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2.7 探索勾股定理（第一课时）
题型一：利用勾股定理直接求解
1．（24-25 八年级下·湖北武汉·期末）在Rt ABC
中，
90
C
=
，
30
A
=
，
3
AC =
，则AB 的长是（ ）
A．2 3
B．3 3
C．4 3
D．6 3
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2 /
2．（24-25 八年级下·河北沧州·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
10
AC =
，
8
AB =
，则BC 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，AD是Rt
ABC
△
的角平分线，
90
5
4
C
AD
AC
?
?
=
，
，
，则点
D 到AB 的距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．（2025·安徽滁州·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
1
AB = ，
2
AC =
，点D 在AB 的延长线上，且BD
AC
=
，
连接CD，E 为CD中点，则BE 的长是（ ）
A．3
2
B．
7
2
C．
3
2
D．2
5．（24-25 八年级下·江西上饶·阶段练习）在Rt
ABC
△
中，有两条边的长分别为1，2，则斜边的长为（ ）
A．2 或
5
B．2 或
3
C．
5
D．
3
6．
（24-25 八年级下·广东汕头·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，点D 是AB 的中点，若
6,
8
AC
BC
=
=
，
则CD的长为（ ）
A．5
B．10
C．7
D．2 7
7．（24-25 八年级上·四川成都·期中）在
ABC
中，
=60
B
，
45
C
=
，若
2
AB =
，则BC 长度为（ ）
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3 /
A．2
B．
3
C．1
3
+
D．6
题型二：利用勾股定理列方程求解
1．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）如图，在Rt ABC
中，
90
ACB
DE
=
，
垂直平分AB 交BC 于点D，
若ACD
的周长为14，且4
3
AC
BC
=
，则AB 的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
2．（24-25 八年级下·山西大同·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，
4
AC =
，点O 是AB
的中点，连接CO，则CO的长为（ ）
A．2
B．2 3
3
C．4 3
3
D．3 3
4
3．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，AE 是边BC 上的高线，D 为BC
边上一点，且
B
BAD
=
，若
2
AE =
，
5
ABD
S
=
△
，则EC 的长为（ ）
A．3
1
+
B．
3
C．5
1
−
D．3
2
4．（24-25 八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6cm
BC =
，
8cm
AC =
，按图中所示
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4 /
方法将
BCD
△
沿BD折叠，使点C 落在AB 边的C点．则ADC
的面积为（ ）
2
cm
A．6
B．12
C．8
D．16
5．
（24-25 八年级下·广东深圳·期末）如图，在Rt
ABC
△
中
90
ABC
=
，点E 在边 BC 上且
3
BE =
，
2
CE
AB
=
，
连接AE ，将ABE
沿AE 进行折叠，点B 的对应点为点F ，点D 是AC 的中点，连接BD，当BD EF
∥
时，
AB = ．
6．（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形ABCD中，
3cm
AB =
，
9cm
AD =
，将此长方形折
叠，使点B 与点D重合，折痕为EF ，则ABE
的面积为
2
cm
7．（23-24 八年级下·江苏无锡·期末）如图，在 Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，AB 、AC 边上的中线 CD、BE
相交于点 F ，已知
6
CD =
，
8
BE =
，则 BC 的长为 ．
题型三：勾股定理与无理数的综合
1．（24-25 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在Rt OAB
中，
90
1
1
OAB
OA
AB
=
=
=
，
，
．以点O 为圆心，
OB 长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P 所表示的数是（ ）
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A．1
B．2
C．2
D．1
2
+
2．（24-25 八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A B
，的坐标分别为(
) (
)
0,3 , 4,0 ，
以点B 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 轴负半轴于点C ，则
AOC
△
的面积为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
3．
（24-25 八年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，点A ，点B 分别表示实数1
−，2，过点B 作BC
AB
⊥
．且
2
BC =
，连接AC ．若以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交数轴正半轴于点D ，则点D 对应的实数是（ ）
A．13
B．13
1
−
C．13 1
+
D．13
3
+
4．
（24-25 八年级下·广西钦州·期末）如图，已知正方形ABCD 的面积为3，点A 在数轴上，且表示的数为1
−．现
以点A 为圆心，以AC 的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E 在A 的右侧），则点E 表示的数为（ ）
A．1.5
B．
3
C．5
1
−
D．6
1
−
5．（24-25 八年级下·湖北随州·期末）如图所示，
(
)
3,0
A
，
(
)
0,1
B
，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交x
轴负半轴于点C ，则点C 的横坐标是 ．
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6 /
6．（24-25 八年级上·宁夏中卫·期中）如图在Rt
BCO
△
中，
1
BC = ，
2
OC =
，以原点O 为圆心，OB 长为半
径画弧， 交数轴于点A， 则点A 表示的实数是 ．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，BA
BC
=
，对角线AC 平分BD，与BD相交于点O，
且DA
DB
=
．若
10,
16
AB
AC
=
=
，则AD的长为 ．
题型四：利用勾股定理求面积
1．（24-25 八年级下·山西忻州·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，CD是AB
边上的高，则CD的长为（ ）
A．5
B．12
5
C．6
5
D．24
5
2．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在
ABC
中，CD平分
ACB
，BD
CD
⊥
，
3
BC = ，
30
A
ABD
=
=
，则
ABC
的面积为（ ）
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7 /
A．2 3
B．3 3
C．9
3
2
D．7
2
2
3．（24-25 八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在四边形ABCD中，
1
AB
BC
=
= ，
6
AD =
，且
90
ABC
=
，
135
BAD
=
，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．2
B．1
3
2 +
C．1
3
2
+
D．1
2
+
4．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
BAC
CD
=
平分
,
ACB AE
CD
⊥
于点E ，连接
,
6,
8
BE AB
AC
=
=
，则ABE
的面积是 ．
5．（2025·四川成都·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
1
AB = ，
2
BC =
．以点A 为圆心，以
AB 长为半径作弧；再以点C 为圆心，以BC 长为半径作弧，两弧在AC 上方交于点D，连接BD，则BD的
长为 ．
6．（24-25 九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，D 为BC 的中点，DE
AB
⊥
于点
E，若
10
AB =
，
16
BC =
，则DE 的长为 ．
7．（24-25 八年级下·山西运城·期中）如图，
ABC
中，
90
ACB
=
，点D 是AB 边上一点，连接CD．若
10
12
AC
AD
=
=
，
，且
ADC
A
= ，则线段BD的长为 ．
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题型五：已知两点坐标求两点距离
1．（24-25 七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，点
(2,1)
P
到原点的距离是（ ）
A．
5
−
B．2
−
C．2
D．
5
2．（24-25 八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中有(
