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14.2 三角形全等的判定
知识点一
边边边（SSS）
1．内容：三边分别相等的两个三角形全等．
2．几何语言：在ᇞܣ香䁨和ᇞܦ香䁨中，
ܣ香ൌܦ香，
香䁨ൌ香䁨，
ܣ䁨ൌܦ䁨，
∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܦ香䁨SSS .
归纳总结
如图，如果ܣԢ香Ԣ ൌܣ香ㄍܣԢ䁨Ԣ ൌܣ䁨ㄍ香Ԣ䁨Ԣ ൌ香䁨，则ᇞܣ香䁨≌ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ.
⚠
特别提醒
不要漏写公共边，三条边必须一一对应.
知识点二
边角边（SAS）
1．内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2．几何语言：在ᇞܣ香䁨和ᇞܦ香䁨中，
ܣ香ൌܦ香，
ס香ൌס香，
香䁨ൌ香䁨，
∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܦ香䁨SAS .
归纳总结
第十四章
全等三角形
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如图，如果ܣ香ൌܣԢ香ԢㄍסܣൌסܣԢㄍܣ䁨ൌܣԢ䁨Ԣ，则ᇞܣ香䁨≌ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ．
⚠
特别提醒
必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角.
知识点三
角边角（ASA）
1．内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
2．几何语言：在ᇞܣ香䁨和ᇞܦ香䁨中，
סܣൌסܦ，
ܣ香ൌܦ香，
ס香ൌס香，
∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܦ香䁨ASA .
归纳总结
如图，如果סܣൌסܣԢㄍܣ香ൌܣԢ香Ԣㄍס香ൌס香Ԣ，则ᇞܣ香䁨≌ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ．
⚠
特别提醒
边必须在两个角中间，为两角的公共边．
知识点四
角角边（AAS）
1．内容：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．
2．推导依据：结合三角形内角和，AAS 可由ASA 推导得出．
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3．几何语言：在ᇞܣ香䁨和ᇞܦ香䁨中，
סܣൌסܦ，
ס香ൌס香，
香䁨ൌ香䁨，
∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܦ香䁨AAS .
⚠
特别提醒
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等．这样就可由“角边角”判定两个三
角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．
知识点五
直角三角形全等的判定（HL）
1．适用范围：仅用于直角三角形．
2．内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
3．几何语言：在ᇞܣ香䁨和ᇞܦ香䁨中，ס䁨ൌס䁨ൌ䁡Ͳι
ܣ香ൌܦ香斜边，
ܣ䁨ൌܦ䁨直角边，
∴Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞܦ香䁨HL .
4．其他判定方法：直角三角形也可使用SSS、SAS、ASA、AAS 判定全等．
⚠
特别提醒
一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的
“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理．
易错点1 误用”SSA”判定全等
错例：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，求证：△ABC≌△DEF.错解：由AB=DE，BC=EF，
∠A=∠D，根据”SSA”得△ABC≌△DEF.
错因：两边及其中一边的对角相等（SSA）不能判定三角形全等，这是常见误区.
规避方法：牢记全等判定只有SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种.遇到两边一角，必须确认角是两边的夹
角（SAS），否则不能判定.
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易错点2 判定条件选择错误
错例：已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，求证△ABC≌△DEF. 错解：由两角一边相等，用”AAS”判定.
错因：AB 是∠A 和∠B 的夹边，已知两角及其夹边相等，应使用”ASA”而非”AAS”.虽然结论正确，
但判定依据书写错误，考试中会扣分.
规避方法：分析已知条件时，明确边与角的位置关系：角夹边→ASA；角的对边→AAS；两边夹一角→
SAS.
易错点3 遗漏隐含条件
错例：如图，AB=CD，AD=CB，求证△ABD≌△CDB. 错解：由AB=CD，AD=CB，直接得△ABD≌△CDB.
错因：只有两组边相等，缺少第三组条件，遗漏了公共边BD=DB 这一隐含条件.
规避方法：观察图形时，主动寻找公共边、公共角、对顶角、角平分线/垂直平分线带来的等量关系，
补全判定条件.
题型一：用SSS 证明三角形全等
方法技巧
1. 寻找三组对应边相等，优先利用公共边.
2. 题干多给出线段和差、等量代换，先推导出三边对应相等再证明．
1．如图，下列三角形中，与ᇞܣ香䁨全等的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
C．满足三角形全等的判定定理SSS ，符合题意；
D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
2．如图，ᇞܣ香䁨中，ܣ香ൌܣ䁨，香香ൌ香䁨，直接使用“SSS”可判定（
）
A．ᇞܣ香ܦ≌ᇞܣ䁨ܦ
B．ᇞܣ香香≌ᇞ香ܦ䁨
C．ᇞܣ香香≌ᇞܣ䁨香
D．ᇞ香香ܦ≌ᇞ䁨香ܦ
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵ܣ香ൌܣ䁨，香香ൌ香䁨，ܣ香ൌܣ香，∴ᇞܣ香香≌ᇞܣ䁨香SSS ，
根据现有条件无法直接利用SSS 判定ᇞܣ香ܦ≌ᇞܣ䁨ܦ，ᇞܣ香香≌ᇞ香ܦ䁨，ᇞ香香ܦ≌ᇞ䁨香ܦ．
3．一个三角形的三边长为ͷ，ݔ，ͳͶ，另一个三角形的三边长为ͷ，ͳͲ，ݕ，如果由“SSS”可以判定两个三
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角形全等，则ݔ㜮ݕ的值为（
）
A．ͳͷ
B．ͳ䁡
C．ʹͶ
D．ʹͷ
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．
【详解】解：由“ܵܵܵ
”可以判定两个三角形全等，∴ݔൌͳͲ，ݕൌͳͶ，∴ݔ㜮ݕൌͳͲ 㜮ͳͶ ൌʹͶ.
题型二：用SAS 证明三角形全等
方法技巧
1.找准两组对应边
两边的夹角，角必须夹在两条边中间.
2.优先挖掘公共角、对顶角，严格区分夹角与对角，禁止套用SSA．
1．下列三角形中，一定是全等三角形的是（
）
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
【答案】B
【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意；
B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等，
∴可以根据SAS 证明全等，符合题意；
C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意；
D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意．
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2．如图，ܣ䁨ㄍ香ܦ相交于点ܱ
．若ܱ
ܣൌܱ
ܦ，则要用“SAS”证明ᇞܣܱ香≌ᇞܦܱ䁨，还需添加的一个条件可
以是（
）
A．סܣܱ香ൌסܦܱ䁨B．ܱ香ൌܱ
䁨
C．סܣ䁨香ൌסܣ䁨ܦ
D．ܣ香ൌ䁨ܦ
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ܱܣൌܱ
ܦ，סܣܱ香ൌסܦܱ䁨，
∴当添加ܱ
香ൌܱ
䁨时，ᇞܣܱ香≌ᇞܦܱ䁨（SAS）．
3．如图，ܣ䁨和香ܦ相交于ܱ
点，若ܱ
ܣൌܱ
ܦ，用“SAS”证明ᇞܣܱ香≌ᇞܦܱ䁨还需（
）
A．ܣ香ൌܦ䁨
B．ܱ香ൌܱ
䁨
C．סܣൌסܦ
D．סܣܱ香ൌסܦܱ䁨
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法SAS 即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题
的关键．
【详解】解：在ᇞܣܱ香和ᇞܦܱ䁨中，ܱܣൌܱ
ܦ，סܣܱ香ൌסܦܱ䁨，
若要用SAS 证明ᇞܣܱ香≌ᇞܦܱ䁨，则需要添加条件ܱ
香ൌܱ
䁨，
4．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，
人们开始用纸和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，若ܣ香ൌܣܦ，ס香ܣ䁨ൌ
סܦܣ香，ܣ䁨ൌܣ香．则可以直接判定（
）
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A．ᇞܣܦ䁨≌ᇞܣ香䁨
B．ᇞܣ香䁨≌ᇞܣܦ香
C．ᇞܣ䁨䁨≌ᇞܣ䁨香
D．ᇞܣ香ܦ≌ᇞܣ䁨䁨
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可知利用SAS 判定ᇞܣ香䁨≌ᇞܣܦ香，继而选出答案．
【详解】解：∵在ᇞܣ香䁨和ᇞܣܦ香中，
ܣ香ൌܣܦ
ס香ܣ䁨ൌסܦܣ香
ܣ䁨ൌܣ香
，∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܣܦ香ሺSASሻ.
