14.2三角形全等的判定(第五课时HL)（分层作业）（解析版）数学新教材人教版八年级上册_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材人教）

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分层作业
14.2 三角形全等的判定（第五课时HL）
目录
A 组巩固过关
题型01 利用HL 判定全等
题型02 添加条件判定全等
题型03 利用HL 判定全等求角的度数
题型04 利用HL 判定全等求线段长度
题型05 利用HL 判定证明全等
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
利用HL 判定全等
1. 如图，两个直角三角形全等的是（
）
A．③④
B．①③
C．①②
D．①④
【答案】B
【难度】0.9
【知识点】用HL 证全等（HL）
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【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等；
①和③两个直角三角形满足“HL”，可证明两个三角形全等；
③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等；
①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等；
③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等，
则满足题意的为选项B．
2.如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度ܤܥ与右边滑梯的水平长度ܦܧ相等，两个滑梯都是垂直
地面放置的．能直接判断Rt ᇞܣܤܥ和Rt ᇞܨܧܦ全等的依据是（
）
A．SSS
B．SAS
C．HL
D．AAS
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】用HL 证全等（HL）
【详解】解：根据题意，得ܤܥൌܦܧ，ܣܤൌܨܧ，סܣܥܤൌסܨܦܧൌ䀀㌳ι，
∴Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܨܧܦHL ，
故选项C 符合题意.
题型02
添加条件判定全等
3.如图，在四边形ܣܤܥܦ中，ܣܤ٣ ܣܥǡܥܦ٣ ܣܥ，要根据HL 证明ᇞܣܤܥ، ᇞܥܦܣ，则需要添加的条件是（
）
A．סܤൌסܦ
B．סܣܥܤൌסܥܣܦ
C．ܣܤൌܥܦ
D．ܣܦൌܥܤ
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用HL 证全等（HL）
【详解】解：∵ܣܤ٣ ܣܥǡܥܦ٣ ܣܥ，
∴סܤܣܥൌסܣܥܦൌ䀀㌳ι，
∵ܣܥൌܣܥ，
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若证明ᇞܣܤܥ، ᇞܥܦܣHL ，
则应该添加ܣܦൌܥܤ．
4.已知∠ACB ＝∠ADB＝90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？判定全等的理由是什么？
（1）______________(
)
（2）______________(
)
（3）______________(
)
（4）_____________(
)
【答案】
AD＝BC
HL
AC＝BD
HL
∠CAB＝∠DBA
AAS
∠DAB＝∠CBA
AAS
【难度】0.65
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【解析】略
题型03