)
3,0
A −
、
(
)
0,4
B
两点，则线段AB 的长
是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
3．（24-25 八年级下·河北保定·期中）如图
13
OA =
，
26
AB =
，(
)
2,3
B −
，O是坐标原点，则
OAB
的度
数是（ ）
A．30
B．45
C．60
D．75
4．（2025·山东·二模）已知直角坐标系中，
ABC
的三个顶点坐标分别是(
)
(
)
(
)
2 0
5 0
5 4
A
B
C
−
−
−
，，
，，
，，连
接原点O与顶点A ，则下列线段中长度最长的是（ ）
A．OA
B．AB
C．BC
D．AC
5．（24-25 七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点(
)
(
)
1,2
3,
A
B
b
−
，
，当线段AB 最短时，AB 的
值为 ．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，以点
(
)
3,1
A
为端点的四条射线AB ，AC ，AD，AE
分别过点(
)
1,1
B
，点
(
)
1,3
C
，点
(
)
4,4
D
，点
(
)
5,2
E
，则
BAC
DAE
（填“>”“=”或“<”）．
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7．（24-25 八年级上·江苏苏州·阶段练习）设(
)
0, 2
A
−
，(
)
4,2
B
是平面直角坐标系中的两点，P 是线段AB 垂
直平分线上的点，如果点P 与点
(
)
1,5
C
的距离等于2 2 ，则点P 的坐标为 ．
8．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有点
(
)
0, 8
A
−
、
(
)
6,0
B
，点C 在y 轴上，如果
AC
BC
=
，那么点C 的坐标是 ．
题型六：判断能否组成勾股数
1．（24-25 八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长
的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5
C．
2
2
2
3 ,4 ,5
D．5，12，13
2．（24-25 八年级下·广西贺州·期末）下列各组数构成勾股数的是（ ）．
A．1
3 ，1
4 ，5
12
B．1.5，2，2.5
C．6，8，12
D．9，40，41
3．（24-25 八年级下·河南安阳·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形
三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3
B．4，5，
41
C．7，24，25
D．0.6，0.8，0.9
4．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，
我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾
股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研
究了勾为偶数，弦与股相差为2 的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，
则其弦是（ ）
A．25
B．26
C．27
D．28
5．（24-25 八年级下·重庆南川·期末）下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．
3,
4,
5
a
b
c
=
=
=
B．
9,
12,
15
a
b
c
=
=
=
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10 /
C．
5,
12,
13
a
b
c
=
=
=
D．
3,
5,
7
a
b
c
=
=
=
6．（24-25 八年级下·湖北恩施·期中）观察下列勾股数的规律：
第1 组：3,4,5 ，其中
2
2
5
3
4
=
+
；
第2 组：5,12,13，其中
2
2
13
5
12
=
+
；
第3 组：7,24,25 ，其中
2
2
25
7
24
=
+
；
第4 组：9,40,41，其中
2
2
41
9
40
=
+
；……
则第n 组勾股数中，最大的数（斜边）是（ ）
A．2
1
n+
B．
2
2
2
1
n
n
+
+
C．
2
2
2
n
n
+
D．
2
1
n
n
+
+
7．（24-25 七年级上·山东烟台·期中）以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形
的是（ ）
A．9,12,15
B．0.3 0.4 0.5
,
,
C．
2
2
2
6 ,8 ,10
D．1 1 1
,
,
3 4 5
8．（24-25 八年级下·广西贵港·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．0.3 0.4 0.5
，，
B．1，2 ，
3
C．16，12，20
D．8，15，19
题型七：以直角三角形三边为边长图形的面积
1．
（24-25 八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4 和S 的三个正方形围成
(
)
Rt
90
ABC
ABC
=
，
则S 的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．1
2．（24-25 八年级下·广西贵港·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方
形，面积分别记为
1
2
3
,
,
S S S ．若
3
2
1
10
S
S
S
+
−
=
．则图中阴影部分的面积为（ ）
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11 /
A．6
B．5
C．5
2
D．7
2
3．（24-25 八年级下·河南商丘·期末）如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（ ）
A．8
B．16
C．24
D．32
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片A B
C
，，
，它们的面积
分别记为
1
2
3
S
S
S
，，
．现将正方形纸片B 放置在最大的正方形C 内，如图2，阴影部分面积记为
4
S ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
1
2
S
S
=
B．
2
2
2
1
2
3
S
S
S
+
=
C．
1
4
S
S
=
D．
1
2
4
S
S
S
+
=
5．（24-25 八年级下·云南昆明·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，分别以
,
,
AC BC AB 为直径向外作
半圆，面积分别为
1
2
3
,
,
S S
S ，若
1
2
8π,
24π
S
S
=
=
，则
3
S 为（ ）
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12 /
A．16π
B．32π
C．40π
D．64π
6．（24-25 七年级下·全国·假期作业）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形A B
C
D
，，，
的面积和为 ．
7．（24-25 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形A 、B 、C 、D 、E 都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形，若正方形A 、B 、C 的面积依次为5，14，6 ，则正方形D 的边长为 ．
8．（24-25 八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角
形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得
名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第
一个正方形面积为1，则第2025 代勾股树中所有正方形的面积为 ．
9．（24-25 七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5 个正方形和5 个等腰直角三角形组成的图形，已知
③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是 ．
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13 /
10．（24-25 八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，
4
BC =
，分别以AB
AC
、
为直径作半圆，面积分别记为
1
2
,
S S ，则
1
2
S
S
+
= ．
题型八：勾股定理与网格问题
1．（24-25 八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，
ABC
的三边a ，b ，c 中无理数是
（ ）
A．a
B．b
C．c
D．a ，b
2．（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，
ABC
的三个顶点都在小正方形的
顶点上，则其三边a
b
c
、、的大小关系正确的是（ ）
A．c
a
b
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
3．（24-25 八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在
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14 /
正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．
2 5
AB =
B．
90
BAC
=
C．
10
ABC
S
=
△
D．点A 到直线BC 的距离是2
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，
