标及勾股定理求出OE 长，进而得到CE 长，设CD
x
=
，则
8
BD
DE
x
=
= −，利用勾股定理得
(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，解方程后即可得出答案．
【详解】解：矩形OABC的边OA在x 轴上，且
(
)
8,10
B −
，
10
AB
OC
=
=
，
8
OA
BC
=
= ，
由折叠性质得，
10
AE
AB
=
=
，
试卷第29 页，共74 页
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在Rt
AOE
△
中，
2
2
2
2
10
8
6
OE
AE
AO
=
−
=
−
=
，
10 6
4
CE
OC
OE
=
−
=
−=
，
设CD
x
=
，则
8
BD
DE
x
=
= −，
2
2
2
DE
CD
CE
=
+
，即(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，
解得：
3
x = ，
3
CD =
，
故答案为：3．
4．如图，在长方形OABC中，OA在x 轴上，OC 在y 轴上，且
2
OA =
，
4
AB =
，把ABC
沿着AC 对折得
到AB C
，AB交y 轴于点D ，则点D 的坐标为_________．
【答案】
3
0, 2
【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠
的性质可得：
2
B C
OA
=
=
，
90
B
B
=
=
，
4
OD
CD
OC
+
=
=
，证明
(
)
AAS
AOD
CB D
≌
，得出
4
AD OD
+
=
，再由勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠可得：BC
B C
=
，
90
B
B
=
=
，
2
OA =
，
4
AB =
，四边形OABC是长方形，
2
B C
OA
=
=
，
4
OD
CD
OC
AB
+
=
=
=
，
在AOD
和
CB D
△
中，
B
AOD
ADO
CDB
AO
B C
=
=
=
，
(
)
AAS
AOD
CB D
≌
，
AD
CD
=
，
4
AD
OD
+
=
，
2
2
2
AD
AO
OD
=
+
，
(
)
2
2
2
4
2
OD
OD
−
=
+
，
试卷第30 页，共74 页
解得：
3
2
OD =
，
点D的坐标为
3
0, 2
，
故答案为：
3
0, 2
．
坐标系内动点问题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知
(
)
3, 2
M
−
，(
)
1,4
N −
，经过点M 的直线l
x
∥
轴，点P 是直线l 上的一个动点，
当线段NP 的长度最短时，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
3,4
B．(
)
1, 2
−−
C．(
)
3, 2
−
D．(
)
1,4
−
【答案】B
【分析】直线l
x
∥
轴且过
(
)
3, 2
M
−
，可得直线l 上点的纵坐标均为2
−；根据垂线段最短，NP 最短时NP
l
⊥，
结合l
x
∥
轴推出NP
y
轴，可得点P 横坐标与N 横坐标相同，即可求解．
【详解】解：∵直线l
x
∥
轴，且过点
(
)
3, 2
M
−
，
∴直线l 上所有点的纵坐标均为2
−，设点
(
)
, 2
P x −
，
∵当线段NP 长度最短时，NP
l
⊥，
又l
x
∥
轴，
∴NP
y
轴，
∴点P 与点N 横坐标相同，
∵
(
)
1,4
N −
，
∴
1
x = −，
∴点P 坐标为(
)
1, 2
−−
．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，
6
OA =
，
4
OC =
，点Q 在线段OA
上运动，当
OCQ
△
与BAQ
全等时，点Q 的坐标为（ ）
题型06
试卷第31 页，共74 页
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A．(
)
2,0
B．(
)
4,0
C．(
)
2,0 或(
)
4,0
D．(
)
3,0
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
分两种情况根据全等三角形的性质作答即可．
【详解】解：∵四边形OABC是长方形，
6
OA =
，
4
OC =
，
∴
6
OA
CB
=
=
，
4
OC
AB
=
=
，
当
OCQ
△
与BAQ
全等时，OCQ
AQB
≌
或OCQ
ABQ
≌
，
当OCQ
AQB
≌
时，
4
OQ
AB
=
=
，但此时
2
AQ
OC
=
；
当OCQ
ABQ
≌
时，
1
3
2
OQ
AQ
OA
=
=
=
，即点Q 的坐标为(
)
3,0 ；
故选：D．
3．如图，已知点
(
)
(
)
1,0
0,2
A
B
，
，动点P 在x 轴上，且PAB
的面积为5，则P 的坐标为（ ）
A．(
)
4,0
−
B．(
)
6,0
C．(
)
4,0
−
或(
)
6,0
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得
5
AP =
，再将动点P 分成在
(
)
1,0
A
左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解．
【详解】解：∵
(
)
0,2
B
，PAB
的面积为5，
∴1
5
2 AP OB
= ，即1
2
5
2
AP
=
，
试卷第32 页，共74 页
解得：
5
AP =
，
当点P 在
(
)
1,0
A
左侧时，
1 5
4
P
x = −
= −，
当点P 在
(
)
1,0
A
右侧时，
1 5
6
P
x = +
=
，
∵动点P 在x 轴上，
∴
0
P
y =
，
综上可得点P 坐标为(
)
4,0
−
或(
)
6,0 ，
故选：C．
4．已知点
(
)
(
)
3,7 ,
3,2
A
B
，点P 为直线AB 上一点，且
4
PA
PB
=
，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
3,1
B．(
)
3,3
C．(
)
3,3 或
1
3, 3
D．(
)
3,1 或(
)
3,3
【答案】C
【分析】设
(
)
3,
P
y ，则点P 一定在点A 的下方，故
7
PA
y
=
−
，
2
PB
y
=
−
，根据题意
4
PA
PB
=
，建立绝
对值方程并求解，得到两个符合条件的解．
本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设
(
)
3,
P
y ，则点P 一定在点A 的下方，故
7
PA
y
=
−
，
2
PB
y
=
−
，根据题意
4
PA
PB
=
，
得
(
)
7
4 2
y
y
−
=
−
或
(
)
7
4
2
y
y
−
=
−
，
解得
1
3
y =
或
3
y =
，
故点P 的坐标为(
)
3,3 或
1
3, 3
，
故选：C．
二、填空题
5．在平面直角坐标系中，有点
(
)
4,6
A
，点(
)
0,3
B
，若在坐标轴上有一点C（不与点B 重合），使三角形AOC
和三角形AOB面积相等，则点C 的坐标为______________．
【答案】(
)
2,0 或(
)
2,0
−
或(
)
0, 3
−
【分析】先计算出AOB
的面积，再分点C 在x 轴和点C 在y 轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等
求出OC 的长度，结合点C 不与B 重合的条件，即可得到点C 的坐标．
试卷第33 页，共74 页
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【详解】解：由题意得
(
)
4,6
A
，
(0,3)
B
，
计算可得
1
1
3 4
6
2
2