题型三：用ASA（AAS）证明三角形全等
方法技巧
AAS：两角夹一边，相等的边在两个角中间；
AAS：两角加其中一个角的对边；
可结合三角形内角和，灵活在ASA、AAS 之间转化．
注意：分清夹边与对边，条件顺序与定理保持一致．
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角
形．他的依据是（
）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
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【答案】B
【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．
【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据ASA 即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三
角形全等ASA．
2．如图，太阳光线ܣ䁨与ܣԢ䁨Ԣ是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射
下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断ᇞܣ香䁨≌ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ的依据是（
）
A．SAS
B．SSA
C．SSS
D．AAS
【答案】D
【分析】根据全等三角形判定条件分析即可．
【详解】解：由题可得：סܣ香䁨ൌסܣԢ香Ԣ䁨Ԣ，ܣ香ൌܣԢ香Ԣ， ܣ䁨∥ܣԢ䁨Ԣ，∴סܣ䁨香ൌסܣԢ䁨Ԣ香Ԣ，∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ AAS ．
3．如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点ܯ到湖对岸边上点ܰ
之间的距离，在与点ܰ
同侧
的湖岸上选择了一点ܲ
，利用激光测角仪测得סܯܲܰ
，סܯܰܲ
的度数；然后在点ܰ
所在的湖岸边找点ܳ
，
使得סܳܲܰ
ൌסܯܲܰ
，同时סܳܰܲ
ൌסܯܰܲ
，利用全等三角形的性质，可得ܯㄍ ܰ
之间的距离．图中ᇞܯܰܲ
与ᇞܳܰܲ
全等的依据是（
）
A．ASA
B．AAS
C．SSS
D．SAS
【答案】A
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【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合סܳܲܰ
ൌסܯܲܰ
，סܳܰܲ
ൌסܯܰܲ
，ܰܲ
ൌܰܲ
，
证明ᇞܯܰܲ
≌ᇞܳܰܲ
ASA ，即可作答．
【详解】解：依题意，∵סܳܲܰ
ൌסܯܲܰ
，ܰܲ
ൌܰܲ
，סܳܰܲ
ൌסܯܰܲ
，∴ᇞܯܰܲ
≌ᇞܳܰܲ
ASA ，
∴图中ᇞܯܰܲ
与ᇞܳܰܲ
全等的依据是ASA．
题型四：全等的性质与HL 综合
方法技巧
1.HL 专用于直角三角形，只需找斜边
一条直角边相等；
2.先利用HL 证全等，再用全等性质求线段、角度．
注意：普通三角形不能使用HL，做题先标注直角．
1．如图，两个直角三角形全等的是（
）
A．③④
B．①③
C．①②
D．①④
【答案】B
【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等；
①和③两个直角三角形满足“HL”，可证明两个三角形全等；
③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等；
①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等；
③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等，
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则满足题意的为选项B．
2．如图，能直接用“HL”判定Rtᇞܣ香䁨≌Rt ᇞܣ̵ 香̵ 䁨̵ 的条件是（
）
A．ܣ香ൌܣ̵ 香̵ ，ܣ䁨ൌܣ̵ 䁨̵
B．סܣൌסܣ̵ ，ܣ香ൌܣ̵ 香̵
C．ܣ䁨ൌܣ̵ 䁨̵ ，香䁨ൌ香̵ 䁨̵
D．ס香ൌס香̵ ，香䁨ൌ香̵ 䁨̵
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定．利用“HL”判定Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞܣ̵ 香̵ 䁨̵ 即可．
【详解】解：根据题意，当ܣ香ൌܣ̵ 香̵ ，ܣ䁨ൌܣ̵ 䁨̵ 时，Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞܣ̵ 香̵ 䁨̵ HL ，故选项A 符合题意．
3．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知סܣܱ香的两边上分别取点M，N，使ܱ
ܯൌܱܰ
，再过点ܯ
画ܱ
ܣ的垂线，过点ܰ
画ܱ
香的垂线，两垂线交于点ܲ
，那么射线ܱܲ
就是סܣܱ香的平分线．小明发现说明
此画法的合理性时需要证明ᇞܱܲ
ܯ与ᇞܱܲܰ
全等，其依据是（
）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．HL
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“HL”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解
题的关键．
【详解】解：由题意得，ܱܯൌܱܰ
，סܱܯܲ
ൌסܱܰܲ
ൌ䁡Ͳι，
∵ܱܲ
ൌܱܲ
，
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∴Rt ᇞܱܲ
ܯ≌Rt ᇞܱܲܰ
HL ，
4．如图，ס䁨ൌסܦൌ䁡Ͳιㄍ香䁨ൌ香ܦ．可以判定ᇞܣ香䁨≌ᇞܣ香ܦ的依据是（
）
A．HL
B．ASA
C．SAS
D．AAS
【答案】A
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法．
根据直角三角形全等的判定定理求解即可．
【详解】解：∵ס䁨ൌסܦൌ䁡Ͳι∴在Rt ᇞܣ香䁨和Rt ᇞܣ香ܦ中，香䁨ൌ香ܦ
ܣ香ൌܣ香，∴Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞܣ香ܦሺHLሻ.
5．如图，在ᇞܣ香䁨中，ס䁨ൌ䁡Ͳι，ܦ香٣ ܣ香于点D，香䁨ൌ香ܦ．如果ܣ䁨ൌ͵cm，那么ܣ香㜮ܦ香ൌ（
）
A．ʹcm
B．Ͷcm
C．͵cm
D．ͷcm
【答案】C
【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE≅Rt∆BCE，得到ED=EC，即可求解．
【详解】在Rt ᇞ香䁨香和Rt ᇞ香ܦ香中，香䁨ൌ香ܦ，香香ൌ香香，∴Rt ᇞ香䁨香≌Rt ᇞ香ܦ香HL ，∴香ܦൌ香䁨，
∴ܣ香㜮ܦ香ൌܣ香㜮香䁨ൌܣ䁨ൌ͵cm．
6．如图，两根长度为12 米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离
旗杆底部的距离香ܦ与䁨ܦ的距离间的关系是（
）
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A．香ܦ䁨ܦ
B．香ܦ൏䁨ܦ
C．香ܦൌ䁨ܦ
D．不能确定
【答案】C
【分析】根据“两根长度为12 米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断
ܣ香ൌܣ䁨，又ܣܦൌܣܦ，ܣܦ٣ 香䁨，所以ᇞܣ香ܦ؆ᇞܣ䁨ܦ，所以香ܦൌ䁨ܦ．
【详解】解： ܣܦ٣ 香䁨，∴סܣܦ香ൌסܣܦ䁨ൌ䁡Ͳι，由ܣ香ൌܣ䁨，ܣܦൌܣܦ，∴ᇞܣ香ܦ؆ᇞܣ䁨ܦሺܪሺሻ，
∴香ܦൌ䁨ܦ．
题型五：灵活选择判定方法证全等
方法技巧
1．已知多条边相等→优先SSS.