以A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．
5
B．3
5
−
C．13
D．13
3
−
5．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A ，B ，C 均在网格的格点
上，下列结论不正确
．．．的是（ ）
A．
5
BC =
B．
5
AB =
C．
90
ACB
=
D．
10
ABC
S
=
△
6．（24-25 八年级下·山东济宁·期中）如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、
A
B
C 都
在格点上，BD
AC
⊥
于点D ，则BD的长为（ ）
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15 /
A．9
5
B．3
2
C．10
2
D．15
2
7．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 在小正方形的格点上，连接
AB ，BC ，AC ，则
ACB
的度数是（ ）
A．45
B．30
C．90
D．60
8．（24-25 八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1 的小正方形组成的网格中，点O，A，C 都在格点
上，以点O 为圆心，OA的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段BC 的长为（ ）
A．4
2 3
−
B．4
3
−
`
C．4
3 2
−
D．4
2 2
−
题型九：勾股定理中折叠问题
1．（24-25 八年级下·云南文山·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，点D 为BC 边上一点，将ACD
沿AD
翻折得到
AC D
，若点C在AB 边上，
6
AC =
，
8
BC = ，则BC的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2025·吉林长春·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4
AC =
，
6
BC =
．点E、F 分别是边AC 、AB
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16 /
上的点，连结EF ，将
AEF
△
沿EF 翻折，使得点A 的对称点落在边BC 的中点D 处，则DE 的长为（ ）
A．25
8
B．25
9
C．3
D．2
3．
（24-25 八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边
12cm
AC =
，
16cm
BC =
，
现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD等于（ ）
A．2cm
B．5cm
C．8cm
D．6cm
4．（24-25 八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别是6 ，8，现将
ABC
按
如图所示那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则DE 的长是（ ）
A．3
B．15
4
C．4
D．9
2
5．（24-25 七年级下·湖北荆州·期中）如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为1cm，
则长方形纸的面积为（ ）
2
cm
A．2
B．
3
C．2
D．3
6．（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
4,
6
C
AC
BC
=
=
=
，
，将它的锐角A 翻折，
使得点A 落在边BC 的中点D 处，折痕交AC 边于点E，交AB 边于点F，则DE 的长为（ ）
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17 /
A．2
B．3
C．25
9
D．25
8
7．（24-25 七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A 系列纸为长方形．将
4
A 纸按如图所示的方式进行两次
折叠，第一次折叠折痕为AE ，点B 落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF ，点E 与点D 恰好重
合．则AD
AB = ．
8．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边
6 cm
AC =
，
8 cm
BC =
．现
将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD的长等于 cm．
题型十：以弦图为背景的勾股定理
1．（24-25 八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与
四边形EFGH 都是正方形，若
2
BG
CG
=
，则小正方形与大正方形的边长之比为（ ）
A．1
2
B．
5
5
C．
3
5
D．1
5
2．（24-25 八年级下·河南商丘·期末）将四个图1 中的直角三角形拼成图2 中的弦图，若
8
ab = ，
5
c =
，则
图2 中阴影部分的面积为（ ）
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18 /
A．11
B．12
C．9
D．10
3．（24-25 八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”
是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，
(
)
n m
n
．若小正方形面积为5，(
)
2
21
m
n
+
=
，则大正方形面积为（ ）
A．8
B．13
C．15
D．15.5
4．（24-25 八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角
三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH ，正方形MNKJ 的面积分别记为
1S ，
2
S ，
3
S ．若
1
2
3
75
S
S
S
+
+
=
，则EF 的长是（ ）
A．2 2
B．4
C．5
D．5 3
5．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）第14 届数学教育大会（ICME－14）会标如图1 所示，会标中心图案
来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2 所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成
的大正方形，若
8
AE
BE
+
= ，
2
GH =
，则大正方形ABCD的面积为 ．
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19 /
6．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为
“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH 都是正方形，
ABF
△
，BCG
，
CDH
△
，DAE
是四个全等的直角三角形．若
1,
4
EF
DE
=
=
，则AB 的长为 ．
7．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称
它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若
10
AB =
，
8
AE = ，则
正方形EFGH 的面积为 ．
8．（24-25 八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四
个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边
5
a =
，斜边
13
c =
，
则小正方形的边长为 ．
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20 /
题型十一：勾股定理综合应用
1．（24-25 七年级下·山东济南·期末）如图，在
ABC
中，AB 边的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 边于点D
和点E ，且
2
2
2
BC
CE
AE
+
=
．
(1)连接BE ，求证：
90
C
=
；
(2)若
4,
2
AC
BC
=
=
，求CE 的长．
2．（24-25 八年级下·河北张家口·期末）如图，在
ABC
中，
2 17
BC =
，点D 在边AC 上，
8
BD =
，
2
CD = ．
(1)猜想
ADB
的度数，并说明理由；
(2)若
17
AB =
，求
ABC
的面积．
3．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，点D 、E 分别为AB 、BC 上的
点，连接DE 、AE ．
(1)若DE
AB
⊥
，AE 平分
BAC
，
5
AC =
，
13
AB =
，求DE 的长度；
(2)若
30
B
=
，DE 垂直平分AB ，连接CD，求证：
ADC
△
是等边三角形．
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21 /
4．（24-25 八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BCA
=
，
12
AC =
，
13
AB =
，点D 是
Rt
ABC
△
外一点，连接DC ，DB，且
4
CD =
，
3
BD =
．
(1)求证：
90
D
?
? ；
(2)求四边形ABCD面积．
5．（24-25 八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现AB
AC
=
，
20 m
BC =
，
D是腰AB 上一点，且
16 m
CD =
，
12 m
BD =
．
(1)求证：CD
AB
⊥
；
(2)求三角形花园
ABC
的面积．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
B
?