AOB
A
S
OB
x
=
=
=
．
当点C 在x 轴上时，
AOC
AOB
S
S
=
，
1
1
6
6
2
2
A
OC
y
OC
=
=
，
解得
2
OC =
，
点C 的坐标为(
)
2,0 或(
)
2,0
−
；
当点C 在y 轴上时，
AOC
AOB
S
S
=
，
1
1
4
6
2
2
A
OC
x
OC
=
=
，
解得
3
OC = ，
又点C 不与点B 重合，
点C 的坐标为(
)
0, 3
−
；
综上所述，点C 的坐标为(
)
2,0 或(
)
2,0
−
或(
)
0, 3
−
．
6．如图，将ACB
放置在平面直角坐标系中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，点C 的坐标为(
)
2,0
−
，点A的坐标
为(
)
6,3
−
，则点B 的坐标是________．
【答案】(1,4)或( 5, 4)
−
−
【分析】本题考查了平面直角坐标系中等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是
通过构造直角三角形，利用“一线三垂直”模型证明三角形全等，进而根据对应边相等求点的坐标．
过点A
B
、分别作x 轴的垂线，垂足为D、E，构造Rt ACD
和Rt
CBE
△
；利用
90
ACB
=
推导出
ACD
CBE
=
，结合AC
BC
=
证明Rt
Rt
ACD
CBE
≌
；根据全等三角形对应边相等，得到
试卷第34 页，共74 页
AD
CE
CD
BE
=
=
、
，结合点A C
、
的坐标计算点B 的坐标（分两种情况）．
【详解】解：过点A 作AD
x
⊥
轴于D，过点B 作BE
x
⊥
轴于E，
则
90
ADC
CEB
=
=
∵
90
ACB
=
，
∴
90
ACD
BCE
+
=
．
又∵
90
ACD
CAD
+
=
，
∴
CAD
BCE
=
（同角的余角相等）．
在ACD
和△CBE 中，
90
,
,
ADC
CEB
CAD
BCE
AC
BC
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ACD
CBE
≌
．
∴
,
AD
CE CD
BE
=
=
（全等三角形对应边相等）
已知点
(
)
2,0 ,
C −
点
(
)
6,3 ,
A −
则
(
)
2
6
4,
3
0
3
CD
AD
= −−−
=
=
−
= ．
∴
3,
4
CE
AD
BE
CD
=
=
=
=
．
分两种情况：
①当点E 在点C 右侧时，
点E 的横坐标为2
3
1
−+ = ，点B 的纵坐标为0
4
4
+
=
，即
(
)
1,4 ;
B
②当点E 在点C 左侧时，
点E 的横坐标为2 3
5
−−= −，点B 的纵坐标为0
4
4
−
= −，即(
)
5, 4
B −
−
．
故答案为：(
)
1,4 或(
)
5, 4
−
−
．
试卷第35 页，共74 页
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三、解答题
7．如图，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(
)
4,0 ，点C 的坐标为(
)
0,6 ，过点A 作x 轴的垂线，
过点C 作y 轴的垂线，两垂线交于点B，点P 从原点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着O C
B
A O
−
−
−
−
的路线移动．
(1)点B 的坐标为_______；
(2)当点P 移动了4 秒时，求点P 的坐标；
(3)在移动过程中，当点P 到x 轴距离为5 个单位长度时，求点P 移动的时间．
【答案】(1)(
)
4,6
(2)(
)
2,6
(3)2.5 秒或5.5 秒
【分析】（1）根据点的坐标的定义即可得出；
（2）先求出点P 移动了4 秒时的路程，再结合坐标即可推断点P 此时的位置并求出其坐标；
（3）根据点到x 轴的距离等于纵坐标的长度求出OP ，再根据时间=路程÷速度列式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵点A 的坐标为(
)
4,0 ，
∴点B 的横坐标为4，
又∵点C 的坐标为(
)
0,6 ，
∴点B 的纵坐标为6，
∴点B 的坐标为(
)
4,6 ．
（2）解：由题意知，
6
OC =
，
4
CB =
，
当点P 移动了4 秒时，点P 共移动了4 2
8
= 个单位，
∴4 2
6
2
−
=
，
∴此时点P 在线段BC 的中点处，点P 的坐标为(
)
2,6 ．
（3）解：点P 到x 轴距离为5 个单位长度时，点P 的纵坐标为5，
试卷第36 页，共74 页
当点P 在OC 上时，则
5
OP =
，
∴
5
2
2.5
t =
=
（秒）；
当点P 在AB 上时，则
(
)
6
4
6
5
11
OP
OC
BC
BP
=
+
+
=
+
+
−
=
，
∴
11 2
5.5
t =
=
（秒），
综上所述，点P 移动的时间为2.5 秒或5.5 秒．
8．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B 的坐标分别为
4
AB =
，
6
BC =
，D 是BC 的中
点，动点P 从O 点出发，以每秒1 个单位长度的速度，沿着O
A
B
D
→
→
→
运动，设点P 运动的时间为t
秒．
(1)点B 坐标是 ，点D 的坐标是 ；
(2)当点P 在AB 上(包含端点)运动时，求点P 的坐标是 ，t 的取值范围为 ．
(3)当POD
的面积为9 时，求出点P 的坐标；
【答案】(1)(
)
6,4 ；(
)
3,4
(2)(
)
6,
6
t −
；6
10
t
(3)(
)
4.5,0 或(
)
6,2
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形，一元一次方程的几何应用，解答的关键是分类讨论；
（1）利用长方形的性质以及坐标与图形性质求出B 、C 两点坐标，再利用中点坐标公式即可求得点D 坐标；
（2）点P 在线段AB 上，求出PA的长，进而即可求解；
（3）分三种情形分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：四边形OABC是长方形，
4
AB =
，
6
BC =
，
∴
6
OA
BC
=
= ，
4
OC
AB
=
=
，AB
OC
∥
，BC
OA
∥
，
∴
(
)
6,0
A
，
(
)
6,4
B
，
(
)
0,4
C
，
D
是BC 的中点，
∴
1
3
2
CD
BD
C
=
=
= ，
试卷第37 页，共74 页
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(
)
3,4
D
．
故答案为：(
)
6,4 ；(
)
3,4 ；
（2）解：当P 在AB 上运动时，
6
AP
t
= −
,
∴
(
)
6,
6
P
t −
，6
10
t
，
故答案为：(
)
6,
6
t −
，6
10
t
；
（3）解：分三种情况：
①当0
6
t
时，点P 在OA上运动，坐标为(
)
,0
t
，如图，
由题意得：1
4
9
2
t
=
，
解得：
4.5
t =
，
点P 的坐标为(
)
4.5,0 ；
②当6
10
t
时，点P 在AB 上运动，坐标为(
)
6,
6
t −
，如图，
由题意得：
9
POD
OPA
PBD
CDO
OCBA
S
S
S
S
S
=
−
−
−
=
矩形
，
(
)
(
)
1
1
1
4 6
6
6
3
4
6
4 3
9
2
2
2
t
t
−
−
−
−
−
−
=
，
解得：
8
t =
，
点P 的坐标为(
)
6,2 ；
③当10
13
t
时，点P 在BD上运动，坐标为(
)
16
,4
P
t
−
，
13
PD
t
=
−，如图，
试卷第38 页，共74 页
9
(1
4
)
1
3
2
POD
S
t
=
−
=
，
解得：
8.5(
t =
不合题意，舍去) ，
∵
1
3 4
6
