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学科网（北京）股份有限公司 1 / 2.8 直角三角形全等的判定 题型一：用“HL”作为判断依据判断三角形全等 1． （24-25 八年级上·全国·期中）如图，AD为 ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD于点F，且有BF AC = ， FD CD = ，要证明 ADC BDF △ ≌△ 需要的判定方法是（ ） A．HL B．SSS C．AAS D．ASA 2． （24-25 八年级下·广东深圳·期末）如图， 90 BAC BDC = = ，AB DB = ，据此可以证明 ABC DBC △ ≌△ ， 依据是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 2 / A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 3． （24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在ABE 与 CBD △ 中，AE BD ⊥ 于点E，CD BD ⊥ 于点D，AB BC = ， BE CD = ，则可判定Rt Rt ABE BCD △ ≌ △ 的理由是（ ） A．AAS B．SAS C．HL D．ASA 4．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，BC AC ⊥ 于点C，BD AD ⊥ 于点D，连接AB ，且AC AD = ， 则可直接判定 ABC ABD △ ≌△ 的依据是（ ） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 5．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图所示，在Rt ACD △ 和Rt BCE 中， 90 C = ，点E 在AC 上，点 D 在BC 上，AD与BE 交于点O，AD BE = ，DC EC = ，则可判定Rt Rt ACD BCE ≌ 的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 学科网（北京）股份有限公司 3 / 6．（24-25 八年级下·陕西榆林·期中）如图，在 ABC 和DEF 中， 90 A D = = ，EF BC = ，DF AC = ， 则能直接判断 ABC DEF ≌△ △ 的依据是（ ） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 7．（24-25 八年级下·陕西渭南·期中）如图，在ABC 和DEF 中， 90 B E = = ，BC EF = ，AC DF = ， 则能直接判断ABC DEF ≌ 的理由是（ ） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 题型二：添加一个条件使得两三角形全等 1．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）如图，DE AC ⊥ 于点 , E BF AC ⊥ 于点F ，且DE BF = ，若利用“H.L.” 证明DEC BFA ≌ ，则需添加的条件是（ ） A．DC BA = B．EC FA = C． DCE BAF = D． D B = 2．（24-25 八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知AB AD = ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABC ADC △ ≌△ 的是（ ） A． 90 B D = = B． ABC ADC = C． BAC DAC = D．CB CD = 3．（23-24 八年级下·全国·课后作业）如图，BE CF = ，AE BC ⊥ ，DF BC ⊥ ， 要根据“ HL ”证明 学科网（北京）股份有限公司 4 / Rt ABE Rt DCF ≌ ，则还需要添加一个条件是（ ） A．AB DC = B． A D = C． B C = D．AE DF = 4．（24-25 八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在 ABC 和 ADC △ 中， 90 B D = = ，要根据“HL”证明 Rt Rt ABC ADC ≌ △ △ ，还应添加一个条件是（ ） A．1 2 = B． 2 4 = C．AB AC = D．AB AD = 5．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，在 ABC 和 DCB △ 中， 90 A D = = ，要使 ABC DCB △ ≌△ ，若 根据“HL”判定，则还需要添加条件： ． 6．（24-25 八年级下·河北保定·阶段练习）如图，AB BC ⊥ ，CD BC ⊥ ，垂足分别为B ，C ，要根据“HL” 直接证明Rt Rt ABC DCB ≌ ，应添加的条件是 ． 学科网（北京）股份有限公司 5 / 题型三：利用直角三角形全等的判定求线段长度 1．（24-25 八年级下·湖南株洲·期末）如图，EC BD ⊥ ，垂足为C ，A 是EC 上一点，且AC CD = ，连接AB 、 ED，AB DE = ．若 3.5 AC = ， 9 BD = ，则CE 的长为（ ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 2．