文档文本内容
1 / 11
学科网（北京）股份有限公司
3.1 不等式及其性质
课标要点
1.了解不等式的概念，认识常见不等号，能根据实际情境列出简单不等式，区分等式与不
等式。
2.掌握不等式的三条基本性质，明确不等式与等式性质的异同，尤其掌握不等号方向的变
化规则。
3.能运用不等式基本性质对不等式进行简单变形、化简，为后续解一元一次不等式奠定基
础。
4.初步建立不等量思维，能利用不等式解决简单的实际取值范围问题，培养数形结合与类
比推理能力。
学习重难点
重点：
1.掌握不等式的概念、不等号用法，能根据题意列简单不等式；
2.熟记不等式三条基本性质，掌握不等式的基本变形方法。
难点：
1.掌握不等式两边乘（除）负数时，不等号方向改变的规则，规避高频易错点；
2.结合实际问题准确列出不等式。
第三章
一元一次不等式
2 / 11
学科网（北京）股份有限公司
知识点
不等式的概念
1. 不等式：用符号“＞”（或“≥”）、“＜”（或≤），“≠”连接而成的数字式子，叫作不等式，这些用来连
接的符号统称不等号。
2. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
3. 在数轴上表示不等式：𝑥< 𝑎表示小于𝑎的全体实数，在数轴上对应点A 左边的所有点，不包括点A 在内
（此时表示点A 的点是空心的），数轴表示如图3-4；𝑥≥𝑎表示大于或等于𝑎的全体实数，在数轴上对应点
A 右边的所有点，包括点A 在内（此时表示点A 的点是实心的），数轴表示如图3-5；𝑏< 𝑥< 𝑎 (𝑏< 𝑎)表示
大于𝑏而小于𝑎的全体实数，数轴表示如图3-6。
随学随练
1．（25-26 七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列数学表达式中：①−2 < 0，②2𝑥2 + 3𝑦> 0，③𝑥= 2，
④𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2，⑤𝑚≠4，⑥𝑎+ 1 > 3，不等式有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2．（25-26 八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①3 < 5；②4𝑥+ 5 > 0；③𝑥=
3；④𝑥2 + 4𝑥；⑤𝑥≠4；⑥𝑥+ 2 > 𝑥+ 1．其中是不等式的有_____（填写序号）．
知识点
不等式的性质（重点）
1.不等式的基本性质1（传递性）：𝑎< 𝑏，𝑏< 𝑐⇒𝑎< 𝑐。
特别提醒
核心规则：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
易错提醒
1）混淆不等号含义，≥是大于或等于、≤是小于或等于，包含相等情况；
2）误将等式、代数式当作不等式；
3）“非负数、非正数、不大于、不小于”文字翻译符号容易出错。
3 / 11
学科网（北京）股份有限公司
2.不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。
𝑎＞𝑏⇒𝑎+ 𝑐＞𝑏+ 𝑐，𝑎−𝑐＞𝑏−𝑐；𝑎< 𝑏⇒𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑐，𝑎−𝑐< 𝑏−𝑐。
3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两
边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。
𝑎＞𝑏，且𝑐> 0 ⇒𝑎𝑐> 𝑏𝑐，𝑎
𝑐> 𝑏
𝑐；𝑎＞𝑏，且𝑐< 0 ⇒𝑎𝑐< 𝑏𝑐，𝑎
𝑐< 𝑏
𝑐。
随学随练
1．（25-26 七年级下·湖北咸宁·期末）若𝑎> 𝑏，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．𝑎+ 3 > 𝑏+ 3
B．
𝑎
3 >
𝑏
3
C．−2𝑎> −2𝑏
D．𝑎+ 2𝑏> 3𝑏
2．（25-26 七年级下·海南三亚·期末）如果𝑎> 𝑏，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．𝑎−3 < 𝑏−3 B．−3𝑎> −3𝑏
C．𝑎+ 3 < 𝑏+ 3
D．−𝑎< −𝑏
3．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）若𝑥< 𝑦，𝑎𝑥> 𝑎𝑦，则𝑎的值可能是__________．（写出一个即可）
知识点
比较大小（重点）
