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2.2 平方根与立方根
课标要点
1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义与符号表示，明晰平方与开平方、立方与开
立方互为逆运算，熟练掌握平方根与立方根的各项基本性质。
2.能够准确计算常见完全平方数、完全立方数的方根，会用夹逼法估算无理数范围、比
较无理数大小，会借助计算器完成方根近似计算，提升运算能力。
3.通过类比平方根与立方根的探究过程，掌握类比推理思想，利用算术平方根双重非负
性解决简单求值问题，增强符号意识与逻辑推理能力。
4.能结合正方形面积、正方体体积等实际情境建立数学模型，运用方根运算解决基础实
际问题，培养数学应用意识与严谨规范的解题习惯。
学习重难点
重点：
1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念、符号表示及基本性质，能正确区分平方根
与算术平方根。
2.会利用平方、立方的互逆运算，熟练求常见完全平方数、完全立方数的平方根和立方
根。
3.掌握无理数的简单估算方法，能够比较无理数的大小，具备基本的实数运算能力。
难点：
1.理解并运用算术平方根的双重非负性解决求值、取值范围类题型。
2.准确辨析平方根与立方根的性质差异，理解 “负数无平方根、负数有立方根” 的本
质区别。
3.灵活运用方根知识结合实际情境建立数学模型，解决面积、体积相关的实际应用问题。
第二章
实数
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知识点
平方根
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫作二次方根。求
一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。
公式：若𝑥2 = 𝑎，则𝑥= ±√𝑎(𝑎≥0)
随学随练
1．16 的平方根为（ ）
A．2
B．±2
C．4
D．±4
【答案】D
【分析】根据平方根的定义即可解答．
【详解】解：∵(±4)2 = 16，
∴16的平方根为±4．
2．−2的平方根是（ ）
A．−√2
B．√2
C．±√2
D．不存在
【答案】D
【详解】解：∵任意实数的平方为非负数，
∴不存在平方后等于−2的实数，即−2没有平方根．
3．4 的平方根是（ ）
A．±2
B．2
C．−2
D．±√2
【答案】A
【详解】∵(±2)2 = 4，
∴4的平方根是±2．
特别提醒
只有非负数a才有平方根，被开方数a必须满足a ≥0，负数不存在平方根，开平方运算在实数范围内仅对
非负数有效。
易错提醒
易忽略正数有两个平方根，做题时只写出正平方根，漏掉负平方根；误认为任意实数都可以开平方，出
现对负数开平方的错误写法。
教材延伸
利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正确。
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4．√16 =（ ）
A．4
B．±4
C．−4
D．±8
【答案】A
【详解】解：√16表示16的算术平方根. ∵42 = 16， ∴√16 = 4．
5．√4的值等于________．
【答案】2
【详解】解：∵22 = 4，
∴√4 = 2．
6．13 的平方根是___________．
【答案】±√13
【详解】解：∵(±√13)
2 = 13，
∴13 的平方根是±√13．
7．已知2𝑎+ 1是9 的平方根，则𝑎的值是__________．
【答案】1 或−2
【分析】根据平方根的定义得到关于𝑎的一元一次方程，求解即可得到𝑎的值．
【详解】解：∵9的平方根是±3，2𝑎+ 1是9的平方根，
∴2𝑎+ 1 = 3或2𝑎+ 1 = −3，
解得：𝑎= 1或−2．
知识点
算术平方根
基本概念：利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正
确。
公式：算术平方根：√𝑎(𝑎≥0)；双重非负性：𝑎≥0，√𝑎≥0
特别提醒
符号√a自带非负属性，只要式子中出现√a，无需额外标注正负，它天然代表非负数；算术平方根是平方根的一
部分。
易错提醒
把√16的值当成16 的平方根；混淆平方根与算术平方根的表述，题目要求算术平方根却写出±√a；忽略被开方
数取值范围，在a < 0时强行化简√a。
教材延伸
算术平方根的双重非负性是八年级实数章节核心隐藏考点，常和绝对值、完全平方组合出题，是后续根式化简、
二次根式学习的基础。
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随学随练
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2
B．±√2
C．−2
D．2
【答案】D
【详解】解：∵22 = 4
∴4的算术平方根是2．
2．
81
16的算术平方根是_________．
【答案】
9
4
【详解】解：因为(
9
4)
2
=
81
16，
所以
81
16的算术平方根是√
81
16 =
9
4．
知识点
平方根的性质
定义：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0 只有一个平方根，就是0 本身；③负数没有平方根。
公式：若正数𝑎的两个平方根为𝑚、𝑛，则𝑚+ 𝑛= 0，𝑚⋅𝑛= −𝑎
随学随练
1．𝑎−1与3 −2𝑎是某正数的两个平方根，则实数𝑎的值是（ ）
A．4
B．−
4
3
C．2
D．－2
【答案】C
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：∵𝑎−1与3 −2𝑎是该正数的两个平方根
∴(𝑎−1) + (3 −2𝑎) = 0
特别提醒
已知一个正数的其中一个平方根，直接取它的相反数就能得到另一个平方根；0 是唯一一个平方根与算术
平方根相等的数。
易错提醒
误以为正数的平方根一正一负，相加不为 0；认为 0 有两个平方根；做题时看到平方根就默认一定有两
个，忽略 0 的特殊情况
教材延伸
利用“正数两个平方根互为相反数”可以建立方程，求解含字母参数的取值，是填空高频考题。
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解得 𝑎= 2．
2．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2𝑎+ 1和3 −4𝑎，则这个正数是（ ）
A．25
B．5
C．−5
D．2
【答案】A
【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a 的值，再计算得到这个正数即
可．
【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数，
∴(2𝑎+ 1) + (3 −4𝑎) = 0，
解得 𝑎= 2，
把𝑎= 2代入得，两个平方根分别为2 × 2 + 1 = 5和3 −4 × 2 = −5，
∴这个正数为52 = 25．
3．若3 −2𝑎与𝑎−1是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，求出𝑎= 2，即可得解．
【详解】解：∵3 −2𝑎与𝑎−1是同一个数的两个不相等的平方根，
∴3 −2𝑎+ 𝑎−1 = 0，
解得𝑎= 2，
∴3 −2𝑎= −1，
∴这个数是(−1)2 = 1．
4．已知√2𝑚+ 1的平方根是±3，则𝑚的值为_____．
【答案】
40
【分析】根据平方根的定义得到√2𝑚+ 1的值，再通过平方得到关于𝑚的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵√2𝑚+ 1的平方根是±3，
∴√2𝑚+ 1 = (±3)2 = 9，
∴2𝑚+ 1 = 92 = 81，
移项得2𝑚= 80，
解得𝑚= 40．
5．正数𝑎的两个平方根分别是2𝑏−3和3𝑏−7，则𝑎=___________；𝑏=_______________．
【答案】 1 2
【分析】根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于𝑏的一元一次方程，求解得到𝑏
的值，再根据平方根的定义计算得到𝑎的值．
【详解】解：∵正数𝑎的两个平方根分别是2𝑏−3和3𝑏−7，
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∴(2𝑏−3) + (3𝑏−7) = 0，
解得：𝑏= 2，
∴𝑎= (2𝑏−3)2 = (2 × 2 −3)2 = (4 −3)2 = 12 = 1．
知识点
算术平方根恒等变形公式
概念：根据算术平方根与平方的互逆关系，推导出两条核心化简公式，用于代数式化简与计算。
公式：(√𝑎)2 = 𝑎(𝑎≥0)；√𝑎2 = |𝑎| = { 𝑎
(𝑎≥0)
−𝑎
(𝑎< 0)
随学随练
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．−√(−3)2 = −3 B．±√32 = 3
C．(√−3)
2 = −3
D．√32 = ±3
【答案】A
【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项．
【详解】解：A、−√(−3)2 = −√9 = −3，故A 正确；
B、±√32 = ±3，故B 错误；
C、√−3的被开方数小于0，无意义，故C 错误；
D、√32 = 3，故D 错误．
2．下列算式中，正确的是（ ）
A．√25 = ±5
B．±√9 = 3
C．√(−7)2 = 7
D．−√8 = −4
【答案】C
【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误．
【详解】解：A、√25 = 5 ≠±5，故A 错误；
B、±√9 = ±3 ≠3，故B 错误；
C、√(−7)2 = √49 = 7，故C 正确；
特别提醒
(√a)2成立前提是a ≥0，若无此条件，式子无意义；√a2化简结果一定是非负数，必须借助绝对值完成化
简。
易错提醒
不加限制条件直接写(√a)2 = a；化简√a2时直接写成a，不讨论a正负，丢掉绝对值符号，造成符号错误。
教材延伸
此两条公式贯穿整个初中二次根式章节，是根式化简、取值范围、化简求值必考公式，也是中考计算高
频考点。
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D、−4 = −√16 ≠−√8，故D 错误．
知识点
立方根
定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数x叫做a的立方根，也叫三次方根；求一
个数立方根的运算叫做开立方，立方与开立方互为逆运算。
公式：若𝑥3 = 𝑎，则𝑥= √𝑎
3
，𝑎可取全体实数
随学随练
1．−
1
27的立方根是（ ）
A．−
1
3
B．±
1
3
C．
1
3
D．−3
【答案】A
【详解】解：∵(−
1
3)
3
= −
1
27，
∴−
1
27的立方根是−
1
3．
2．| −64|的立方根是（ ）
A．±8
B．4
C．−4
D．16
【答案】B
【详解】∵|−64| = 64，
又∵43 = 64，
∴64的立方根是4，
即|−64|的立方根是4．
3．下列计算正确的是（ ）
A．√(−2)3
3
= 2
B．√−0.064
3
= −0.4
C．(√−21
3
)3 = 21
D．−√8
1
8
3
= −2
1
2
【答案】B
特别提醒
立方根的根指数3 绝对不能省略，省略后就变成算术平方根，含义完全改变；全体实数均存在唯一立方
根，无取值限制。
易错提醒
书写立方根时丢掉根指数3；类比平方根，认为负数没有立方根；认为一个数的立方根有两个，错误添加
。
教材延伸
立方运算可以验证立方根，任意实数开立方后再立方，结果等于原数，可用于验算计算题。
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【分析】根据立方根性质√𝑎3
3
= 𝑎，计算各选项即可判断正误．
【详解】解：选项A：√(−2)3
3
= −2 ≠2，不符合题意；
选项B：(−0.4)3 = −0.064，√−0.064
3
= −0.4，符合题意；
选项C：(√−21
3
)
3 = −21 ≠21，不符合题意；
选项D：8
1
8 =
65
8 ，−√
65
8
3
= −√65
3
2 ≠−2
1
2，不符合题意．
4．64 的平方根的立方根（ ）
A．2
B．−2
C．±2
D．都不对
【答案】C
【详解】解：∵(±8)2 = 64，
∴64 的平方根为±8，
∵23 = 8，(−2)3 = −8，
∴±8的立方根为±2．
5．写出一个立方根不大于2 的整数：________．
【答案】1（答案不唯一）
【详解】解：∵√8
3
= 2，
∴小于或等于8 的整数均可，
∴这个整数可以是1（答案不唯一）．
6．计算：√−27
3
=______．
【答案】−3
【详解】解：√−27
3
= −3．
7．计算：√−
1
8
3
=_____．
【答案】−
1
2
【详解】解：√−
1
8
3
= √(−
1
2)
3
3
= −
1
2．
知识点6 立方根的性质
定义：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0 的立方根是0；一个数的立方根符号与被开
方数符号完全一致。
公式：√−𝑎
3
= −√𝑎
3
；(√𝑎
3
)3 = 𝑎；√𝑎3
3
= 𝑎
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随学随练
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．√(−1)2 = −1 B．√(−1)3
3
= −1
C．√−12
3
= 1
D．√−(−1)5
5
= −1
【答案】B
【分析】分别根据偶次方根、奇次方根的性质计算即可．
【详解】A 选项：√(−1)2 = 1 ≠−1，故A 错误；
B 选项：√(−1)3
3
= −1，故B 正确；
C 选项：√−12
3
= √−1
3
= −1 ≠1，故C 错误；
D 选项：√−(−1)5
5
= √1
5
= 1 ≠−1，故D 错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用n 次方根的性质进行计算，当n 为奇数时，√𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 ，当n 为偶数时，
√𝑎𝑛
𝑛
= |𝑎| = { 𝑎(𝑎≥0)
−𝑎(𝑎< 0)
．
2．下列等式：①√53
3
= 5；②√−5
3
= −√5
3
；③(−√5
3
)
3 = 5；④(√5
3
)
3 = 5，不成立的是________．（请填
写序号）
【答案】③
【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则．
利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：①√53