2．已知两边
一个角→优先SAS（必看是否为夹角）.
3．已知多个角相等→优先ASA、AAS.
4．图形含直角→优先尝试HL．
注意：先挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件．
1．如图，在方格纸中，以ܣ香为一边作ᇞܣ香ܲ，使之与ᇞܣ香䁨全等，从ܲ
ͳ，ܲ
ʹ，ܲ
͵，ܲ
Ͷ四个点中找出符合
条件的点ܲ
，则点ܲ
有（
）
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A．ͳ 个
B．ʹ 个
C．͵ 个
D．Ͷ 个
【答案】C
【分析】本题考查了用边边边公理判定三角形全等，点ܲ
所在的位置与ܣ香边构成的三角形如果与ᇞܣ香䁨
三边对应相等，则符合要求，否则不符合要求．
【详解】解：如下图所示，
当以点ܲ
ͳ为顶点作ᇞܣ香ܲ
ͳ时，在ᇞܣ香䁨和ᇞ香ܣܲ
ͳ中，
ܣ䁨ൌ香ܲ
ͳ
ܣ香ൌ香ܣ
香䁨ൌܣܲ
ͳ
，∴ᇞܣ香䁨≌ᇞ香ܣܲ
ͳ；
当以点ܲ
͵为顶点作ᇞܣ香ܲ
͵时，在ᇞܣ香䁨和ᇞ香ܣܲ
͵中，
ܣ䁨ൌ香ܲ
͵
ܣ香ൌ香ܣ
香䁨ൌܣܲ
͵
，∴ᇞܣ香䁨≌ᇞ香ܣܲ
͵；
当以点ܲ
Ͷ为顶点作ᇞܣ香ܲ
Ͷ时，在ᇞܣ香䁨和ᇞܣ香ܲ
Ͷ中，
ܣ䁨ൌܣܲ
Ͷ
ܣ香ൌܣ香
香䁨ൌ香ܲ
Ͷ
，∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܣ香ܲ
Ͷ；∴点ܲ
有͵ 个．
2．如图，把长短确定的两根木棍ܣ香、ܣ䁨的一端固定在ܣ处，和第三根木棍香ܯ摆出ᇞܣ香䁨，再将木棍ܣ䁨
绕ܣ转动，得到ᇞܣ香ܦ，这个实验说明（
）
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A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
根据全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】解：由题意可知：ܣ香ൌܣ香，ܣ䁨ൌܣܦ，סܣ香䁨ൌסܣ香ܦ，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是ᇞܣ香䁨和ᇞܣ香ܦ不全等，
∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
3．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（
）．
A．如图1，线段ܣܦ与香䁨相交于点O，ܣܱ
ൌܦܱ，香ܱ
ൌ䁨ܱ，ᇞܣ香ܱ
与ᇞܦ䁨ܱ
B．如图2，ܣ䁨ൌܣܦ，香䁨ൌ香ܦ，ᇞܣ香䁨与ᇞܣ香ܦ
C．如图3，线段ܣ䁨、香ܦ相交于点E，已知ܣ香ൌܦ䁨，香香ൌ䁨香，סܣ香香ൌסܦ香䁨，ᇞܣ香香与ᇞܦ䁨香
D．如图4，已知ס䁨ܣ香ൌסܦ香ܣ，סͳ ൌסʹ，ᇞܣ香䁨与ᇞ香ܣܦ
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．
根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
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【详解】解：A．在图1 中，由ܣܱ
ൌܦܱ，סܣܱ香ൌסܦܱ䁨，香ܱ
ൌ䁨ܱ，根据“SAS”证明ᇞܣ香ܱ≌ᇞܦ䁨ܱ，
可判断A 不符合题意；
B．在图2 中，由ܣ䁨ൌܣܦ，香䁨ൌ香ܦ，ܣ香ൌܣ香，根据“SSS”证明ᇞܣ香䁨≌ᇞܣ香ܦ，可判断B 不符合题
意；
C．在图3中，ܣ香ൌܦ䁨，香香ൌ䁨香，סܣ香香ൌסܦ香䁨不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断ᇞܣ香香
与ᇞܦ䁨香全等，可判断C 符合题意；
D．在图4 中，由ס䁨ܣ香ൌסܦ香ܣ，ܣ香ൌ香ܣ，סʹ ൌסͳ，根据“ASA”证明ᇞܣ香䁨≌ᇞ香ܣܦ，可判断D 不符
合题意．
题型六：倍长中线模型
方法技巧
遇到三角形中线，延长中线至一倍长，构造SAS 型全等；利用全等实现线段转移，
将分散线段集中到同一个三角形中．
口诀：遇中线，加倍延，出全等，转线段．
注意：延长后务必标注相等线段，明确对顶角为夹角．
1．如图，在ᇞܣ香䁨中，ܣ香ൌ⸷，ܣ䁨ൌ⸷，ܣܦ是香䁨边上的中线，延长ܣܦ使得ܣܦൌܦ香，连接䁨香，则ܣܦ
长的取值范围是（
）
A．⸷൏ܣܦ൏⸷
B．ʹ ൏ܣܦ൏Ͷ
C．ͳ ൏ܣܦ൏
D．无法确定
【答案】C
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【分析】延长ܣܦ至香，使得ܣܦൌܦ香，连接䁨香．则ܣ香ൌʹܣܦ，先根据SAS 定理证出ᇞܣ香ܦ≌ᇞ香䁨ܦ，根
据全等三角形的性质可得䁨香ൌܣ香ൌ⸷，再利用三角形的三边关系求解即可得．
【详解】解：如图，延长ܣܦ至香，使得ܣܦൌܦ香，连接䁨香．则ܣ香ൌʹܣܦ，
ܣܦ为香䁨边上的中线，∴香ܦൌ䁨ܦ，在ᇞܣ香ܦ和ᇞ香䁨ܦ中，
ܣܦൌܦ香
סܣܦ香ൌס香ܦ䁨
香ܦൌ䁨ܦ
，∴ᇞܣ香ܦ≌ᇞ香䁨ܦSAS ，
∴䁨香ൌܣ香ൌ⸷在ᇞܣ䁨香中，䁨香െܣ䁨൏ܣ香൏䁨香㜮ܣ䁨，即⸷െ⸷൏ʹܣܦ൏⸷㜮⸷，解得ͳ ൏ܣܦ൏.