利用HL 判定全等求角的度数
5.如图，在四边形ܣܤܥܦ中，סܤൌסܦൌ䀀㌳ι，ܤܥൌܦܥ，连接ܣܥ，סܤܥܣൌ䀀㌳ι，则סܥܣܦ的度数为__________ι．
【答案】Ͷ㌳
【难度】0.74
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】根据“HL”判定Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܣܦܥ，利用全等三角形对应角相等得出סܦܥܣൌסܤܥܣ，再根据直
角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵סܤൌסܦൌ䀀㌳ι，
∴ᇞܣܤܥ和ᇞܣܦܥ都是直角三角形，
在Rt ᇞܣܤܥ和Rt ᇞܣܦܥ中，
ܣܥൌܣܥ
ܤܥൌܦܥ，
∴Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܣܦܥHL
，
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∴סܦܥܣൌסܤܥܣൌ䀀㌳ι，
在Rt ᇞܣܦܥ中，סܥܣܦൌ䀀㌳ι െסܦܥܣൌ䀀㌳ι െ䀀㌳ι ൌͶ㌳ι．
6.如图，已知点ܣ､ܧ､ܨ､ܦ在同一条直线上，ܣܧൌܦܨǡܤܨ٣ ܣܦǡܥܧ٣ ܣܦ，垂足分别为ܨ、ܧǡܣܤൌܥܦ．若סܣൌ
ʹ͹ל时，则סܥ的度数为_____________
【答案】͸͵ι
【难度】0.65
【知识点】用HL 证全等（HL）、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“HL”以及平行线的判定，“HL”即为在直角三角形中，
一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由ܣܧൌܦܨ，
可得出ܣܨൌܦܧ，即可证明；由可得ᇞܣܤܨ، ᇞܦܥܧ，即可得סܥൌסܤ，从而求证．
【详解】（1）证明：∵ܣܧൌܦܨ，
∴ܣܧ൅ܧܨൌܦܨ൅ܧܨ，即ܣܨൌܦܧ，
∵ܤܨ٣ ܣܦ，ܥܧ٣ ܣܦ，
∴סܤܨܣൌסܥܧܦൌ䀀㌳ι，
∴Rt ᇞܣܤܨ和Rt ᇞܦܥܧ，
ܣܤൌܦܥ
ܣܨൌܦܧ
∴ᇞܣܤܨ، ᇞܦܥܧሺHLሻ；
∵ᇞܣܤܨ، ᇞܦܥܧ，
∴סܣൌסܦൌʹ͹ל，סܣܨܤൌסܦܧܥൌ䀀㌳ι，
∴סܥൌסܤൌ䀀㌳ι െʹ͹ι ൌ͸͵ι．
题型04
利用HL 判定全等求线段长度
7.如图，点ܣǡܥǡܦǡܧ在同一条直线上，ܨܦ٣ ܣܧ，ܤܥ٣ ܣܧ，ܣܥൌܦܧ，ܣܤൌܧܨ，若ܣܧൌൌൌ，ܥܦൌʹ，则
ܣܥ的长为________．
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【答案】
䀀
ʹ
【难度】0.85
【知识点】线段的和与差、用HL 证全等（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）利用全等三角形HL 判定定理证明即可；
（2）设ܣܥൌܧܦൌܽ
，利用线段的和差列出方程，求出ܽ
的值即可解答．
【详解】证明：∵ܨܦ٣ ܣܧ，ܤܥ٣ ܣܧ，
∴סܣܥܤൌסܧܦܨൌ䀀㌳ι，
在Rt ᇞܣܤܥ和Rt ᇞܧܨܦ中，
ܣܤൌܧܨ
ܣܥൌܧܦ，
∴Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܧܨܦHL ；得ܣܥൌܧܦ，
设ܣܥൌܧܦൌܽ
，
∵ܣܥ൅ܥܦ൅ܦܧൌܣܧ，
∴ܽ൅ʹ ൅ܽ
ൌൌൌ，
解得ܽ
ൌ
䀀
ʹ
∴ܣܥ的长为
䀀
ʹ．
8.如图，公路上ܣ，ܤ两站相距ʹ䀀km，ܥ，ܦ为两所学校，ܦܣ٣ ܣܤ于点ܣ，ܥܤ٣ ܣܤ于点ܤ．已知在公路
ܣܤ上有一座报亭ܪ，且ܥ，ܦ两所学校到报亭ܪ的距离相等，ܦܣൌܤܪൌൌ䀀km，则ܤܥൌ__________km．
【答案】10