? ，
2
AB =
，
4
BC
CD
=
=
，
6
AD =
，
连接AC ．求四边形ABCD的面积．
6．（24-25 八年级下·河北保定·阶段练习）根据以下信息，判断三角形的形状．
(1)三角形的三边长a ，b ，c 满足
2
a
ab
bc
ac
−
=
−
，判断此三角形的形状．
(2)如图，在
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，
9
BD =
，
15
BC =
，
20
AC =
，判断
ABC
的形状．
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22 /
7．（24-25 八年级下·广西钦州·期末）实践与操作：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
．
(1)作AB 的垂直平分线，交BC 于点P ，交AB 于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接AP ，若
4
AC =
，
3
CP = 时，求BP的长．
8．（2025·四川南充·三模）如图，在
ABC
中，高AD与高CE 交于点F ，AD
CD
=
．
(1)求证：BD
FD
=
；
(2)若
2
BD = ，
4
CD =
，求AB 和CE 的长度．
9．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，
ABC
与
ADE
均为等边三角形，
90
CBD
=
，
3
BD
AB
=
，
连接CE ，延长BC 交AE 于点F ．
(1)求
FCE
的度数；
(2)求证：AF
EF
=
．
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23 /
题型十二：勾股定理的实际应用之梯子滑落问题
1．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯AB 靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A 到墙
根O的距离为7 米，云梯顶端B 到地面的距离为24 米，在云梯中点处有一个操作平台M ，连接OM ，现将
云梯的底端A 向外移动到
'A 处，则OM 的长将（ ）
A．小于12.5 米
B．大于12.5 米
C．等于12.5 米
D．大于等于12.5 米
2．（24-25 八年级下·河南开封·期末）如图，一架2.5m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，梯子底端B
到墙底部O 的距离BO为0.7m，如果将梯子顶端A 沿墙下滑0.4m到C 处，梯子底端B 将外移的距离BD为
（ ）
A．0.8m
B．0.7m
C．0.6m
D．0.5m
3．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角0.7 米（即
0.7m
AO =
），由于楼梯滑动，底部滑动了1.3米（即
1.3m
AD =
），楼梯的高度为2.5 米（即
2.5m
AB =
），则
楼梯下滑了 米．（即求BC 的长）．
4．（24-25 八年级下·河北唐山·期中）如图所示的两个滑块A ，B （可分别看成一个点）由一个连杆连接，
分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块A 与点O的距离为20cm ，滑块B 与点O的距离为
15cm．当滑块A 向下滑到点O时，滑块B 向右滑动了 cm．
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24 /
5．
（24-25 八年级下·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如
图2，云梯最多能伸长到25 m（即
25 m
AB
CD
=
=
），消防车高4 m ，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m
（即
19 m
BE =
）高的B 处救人后，还要从28 m （即
28 m
DE =
）高的D 处救人，这时消防车从A 处向着火
的楼房靠近的距离AC 为多少米？（延长AC 交DE 于点O，AO
DE
⊥
，点B 在DE 上，OE 的长即为消防
车的高4 m ）
6．（24-25 八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯AB 的长为25 米，斜靠在竖直的墙面OB 上，消防
梯底端A 距墙面OB 的水平距离为7 米．
(1)求消防梯顶端B 离地面的竖直高度为多少米？
(2)若消防梯顶端B 沿墙面竖直向下滑动了4 米，试求其底端A 在水平方向滑动了多少米？
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25 /
题型十三：勾股定理的实际应用之旗杆高度问题
1．（24-25 八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8 米处（
8
AC =
米），升起云梯到火灾窗口B ．已知云梯AB 的长为17 米，云梯底部距地面的高
1.5
AE =
米，则发生火灾的
住户窗口距离地面的高BD为（ ）
A．19.5 米
B．17.5 米
C．15 米
D．16.5 米
2．（24-25 八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗
杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端5 米处，发现此时绳子底端距离打结处约1 米．则小明算出旗杆的高度为（ ）
A．10 米
B．12 米
C．13 米
D．15 米
3．（24-25 八年级下·湖北黄冈·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项
目
测量风筝放飞的垂直高度
测量示
意图
测量数
据
记录长度
①测得水平距离BC 的长为15 米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为17 米．
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26 /
③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8 米．
解决问
题
任务一
如上图，求风筝离地面的垂直高度AD．
任务二
如果小明想要风筝沿DA方向再上升12 米，BC 长度不变，则他
应该再放出多少米的线？
4．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗
杆AB 的高度，通过测量得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3 米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1 米，到旗杆的距离CE 为12 米（如图2）．
根据以上信息，解答下列问题
(1)设旗杆AB
x
=
米，则AC =______米，AE =______米（用含x 的式子表示）
(2)求旗杆x 的值．
5．（24-25 八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的
垂直高度CE ，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）：
①嘉嘉握住风筝线的手点B 到CE 的距离
7m
BD =
；
②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线
25m
BC =
；
③嘉嘉握住风筝线的手点B 距离地面的高度
1.8m
AB =
．
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27 /
(1)求风筝距离地面的高度CE 的长；
(2)嘉嘉想把手中剩余的7m 长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？
题型十四：勾股定理的实际应用之小鸟飞行问题
1．（24-25 八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣
的数学问题：有两棵树，一棵高5m ，另一棵高2m，两树相距4m ，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树
的树顶，至少需要飞（ ）
A．2m
B．3m
C．4m
D．5m
2．（24-25 八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m 的
树顶上，两棵树相距12m ，则喜鹊至少要飞 m ．
3．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）如图，有两棵树，一颗高6 米，另一棵高2 米，两树相距5 米，一只
小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 m ．
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28 /
4．（24-25 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（
18
AB =
米），另一棵高2 米（
2
CD =
米），两树相距12米（
12
BD =
米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2 ，台风过后，高18米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距离地面
多少米？
5．（24-25 七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游
客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下
的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m ；根据手中余线长度，计算出AC 的长度为17m；牵线
放风筝的手到地面的距离AB 为1.5m．已知点A，B，C，D 在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC 方向再上升12m ，请问能否成功？请运用数学知识说
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29 /
明．
6．（24-25 八年级上·陕西宝鸡·期中）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高
度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下
面试题．
报告
测量风筝的垂直高度EF ．
成员
组长：组员：，，
工具
皮尺等
示意
图
方案
先测量水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长BF ，最后测量放
风筝的同学的身高AB ．
数据
16
BD =
米，
20
BF =
米，
1.7
AB
DE
=
=
米，
90
BDF
=
．
(1)求此时风筝的垂直高度EF ；
(2)若站在点A 不动，想把风筝沿DC 方向从点F 的位置上升18 米至点C 的位置（即
18
CF =
米，点C、点
F、点D 在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？
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30 /
题型十五：勾股定理的实际应用之水杯中解决筷子问题
1．（24-25 八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长13cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm，高为8cm 的圆柱
形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为cm
h
，则h 的取值范围是（ ）
A．5
7
h
B．2
4
h
C．4
6
h
D．3
5
h
2．（24-25 八年级下·广东广州·期末）将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的装满水的无盖
圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为cm
h
，则h的取值范围是（ ）
A．
15cm
h
B．
8cm
h
C．8cm
17cm
h
D．7cm
16cm
h
3．（24-25 八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm 和
12cm，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，，则铅笔的
长是（ ）
A．22cm
B．21cm
C．20cm
D．19cm
4．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今