2．如图，ܣܦ是ᇞܣ香䁨的中线，香是ܣܦ上一点，连接香香并延长，与ܣ䁨交于点䁨，若香䁨ൌܣ䁨，香香ൌ，
䁨䁨ൌͷ，则香䁨的值为（
）
A．ͳ
B．ͳ‸ͷ
C．ʹ
D．ʹ‸ͷ
【答案】C
【分析】延长ܣܦ，使ܦ䁨ൌܣܦ，连接香䁨，由“SAS”可证ᇞܣܦ䁨≌ᇞ䁨ܦ香，可得ܣ䁨ൌ䁨香ൌ䁨䁨㜮ܣ䁨ൌͷ 㜮ܣ䁨，
סܦܣ䁨ൌס䁨，由等腰三角形的性质可得香香ൌ香䁨ൌ，进而得到ͷ 㜮ܣ䁨ൌ，即可求解．
【详解】解：如图，延长ܣܦ，使ܦ䁨ൌܣܦ，连接香䁨，
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∵ܣܦ是ᇞܣ香䁨的中线，∴香ܦൌ䁨ܦ, ∵סܣܦ䁨ൌס䁨ܦ香，∴ᇞܣܦ䁨≌ᇞ䁨ܦ香SAS ，∴ܣ䁨ൌ䁨香ൌ䁨䁨㜮ܣ䁨ൌ
ͷ 㜮ܣ䁨，סܦܣ䁨ൌס䁨，∵香䁨ൌܣ䁨，∴סܦܣ䁨ൌסܣ香䁨，∴ס䁨ൌסܣ香䁨ൌס香香䁨，∴香香ൌ香䁨ൌ，∴ͷ 㜮ܣ䁨ൌ，
∴ܣ䁨ൌʹ，∴香䁨ൌܣ䁨ൌʹ．
3．小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线
的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(
)
A．①、②都正确
B．①、②都错误
C．①正确，②错误
D．①错误，②正确
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，①等腰三角形底
边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2 倍小于其
它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，即可．
【详解】解：①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，故①不正确；
②如图，ܣܦ是ᇞܣ香䁨的中线，且ܣ香ܣ䁨，延长ܣܦ至点香，使香ܦൌܣܦ，连接香䁨，
ܣܦ是ᇞܣ香䁨的中线，∴香ܦൌ䁨ܦ，在ᇞܣܦ香和ᇞ香ܦ䁨中，
香ܦൌ䁨ܦ
סܣܦ香ൌס香ܦ䁨
ܣܦൌ香ܦ
，∴ᇞܣܦ香≌ᇞ香ܦ䁨ሺSASሻ，
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∴香䁨ൌܣ香， ܣ香൏ܣ䁨㜮香䁨，即ܣܦ൏
ͳ
ʹ ܣ香㜮ܣ䁨，结论②正确.
题型七：旋转模型
方法技巧
图形绕定点旋转，旋转前后三角形全等；旋转角为公共角，利用“等角
公共角”推
出夹角相等，常用SAS 证明．
口诀：图形旋转边角不变，公共角作夹角，SAS 直接用．
注意：找准旋转前后的对应边、对应角．
1．如图，在五边形ܣ香䁨ܦ香中，ס香ൌס香ൌ䁡Ͳι，ס䁨ܣܦൌ
ͳ
ʹ ס香ܣ香，ܣ香ൌܣ香，且䁨ܦൌ͵，ܣ香ൌͶ，则五
边形ܣ香䁨ܦ香的面积为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将
面积进行转化．
将ᇞܣ香䁨绕点A 逆时针旋转至ᇞܣ香䁨，首先证明点D，E，F 三点共线，证明ᇞܣ䁨ܦ≌ᇞܣ䁨ܦሺSASሻ，得到䁨ܦൌ
ܦ䁨ൌ͵，ܵᇞܣ䁨ܦൌܵ
ᇞܣ䁨ܦ，再将所求面积转化为ʹܵᇞܣ䁨ܦ进行计算即可．
【详解】如图，将ᇞܣ香䁨绕点A 逆时针旋转至ᇞܣ香䁨，
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ܣ香ൌܣ香，ס香ൌס香ൌ䁡Ͳι，则ܣ䁨ൌܣ䁨，ס香ൌסܣ香ܦൌסܣ香䁨ൌ䁡Ͳι，∴סܦ香䁨ൌͳ⸷Ͳι，即点D，E，F 三
点共线， ס䁨ܣܦൌ
ͳ
ʹ ס香ܣ香，ס香ܣ䁨㜮סܦܣ香ൌסܦܣ香㜮ס香ܣ䁨ൌס䁨ܣܦ，即ס䁨ܣܦൌס䁨ܣܦ，在ᇞܣ䁨ܦ和ᇞܣ䁨ܦ
中，
ܣ䁨ൌܣ䁨
ס䁨ܣܦൌס䁨ܣܦ
ܣܦൌܣܦ
，∴ᇞܣ䁨ܦ≌ᇞܣ䁨ܦሺSASሻ∴䁨ܦൌܦ䁨，ܵᇞܣ䁨ܦൌܵ
ᇞܣ䁨ܦ 䁨ܦൌ͵，∴ܦ䁨ൌ͵，
五边形ܣ香䁨ܦ香的面积为ܵ四边形ܣ䁨ܦ香㜮ܵ
ᇞܣ香䁨ൌܵ
四边形ܣ䁨ܦ香㜮ܵ
ᇞܣ香䁨ൌܵ
ᇞܣ䁨ܦ㜮ܵ
ᇞܣ䁨ܦൌʹܵᇞܣ䁨ܦ，
ൌʹ ൈ
ͳ
ʹ ൈܦ䁨ൈܣ香，ൌʹ ൈ
ͳ
ʹ ൈ͵ ൈͶ ൌͳʹ．
2．如图，点香、䁨分别在正方形ܣ香䁨ܦ的边香䁨、䁨ܦ上，ס香ܣ䁨ൌͶͷι，已知ܣܦൌ⸷，ܦ䁨ൌʹ，则ܵᇞܣ香䁨ൌ
（
）
A．6
B．15
C．12
D．30
【答案】B
【分析】作ܣܪ٣ ܣ香交䁨ܦ的延长线于点ܪ，证ᇞܣܦܪ≌ᇞܣ香香、ᇞܣܪ䁨≌ᇞ香ܣ䁨即可求解．
【详解】解：作ܣܪ٣ ܣ香交䁨ܦ的延长线于点ܪ，如图：
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סܪܣ香ൌס香ܣܦൌ䁡Ͳι，∴סܪܣܦൌס香ܣ香‸ סܣܦܪൌסܣ香香ൌ䁡Ͳιㄍܣܦൌܣ香，∴ᇞܣܦܪ≌ᇞܣ香香.
∴ܣܪൌܣ香ㄍܦܪൌ香香 ס香ܣ香㜮סܦܣ䁨ൌͶͷι，∴סܪܣܦ㜮סܦܣ䁨ൌͶͷι‸ ∴סܪܣ䁨ൌͶͷι ൌס香ܣ䁨.