例：已知𝑎< 0，试比较2𝑎与𝑎的大小。
解法一（直接利用不等式的性质比较大小）：∵2＞1，𝑎< 0 ∴2𝑎＜𝑎（不等式的基本性质3）
解法二（利用数轴比较大小）：
在数轴上分别表示2𝑎和𝑎的点（𝑎< 0）
2𝑎位于𝑎的左边 ∴2𝑎＜𝑎
解法三（作差法比较大小）：∵2𝑎−𝑎= 𝑎，且𝑎< 0 ∴2𝑎−𝑎< 0 ∴2𝑎＜𝑎
易错提醒
1）乘除负数时忘记变号，是解题最大易错点；
2）同时乘0 导致不等式变为等式，违背性质使用前提；
3）混淆等式性质与不等式性质，等式无变号要求。
4 / 11
学科网（北京）股份有限公司
随学随练
1．比较8𝑎和6𝑎的大小，下列说法正确的是（ ）
A．8𝑎> 6𝑎
B．8𝑎< 6𝑎
C．8𝑎= 6𝑎
D．以上三种大小关系都有可能
2．（25-26 七年级下·河南周口·期中）数轴上表示数𝑚，𝑛的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是
（ ）
A．−𝑚> −𝑛
B．𝑚+ 2 < 𝑛+ 2
C．
𝑚
5 >
𝑛
5
D．3𝑚< 3𝑛
3．（25-26 七年级下·宁夏吴忠·期中）比较大小：√3 + 1______3．
拓展
方程与不等式核心概念对比
1. 方程与不等式是初中代数两大基础式子类型，核心差异体现在关系表达、符号、解集形式上，是基础
概念辨析重点，具体对比如下：
对比维度
方程
不等式
表达关系
表示数量之间的相等关系
表示数量之间的不等关系
连接符号
仅使用等号“=”
使用＞、≥、＜、≤、≠五类不等号
解的特征
一般为有限个确定数值
一般为无数个实数组成的取值范围
活学活用
1．（25-26 七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（ ）．
A．𝑥+ 𝑦≠2
B．6𝑥−3
C．−1 < 0
D．2𝑥−1 > 5
2．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）某日，我市最高气温为22°C，最低气温为9°C，则当天气温𝑡（°C）的
变化范围是（ ）
A．𝑡≥9
B．𝑡≤22
C．9 < 𝑡< 22
D．9 ≤𝑡≤22
特别提醒
常用方法：作差法、不等式性质法、数轴比较法（右大左小），可灵活选用适配题型。
5 / 11
学科网（北京）股份有限公司
题型
不等式的识别
▌例1．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A．𝑥+ 1 = 2𝑥
B．3𝑥+ 1
C．𝑥> 2
D．−1
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南永州·期中）周老师在黑板上写了下列式子：①3 < 5；②4𝑥+ 5 >
0；③𝑥= 3；④𝑥2 + 𝑥；⑤𝑥≠4；⑥𝑥+ 2 > 𝑥+ 1．其中是不等式的有（ ）．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·上海·期末）下列式子中：①4𝑥+ 𝑦≤1 ；②𝑥+ 3 = 0；③𝑦−7 ；
④𝑚−2.5 > 3 ；⑤2 < 7 ．不等式是______．（填序号）
题型
列出不等式
▌例1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开
始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是12°C，最高气温是17°C，则当天气温𝑡（°C）满足的不等关系为
（ ）
A．𝑡> 12
B．𝑡< 17
C．12 < 𝑡< 17
D．12 ≤𝑡≤17
▌例2．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）列不等式表示下列数量关系：x 的3 倍大于x 的一半与1 的差
______．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·云南红河·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城
市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为𝑥 km/h，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ）
解题贴士
1）判断式子是否含有不等关系符号，含＞、＜、≥、≤、≠任意一种，即为不等式；
2）等式、代数式、算式均不属于不等式。
解题贴士
1）先抓取题目关键词，转化对应不等符号；