2
OCD
S
=
=
△
，
∴点P 不可能在CD上，
综上所述，当
(
)
4.5,0
P
或(
)
6,2 时，POD
的面积为9．
9．在平面直角坐标系中，
(
)
(
)
2,0 ,
0,6
A
B
−
．
(1)线段OA = ，OB = ；
(2)若点P 从点B 出发沿着y 轴运动（点P 不与点O、B 点重合） 速度为每秒2 个单位长度，连接AB
AP
、
，
当运动的时间t 为几秒时，
1
2
ABP
AOP
S
S
=
? 并求出此时点P 的坐标．
【答案】(1)2，6
(2)t 为1 秒或3 秒；点P 的坐标为(
)
0,4 或(
)
0,12
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，两点之间的距离，根据三角形的面积求点的坐标等知识点，解
题的关键是掌握分类讨论的数学思想．
（1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可；
（2）根据面积比确定底边的比，得出
2
OP
PB
=
，分情况进行讨论即可求出答案．
【详解】（1）解：∵
(
)
(
)
2,0 ,
0,6
A
B
−
，
∴
2,
6
OA
OB
=
=
,
故答案为：2，6；
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（2）解：根据
1
2
ABP
AOP
S
S
=
得，两个三角形同高，面积比等于底边的比，
∴
2
OP
PB
=
,
∵
(
)
0,6
B
，
∴当点P 位于y 轴正半轴时，
(
)
0,4
P
或
(
)
0,12
P
，
此时，
2
PB =
或
6
PB =
，
∴
2 2
1
t =
= 或
6 2
3
t =
=
；
当点P 位于y 轴负半轴时，不符合题意；
∴t 的值为1 或3，点P 坐标为(
)
0,4 或(
)
0,12 ．
坐标系内确定等腰三角形
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2,5
P
，点Q 在y 轴上，
PQO
△
是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有
（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等
腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q 在y 轴上，
PQO
△
是等腰三角形，分3 种
情况讨论，利用勾股定理表示出OQ 和PQ 的长，再列方程求出所有满足条件的点Q 坐标即可解答．
【详解】解：
PQO
是等腰三角形，点Q 在y 轴上，
分3 种情况讨论：
①若PQ
OP
=
，则
(
)
0,10
Q
；
②若OQ
OP
=
，
(
)
2,5
P
，
2
2
2
5
29
OQ
OP
=
=
+
=
，
则(
)
0, 29
Q
或(
)
0,
29
Q
−
，
③若OQ
PQ
=
，设
(
)
0,
Q
m ，则
(
)
2
2
2
2
5
PQ
m
=
+
−
，
2
2
OQ
m
=
，
题型07
试卷第40 页，共74 页
(
)
2
2
2
2
5
m
m
+
−
=
，
解得：
29
10
m =
，
则
29
0, 10
Q
；
综上所述，满足条件的点Q 有(
)
0,10 ，(
)
0, 29 ，(
)
0,
29
−
和
29
0, 10
，共4 个．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），使△OAB 是等腰三角形，此时，点B 的坐标不可能是（ ）
A．（0，4）
B．（2，4）
C．（4，4）
D．（4，2）
【答案】D
【分析】利用描点法，描出各个点即可判断．
【详解】观察图象可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
二、填空题
3．在平面直角坐标系中，点
(
)
0,3
A
、(
)
4,0
B
，点P 在x 轴正半轴上，若ABP
是等腰三角形，则点P 坐标
是_______________________．
【答案】(
)
9,0 或7 ,0
8
【分析】当PA
PB
=
时，作AB 的垂直平分线，与x 轴正半轴交于点P ，在Rt
AOP
△
中，应用勾股定理，即
试卷第41 页，共74 页
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可求解，
当BA
BP
=
时，以点B 为圆心，AB 长为半径作圆，与x 轴正半轴交于点P ，由PA
PB
=
，即可求解，
本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】解：
(
)
0,3
A
，
(
)
4,0
B
，
3
OA
= ，
4
OB =
，
当PA
PB
=
时，过AB 中点C 作PC
AB
⊥
，交x 轴于点P ，
PC
AB
⊥
，点C 是AB 中点，
PA
PB
=
，
设OP
x
=
，
4
PA
PB
x
=
=
−
，
在Rt
AOP
△
中，
2
2
2
OA
OP
PA
+
=
，即：
(
)
2
2
2
3
4
x
x
+
=
−
，解得：
7
8
x =
，
7 ,0
8
P
，
当BA
BP
=
时，在点B 右侧，截取BP，使BP
BA
=
，
在Rt AOB
中，
2
2
2
2
3
4
5
AB
AO
BO
=
+
=
+
=
，
5
BP
BA
=
=
，
4 5
9
OP
OB
BP
=
+
=
+ = ，
(
)
9,0
P
，
当AB
AP
=
时，不存在，
故答案为：(
)
9,0 或7 ,0
8
．
4．如图，点A的坐标是(2 2)
，，若点P 在x 轴上，且
APO
△
是等腰三角形，则点P 的坐标是______．
试卷第42 页，共74 页
【答案】(2，0) 或(4，0)或（2 2 ，0）或(-2 2 ，0)
【分析】（1）当点P 在x 轴正半轴上，①以OA 为腰时，②以OA 为底边时，（2）当点P 在x 轴负半轴上，
③以OA 为腰时，分别画出图形，结合图形，根据勾股定理与等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】(1)当点P 在x 轴正半轴上，
①以OA 为腰时，
∵A 的坐标是(2，2)，
∴∠AOP=45°，OA=2 2 ，
∴P 的坐标是(4，0)或(2 2 ，0)；
②以OA 为底边时，
∵点A 的坐标是(2，2)，
∴当点P 的坐标为：(2，0)时，OP=AP；
(2)当点P 在x 轴负半轴上，
③以OA 为腰时，
∵A 的坐标是(2，2)，
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∴OA=2 2 ，
∴OA=AP=2 2 ，
∴P 的坐标是(−2 2 ，0)．
故答案为(2，0)或(4，0)或(2
2 ，0)或(−2 2 ，0)．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
5．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标是(2，0)，点B 的坐标是(0，3)，以AB 为边作等腰三角形，则在坐
标轴上的另一个顶点有_________个．
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质作图即可；
【详解】解：如图，
试卷第44 页，共74 页
以AB 为腰的三角形有6 个，
分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6；
以AB 为底的三角形有两个，
分别是△ABP7，△ABP8．
因此，以点A、B、P 为顶点的等腰三角形共有8 个．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键．
三、解答题