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法证明两三角
形全等是解题的关键．
通过已知条件利用HL 定理证明Rt ᇞܦܣܪ،Rt ᇞܪܤܥ，根据全等三角形的对应边相等得到ܤܥൌܣܪ，最后
通过线段的和差关系得到结论．
【详解】解：∵ܦܣ٣ ܣܤ于点ܣ，ܥܤ٣ ܣܤ于点ܤ，
∴סܦܣܪൌסܪܤܥൌ䀀㌳ι，
∵ܥ，ܦ两所学校到报亭ܪ的距离相等，
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∴ܦܪൌܥܪ，
在Rt ᇞܦܣܪ和Rt ᇞܪܤܥ中，
ܦܪൌܥܪ，
ܦܣൌܤܪ，
∴Rt ᇞܦܣܪ،Rt ᇞܪܤܥHL ，
∴ܤܥൌܣܪ，
∵ܣܪൌܣܤെܤܪൌʹ䀀െൌ䀀ൌൌ㌳km
∴ܤܥൌൌ㌳km，
故答案为：ൌ㌳．
题型05
利用HL 判定证明全等
9.如图，点A，E，F，B 在同一条直线上，ܣܧൌܤܨ，ܣܥൌܤܦ，סܥൌסܦൌ䀀㌳ι．求证：סܣܨܥൌסܤܧܦ．
【答案】证明见详解
【难度】0.74
【知识点】用HL 证全等（HL）
【分析】先求出ܣܨൌܤܧ，再利用“HL”证明Rt ᇞܣܥܨ和Rt ᇞܤܦܧ全等，根据全等三角形对应角相等可
得סܣܨܥൌסܤܧܦ．
【详解】证明：∵ܣܧൌܤܨ，
∴ܣܧ൅ܧܨൌܤܨ൅ܧܨ，即ܣܨൌܤܧ，
在Rt ᇞܣܥܨ和Rt ᇞܤܦܧ中，
ܣܨൌܤܧ
ܣܥൌܤܦ，
∴Rt ᇞܣܥܨ،Rt ᇞܤܦܧHL ，
∴סܣܨܥൌסܤܧܦ．
10.如图，ܣܧ٣ ܤܦ于E，ܥܨ٣ ܤܦ于F，ܣܤൌܥܦ，ܣܧൌܥܨ．求证：ܣܤ∥ܥܦ．
【答案】证明：∵ܣܧ٣ ܤܦ，ܥܨ٣ ܤܦ，
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∴סܣܧܤൌסܥܨܦൌ䀀㌳ι，
又∵ܣܤൌܥܦ，ܣܧൌܥܨ，
∴Rt ᇞܣܧܤ،Rt ᇞܥܨܦHL ，
∴סܣܤܧൌסܥܦܨ，
∴ܣܤ∥ܥܦ．
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】根据题意证明Rt ᇞܣܧܤ،Rt ᇞܥܨܦHL ，得到סܣܤܧൌסܥܦܨ，即可得证．
【详解】略
11.如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܣܥ，ܤܦ٣ ܣܥ于D，ܥܧ٣ ܣܤ于E，ܤܦǡܥܧ相交于F．求证：
(1)ܣܦൌܣܧ；
(2)ܣܨ平分סܤܣܥ．
【答案】(1)证明：∵ܤܦ٣ ܣܥǡܥܧ٣ ܣܤ，
∴סܣܦܤൌסܣܧܥൌ䀀㌳ι．
∵סܤܣܦൌסܥܣܧǡܣܤൌܣܥ，
∴ᇞܣܤܦ، ᇞܣܥܧAAS ，
∴ܣܦൌܣܧ；
(2)证明：在Rt ᇞܣܦܨ和Rt ᇞܣܧܨ中，
ܣܨൌܣܨ
ܣܦൌܣܧ，
∴Rt ᇞܣܦܨ،Rt ᇞܣܧܨHL ，
∴סܧܣܨൌסܦܣܨ，
∴ܣܨ平分סܤܣܥ．
【难度】0.62
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】（1）根据“AAS”证明ᇞܣܤܦ، ᇞܣܥܧ，再根据全等三角形的对应边相等得出答案；
（2）根据“HL”证明Rt ᇞܣܦܨ،Rt ᇞܣܧܨ，再根据全等三角形的对应角相等得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
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12.如图，在ᇞܣܤܥ中，ܤܣൌܤܥ，סܣܤܥൌ䀀㌳ι，D 为ܣܤ延长线上的一点，点E 在边ܤܥ上，连接ܣܧǡܦܧǡܦܥ，
其中ܣܧൌܥܦ．
(1)求证：ᇞܣܤܧ، ᇞܥܤܦ．
(2)若סܤܦܥൌ͹䀀ι，求סܥܣܧ的度数．
【答案】(1)
证明：由题意，得סܣܤܧൌסܥܤܦൌ䀀㌳ι，
在Rt ᇞܣܤܧ和Rt ᇞܥܤܦ中，
∵ܣܤൌܥܤǡ
ܣܧൌܥܦǡ
∴Rt ᇞܣܤܧ،Rt ᇞܥܤܦHL ．
(2)͵㌳ι
【难度】0.85