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，EC BD ⊥ ，垂足为C ，A 是EC 上一点，且AC CD = ，连接AB 、 ED，AB DE = ．若 3.5 AC = ， 9 BD = ，则CE 的长为（ ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 3．（24-25 八年级上·四川自贡·阶段练习）如图： ABC 中， 90 C AC BC AD = = ， ， 平分 CAB 交BC 于 D，DE AB ⊥ 于E，且 6cm AB = ，则DEB 的周长是 ． 4．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形ABCD中，AB AC = ， 90 D = ，BE AC ⊥ 于点F ， 交CD于点E ，连接EA，EA平分 DEF ．若 7 BF = ， 3 DE = ，求CE 的长= ． 5． （23-24 八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中， 90 C = ，D 是AC 上一点，DE AB ⊥ 于点E，BE BC = ， 学科网（北京）股份有限公司 6 / 连结BD，若 8 AC cm = ，则AD DE + 等于 6．（23-24 八年级下·山西大同·阶段练习）如图，在Rt ABC △ 中， 90 , 15, 12 C AB AC = = = ，以A 为圆心， 适当长为半径画弧，交 , AC AB 于点 , D E 两点，再分别以 , D E 为圆心，以大于DE 的长为半径画弧，两弧交 于点M ，作射线AM 交BC 于点F ，则线段BF 的长为 ． 题型四：利用直角三角形全等的判定求角度 1．（24-25 七年级下·山东威海·期末）如图，在ABC 中，AB BC = ， 90 ABC = ，点E 在BC 上，点F 在AB 的延长线上，AE CF = ，若 25 BAE = ，则 ACF =（ ） A．50 B．60 C．70 D．80 2．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在 ABC 中， ABC 的角平分线BD与AC 边的垂直平分线DE 交于 ABC 的外部D点处，连接CD AD ， ，过点D 作DF BC ⊥ ，交BC 延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥ ， 交AB 于点G ．若 80 DAB = ，则 DCB 的度数为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 7 / A．40 B．100 C．110 D．120 3．（24-25 八年级下·陕西榆林·期中）如图，点P 为 AOB 内部一点，点P 到OA的距离为3，连接OP ，过 点P 作PQ OB ⊥ 于点Q ，若 6 OP = ， 30 POB = ，则 AOP 的度数为（ ） A．40 B．30 C．25 D．20 4．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在 ABC 中AD BC ⊥ 于点D ，E 为AC 上一点，连结BE交AD 于点F ，若BF AC = ，DF DC = ，则1 与 2 的和为（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 5．（24-25 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，BD是它的对角线，AD CD = ，若BD 平分 ABC ， 119 A = ，则 DCB 的度数为（ ） A．62 B．61 C．60 D．59 6．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，Rt ABC 中， 90 C = ， 30 BAC = ．点D 在 ABC 外，且BD BA = ， 学科网（北京）股份有限公司 8 / EF 垂直平分BD交线段AC 、BD于E 、F ，连接DE ，若 16 EDB = ，则 ADB 的度数为 ． 7． （24-25 八年级下·湖南郴州·期末）如图，在Rt ABC △ 与Rt DEF △ 中， 90 B E = = ，AC DF = ，BF CE = ， 若 65 A = 则 DFE 的度数为 ． 题型五：“HL”中面积的相关应用 1．（24-25 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在 AOB 中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直 角边 , EM FN 分别与边 , OA OB 重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线OP ，若 6 OMP S = ，PM PN = ， 则 ONPM S四边形 为（ ） A．3 B．6 C．12 D．16 2．（24-25 九年级下·河北沧州·期中）如图，AD是 ABC 的角平分线，DF AB ⊥ ，垂足为F ，DE DG = ， ADG △ 和 AED △ 的面积分别为48 和26，则EDF 的面积为（ ） A．11 B．22 C．26 D．37 3．