6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，在长方形OABC中，点
(10,0),
(0,4)
A
C
，D 为OA的中点，
P 为BC 边上一点．若POD
为等腰三角形，求所有满足条件的点P 的坐标．
【答案】点P 的坐标为(2.5,4) 或(3,4) 或(2,4)或(8,4)
【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，关键是要分情况讨论．
根据等腰三角形的定义，利用勾股定理分情况讨论即可．
【详解】解：∵长方形OABC，
(10,0),
(0,4)
A
C
，
∴
90 ,
4,
10
COA
OC
OA
=
=
=
，
∵D 为OA的中点，
∴
1
5
2
OD
OA
=
=
．
（1）当PO
PD
=
时，点P 在OD 的垂直平分线上，点P 的横坐标是1
2.5
2 OD =
，点P 坐标是(2.5,4) ；
（2）当PO
OD
=
时，
2
2
2
2
5
4
3
PC
OP
OC
=
−
=
−
=
，
∴点P 的坐标是(3,4) ；
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（3）当PD
OD
=
时，
①点P 在点D 左侧，作PE
OD
⊥
于E，
2
2
2
2
5
4
3
DE
PD
PE
=
−
=
−
=
，
∴
5 3
2
OE
OD
DE
=
−
= −=
，
∴点P 的坐标是(2,4)；
②点P 在点D 右侧，作PF
DA
⊥
于F，
2
2
2
2
5
4
3
DF
PD
PF
=
−
=
−
=
，
∴
5 3
8
OF
OD
DF
=
+
= + =
，
∴点P 的坐标是(8,4) ．
7．（1）在平面直角坐标系中描出下列3 个点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2, 1
B
−
，
(
)
3,3
C
（2）在ABC
中，BC 边上的高为___________．
（3）在x 轴上找一点P ，使ABP
是以AB 为腰的等腰三角形，则P 的坐标为___________．
【答案】（1）见解析；（2）13 17
17
；（3）(
)
1
10,0
−−
或(
)
1
10,0
−+
或(
)
5,0
【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识
点是解题的关键．
（1）在平面直角坐标系中描点即可；
试卷第46 页，共74 页
（2）利用割补法求出ABC
的面积，利用勾股定理求出BC ，再利用三角形面积公式即可求出BC 边上的高；
（3）分2 种情况讨论：①AP
AB
=
；②AB
BP
=
，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，点
, ,
A B C 即为所求：
（2）如图，
1
1
1
13
4 4
1 3
1 4
3 4
2
2
2
2
ABC
S
=
−
−
−
=
，
2
2
1
4
17
BC =
+
=
，
2
2
1
3
10
AB =
+
=
，
∴BC 边上的高
13
2
2
13 17
2
17
17
ABC
S
BC
=
=
=
．
故答案为：13 17
17
；
（3）由（2）得
10
AB =
，
①当
10
AP
AB
=
=
，
则点P 的横坐标为1
10
−−
或1
10
−+
，
∴点P 的坐标为(
)
1
10,0
−−
或(
)
1
10,0
−+
；
②当AB
BP
=
，
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则点A与点P 关于点(
)
2,0 对称，
∴点P 的横坐标为
(
)
2 2
1
5
−−
=
，
∴点P 的坐标为(
)
5,0 ；
∴综上所述，点P 的坐标为(
)
1
10,0
−−
或(
)
1
10,0
−+
或(
)
5,0 ．
故答案为：(
)
1
10,0
−−
或(
)
1
10,0
−+
或(
)
5,0 ．
一、单选题
1．已知
(
)
4,1
A −
，那么A 点关于直线
1
y = −对称的点的坐标为（ ）
A．(
)
4,1
B．(
)
4, 1
−
−
C．(
)
4, 3
−
−
D．(
)
4,3
−
【答案】C
【分析】本题主要考查对坐标与图形变换-对称的理解和掌握，能正确画出图形并根据图形进行计算是解此
题的关键．过A 作A 关于直线
1
y = −的对称点B，根据
(
)
4,1
A −
，推出B 的横坐标是4
−，纵坐标是1 2
−−，
求出即可．
【详解】解：过A 作A 关于直线
1
y = −的对称点B，如图：
∵
(
)
4,1
A −
，
∴B 的横坐标是4
−，纵坐标是1 2
3
−−
= −，
∴B 的坐标是(
)
4, 3
−
−
．
试卷第48 页，共74 页
故选C．
2．如图，在平面直角坐标系中，
(0,2)
A
，
(4,2)
B
，点P 是x 轴上任意一点，当PA PB
+
有最小值时，P 点
的坐标为（ ）
A．(0,0)
B．(1,0)
C．(2,0)
D．(3 0)
,
【答案】C
【分析】根据两点之间线段最短，先在x 轴上找到PA+PB 有最小值时的点P 所在的位置，然后求出直线A′B
的解析式，即可得到P′的坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：作点A关于x 轴的对称点A，连接BA与x 轴交于点P，作BC
x
⊥
轴于点C ，
则PA PB
+
有最小值就是线段A B
的值，
∵A（0，2），B（4，2），
∴点A′的坐标为（0，-2），
∴OA′=BC，
在△OA′P′和△CBP′中，
A OP
BCP
OP A
CP B
OA
BC
=
=
=
，
∴△OA′P′≌△CBP′（AAS），
∴OP′=CP′，
OC=4，
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∴OP′=2，
∴点P′的坐标为（2，0），
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路径、坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．点
(
)
1,5
A a −
和点
(
)
2,
1
B
b −
关于x 轴对称，则(
)
2021
a
b
+
= （ ）
A．1
B．1
−
C．1
D．0
【答案】B
【分析】根据关于x 轴对称的两点的横坐标不变,纵坐标互为相反数可求出a 和b 的值，进一步可计算
(
)
2021
a
b
+
的值．
【详解】解：∵点
(
)
1,5
A a −
和点
(
)
2,
1
B
b −
关于x 轴对称，
∴
1=2
5=1
a
b
−
−
，解之得
=3
=
4
a
b
−
∴(
)
(
)
2021
2021
=
1
= 1
a
b
+
−
−，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称，有理数的乘方，解题的关键是根据两点关于x 轴对称求出a、b 的值．
二、填空题
4．如图，(
)
3,0
A −
，
(
)
0,4
B
，
(
)
4,0
P
，
5
AB =
，动点M 在线段AB 上，动点N 在y 轴上，则PN
MN
+
的
最小值是_______．
【答案】28
5
【分析】连接BP，当M 、N 、P 三点共线，且PM
AB
⊥
时，PN
MN
+
的值最小，最小值是PM ，根据题
试卷第50 页，共74 页
意可得
7
AP =
，
4
OB =
，最后根据
1
1
2
2
ABP
S
AB PM
AP OB
=
?
?
，即可求解．
【详解】解：如图，连接BP，当M 、N 、P 三点共线，且PM
AB
⊥
时，PN
MN
+
的值最小，最小值是PM ，
(
)
3,0
A −
，
(
)
0,4
B
，
(
)
4,0
P
，
(
)
4
3
7
AP =
−−
=
，
4
OB =
，
5
AB =
，
1
1
2
2
ABP
S
AB PM
AP OB
=
?
?