3
= √125
3
= 5，成立；
②√−5
3
= √−1 × 5
3
= −√5
3
，成立；
③(−√5
3
)3 = −5 ≠5，不成立；
④(√5
3
)3 = 5，成立．
故答案为：③．
知识点7 平方根与立方根对比辨析
特别提醒
立方根不存在非负限制，被开方数正负均可；√−a
3
可直接把负号移出根号外，简化计算。
易错提醒
化简√−8
3
时得出2；混淆平方根与立方根性质，给正数立方根写出两个结果；化简√a3
3
多余添加绝对值。
教材延伸
利用√−a
3
= −√a
3
可把负被开方数转化为正数立方根计算，大幅简化负数立方根运算，是简便运算常用技
巧。
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定义：平方根仅对非负数有意义，根不唯一；立方根对全体实数有意义，根唯一，二者在存在条件、根的
个数、符号规则上完全不同。
随学随练
1．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根和立方根都是1
B．负数的平方根仍是负数
C．一个数的算术平方根比这个数小
D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数
【答案】D
【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，通过举反例排除错误选项．
【详解】解：A．∵1的平方根是±1，立方根是1，∴A 错误．
B．∵负数没有平方根，∴B 错误．
C．∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，均等于原数；0.25的算术平方根是0.5，大于原数，∴C 错
误．
D．设互为相反数的两个数为𝑎与−𝑎，∵它们的立方根分别为√𝑎
3
和√−𝑎
3
= −√𝑎
3
，∴两个数互为相反数时，
它们的立方根也互为相反数，∴D 正确．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．√16的平方根是±4
B．无理数就是开方开不尽的数
C．立方根等于它本身的数是±1 和0
D．实数包括有理数、无理数和零
【答案】C
【详解】解：选项A：∵√16 = 4，4的平方根是±2，∴√16的平方根是±2，A 错误．
选项B：∵无理数是无限不循环小数，例如𝜋是无理数，但它不是开方开不尽得到的数，∴B 错误．
选项C：∵1的立方根是1，−1的立方根是−1，0的立方根是0，∴立方根等于它本身的数是±1和0，C 正
确．
特别提醒
根指数2 可省略，根指数 3 不可省略；平方根结果非负限定，立方根结果与被开方数同号。
易错提醒
做题时混用两类方根性质，把平方根规则套用在立方根上，或将立方根规则套用在平方根上。
教材延伸
考试常以选择题形式考查二者异同辨析，属于经典易错题，也是判断学生概念是否扎实的标尺。
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选项D：∵零属于有理数，实数分为有理数和无理数，分类重复，∴D 错误．
3．下列说法正确的是（ ）
A．只有正数才有平方根
B．27的立方根是±3
C．√17是17的一个平方根
D．√16的算术平方根是4
【答案】C
【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的
定义．根据平方根定义和立方根的定义判断各选项．
【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，所以0也有平方根，
故此选项错误，不符合题意；
B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，27的立方根是3，故此选项错误，不符合题意；
C 、√17是17的算术平方根，是17的一个平方根，故此选项正确，符合题意；
D、√16 = 4，4的算术平方根是2，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
4．下列说法正确的是（ ）
A．有理数和数轴上的点一一对应
B．任何实数都有立方根
C．实数分为正实数和负实数
D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1
【答案】B
【分析】本题考查了实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义等，根据实数和实数与数轴的关
系，立方根和平方根的定义逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键．
【详解】解：A、实数和数轴上的点一一对应，原选项说法不正确，不符合题意；
B、任何实数都有立方根，原选项说法正确，符合题意；
C、实数分为正实数，0和负实数，原选项说法不正确，不符合题意；
D、若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，原选项说法不正确，不符合题意；
故选：B．
5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1 的算术平方根是
±1；④−1没有立方根；⑤16 的平方根是±4，用式子表示是√16 = ±4；⑥√𝑎2 = 𝑎．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根逐项分析即可得解．
【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确，符合题意；
②无理数是无限不循环小数，故原说法错误，不符合题意；
③1 的算术平方根是1，故原说法错误，不符合题意；
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④−1的立方根为−1，故原说法错误，不符合题意；
⑤16 的平方根是±4，用式子表示是±√16 = ±4，故原说法错误，不符合题意；
⑥√𝑎2 = |𝑎|，故原说法错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①，共1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
知识点8 特殊数的方根
定义：部分特殊数字的平方根、算术平方根、立方根恰好等于自身。
随学随练
1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或±1
【答案】A
【详解】解：∵立方根等于本身的数为0,±1，平方根为本身的数只有0，
故这个数为0.
2．一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．±1，0
【答案】A
【分析】根据负数没有平方根先排除错误选项，再验证剩余数是否满足条件即可得到答案．
【详解】解：∵负数没有平方根，
∴排除含−1的选项C、D，
∵1的平方根是±1，1的立方根是1，±1 ≠1，
∴1不满足条件，排除B，
∵0的平方根是0，0的立方根也是0，满足立方根等于它的平方根，
∴这个数是0，故选项A符合题意．
特别提醒
只有0 的平方根等于自身，1 的平方根是±1，不等于1；−1仅有立方根等于自身，不存在算术平方根。
易错提醒
错误认为1 的平方根是1；认为−1的算术平方根是1；记错立方根等于本身的数字，漏掉−1。
教材延伸
该组结论常在方程、参数求值题中作为隐藏条件使用，熟记可快速秒杀小题。
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3．立方根等于它本身的数是（ ）
A．0
B．1
C．±1
D．0 或±1
【答案】D
【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数．
【详解】解：∵03 = 0，
∴0 的立方根是0，即0 的立方根等于它本身．
∵13 = 1，
∴1 的立方根是1，即1 的立方根等于它本身．
∵(−1)3 = −1，
∴−1的立方根是−1，即−1的立方根等于它本身．
综上，立方根等于它本身的数是0 或±1，
故选：D．
4．立方根与它本身相同的数是（ ）
A．0 或±1
B．0 或1
C．0 或－1
D．0
【答案】A
【分析】根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：0 立方根等于是0，1 立方根等于是1，-1 立方根等于是-1．
∴立方根与它本身相同的数是0 或±1，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，立方根的定义，熟记概念是解题的关键．
5．有下列说法：
①平方根是它本身的数有1，0；
②算术平方根是它本身的数有1，0；
③立方根是它本身的数有−1，0，1；
④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是−1或0．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【答案】C
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案．
【详解】解：① 平方根是本身的数：∵ 1 的平方根是 ±1，不等于它本身，只有 0 的平方根是它本
身，∴①错误；
② 算术平方根是本身的数：∵ 0 的算术平方根是 0，1 的算术平方根是 1，∴算术平方根是本身的数是
0 和 1，∴②正确；
③ 立方根是本身的数：∵ (−1)3 = −1，03 = 0，13 = 1，∴立方根是本身的数有 −1，0，1，③正确；
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④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根，−1 不存在平方根，只有 0 满足条件，
∴④错误．
综上，正确的说法是②③．
知识点9 无理数的估算（夹逼法）
定义：利用被开方数左右相邻的完全平方数或完全立方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分与小数
部分。
公式：若𝑛2 < 𝑎< (𝑛+ 1)2（𝑛为正整数），则𝑛< √𝑎< 𝑛+ 1
随学随练
1．下列选项中的整数，与√15最接近的是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据算术平方根的估算方法求出√15的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵12.25 < 15 < 16，
∴3.5 < √15 < 4，
∴四个整数中，与√15最接近的是4．
2．估计√77的值在（ ）
A．5 到6 之间
B．6 到7 之间
C．7 到8 之间
D．8 到9 之间
【答案】D
【分析】通过比较77 与相邻完全平方数的大小，估算√77的范围．
【详解】解：∵82 = 64，92 = 81，64 < 77 < 81，
∴8 < √77 < 9．
3．若n 为整数，𝑛< √50 < 𝑛+ 1，则n 的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
特别提醒
估算时优先找相邻完全平方数，区间范围越小，估算精度越高；估算大小可统一平方后比较。
易错提醒
估算时找错相邻完全平方数；比较两个根式大小时，直接比较根号外数字而不平方，得出相反大小关系。
教材延伸
夹逼估算法是实数大小比较、无理数整数部分求解的核心方法，也是后续实数运算、根式近似计算的基
础。
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【分析】通过找到与50 相邻的两个完全平方数，即可确定√50的范围，进而求出整数𝑛的值．
【详解】解：∵72 = 49，82 = 64，
∴49 < 50 < 64，
∴√49 < √50 < √64，
即7 < √50 < 8，
∵𝑛为整数，且满足 𝑛< √50 < 𝑛+ 1，
∴𝑛= 7．
4．估计√23的值在（ ）
A．3 和4 之间
B．4 和5 之间
C．5 和6 之间
D．22 和24 之间
【答案】B
【分析】找出与23 相邻的两个完全平方数，即可估算出√23的取值范围．
【详解】解：∵16 < 23 < 25，√16 = 4，√25 = 5，
∴4 < √23 < 5，即√23的值在4 和5 之间．
5．估算√26 + 1的值在（ ）
A．5 和6 之间
B．6 和7 之间
C．7 和8 之间
D．8 和9 之间
【答案】B
【分析】先找到与26 相邻的两个完全平方数，估算出√26的取值范围，再推出√26 + 1的取值范围即可．
【详解】解：∵25 < 26 < 36
∴√25 < √26 < √36，即5 < √26 < 6
不等式三边同时加1，得6 < √26 + 1 < 7
因此√26 + 1的值在6 和7 之间．
6．与√66最接近的整数是______．
【答案】8
【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出√66的范围即可．
【详解】解：∵64 < 66 < 72.25，即82 < 66 < 8.52
∴8 < √66 < 8.5，
∴与√66最接近的整数是8．
故答案为：8．
7．根据以下表格里的数据：
𝑚
2.024
20.24
202.4
2024
20240
√𝑚≈
1.422
4.499
14.22
44.99
142.2
则√0.02024 ≈_____．
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【答案】0.1422
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数
点就向左移动一位，据此求解即可．
【详解】解：∵√2.024 ≈1.422，
∴√0.02024 ≈0.1422，
故答案为：0.1422．
8．√0.214
3
≈0.5981，√2.14
3
≈1.289，则√2140
3
≈______．
【答案】
12.89
【分析】根据立方根运算的规律，被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点向右移动一位，进行
计算即可．
【详解】解：由立方根的规律：∵2140 = 1000 × 2.14，
∴√2140
3
= 10 × √2.14
3
≈12.89．
知识点10 算术平方根双重非负性综合应用
定义：√a ≥0、a ≥0，结合三大非负数：平方A2 ≥0、绝对值|B| ≥0、算术平方根√C ≥0，若干个非负
数相加和为 0，则每一项都等于0。
公式：若√m + n2 + |p| = 0，则√m = 0，n2 = 0，|p| = 0，解得m = 0，n = 0，p = 0
随学随练
1．若(𝑥+ 2)2 + √𝑦−3 = 0，则𝑥+ 𝑦的平方根是（ ）
A．1
B．−1
C．±1
D．0
【答案】C
【分析】根据非负数的性质求出𝑥、𝑦的值，然后代入求出𝑥+ 𝑦，最后根据平方根的定义求解即可.