∴ᇞܣܪ䁨≌ᇞ香ܣ䁨‸ ∴香䁨ൌܪ䁨.设ܦܪൌݔൌ香香，则香䁨ൌʹ 㜮ݔㄍ䁨香ൌ⸷െݔ.∵䁨䁨ൌ䁨ܦെܦ䁨ൌܣܦെܦ䁨ൌͶ
∴ʹ 㜮ݔʹ ൌͶʹ 㜮⸷െݔʹ.解得ݔൌ͵.∴ܵᇞܣ香䁨ൌܵ
ᇞܣܪ䁨ൌ
ͳ
ʹ ൈ͵ 㜮ʹ ൈ⸷ൌͳͷ.
3．如图，在ܴ
ݐᇞܣ香䁨中，ܣ香ൌܣ䁨，סܣ香䁨ൌסܣ䁨香ൌͶͷι，D、E 是斜边香䁨上两点，且סܦܣ香ൌͶͷι，若
香ܦൌ͵，䁨香ൌͶ，ܵᇞܣܦ香ൌͳͷ，则ᇞܣ香ܦ与ᇞܣ香䁨的面积之和为（
）
A．36
B．21
C．30
D．22
【答案】B
【分析】将ᇞܣܦ香关于ܣ香对称得到ᇞܣ䁨香，从而可得ᇞܣ䁨香的面积为15，再根据对称的性质可得ܣ䁨ൌ
ܣܦㄍס香ܣ䁨ൌͶͷι，然后根据三角形全等的判定定理证出ᇞܣ䁨䁨؆ᇞܣ香ܦ，从而可得䁨䁨ൌ香ܦൌ͵ㄍסܣ䁨䁨ൌ
סܣ香ܦൌͶͷιㄍܵᇞܣ䁨䁨ൌܵ
ᇞܣ香ܦ，最后根据ᇞܣ香ܦ与ᇞܣ香䁨的面积之和等于ᇞܣ䁨香与ᇞ䁨香䁨的面积之和即可得．
【详解】解：如图，将ᇞܣܦ香关于AE 对称得到ᇞܣ䁨香，
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则ܣ䁨ൌܣܦㄍס香ܣ䁨ൌͶͷι，ܵᇞܣ䁨香ൌܵ
ᇞܣܦ香ൌͳͷ，∴ס䁨ܣ䁨㜮ס䁨ܣܦൌסܦܣ香㜮ס香ܣ䁨ൌͶͷι 㜮Ͷͷι ൌ䁡Ͳι，
ס香ܣܦ㜮ס䁨ܣܦൌס香ܣ䁨ൌͳ⸷Ͳι െסܣ香䁨െסܣ䁨香ൌ䁡Ͳι，∴ס䁨ܣ䁨ൌס香ܣܦ，在ᇞܣ䁨䁨和ᇞܣ香ܦ中，
ܣ䁨ൌܣ香
ס䁨ܣ䁨ൌס香ܣܦ
ܣ䁨ൌܣܦ
，∴ᇞܣ䁨䁨؆ᇞܣ香ܦሺܵܣܵሻ，∴䁨䁨ൌ香ܦൌ͵ㄍסܣ䁨䁨ൌסܣ香ܦൌͶͷιㄍܵᇞܣ䁨䁨ൌܵ
ᇞܣ香ܦ，
∴ס香䁨䁨ൌסܣ䁨香㜮סܣ䁨䁨ൌ䁡Ͳι，即ᇞ䁨香䁨是直角三角形，∴ܵ
ᇞ䁨香䁨ൌ
ͳ
ʹ 䁨香ڄ 䁨䁨ൌ
ͳ
ʹ ൈͶ ൈ͵ ൌ⸷，
∴ܵ
ᇞܣ香ܦ㜮ܵ
ᇞܣ香䁨ൌܵ
ᇞܣ䁨䁨㜮ܵ
ᇞܣ香䁨ൌܵ
ᇞܣ䁨香㜮ܵ
ᇞ䁨香䁨ൌͳͷ 㜮⸷ൌʹͳ，即ᇞܣ香ܦ与ᇞܣ香䁨的面积之和为21.
4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC，点A，B 的对应点分别
为D，E，连接AD．当点A，D，E 在同一条直线上时，给出下列4 个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；
③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由旋转可知ס香ܦ䁨ൌס香ܣ䁨ൌͳʹͲι，即可求出סܣܦ䁨ൌ⸷Ͳι，由于סܣ香䁨൏⸷Ͳι，则可判断סܣ香䁨്
סܣܦ䁨，即①错误；由旋转可知䁨香ൌ䁨香，由于䁨香䁨ܦ，即推出䁨香䁨ܦ，即②错误；由三角形三边关系
可知ܦ香㜮ܦ䁨䁨香，即可推出ܦ香㜮ܦ䁨䁨香，即③错误；由旋转可知ܦ䁨ൌܣ䁨，再由סܣܦ䁨ൌ⸷Ͳι，即可
证明ᇞܣܦ䁨为等边三角形，即推出סܣ䁨ܦൌ⸷Ͳι．即可求出סܣ䁨ܦ㜮ס香ܣ䁨ൌͳ⸷Ͳι，即证明ܣ香ȀȀ䁨ܦ，即④正
确；
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【详解】由旋转可知ס香ܦ䁨ൌס香ܣ䁨ൌͳʹͲι，∵点A，D，E 在同一条直线上，∴סܣܦ䁨ൌͳ⸷Ͳι െס香ܦ䁨ൌ⸷Ͳι，
∵סܣ香䁨൏⸷Ͳι，∴סܣ香䁨്
סܣܦ䁨，故①错误，不符合题意；由旋转可知䁨香ൌ䁨香，∵ס香ܦ䁨ൌͳʹͲι 为钝
角，∴䁨香䁨ܦ，∴䁨香䁨ܦ，故②错误，不符合题意；∵DE+DC＞CE，∴ܦ香㜮ܦ䁨䁨香，故③错误，不
符合题意；由旋转可知ܦ䁨ൌܣ䁨，∵סܣܦ䁨ൌ⸷Ͳι，∴ᇞܣܦ䁨为等边三角形，∴סܣ䁨ܦൌ⸷Ͳι．∴סܣ䁨ܦ㜮
ס香ܣ䁨ൌͳ⸷Ͳι，∴ܣ香ȀȀ䁨ܦ，故④正确，符合题意；
5．如图所示，在ᇞܣ香䁨中，ܣ䁨ൌ香䁨，ܣ香ൌ䁨ܦ，ܣ香٣ 䁨香于点香，香ܦ٣ 䁨ܦ于点ܦ，ܣ香ൌ，香ܦൌʹ，
则ܦ香的长是(
)
A．
B．ͷ
C．͵
D．ʹ
【答案】B
【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞ䁨ܦ香，又由ܣ香ൌ，香ܦൌʹ，
得出䁨香ൌ香ܦൌʹ，ܣ香ൌ䁨ܦൌ，进而得出答案．
【详解】解：∵ܣ䁨ൌ香䁨，ܣ香ൌ䁨ܦ，ܣ香٣ 䁨香，香ܦ٣ 䁨ܦ，
∴סܣ香䁨ൌס䁨ܦ香ൌ䁡Ͳι，
∴Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞ䁨ܦ香
又∵ܣ香ൌ，香ܦൌʹ，
∴䁨香ൌ香ܦൌʹ，ܣ香ൌ䁨ܦൌ，
∴ܦ香ൌ䁨ܦെ䁨香ൌ െʹ ൌͷ．
题型八：垂线模型
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方法技巧
多条垂线出现，可得多个直角90°；利用同角/等角的余角相等推导角相等，再结合
ASA、AAS、SAS 证全等．
口诀：多垂直，余等角，转角之后证全等．
注意：区分直角、余角关系，不要混淆角度．
1．如图，点E 为正方形ܣ香䁨ܦ内一点，连接ܣ香，香香，ܦ香，若ܣ香٣ ܦ香，ܣ香ൌͳʹ，则ܵᇞܣ香香为（
）
A．12
B．36
C．72
D．144
【答案】C
【分析】过点香作香ܪ٣ ܣ香于点ܪ，利用正方形的性质和同角的余角相等证明ס香ܣ香ൌסܣܦ香，进而证得
ᇞܣ香ܪ≌ᇞܦܣ香，得出ܣ香ൌ香ܪ，再三角形面积公式即可求解.