有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇
门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4
尺，竖着放竹竿比门高多出2 尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x 尺，可列方
程为 ．
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31 /
5．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一
丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）
其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB ，它高出水面1尺
（即
1
BC = 尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B 恰好到达池边的水面D 处．问水的深度
是多少？则水深DE 为 尺．
6．
（24-25 八年级下·云南昆明·期中）
《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引
葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10 尺，有一棵
芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1 尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇
的长度．
7．（24-25 八年级下·河南信阳·期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC 为1 米，
一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB
DB
=
），已知红莲移动的水平距离CD为3 米，则湖
水深CB 为多少？
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32 /
题型十六：勾股定理的实际应用之水杯中解决航海问题
1．（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60方向，距离灯塔45 海里的A 处，
它沿北偏东30方向航行60 海里到达B 处，此时与灯塔P 的距离为（ ）
A．27 海里
B．75海里
C．50海里
D．15 3 海里
2．
（24-25 八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A 港沿北偏东60方向航行24km至B 港，然后再沿北偏西30
方向航行32km至C 港，则A，C 两港之间的距离为（ ）
A．16km
B．12km
C．40km
D．8 7km
3．（24-25 八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O 出发沿北偏西25的方向航行6 海里，同
时轮船乙从港口O 出发沿南偏西65的方向航行8 海里，这时两轮船相距 海里．
4．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船
同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们
离开港口3
2 小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
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33 /
5．（24-25 八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，
渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的A 、B 两地前去劝
阻，6min 后同时到达C 处．已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50 海里，航向为北
偏西23．
(1)求甲巡逻艇的航行方向；
(2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3min 后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
6．（23-24 八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50 海里/小时速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P
在北偏东60方向上，继续航行1 小时到达B 处，此时测得灯塔在北偏东30方向上．
(1)求
APB
的度数；
(2)已知在灯塔P 的周围25 海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
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34 /
7．（24-25 八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12
海里．
(1)若它们离开港口2 小时后分别位于A、B 处（图1），如果知道“远航”号沿射线OA方向航行，“海天”号沿
射线OB 方向航行，则AO =______海里，BO = ______海里；
(2)若它们离开港口1.5小时后分别位于A、B 处（图1），且相距30 海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，
能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
题型十七：勾股定理的实际应用之水杯中台阶上地毯问题
1．（24-25 八年级下·重庆渝北·期中）如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在
如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40 元，站台宽为10m，则购买这种
地毯至少需要 元．
2．（24-25 八年级下·重庆长寿·阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将
楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知
90
C
=
，
3m
AC =
，
5m
AB =
．
(1)求BC 的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25 元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过
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程中没有损耗）
3．（24-25 八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡
面AB 平行的护栏
(
)
MN MN
AB
=
．小明量得每一级石阶的宽为32cm，高为24cm ，爬到山顶后，小华数得
石阶一共200 级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏MN 的长度．
4．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3 和1，A 和B 是
这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，想到点B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B
的最短路程长是多少？
题型十八：勾股定理的实际应用之水杯中判断汽车是否超速问题
5．（24-25 八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024
年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h 调整为80km/h、
大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车
速检测仪A 处的正前方120m的C 处（即
120m
AC =
），过了8s 小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检
测仪间的距离为200m．
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36 /
(1)求BC 的长；
(2)这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s
3.6km/h
=
）
6．（24-25 八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/ h ，小明尝试用自己
所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P 到该路段l 的距离（OP 的长）为40
米，测得一辆汽车从A 处匀速行驶到B 处用时3 秒，
60 ,
45
APO
BPO
=
=
．试通过计算判断此车是否超
速？（3
1.7, 2
1.4
）
7．（24-25 八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速100km/h ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线
行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C 处的正前方50m的B 处，过了4s，大巴车到达A 处，此时
测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m．问题：这辆大巴车超速了吗？
8．（24-25 八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规
定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过30km/h．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶
车刚好行驶到路边测速仪A 处的正前方40m的C 处，过了3s 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离AB 为
50m．这辆观光电瓶车超速了吗？
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37 /
9．（23-24 八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN
上限速60 千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C，从观测点C 测得一小车从点
A 到达点B 行驶了5 秒，已知
60
CBN
=
，
200
BC =
米，
100 6
AC =
米．
(1)请求出观测点C 到公路MN 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：2
1.41
，3
1.73
）
10．（24-25 八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝
试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路l 的距离为100m的P 处．这时，一辆车由西向东
匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为3s ，并测得
60
APO
=
，
45
BPO
=
．
(1)求AP 的长；
(2)试判断该车是否超过了70km / h 的限制速度．（参考数据：3
1.732
）
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38 /
题型十九：勾股定理的实际应用之水杯中判断是否受台风影响
1．（24-25 八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km的B 处
有一台风中心，沿BC 方向以20km / h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离
60km
AD =
．
(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？
(2)如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D 点休闲的游客在接到台风警报
后的几小时内撤离才可脱离危险？
2．（24-25 八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路