，
7 4
5
28
5
AP OB
PM
AB
状
=
=
=
．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点
( 1, 1)
A −−
，(2, 1)
B
−
，(2,1)
C
，( 1,1)
D −
，一智能机器人从点A 出发，
以每秒1 个单位长度的速度，沿AB
BC
CD
DA
→
→
→
方向匀速循环前行．当机器人前行了2026秒时，其
所在位置的点的坐标是___________．
【答案】(
)
1,1
【分析】根据点坐标求出矩形周长，计算出循环一周时间，再进行判断2026秒循环的次数，即可确定坐标．
【详解】解：∵
( 1, 1)
A −−
，
(2, 1)
B
−
，
(2,1)
C
，
( 1,1)
D −
，
∴
(
)
2
1
3
AB =
−−
= ，
(
)
1
1
2
BC = −−
=
，
1 2
3
CD = −−
=
，
1 1
2
DA = −−
=
，
∴矩形周长为
(
)
2
2 5
10
AB
BC
+
=
=
，
∵机器人从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度移动，
∴机器人每10秒完成一次循环，
∴2026 10
202
6
=
，
∴机器人处于第203圈的第6 秒的位置，
试卷第51 页，共74 页
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∴点
( 1, 1)
A −−
沿着AB 到达点
(2, 1)
B
−
时，用时3秒，
点
(2, 1)
B
−
沿着BC 到达点
(2,1)
C
，用时2 秒，
点
(2,1)
C
沿着CD运动时，第6 秒位置是点
(2,1)
C
向左平移1个单位，到达(1,1) ，
∴当机器人前行了2026秒时，其所在位置的点的坐标是(1,1) ．
6．如图，在平面直角坐标系中，对ABC
进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是(
)
a,b ，则经过第
2016变换后所得的A 点坐标是________．
【答案】(
)
a,b
【分析】观察不难发现，4 次变换为一个循环组依次循环，用2016 除以4，根据正好整除可知点A 与原来
的位置重合，从而得解．
【详解】解：由图知，4 次变换为一个循环组依次循环，
∵2016 4
＝504，
∴第2016变换后为第504循环组的第四次变换，
变换后点A 与原来的点A 重合，
∵原来点A 坐标是(
)
a,b ，
∴经过第2016变换后所得的A 点坐标是(
)
a,b ，
故答案为：(
)
a,b ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称，准确识图，观察出4 次变换为一个循环组依次循环是解题的关
键．
三、解答题
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(
)
6,0 ，点B 是第一象限的点，且BA
x
⊥
轴，点B 到
x 轴的距离是4，过点B 作x 轴的平行线a ，与y 轴交于点C ．动点P 从点B 出发，以2 个单位长度/秒的速
试卷第52 页，共74 页
度沿直线a 向左移动，动点Q 从原点O同时出发，以1 个单位长度/秒的速度沿x 轴向右移动，设运动时间
为t （单位：秒）．
(1)点B 的坐标为________；
(2)当
3
2
t =
时，点P 的坐标为________，点Q 的坐标为________；
(3)当点P ，Q 满足PQ
y
轴时，求t 的值；
(4)当点P 移动到y 轴左侧，且四边形POQC 的面积为10 时，求点P 的坐标．
【答案】(1)(
)
6,4
(2)
(
)
3,4
P
；
3 0
2
Q
，
(3)2
(4)点P 的坐标为
4 4
3
−
，
【分析】（1）根据点B 到x 轴距离求出B 点纵坐标，根据A点横坐标和a
x
∥轴，求出B 横坐标，即可求出B
点坐标．
（2）观察图形判断P 点的纵坐标和B 点纵坐标一样，Q 点纵坐标是0，利用点
,
P Q 的运动时间和运动速度，
求出对应线段CP 和OQ 长度，从而知道
,
P Q 坐标．
（3）根据PQ
y
∥
轴，确定CP
OQ
=
，列关于t 的方程，解出方程即可求出答案．
（4）设移动时间为t 秒，根据四边形的面积POQC 为10，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：点B 到x 轴的距离是4，是第一象限的点
B
点的纵坐标是4，
过点B 作x 轴的平行线a ，点A的坐标为(
)
6,0 ，
B
点的横坐标是6，
(
)
6,4
B
．
（2）解：由题意可知，
6
BC
AO
=
=
，
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3
2
t =
，
3
2
OQ
t
= =
，
3
2
2
3
2
BP
t
=
=
=
，则
6 3
3
CP
BC
BP
=
−
= −= ．
3 ,0
2
Q
，P 点横坐标是3，
∥
a
x
轴，
B
的纵坐标等于P 的纵坐标即4，
(
)
3,4
P
．
（3）解：
PQ
y
∥
轴，
,
P Q
的横坐标相等，即CP
OQ
=
，
6
2t
t
−
= ，
2
t
=
．
（4）解：点P 移动到y 轴左侧，且四边形POQC 的面积为10，
2
6
CP
t
=
−，OQ
t
= ，
B
到A的距离等于C 到O的距离，即
4
OC
AB
=
=
，
(
)
1
2
6
4
10
2 t
t
+
−
=
，
11
3
t
=
，
11
4
2
6
2
6
3
3
CP
t
=
−
=
−
=
，
P
在第二象限，即
0
xP
，
4 ,4
3
P
−
．
8．如图，已知
(
)
2,4
P −
，
(
)
1,1
M −
，P、M 关于直线
1
x = 的对称点为P，M．
试卷第54 页，共74 页
(1)写出P的坐标______，M的坐标______；
(2)思考：写出(
)
2,4
P −
关于
1
x = −的对称点的坐标______；
(3)推广：写出点(
)
,a b 关于直线x
n
=
的对称点的坐标______．
【答案】(1)（4，4），（3，1）
(2)（0，4）
(3)（2n-a，b）
【分析】（1）根据轴对称的性质可设P′（x，4），可得1-（-2）=x-1，解方程求出x 的值可得P′坐标，同理
可得M′坐标；
（2）同（1）方法即可得答案；
（3）设点(
)
,a b 关于直线x
n
=
的对称点的坐标为（m，b），根据中点坐标公式用a 表示出m 即可得答案．
【详解】（1）∵P 关于直线
1
x = 的对称点为P，(
)
2,4
P −
，
∴PP′//x 轴，
∴设P′（x，4），
∴1-（-2）=x-1，
解得：x=4，
∴P′（4，4），
同理：设M′（t，1），
∴1-（-1）=t-1，
解得：t=3，
∴M′（3，1），
故答案为：（4，4），（3，1）
（2）设
(
)
2,4
P −
关于
1
x = −的对称点的坐标为（k，4），
∴-1-（-2）=k-（-1），
解得：k=0，
∴
(
)
2,4
P −
关于
1
x = −的对称点的坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）
（3）设点(
)
,a b 关于直线x
n
=
的对称点的坐标为（m，b），
试卷第55 页，共74 页
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∴两对称点的连线与直线x
n
=
的交点坐标为（n，b），
∴n=
2
m
a
+
，
解得：m=2n-a，
∴点(
)
,a b 关于直线x
n
=
的对称点的坐标为（2n-a，b），
故答案为：（2n-a，b）
【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握两对称点到对称轴的距离相等是解题关键．
9．如图，已知ABC
的三个顶点的坐标分别为
( 3, 3),
( 2, 1),
( 1, 2)
−
−
−
−
−−
A
B
C
．
(1)画出ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A B C
△
（点
1A 与点A 是对称点，点
1
B 与点B 是对称点）；
(2)点B 关于x 轴对称的点的坐标为______；
(3)点B 关于y 轴对称的点的坐标为______；
(4)点B 关于直线
1
x = 对称的点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)( 2,1)
−
(3)(2, 1)
−
(4)(4, 1)
−
【分析】（1）首先确定A、B、C 三点关于x 轴对称的对称点位置，再连接即可；
（2）利用坐标系可直观得到答案；
（3）利用坐标系可直观得到答案；
（4）利用坐标系可直观得到答案．
【详解】（1）解：如图：
1
1
1
A B C
△
即为所求
试卷第56 页，共74 页
（2）解：点B 关于x 轴对称的点的坐标为( 2,1)
−
，
故答案为：( 2,1)
−
；
（3）解：点B 关于y 轴对称的点的坐标为(2, 1)
−
，
故答案为：(2, 1)
−
；
（4）解：点B 关于直线
1
x = 对称的点的坐标为(4, 1)
−
，
故答案为：(4, 1)
−
；
