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试卷第1 页，共20 页
学科网（北京）股份有限公司
分层作业
2.2 平方根与立方根
平方根概念的理解
一、单选题
1．D 2．D 3．B 4．C 5．D 6．D 7．A 8．D 9．C 10．C
二、填空题
11．5
3 12．
2
13．3 3
三、解答题
14．（1）解：∵正数b 的平方根是2
1
a−与
2
a
−+
，
∴
2
2
1
0
a
a
−+ +
−=
，
∴
1
a = −．
∴
(
)
2
1
2
3
a
−+
= −−
+
=
，
(
)
2
1
2
1
1
3
a −=
−
−= −，
∵9 的个平方根是3
± ，
∴
9
b =
；
（2）解：∵
1
a = −，
9
b =
，
∴
(
)
5
5
1
9
4
a
b
+
= −
+
=
，
∴
5
4
2
a
b
+
=
= ，
即5a
b
+ 平方根是2
．
15．（1）解：∵一个正数x 的两个不同的平方根分别是2
3
a −和5
a
−
，
∴(
) (
)
2
3
5
0
a
a
−
+
−
=
，解得
2
a = −，
∴
(
)
2
2
3
49
x
a
=
−
=
；
（2）解：将
49
2
，
x
a
=
= −代入
12
x
a
+
中，
得
12
49 12 2
25
x
a
+
=
−
=
，
∵25 的平方根为5
，
∴
12
x
a
+
的平方根为5
．
题型01
试卷第2 页，共20 页
平方根的性质
一、单选题
1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A
二、填空题
11．
5
12．2 13．121 14．600
三、解答题
15．（1）解：依题意，得3
2
1
0
a
a
−+
+ =
，
解得：
4
a = −，
(
)
(
)
2
2
3
3
4
49
m
a
=
−
=
−−
=
；
（2）
2
1
b−
的立方根是5
−，
(
)
3
2
1
5
125
b
−= −
= −
，
62
b
= −
，
(
) (
)
1
1
4
62
64
2
2
a
b
−
−
= −
−
−−
=
，且64 的平方根为8
，
∴
1
2 a
b
−
−的平方根为8
．
平方根的性质
一、单选题
1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A
二、填空题
11．
5
12．2 13．121 14．600
三、解答题
15．（1）解：依题意，得3
2
1
0
a
a
−+
+ =
，
解得：
4
a = −，
(
)
(
)
2
2
3
3
4
49
m
a
=
−
=
−−
=
；
（2）
2
1
b−
的立方根是5
−，
(
)
3
2
1
5
125
b
−= −
= −
，
62
b
= −
，
题型02
题型02
试卷第3 页，共20 页
学科网（北京）股份有限公司
(
) (
)
1
1
4
62
64
2
2
a
b
−
−
= −
−
−−
=
，且64 的平方根为8
，
∴
1
2 a
b
−
−的平方根为8
．
算术平方根的性质
一、单选题
1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A
二、填空题
7． 8 1
3 8．2
6
−
9．6
三、解答题
10．（1）解：∵
2
8
64
=
，
∴64 的算术平方根是8；
（2）解：∵
2
15
225
=
，
∴225 的算术平方根是15；
（3）解：∵
2
3
9
4
16
=
，
∴9
16 的算术平方根是3
4 ．
11．（1）解：
2
100
10
10
=
=
；
（2）解：
2
25
5
5
49
7
7
=
=
；
（3）解：
2
13
13
=
.