（24-25 八年级下·安徽·期末）如图：在 ABC 中， 90 C = ，AD是 BAC 的平分线，DE AB ⊥ 于E ， F 在AC 上，BD DF = ， 8 BC = ， 10 AB = ，则FCD 的面积为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 9 / A．12 B．6 C．5 D．10 4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，AD是 ABC 的角平分线，DF AB ⊥ ，垂足为F ，点E、G 分 别在AB AC 、 上且DE DG = ， ADG △ 和 AED △ 的面积分别为50 和40，则EDF 的面积为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）如图，在四边形ABCD中， 90 D C = = ， ABC 的平分线与 BAD 的平分线交于点E ，且点E 恰好在边CD上．若四边形ABCD的面积为40， 4 CE = ，则AB 的长为（ ） A．9 B．10 C．12 D．26 6． （24-25 八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在Rt ABC △ 中， 90 B ? ? ，点E 在边AB 上，DE CD = ，DF AC ⊥ 于点F ，BE CF = ．若 12 AB = ， 4 BD = ， ABC 的面积是54，则线段AC 的长为（ ） A．13 B．15 C．16 D．18 学科网（北京）股份有限公司 10 / 7．（24-25 八年级下·甘肃陇南·期中）如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画 弧，分别交AC ，AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于1 2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P， 作射线AP 交边BC 于点D，点E 在AB 上．若 16 AC = ， 20 AB = ，当DE 长度最小时，BDE 的面积是（ ） A．6 B．16 3 C．32 3 D．24 题型六：直角三角形全等判定中基础证明 1．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，DE AB ⊥ 的延长线于点E ，DF AC ⊥ 于点F ，BE CF = ，连 接BD、CD和AD，DB DC = ．求证：AD是 BAC 的平分线． 2．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形ABEC中，CE BE ⊥ ，连接BC ，点D 为AC 的中点， 连接BD，BE CD = ， A ACB = ，求证： ADB BEC △ ≌△ ． 3．（24-25 八年级下·陕西延安·期中）如图，在 ABC 中，AD BC ⊥ 于D，EC BC ⊥ 于C，且 , AB BE AC CD CE = = = ，求证：Rt Rt ABD BEC △ ≌ △ ． 学科网（北京）股份有限公司 11 / 4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图， 90 A B = = ，E 是AB 上的一点，且AE BC = ，1 2 = ．求 证：AD BE = ． 5．（24-25 八年级下·福建三明·期末）已知：如图，AB CD = ，DE AC ⊥ ，BF AC ⊥ ，垂足分别为E ，F ， 且BF DE = ．求证：AB CD ∥ ． 6．（24-25 八年级上·全国·期中）如图 DBC △ 中， 90 DBC = ，过C 作CA BC ⊥ ，使AC BC = ，在BC 上 取一点E，连接AE ，且AE DC = ．求证：CE BD = 7．（24-25 八年级下·陕西汉中·期末）如图，D 是 ABC 的BC 边上的中点，DE AC ⊥ ，DF AB ⊥ ，垂足分 别为E ，F ，且DE DF = ，求证： ABC 是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 12 / 8．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）已知：如图， , , AD BD BC AC AC BD ⊥ ⊥ = ，求证：OA OB = ． 题型七：直角三角形全等判定中解答题综合 1．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在Rt ABC △ 中， 90 ABC = ，D 是BC 上的一点，过点D 作AC 的垂线交AC 于点 , E AE AB = ，连接 , AD BE ，交于点P ． (1)求证：AD平分BE ； (2)若 60 CDE = ，试判断ABE 的形状，并说明理由． 2． （24-25 八年级下·四川成都·期末）如图，AB CD = ，DE AC ⊥ ，BF AC ⊥ ，垂足分别为E ，F ，且DE BF = ， 连接BD交AC 于点G ．求证： (1) AE CF = ； (2)已知 3 DE AE = = ， 16 AC = ，求BD的长． 3．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，CD平分 BCA 且平分 BDA ， 90 A = ，点F 在射线CB 上， 且DF DE = ． 学科网（北京）股份有限公司 13 / (1)求证：AE BF = ； (2)若 45 6 ACB BD = = ， ，求CE 的长度． 4．