【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点对称点位置．
10．如图所示，在平面直角坐标系xQy 中．
(1)分别写出A
B
、两点的坐标；A：_____ ； B ：_____；
(2)在平面直角坐标系中找一点C ，使其坐标为(
)
4 3
−，；
(3)平面直角坐标系内的点A关于x 轴的对称点
1A 的坐标为_______；关于y 轴的对称点
2
A 的坐标为______；
(4)已知点
(
)
2 2
4
M m
m
+
−
，
在x 轴上，则点M 的坐标为_____；
(5)在平面直角坐标系中，若点
(
)
2
N
a
，
到x 轴的距离是1，则点N 的坐标为_________．
【答案】(1)(
) (
)
2 1
3
2
−
−
，
，
，
试卷第57 页，共74 页
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(2)见解析
(3)(
) (
)
2
1
21
−
−
，
，
，
(4)(
)
4 0
，
(5)(
)
2 1，或(
)
2
1
−
，
【分析】（1）直接根据平面直角坐标系读出点A
B
、的坐标即可得到答案；
（2）在平面直角坐标系中找出坐标为(
)
4 3
−，的C 点即可；
（3）根据点关于坐标轴对称的原则：关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y 轴对称
的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可得到答案；
（4）根据在x 轴上的坐标的特征为纵坐标为零即可得到2
4
0
m−
=
，求出m 的值即可得到M 的坐标；
（5）根据点
(
)
2
N
a
，
到x 轴的距离是1，可得
1
=
a
，求出a 的值即可得到N 的坐标．
【详解】（1）解：由图可知：
点A的坐标为(
)
2 1，，点B 的坐标为(
)
3
2
−
−
，
，
故答案为：(
)
2 1，，(
)
3
2
−
−
，
；
（2）解：找出点C 如图所示：
；
（3）解：根据题意可得：
平面直角坐标系内的点A关于x 轴的对称点
1A 的坐标为(
)
2
1
−
，
，
关于y 轴的对称点
2
A 的坐标为(
)
2 1
−，，
故答案为：(
)
2
1
−
，
，(
)
2 1
−，；
（4）解：点
(
)
2 2
4
M m
m
+
−
，
在x 轴上，
2
4
0
m
−
=
，
试卷第58 页，共74 页
2
m
=
，
(
)
4 0
M
，，
故答案为：(
)
4 0
，；
（5）解：点
(
)
2
N
a
，
到x 轴的距离是1，
1
a
= ，
1
a
= ，
(
)
2 1
N
，或
(
)
2
1
N
−
，
，
故答案为：(
)
2
1
−
，
或(
)
2 1，．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，轴对称，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标
特征；点关于坐标轴对称的原则：关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y 轴对称的点，
纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键．
11．如图，ABC
三个顶点的坐标分别为
(
)
1,1
A
，(
)
4,2
B
，
(
)
3,5
C
．
(1)若
A B C
△
与ABC
关于y 轴成轴对称，作出
A B C
△
，写出点B 的对称点，B的坐标：（ ）；
(2)若P 为y 轴上一点，使得
APC
△
周长最小，在图中作出P 点，并写出P 点的坐标（ ）；
(3)点Q 在x 轴上，且满足ACQ
为等腰三角形，则这样的Q 点有（ ）个．
【答案】(1)作图见解析;(
)
4,2
−
(2)作图见解析;(
)
0,2
(3)3
【分析】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标特征、利用轴对称解决最短路径问题以及等腰三角形的定义，
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解题的关键是掌握轴对称的性质分类讨论思想的应用．
（1）利用轴对称变换的性质分别做出A、B、C 的对应点A
B
C
、、
即可；根据关于y 轴对称的点横坐标互
为相反数、纵坐标不变，直接确定B 坐标；
（2）作A 关于y 轴的对称点
,
A连接A C
与y 轴交点即为P ；
（3）分AC
AQ
=
、AC
CQ
=
、AQ
CQ
=
三种情况画图即可求解x 轴上Q 点的个数．
【详解】（1）解：如图，
A B C
△
即为所求，
关于y 轴对称的点的坐标特征为横坐标互为相反数，纵坐标相同．
∵点B 的坐标为(
)
4,2 ，
∴其关于y 轴的对称点B的坐标为(
)
4,2
−
．
故答案为：(
)
4,2
−
；
（2）解：要使
APC
△
周长最小，需使AP
PC
+
最小(AC 为定值）．
作点A 关于y 轴的对称点
(
)
1,1 ,
A−
连接
,
A C
与y 轴交点P 即为所求点．
从图示来看，当点P 与点A、点C 位于同一直线时，AP
PC
+
最小，
试卷第60 页，共74 页
此时P 点坐标为(
)
0,2 ．
故答案为：(
)
0,2
（3）如图：
当AQ
AC
=
时，有两个点Q 满足条件；
当QA
QC
=
时，只有一个点Q 满足条件；
当QC
AC
=
时，不存在．
综上，符合条件的Q 点共3 个．
故答案为：3．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A
B
、两点的坐标分别为(
)
(
)
,0 ,
0,
A m
B
n ，且
9
2
12
0
m
n
m
+
−
+
−
=
，点P 从A出发，以每秒1 个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．
(1)求OA
OB
、
的长；
(2)连接PB，若POB
的面积不大于3 且不等于0，求t 的范围；
(3)过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点
P ，使
EOP
AOB
≌
△
△
？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
6,
3
OA
OB
=
=
(2)t 的范围是4
8
t
且
6
t
(3)存在，t 的值是3 或9
【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n 的值，即可得出答案；
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（2）分两种情况进行讨论，用t 表示出三角形的面积，然后分别求出t 的取值范围即可；
（3）根据
EOP
AOB
≌
△
△
时，一定要使
3
OP
OB
=
= ，然后分两种情况：P 在线段OA上时或P 在线段OA的
延长线上进行讨论，求出t 的值即可．
【详解】（1）解：∵
9
2
12
0
m
n
m
+
−
+
−
=
，
∴
9
0
m
n
+ −=
，2
12
0
m−
=
，
解得：
3
n = ，
6
m =
，
∴
6
OA =
，
3
OB =
；
（2）解：分为两种情况：①当P 在线段OA上时，如图所示：
AP
t
= ，
6
PO
t
=
−，
∴
BOP
△
的面积
(
)
1
3
=
6
3=9
2
2
S
t
t
−
−
，
∵若POB
的面积不大于3 且不等于0，
∴
3
0
9
3
2 t
−
，
解得：4
6
t
；
②当P 在线段OA的延长线上时，如图所示：
∵AP
t
= ，
6
PO
t
= −，
∴
BOP
△
的面积
(
)
1
3
6
3=
9
2
2
S
t
t
=
−
−，
∵若POB
的面积不大于3 且不等于0，
∴
3
0
9
3
2 t
−
，
试卷第62 页，共74 页
解得：6
8
t
；
即t 的范围是4
8
t
且
6
t
；
（3）解：∵
EOP
AOB
≌
△
△
，
∴
3
OP
OB
=
= ，
分两种情况：①当P 在线段OA上时，如图所示：
∵
6 3
3
AP
OA OP
=
−
=
−= ，
∴
3
3
1
t =
=
；
②当P 在线段OA的延长线上时，如图所示：
∵
6 3
9
AP
OA OP
=
+
=
+ =
，
∴
9
9
1
t =
=
；
即存在这样的点P，使
EOP
AOB
≌
△
△
，t 的值是3 或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论．
一、填空题
试卷第63 页，共74 页
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1．如图，在平面直角坐标系中，点
(
)
(
)
2,2 ,
2,1
A
B
−
，点
(
)
,0
P x
是x 轴上的一个动点．
（1）用含x 的式子表示线段PA的长是_____；
（2）结合图形，判断式子
2
2
(
2)
4
(2
)
1
x
x
+
+
+
−
+ 的最小值是____．
【答案】
(
)
2
2
4
x +
+
5