【详解】解：过点香作香ܪ٣ ܣ香于点ܪ，、
四边形ܣ香䁨ܦ是正方形，∴ס香ܣܦൌ䁡Ͳל ，ܣ香ൌܣܦ，∴ס香ܣ香㜮סܦܣ香ൌ䁡Ͳל ， ܣ香٣ ܦ香，即סܣ香ܦൌ䁡Ͳל，
∴סܣܦ香㜮סܦܣ香ൌ䁡Ͳל ，∴ס香ܣ香ൌסܣܦ香， סܣܪ香ൌסܣ香ܦൌ䁡Ͳι ，∴ᇞܣ香ܪ≌ᇞܦܣ香ሺAASሻ，
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∴香ܪൌܣ香ൌͳʹ，∴ܵ
ᇞܣ香香ൌ
ͳ
ʹ ܣ香ʹ ൌ
ͳ
ʹ ൈͳʹʹ ൌʹ.
2．如图，在ᇞܣ香䁨中，סܣ香䁨ൌ䁡Ͳι，ܣ香ൌ香䁨，ܦ是线段香䁨上一点，连接ܣܦ，过点ܣ作ܣ香٣ ܣܦ，且
ܣ香ൌܣܦ，连接香䁨交ܣ香于点䁨，若香ܦൌ͵‸͵，香䁨ൌʹ‸ͷ，则ܣ香的长度为（
）
A．8.3
B．8.5
C．8.7
D．9.1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点香作香䁨٣ ܣ香于点䁨，则סܣ䁨香ൌס香䁨香ൌ䁡Ͳι，先证明ᇞܣ香䁨≌ᇞܦܣ香得到香䁨ൌܣ香，ܣ䁨ൌ香ܦൌ͵‸͵，
则有香䁨ൌ香䁨，进而推出ᇞ香䁨䁨≌ᇞ䁨䁨香，得到䁨䁨ൌ香䁨ൌʹ‸ͷ，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点香作香䁨٣ ܣ香于点䁨，
则סܣ䁨香ൌס香䁨香ൌ䁡Ͳι，∴ס香ܣ䁨㜮סܣ香䁨ൌ䁡Ͳι，∵ܣ香٣ ܣܦ，∴ס香ܣܦൌ䁡Ͳι，∴ס香ܣ䁨㜮סܦܣ香ൌ䁡Ͳι，
∴סܣ香䁨ൌסܦܣ香，∵סܣ䁨香ൌסܦ香ܣൌ䁡Ͳι，ܣ香ൌܣܦ，∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܦܣ香AAS ，∴香䁨ൌܣ香，ܣ䁨ൌ香ܦൌ͵‸͵，
∵ܣ香ൌ香䁨，∴香䁨ൌ香䁨，又∵ס香䁨䁨ൌס䁨香䁨ൌ䁡Ͳι，ס香䁨䁨ൌס䁨䁨香，∴ᇞ香䁨䁨≌ᇞ䁨䁨香AAS ，
∴䁨䁨ൌ香䁨ൌʹ‸ͷ，∴ܣ香ൌܣ䁨㜮䁨䁨㜮香䁨ൌ͵‸͵ 㜮ʹ‸ͷ 㜮ʹ‸ͷ ൌ⸷‸͵．
3．如图，סܣ䁨香ൌ䁡Ͳι，ܣ䁨ൌ香䁨，ܣ香٣ 䁨香于点E，香ܦ٣ 䁨ܦ于点D，ܣ香ൌͷcm，香ܦൌʹcm，则ܦ香的
长是（
）
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A．8cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
【答案】C
【分析】根据已知条件，观察图形得ס䁨ܣ香㜮סܣ䁨ܦൌסܣ䁨ܦ㜮ס香䁨ܦ，ס䁨ܣ香ൌס香䁨ܦ，然后证ȟܣ香䁨؆ ȟ䁨ܦ香
后求解．
【详解】解： סܣ䁨香ൌ䁡Ͳι，ܣ䁨ൌ香䁨，ܣ香٣ 䁨香于香，香ܦ٣ 䁨香于ܦ，∴ס䁨ܣ香㜮סܣ䁨ܦൌסܣ䁨ܦ㜮ס香䁨ܦ，
∴ס䁨ܣ香ൌס香䁨ܦ， סܣ香䁨ൌס䁨ܦ香ൌ䁡Ͳι，ܣ䁨ൌ香䁨，∴ȟܣ香䁨؆ ȟ䁨ܦ香．∴䁨香ൌ香ܦൌʹ，䁨ܦൌܣ香ൌͷ，
∴香ܦൌ䁨ܦെ䁨香ൌͷ െʹ ൌ͵ሺܿሺሻ．
题型九：尺规作图-作三角形
方法技巧
依据SSS、SAS、ASA 判定原理作图，先作基准边，再作角/截取线段，保留作图痕
迹，最后标注字母．
1．根据下列已知条件，能唯一画出ᇞܣ香䁨的是（
）
A．ܣ香ൌ͵，香䁨ൌͶ，䁨ܣൌ⸷
B．סܣൌ⸷Ͳι，ס香ൌͶͷι，ܣ香ൌͶ
C．ܣ香ൌͶ，香䁨ൌ͵，סܣൌ͵Ͳι
D．ס䁨ൌ䁡Ͳι，ס香ൌͶͷι
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根
据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、͵ 㜮Ͷ ൏⸷，不能构成三角形，此项错误，不符合题意；
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B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意；
C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意；
D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意．
2．数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的ᇞܣ香䁨”，小杭说：“当ܣ香ൌ͵，香䁨ൌͶ，䁨ܣൌͷ 时”，
小州说：“当סܣൌ͵Ͳι，ס香ൌ⸷Ͳι，ס䁨ൌ䁡Ͳι时”，对于两位同学的说法（
）
A．小杭和小州都对
B．小杭对，小州错
C．小杭错，小州对
D．小杭和小州都错
【答案】B
【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法．
【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（SSS），
当ܣ香ൌ͵，香䁨ൌͶ，䁨ܣൌͷ 时，三边长度确定，∴能画出唯一的ᇞܣ香䁨，故小杭的说法正确；
三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同，即存在多个大小不同的三角形满足סܣൌ͵Ͳι，
ס香ൌ⸷Ͳι，ס䁨ൌ䁡Ͳι，∴不能画出唯一的ᇞܣ香䁨，故小州的说法错误；综上，小杭对，小州错．
3．根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（
）
A．已知线段ܽ
ㄍܾㄍܿ，用尺规作ᇞܣ香䁨，使ܣ香ൌܿ，ܣ䁨ൌܾ
，香䁨ൌܽ
B．已知סߙ，סߚ，线段ܿ，用尺规作ᇞܣ香䁨，使סܣൌסߙ，ס香ൌסߚ，ܣ香ൌܿ
C．已知线段ܽ
，ܿ，סߙ，用尺规作ᇞܣ香䁨，使香䁨ൌܽ
，ܣ香ൌܿ，סܣ香䁨ൌסߙ
D．已知线段ܽ
，ܾ，סߚ，用尺规作ᇞܣ香䁨，使ܣ香ൌܽ
，ܣ䁨ൌܾ
，סܣ香䁨ൌסߚ
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形判定对三角形形状唯一性的影响，符合全等判定条件的三角形可唯一确定形
状，不符合则不能唯一确定，只需判断各选项对应的判定类型即可．
【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项：
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A、已知三边作三角形，符合SSS 全等判定，三角形形状唯一确定；
B、已知两角和夹边作三角形，符合ASA 全等判定，三角形形状唯一确定；
C、已知两边及其夹角作三角形，符合SAS 全等判定，三角形形状唯一确定；
D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于SSA，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，
形状不能唯一确定．
4．在课堂上，李老师发给每人一张印有RtᇞABC（如图）的卡片，要求学生们画一个Rt ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ，使得Rt ᇞ
ܣԢ香Ԣ䁨Ԣ≌Rt ᇞܣ香䁨，小海和小华先画出了סܯ香Ԣܰ
ൌ䁡Ͳι之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种
画法的描述中，错误的是（
）
A．小海作图判定Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ的依据是直角三角形全等的判定定理
B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段ܣ䁨的长
C．小华作图判定Rt ᇞܣ香䁨≌Rt ᇞܣԢ香Ԣ䁨Ԣ的依据是SAS