12．（1）解：
(
)
2
16
2
3
−−
+ −
4 2 9
=
−+
11
=
；
（2）解：∵(
)
2
2
3
8
x +
=
，
则(
)
2
3
4
x +
=
，
∴
3
2
+ =
x
，
解得
1
1
x = −，
2
5
x = −
题型03
试卷第4 页，共20 页
算术平方根的非负性
一、单选题
1．A 2．A 3．B 4．D
二、填空题
5．1 6．24
−
三、解答题
7．（1）解：∵(
)
2
2
7
3
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
且(
)
2
2
0
a −
，
7
0
b −
，
3
0
c −
，
∴
2
0
a−
=
，
7
0
b−
=
，
3
0
c −
=
，
解得
2
a =
，
7
b =
，
3
c = ；
（2）解：ABC
是直角三角形，理由如下：
∵
2
a =
，
7
b =
，
3
c = ，其中c 是最长边，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
7
2
7
9
a
b
+
=
+
=
+
=
，
2
2
3
9
c =
=
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∴ABC
是直角三角形．
算术平方根的估算
一、单选题
1．C 2．A 3．C
二、填空题
4．6
三、解答题
5（1）解：观察表格中数据，发现：当
14.6
x =
时，
2
213.16
x =
，
∴213.16
14.6
=
；
当
14.4
x =
时，
2
207.36
x =
，
∴
20736
207.36 100
207.36
100
14.4 10
144
=
=
=
=
；
当
14.2
x =
时，
2
201.64
x =
，
∴0.020164
201.64 10000
201.64
10000
14.2 100
0.142
=
=
=
=
；
（2）解：∵21904
22000
22201
，
∴148
22000
149
，
题型04
题型05
试卷第5 页，共20 页
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∵22000 与21904 更接近，
∴与
22000 最接近的整数是148；
∵2.0736
2.1
2.1025
，且2.1 与2.1025 更接近，
且
2.1025
210.25 100
210.25
100
14.5 10
1.45
=
=
=
=
，
∴
2.1
1.45
；
（3）解：∵204.49
14.3
=
，207.36
14.4
=
，
∴
20449
143
=
，
20736
144
=
，
∵143
144
n
，
∴
20449
20736
n
，
∴20449
20736
n
，
∴整数n 的个数为：20736
20449 1
286
−
−=
．
算术平方根整数部分的确定
一、单选题
1．A
二、填空题
2．13
6
+
/6
13
+
3．2 4．5
三、解答题
5．（1）解：
4
16
17
25
5
=
=
，
17 的整数部分是4 ，
小数部分是17
4
−．
（2）解：
x
是8
17
+
的整数部分，y 是8
17
+
的小数部分
∴
8 4
12
x = +
=
，
8
17
12
17
4
y =
+
−
=
−
，
则
17
x
y
−
+
(
)
12
17
4
17
=
−
−
+
题型06
试卷第6 页，共20 页
16
=
．
6．（1）解：∵16
17
25
，
16
17
25
，
4
17
5
，
∵17 介于连续的两个整数a 和b 之间，a
b
，
4
a
=
，
5
b =
；
（2）解：
4
17
5
，
6
17
2
7
+
，3
17
1
4
−
，
17
2
+
的小数部分为：17
2
6
17
4
+
−
=
−
，17
1
−的整数部分为3，
∴
17
4
x =
−，
3
y =
；
（3）解：
17
4
x =
−
，
3
y =
，
(
)
(
)
3
3
17
17
17
4
4
64
y
x
−
=
−
+
=
=
，64 的平方根为8
( 17
)y
x
−
的平方根为8
．
算术平方根的探究规律问题
一、单选题
1．B 2．B 3．A
二、填空题
4． 14.63 6.69 5．1013
−
6．177.5
三、解答题
7．（1）解：①∵
3
1
1
1
4
4
2
−
=
=
，
5
4
2
1
9
9
3
−
=
=
，
7
9
3
1 16
16
4
−
=
=
，
9
16
4
1
25
25
5
−
=
=
…，
∴
2
2
1
1
(
1)
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+ （n 是正整数，且
