14.2三角形全等的判定(第五课时HL)（导学案）（解析版）数学新教材人教版八年级上册_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材人教）

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14.2
三角形全等的判定（第五课时HL）（导学案）
【学习目标】
1. 理解并掌握判定两个直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定理：斜边和一条直角边分别相等
的两个直角三角形全等；
2. 能综合运用SSS、SAS、ASA、AAS 和HL 五种判定方法判定三角形全等，并规范书写证明过程；
3. 能运用HL 定理解决与直角三角形全等相关的简单计算与证明问题。
【学习重点】
运用“斜边、直角边”（HL）判定两个直角三角形全等。
【学习难点】
1. 准确理解HL 判定仅适用于直角三角形，并能与其他判定方法正确区分；
2. 在复杂图形中灵活选择判定方法，合理转化条件；
3. 规范、完整地书写直角三角形全等的证明过程。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
判定直角三角形全等的方法
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
几何语言
在ࡾ△࡭̒ ࡯和ࡾ△࡭댳̒ 댳࡯댳中，
࡭̒
䁪࡭댳̒ 댳̒
࡯䁪̒
댳࡯댳
∴ࡾ△࡭̒ ࡯≌ࡾ△࡭댳̒ 댳࡯댳(ࡴࡸ).
【课堂探究】
情景导入
观看视频《建筑中的秘密》
动手画一画，你能得到怎样的结论了？
新知探究
如图△࡭̒ ࡯，请能利用尺规作图，画出一个△࡭댳̒ 댳࡯댳，满足ס࡯댳䁪ס࡯䁪䁡૙°，࡭댳̒ 댳䁪࡭̒ ，̒ 댳࡯댳䁪̒
࡯.
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判定直角三角形全等的方法
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.
(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
几何语言
在ࡾ△࡭̒ ࡯和ࡾ△࡭댳̒ 댳࡯댳中，
࡭̒
䁪࡭댳̒ 댳̒
࡯䁪̒
댳࡯댳
∴ࡾ△࡭̒ ࡯≌ࡾ△࡭댳̒ 댳࡯댳(ࡴࡸ).
典例分析
例1.如图，࡭̒
٣ ࡭࡯，ࡰ࡯٣ ࡭࡯，要使△࡭̒ ࡯≌△࡯ࡰ࡭，现已有条件__࡭࡯＝࡭࡯
________和___ס̒ ࡭࡯＝סࡰ࡯࡭___________，还需要添加什么条件(最直接的)才能保证结论成立？
(1)࡭̒ ＝࡯ࡰ(
ࡿ࡭ࡿ)；
(2)____̒
࡯＝ࡰ࡭__________( ࡴࡸ)；
(3)____ ס̒ ＝סࡰ__________( ࡭࡭ࡿ)；
(4)___ ס̒ ࡯࡭＝סࡰ࡭࡯______( ࡭ࡿ࡭).
例2.如图，࡭࡯٣̒
࡯，࡭ࡰ٣̒
ࡰ，࡭ࡰ＝̒ ࡯，࡭ࡰ，̒ ࡯交于点ࡻ.求证：࡭࡯＝̒ ࡰ.
证明：∵࡭࡯٣̒
࡯，࡭ࡰ٣̒
ࡰ，
∴ס࡯＝סࡰ＝䁡૙°.
在ࡾ△࡭̒ ࡰ和ࡾ△̒
࡭࡯中，࡭̒
䁪࡭̒
࡭ࡰ䁪̒
࡯
∴ࡾ△࡭̒ ࡰ≌ࡾ△̒
࡭࡯(ࡴࡸ).
∴࡭࡯＝̒ ࡰ.
例3.如图，ס̒ ࡭࡯＝䁡૙°，࡭̒ ＝࡭࡯，点ࡰ在࡭࡯上，点ࡱ在̒
࡭的延长线上，̒ ࡰ＝࡯ࡱ.求证：̒ ࡰ٣ ࡯ࡱ.
证明：∵ס̒ ࡭࡯＝䁡૙°，
∴△࡭̒ ࡰ与△࡭࡯ࡱ都是直角三角形．
在ࡾ△࡭̒ ࡰ和ࡾ△࡭࡯ࡱ中，̒
ࡰ䁪࡯ࡱ
࡭̒
䁪࡭࡯
∴ࡾ△࡭̒ ࡰ≌ࡾ△࡭࡯ࡱ(ࡴࡸ).
∴ס࡭ࡰ̒ ＝סࡱ.
∵סࡱ̒ 䁡＋ס࡭ࡰ̒ ＝䁡૙°，
∴סࡱ̒ 䁡＋סࡱ＝䁡૙°.
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∴ס̒ 䁡ࡱ＝䁡૙°，即̒
ࡰ٣ ࡯ࡱ.