2）再结合题干数量关系，列出规范不等式。
6 / 11
学科网（北京）股份有限公司
A．𝑥≤40
B．𝑥< 40
C．𝑥≥40
D．𝑥> 40
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·湖南郴州·期末）若一部电梯的载重标准是不超过1000 kg，设该电梯的载重
量为𝑥(kg)，则x 满足的不等式为________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）𝑥不大于𝑦的2倍，用不等式表示为_____________．
题型
不等式的性质
▌例1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如果𝑎< 𝑏，那么下列不等式正确的是（ ）
A．𝑎+ 3 > 𝑏+ 3
B．𝑎−2 < 𝑏−2
C．−
𝑎
2 < −
𝑏
2
D．
𝑎
3 >
𝑏
3
▌例2．把不等式3𝑥> 6化为“𝑥> 𝑎”的形式为_______．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）已知𝑚> 𝑛，下列不等式一定成立的是（ ）
A．−3𝑚> −3𝑛
B．
2
3 𝑚−5 >
2
3 𝑛−5
C．𝑚+ 4 < 𝑛+ 4
D．1 −𝑚> 1 −𝑛
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）用不等式的性质说明如图所示的事实，正确的是
（ ）
A．如果𝑎> 𝑏，那么𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐
B．如果𝑎< 𝑏，那么𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑐
C．如果𝑎> 𝑏，那么𝑎−𝑐> 𝑏−𝑐
D．如果𝑎> 𝑏，那么𝑎𝑐> 𝑏𝑐
▌对点练1-3．（2026·重庆·三模）已知m 为正整数，若𝑚< √53 −2 < 𝑚+ 1，则𝑚=________．
解题贴士
易错：①乘除负数忘记变号（高频错误）；②不等式两边同时平方、取倒数乱套性质；③对不等式一边
单独加减、乘除，不同时变形。
7 / 11
学科网（北京）股份有限公司
▌对点练1-4．（2026·河北唐山·二模）已知𝑎> 𝑏，则一定有−4𝑎□−4𝑏，“□”中应填的符号是______．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）由𝑎> 𝑏得到𝑎𝑚> 𝑏𝑚的条件是________．
题型
比较大小
▌例1．（2026·浙江丽水·二模）在数轴上表示数𝑎的点如图所示，则3𝑎与2𝑎的大小关系是（ ）
A．3𝑎< 2𝑎
B．3𝑎≤2𝑎
C．3𝑎> 2𝑎
D．3𝑎≥2𝑎
▌例2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）若𝑚> 𝑛，则−
1
2 𝑚__________−
1
2 𝑛．（填“>”或“<”）
▌例3．（25-26 八年级下·广东梅州·期中）按要求完成下列各题：
(1)根据不等式的基本性质，用不等号填空：
若𝑥< 𝑦，则𝑥+ 1_________𝑦+ 1；
若𝑥< 𝑦，则3𝑥_________3𝑦；
若𝑥< 𝑦，则−2𝑥_________−2𝑦．
(2)已知𝑥> 𝑦，试比较−2026𝑥−1与−2026𝑦−1的大小．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）若实数𝑎，𝑏，𝑐在数轴上对应点的位置如图所示，则下列
不等式成立的是（ ）
A．𝑎𝑐> 𝑏𝑐
B．𝑎𝑏> 𝑐𝑏
C．𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐
D．𝑎+ 𝑏> 𝑐+ 𝑏
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·北京·期末）若𝑎< 𝑏，则𝑎−3___________𝑏−3；−3𝑎+
1___________−3𝑏+ 1．（用“>”，“<”，或“=”填空）
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河南郑州·期中）若𝑎> 𝑏，则−
𝑎
3__−
𝑏
3．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知𝑎> 0，试比较3𝑎与a 的大小．
方法一 解：因为3 > 1，𝑎> 0，所以3𝑎> 𝑎．
方法二 解：因为3𝑎−𝑎= 2𝑎，𝑎> 0，所以2𝑎> 0，所以3𝑎> 𝑎