上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路AB 上，沿东西方向由A 向B 行驶．小丽的家在公路的
一侧点C 处，且点C 与直线AB 上的两点A B
，的距离分别为
300m
400m
AC
BC
=
=
，
，又
500m
AB =
，假如
移动广播车周边250 米以内能听到广播宣传．
(1)求
ACB
的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路AB 上以10 米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E 时，小丽在家刚好听
到广播，当移动广播车行驶到点F 时，小网在家刚好不再听到广播，即
250
CE
CF
=
=
米，问小丽在家听到
广播宣传的时长是多长？
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39 /
3．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）去年第13 号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力
极强．如图，台风中心沿东西方向由A 向B 移动，已知点C 为一海港，与A，B 的距离分别为
300km
AC =
，
400km
BC =
，且
500km
AB =
．根据实测数据，台风中心半径260km范围内的地区会受到台风影响．
(1)海港C 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续8h ，求台风中心的移动速度．
4．（24-25 八年级下·广东东莞·期中）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且
30
QPN
=
． 点A 处有
一栋居民楼，
160m
AP =
． 假设一拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶，周围100m以内（包括100m）会
受到噪声的影响．
(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，则居民楼受到影响的时间有多长？
5．（24-25 八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在A 城正西方向300km的B 处，以每小
时10 7km的速度向北偏东60的BF 方向移动，距台风中心200km的范围是受台风干扰的区域，问A 城是
否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出A 城受台风干扰的时间．
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40 /
6．（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路AB
由点A 向点B 行驶，已知点C 处为一所学校，点C 与直线AB 上两点A，B 的距离分别为150m和
200m,
250m
AB =
，吊车周围130m以内为受噪声影响区域．
(1)求
ACB
的度数．
(2)学校C 会受噪声影响吗？为什么？
题型一：勾股定理中最值问题
1．（24-25 八年级下·四川广安·期末）如图，在直角
ABC
中，
90
C =
∠
，
2
AC
BC
=
=
，P 为AC 的中点，
Q 为AB 上的一个动点，连接PQ ，CQ ，则PQ
CQ
+
的最小值为 ．
2．（23-24 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
6
8
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
，如果点D，E
分别为BC
AB
，
上的动点，那么AD
DE
+
的最小值是 ．
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41 /
3．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）在Rt ABC
中，
90
ABC
=
，
4
AB =
，
3
BC = ．过点C 作CD
BC
⊥
，
使CD
AC
=
，连接BD．点P，Q 分别是边AB 和AC 上的动点，始终保持AP
CQ
=
，连接CP ，BQ ，则CP
BQ
+
的最小值为 ．
4．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）如图，四边形ABCD的面积为4，
90
BCD
=
，AC 平分
BCD
，
2
BC
CD
+
= ，则AD
AB
+
的最小值为 ．
5．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）如图，
30
AOB
=
，点C 在OA 上，且
2
OC =
，P 和Q 分别是OB 和
OA 上的动点，则CP
PQ
+
长度的最小值是 ．
6．（24-25 八年级下·四川成都·期中）如图，
ABC
为等边三角形，点D 和点E 分别在AC 和BC 边上，连
接AE
BD
，
交于点F．如图1，当
=
AD
CE ，
30
CFE
=
时，BF
AF = ；如图2，当
2
AD
CE
=
时，DE
BD 的
最小值为 ．
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42 /
题型二：利用勾股定理求线段平方和差问题
1．
（23-24 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC
BD
⊥
，相交于点O．若
3
6
AB
CD
=
=
，
则
2
2
AD
BC
+
= ．
2．（24-25 八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角
AOB
，等腰直角
COD
△
，
90 ,
3,
4
AOB
COD
AO
CO
=
=
=
=
，连接
,
AD BC 相交于点M，则
2
2
AC
BD
+
= ．
3．（24-25 八年级下·全国·单元测试）定义：如图，点
,
M N 把线段AB 分割成
,
AM MN 和BN 三条线段，若
以线段
,
,
AM MN BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点
,
M N 是线段AB 的勾股分割点．已知点
,
M N 是
线段AB 的勾股分割点，若
2,
3
AM
MN
=
= ，则
2
BN = ．
4．（23-24 八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”
四边形ABCD，对角线AC
BD
，
交于点O，若
3
AD = ，
8
BC = ，则
2
2
AB
CD
+
= ．
5．（23-24 八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E，交AB 于
点F，D 是线段CE 上一点，且满足条件：CD
DE
=
，
90
ADC
=
．若
36
B
=
，
5
3
AB =
+ ，
5
1
AC =
+
，
则
2
AD = ．
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43 /
6．
（24-25 八年级下·山西大同·期末）如图，ABC
和ECD
都是等腰直角三角形，
5
2
CA
CB
=
=
，
3
CE
CD
=
= ，
ABC
的顶点A 在ECD
的斜边DE 上，则
2
2
AE
AD
+
的值为 ．
题型三：勾股定理证明和差关系（解答题）
1．
（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，ABC
和ECD
都是等腰直角三角形，
90
ACB
ECD
=
=
，ECD
的顶点D 是
ACB
△
的斜边AB 上的点，连接AE ．
(1)求
EAC
的度数；
(2)求证：
2
2
2
2
AD
BD
CD
+
=
(3)若
3
BD
AD
=
，请直接写出EC
BD 的值．
2．（24-25 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图1，
ACB
△
和ECD
都是等腰直角三角形，CA
CB
=
，
CE
CD
=
，
90
ACB
ECD
=
=
，
ACB
△
的顶点A 在ECD
的斜边DE 上．
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44 /
(1)线段AB 与线段AC 的数量关系为：______．
(2)在（1）的条件下，求证：
2
2
2
2
AE
AD
AC
=
+
；
(3)如图2，若
2
AE =
，
2 5
AC =
，点F 是AD的中点，请直接写出CF 的长．
3．（24-25 八年级上·上海松江·期末）已知：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CA
CB
=
．点D 、E 在线段AB
上．
(1)如图1，如果CD
CE
=
，求证：AD
BE
=
．
(2)如图2，如果
45
DCE
=
，求证：
2
2
2
DE
AD
BE
=
+
．
4．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，AB
BC
=
，
90
ABC
=
，点P 是斜边AC
上的动点，点E 在直线BC 上，满足PB
PE
=
，EQ
AC
⊥
于点Q ，设
PBE
=
．
(1)当45
90
时，求
EPQ
的度数（用含有的代数式表示）．
(2)当45
90
时，请用一个等式表示线段PQ 与AC 之间的数量关系，并说明理由．
(3)当0
90
时，请用一个等式直接写出线段AP ，PE，EC 之间的数量关系．
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45 /
5．（24-25 八年级上·江苏苏州·期中）如图，Rt
ABC
△
中，
90
A
=
．
(1)图1 中，若
7
AB =
，
24
AC =
，则BC 边上的高AD的长为______；
(2)在图2 中尺规作图：在线段AC 上找一点P，使得
2
2
2
PC
PA
AB
−
=
，画出点P 的位置并说明理由．
6．（24-25 八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形ABCD中，AB
CD
=
，AD
BC
=
，
90
ABC
BCD
CDA
DAB
=
=
=
=
，则AC 与BD的数量关系是________．
②如图2，P 是长方形ABCD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现
2
2
AP
CP
+
与
2
2
BP
DP
+
的数量关系为________．
（2）探究：如图3，P 是长方形ABCD外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
（3）应用结论：如图4，在ADC
中，
5
DA = ，
12
CD =
，B 是
ADC
△
内一点，且
3
DB =
，
90
ABC
=
，
则AC 的最小值= ________．
题型四：勾股定理证明（解答题）
1．（24-25 七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为
a 和b ，斜边长为c ；图②是以c 为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾
股定理的图形．
(1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形．
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(2)用这个图形验证勾股定理．
(3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形
吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）．
2．（24-25 八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们
对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在
1994 年构造发现了一个简洁优美的新证法．
【证法再现】
如图，把两个全等的直角三角形DAE
和
ABC
如图1 放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
90
DAB
B
= =
，
AC
DE
⊥
．请用a，b，c 分别表示出梯形ABCD，EBC
．四边形AECD 的面积：
ABCD
S
=
梯形
______，
EBC
S
=
△
______，
AECD
S
=
四边形
______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程；
【知识运用】
如图2，河道上A，B 两点(看作直线上的两点)相距160 米，C，D 为两个菜园(看作两个点)，AD
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，
垂足分别为A，B，
70
AD =
米，
50
BC =