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质：
（1）利用“HL”证明ᇞܣܤܧ، ᇞܥܤܦ即可；
（2）由（1）知Rt ᇞܣܤܧ،Rt ᇞܥܤܦ，可得סܣܧܤൌסܤܦܥൌ͹䀀ι，再由三角形外角的性质解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܤܥ，סܣܤܥൌ䀀㌳ι，
∴סܤܣܥൌסܤܥܣൌͶ䀀ι，
由（1）知Rt ᇞܣܤܧ،Rt ᇞܥܤܦ，
∴סܣܧܤൌסܤܦܥൌ͹䀀ι．
∵סܣܧܤൌסܣܥܧ൅סܥܣܧǡסܣܥܧൌͶ䀀ι，
∴סܥܣܧൌסܣܧܤെסܣܥܤൌ͹䀀ι െͶ䀀ι ൌ͵㌳ι．
1.在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt ᇞܣܤܥ（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个Rt ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ，使
得Rt ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ،Rt ᇞܣܤܥ．小赵和小刘同学先画出了סܯܤ̵ܰ
ൌ䀀㌳ι之后，后续画图的主要过程分别如图②所
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示．
对这两种画法的描述正确的是（
）
A．小赵同学作图判定Rt ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ،Rt ᇞܣܤܥ的依据是HL
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段ܤ̵ ܥ̵
C．小刘同学作图判定Rt ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ،Rt ᇞܣܤܥ的依据是ASA
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段ܣ̵ ܥ̵
【答案】A
【难度】0.64
【知识点】用SAS 证明三角形全等（SAS）、尺规作图——作三角形、用HL 证全等（HL）
【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学
知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、小赵同学作图判定Rt ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ،Rt ᇞܣܤܥ的依据是HL，正确，本选项符合题意；
B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是ܣܥ的长，错误，不符合题意；
C、小刘同学作图判定Rt ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ،Rt ᇞܣܤܥ的依据应该是SAS，错误，本选项不符合题意；
D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是ܣܤ的长，错误，本选项不符合题意．
故选：A．
2.如图，Rtᇞܣܤܥ،Rtᇞܦܤܧ，若סܣൌ͵㌳ι，则סܣܤܨ的度数为（
）
A．͵㌳ι
B．Ͷ䀀ι
C．͸㌳ι
D．䀀㌳ι
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用HL 证全等（HL）、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关