【详解】解：∵ (𝑥+ 2)2 ≥0，√𝑦−3 ≥0，且(𝑥+ 2)2 + √𝑦−3 = 0 ，
∴ 𝑥+ 2 = 0，𝑦−3 = 0 ，
解得𝑥= −2，𝑦= 3 ，
特别提醒
只有相加等于 0 时，才能判定每个非负数均为 0；若为相乘、相除，不适用此规律。
易错提醒
非负数之和为0 时，只令其中一项为0，其余忽略；题目隐藏被开方数内含字母，忽略a ≥0限制条件。
教材延伸
本知识点是本章重难点压轴小题必考题型，在单元测试、期中期末试卷中高频出现，属于必须熟练掌握
的核心解题模型。
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∴ 𝑥+ 𝑦= −2 + 3 = 1 ，
∴ 𝑥+ 𝑦的平方根为±1.
2．已知√𝑎−2 + |𝑏+ 2| = 0，则𝑎𝑏=（ ）
A．−4
B．−
1
4
C．4
D．
1
4
【答案】D
【分析】根据非负数的性质求出𝑎，𝑏的值，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵√𝑎−2 + |𝑏+ 2| = 0，
∴𝑎−2 = 0，𝑏+ 2 = 0，
∴𝑎= 2，𝑏= −2，
∴𝑎𝑏= 2−2 =
1
4．
3．若|𝑥+ 2| + √𝑦+ 1 + (𝑧−3)2 = 0，则𝑥+ 𝑦+ 𝑧的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出𝑥，𝑦，𝑧的值，进而得出答案，掌握
非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵|𝑥+ 2| + √𝑦+ 1 + (𝑧−3)2 = 0，
∴𝑥+ 2 = 0，𝑦+ 1 = 0，𝑧−3 = 0，
∴𝑥= −2，𝑦= −1，𝑧= 3，
∴𝑥+ 𝑦+ 𝑧= −2 −1 + 3 = 0，
故选：A．
4．若实数𝑥，𝑦同时满足√𝑥+ 3 = 𝑦+ 2，𝑦2 = 9，则𝑥+ 𝑦=________．
【答案】25
【分析】先根据平方的性质求出𝑦的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的𝑦值，最后
代入原方程求出𝑥，计算𝑥+ 𝑦即可．
【详解】解：∵𝑦2 = 9，
∴𝑦= ±3
∵√𝑥+ 3是算术平方根，
∴√𝑥+ 3 ≥0
∴ 𝑦+ 2 ≥0，即𝑦≥−2，
当𝑦= −3时，−3 < −2，不符合题意，舍去；
当𝑦= 3时，代入√𝑥+ 3 = 𝑦+ 2 得 √𝑥+ 3 = 5，
两边平方得𝑥+ 3 = 25，
解得𝑥= 22，
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∴𝑥+ 𝑦= 22 + 3 = 25．
5．如果式子√𝑎−1 + |𝑏+ 5| + (𝑐−2)2 = 0，那么
𝑏
𝑎+𝑐=______．
【答案】−
5
3
【分析】先由非负数的性质求出𝑎, 𝑏, 𝑐的值，然后代入计算
𝑏
𝑎+𝑐即可．
【详解】解：∵√𝑎−1 + |𝑏+ 5| + (𝑐−2)2 = 0，
∴𝑎−1 = 0, 𝑏+ 5 = 0, 𝑐−2 = 0，
解得𝑎= 1, 𝑏= −5,𝑐= 2，
∴
𝑏
𝑎+𝑐=
−5
1+2 = −
5
3．
知识点11 开方在实际问题中的应用
定义：已知正方形面积求边长，使用算术平方根；已知正方体体积求棱长，使用立方根，建立几何量与开
方运算的数学模型。
公式：正方形面积S = a2，边长a = √S(S ≥0)；正方体体积V = b3，棱长b = √V
3
随学随练
1．一张长方形画纸的面积为40m2，且长与宽的比为5: 4．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长
可以是（ ）
A．5.5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】正方形边长最大不超过长方形的宽，需先根据长方形的面积与长宽比求出宽，再对比选项．
【详解】解：设长方形的长为5𝑥m，宽为4𝑥m（𝑥> 0）.
5𝑥· 4𝑥= 40
20𝑥2 = 40
𝑥2 = 2
∵𝑥> 0
∴𝑥= √2
特别提醒
实际几何长度为正数，因此面积开方只取算术平方根，不取负根；体积开立方无需取舍，直接得出棱长。
易错提醒
求解边长时写出正负两个答案，忽略长度不能为负的现实意义；单位不统一直接代入计算，造成结果错
误。
教材延伸
此类应用题是本章唯一综合应用题题型，承接几何与实数运算，为后续勾股定理计算打下运算基础。
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∴ 长方形的宽为4√2m
∵ 裁出的正方形边长最大不超过长方形的宽
又∵(4𝑥)2 = 16𝑥2 = 16 × 2 = 32，5. 52 = 30.25 < 32，62 = 36 > 32，
∴ 边长为5.5m的正方形符合要求．
2．图1 是10 个边长为1 的正方形组成的图形纸，沿图2 所示的虚线剪开，再拼成图3 所示的大正方形，
则大正方形的边长是（ ）
A．3
B．3.5
C．10
D．√10
【答案】D
【分析】根据剪拼前后图形的面积不变，先求出原图形的面积，再根据正方形面积公式求出边长即可．
【详解】解：∵图形由10 个边长为1 的小正方形组成
∴原图形的总面积为10 × 1 × 1 = 10
∵剪拼前后图形的面积不变，且拼成的是一个大正方形
∴大正方形的面积为10
设大正方形的边长为𝑎，则𝑎2 = 10
∵𝑎> 0
∴𝑎= √10．
3．如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯
中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）
为34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（ ）两个相邻的整数之间
A．3 和4
B．4 和5
C．5 和6
D．6 和7
【答案】A
【分析】利用正方体的体积公式结合题目条件得出该正方体铁块的棱长，确定被开立方数的值在哪两个相
邻整数的立方之间即可得到解．
【详解】解：∵正方体的体积为棱长的三次方，
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∴该正方体铁块的棱长为√34
3
cm，
∵27 < 34 < 64，√27
3
= 3，√64
3
= 4，
∴该正方体铁块的棱长位于3 和4 之间．
4．把一个长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁
块的棱长为__________cm．
【答案】
√60
3
【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念
即可求出棱长．
【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为5 × 4 × 3 = 60(cm3)，
设立方体铁块的棱长为𝑎，
根据立方体体积公式得𝑎3 = 60，
因此𝑎= √60
3
即锻造成的立方体铁块的棱长为√60
3
cm．
5．如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为900cm2的正方形改为面积为756cm2的长方形，且长和宽之
比为7: 3．
(1)求正方形的边长；
(2)请通过计算说明铁丝是否够用．
【答案】(1)30cm
(2)铁丝够用
【分析】（1）利用算术平方根的定义求解；
（2）设长方形的长为7𝑥cm，宽为3𝑥cm，根据“长方形的面积为756cm2”列方程求出𝑥= 6，进而求解即
可．
【详解】（1）解：∵正方形的面积为900cm2，
∴正方形的边长为：√900 = 30cm；
（2）解：设长方形的长为7𝑥cm，宽为3𝑥cm，
根据题意得，7𝑥⋅3𝑥= 756，
解得：𝑥= 6或𝑥= −6（舍去），
∴长方形的长为7𝑥= 42cm，宽为3𝑥= 18cm．
∴长方形的周长(42 + 18) × 2 = 120cm，
∵正方形的周长为30 × 4 = 120cm．
∴铁丝够用．
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6．请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长；
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下：
解：设截得的每个小正方体木块的棱长为𝑦cm，则截得的这8 个小正方体木块的总体积为_____cm3，由题
意得：_______．
请补全以上填空并继续完成小红的解答．
【答案】(1)10cm
(2)8𝑦3，8𝑦3 = 1000 −784，截得的每个小正方体木块的棱长3cm；
【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程；
（1）求一个数的立方根即可；
（2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可；
【详解】（1）解：由题可知：棱长
3 = 1000，
∴棱长为10cm，
故大正方体木块的棱长为10cm；
（2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为𝑦cm，
则截得的这8 个小正方体木块的总体积为8𝑦3 cm3，
由题意得：8𝑦3 = 1000 −784，
解得：𝑦= 3，
故截得的每个小正方体木块的棱长为3cm，
故答案为：8𝑦3，8𝑦3 = 1000 −784．
拓展
平方根、立方根中的运算能力
运算能力是本章最核心的数学素养，指学生能够依据平方根、立方根的定义、性质与运算法则，规范、准
确、灵活地完成开平方、开立方运算、根式化简、估算运算及混合运算。学生不仅要机械计算完全平方
数、完全立方数的方根，更要理解乘方与开方互逆运算的内在逻辑，明晰运算依据，减少盲目计算，逐步
形成严谨规范的运算习惯，完成从有理数运算到实数运算的思维过渡，为后续二次根式、实数混合运算、
勾股定理计算筑牢运算根基。
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素养拓展要点
1.熟练运用恒等式(√a)2 = a(a ≥0)、√a2 = |a|、√−a
3
= −√a
3
进行代数式化简，规避符号错误与条件疏
漏；
2.借助夹逼估算方法，对无理数进行近似取值、大小比较，培养估算意识与合理估算能力；
3.在解方程、实际应用题运算中，能根据实际情境取舍运算结果，区分平方根双解与实际问题唯一正解，
提升运算的合理性。
活学活用
1．有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a 和3𝑎−8；代数式3𝑎−𝑏−2的立方根等于它本身，
且3𝑎−𝑏−2 > 0；无理数√2的小数部分记作 c．
(1)求a， b， c 的值；
(2)比较√2
2 ，√𝑏
3 ，√2 −𝑐的大小，用“<”连接并说明理由．
【答案】(1)𝑎= 2, 𝑏= 3, 𝑐= √2 −1
(2)√𝑏
3 < √2
2 < √2 −𝑐
理由：三个数为√2
2 、√𝑏
3 = √3
3 、√2 −𝑐= √2 −(√2 −1) = 1，三个数均为正数，
∵(√3
3 )
2
=
3
9 =
1
3 , (√2
2 )
2
=
2
4 =
1
2 , 12 = 1，
1
3 <
1
2 < 1，
∴√3
3 < √2
2 < 1，
∴√𝑏
3 < √2
2 < √2 −𝑐．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出𝑎= 2；根据立方根等于本身的数为−1,0,1，求出
𝑏= 3；根据算术平方根的整数部分和小数部分确定方法求出𝑐= √2 −1；
（2）先求出三个数，再根据无理数的大小比较方法解答即可．
【详解】（1）解：∵有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a 和3𝑎−8，
∴𝑎+ (3𝑎−8) = 0，
解得𝑎= 2；
∵3𝑎−𝑏−2 > 0，立方根等于本身的数为−1,0,1，
∴3𝑎−𝑏−2 = 1，
将𝑎= 2代入得：3 × 2 −𝑏−2 = 1，解得𝑏= 3；
∵1 < √2 < 2，
∴√2的整数部分为1，小数部分𝑐= √2 −1；
（2）略
2．根据下表回答下列问题：
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𝑥
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
𝑥2
100
102.01
104.04
106.09
108.16
110.25
112.36
114.49
116.64
118.81
(1)104.04的算术平方根是 ，118.81的平方根是 ；
(2)若√𝑎介于10.3与10.4之间，请直接写出满足条件的正整数a；
(3)物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是𝑡2 =
ℎ
4.9．现有一个物体从
5.2m高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到0.01s）
【答案】(1)10.2；±10.9
(2)107或108
(3)约1.03s
【分析】（1）根据算术平方根和平方根的定义从表格中得出结果即可；
（2）从表格中分别找出10.3的平方和10.4的平方，找到位于这两个平方之间的正整数即为所求的正整数
a；
（3）关系式中代入ℎ= 5.2m，解出𝑡2，根据表格中的数得出𝑡的大概取值即可．
【详解】（1）解：由表格得104.04的算术平方根是10.2，118.81的平方根是±10.9；
（2）解：由表格得(10.3)2 = 106.09，(10.4)2 = 108.16，
∵√𝑎介于10.3与10.4之间，106.09和108.16之间的正整数有107，108，
∴满足条件的正整数a 为107或108；
（3）解：∵𝑡2 =
ℎ
4.9，
∴当ℎ= 5.2m时，𝑡2 =
5.2
4.9 ≈1.0612，
由表格得1.0612介于1.0609和1.0816之间，
∴该物体到达地面大概需要1.03s．
拓展
符号意识与推理能力素养
符号意识侧重学生理解√a、±√a、√a
3
三类根式符号的数学含义，读懂符号自带的取值限制与正负属性，能
用符号简洁表达数量关系与运算规则；推理能力依托类比推理、归纳推理展开，通过类比平方根探究过程
自主推导立方根性质，归纳两类方根的异同，利用算术平方根双重非负性、平方根互为相反数等性质完成