解题贴士
易错：①仅凭正数、负数主观判断，忽略代数式整体取值；②作差后不会化简判断正负；③乘除负数
后大小关系判断错误。
8 / 11
学科网（北京）股份有限公司
根据仿例，请解答：已知𝑎< 0，试比较2𝑎与𝑎大小，用两种方法解答．
基础通关
1．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A．𝑥+ 2
B．𝑥= 2
C．2𝑥= 6
D．𝑥+ 𝑦< 1
2．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）若x 的3 倍不大于5，下列表示正确的是（ ）
A．3𝑥< 5
B．3𝑥≥5
C．3𝑥> 5
D．3𝑥≤5
3．（25-26 七年级下·湖南株洲·期中）已知“①𝑥+ 𝑦= 1；②𝑥−𝑦；③𝑥+ 2𝑦；④𝑥2 −𝑦≥1；⑤𝑥< 0”属
于不等式的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
4．（25-26 八年级上·浙江嘉兴·期末）为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50 分贝．设学
校的噪音为𝑥（分贝），则𝑥应满足（ ）
A．𝑥> 50
B．𝑥≥50
C．𝑥< 50
D．𝑥≤50
5．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）若𝑎< 𝑏，则下列各式中正确的是（ ）
A．−5𝑎> −5𝑏
B．𝑎−𝑐> 𝑏−𝑐 C．𝑎+ 2 > 𝑏+ 2 D．
𝑎
5 >
𝑏
5
6．（25-26 七年级下·湖南永州·期末）若𝑚< 𝑛，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．𝑚−3 < 𝑛−3 B．−
1
3 𝑚< −
1
3 𝑛
C．3𝑚< 3𝑛
D．𝑚+ 3 < 𝑛+ 3
7．（25-26 七年级下·上海·期末）“a 的1
2
3减去𝑏的差是非负数”用不等式表示为___________．
8．（25-26 七年级下·湖南永州·期中）永州市春季某日的最高气温是17℃，最低气温是11℃，则该地当日气
温𝑡(℃)的变化范围是______．
9．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）若有理数a、b 满足𝑎< 𝑏，则𝑎+ 3________𝑏+ 3．（填“>”、“<”或
“=”）
10．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则𝑎−𝑏____0．（填“＞”“＜”或
“=”）
11．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）已知𝑥≥7，且𝑦= 1 + 𝑥，则𝑦的取值范围是__________．
12．（25-26 八年级下·河南南阳·期中）已知：𝑛> 0，求证：
𝑛
𝑛+1 <
𝑛+1
𝑛+2．
9 / 11
学科网（北京）股份有限公司
素养提升
1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）下列判断正确的是( )
A．若𝑎> 𝑏，则−2𝑎> −2𝑏
B．若𝑎> 𝑏，则𝑎+ 2 > 𝑏+ 2
C．若𝑚𝑎> 𝑚𝑏，则𝑎> 𝑏
D．若𝑎> 𝑏，则2𝑎< 2𝑏
2．（25-26 七年级下·北京顺义·期末）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
A．𝑎+ 2 > 𝑏+ 2 B．
𝑎
3 < −
𝑎
3
C．−2𝑎< −2𝑏
D．𝑎−𝑏> 0
3．（25-26 七年级下·陕西安康·期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若𝑎𝑚> 𝑏𝑚，𝑚< 0，则𝑎< 𝑏
B．若𝑥> 𝑦，则
𝑥
𝑚>
𝑦
𝑚
C．若𝑎> 𝑏，则𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2
D．若𝑎< 𝑏，则𝑎−𝑐> 𝑏−𝑐
4．（25-26 七年级下·广东江门·期末）如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：mm），用不等式
．．．表
示零件长度𝐿的合格尺寸（𝐿的取值范围）_______．
5．（25-26 七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若𝑎< 𝑏，则