【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB 的最小值，作点B 关于x 轴的对称点B’，连接AB’与x 轴交于点P’，此时PA+PB
取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】解：（1）
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
0
2
2
4
PA
x
x
=
+
+
−
=
+
+
，
故答案为：(
)
2
2
4
x +
+
；
（2）由题意可得：
2
2
(
2)
4
(2
)
1
x
P
x
A
PB
+
+
+
−
=
+
+
，即为求PA+PB 的最小值，
作点B 关于x 轴的对称点B’，连接AB’与x 轴交于点P’，此时PA+PB 取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’=
2
2
3
4
5
+
=
，
即
2
2
(
2)
4
(2
)
1
x
x
+
+
+
−
+ 的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应
试卷第64 页，共74 页
图形求解是解题关键．
二、解答题
2．如图，在直角坐标系中，ABC
的位置如图所示，请回答下列问题：
(1)请直接写出A﹑B、C 三点的坐标____________、___________、_________．
(2) ABC
的周长为_________，面积为_________；
(3)画出ABC
关于x 轴的对称图形
1
1
1
A B C
△
．
(4)已知点P 为x 轴上一动点，则AP
BP
+
的最小值为_________．
【答案】(1)A(1,4)/B(4,2)/C(3,5)
(2) 5
10
13
+
+
/3.5
(3)见详解
(4)3 5
【分析】（1）根据点A、B、C 在平面直角坐标系中的位置写出其坐标；
（2）用勾股定理算出△ABC 三边的长，而后相加得到其周长，再用梯形DEBC 的面积减去△ACD 的面积减
去△ABE 的面积即得△ABC 的面积；
（3）根据点A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，写出其关于x 轴的对称点A1(1,-4)，B1(4,-2)，C1(3,-5)，在平面直角坐
标系网格中描出格点顺次连线；
（4）连接AB1， PB1，根据对称轴上一点到两个对称点的距离相等，得到BP=B1P，根据AP+BP=AP+B1P≥AB1，
得到点P 运动到AB1上时，AP+BP=AP+B1P= AB1，AP+BP 取得最小值，用勾股定理求出AB1 的值即得．
【详解】（1）解：A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)；
故答案为，A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)；
（2）解：∵
2
2
1 +2 = 5
AC =
，
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2
2
1
3
10
BC =
+
=
，
2
2
2
3
13
AB =
+
=
，
∴
5
10
13
AC
BC
AB
+
+
=
+
+
；
过点A 作DE∥y 轴，过点C 作CD⊥DE 于点D，过点B 作BE⊥DE 于点E，则CD∥BE，
∴四边形DEBC 是梯形，
∴
ABC
ACD
ABE
DEBC
S
S
S
S
=
−
−
梯形
(
)
1
1
1
2
2
2
DE CD
BE
AD CD
AE BE
=
+
−
−
(
)
1
1
1
3
2
3
1 2
2 3
2
2
2
=
+
−
−
=3.5；
（3）解：∵点A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)关于x 轴的对称点为A1(1,-4)，B1(4,-2)，C1(3,-5)，
∴在平面直角坐标系网格中描出各格点，而后顺次连线，即得
1
1
1
A B C
△
，如图所示：
（4）解：连接AB1， PB1，
∵点B、B1关于x 轴对称，
∴BP=B1P，∵AP+BP=AP+B1P≥AB1，
试卷第66 页，共74 页
当点P 运动到AB1上时，
AP+BP=AP+B1P=AB1，AP+BP 取得最小值，
过点A 作AF∥y 轴，过点B1作B1F⊥AF 于点F，
则AF=6，B1F=3，
∴
2
2
2
2
1
1
6
3
3 5
AB
AF
B F
=
+
=
+
=
，
∴AP+BP 的最小值为3 5 ．
故答案为，3 5 ．
【点睛】本题考查了格点三角形周长和面积，轴对称，线段和的最小值，解决问题的关键是熟练掌握勾股
定理，一些图形面积公式，熟悉将军饮马问题．
3．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意图形G 及直线1l ，2l ，给出如下定义：将图形G 先沿直线1l 翻折得
到图形
1
G ，再将图形
1
G 沿直线2l 翻折得到图形
2
G ，则称图形
2
G 是图形G 的< 1l ，2l >双反图形．例如：点
(
)
1,2
P
的
x
轴，y 轴>双反图形是点
(
)
1, 2
P−
−
．
(1)点
(
)
3, 2
Q
−
的
x
轴，y 轴>双反图形点Q的坐标为 ；
(2)已知(
)
,1
A t
，(
)
4,1
B t −
，
(
)
,3
C t
，直线m 经过点(
)
1, 1
−
−
．
试卷第67 页，共74 页
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①当
2
t
−
=
，且直线m 与y 轴平行时，点C 的
x
轴，m 双反图形点C的坐标为 ；
②当直线m 经过原点时，若ABC
的
x
轴，m 双反图形上只存在两个与x 轴的距离为1 的点，直接写出
t 的取值范围．
【答案】(1)(
)
3 2
−，
(2)①(0
3)
−
，
；②1
1
t
−或3
5
t
【分析】（1）点Q 关于x 轴对称的点坐标为(3 2)
，，再关于y 轴对称的点坐标为( 3 2)
−，，故可得点的双反图
形点Q坐标；
（2）①
2
t
−
=
时，C 点坐标为( 2 3)
−，，直线m 为= 1
x −，此时点C 先关于x 轴对称的点坐标为( 2
3)
−
−
，
，再
关于m 轴对称的点坐标为(0
3)
−
，
，进而得到点的双反图形点C坐标；
②由题意得，直线m 为y
x
=
，A、B 、C 三点的
x
轴，m 双反图形点坐标依次表示为：( 1, )t
−
、( 1,
4)
t
−
−
、
( 3, )t
−
，由题意可得
1
t 或
4
1
t −
，解出t 的取值范围即可
【详解】（1）解：由题意知(
)
3
2
−
，
沿x 轴翻折得点坐标为(
)
3 2
，；
(
)
3 2
，沿y 轴翻折得点坐标为(
)
3 2
−，，
故答案为：(
)
3 2
−，；
（2）解：①
2
t
−
=
时，C 点坐标为( 2 3)
−，，直线m 为= 1
x −，
( 2 3)
−，沿x 轴翻折得点坐标为( 2
3)
−，-
，
( 2
3)
−，-
沿直线= 1
x −翻折得点坐标为(0
3)
−
，
，
故答案为：(0
3)
−
，
；
②直线m 经过原点，且经过点(
)
1, 1
−
−
，
直线m 为y
x
=
，
A、B 、C 三点沿x 轴翻折点坐标依次表示为：( , 1)
t −
、(
4, 1)
t −
−
、( , 3)
t −
，
A、B 、C 三点沿直线m 翻折点坐标依次表示为：( 1, )t
−
、( 1,
4)
t
−
−
、( 3, )t
−
，
由题意可知：
1
t 或
4
1
t −
，
解得：1
1
t
−或3
5
t
【点睛】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表
示出来．
4．在平面直角坐标系中，对于任意两点
(
)
1
1
,
P x y
和
(
)
2
2
,
Q x
y
，我们定义它们的“横纵差”为：
试卷第68 页，共74 页
(
)
1
2
1
2
,
d P Q
x
x
y
y
=
−
−
−
．若(
)
,
0
d P Q =
，则称P ，Q 两点互为“平衡点”例如：若点
(
)
1,2
A
，
(
)
3,5
B
，则
(
)
,
1 3
2
5
2
3
1
0
d A B =
−
−
−
=
−
= −
，所以点A，B 不是“平衡点”；若点
(
)
2, 1
C
−
，
(
)
5,2
D
，则
(
)
,
2
5
1 2
3 3
0
d C D =
−
−−−
=
−
=
，所以点C ，D 互为“平衡点”．
(1)若点A的坐标是(
)
2,3 ，下列各点中，与点A互为“平衡点”的是 ；
①
(
)
1,4
B
；②
(
)
1,1
C −
；③
(
)
2, 1
D
−
−
(2)已知点
(
)
3,3
C
，点C ，D 互为“平衡点”，小慧认为这样的点D 有无数个，请判断小慧的说法是否正确？
若正确，请在平面直角坐标系中描出一些符合要求的点，并通过观察，写出你的一个猜想；若错误，请说
明理由；
(3)已知点M ，P 的坐标分别是(
)
0,2
1
a +
，(
)
,1
a
，点Q 是y 轴上的一个动点．当点P ，Q 互为“平衡点”，三
角形MPQ 的面积为3 时，求a 的值．
【答案】(1)①，③；
(2)如图所示：猜想：这样的点D 在两条直线上.