逻辑推导、参数求值，完成从具象数字计算到抽象符号推理的进阶，发展演绎推理思维。
素养拓展要点
1.能根据根式符号判断被开方数的取值范围，依据√a的非负性推理字母隐含限制条件；
2.借助类比推理，对比平方根、立方根在存在条件、根的个数、符号特征上的区别，构建系统化知识逻
辑；
3.针对“多个非负数之和为0” 题型，依靠逻辑推理得出每一项均为 0 的结论，完成参数求解，锻炼严谨的
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逻辑推导能力。
活学活用
1.小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出50653的立方根．同桌小华提醒他可以
按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究：
①首先进行估算：因为103 = 1000，1003 = 1000000，1000 < 50653 < 1000000，所以10 < √50653
3
<
100，所以能确定√50653
3
是两位数．
②其次观察立方数：13 = 1，23 = 8，33 = 27，43 = 64，53 = 125，63 = 216，73 = 343，83 = 512，
93 = 729．由50653的个位上的数是3，73 = 343，确定√50653
3
的个位上的数是7．
③接着划去50653后面的三位653得到数50，而33 = 27，43 = 64，27 < 50 < 64，所以27000 < 50653 <
64000，所以30 < √50653
3
< 40，所以√50653
3
的十位上的数是3，于是得到√50653
3
= 37，即50653的立
方根是37．
请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题：
(1)填空：1331的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______；
(2)根据上面的步骤，请计算79507的立方根，并书写详细过程．
【答案】(1)两，1
(2)解：√79507
3
= 43．
详细过程如下：
∵103 = 1000，1003 = 1000000，1000 < 79507 < 1000000，
∴10 < √79507
3
< 100，
∴79507的立方根是一个两位数，
由79507的个位上的数是7，33 = 27，可得√79507
3
的个位数为3，
接着划去79507后面的三位507得到数79，而43 = 64，53 = 125，则64 < 79 < 125，
∴43 < 79 < 53，
∴403 < 79507 < 503，
∴40 < √79507
3
< 50，
∴√79507
3
的十位上的数是4，结合其个位上的数是3，于是得到√79507
3
= 43，
即79507的立方根是43．
【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可；
（2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可．
【详解】（1）解：∵103 = 1000，203 = 8000，1000 < 1331 < 8000，
∴10 < √1331
3
< 20，
∴1331的立方根是一个两位数，
由1331的个位上的数是1，13 = 1，可得√1331
3
的个位数为1；
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（2）略
2．如图①是一张面积为400 平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300 平方厘米
的长方形纸片．
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据．
(2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为3: 2，小丽能用这块纸片裁出符合
要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
(3)小丽做了如下探究活动：
【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1 的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰
直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为
2．
我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为________．
【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正
方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接
后的图形．
拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的
边长．
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【答案】(1)裁剪方案和数据如图所示：
(2)不能，理由如下：
设长方形的长为3𝑘，宽为2𝑘，
∴3𝑘× 2𝑘= 300，
∴6𝑘2 = 300，
∴𝑘2 = 50，
∴𝑘= 5√2（负值舍去），
∴长方形的长为15√2，
∵15√2 > 20，超过了原正方形纸片的边长，
∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
(3)活动1：√2；
活动2：裁剪痕迹和拼接图，如图所示：
拼成的两个正方形边长相等，边长是√5
【分析】（1）将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4 个面积相等的长方形，每个小长
方形的宽度为5 厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300 平方厘米的长方形纸片；
（2）通过计算长方形纸片的长，得出长超过了原正方形纸片的边长，从而得出小丽不能用这块纸片裁出
符合要求的纸片；
（3）设拼成后的正方形的边长为𝑥，利用拼成正方形的面积来建立方程求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：
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∵正方形纸片的面积为400 平方厘米，
∴正方形纸片的边长为20 厘米，
将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4 个面积相等的长方形，每个小长方形的宽度为
5 厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300 平方厘米的长方形纸片，如图所示：
（2）略
（3）解：活动1：设拼成后的正方形的边长为𝑥，
∴𝑥2 = 2，
∴𝑥= √2（负值舍去）；
活动2：裁剪图略；
由等面积的变形可得：这两个正方形的面积都为5，
设正方形的边长为𝑥，
∴𝑥2 = 5，
∴𝑥= √5（负值舍去）．
题型
求平方根、算术平方根
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▌例1 49 的算术平方根是（ ）
A．±7
B．−7
C．7
D．23
【答案】C
【详解】解：∵72 = 49，
∴ 49 的算术平方根是7．
▌例2 √16的平方根是（ ）
A．4
B．±4
C．±2
D．−2
【答案】C
【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键；
先计算16 的算术平方根，再求该结果的平方根．
【详解】∵√16 = 4，
又 ∵ 4 的平方根是±2，
∴√16的平方根是±2．
故选：C．
▌对点练1-1．√9的值是（ ）
A．±3
B．±√3
C．3
D． −3
【答案】C
【详解】解：√9 = 3．
▌对点练1-2．下列计算正确的是（ ）
A．√(−5)2 = −5 B．√52 = 5
C．√52 = ±5
D．√(−5)2 = ±5
【答案】B
【详解】解：A．√(−5)2 = 5，故选项错误，不符合题意；
B．√52 = 5，故选项正确，符合题意；
C．√52 = 5，故选项错误，不符合题意；
D．√(−5)2 = 5，故选项错误，不符合题意．
▌对点练1-3．25 的算术平方根是__________．
【答案】5
解题贴士
牢记平方与开平方互为逆运算，先思考哪个数的平方等于被开方数；求平方根必须写出±√a两个结果，
求算术平方根只写√a非负结果；对于小数、分数，先分别对分子分母开方再化简，最终结果化为最简形
式，切记负数不存在平方根，无需作答.
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【详解】解：25的算术平方根是5.
题型
求立方根
▌例164的立方根是（ ）
A．8
B．√8
C．4
D．2
【答案】C
【分析】根据定义找到立方等于64 的数，即可得到答案.
【详解】解：∵ 43 = 4 × 4 × 4 = 64
∴ 64 的立方根是4.
▌对点练1-1 计算√−
8
27
3
的结果是______．
【答案】−
2
3
【详解】解：∵(−
2
3)
3
= −
8
27，
∴√−
8
27
3
= −
2
3．
▌对点练1-2 化简：√8
3
−2 =_______．
【答案】0
【详解】解：√8
3
−2 = 2 −2 = 0 ．
题型
平方根性质运用
▌例1 已知一个正数的平方根分别为2𝑥+ 1和3 −4𝑥，则x 的值为（ ）
A．25
B．16
C．8
D．2
【答案】D
解题贴士
利用立方与开立方互逆运算，直接寻找立方后等于被开方数的数；利用公式√−a
3
= −√a
3
，直接将根号内
负数转化为正数开立方，简化负数立方根计算；立方根仅有唯一结果，无论被开方数正负，均不用添加
正负号，根指数 3 书写时不可省略.
解题贴士
牢牢抓住核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根相加等于0，列出一元一次方
程求解参数；求出参数后代回平方根，将平方根平方即可算出原正数，注意0 只有一个平方根，该性质
不适用于0.
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【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴2𝑥+ 1 + 3 −4𝑥= 0，−2𝑥+ 4 = 0，−2𝑥= −4，
解得：𝑥= 2．
▌对点练1-1 若一个正数𝑚的两个平方根分别是𝑎−5和𝑎+ 3，则√𝑚的算术平方根为（ ）
A．√2
B．2 或−2
C．4
D．2
【答案】D
【分析】先求出参数𝑎的值，再计算出𝑚，最后求出√𝑚的算术平方根即可得到结果．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴(𝑎−5) + (𝑎+ 3) = 0，
解得：𝑎= 1，
∴其中一个平方根为𝑎−5 = 1 −5 = −4，
∴𝑚= (−4)2 = 16，
∴√𝑚= √16 = 4，
∵√𝑚的算术平方根即4的算术平方根，
∴√𝑚的算术平方根为2．
∴结果为2．
▌对点练1-2 若−
√3
2𝑏+1
和√𝑎−1
2
都是3 的平方根，则𝑎+ 𝑏=______．
【答案】
9
2
【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义求解，可得答案．
【详解】解：3 的平方根是±√3，
由题意知√𝑎−1
2
≥0，
∴√𝑎−1 = √3，
解得𝑎= 4，
则−
√3
2𝑏+1
= −√3，
∴
√3
2𝑏+1
= √3 = √3
2
，
∴2𝑏+1=2，
解得𝑏=
1
2，
∴𝑎+ 𝑏= 4 +
1
2 =
9
2；
故答案为：
9
2．
题型
利用算术平方根双重非负性求值
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▌例1 若√𝑥+ 3 + (𝑦−2)2 = 0，则𝑥𝑦的平方根是（ ）
A．−3
B．3
C．±3
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算．
根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x 和y 的值，再计算𝑥𝑦并求其平方根即可
【详解】解：∵√𝑥+ 3 ≥0且(𝑦−2)2 ≥0，且√𝑥+ 3 + (𝑦−2)2 = 0，
∴√𝑥+ 3 = 0且(𝑦−2)2 = 0，
∴𝑥+ 3 = 0，𝑦−2 = 0，
即𝑥= −3，𝑦= 2，
∴𝑥𝑦= (−3)2 = 9，
∵9 的平方根为±3，
∴𝑥𝑦的平方根是±3．
故选：C．
▌对点练1-1 等腰三角形的两条边长𝑥，𝑦满足√𝑥−4 + |𝑦−2| = 0，则其周长为（ ）
A．8
B．10
C．8 或10
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查非负数的性质与等腰三角形的三边关系，先利用非负数的性质求出边长𝑥、𝑦，再结合三
角形三边关系判断等腰三角形的腰长，进而计算周长．
【详解】解：∵√𝑥−4 ≥0，|𝑦−2| ≥0，且√𝑥−4 + |𝑦−2| = 0，
∴√𝑥−4 = 0，|𝑦−2| = 0，∴解得𝑥= 4，𝑦= 2．
∵该三角形是等腰三角形，边长为4和2，需分情况讨论腰长：
情况1：若腰长为2，底边长为4，则三边为2、2、4，
∵2 + 2 = 4，不满足“三角形两边之和大于第三边”，∴此情况不成立；
情况2：若腰长为4，底边长为2，则三边为4、4、2，
∵4 + 4 > 2，4 + 2 > 4，满足三角形三边关系，
∴该三角形的周长为4 + 4 + 2 = 10．
故选：B．
▌对点练1-2 已知√𝑥−2 + |𝑦−6| = 0，则𝑥𝑦的值是___________．
解题贴士
熟记初中三大非负数：√a ≥0、a2 ≥0、|a| ≥0，若多个非负数相加结果为 0，则每一项必须单独等于
0；分别令根号内式子、平方项、绝对值内部代数式等于0，依次解出各个未知数，最后代入代数式完成
整体求值，解题第一步优先锁定被开方数必须≥0 的隐藏限制条件.