1
n ）；
∴
17
64
8
1
81
81
9
−
=
=
；
②根据①中规律可得：当
44
n =
时，
89
44
1
2025
45
−
=
，
∴
3
5
7
89
1
1
1
1
4
9
16
2025
−
−
−
−
题型07
试卷第7 页，共20 页
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1
2
3
44
= 2
3
4
45
1
= 45 ．
（2）解：∵
5
9
3
1
4
4
2
+
=
=
，
7
16
4
1
9
9
3
+
=
=
，
9
25
5
1 16
16
4
+
=
=
，…，
∴
2
2
1
1
1
m
m
m
m
+
+
+
=
（m 是正整数，且
2
m
）；
最后一项中
2
2025
45
=
，2 45 1
91
+ =
，符合规律，
∴
5
7
9
91
1
1
1
1
4
9
16
2025
+
+
+
+
3
4
5
46
= 2
3
4
45
=23．
8．（1）解：由题意得，若
2.5
a =
，那么100
25
a =
；
若3
1.2
b = −
，那么3 1000000
120
b = −
；
（2）解：①∵3
8
4
x
y
+
−
=
，
∴
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，
∴
72
x
y
+
=
，
∴(
)
2
144
x
y
+
=
，
∴该长方形的周长C 为144；
②由（2）①得
14400
C=
，
∵
144
12
C =
=
，
∴
14400
120
C =
=
．
算术平方根的实际应用
一、单选题
1．D 2．D
二、填空题
3．5
三、解答题
4．（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想，
题型08
试卷第8 页，共20 页
（2）解：①由题意得：
(
)
2
2
1
2 1
4
2 1
9
2
x +
=
+
=
，
2
5
x
=
，
∵x 是正方形的边长，
∴
0
x
，
5
x
=
，
答：内部正方形的边长为5 ．
②略
立方根概念的理解
一、单选题
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．A 9．D
二、填空题
10．2 11．任意实数 12．0.27144 13． 0 或1
1
3
−
8
2
2
14．3
± 15．3
3
9
9
9
9
728
728
=
三、解答题
16．（1）解：因为(
)
3
2
8
−
= −，所以8
−的立方根是2
−，即3
8
2
−= −；
（2）解：因为
3
125
216
5
6
=
，所以125
216 的立方根是5
6 ，即3 125
5
216
6
=
；
（3）解：因为(
)
3
0.5
0.125
=
，所以0.125的立方根是0.5，即3 0.125
0.5
=
．
17．1）解：∵
3
30
27000
=
∴3 27000
30
=
；
（2）解：∵(
)
3
50
125000
−
= −
∴3
125000
50
−
= −
；
（3）解：∵(
)
3
100
1000000
−
= −
∴3
1000000
100
−
= −
．
18．解：
3
2
a −
与3 2
7
a −
互为相反数，
3
3
2
2
7
0
a
a
−
+
−
=
，
题型09
试卷第9 页，共20 页
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(
) (
)
2
2
7
0
a
a
−
+
−
=
，即3
9
0
a−=
，
解得
3
a = ．
19．（1）解：原式
(
)
5
2
4
5
2
4
3
=
−−
−
=
+
−
=
．
（2）解：开立方得，
1
3
x−= ，
∴
4
x = ．
20．（1）解：因为
3
3
10
1000100
10000001000
175616
1000000
=
=
，
，
，
所以3 175616 是两位数；
其次观察立方数
3
3
3
3
3
3
3
1
1 2
8 3
27 4
64 5
125 6
216 7
343
=
=
=
=
=
=
=
，
，
，
，
，
，
，
3
3
8
512 9
729
=
=
，
，猜想个位数字是6 ；
接着将175616 往前移动3位小数点后约为175，因为
3
3
5
125 6
216
=
=
，
，
所以3 175616 的十位数字应为5，于是猜想、验证，得175616 的立方根是56；
得到3 175616
56
=
，
故答案为：56；
（2）解：
3
3
3
3
6
0
x−
+
=
，
3 3
3
x−
与3 6 互为相反数，
3
3
x