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键．由全等三角形可知ܤܧൌܤܥ，进一步证明Rt ᇞܤܧܨ،Rt ᇞܤܥܨ，再利用性质求解即可．
【详解】解：∵Rtᇞܣܤܥ،Rtᇞܦܤܧ，סܣൌ͵㌳ι，
∴ܤܧൌܤܥǡסܣܤܥൌ͸㌳ι，
∵ܤܨൌܤܨǡסܤܧܨൌסܤܥܨൌ䀀㌳ι，
∴Rt ᇞܤܧܨ،Rt ᇞܤܥܨHL ，
∴סܣܤܨൌסܥܤܨൌ
ൌ
ʹ סܣܤܥൌ͵㌳ι，
故选：A．
3.如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣܦ、ܤܧ分别是ܤܥ、ܣܥ边上的高，已知ܣܧൌܤܦ；若סܥܣܤൌ͸㌳ι，则סܥܤܧ的度数
为___________．
【答案】͵㌳ι/͵㌳度
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证ᇞܣܧܤ، ᇞܤܦܣ即可求解．
【详解】解：∵ܣܦ、ܤܧ分别是ܤܥ、ܣܥ边上的高，
∴סܣܧܤൌסܤܦܣൌ䀀㌳ι
∵סܥܣܤൌ͸㌳ι，
∴סܧܤܣൌ͵㌳ι
∵ܣܧൌܤܦ，ܣܤൌܤܣ
∴Rt ᇞܣܧܤ،Rt ᇞܤܦܣHL
∴סܦܤܣൌסܧܣܤൌ͸㌳ι，
∴סܥܤܧൌסܦܤܣെסܧܤܣൌ͵㌳ι
故答案为：͵㌳ι
4.如图，ܯܰ∥ܲܳ
，ܣܤ٣ܲܳ
，点A，D 和B，C 分别在直线ܯܰ
和ܲܳ
上，点E 在ܣܤ上，ܣܦ൅ܤܥൌ͹，ܣܦൌܧܤ，
ܦܧൌܧܥ，则ܣܤ的值为_________
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【答案】7
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】运用HL 方法判定ᇞܦܣܧ، ᇞܧܤܥሺHLሻ，得ܣܧൌܤܥ，进而求解．
【详解】解：∵ܯܰ∥ܲܳ
，ܣܤ٣ܲܳ
，
∴סܦܣܧൌסܧܤܥൌ䀀㌳ι．
∵ܣܦൌܧܤ，ܦܧൌܧܥ，
∴ᇞܦܣܧ، ᇞܧܤܥሺHLሻ．
∴ܣܧൌܤܥ．
∴ܣܤൌܣܧ൅ܤܧൌܣܦ൅ܤܥൌ͹．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
5.如图，已知Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܦܤܧ，其中סܥൌסܦܧܤൌ䀀㌳ι，ܦܧ的延长线与ܣܥ相交于点ܨ，连接ܤܨ．
(1)求证：ᇞܤܥܨ، ᇞܤܧܨ；
(2)若ܧܨൌൌ，ܦܧൌͶ，求ܣܨ的长．
【答案】(1)证明：∵סܦܧܤൌ䀀㌳ι，
∴סܤܧܨൌ䀀㌳ι，
∵Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܦܤܧ，
∴ܤܥൌܤܧ，
在Rt ᇞܤܥܨ和Rt ᇞܤܧܨ中，
ܤܨൌܤܨ
ܤܥൌܤܧ，
∴Rt ᇞܤܥܨ،Rt ᇞܤܧܨHL ；
(2)3
【难度】0.52
【知识点】用HL 证全等（HL）、全等三角形的性质
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【分析】（1）根据Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܦܤܧ，得ܤܥൌܤܧ，即可证明ᇞܤܥܨ، ᇞܤܧܨ；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得ܣܨ的长．
【详解】（1）略
（2）解：∵Rt ᇞܣܤܥ،Rt ᇞܦܤܧ，
∴ܦܧൌܣܥ，
∵ܦܧൌͶ，
∴ܣܥൌͶ，
∵Rt ᇞܤܥܨ،Rt ᇞܤܧܨ，
∴ܥܨൌܧܨ，
∵ܧܨൌൌ，
∴ܥܨൌൌ，
∴ܣܨൌܣܥെܥܨൌͶ െൌൌ͵．
6.已知：如图，点B、C、E 三点在同一条直线上，CD 平分∠ACE，DB=DA,DM⊥BE 于M.
（1）求证：AC=BM+CM；
（2）若AC=2，BC=1，求CM 的长.