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【答案】12
【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性．根据二次根式和绝对值的非负性，结合已知条件求出x
和y 的值，从而求得𝑥𝑦的值．
【详解】解：∵√𝑥−2 + |𝑦−6| = 0，
又∵√𝑥−2 ≥0且|𝑦−6| ≥0，
∴√𝑥−2 = 0且|𝑦−6| = 0，
∴𝑥−2 = 0且𝑦−6 = 0，
即𝑥= 2且𝑦= 6，
∴𝑥𝑦= 2 × 6 = 12．
题型
恒等公式化简
▌例1√(−2)2 =_________．
【答案】2
【详解】解：√(−2)2 = |−2| = 2
▌对点练1-1 计算：√(−3)2 =_____．
【答案】3
【详解】解：√(−3)2 = 3．
▌对点练1-2√−
1
64
3
的绝对值是________．
【答案】
1
4/0.25
【分析】先根据立方根的定义计算出√−
1
64
3
的值，再根据绝对值的性质计算最终结果．
【详解】解：√−
1
64
3
= √(−
1
4)
3
3
= −
1
4，则|−
1
4| =
1
4．
题型
无理数夹逼估算
解题贴士
严格套用固定公式：(√a)2 = a(a ≥0)；√a2 = |a|，化简二次根号下平方式必须先写绝对值，再根据字
母取值范围去掉绝对值符号；立方根公式√a3
3
= a无需判断正负，直接化简即可，不用添加绝对值，区
分平方根与立方根化简公式的巨大差异，避免混用出错.
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▌例1 估计√6的值应在（ ）
A．0 和1 之间
B．1 和2 之间
C．2 和3 之间
D．3 和4 之间
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数√6的大小即可．
【详解】解：∵22 = 4，32 = 9，而4 < 6 < 9，
∴2 < √6 < 3．
▌对点练1-1 估计√11的值在（ ）
A．1 到2 之间
B．2 到3 之间
C．3 到4 之间
D．4 到5 之间
【答案】C
【分析】找出和11 相邻的两个完全平方数，即可估算出√11的范围．
【详解】解：∵9 < 11 < 16，
∴√9 < √11 < √16，即3 < √11 < 4，
∴√11的值在3到4之间．
▌对点练1-2 若整数𝑥满足√19 < 𝑥< √27，则𝑥等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】用夹逼法估算出√19和√27的取值范围，再找出该范围内的整数即可得到答案；
【详解】解：∵42 = 16，52 = 25，
∴√16 < √19 < √25，即4 < √19 < 5，
∵52 = 25，62 = 36，
∴√25 < √27 < √36，即5 < √27 < 6，
∵√19 < 𝑥< √27，且𝑥为整数，
∴4 < √19 < 𝑥< √27 < 6，即4 < 𝑥< 6，
∴整数𝑥= 5．
题型7 利用开方解方程
解题贴士
使用夹逼法，先找出与被开方数相邻的两个完全平方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分；小数
部分=原无理数−整数部分；比较根式大小时，可将两个数同时平方，只需比较平方后的数字大小即可，
平方后数值越大，原数越大.
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▌例1 求下列各式中的𝑥的值：
(1)9𝑥2 = 49；
(2)(𝑥−1)3 = 0.125．
【答案】(1)𝑥= ±
7
3
(2)𝑥= 1.5
【详解】（1）解：9𝑥2 = 49，
整理得𝑥2 =
49
9 ，
因此𝑥= ±
7
3；
（2）解：(𝑥−1)3 = 0.125，
开立方得𝑥−1 = 0.5，
解得𝑥= 1.5．
▌对点练1-1 求下列各式中x 的值：
(1)(𝑥−1)2 = 4；
(2)64(𝑥+ 1)3 = −125．
【答案】(1)
𝑥= 3或𝑥= −1
(2)
𝑥= −9
4
【详解】（1）解： (𝑥−1)2 = 4
开平方，得𝑥−1 = ±2．
当𝑥−1 = 2时，解得𝑥= 3 ；
当𝑥−1 = −2时，解得𝑥= −1．
所以𝑥= 3或𝑥= −1；
（2） 解：64(𝑥+ 1)3 = −125
整理，得(𝑥+ 1)3 = −
125
64 ．
开立方，得𝑥+ 1 = −
5
4 ．
解得𝑥= −
9
4．
解题贴士
整体换元思想，把括号内代数式看成整体；若方程为平方形式，整体开方后必须带上正负号，得到两个
一元一次方程，分别求解得出两个解；若为立方形式，整体直接开立方，仅有唯一解，不需要正负号；
当平方等式右侧为负数时，方程无实数解，立方等式右侧任意实数均有解.
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▌对点练1-2 计算：
(1)(𝑥−1)3 = −8；
(2)(𝑥+ 1)2 = 9．
【答案】(1)𝑥= −1
(2)𝑥= 2或𝑥= −4
【详解】（1）解：(𝑥−1)3 = −8
𝑥−1 = −2
𝑥= −1
（2）解：(𝑥+ 1)2 = 9
𝑥+ 1 = ±3
𝑥= −1 ± 3
𝑥= 2或𝑥= −4
题型8 双层开方陷阱易错题
▌例1√81的平方根是________，
【答案】 ±3 3
【详解】解：√81 = 9的平方根是±3.
▌对点练1-1√225的立方根是___________．
【答案】√15
3
【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，掌握定义是解题关键．
√225 = 15，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】√225 = 15，
所以√225的立方根即为15的立方根，为√15
3
，
故答案为：√15
3
．
▌对点练1-2√162的平方根是______．
【答案】±4
【分析】先根据算术平方根的性质化简已知式子，再根据平方根的定义计算最终结果．解题时需注意审
解题贴士
分层分步计算，不可一步直接作答；先计算外层根号的数值，再对计算得出的结果二次求算术平方根或
平方根，极易直接把外层结果当成最终答案，忽略二次开方要求，做题时务必看清题目完整表述，拆解
两步运算，规避命题陷阱.
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题，不要混淆化简结果与待求的平方根．
【详解】解：∵√162 = |16| = 16，
∴16的平方根是±4．
题型9 平方根与立方根概念综合辨析
▌例1 下列说法正确的是（ ）
A．√9的平方根是±3
B．8 的立方根是±2
C．4 的平方根是2
D．−√2是2 的平方根
【答案】D
【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果．
【详解】A．√9 = 3，所以，3的平方根是±√3，因此本选项错误，不符合题意；
B．23 = 8，所以，8的立方根是2，因此本选项错误，不符合题意；
C．(±2)2 = 4，所以，4的平方根是±2，因此本选项错误，不符合题意；
D．(−√2)2 = 2，所以，−√2是2的平方根，因此本选项正确，符合题意；
▌对点练1-1 下列说法正确的是（ ）
A．正数有两个互为相反数的立方根
B．负数没有立方根
C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同
D．2的立方根是±√2
3
【答案】C
【详解】解：根据立方根的定义：若𝑥3 = 𝑎，则𝑥是𝑎的立方根，
任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，
A 选项，正数只有一个正的立方根，故A 错误；
B 选项，负数有一个负的立方根，故B 错误；
C 选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，
因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C 正确；
D 选项，2的立方根只有一个√2
3
，故D 错误．
解题贴士
逐项辨析概念，牢记核心区别：负数无平方根但有立方根；正数平方根两个、立方根一个；算术平方根
一定是非负数；根指数 2 可省略、根指数 3 不可省略；举出反例推翻错误说法，利用特殊值 0、1、-
1 快速验证语句对错，排除干扰选项.
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▌对点练1-2 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于
它本身的数有2 个；④16 的平方根是±4，用式子表示是√16 = ±4；其中正确的是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【详解】解：∵实数和数轴上的点是一一对应的，
∴说法①正确，符合题意；
∵无理数是无限不循环小数，其中开方开不尽的数只是其中一部分，
∴说法②错误，不符合题意；
∵立方根等于它本身的数有±1和0，共3 个，
∴说法③错误，不符合题意；
∵16的平方根是±4，用式子表示是±√16 = ±4，
∴说法④错误，不符合题意．
题型10 与几何问题的实际应用
▌例1 如图，将两个长为3，宽为2的长方形沿对角线剪开，用得到的4个完全一样的直角三角形围成如图所
示的正方形，则该正方形的边长𝑎为（ ）
A．2√3
B．3√2
C．√13
D．√15
【答案】C
【分析】根据图1 确定直角三角形的两直角边长，结合图2 判断𝑎为直角三角形的斜边，利用勾股定理求
解即可；
【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2，
∴剪开得到的直角三角形的两直角边长分别为2和3，
解题贴士
正方形面积公式S = a2，边长a = √S，现实中长度不能为负，因此只选取算术平方根作为最终答案，舍
去负根；正方体体积V = b3，棱长直接用立方根计算，结果唯一；作答前统一题目单位，代入数值计算
后规范写出单位，完成作答.
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由图2 可知，中间正方形的边长𝑎即为直角三角形的斜边，
∴根据勾股定理得𝑎= √22 + 32 = √13．
▌例2 魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为125cm3的魔方，则这个魔方的棱长为（ ）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．√5cm
【答案】A
【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正方体
的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为𝑥，
∴𝑥3 = 125，则𝑥= 5，
∴正方体的棱长为5cm，
故选：A．
▌对点练1-1 如图1，小明把长为2，宽为1 的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2 所示的一个大正方
形，则空白部分小正方形的边长𝑥的值是（ ）
A．√5
B．5
C．3
D．√3
【答案】A
【详解】解：由题意，空白部分小正方形的面积为大正方形的面积减去4 个直角三角形的面积，大正方形
的边长为长方形的长和宽的和，
∴𝑥2 = (2 + 1)2 −4 ×
1
2 × 2 × 1 = 5，
∵𝑥> 0，
∴𝑥= √5.
▌对点练1-2 如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1 的正方体礼盒的表面积为150cm2，图2 的正方体礼
盒的体积比图1 的正方体礼盒的体积大91cm3，则图2 的正方体礼盒的表面积为（ ）
A．216cm2
B．243cm2
C．157cm2
D．132cm2
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【答案】A
【分析】先由图1 表面积求棱长及体积，再由体积差求图2 体积及棱长，最后求图2 表面积．
【详解】解：设图1 正方体棱长为𝑎1cm，图2 正方体棱长为𝑎2cm，
∵图1 正方体表面积为150cm2，
∴6𝑎1
2 = 150，
解得𝑎1 = 5，
∴图1 正方体体积为53 = 125cm3，
∵图2 正方体体积比图1 大91cm3，
∴图2 正方体体积为125 + 91 = 216(cm3)，
∴𝑎23 = 216，
解得𝑎2 = 6，
∴图2 正方体表面积为6 × 62 = 216(cm2)．
题型11 规律探究型问题
▌例1 若√2.14
3
≈1.289，√21.4
3
≈2.776，则√2140
3
≈（ ）
A．12.89
B．27.76
C．128.9
D．277.6
【答案】A
【分析】将所求被开方数2140变形为已知立方根的数与103的乘积，再利用立方根的性质计算即可．
【详解】∵2140 = 2.14 × 1000 = 2.14 × 103，
∴√2140
3
= √2.14 × 103
3
= √103
3
× √2.14
3
= 10 × √2.14
3
，
又∵√2.14
3
≈1.289 ，
∴√2140
3
≈10 × 1.289 = 12.89 ．
▌例2 已知√1 −
1
2 = √
1
2；√2 −
2
5 = 2 × √
2
5；√3 −
3
10 = 3 × √
3
10；√4 −
4
17 = 4 × √
4
17；⋯⋯；按此规律，若
√𝑎−
6
𝑏= 𝑎⋅√
6
𝑏（𝑎，𝑏为正整数），则(6𝑎−𝑏)2026的值为（ ）
A．1
B．−1
C．2026
D．−2026
【答案】A
【分析】先观察已知等式总结a 和b 的变化规律，再求出𝑎, 𝑏的值，代入式子计算即可．
解题贴士
观察多组式子，归纳通用规律：被开方数小数点每向右（左）移动两位，算术平方根小数点同向移动一
位；被开方数小数点每移动三位，立方根小数点同向移动一位；利用总结出的规律，快速口算同类根式
近似值，提升做题效率.