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐”是一个假命题，那么c 的值可以
是______ ．
6．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）若𝑥> 𝑦，且(𝑚−2)𝑥< (𝑚−2)𝑦，𝑚是正整数，则𝑚的值是
______．
7．（25-26 七年级下·重庆梁平·期末）若𝑎> 𝑏，则下列各式中错误的个数是___________．
（1）𝑎−2 < 𝑏−2，（2）𝑎𝑐> 𝑏𝑐，（3）−3𝑎> −3𝑏，（4）
𝑎
3 >
𝑏
3，（5）1 −𝑎> 1 −𝑏，（6）𝑎2 < 𝑏2，（7）
𝑎𝑐2 < 𝑏𝑐2．
8．（2026·重庆·二模）已知𝑚< √19 + 2 < 𝑚+ 1，且m 为整数，则m 的值为______．
9．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果𝑎< 𝑏, 𝑐< 𝑑，那么𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．”
10．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）【理解】小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若𝐴−𝐵> 0，则𝐴> 𝐵；若𝐴−𝐵= 0，则𝐴= 𝐵；若𝐴−𝐵< 0，则𝐴< 𝐵．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较√5 −2√2与2√5 −√2的大小．
解：√5 −2√2 −(2√5 −√2)
= √5 −2√2 −2√5 + √2
10 / 11
学科网（北京）股份有限公司
= −√5 −√2，
∵−√5 −√2 < 0
∴√5 −2√2 < 2√5 −√2．
【运用】
(1)比较3𝑎2 −2𝑏+ 1与𝑏2 + 3𝑎2 −2𝑏+ 5的大小；
(2)比较2(𝑥2 −3𝑥𝑦+ 4𝑦2) −3与3𝑥2 −6𝑥𝑦+ 8𝑦2 −2的大小．
【拓展】
(3)比较𝑚+ 𝑛与𝑚−𝑛的大小．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·福建福州·期末）下面是帆帆同学的数学日记，请阅读并完成任务．
2026 年6 月3 日 星期三 晴
我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的性质
或基本事实比较代数式大小的代数推理过程．
例1 已知𝑎> 𝑏，试比较−2026𝑎+ 1与−2026𝑏+ 1的大小．
解：∵𝑎> 𝑏，−2026 < 0
∴−2026𝑎< −2026𝑏（依据1）
∴−2026𝑎+ 1 < −2026𝑏+ 1．
例2 已知𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，试比较𝑎+ 𝑐与𝑏+ 𝑑的大小．
解：∵𝑎> 𝑏
∴𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐①
∵𝑐> 𝑑
∴𝑏+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑．②
由不等式①②，得𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑．（依据2）
任务：
(1)帆帆日记中的“依据1”是_______，“依据2”是_______；
(2)已知𝑎，𝑏，𝑐，𝑑都是正数，且𝑏> 𝑎，𝑐> 𝑑，请类比帆帆日记中例2 的推理过程，比较𝑏𝑐与𝑎𝑑的大小关
系．
2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）实验背景：在“探秘质量守恒”综合实践课上，某数学兴趣小组用实验
室天平测量4 个未知质量的砝码（𝑎､𝑏､𝑐､𝑑质量各不相同），实验记录如下：
实验步骤
操作描述
天平状态（绘图区）
11 / 11
学科网（北京）股份有限公司
步骤一
左盘放𝑑，右盘放𝑎
步骤二
左盘放𝑎和𝑐，右盘放𝑏和𝑑
步骤三
左盘放𝑏和𝑐，右盘放𝑎和𝑑，此时天平平
衡．
任务一：数据分析
(1)根据图1、图2，分别写出能反映砝码质量关系的不等式；
任务二：数据推理
(2)根据图3，请你完成变形𝑐=__________；（用含𝑎､𝑏､𝑑的代数式表示）
任务三：数量关系
(3)结合三个图的信息，将𝑎､𝑏､𝑐､𝑑四个砝码的质量按从小到大的顺序排列，并写出完整的推理过程．