（24-25 八年级下·江西吉安·期末）已知，如图， , AE BE AF CF ⊥ ⊥ ，点E F ､ 分别为垂足，BE CF = ， A ABC CB = ∠ ． (1)证明：AE AF = ； (2)试说明DA平分 EDF (3)延长EB FC ､ 相交于点D ，连结AD．证明：AD垂直平分线段BC ． 5．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知 , AB CD DE AC = ⊥ 于点 , E BF AC ⊥ 于点F ，且AE CF = ， 连接BD交EF 于点M ． (1)求证：DE BF = ； (2)若 2, 6 DE BD = = ，求EF 的长． 学科网（北京）股份有限公司 14 / 6．（23-24 八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形ABCD中，CD CB = ，AC 平分 DAB ，CF AB ⊥ 于点 F，CE AD ⊥ 的延长线于点E． (1)求证： 180 ADC B += ． (2)若 2 4 AD AB = = ， ，求AF 的长． 7． （24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，在 ABC 中，CD是AB 边上的高，已知 9 AC = ， 12 BC = ， 15 AB = ． (1)求CD的长； (2)过点A 作 CAB 的角平分线交BC 边于点E，求AEB 的面积． 8．（24-25 八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD CD = ，BD平分 ABC ，DE AB ⊥ ， 垂足为点E，DF BC ⊥ 交BC 的延长线于点F． (1)求证：AE CF = ； (2)若 5, 2, 1 AB DF AE = = = ，求四边形ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 15 / 7． （24-25 八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，在Rt CDE △ 中， 90 CDE = ， BC ED = ，AB CE = ． (1)求证：CA CD = ； (2)若点D 在AB 边上，证明CE AB ∥ ； (3)在（2）的条件下，若BC 与DE 交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形． 8．（24-25 八年级上·湖南湘西·期中）如图，DE AB ⊥ 于点E，DF AC ⊥ 于点F，BD CD = ，BE CF = ． (1)求证：DCF DBE ≌ ； (2)若 50 C = ，求 DAE 的度数． 题型一：直角三角形全等判定中动点问题 1．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，ABC 中， 90 C = ， 10cm AB = ， 6cm BC = ，动点P 从点C 出 发，以每秒2cm 的速度按C A → 的路径运动，设运动时间为t 秒．当t = 时，BP恰好平分 ABC ． 2． （24-25 八年级上·重庆开州·期末）如图，AC BC ⊥ ，垂足为C ， 12 cm BC = ， 4 cm AC = ，射线BN BC ⊥ ， 垂足为B ，动点Q 从点B 出发以2cm/s的速度沿射线BN 运动，点P 为射线BC 上一动点，满足PQ AB = ， 学科网（北京）股份有限公司 16 / 当点Q 运动 秒时， ABC 与点B 、P 、Q 为顶点的三角形全等． 3． （24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，CA AB ⊥ ，垂足为点A，射线BM AB ⊥ ，垂足为点B， 15cm AB = ， 6cm AC = ．动点E 从A 点出发以3cm/s的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点运动而运 动，始终保持ED CB = ．若点E 的运动时间为t 秒( ) 0 t ，则当t = 秒时，DEB 与BCA 全等． 4．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）如图，长方形ABCD 中， 6cm 8cm AB BC = ， = ，动点 P 从点 A 出发， 以2cm/ 秒的速度沿长方形的边AB BC CD DA − − − 返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t 秒． (1)当 8 t = 时，求CP 的长； (2)连接 , CP DP ，当 CDP △ 中有任意两边相等时，求t 的值； (3)Q 为AD边上的一点，且 6cm AQ = ，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三 角形与DCQ 全等． 学科网（北京）股份有限公司 17 / 5．（24-25 八年级下·广东·期中）(综合运用)如图，在ABC 中，AD BC ⊥ ， 2 BD = ， 3 CD = ， 4 = AD ． (1)判断ABC 的形状，并说明理由； (2)动点P 从点D开始，按D A C → → 的路径运动． ①当点P 在线段AD上，且在 ACD 的平分线上时，求CDP 的面积； ②若CDP 是以CP 为底的等腰三角形，求CP 的长度． 6．