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【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数𝑛，有√𝑛−
𝑛
𝑛2+1 = 𝑛√
𝑛
𝑛2+1，
对比√𝑎−
6
𝑏= 𝑎· √
6
𝑏，可得𝑎= 6，𝑏= 𝑎2 + 1，
∵𝑎= 6，
∴𝑏= 62 + 1 = 37，
∴6𝑎−𝑏= 6 × 6 −37 = −1，
∴(6𝑎−𝑏)2026 = (−1)2026 = 1．
▌对点练1-1 根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x
23.1
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
23.8
𝑥2
533.61
538.24
542.89
547.56
552.25
556.96
561.69
566.44
A．560 的算术平方根比23.7 大
B．√55.225 = 2.35
C．只有3 个正整数n 满足23.2 < √𝑛< 23.3
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出23.92将比23.82大4.77
【答案】D
【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项．
【详解】解：∵23. 72 = 561.69，560 < 561.69，∴√560 < 23.7，A 错误；
∵2.352 = 5.5225 ≠55.225，∴√55.225 ≠2.35，B 错误；
∵23. 22 = 538.24，23.32 = 542.89，∴满足23.2 < √𝑛< 23.3的正整数𝑛为539，540，541，542共4 个，
C 错误；
观察表格中数据，23.22 −23.12 = 4.63，23. 32 −23. 22 = 4.65，23.42 −23.32 = 4.67，
可知𝑥每增加0.1，𝑥2的增量依次增加0.02，
∵23. 82 −23. 72 = 566.44 −561.69 = 4.75，
∴23. 92 −23. 82 = 4.75 + 0.02 = 4.77，D 正确．
▌对点练1-2 我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到√59319
3
的结果，可以按如下步骤
思考：第一步：确定√59319
3
的位数，因为103 = 1000，1003 = 1000000，而1000 < 59319 < 1000000，
所以10 < √59319
3
< 100，由此得√59319
3
是两位数；
第二步：确定个位数字，因为59319 的个位上的数是9，在0 到9 的整数中，只有9 的立方的个位上的数
是9；
第三步：确定十位数字，划去59319 后面的三位319 得到59，因为33 = 27，43 = 64．而27 < 59 < 64，
所以√59319
3
的十位上的数字是3．
综合以上可得，√59319
3
= 39
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根据上述方法，−148877的立方根是（ ）
A．−43
B．−53
C．−63
D．−73
【答案】B
【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字
即可得到结果．
【详解】解：∵所求为−148877的立方根，负数的立方根是负数，
∴只需先求148877的立方根；
第一步，确定位数：
∵103 = 1000 ，1003 = 1000000 ，且 1000 < 148877 < 1000000，
∴10 < √148877
3
< 100，即√148877
3
是两位数；
第二步，确定个位数字：
∵148877的个位数字是7，0~9中只有3的立方的个位数字为7，
∴√148877
3
的个位数字是3；
第三步，确定十位数字：
划去148877后三位得到148，
∵53 = 125，63 = 216，且125 < 148 < 216，
∴√148877
3
的十位数字是5，即√148877
3
= 53；
∴√−148877
3
= −53．
题型12 与整数部分或小数部分有关的求值
▌例1 已知𝑥+ 1的算术平方根是3，y 是√14的整数部分，则𝑥+ 𝑦的值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】A
【分析】先根据算术平方根的定义求出𝑥，再通过估算无理数的大小得到𝑦，最后计算𝑥+ 𝑦得到结果．
【详解】解：∵𝑥+ 1的算术平方根是3，
∴𝑥+ 1 = 32 = 9，
∴𝑥= 8，
∵9 < 14 < 16，
∴√9 < √14 < √16，即3 < √14 < 4，
解题贴士
先用夹逼法估算出无理数的整数部分，确定a的值；再用无理数减去整数部分得到小数部分b；最后把a、b
数值代入代数式，完成有理数加减运算，解题关键在于准确估算无理数大致范围，避免估算区间出错.
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∵y 是√14的整数部分，
∴𝑦= 3，
∴𝑥+ 𝑦= 8 + 3 = 11．
▌对点练1-1 阅读材料：因为√4 < √7 < √9，即2 < √7 < 3，所以√7的整数部分为2，小数部分为√7 −
2．规定：数𝑚的整数部分记为[𝑚]，小数部分记为{𝑚}．则{√10}的值是____________．
【答案】
√10 −3
【分析】先根据不等式性质确定√10的整数范围，得到√10的整数部分，再根据题目定义，用√10减去其整
数部分得到小数部分的值．
【详解】解：∵√9 < √10 < √16，
∴3 < √10 < 4，
∴√10的整数部分为3，
∴小数部分{√10} = √10 −3．
▌对点练1-2 阅读下列材料：
∵ √1 < √3 < √4，即：1 < √3 < 2；
∴ √3的整数部分为1，小数部分为√3 −1．
请根据材料提示，进行解答：
(1)√14的整数部分是________，小数部分是_________；
(2)若10 + √33 = 𝑎+ 𝑏，其中：a 是整数，0 < 𝑏< 1．求2𝑎+ 𝑏的值．
【答案】(1)3，√14 −3
(2)25 + √33
【分析】（1）根据√9 < √14 < √16，求解即可；
（2）根据文中的方法求解即可；
【详解】（1）解：∵√9 < √14 < √16，即3 < √14 < 4；
∴√14的整数部分是3，小数部分是√14 −3；
（2）解：∵√25 < √33 < √36，即5 < √33 < 6；
∴15 < 10 + √33 < 16
故10 + √33的整数部分是15，小数部分是10 + √33 −15 = √33 −5；
故𝑎= 15，𝑏= √33 −5；
故2𝑎+ 𝑏= 2 × 15 + √33 −5 = 25 + √33．
题型13 平方根与立方根综合求值问题
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▌例1 已知2𝑎−1的平方根是±3，25 + 𝑏的立方根是3．
(1)求𝑎，𝑏的值．
(2)求2𝑎+ 3𝑏的平方根．
【答案】(1)𝑎= 5；𝑏= 2；
(2)±4．
【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题；
（2）先将由（1）得𝑎= 5，𝑏= 2代入2𝑎+ 3𝑏，再求解2𝑎+ 3𝑏的平方根即可．
【详解】（1）∵2𝑎−1的平方根是±3，
∴2𝑎−1 = 9，解得：𝑎= 5，
∵25 + 𝑏的立方根是3，
∴25 + 𝑏= 33 = 27，解得：𝑏= 2；
（2）∵由（1）得𝑎= 5，𝑏= 2，
∴2𝑎+ 3𝑏= 2 × 5 + 3 × 2 = 16，
∴2𝑎+ 3𝑏的平方根为±4．
▌对点练1-1 按要求完成下列各题：
(1)若一个正数的两个不同的平方根分别为4 −𝑚和2𝑚−7，求这个正数．
(2)已知5𝑎+ 4的立方根是−1，𝑏是√81的算术平方根，求3𝑎+ 2𝑏的平方根．
【答案】(1)
1
(2)
±√3
【分析】本题考查了平方根和立方根的性质：
（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解；
（2）根据立方根和算术平方根求出𝑎, 𝑏，代入代数式求解．
【详解】（1）解：(4 −𝑚) + (2𝑚−7) = 0
4 −𝑚+ 2𝑚−7 = 0
𝑚−3 = 0
𝑚= 3
∴这个正数的其中一个平方根为4 −𝑚= 4 −3 = 1，
∴这个正数为12 = 1．
解题贴士
依据平方根、立方根定义列式，利用平方根互为相反数、立方根唯一性建立方程求出未知数，再将数值
代入代数式化简求值，严格遵循两类方根定义限制条件，防止概念混用出错.