米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P，使得抽水点P 到两个
菜园C，D 的距离和最短．
(1)请在图2 中确定点P 的位置，并说明理由；
(2)该最短距离和为多少米？
2．（24-25 八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有
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独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别
为a，b（a
b
），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：
2
2
2
a
b
c
+
=
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(
)
2
a
b
+
的值．
3．（24-25 八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了
勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若
3
a = ，
4
b =
，则空白部分的面积为___________．
【能力提升】
（3）如图3，在
ABC
中，AD是BC 边上的高，
4
AB =
，
5
AC =
，
6
BC =
，设BD的长为x ，请求出x 的
值．
4．（24-25 八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个
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非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理
的证明方法到现在为止有500 多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、
复数证明、面积证明等．
当两个全等的直角三角形按图1 或图2 摆放时，都可以用“面积法”来证明．
(1)以下是利用图1 证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：
将两个全等的直角三角形按图1 所示摆放，其中
90
DAB
=
，求证：
2
2
2
a
b
c
+
=
证明：连结BD，过点D 作BC 边上的高DF
BC
⊥
于点F ，则DF
EC
b
a
=
= −
．
2
1
1
2
2
ACD
ABC
ADCB
S
S
S
b
ab
=
+
=
+
四边形
，
又
ADB
DCB
ADCB
S
S
S
=
+
=
四边形
______________________，
______________________
2
2
2
a
b
c
+
=
．
(2)请参照上述证明方法，利用图2 完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2 所示摆放，其中
90
DAB
=
，求证：
2
2
2
a
b
c
+
=
．
5．（24-25 八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何
学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1 是著名的赵爽弦
图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，斜边为c ）拼成，用它可以验证勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）图2 为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，
斜边为c ）和直角边为c 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
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49 /
【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为a ，b ，斜边为c ，从上述两种方法中，任选一种方法证
明勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，该村为方
便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A ，H ，B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，现测得
1
CA =
千米，
2.1
=
AB
千米，
1.7
BC =
千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH 的
长．
6．（24-25 八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】
在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2 的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推
论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域
中的许多数学公式和规律．
【问题解决】
（1）材料中的方法体现的数学思想是______；
A.函数思想 B.分类讨论思想 C.数形结合思想 D.整体思想
（2）如图，它由2 个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股
定理，请你写出证明过程；
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【灵活应用】
（3）如图，在四边形ABCD中，
ABC
DCB
=
，过A 点作AE
CD
∥
交BC 于点E ，连接AC ．若
6
AB =
.
4
BE =
，
7
AC =
，求EC 的长度（结果保留根号）．
7．（24-25 八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O 是矩形ABCD的AD 边上一点， 求证：
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
．
分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行
求证．
证明：过O 点作 OE 垂直BC ，垂足为E，
设OA
BE
x
=
=
，OE
y
=
，OD
EC
z
=
=
，
在直角三角形BEO 中，
2
2
2
2
2
OB
BE
OE
x
y
=
+
=
+
在直角三角形OCD中，
2
2
2
2
2
OC
CD
OD
y
z
=
+
=
+
所以
2
2
2
2
2
OA
OC
x
y
z
+
=
+
+
2
2
2
2
2
OB
OD
x
y
z
+
=
+
+
即
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
得证
请您模仿以上方法完成以下问题；
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(1)如图2，已知点O 是矩形ABCD内任意一点，求证：
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
；
(2)如图3，已知点O 在矩形ABCD的外部，结论
2
2
2
2
OA
OC
OB
OD
+
=
+
还能成立吗？请给予证明．
题型五：勾股定理构造图形解决问题
1．（24-25 八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的
几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从
而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n 均为正实数、且
4
m
n
+
=
，求
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值．通过分析，小明想到
了利用下面的构造解决此问题：如图，
4
AB =
，
1
AC = ，
2
BD = ，AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，点E 是线段AB 上
的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，设AE
m
=
，BE
n
=
．
①用含m 的代数式表示CE = ________，用含n 的代数式表示DE =________；
②据此写出
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值是____________；
(2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式
(
)
2
2
25
16
49
x
x
+
+
−
+
的最小值；
2．（24-25 八年级下·广西桂林·期末）探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式
2
2
2
a
b
c
+
=
（其中a，b 为直角三
角形的两条直角边，c 为直角三角形的斜边）与乘法公式(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b 表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上
两个公式可以得出另外的等式：(
)
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
，在这个等式里，可以将a
b
+
，c ，ab 分别看成三个量，
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由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
(1)在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
(2)如图，在四边形ACBD中，已知
90
C
D
=
=
，
3
AC
BC
+
= ，
2
2
5
AD
BD
+
=
，求Rt
ABC
△
的面积．
3．（24-25 八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置
关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题
途径的目的．
(1)【经历体验】已知m ，n 均为正实数、且
4
m
n
+
=
，求
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值．
通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，
4
AB =
，
1
AC = ，
2
BD = ，AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，
点E 是线段AB 上的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，设AE
m
=
，BE
n
=
．
①用含m 的代数式表示CE = ______，用含n 的代数式表示DE =______；
②据此写出
2
2
1
4
+ +
+
m
n
的最小值是______；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式
(
)
2
2
25
16
49
x
x
+
+
−
+
的最小值是______；
(3)【感悟探索】
①已知a ，b ，c 为正数，且
2
a
b
c
+ + =
，试运用构图法，画出图形，并写出
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
a
c
+
+
+
+
+
的
最小值；
②若a ，b 为正数，试运用构图法，直接写出以
2
2
a
b
+
，
2
2
4
4
a
b
+
，
2
2
9a
b
+
为边的三角形的面积是
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______．
4．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值．
分析：
2
23
x +
和(
)
2
2
12
2
x
−
+
是勾股定理的形式，
2
23
x +
是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜边，
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是直角边分别是12
x
−
和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角
ABC
和DEF
，
并使直角边BC 和EF 在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC 使点B 和E 重合（图2），这时
12
12
CF
x
x