试卷第69 页，共74 页
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(3) a 的值为2 或
2
−
或
6 或
6
−
．
【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；
（2）设
(
)
,
D x y ，根据新定义可得x
y
=
或
6
x
y
+
=
，再画图并给出猜想；
（3）设点Q 的坐标为(
)
0, y ，可得
0
1
0
a
y
−
−−
=
，可得
1
y
a
= −
或
1
y
a
=
+ ．再进一步求解即可.
【详解】（1）解：①∵
(
)
1,4
B
，
(
)
2,3
A
，
∴(
)
,
2
1
3
4
1 1
0
d A B =
−−
−
= −=
，
∴点A，B 互为“平衡点”．
②∵
(
)
1,1
C −
，
(
)
2,3
A
，
∴(
)
,
2
1
3 1
3
2
1
0
d A C =
+ −
−
=
−
=
，
∴点A，C 不是互为“平衡点”．
③∵
(
)
2, 1
D −
−
，
(
)
2,3
A
，
∴(
)
,
2
2
3 1
4
4
0
d A D =
+
−
+
=
−
= ，
∴点A，D互为“平衡点”．
（2）解：小慧的说法是正确的．理由：设
(
)
,
D x y ，
由“平衡点”定义可得：
3
3
0
x
y
−
−
−
=
，
∴
3
3
x
y
−
=
−
，
∴
3
3
x
y
−
=
−或
3
3
0
x
y
−
+
−
=
，
试卷第70 页，共74 页
∴x
y
=
或
6
x
y
+
=
，
画图略：猜想：这样的点D 在两条直线上.
（3）解：设点Q 的坐标为(
)
0, y ．
∵P ，Q 互为“平衡点”，
∴
0
1
0
a
y
−
−−
=
．
解得
1
y
a
= −
或
1
y
a
=
+ ．
∴
3
MQ
a
=
或MQ
a
=
．
当
3
MQ
a
=
时，1
3
3
2
a
a
= ．解得
2
a =
．
当MQ
a
=
时，1
3
2
a
a
= ．解得
6
a =
．
∴a 的值为2 或
2
−
或
6 或
6
−
．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A
B
、两点的坐标分别为(
)
(
)
,0 ,
0,
A m
B
n ，且
9
2
12
0
m
n
m
+
−
+
−
=
，点P 从A出发，以每秒1 个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．
(1)求OA
OB
、
的长；
(2)连接PB，若POB
的面积不大于3 且不等于0，求t 的范围；
(3)过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点
P ，使
EOP
AOB
≌
△
△
？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
6,
3
OA
OB
=
=
(2)t 的范围是4
8
t
且
6
t
(3)存在，t 的值是3 或9
【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n 的值，即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，用t 表示出三角形的面积，然后分别求出t 的取值范围即可；
（3）根据
EOP
AOB
≌
△
△
时，一定要使
3
OP
OB
=
= ，然后分两种情况：P 在线段OA上时或P 在线段OA的
延长线上进行讨论，求出t 的值即可．
试卷第71 页，共74 页
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【详解】（1）解：∵
9
2
12
0
m
n
m
+
−
+
−
=
，
∴
9
0
m
n
+ −=
，2
12
0
m−
=
，
解得：
3
n = ，
6
m =
，
∴
6
OA =
，
3
OB =
；
（2）解：分为两种情况：①当P 在线段OA上时，如图所示：
AP
t
= ，
6
PO
t
=
−，
∴
BOP
△
的面积
(
)
1
3
=
6
3=9
2
2
S
t
t
−
−
，
∵若POB
的面积不大于3 且不等于0，
∴
3
0
9
3
2 t
−
，
解得：4
6
t
；
②当P 在线段OA的延长线上时，如图所示：
∵AP
t
= ，
6
PO
t
= −，
∴
BOP
△
的面积
(
)
1
3
6
3=
9
2
2
S
t
t
=
−
−，
∵若POB
的面积不大于3 且不等于0，
∴
3
0
9
3
2 t
−
，
解得：6
8
t
；
即t 的范围是4
8
t
且
6
t
；
（3）解：∵
EOP
AOB
≌
△
△
，
试卷第72 页，共74 页
∴
3
OP
OB
=
= ，
分两种情况：①当P 在线段OA上时，如图所示：
∵
6 3
3
AP
OA OP
=
−
=
−= ，
∴
3
3
1
t =
=
；
②当P 在线段OA的延长线上时，如图所示：
∵
6 3
9
AP
OA OP
=
+
=
+ =
，
∴
9
9
1
t =
=
；
即存在这样的点P，使
EOP
AOB
≌
△
△
，t 的值是3 或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论．
6．如图所示，在平面直角坐标系xQy 中．
(1)分别写出A
B
、两点的坐标；A：_____ ； B ：_____；
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(2)在平面直角坐标系中找一点C ，使其坐标为(
)
4 3
−，；
(3)平面直角坐标系内的点A关于x 轴的对称点
1A 的坐标为_______；关于y 轴的对称点
2
A 的坐标为______；
(4)已知点
(
)
2 2
4
M m
m
+
−
，
在x 轴上，则点M 的坐标为_____；
(5)在平面直角坐标系中，若点
(
)
2
N
a
，
到x 轴的距离是1，则点N 的坐标为_________．
【答案】(1)(
) (
)
2 1
3
2
−
−
，
，
，
(2)见解析
(3)(
) (
)
2
1
21
−
−
，
，
，
(4)(
)
4 0
，
(5)(
)
2 1，或(
)
2
1
−
，
【分析】（1）直接根据平面直角坐标系读出点A
B
、的坐标即可得到答案；
（2）在平面直角坐标系中找出坐标为(
)
4 3
−，的C 点即可；
（3）根据点关于坐标轴对称的原则：关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y 轴对称
的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可得到答案；
（4）根据在x 轴上的坐标的特征为纵坐标为零即可得到2
4
0
m−
=
，求出m 的值即可得到M 的坐标；
（5）根据点
(
)
2
N
a
，
到x 轴的距离是1，可得
1
=
a
，求出a 的值即可得到N 的坐标．
【详解】（1）解：由图可知：
点A的坐标为(
)
2 1，，点B 的坐标为(
)
3
2
−
−
，
，
故答案为：(
)
2 1，，(
)
3
2
−
−
，
；
（2）解：找出点C 如图所示：
；
（3）解：根据题意可得：
试卷第74 页，共74 页
平面直角坐标系内的点A关于x 轴的对称点
1A 的坐标为(
)
2
1
−
，
，
关于y 轴的对称点
2
A 的坐标为(
)
2 1
−，，
故答案为：(
)
2
1
−
，
，(
)
2 1
−，；
（4）解：点
(
)
2 2
4
M m
m
+
−
，
在x 轴上，
2
4
0
m
−
=
，
2
m
=
，
(
)
4 0
M
，，
故答案为：(
)
4 0
，；
（5）解：点
(
)
2
N
a
，
到x 轴的距离是1，
1
a
= ，
1
a
= ，
(
)
2 1
N
，或
(
)
2
1
N
−
，
，
故答案为：(
)
2
1
−
，
或(
)
2 1，．