D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段ܣ䁨的长
【答案】D
【分析】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解；
【详解】解：由图示知，小海第一步为截取线段香Ԣ䁨Ԣ ൌ香䁨，第二步为作线段䁨ԢܣԢ ൌ䁨ܣ，判定方法为HL；小
华第一步为截取线段香ԢܣԢ ൌ香ܣ，第二步为作线段香Ԣ䁨Ԣ ൌ香䁨，判定方法为SAS．
选项D 表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段ܣ䁨的长”明显错误，符合题意.
5．程老师制作了如图1 所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，
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点Q 在轨道槽ܣܯ上运动，点P 既能在以A 为圆心、以8 为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽ܳܰ
上运动，图2 是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当סܲܣܳ
ൌ͵Ͳι，ܲܳ
ൌ⸷时，可得到形状唯一确定的ᇞܲ
ܣܳ；
②当סܲܣܳ
ൌ䁡Ͳι，ܲܳ
ൌͳͲ 时，可得到形状唯一确定的ᇞܲܣܳ；
③当סܲܣܳ
ൌͳͷͲι，ܲܳ
ൌͳʹ 时，可得到形状唯一确定的ᇞܲ
ܣܳ．
其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】B
【分析】以ܲ
为圆心，ܲܳ
长为半径画弧，与射线ܣܯ有1 个交点，则可得到形状唯一确定的ᇞܲܣܳ，否则
不能得到形状唯一确定的ᇞܲ
ܣܳ．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
【详解】解：①当סܲܣܳ
ൌ͵Ͳι，ܲܳ
ൌ⸷时，以ܲ
为圆心，6 为半径画弧，与射线ܣܯ有两个交点，则ᇞܲ
ܣܳ
的形状不能唯一确定，故①错误；
②当סܲܣܳ
ൌ䁡Ͳι，ܲܳ
ൌͳͲ 时，以ܲ
为圆心，10 为半径画弧，与射线ܣܯ有一个交点，ܳ
点位置唯一确定，
则可得到形状唯一确定的ᇞܲ
ܣܳ，故②正确；
③当סܲܣܳ
ൌͳͷͲι，ܲܳ
ൌͳʹ 时，以ܲ
为圆心，12 为半径画弧，与射线ܣܯ有一个交点，ܳ
点位置唯一确
定，则可得到形状唯一确定的ᇞܲ
ܣܳ，故③正确.
题型十：尺规作一个角等于已知角
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方法技巧
核心原理是SSS 全等；按照“画射线→截等线段→画等弧→确定另一边”四步操作，
全程保证半径不变．
1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角סܣԢܱ
Ԣ香Ԣ等于已知角סܣܱ香的示意图，请你根据所学的图形的全等这一
章的知识，说明画出סܣԢܱ
Ԣ香Ԣ ൌסܣܱ香的依据是（
）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【详解】解：作如下标识，
根据作法可知ܱ
ܦൌܱ
ԢܦԢ，ܱ䁨ൌܱ
Ԣ䁨Ԣ，䁨ܦൌ䁨ԢܦԢ，∴ᇞܱ
䁨ܦ≌ᇞܱ
Ԣ䁨ԢܦԢ ሺSSSሻ，∴סܣԢܱ
Ԣ香Ԣ ൌסܣܱ香，则画出
סܣԢܱ
Ԣ香Ԣ ൌסܣܱ香的依据是SSS，
2．如图1，已知סߙ、סߚ和线段ܿ，试作ᇞܣ香䁨，使סܣൌסߙ，ס香ൌסߚ，ܣ香ൌܿ．我们用尺规作图得到如
图2 所示的ᇞܣ香䁨，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形
全等的方法是（
）
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A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】C
【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA．
3．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（
）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能
有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一
小学
初中
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定全等.
题型十一：过直线外一点作已知直线的平行线
方法技巧
利用同位角相等，两直线平行，先作一个角等于已知同位角，依托“作等角”尺规方
法完成．
注意：找准同位角位置，作图痕迹清晰．
1．要求过直线݈
外一点ܲ
，作直线ܲܳ
，使得ܲܳ
∥݈，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确
的是（
）
A．只有嘉嘉的正确
B．只有淇淇的正确
C．两人的都不正确
D．两人的都正确
【答案】D
【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作
图对应的几何逻辑是解题关键．
根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析．
【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知סܣܲܳ
ൌסܲܣ䁡，
∴ܲܳ
∥݈；
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淇淇的作法正确．理由：在ᇞܱܲܳ
和ᇞܣܱ䁡中，ܱܲ
ൌܱ
ܣ
סܱܲܳ
ൌסܣܱ䁡ܱܳ
ൌܱ
䁡
，∴ᇞܱܲܳ
≌ᇞܣܱ䁡（SAS），∴סܱܲܳ
ൌ
סܱܣ䁡，∴ܲܳ
∥݈．
2．如图，用尺规作图“过点C 作䁨ܰ
∥ܱ
ܣ”，图中ᇞ香䁨ܰ≌ᇞܯܱܦ，这两个三角形全等的依据是（
）
A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．AAS
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和
性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：由作法可知，ܱܦൌܱ
ܯൌ䁨香ൌ䁨ܰㄍܦܯൌ香ܰ，∴ᇞܦܱܯ≌ᇞܰ
䁨香ሺSSSሻ，∴סܦܱܯൌסܰ䁨香，
∴䁨ܰ∥ܱܣ，
题型十二：全等三角形综合问题
方法技巧
整体思路：识图找隐含条件→选判定证全等→用全等性质推边角关系；多步题型分步
拆解，结合平行线、角平分线、高线、模型综合分析．
1．如图为⸷个边长相等的正方形的组合图形，则סͳ 㜮ס͵ 的度数为（
）
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A．⸷Ͳι
B．䁡Ͳι
C．ͳ͵ͷι
D．ͳ⸷Ͳι
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”
证明ᇞܣ香䁨和ᇞܦ香ܣ全等，根据全等三角形对应角相等可得סͳ ൌסͶ，从而求出סͳ 㜮ס͵ ൌ䁡Ͳι．
【详解】解：如图，在ᇞܣ香䁨和ᇞܦ香ܣ中，
ܣ香ൌܦ香
סܣ香䁨ൌס香ൌ䁡Ͳι
香䁨ൌܣ香
，∴ᇞܣ香䁨≌ᇞܦ香ܣSAS ，
∴סͳ ൌסͶ， ס͵ 㜮סͶ ൌ䁡Ͳι，∴סͳ 㜮ס͵ ൌ䁡Ͳι.