−与6 互为相反数，
3
3 6
0
x−
+
=
，
1
x
= −，
故答案为：1
−；
（3）解：
3
3
3
x
x
−
+
=
，
3
3
3
x
x
−
−
=
，
3
0
x
−= 或
3
1
x−= −或
3
1
x −= ，
解得
3
x = 或
2
x =
或
4
x =
．
试卷第10 页，共20 页
立方根的性质
一、单选题
1．B
二、填空题
2．27 3．3
三、解答题
4．（1）解：(
)
2
2
9
x −
=
2
3
x −
=
2
3
x−
=
时，解得
5
x = ；
2
3
x −
= −时，解得
1
x = −．
（2）解：(
)
3
1
1
9
3 x +
=
(
)
3
1
27
x +
=
1
3
x+ =
2
x =
．
5．（1）解：原式
2
1
5
5
3
8
3
=
+
−
+
33
8
=
；
（2）解：∵
2
a−
的平方根为2
，
∴
2
4
a−
=
，
6
a =
，
∵2
7
a
b
+ + 的立方根为3，
∴2
7
27
a
b
+ +
=
，即12
7
27
b
+ +
=
，
∴
8
b =
，
∴
2
2
36
64
100
a
b
+
=
+
=
，
∵100
10
=
，
∴(
)
2
2
a
b
+
的算术平方根为10．
6．（1）解：
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
3375 1000000
，
3 3375
是两位数，
35
125
=
，
题型10
试卷第11 页，共20 页
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3 3375
的个位数字应是5，
将3375的小数点向前移动3后约为3，
31
1
=
，
3
2
8
=
，
3 3375
的十位数字应为1，
3 3375
15
=
，
依据“负数的立方根是负数”得到：3
3375
15
−
= −
；
（2）解：
3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
(
)
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
解得：
5
x = ；
（3）解：
3
2
2
x
x
−
+
=
，
3
2
2
x
x
−
=
−
，
(
)
3
2
2
x
x
−
=
−，
2
0
x
−
=
或1或1
−，
2
x
=
或3或1，
当
1
x = 时，可得：
3
3 1 2
1
1
x
−
=
−= −，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3 3
1
1
y
−
= ，
解得：
2
3
y =
，
即
1
2
3
x
y
=
=
；
当
2
x =
时，可得：3
3
3
1 2
3
3
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
3
y
−=
，
即3
1
3
y −=
，
试卷第12 页，共20 页
解得：
4
3
y =
，
即
2
4
3
x
y
=
=
；
当
3
x = 时，可得：3
3
3
1 2
5
5
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
5
y
−=
，
即3
1
5
y −=
，
解得：
2
y =
．
平方根立方根的综合应用
一、单选题
1．D
二、填空题
2．2
三、解答题
3．（1）解：
2
2
3
3
9
1
0.064
1
17
8
25
125
+
−
−
−
−
(
)(
)
1
0.4
17
8 17
8
25
5
16
=
+
−
+
−
−
4
1
0.4
25 9
5
5
=
+
−
−
4
1
0.4
15
5
5
=
+
−
−
0.4
0.8 15 5
=
+
+
1.2
75
=
+
76.2
=
；
（2）解：(
)
2
2
1
8
x +
=
(
)
2
1
4
x +
=
，
1
2
x
+ =
或
1
2
x+ = −，
1
1
x
= ，
2
3
x = −．
4．（1）解：
a
是27 的立方根，
题型11
试卷第13 页，共20 页
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3 27
3
a
=
= ，
1
9
的算术平方根为
1
1
1
,
9
3
8
=
−
的立方根为3
1
1
8
2
−
= −
，
1
1
1
1
1
3
2
3
2
6
b
=
+ −
=
−
= −
，
1
1
19
3
3
6
6
6
a
b
−
=
−−
=
+
=
，
1
19
3
6
6
−
，
b
a
a
b
−；
（2）解：
1
6
3
6
3 1
2
6
a
b
+
=
+ −