=
+
=
-
，
3
AC =
，
2
DF =
，问题就变成“点B 在线段CF 的何处时，AB+DB 最短？”根据两点间
线段最短，得到线段AD 就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式
2
2
4
(5
)
1
x
x
+
+
−
+ 的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数x 满足
2
2
36
64
10
x
x
−
+
−
=
，求x 的值．
5．（24-25 八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正
方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设AH
a
=
，BH
b
=
，AB
c
=
．
①请你利用图1 验证：
2
2
2
a
b
c
+
=
；
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54 /
②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH 的边长为7，求ab ．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB
AC
=
，由于某种原因，
由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B 在同一条直线
上），并新修一条路CH ，且CH
AB
⊥
．测得
0.8
CH =
千米，
0.4
HB =
千米，求新路CH 比原路CA 少多少
千米？
(3)已知在
ABC
中，
10
AC =
，
17
BC =
，
21
AB =
，求
ABC
的面积．
6．（24-25 八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值．聪明的
小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图1，作一条长为16 的线段CD；
②过点C 在线段CD上方作AC
CD
⊥
，使
3
AC =
；过点D 在线段CD下方作BD
CD
⊥
，使
9
BD =
；
③在线段CD上任取一点O，设CO
x
=
；
④根据勾股定理计算可得，AO =__________，BO = __________（请用含x 的代数式表示，不需要化简）；
⑤如图2，过点B 作BA
AC
⊥
交AC 的延长线于A，则
9
CA
BD
=
=
，
16
BA
CD
=
=
，连接AB 交CD于点O，
当A 、O、B 三点共线时（即O在O处），AO
BO
+
取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的
做法，求
(
)
2
2
9
16
81
x
x
+
+
−
+
的最小值．
（2）请结合第（1）问，直接写出(
)
(
)
2
2
1
25
16
9
x
x
−
+
+
−
+
的最小值．
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55 /
1．（24-25 九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
2,
1,
6
B
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
=
，
，
则四边形ABCD的面积为（ ）
A．5
1
+
B．
5
1
2
+
C．
5
D．5
1
−
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
6,
10
C
AC
AB
=
=
=
，以点A 为圆心，适当
长为半径画弧，分别交
,
AC AB 于点M，N，再分别以M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧在
CAB
的内部相交于点P，画射线AP 与BC 交于点D，DE
AB
⊥
，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．
CAD
BAD
=
B．CD
DE
=
C．
5 3
AD =
D．
:
3:5
CD BD =
3．（24-25 七年级下·广西玉林·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是
由4 个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若
3
AE = ，
5
AD = ，则小正方形EFGH 的
面积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（24-25 八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知点P 的坐标为(
)
7, 1
−
−
，以点O 为圆心．以OP 的长
为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A．则A 点表示的数为（ ）
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56 /
A．
50
−
B．4 3
−
C．50
D．4 3
5．（24-25 八年级下·四川凉山·期末）如图，以Rt ABC
的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设
1
ABD
S
S
=
△
，
2
BCE
S
S
=
△
，
3
ACF
S
S
=
△
，
ABC
S
S
=
，则它们之间的关系正确的是（ ）
A．
1
2
3
S
S
S
=
+
B．
1
2
3
S
S
S
S
=
+
+
C．
1
2
S
S
S
=
+
D．
1
S
S
=
6．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在4 4
的方格中，每个小正方形的边长为1，点A 在数轴
上表示的数是1
−，以A 为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，点E 所表示的数是（ ）
A．10
B．
10
−
C．1
10
−
D．10
1
−
7．（24-25 八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，两个滑块A，B 由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平
的滑道上滑动．开始时，滑块A 距O 点20 厘米，滑块B 距O 点15 厘米，则当滑块A 向下滑13 厘米时，
滑块B 向右滑动了（ ）
A．9 厘米
B．24 厘米
C．12 厘米
D．15 厘米
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57 /
8．（24-25 八年级下·天津南开·期末）如图①是第14 届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学
家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知
大正方形的边长AD为25，AE 的长为7，则小正方形的边长EF 为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士
琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法
则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，
写出第⑤组勾股数为 ．
10．（24-25 八年级下·河北张家口·期末）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，有“东方魔板”之称．小明用如
图1 所示的边长为8cm 的正方形七巧板（由5 个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形组成），并
以“蛇年”为主题进行创意拼图，所拼作品如图2 所示，则图2 中阴影部分的周长为 cm．
11．（24-25 八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形ABCD的面积为10，点A 表示的数为1，以点A 为圆心，
AD的长为半径画圆，交数轴于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），则点M 表示的数为 ．
12．
（24-25 九年级下·浙江温州·期中）如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交会，两条路的夹角
30
QON
=
，
在射线OQ 上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200 米以内会受到噪音的影响，居民楼A 离点O
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58 /
的距离至少是 米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A 离点O 的距离为300 米，
如果火车行驶的速度为72 千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为 秒（3
1.73, 5
2.24, 7
2.65
，
结果精确到0.1秒）．
13．（2025·广东广州·二模）真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80 米的高度水平飞
行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30 米．为了获得最佳的拍摄效果，需要
计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45的角度对准塔楼的顶部．
(1)当无人机位于点B 处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离；
(2)如果无人机的摄像头角度调整为30，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号）
14．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，
4
AC =
，
3
BC = ，
9
5
DB =
．
(1)求CD的长；
(2)求AD的长；
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15．（24-25 八年级下·湖南岳阳·期中）已知，如图，
4
=
AD
，
3
CD =
，
90
ADC
=
，
13
AB =
，
90
ACB
=
，
(1)求AC 的长；
(2)求图形中阴影部分的面积．
16．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）问题提出
（1）如图1，在
ABC
中，AD
BC
⊥
．若
5
AB =
，
3
BD =
，
6
CD =
，则AC =______．
问题探究
（2）如图2，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD交于点O，且AC
BD
⊥
．
求证：
2
2
2
2
BC
AD
AB
CD
+
=
+
．
问题解决
（3）如图3，ABC
是某小区的局部示意图，其中
90
B
=
，
600
AB =
米，AD，DE 是两条小道，D 为BC
的中点，DE
AC
⊥
于点E ．该小区物业计划在AC 的下方修一条骑行小道AF ，且满足EF
EC
=
，
90
AFE
=
．请根据上述条件，求骑行小道AF 的长．
17．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名
叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，
先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”
的问题广泛流传．
(1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马
问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点A 、点B ，把河岸抽象为直线L ，把距
离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程
最短的是___________．
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A ．
B ．
C ．
D ．
(2)如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，
10
AC =
米，
20
BD =
米，
40
CD =
米，牧童从A 处把牛牵到
河边L饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
(3)已知
(
)
8
0,
0
a
b
a
b
+
=
，求
2
2
16
4
a
b
+
+
+
的最小值．（可结合图形）