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（2）解：根据题意得5𝑎+ 4 = (−1)3，
5𝑎+ 4 = −1，
解得𝑎= −1；
∵√81 = 9，
∴ √81的算术平方根为√9 = 3，
即𝑏= 3，
∴3𝑎+ 2𝑏= 3 × (−1) + 2 × 3 = −3 + 6 = 3，
∴3𝑎+ 2𝑏的平方根为±√3．
▌对点练1-2 已知𝑎是27的立方根，𝑏是
1
9的平方根与−
1
8的立方根的和，𝑐是𝑎+ 6𝑏的平方．
(1)直接写出𝑎，𝑏的值，并比较𝑎，𝑏，𝑎−𝑏的大小．
(2)求𝑐的所有可能值．
【答案】(1)𝑎= 3，𝑏= −
1
6或−
5
6；𝑎−𝑏> 𝑎> 𝑏；
(2)𝑐= 4
【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出𝑏的所有
可能值，再分别计算𝑎−𝑏和𝑎+ 6𝑏，从而比较大小和求𝑐的值．
（1）先根据立方根的定义求出𝑎，再根据平方根和立方根的定义求出𝑏的所有可能值，然后计算𝑎−𝑏，最
后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较𝑎，𝑏，𝑎−𝑏的大小．
（2）先根据𝑏的不同取值分别计算𝑎+ 6𝑏的值，再对结果进行平方，得到𝑐的所有可能值．
【详解】（1）解：∵𝑎是27的立方根，
∴𝑎= √27
3
= 3．
∵
1
9的平方根是±√
1
9 = ±
1
3，−
1
8的立方根是√−
1
8
3
= −
1
2，
∴当取
1
3时，𝑏=
1
3 + (−
1
2) = −
1
6；当取−
1
3时，𝑏= −
1
3 + (−
1
2) = −
5
6．
∴𝑏= −
1
6或−
5
6．
当𝑏= −
1
6时，𝑎−𝑏= 3 −(−
1
6) =
19
6 ，
∵
19
6 > 3 > −
1
6，
∴𝑎−𝑏> 𝑎> 𝑏；
当𝑏= −
5
6时，𝑎−𝑏= 3 −(−
5
6) =
23
6 ，
∵
23
6 > 3 > −
5
6，
∴𝑎−𝑏> 𝑎> 𝑏；
综上，𝑎−𝑏> 𝑎> 𝑏；
（2）解：当𝑏= −
1
6时，𝑎+ 6𝑏= 3 + 6 × (−
1
6) = 2，
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∴𝑐= 22 = 4；
当𝑏= −
5
6时，𝑎+ 6𝑏= 3 + 6 × (−
5
6) = −2，
∴𝑐= (−2)2 = 4；
故𝑐只有一个值为4．
基础通关
1．(−√16)
2的平方根是（ ）
A．±4
B．±16
C．4
D．16
【答案】A
【分析】先计算出(−√16)
2的结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，需注意区分原式结果和
原式结果的平方根两个概念．
【详解】解：∵√16 = 4，
∴−√16 = −4，
∴(−√16)
2 = (−4)2 = 16，
又∵(±4)2 = 16，
∴16的平方根是±4，
即(−√16)
2的平方根是±4．
2．下列说法正确的是（ ）
A．−9的平方根是-3
B．64 的立方根是4
C．若√𝑚= √𝑚
3
，则𝑚= 1
D．25的平方根是5
【答案】B
【详解】解：∵负数没有平方根，−9是负数，∴A 选项错误；
∵43 = 64，∴64的立方根是4，∴B 选项正确；
若√𝑚= √𝑚
3
，则𝑚= 0或𝑚= 1，∴C 选项错误；
∵(±5)2 = 25，∴25的平方根是±5，∴D 选项错误．
3．关于√7，下列说法正确的是（ ）
A．它是一个有理数
B．它是√7的算术平方根
C．面积为7的正方形的边长
D．6 < √7 < 8
【答案】C
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【分析】根据无理数的概念，算术平方根的定义，正方形面积公式以及无理数的估算，逐一分析选项即可
得出答案．
【详解】解：A 选项，∵√7是开方开不尽的数，属于无理数，不是有理数，∴A 错误．
B 选项，∵7的算术平方根是√7，√7的算术平方根不是√7，∴B 错误．
C 选项，∵正方形面积等于边长的平方，∴面积为7的正方形边长为√7，∴C 正确．
D 选项，∵22 = 4，32 = 9，可得2 < √7 < 3，∴D 错误．
4．若|𝑎+ 10| + √𝑏−2 = 0，则√𝑎+ 𝑏
3
等于（ ）
A．−2
B．0
C．±2
D．2
【答案】A
【分析】本题考查非负数的性质与立方根的计算，利用“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”求出
𝑎，𝑏的值，再代入计算立方根即可．
【详解】解：∵|𝑎+ 10| ≥0，√𝑏−2 ≥0，且|𝑎+ 10| + √𝑏−2 = 0，
∴|𝑎+ 10| = 0，√𝑏−2 = 0，
解得𝑎= −10，𝑏= 2，
计算得𝑎+ 𝑏= −10 + 2 = −8，
∴√𝑎+ 𝑏
3
= √−8
3
= −2．
5．若√135 ≈11.62，√1.35 ≈1.162，√𝑎≈0.1162，则𝑎的值为（ ）
A．0.0135
B．0.135
C．0.427
D．13.5
【答案】A
【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同
方向移动一位，利用该规律即可求解．
【详解】解：∵√135 ≈11.62，√1.35 ≈1.162，1.35 = 135 ÷ 100，1.162 = 11.62 ÷ 10，
则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位，
∵0.1162 = 1.162 ÷ 10，
∴𝑎= 1.35 ÷ 100 = 0.0135．
6．实数𝑎在数轴上的位置如图所示，则化简√(𝑎−1)2为（ ）
A．1 −𝑎
B．𝑎−1
C．𝑎+ 1
D．−𝑎−1
【答案】B
【分析】根据数轴可得1 < 𝑎< 2，得到𝑎−1 > 0，进而化简式子√(𝑎−1)2．
【详解】解：根据算术平方根的性质：√𝑥2 = |𝑥|，
∴原式可转化为：√(𝑎−1)2 = |𝑎−1|，
由数轴可知，实数𝑎的取值范围是1 < 𝑎< 2，因此𝑎−1 > 0，
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|𝑎−1| = 𝑎−1，
∴化简结果为𝑎−1．
7．已知某港口有一个体积为64m3的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为
216m3的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．3.375倍
B．2 倍
C．1.8倍
D．1.5倍
【答案】D
【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案．
【详解】解：设原正方体棱长为𝑎m，改造后正方体棱长为𝑏m．
∵正方体体积𝑉= 𝑎3，
当𝑉1 = 64时，𝑎= √64
3
= 4；
当𝑉2 = 216时，𝑏= √216
3
= 6；
∴
𝑏
𝑎=
6
4 = 1.5．
故改造后正方体的棱长是原来棱长的1.5倍．
8．小明编写了一个程序，如图．若输入𝑥= 8，则输出的数为___________．
【答案】
1
2
【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解．
【详解】解：输入𝑥= 8，
则𝑥2 = 82 = 64，
然后√64
3
= 4，
4 的倒数为
1
4，
然后得到√
1
4 =
1
2，
∴输出的数为
1
2．
9．写出满足√5 < 𝑥< √17的所有整数𝑥：______．
【答案】3和4
【分析】对√5和√17大小的估算，得到𝑥的大致范围，确定满足条件的整数即可．
【详解】解：∵4 < 5 < 9，
∴2 < √5 < 3，
∵16 < 17 < 25，
∴4 < √17 < 5，
2 < √5 < 𝑥< √17 < 5，
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∴满足√5 < 𝑥< √17的整数𝑥有3，4．
10．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点𝐴对应刻度尺上的“4”，面积
为2cm2的正方形其中一个顶点落在点𝐶处，以点𝐴为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点𝐶．则点𝐶
在刻度尺上对应的数为______．
【答案】4 + √2
【详解】解：由题意得，正方形的边长为√2cm，
∵数轴上点𝐴对应刻度尺上的“4”， 以点𝐴为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点𝐶
∴点𝐶在刻度尺上对应的数为4 + √2．
11．代数式√5 + 3𝑥−2的最小值为____．
【答案】−2
【分析】根据算术平方根的非负性，得到√5 + 3𝑥的最小值为0，即可求出原代数式的最小值．
【详解】解：∵√5 + 3𝑥≥0，
∴√5 + 3𝑥的最小值是0，
当√5 + 3𝑥= 0时，√5 + 3𝑥−2 = 0 −2 = −2，
∴代数式√5 + 3𝑥−2的最小值为−2．
12．计算：√22 + (−1) −√16．
【答案】−3
【分析】根据算术平方根的意义进行化简，然后计算即可．
【详解】解：原式= 2 −1 −4
= −3．
13．计算：√9 + (−1)2 −√27
3
+ (√−8
3
)
3
【答案】−7
【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算和有理数的混合运算． 解题思路是先分别计算出每一项的
值，再按照有理数加减运算法则计算最终结果．
【详解】解：√9 + (−1)2 −√27
3
+ (√−8
3
)
3 = 3 + 1 −3 + (−8) = −7．
14．已知正数m 的两个不同的平方根分别是𝑎+ 4和−2𝑎−3．
(1)求a 的值；
(2)求2𝑚−𝑎的算术平方根．
【答案】(1)1；
(2)7．
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【分析】（1）由平方根的性质建立方程求解即可；
（2）先求解𝑚= 52 = 25，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：由题意得(𝑎+ 4) + (−2𝑎−3) = 0，
解得𝑎= 1，
∴a 的值为1．
（2）解：由（1）可知𝑎= 1，
∴ 𝑎+ 4 = 5，
∴ 𝑚= 52 = 25，
∴ 2𝑚−𝑎= 2 × 25 −1 = 49，
∴ 2𝑚−𝑎的算术平方根为√49 = 7．
15．如图是由4 条横线，5 条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出
的20 个点（称为格点）中，我们可以选择其中4 个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形．
(1)请在图中画出一个面积为5 的格点正方形．
(2)在图中一共可以画出几个面积为5 的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）画出边长为√22 + 12 = √5的正方形即可；
（2）画出所有面积为5 的正方形即可．
【详解】（1）略
（2）解：画出所有面积为5 的正方形，如图，
共有4 个面积为5 的格点正方形．
素养提升
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1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|−√2|与√2
B．−2与√−8
3
C．2与(−√2)
2
D．−2与√(−2)2
【答案】D
【详解】解：选项A 中|−√2| = √2，选项B 中√−8
3
= −2，选项C 中(−√2)
2 = 2，三组数均相等，不互为
相反数．
选项D 中√(−2)2 = 2，2与−2互为相反数．
2．实数√65 −1最接近下列哪一个整数（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【分析】利用平方运算确定√65的取值范围，再推导√65 −1的范围，即可判断最接近的整数．
【详解】解：∵82 = 64，8.12 = 65.61，
∴64 < 65 < 65.61，
8 < √65 < 8.1，
∴7 < √65 −1 < 7.1，
√65 −1在7和7.1之间，最接近的整数是7．
3．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数9对应的密码是√9 =
3，数900对应的密码是√900 = 30．已知数2026对应的密码约为45.01，数202.6对应的密码约为14.23，
则数20.26对应的密码约为（ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
【答案】B
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的
1
100，它的算术平方根缩小为原来的
1
10，利用该性
质结合已知条件即可求解．
【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码，
∴数20.26对应的密码为√20.26，
∵数2026对应的密码约为45.01，
∴√2026 ≈45.01，
∴√20.26 ≈4.501．
4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（ ）
𝑎
12
12.1
12.2
12.3
12.4
…
𝑎2
144
146.41
148.84
151.29
153.76
…
A．√14.4 = 1.2
B．√1.4641 = 1.21
C．√0.14884 = 1.22
D．√15376 = 1240
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【答案】B
【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的𝑎2的值验证各选项．
【详解】解：由表格可知：122 = 144，12.12 = 146.41，12.22 = 148.84，12.42 = 153.76，
∵1.22 = 1.44 ≠14.4，1.222 = 1.4884 ≠0.14884，12402 = (12.4 × 100)2 = 12. 42 × 1002 =
153.76 × 10000 = 1537600 ≠15376，
∴A、C、D 选项错误；
∵1.212 = (12.1 ÷ 10)2 = 146.41 ÷ 100 = 1.4641，
∴√1.4641 = 1.21，故B 选项正确．
5．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据：
①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为
22
7
②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为√9万千米
③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为−
𝜋
3个标准大气压
④火箭发动机某部件体积恰好为√6
3
立方米．
老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，逐个分析．
【详解】解：
22
7 是分数，属于有理数；
√9 = 3，是整数，属于有理数；
−
𝜋
3，𝜋是无限不循环小数，因此−
𝜋
3是无理数；
√6
3
开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
综上，无理数共2个．
6．如图，将长为10，宽为5的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最
接近的整数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可
得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，正方形的面积为5 × 10 = 50，