=
−=
，
c
是
6
a
b
+
的平方根，
2
c
=
．
5．解：（1）∵5
2
a + 的立方根是3，
∴5
2
27
a +
=
，
解得
5
a =
，
又∵3
1
a
b
+
−的算术平方根是4，
∴3
1 16
a
b
+ −=
，
∵
5
a =
，
解得：
2
b = ，
∵c 是13 的整数部分，而3
13
4
，
∴
3
c = ，
∴3
16
a
b
c
−
+
=
，
∴3a
b
c
−
+ 的平方根是4
；
（2）∵正数x 的平方根分别是2
5
a −和2
1
a+ ，
∴2
5
2
1
0
a
a
−+
+ =
，
解得：
1
a = ，
∴正数
(
)
(
)
2
2
2
5
3
9
=
−
= −
=
x
a
．
试卷第14 页，共20 页
程序问题
一、填空题
1．2 2．3 3．2 4．2 5．2 0 或1
一、单选题
1．C 2．B 3．D
二、填空题
4．
2027 5．2
三、解答题
6．解：由数轴可知：
0
b
c
a
，且b
a
，
0
c
a
−
，
0
a
b
+
，
3
3
2
|
|
(
)
c
a
b
c
a
+
+
+
−
(
)
(
)
c
a
b
a
c
=
−
+
+
−
c
a
b
a
c
= −−+ −
b
= −．
7．（1）解：(
)
2
3
1
27
3
2
−
−
−
+
−
(
)
1
3
2
3
= −−
+ −
1 3
2
3
= + +
−
6
3
= −
；
（2）解：①∵
2
5
125
x =
，
∴
2
25
x =
，
∴
5
x = 或
5
x = −；
②∵(
)
3
2
1
128
0
x−
+
=
，
∴(
)
3
2
1
128
x−
−
=
，
∴(
)
3
1
64
x−
−
=
，
∴
1
4
x −= −，
题型12
试卷第15 页，共20 页
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∴
3
x
−
=
．
8．（1）解：∵2
1
a−的平方根是3
，25
b
+ 的立方根是3，
∴2
1
9,25
27
a
b
−=
+
=
，
∴
5,
2
a
b
=
=
，
∴
7
a
b
+
=
，
∵m 是a
b
+
的算术平方根，
∴
7
m =
；
（2）解：由（1）可知，
7
m =
且
4
7
9
，
∴2
7
3
，
∴
2
x =
，
7
2
y =
−，
∴
7
2
2
7
4
y
x
−
=
−
−
=
−
.
9．（1）解：
2
a +
∵
的立方根是2
−，
2
8
a
+
= −，
10
a
= −
；
2
b−
的算术平方根为3，
2
9
b−
=
∴
，
11
=
b
2
25
c =
∵
，且
0
c
，
5
c
= −；
（2）解：由（1）可知：
10
a = −
，
11
b =
，
5
c = −，
∴
(
) (
)
3
11
30
5
36
b
a
c
−
+
=
−−
+ −
=
，
3
b
a
c
−
+
∴
的平方根为6
；
（3）解：
(
)
10 11
5
4
a
b
c
−
−
+
+
=
+
+ −
=
，
a
b
c
+ + 的立方根为
3 4
−
.
10．（1）①
3
10
1000
24389
1000000
=
，
3
10
24389
100
，
3 24389
是两位数；
试卷第16 页，共20 页
②
24389
的个位数字是9，0
9
中只有数字9的立方的个位数字是9，
3 24389
的个位数字是9；
3
3
2
8
24
27
3
=
=
③
，
3 24389
的十位数字是2 ，
3 24389
29
=
；
（2）
3
3
10
1000
592704
1000000
100
=
=
，
3
10
592704
100
，
3 592704
是两位数，
592704
的个位数字是4 ，0
9
中只有数字4 的立方的个位数字是4 ，
3 592704
的个位数字是4 ，划去592704后三位，得到数592，
3
3
8
512
592
729
9
=
=
，
3 592704
十位数的数是8，
3 592704
84
=
．
一、单选题
1．B
二、填空题
2．1
三、解答题
3．（1）解：由图中的数值转换器得到式子y
x
=
，
当
5
x = 时，
5
y =
；当
36
x =
时，
36
6
y =
=
，再将
6
x =
代入y
x
=
得
6
y =
；
（2）解：当
7
y =
时，(
)
2
7
7
=
，则
2
7
49
x =
=
；
（3）解：由于始终不输出y ，说明取算术平方根始终为有理数，根据01，的算术平方根是其本身，
∴当
0
x =
或1 时，始终输不出y 值．
试卷第17 页，共20 页
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4．（1）解：对1，9，24计算任意两个乘积的算术平方根：1 9