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，ABC 中， 90 5cm 3cm ACB AB BC = = = ， ， ，若点P 从点A 出发， 以每秒2cm 的速度沿折线A C B A → → → 运动，设运动时间为( ) s 0 t t ． (1)若点P 恰好在 BAC 的平分线上，求t 的值； (2)若点P 在AB 边上运动，则当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？ 7．（24-25 八年级下·安徽淮北·期中）如图， ABC 中， 90 ACB = ， 10 cm AB = ， 6 cm BC = ，若点P 从 点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A − − − 运动，设运动时间为t 秒( ) 0 t ． (1)若PA PB = 时，求出此时t 的值； (2)若点P 恰好在 BAC 的角平分线上（A 点除外），求t 的值； 学科网（北京）股份有限公司 18 / 题型二：直角三角形全等判定中最值问题 1．（24-25 九年级下·四川眉山·期中）如图，Rt ABC △ 中， 90 C = ， 4 BC = ， 5 AB = ，利用尺规在BC 、 BA上分别截取BE ，BD，使BE BD = ；分别以D，E 为圆心、以大于1 2 DE 的长为半径作弧，两弧在 CBA 内交于点F；作射线BF 交AC 于点G．点P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ） A．1 B．5 3 C．4 3 D．无法确定 2．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图，已知Rt ABC △ ， 90 ACB = ，AD平分 BAC 与BC 交于D 点， M N 、 分别在线段AD、AC 上的动点，连接MN MC 、 ，当MN MC + 最小时，画出M N 、 的位置．已知 ABC 的面积为 2 12cm ， 6cm AB = ，求MN MC + 的最小值为 ． 题型三：直角三角形全等判定中多结论问题 1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，过点P 作PR AB ⊥ 于点R ，作 PS AC ⊥ 于点S，若AQ PQ = ，PR PS = ，则下面三个结论：①AS AR = ；②PQ AR ∥ ；③ BRP CSP △ ≌△ ， 正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2． （24-25 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在 ABC 中，点E、D 分别在AB AC 、 的延长线上，BAC 与 CBE 的平分线相交于点P，BE BC = ，PB 与CE 交于点H，PG AD ∥ 交BC 于F，交AB 于G，下列结论：①GA GP = ； 学科网（北京）股份有限公司 19 / ②CP 平分 BCD ；③BP垂直平分CE ，其中正确的结论有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．（24-25 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在 ABC 中，AQ PQ = ，PR PS = ，PR AB ⊥ 于点R， PS AC ⊥ 于点S，则下列结论：①AS AR = ；②QP AR ∥ ；③BPR ≌QSP ；④PA平分 RPS ．其中正 确的结论的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）如图，已知 ABC 中BC 边上的垂直平分线DE 与 BAC 的平分线交 于点E，EF AB ⊥ 交AB 的延长线于点F，EG AC ⊥ 交于点G．则下列结论： ①EF EG = ；②BF CG = ；③ ⊥ EF EG；④ ( ) 1 2 CG AC AB = − ． 其中正确结论序号是（ ）． A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 5．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）如图，BD平分 ABC ，且 BEC BCE = ，D 为BE 延长线上的一点， BD BA = ，过D 作DG AB ⊥ ，垂足为G ．下列结论：①ABE DBC ≌ ；② 180 BCE BCD + = ；③ AD AE DG = = ；④ 2 BA BC BG + = ．其中正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 20 / A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）如图，在 ABC 中， 90 C = ，AD平分 BAC ，DE AB ⊥ 于E ， 有下列结论：①CD ED = ；②AC BE AB + = ；③ BDE BAC = ；④AD平分 CDE ；⑤ : : ACD ABD S S AC AB = △ △ ，其中正确的有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 7．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，D 为BAC 的外角平分线上一点并且满足BD CD = ，过D 作DE AC ⊥ 于E，DF AB ⊥ 交BA的延长线于F，则下列结论：① CDE BDF △ △ ≌ ；②CE AB AE = + ； ③ BDC BAC = ；④ DAF ACD = ．