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∴边长为√50，
∵√49 < √50 < √7.52，
∴7 < √50 < 7.5，
∴正方形边长最接近的整数是7．
7．公元3 世纪，我国古代数学家就能利用近似公式√𝑎2 + 𝑟≈𝑎+
𝑟
2𝑎得到无理数的近似值，例如：√2化为
√12 + 1，再由近似公式得到√2 ≈1 +
1
2×1 =
3
2 = 1.5，若利用此公式计算√17的近似值时，𝑟取正整数，且
𝑎取尽可能大的正整数，则√17 ≈___________．
【答案】4.125
【分析】将√17整理为√𝑎2 + 𝑟的形式，根据要求确定𝑎和𝑟的值，代入给定近似公式计算即可．
【详解】解：∵42 = 16 < 17，52 = 25 > 17，
∴√𝑎2 + 𝑟= 𝑎+
𝑟
2𝑎中，𝑎= 4，𝑟= 17 −42 = 1．
∴√17 ≈4 +
1
2×4 = 4 + 0.125 = 4.125．
8．已知𝑎+ 5是4 的算术平方根，2𝑏−6的立方根是2，则−3𝑎+ 𝑏的平方根是________．
【答案】±4
【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于𝑎和𝑏的等式，求出𝑎、𝑏的值后代入计算−3𝑎+ 𝑏，最
后求该式的平方根即可．
【详解】解：∵𝑎+ 5是4 的算术平方根，4 的算术平方根是2，
∴𝑎+ 5 = 2，
解得𝑎= −3，
∵2𝑏−6的立方根是2，
∴2𝑏−6 = 23 = 8，
解得𝑏= 7，
将𝑎= −3，𝑏= 7代入−3𝑎+ 𝑏得−3𝑎+ 𝑏= −3 × (−3) + 7 = 16，
∵16的平方根是±4，
∴−3𝑎+ 𝑏的平方根是±4．
9．如图，将1、√2、√3三个数按图中方式排列，若规定(𝑎, 𝑏)表示第𝑎排第𝑏列的数，则
1
第1 排
√3
√2
第2 排
√3
√2
1
第3 排
1
√3
√2
1
第4 排
⋯⋯
⋯⋯
第4 列
第3 列
第2 列
第1 列
（1）(5,3) =________，
（2）(8,2)与(2014,2014)表示的两个数的积是________．
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【答案】 1 √3
【分析】（1）第n 排有n 个数，且按照1、√2、√3的顺序，每3 个数为一个循环排列，确定第5 排第3 列
是第几个数即可得到答案；
（2）同（1）确定第8 排第2 列是第几个数和第2014 排第2014 列是第几个数即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，第n 排有n 个数，且按照1、√2、√3的顺序，每3 个数为一个循环排列，
1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，
13 ÷ 3 = 4 … 1，
∴(5,3) = 1；
（2）1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 = 30，
1 + 2 + 3 + ⋯+ 2013 + 2014 =
2014×(2014+1)
2
= 2029105，
30 ÷ 3 = 10,2029105 ÷ 3 = 676368 … 1，
∴(8,2) = √3，(2014,2014) = 1，
∴(8,2)与(2014,2014)表示的两个数的积是√3 × 1 = √3．
10．教材上有这样一个探究：把两个边长均为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角
形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形．所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长
为1dm的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在
数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C 为圆心，正方形
的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B 两点，则点A 表示的数为________．
【答案】 √2dm 1 −√2
【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求
解．
【详解】解：∵两个边长为1dm的小正方形拼成的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小
正方形的对角线长，
∴原小正方形的对角线长为√2dm；
由图可知，点𝐶表示的数为1，圆的半径为√2
∵点𝐴在点𝐶的左侧，
∴点𝐴表示的数为1 −√2．
11．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务：
7 是有理数，当一个正方形的面积为7 时，它的边长是√7，而√7是无理数．
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无理数是无限不循环小数，下面是小明确定√7的整数部分和小数部分的方法．
∵22 = 4，32 = 9，22 < 7 < 32，∴2 < √7 < 3，
∴√7的整数部分是2，小数部分是√7 −2．
(1)√13的整数部分是_________；
(2)𝑎为√3的小数部分，𝑏为√5的整数部分，求𝑎+ 𝑏−√3的值；
(3)已知8 + √3 = 𝑥+ 𝑦，其中𝑥是一个正整数，0 < 𝑦< 1，求2𝑥+ (𝑦−√3)
2026的值．
【答案】(1)3；
(2)1；
(3)19
【分析】（1）根据阅读材料解答即可；
（2）根据阅读材料分别求得a 和b 的值，然后代入计算即可；
（3）根据1 < √3 < 2，可知9 < 8 + √3 < 10，结合题意可求得x 和y 的值，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵32 = 9，42 = 16，32 < 13 < 42，
∴3 < √13 < 4，
∴√13的整数部分是3；
（2）解：∵12 = 1，22 = 4，12 < 3 < 22，
∴1 < √3 < 2，
∴√3的小数部分是√3 −1，即𝑎= √3 −1，
∵22 = 4，32 = 9，22 < 5 < 32，
∴2 < √5 < 3，
∴√5的整数部分是2，即𝑏= 2，
∴𝑎+ 𝑏−√3 = √3 −1 + 2 −√3 = 1；
（3）解：由（2）得，1 < √3 < 2，
∴9 < 8 + √3 < 10，
∵8 + √3 = 𝑥+ 𝑦，其中x 是一个正整数，0 < 𝑦< 1，
∴𝑥= 9, 𝑦= 8 + √3 −9 = √3 −1，
∴2𝑥+ (𝑦−√3)
2026 = 2 × 9 + (√3 −1 −√3)
2026 = 18 + 1 = 19．
迁移创新
1．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：√4 × 9 = √36 = 6 = 2 × 3；
第②个等式：√9 × 16 = √144 = 12 = 3 × 4；
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第③个等式：√16 × 25 = √400 = 20 = 4 × 5；
第④个等式：√25 × 36 = √900 = 30 = 5 × 6；
．．．
【规律发现】
(1)计算：√36 × 49 = ；√100 × 121 = ；
(2)若√𝑎2 × (𝑎+ 1)2 = 210，则正整数𝑎= ；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
1
√4×9 +
1
√9×16 +
1
√16×25 + ⋯+
1
√81×100．
【答案】(1)42，110 (2)14 (3)
2
5
【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用
于计算与化简．
（1）直接利用规律计算；
（2）利用规律列方程求解；
（3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和．
【详解】（1）解：√36 × 49 = 6 × 7 = 42，
√100 × 121 = 10 × 11 = 110．
（2）解：∵√𝑎2 × (𝑎+ 1)2 = 𝑎(𝑎+ 1)，
∴𝑎(𝑎+ 1) = 210，
即𝑎2 + 𝑎−210 = 0，
解得𝑎= 14（𝑎= −15舍去）．
（3）解：原式=
1
2×3 +
1
3×4 +
1
4×5 + ⋯+
1
9×10
= (1
2 −1
3) + (1
3 −1
4) + ⋯+ (1
9 −1
10)
= 1
2 −1
10
=
2
5．
2．设多项式𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑏，𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑，其中𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为常数，𝑃(𝑥)和𝑄(𝑥)表示𝑥取某数
时对应多项式的值，如：𝑃(1) = 1 + 𝑎+ 𝑏．已知两个多项式恒满足：𝑃(0) ⋅𝑄(1) = 𝑃(1) ⋅𝑄(0)，则称
(𝑃, 𝑄)为对称积对．
(1)根据对称积对定义，写出𝑎，𝑏，𝑐，𝑑之间的关系式________．
(2)已知(𝑃, 𝑄)为对称积对，𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为整数．
①若𝑎= 𝑐> 0，证明：𝑏= 𝑑．
②当𝑃(1) = 5，𝑃(2) = 𝑄(2) = 9，求𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑的值．
③若𝑎< 𝑐< 0，当𝑃(2) = 𝑄(2)，(𝑎−𝑐)2 + (𝑏−𝑑)2 = 5时，求𝑏+ 𝑑的最小值．
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【答案】(1)𝑏(𝑐+ 1) = 𝑑(𝑎+ 1)
(2)①证明：由（1）可得𝑏(𝑐+ 1) = 𝑑(𝑎+ 1)
当𝑎= 𝑐时，
𝑏(𝑎+ 1) = 𝑑(𝑎+ 1)
∵𝑎> 0，则𝑎+ 1 ≠0
∴𝑏= 𝑑；
②8；
③2
【分析】（1）分别计算𝑃(0)，𝑄(1)，𝑃(1)，𝑄(0)的值，代入条件𝑃(0) ⋅𝑄(1) = 𝑃(1) ⋅𝑄(0)，即可求解；
（2）①，将𝑎= 𝑐代入第一问得到的关系式，因为𝑎> 0，所以可以对等式进行变形推导，得到𝑏和𝑑的关
系。
②，先利用𝑃(1) = 5和𝑃(2) = 9联立方程求解𝑎, 𝑏的值，再利用𝑄(2) = 9得到𝑐, 𝑑的关系式，结合第一问的
参数关系式，联立求解𝑐, 𝑑，最后计算𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑；
对于③，先由𝑃(2) = 𝑄(2)得到𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑的一个等式，结合第一问的关系式，推导𝑏−𝑑与𝑎−𝑐的关系，再
代入𝑏(𝑐+ 1) = 𝑑(𝑎+ 1)，得出𝑏= −2𝑎−2，𝑑= −2𝑎−2 −2 = −2𝑎−4，进而求得𝑏+ 𝑑关于𝑎的代数
式，根据−4𝑎−6随𝑎的增大而减小，取得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，𝑃(0) = 02 + 𝑎× 0 + 𝑏= 𝑏，𝑄(1) = 12 + 𝑐× 1 + 𝑑= 1 + 𝑐+ 𝑑
𝑃(1) = 12 + 𝑎× 1 + 𝑏= 1 + 𝑎+ 𝑏，𝑄(0) = 02 + 𝑐× 0 + 𝑑= 𝑑
∵𝑃(0) ⋅𝑄(1) = 𝑃(1) ⋅𝑄(0)
∴𝑏(1 + 𝑐+ 𝑑) = 𝑑(1 + 𝑎+ 𝑏)
∴𝑏+ 𝑏𝑐+ 𝑏𝑑= 𝑑+ 𝑎𝑑+ 𝑏𝑑
即𝑏+ 𝑏𝑐= 𝑑+ 𝑎𝑑，
∴𝑏(𝑐+ 1) = 𝑑(𝑎+ 1)；
（2）①略；
②由𝑃(1) = 5，得：1 + 𝑎+ 𝑏= 5，则𝑎+ 𝑏= 4
由𝑃(2) = 9，得4 + 2𝑎+ 𝑏= 9，则2𝑎+ 𝑏= 5
联立{ 𝑎+ 𝑏= 4
2𝑎+ 𝑏= 5
，解得：{𝑎= 1
𝑏= 3
由𝑄(2) = 9，得4 + 2𝑐+ 𝑑= 9
∴𝑑= 5 −2𝑐
代入𝑏(𝑐+ 1) = 𝑑(𝑎+ 1)得，3(𝑐+ 1) = 2(5 −2𝑐)
解得：𝑐= 1
∴𝑑= 3
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑= 1 + 3 + 1 + 3 = 8；
③∵𝑃(2) = 𝑄(2)
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∴4 + 2𝑎+ 𝑏= 4 + 2𝑐+ 𝑑
∴𝑏−𝑑= 2(𝑐−𝑎)
设𝑚= 𝑎−𝑐, 𝑛= 𝑏−𝑑，则𝑛= −2𝑚
∵(𝑎−𝑐)2 + (𝑏−𝑑)2 = 5
∴𝑚2 + 𝑛2 = 5，
代入𝑛= −2𝑚得，𝑚2 + (−2𝑚)2 = 5
∴𝑚2 = 1
∵𝑎< 𝑐< 0，即𝑎−𝑐< 0，即𝑚< 0
∴𝑚= −1
∴𝑛= −2𝑚= 2
∴𝑎−𝑐= −1, 𝑏−𝑑= 2
∴𝑐= 𝑎+ 1，𝑑= 𝑏−2
代入𝑏(𝑐+ 1) = 𝑑(𝑎+ 1)得
𝑏(𝑎+ 1 + 1) = (𝑏−2)(𝑎+ 1)
∴𝑎𝑏+ 2𝑏= 𝑎𝑏+ 𝑏−2𝑎−2
即𝑏= −2𝑎−2
∴𝑑= −2𝑎−2 −2 = −2𝑎−4
∵𝑐= 𝑎+ 1 < 0，
∴𝑎< −1，
又∵𝑎为整数，则𝑎≤−2
∵𝑏+ 𝑑= −2𝑎−2 + (−2𝑎−4) = −4𝑎−6
∵𝑎≤−2
∴−4𝑎−6随𝑎的增大而减小，
∴当𝑎= −2时，𝑏+ 𝑑取得最小值，最小值为−4 × (−2) −6 = 2
3．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边
长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为√2的大正方
形．如图（2）是由5个边长为1的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋
转拼接，可拼成图（4）中的大正方形．
(1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ；
(2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁
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剪方法，并求出拼成的正方形边长；
(3)网格中的六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方
法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ；
如图甲，把六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹沿裁剪线𝐸𝐻，𝐵𝐺剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方
形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此
六边形剪拼成的正方形．
【答案】(1)√5
(2)√10；见解析
(3)4√2；见解析
【分析】（1）根据正方形的面积求解它的边长即可；
（2）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可；
（3）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可.
【详解】（1）解：∵正方形的面积为5，
∴正方形的边长为√5；
（2）解：∵正方形的面积为10，
∴正方形的边长为√10；
裁剪方法及拼接后的正方形如图所示；
（3）解：∵正方形的面积为62 −22 = 32，
∴正方形的边长为√32 = 4√2，
裁剪方法及拼接后的正方形如图所示.
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