例4.如图，已知࡭ࡰ，࡭䁡分别是两个钝角△࡭̒ ࡯和△࡭̒ ࡱ的高，如果࡭ࡰ䁪࡭䁡，࡭࡯䁪࡭ࡱ．
求证：
(1)̒ ࡰ䁪̒
䁡
(2)̒ ࡯䁪̒
ࡱ
证明(1)：∵࡭ࡰ，࡭䁡分别是两个钝角△࡭̒ ࡯和△࡭̒ ࡱ的高，
∴סࡰ䁪ס䁡䁪䁡૙ι，
在Rt △࡭̒ ࡰ和Rt △࡭̒ 䁡中,
࡭̒
䁪࡭̒
࡭ࡰ䁪࡭䁡，
∴Rt △࡭̒ ࡰ،Rt △࡭̒ 䁡HL ，
∴̒ ࡰ䁪̒
䁡；
(2)证明：在Rt △࡭ࡰ࡯和Rt △࡭䁡ࡱ中,
࡭࡯䁪࡭ࡱ
࡭ࡰ䁪࡭䁡,
∴Rt △࡭ࡰ࡯،Rt △࡭䁡ࡱHL ，
∴࡯ࡰ䁪ࡱ䁡，
由（૚）得̒
ࡰ䁪̒
䁡，
∴̒ ࡰെ࡯ࡰ䁪̒
䁡െࡱ䁡，
即̒
࡯䁪̒
ࡱ．
变式训练
1.如图，࡭̒
䁪࡯ࡰ,̒
䁡٣ ࡭࡯,ࡰࡱ٣ ࡭࡯,࡭ࡱ䁪࡯䁡.那么̒
ࡰ平分ࡱ䁡吗?证明你的结论．
证明：结论：̒ ࡰ平分ࡱ䁡，理由如下
∵̒ 䁡٣ ࡭࡯,ࡰࡱ٣ ࡭࡯，
∴ס࡭䁡̒ ＝סࡰࡱ࡯䁪ס̒ 䁡G=סࡰࡱ䁡=䁡૙°.
∵࡭䁡䁪࡭ࡱെࡱ䁡,࡯ࡱ䁪࡯䁡െࡱ䁡,࡭ࡱ䁪࡯䁡，
∴࡭䁡䁪࡯ࡱ.
在ࡾ△࡭䁡̒
和ࡾ△࡯ࡱࡰ中，
࡭̒
䁪࡯ࡰ
࡭䁡䁪࡯ࡱ
∴ࡾ△࡭䁡̒ ≌ࡾ△࡯ࡱࡰ(ࡴࡸ)，∴̒ 䁡＝ࡰࡱ.
在△̒
䁡䁡和△ࡰ䁡ࡱ中，
ס̒ 䁡G=סࡰࡱ䁡
ס̒ GF=סࡰ䁡ࡱ̒
䁡䁪ࡰࡱ
∴△̒
䁡䁡≌△ࡰ䁡ࡱ(࡭࡭ࡿ)，∴䁡䁡＝ࡱ䁡.
2.如图，在△࡭̒ ࡯中，ס࡯＝䁡૙°，࡭࡯＝̒ ࡯，ࡰ为̒
࡯上一点，且ࡰࡱ٣ ࡭̒
于点ࡱ，ࡰࡱ＝࡯ࡰ，࡭̒ ＝ૡࢉ࢓，
求△ࡰࡱ̒
的周长
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解∵ࡰࡱ٣ ࡭̒ ，ס࡯䁪䁡૙°，
∴ס࡯䁪סࡰࡱ࡭䁪䁡૙°，
在ࡾ△࡭࡯ࡰ和ࡾ△࡭ࡱࡰ中，࡯ࡰ䁪ࡰࡱ
࡭ࡰ䁪࡭ࡰ，
∴ࡾ△࡭࡯ࡰ≌ࡾ△࡭ࡱࡰ(ࡴࡸ)，
∴࡭࡯䁪࡭ࡱ，
∵࡭࡯＝̒ ࡯，
∴࡭ࡱ＝̒ ࡯，
∴△̒
ࡰࡱ的周长䁪̒
ࡱ̒ࡱࡱࡰࡱ
ࡰ䁪̒
ࡱ̒ࡱࡰ࡯ࡱ
ࡰ
䁪̒
ࡱࡱ̒
࡯䁪̒
ࡱࡱ࡭ࡱ䁪࡭̒ ．
∵࡭̒ ＝ૡࢉ࢓
∴△̒
ࡰࡱ的周长是ૡࢉ࢓
3.如图，ס࡯䁪䁡૙°，࡭࡯䁪ൌ૙，̒ ࡯䁪૚૙，࡭ࢄ٣ ࡭࡯，点P 和点Q 同时从点A 出发，分别在线段࡭࡯
和射线࡭ࢄ上运动，且࡭̒
䁪ൌࡽ，当࡭ൌ为何值时，以点A，P，Q 为顶点的三角形与△࡭̒ ࡯全等．
解：∵࡭ࢄ٣ ࡭࡯,∴סൌ࡭ࡽ䁪䁡૙°,即ס࡯䁪סൌ࡭ࡽ䁪䁡૙°
分两种情况：
当࡭ൌ䁪̒
࡯䁪૚૙时，在Rt △࡭̒ ࡯和Rt △ࡽൌ࡭中࡭̒
䁪ࡽൌ̒
࡯䁪࡭ൌ
׵ Rt △࡭̒ ࡯،Rt △ࡽൌ࡭(ࡴࡸ)；