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型四：直角三角形全等判定解答压轴题 1．（24-25 七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，AD平分 BAC ， 180 B C + = ．当 90 B ? ? 时，根 据角平分线的性质，我们可知DB与DC 之间的数量关系为______； （2）如图2，AD平分 BAC ， 180 B C + = ．当 90 B 时，试说明DB与DC 之间的数量关系； （3）如图3，AD平分 BAC ，若 70 B = ，DB DC = ，求 ACD 的度数． 学科网（北京）股份有限公司 21 / 2．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1， ABC 的角平分线AD BE ， 相交于点P． 求证：点P 在 C 的平分线上． 证明：过点P 作PF AB ⊥ ，PM BC ⊥ ，PN AC ⊥ ，垂足分别为点F，点M，点N， AD 平分 BAC ，PF AB ⊥ ，PN AC ⊥ ， _______， 同理_______． _______， 点P 在 C 的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形ABCD中， BAD ， ABC ， ADC 的平分线相交于点O． 求证：①点O 在 BCD 的平分线上： AB CD AD BC + = + ② ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形ABCD中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）． 学科网（北京）股份有限公司 22 / 3． （24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）将Rt ABC △ 和Rt DBE 按如图①方式摆放，已知Rt Rt ABC DBE ≌ △ △ ， , 90 60 = = = = ACB DEB ABC DBE ，点E 在线段AB 上，延长DE 交线段AC 于点F ． (1)线段EF 与CF 之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角，且0 60 ，其余条件不变，如图②，求证： AF EF DE + = ； (3)若将图①中的DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角，且60 120 , AC 的延长线交线段DE 于点F ， 其余条件不变，如图③， （2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段AF EF 、 与DE 之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25 八年级下·河南平顶山·阶段练习）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，下面 的例题1 同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题1 已知∶如图，AO ，BO分别是 A ， B 的平分线，OD BC ⊥ ，OE AB ⊥ ，垂足分别为点D，E． 求证：点O 在 C 的平分线上． 证明∶过点O 作OF AC ⊥ ，垂足为点F， ∵AO ，BO分别是 A ， B 的平分线（已知）， OE AB ⊥ ，OD BC ⊥ （已知）， OF AC ⊥ （所作）． ∴OE OD = ，OE OF = （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， 学科网（北京）股份有限公司 23 / ∴OD OF = （等量代换）， ∴点O 在 C 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 【研究老图形】 在例题1 的图中，分别连接DE ，EF ，FD ． （1）点O 为 ABC 三条的 交点，点O 为DEF 三条 的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线②角平分线③高④中线 （2）小普发现DEF 和 ABC 的内角之间存在一定的数量关系，如果 BAC m = ，那么 EDF = ；（用 含m 的代数式表示） 【解决新问题】 为了方便研究，小普同学把满足例1 条件的DEF 叫做 ABC 的“内三角形”，点O 叫做“共心”． （3）已知DEF 是 ABC 的“内三角形”，点O 是“共心”，点D，E，F分别在边BC ，AB ，AC 上，且OE BC ∥ ．先 画出符合条件的示意图，再过点E 作EG DF ⊥ 于点G，求证∶点G 在直线AO 上． 5．（24-25 七年级下·四川成都·期末）在 ABC 中，AB AC = ， 46 CAB = ，在 ABC 的外侧作直线AP ， 作点C 关于直线AP 的对称点D ，连接BD，CD，AD，其中BD交直线AP 于点E ． (1)如图1，①若 5 AD = ， 3 BC = ，求 ABC 的周长；②若 25 PAC = ，求 BDC 的度数； (2)如图2，当 90 PAC = 时，作AF CE ⊥ 于点F ，若 2 EF = ， 6 BE = ，求DE 的长． 