【答案】
（1）证明：如图，作DN⊥AC 于点N，
∵CD 平分∠ACE，DM⊥BE，∴DN=DM，
在Rt△DCN 和Rt△DCM 中，
ܥܦൌܥܦ
ܦܰ
ൌܦܯ，
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），
∴CN=CM，
在Rt△ADN 和Rt△BDM 中，
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ܣܦൌܤܦ
ܦܰ
ൌܦܯ，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM，
∵AC=AN+CN，∴AC=BM+CM；
（2）CM=0.5
【难度】0.4
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】（1）作DN⊥AC 于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN=CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，
可得AN=BM，即可解题；（2）利用（1）中的结论变形得出答案即可．
【详解】（1）略．
（2）∵AN=AC-CN, BM=BC+CM,∴AC-CN=BC+CM，
∴AC-CM=BC+CM，∴2CM=AC-BC,
∵AC=2，BC=1，∴CM=0.5.
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN=CM，
AN=BM 是解题的关键．
7.如图，在ᇞܣܤܥ中，סܤܣܥൌ䀀㌳ι，ܣܤൌܣܥ，点ܦ在ܥܣ的延长线上，ܥܦൌܥܤ，连接ܤܦ，过点ܥ作ܥܨ٣ ܤܦ
分别交ܣܤ，ܤܦ于点ܧ，ܨ．试说明：
(1)ܨ为ܤܦ的中点；
(2)ܥܧൌʹܤܨ
【答案】(1)证明：∵ܥܨ٣ ܤܦ，
∴סܥܨܤൌסܥܨܦൌ䀀㌳ι，
在Rt ᇞܥܨܦ和Rt ᇞܥܨܤ中，
ܥܨൌܥܨ
ܥܦൌܥܤ，
∴Rt ᇞܥܨܦ،Rt ᇞܥܨܤHL ，
∴ܤܨൌܦܨ，即ܨ为ܤܦ的中点；
(2)证明：∵סܤܨܥൌסܥܣܤൌ䀀㌳ιǡסܥܧܣൌסܤܧܨ，
∴סܣܤܦൌסܣܥܧ，סܤܣܦൌൌൌ㌳ι െסܥܣܤൌ䀀㌳ι，
又∵ܣܤൌܣܥǡסܥܣܧൌסܤܣܦൌ䀀㌳ι，
∴ᇞܥܣܧ، ᇞܤܣܦASA ，
∴ܥܧൌܤܦ，
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由（1）知：ܨ为ܤܦ的中点，
∴ܥܧൌܤܦൌʹܤܨ.
【难度】0.45
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】（1）证明ᇞܥܦܨ، ᇞܥܤܨ，即可得出结论；
（2）证明ᇞܥܣܧ، ᇞܤܣܦ，得到ܥܧൌܤܦ，即可得证.
【详解】（1）略
（2）略
1．
【情景问题】如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线ܣܤ上．若ܣܤൌʹꀀ䀀m，
在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点ܥ和点ܥ̵ ，点ܥ到ܣܤ的距离ܥܦ为ʹꀀʹm，点ܥ̵ 到ܣܤ
的距离为ܥ̵ ܨ，ܥ̵ ܨൌܣܦ，则点ܥ̵ 到地面的距离为____________．
【答案】㌳ꀀ͵m
【难度】0.65
【知识点】用HL 证全等（HL）、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意可知，סܥ̵ ܨܣൌ䀀㌳ι，סܣܦܥൌ䀀㌳ι，ܣܥ̵ ൌܣܥ，通过HL 定理可证明Rt ᇞܥ̵ ܨܣ،Rt ᇞܣܦܥ，得出ܣܨൌ
ܥܦൌʹꀀʹm，最后通过线段的和差求出ܤܨ的长即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，סܥ̵ ܨܣൌ䀀㌳ι，סܣܦܥൌ䀀㌳ι，ܣܥ̵ ൌܣܥ．