2．如图，在ᇞܣ香䁨中，ܦ为ᇞܣ香䁨内一点，连接䁨ܦ且䁨ܦ平分סܣ䁨香，过点ܦ作香香٣ 䁨ܦ，香香交ܣ䁨于
点香，סܣൌסܣ香香．若ܣ䁨ൌ，香䁨ൌͶ，则香ܦ的长为（
）
A．3
B．1
C．2
D．
͵
ʹ
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、
等腰三角形的判定是解题的关键．
根据䁨ܦ平分סܣ䁨香，香香٣ 䁨ܦ，证出ᇞ香ܦ䁨≌ᇞ香ܦ䁨，得到香䁨ൌ香香，香ܦൌܦ香即可．
【详解】解： 䁨ܦ平分סܣ䁨香，∴ס香䁨ܦൌס香䁨ܦ， 香香٣ 䁨ܦ，∴ס香ܦ䁨ൌס香ܦ䁨ൌ䁡Ͳι，
䁨ܦൌ䁨ܦ，∴ᇞ香ܦ䁨≌ᇞ香ܦ䁨ASA ，∴香䁨ൌ䁨香ൌͶ，香ܦൌܦ香， סܣൌסܣ香香，
∴ܣ香ൌ香香， ܣ䁨ൌ，香䁨ൌͶ，∴ܣ香ൌܣ䁨െ䁨香ൌ͵，∴香香ൌܣ香ൌ͵，∴香ܦൌ
ͳ
ʹ 香香ൌ
͵
ʹ，
3．已知线段ܱ
ܣ在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为ܱ
ሺͲㄍͲሻ，ܣሺെͳㄍʹሻ将线段ܱ
ܣ顺
时针旋转䁡Ͳι后得到ܱ
ܣͳ，则点ܣͳ的坐标为（
）
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A．ሺʹㄍͳሻ
B．ሺെʹㄍͳሻ
C．ሺͳㄍെʹሻ
D．ሺͳㄍʹሻ
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意证ᇞܣ香ܱ≌ᇞܱ
䁨ܣͳ即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：ܱܣൌܱ
ܣͳ，סܣܱܣͳ ൌ䁡Ͳι.∵סܣܱ香㜮סܣͳܱ䁨ൌסܣܱ香㜮סܱܣ香，∴סܣͳܱ䁨ൌסܱܣ香.∵סܣ香ܱ
ൌ
סܱ䁨ܣͳ ൌ䁡Ͳι，∴ᇞܣ香ܱ≌ᇞܱ
䁨ܣͳ AAS .∴ܱ䁨ൌܣ香ൌʹㄍܣͳ䁨ൌܱ
香ൌͳ.∴点ܣͳ的坐标为ሺʹㄍͳሻ.
4．已知ܦ是ᇞܣ香䁨的边ܣ香上一点，ܦ䁨交ܣ䁨于点香，ܦ香ൌ香䁨，䁨䁨∥ܣ香，若香ܦൌʹ，䁨䁨ൌͷ，则ܣ香
的长为（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【分析】利用ASA 证明ᇞܣܦ香和ᇞ䁨香䁨全等，进而得出ܣܦൌ䁨䁨ൌͷ，即可求出ܣ香的长．
【详解】解： 䁨䁨ȀȀܣ香，∴סܣܦ䁨ൌס䁨． סܣ香ܦൌס䁨香䁨，ܦ香ൌ香䁨，
∴ᇞܣܦ香≌ᇞ䁨香䁨（ASA）．∴ܣܦൌ䁨䁨ൌͷ． 香ܦൌʹ，∴ܣ香ൌܣܦ㜮香ܦൌͷ 㜮ʹ ൌ.
5．如图，在ᇞܣ香䁨中，ܣ香ൌܣ䁨，סܣൌͷͲι，点E、D、F 分别在ܣ香、香䁨、ܣ䁨上，根据图上标注的已知
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条件，ᇞ香香ܦ与ᇞ䁨䁨ܦ不一定
．．．全等的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得ס香ൌס䁨ൌ⸷ͷι，
再根据全等三角形的判定，逐项判断，即可．
【详解】解：∵ܣ香ൌܣ䁨，סܣൌͷͲι，∴ס香ൌס䁨ൌ
ͳ⸷ͲιെͷͲι
ʹ
ൌ⸷ͷι，
A、∵香香ൌ䁨䁨ㄍס香ൌס䁨ㄍ香ܦൌ䁨ܦ，∴ᇞ香香ܦ≌ᇞ䁨䁨ܦSAS ，故本选项不符合题意；
B、∵香香ൌ䁨ܦㄍס香ൌס䁨ㄍ香ܦൌ䁨䁨，∴ᇞ香香ܦ≌ᇞ䁨䁨ܦSAS ，故本选项不符合题意；
C、∵ס香ܦ䁨ൌ⸷ͷι，∴ס香ܦ香㜮ס䁨ܦ䁨ൌͳ⸷Ͳι െס香ܦ䁨ൌͳͳͷι，∵ס香香ܦ㜮ס香ܦ香ൌͳ⸷Ͳι െס香ൌͳͳͷι，
∴ס香香ܦൌס䁨ܦ䁨，∵ס香ൌס䁨ㄍס香香ܦൌס䁨ܦ䁨ㄍ香ܦൌ䁨䁨，∴ᇞ香香ܦ≌ᇞ䁨䁨ܦAAS ，故本选项不符合题意；
D、∵ס香ܦ䁨ൌ⸷ͷι，∴ס香ܦ香㜮ס䁨ܦ䁨ൌͳ⸷Ͳι െס香ܦ䁨ൌͳͳͷι，∵ס香香ܦ㜮ס香ܦ香ൌͳ⸷Ͳι െס香ൌͳͳͷι，
∴ס香香ܦൌס䁨ܦ䁨，∵ס香ൌס䁨ㄍס香香ܦൌס䁨ܦ䁨ㄍܦ香ൌܦ䁨，无法得到ᇞ香香ܦ与ᇞ䁨䁨ܦ全等，故本选项符合题
意.