3
=
，是整数；1 24
24
=
，不是整数；
根据定义，这三个数不是“漂亮数”．
（2）解：对4 ，16，25 计算任意两个乘积的算术平方根：4 16
64
8
=
=
，是整数；4 25
100
10
=
=
，
是整数；
16 25
400
20
=
=
，是整数；
所有算术平方根都是整数，因此这三个数是“漂亮数”．
三个算术平方根为8，10，20 ，
因此最小算术平方根是8．
（3）解：已知正整数9，25 ，m ，
25
m
，是“漂亮数”，
9 25
15
=
，是整数；
使9
3
m
m
=
是整数，可得
m 是整数，
设
m
k
=
，k 是正整数，则
2
m
k
=
．
由
25
m
得
5
k ，
此时
25
5
m
k
=
是整数，满足“漂亮数”要求．
三个算术平方根分别为15，3k ，5k ，
由
5
k 得3
15
k
，且5
3
k
k
，因此最小算术平方根为15，最大算术平方根为5k ．
根据题意得5
3 15
k =
，
解得
9
k =
，
因此
2
2
9
81
m
k
=
=
=
．
5．（1）解：
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
3375 1000000
，
3 3375
是两位数，
35
125
=
，
3 3375
的个位数字应是5，
将3375的小数点向前移动3后约为3，
31
1
=
，
3
2
8
=
，
3 3375
的十位数字应为1，
试卷第18 页，共20 页
3 3375
15
=
，
依据“负数的立方根是负数”得到：3
3375
15
−
= −
；
（2）解：
3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
(
)
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
解得：
5
x = ；
（3）解：
3
2
2
x
x
−
+
=
，
3
2
2
x
x
−
=
−
，
(
)
3
2
2
x
x
−
=
−，
2
0
x
−
=
或1或1
−，
2
x
=
或3或1，
当
1
x = 时，可得：
3
3 1 2
1
1
x
−
=
−= −，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3 3
1
1
y
−
= ，
解得：
2
3
y =
，
即
1
2
3
x
y
=
=
；
当
2
x =
时，可得：3
3
3
1 2
3
3
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
3
y
−=
，
即3
1
3
y −=
，
解得：
4
3
y =
，
即
2
4
3
x
y
=
=
；
当
3
x = 时，可得：3
3
3
1 2
5
5
x
−
=
−= −
，
试卷第19 页，共20 页
学科网（北京）股份有限公司
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
5
y
−=
，
即3
1
5
y −=
，
解得：
2
y =
．
6． （1）①解：(
)
4
2
16
=
，
若
4
16
x =
，则
2
x = ；
(
)
4
3
81
=
，
若
4
81
x =
，则
3
x = ；
②解：四次方根的定义：一般地，如果一个数的四次方等于a ，那么这个数叫做a 的四次方根；
（2）①解：(
)
4
3
81
=
，
81
的四次方根是3
；
4
2
16
3
81
=
，
16
81
的四次方根是
2
3
；
4
0
0
=
，
0
的四次方根是0 ；
任何数的4 次方都不等于4
−，
4
−没有四次方根；
②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；0 的四次方根是0 ；负数没有四次方根；
③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0 、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想；
（3）①解：(
)
4
5
625
=
，
4 625
5
= ；
②解：
4
4
3
81
1.5
2
16
=
=
，(
)
4
4
64
4
4
16
=
=
，
又
81
64
16
16
，
4
1.5
4
．
试卷第20 页，共20 页
一、单选题
1．A 2．C
二、填空题
3．2 4．3
− 5．1 6．9
三、解答题
7．解：√9 −(2026 −𝜋)0 + (
1
2)−2 + (−4) × 2
3 1
4
( 8)
=
−+
+ −
6 8
=
−
2
−
=
．