当࡭ൌ䁪࡯࡭䁪ൌ૙时，在Rt △࡭̒ ࡯和Rt △ൌࡽ࡭中࡭̒
䁪ൌࡽ
࡭࡯䁪࡭ൌ
׵ Rt △࡭̒ ࡯،Rt △ൌࡽ࡭(ࡴࡸ)，
综上所述：当点P 运动到࡭ൌ䁪૚૙或20 时，△࡭̒ ࡯与△࡭ൌࡽ全等
【课堂总结】
【课堂练习】
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1．下列命题中，正确的有(
C
)
①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．如图，已知࡭̒ ＝࡯ࡰ，࡭ࡱ٣̒
ࡰ于点ࡱ，࡯䁡٣̒
ࡰ于点䁡，࡭ࡱ＝࡯䁡，则图中的全等三角形有_3 对
______
3．如图，࡭ࡰ是△࡭̒ ࡯的̒
࡯边上的高，补充下列一个条件后，能判定△࡭ࡰ̒ ≌△࡭ࡰ࡯的有__①②
③④_________
①ࡰ是̒
࡯的中点；②࡭̒ ＝࡭࡯；③࡭ࡰ是ס̒ ࡭࡯的平分线；④ס̒ ＝ס࡯.
4.如图，已知ס࡯＝ס䁡＝䁡૙°，࡭࡯＝ࡰ䁡，࡭ࡱ＝ࡰ̒ ，̒ ࡯与ࡱ䁡交于点ࡻ.
(1)求证：ࡾ△࡭̒ ࡯≌ࡾ△ࡰࡱ䁡；
(2)若ס࡭＝૞૚°，求ס̒ ࡻ䁡的度数．
证明（1）：∵࡭ࡱ＝ࡰ̒ ，
∴࡭ࡱ＋ࡱ̒ ＝ࡰ̒ ＋ࡱ̒ ，即࡭̒ ＝ࡰࡱ．
在Rt △࡭̒ ࡯和Rt △ࡰࡱ䁡中，࡭࡯䁪ࡰ䁡
࡭̒
䁪ࡰࡱ
∴ࡾ△࡭̒ ࡯≌ࡾ△ࡰࡱ䁡(ࡴࡸ)．
（2）∵ס࡯＝䁡૙°，ס࡭＝૞૚°，
∴ס࡭̒ ࡯＝ס࡯－ס࡭＝䁡૙°－૞૚°＝૜䁡°．
由（1）知ࡾ△࡭̒ ࡯≌ࡾ△ࡰࡱ䁡，
∴ס࡭̒ ࡯＝סࡰࡱ䁡．
∴סࡰࡱ䁡＝૜䁡°．
∴ס̒ ࡻ䁡＝ס࡭̒ ࡯＋ס̒ ࡱ䁡＝૜䁡°＋૜䁡°＝ૠૡ°．
5.如图，࡭̒ ＝࡭࡯，直线࢒过点࡭，̒ ࡹ⊥直线࢒，࡯ࡺ⊥直线࢒，垂足分别为ࡹ，ࡺ，且̒
ࡹ＝࡭ࡺ.求证：
(1)△࡭ࡹ̒ ≌△࡯ࡺ࡭；
(2)ס̒ ࡭࡯＝䁡૙°Ǥ
证明：(1)∵̒ ࡹ⊥直线࢒，࡯ࡺ⊥直线࢒，
∴ס࡭ࡹ̒ ＝ס࡯ࡺ࡭＝䁡૙°.
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在ࡾ△࡭ࡹ̒
和ࡾ△࡯ࡺ࡭中，࡭̒
䁪࡯࡭̒
ࡹ䁪࡭ࡺ
∴ࡾ△࡭ࡹ̒ ≌ࡾ△࡯ࡺ࡭(ࡴࡸ).
(2)由(1)得ࡾ△࡭ࡹ̒ ≌ࡾ△࡯ࡺ࡭，
∴ס̒ ࡭ࡹ＝ס࡭࡯ࡺ.
∵ס࡯࡭ࡺ＋ס࡭࡯ࡺ＝䁡૙°，
∴ס࡯࡭ࡺ＋ס̒ ࡭ࡹ＝䁡૙°.
∴ס̒ ࡭࡯＝૚ૡ૙°－䁡૙°＝䁡૙°Ǥ
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？