学科网（北京）股份有限公司 24 / 6．（24-25 七年级下·广东佛山·期中）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以 ABD ACD ≌ △ △ ，所以 B C = ． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在 ABC 中，AB AC = ．试说明 B C = 的理由； 探究应用：如图（5），CB AB ⊥ ，垂足为B，DA AB ⊥ ，垂足为A，E 为AB 的中点，AB BC = ，CE BD ⊥ ． （2）BE 与AD是否相等，为什么？ （3）小明认为AC 是线段DE 的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究 DCE 与 DBA 的数量关系，并说明理由． 7．（2025·江西吉安·一模）【课本再现】 我们知道三条边分别相等的两个三角形全等，由此可推出：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等． 【性质证明】 请你根据下面的“已知”和“求证”证明该结论； 已知：如图1，在 ABC 与DEF 中， 90 C F AB DE AC DF = = = = ， ， ． 求证： ABC DEF ≌△ △ ． 【知识应用】 如图2，在梯形ABCD中， 90 A B = = ，点E 是AB 边的中点，且DE 平分 ADC ．若 3 AD = ， 4 BC = ， 求CD的长． 学科网（北京）股份有限公司 25 / 8．（2025·重庆·二模）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他 发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三 角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在 ABC 中，AE 平分 BAC 交BC 于E，点D 在线段AE 上，用尺规过点D 作AB 的垂线，交AB 于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：点D 在 ABC 内，且在AE 上，DB DC = ，DG AC ⊥ 于G． 求证：AB AC = ． 证明：∵AE 平分 BAC ，DF AB ⊥ ，DG AC ⊥ ， ∴① ， 在Rt DBF △ 和Rt DCG △ 中 _____ DF DG = ② ( ) Rt Rt HL DBF DCG ≌ ∴③ ． 又∵DB DC = ， ∴ DBC DCB = ． ∴ ABC ABD BAC = + ， ACB ACD DCB = + ∴④ ； ∴AB AC = ． 进一步思考，点D 在 ABC 外，其余条件不变，AB AC = 还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立” 学科网（北京）股份有限公司 26 / 或者“不成立”） 1．（24-25 八年级下·福建漳州·期末）如图，在 ABC 中， 90 C = ，AD平分 BAC ，过点D 作DE AB ⊥ 于点E．若 4 AC = ， 5 AB = ，则BDE 的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25 八年级下·广东深圳·期末）如图，点P 是 AOB 的平分线上一点，PC OA ⊥ ，PD OB ⊥ ，垂足分 别为C D ， ，若 6 4 OP PC = = ， ，则CD长为（ ） A．5 B．2 5 C．4 5 3 D．8 5 3 3．（24-25 七年级下·四川成都·期中）为了测量无法直接测量的池塘两端A，B 的距离，小王同学设计了一 个测量A，B 距离的方案．如图，先确定直线AB ，过点B 作直线BE AB ⊥ ，在直线BE 上找可以直接到达 点A 的一点D，连接DA，作DC DA = ，交直线AB 于点C，可以说明DBA DBC ≌ ，最后测量BC 的长即 得AB BC = ．那么判断DBA DBC ≌ 的原理是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 27 / A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 4． （2025 八年级下·湖南·专题练习）在 ABC 中， 90 C = ，AC BC = ，AD平分 CAB 交BC 于D，DE AB ⊥ 于E．若 7cm AB = ，则AC CD + 的长等于（ ） A．6cm B．7cm C．8cm D．19cm 5．（24-25 九年级下·广东中山·阶段练习）如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，作 BAC 的角平分线AD和 作DE AB ⊥ 于E ，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A． BDE BAC = B． BAD B = ∠ ∠ C．DE DC = D．AE AC = 6． （24-25 八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，已知M 为等边 ABC 外的一点， 120 AMC = ，AM CM = ， 点N，P 分别在AB ，BC 上，连接MP 、NP 、MN ，若PM 平分 CPN ， 4 AN = ， 9 CP = ，则PN 的长为 （ ） A．15 B．14 C．13 D．12 7．（24-25 八年级下·湖南娄底·期末）如图，在 ABC 中，AD DE ⊥ ，BE DE ⊥ ，AC ，BC 分别平分 BAD ， 学科网（北京）股份有限公司 28 / ABE ，点C 在线段DE 上，当 3.9 AD = ， 2.75 BE = 时，AB = ． 8．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在 ABC 中，BC 边上的高AD BD = ，点E 为边AD上的点， 且BE AC = ，若 18 ABD ECD S S − = △ △ ，则图中阴影部分面积为 ． 9．（24-25 八年级下·陕西·期末）如图，在四边形EBCD 中， 90 , , BED BC CD ED CD = ⊥ = ，点A 为BE上 一点，连接AD，且DA平分 EDB ，若 60 , 8 EBC AD = = ，则BE的长为 ． 10．（2025·四川成都·二模）如图，在 ABC 中， 90 C = ，按以下步骤作图：①以点B 为圆心、适当长为 半径作弧，分别交BC ，BA于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心、大于1 2 MN 的长为半径作弧，两弧 在 ABC 的内部相交于点P ；③作射线BP交AC 于点D ．若 9 AC = ， 4 CD = ，则BD的长为 ． 11．（24-25 八年级下·广东清远·期中）如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 30 B = ， 2 3 BC = ， 2 AC = ， 点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把BDE 翻折到B DE 的位置，B D 交AB 于 点F．若 90 AB F = 时，量得BE 的长为6 5 时，则此时AB E 的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 29 / 12． （24-25 八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在 ABC 中， 8 AB = ， 4 AC = ，点G 为BC 的中点，DG BC ⊥ 交 BAC 的平分线AD于点D ，DE AB ⊥ 于点E ， DF AC ⊥ 交AC 的延长线于点F ． (1)求证：BE CF = ； (2)求AE 的长． 13．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）如图， 90 A B = = ，E 是AB 上的一点，且AE BC = ，1 2 = ． (1)Rt ADE 与Rt BEC 全等吗？并说明理由； (2)求证：DE EC ⊥ ． 14．（24-25 七年级下·重庆·期末）已知：在 ABC 中，D 为AC 边上一点，BD平分 ABC ，DE AB ⊥ 于点 E，DF BC ⊥ 于点F． (1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB 于点M，交BC 于点N，连接DM DN ， （只保留作图痕迹， 学科网（北京）股份有限公司 30 / 不写作法和结论）． (2)若BM BN = ，求证：EM FN = ． 请补全下面的证明过程． 证明：∵BD平分 ABC ，DE AB ⊥ ，DF BC ⊥ ， ∴ ( )， ∵MN 是BD的垂直平分线， ∴BM DM BN DN = = ， ， 又∵ ， ∴DM DN = ( )， ∵DE AB DF BC ⊥ ⊥ ， ， ∴ 90 DEM DFN = = ， 在Rt DME △ 和Rt DNF △ 中， ______ DE DF = ， ∴ ( ) Rt Rt HL DME DNF ≌ ， ∴EM FN = ． 15．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）证明：斜边上高线和一直角边分别相等的两个直角三角形全等． 已知：如图所示，Rt ABC △ 和Rt A B C ， 90 ACB A C B = = ，CD AB ⊥ ，C D A B ⊥ ，垂足分别为D， D¢，且AC AC = ，CD C D = ．求证：Rt ABC △ Rt A B C ≌ ． 学科网（北京）股份有限公司 31 / 16． （2025·山东济宁·二模）如图，线段CD的两个端点分别在 AOB 的两边OA，OB 上， 6 OC = ， 8 OD = ．按 以下步骤作图： ①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB 于点E，F；②分别以点E，F 为圆心，大于1 2 EF 长 为半径画弧，两弧在 AOB 的内部交于点G；③作射线OG ． (1)尺规作图：在射线OG 上求作一点P，连接PC ，PD，使得PC PD = ．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若 5 2 OP = ，求PC 的长． 17．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）如图 ABC ，AD是 BAC 的角平分线，与BC 交于点D ，过点D 分 别作DE AB ⊥ ，DF AC ⊥ ，交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF ，交AD于点O． (1)试说明AD垂直平分EF ； (2)若 120 B C + = ， 3 DO = ，则AO 的长为多少？