在Rt ᇞܥ̵ ܨܣ和Rt ᇞܣܦܥ中，
ܥ̵ ܨൌܣܦ，
ܣܥ̵ ൌܣܥ，
∴Rt ᇞܥ̵ ܨܣ،Rt ᇞܣܦܥHL ，
∴ܣܨൌܥܦൌʹꀀʹm．
∵ܣܤൌʹꀀ䀀m，
∴ܤܨൌܣܤെܣܨൌʹꀀ䀀െʹꀀʹ ൌ㌳ꀀ͵m，
即点ܥ̵ 到地面的距离为㌳ꀀ͵m．
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故答案为：㌳ꀀ͵m．
2．【综合应用】如图，点ܧ，ܨ分别在ᇞܣܤܥ的边ܣܥ上，ܣܧൌܧܨ，ܤܧ٣ ܣܥ，过点ܨ作ܨܦ٣ ܤܥ，垂足
为ܦ，且ܧܨൌܨܦ．若סܣൌ͹䀀ι，则סܣܤܥ的度数为__________
【答案】Ͷ䀀ι
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS 综合（SAS）、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】可证得ᇞܤܧܣ، ᇞܤܧܨ与ᇞܤܧܨ، ᇞܤܦܨ，得到סܣൌסܧܨܤൌ͹䀀ι，סܧܨܤൌסܤܨܦൌ͹䀀ι，再计算
出סܣܥܤ，即可求解סܣܤܥ．
【详解】解：∵ܤܧ٣ ܣܥ，
∴סܤܧܣൌסܤܧܨ，
∵ܣܧൌܧܨ，ܤܧൌܤܧ，
∴ᇞܤܧܣ، ᇞܤܧܨSAS ，
∴סܣൌסܧܨܤൌ͹䀀ι，
∵ܨܦ٣ ܤܥ，
∴סܤܧܨൌסܤܦܨൌ䀀㌳ι，
又∵ܧܨൌܨܦ，ܤܨൌܤܨ，
∴ᇞܤܧܨ، ᇞܤܦܨHL ，
∴סܧܨܤൌסܤܨܦൌ͹䀀ι，
∴סܥܨܦൌൌൌ㌳ι െסܧܨܤെסܤܨܦൌൌൌ㌳ι െ͹䀀ι െ͹䀀ι ൌ͵㌳ι，
∴סܣܥܤൌൌൌ㌳ι െסܥܦܨെסܥܨܦൌൌൌ㌳ι െ䀀㌳ι െ͵㌳ι ൌ͸㌳ι，
∴סܣܤܥൌൌൌ㌳ι െסܣെסܣܥܤൌൌൌ㌳ι െ͹䀀ι െ͸㌳ι ൌͶ䀀ι．
3．【添加辅助线】如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上一点，且DE⊥AB 于E，若DE=CD，AB=10，BC=8，
AC=6 则△DEB 的周长为______．
【答案】12．
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】利用“HL”可证得Rt△ACD≌Rt△AED，推出AC=AE=6，可得BE=10-6=4，△BDE 的周长的另一部分
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BD+DE=BD+CD=BC=8，答案可得．
【详解】连接AD
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠DEA=90°，
在Rt△ACD 和Rt△AED 中，
ܥܦൌܦܧ
ܣܦൌܣܦ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
∵BC=8，AC=6，AB=10，
∴BE=10-6=4，
∴△BDE 的周长=BE+DE+BD=BE+CD+BD= BE+BC=4+8=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
4．【动点问题】如图，在ᇞܣܤܥ中סܣൌ䀀㌳ι，ܣܤൌൌʹcm，ܣܥൌ䀀cm，过点B 作ܤܯ٣ ܣܤ．动点E 从A
点出发以͵cm/s 的速度沿射线ܣܤ运动，动点D 在射线ܤܯ上，随着E 点的运动而运动，始终保持
ܧܦൌܥܤ．若点E 的运动时间为t 秒（ݐ‸ ㌳），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ᇞܣܤܥ全等时，t 的值为
________秒．
【答案】
͹
͵、
ൌ͹
͵ 、8
【难度】0.25
【知识点】全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】分当E 在线段ܣܤ上，或当E 在线段ܣܤ延长线上，由HL 证明这两个三角形全等，再结合对应边
相等进行列式计算即可．
【详解】解：∵ܥܣ٣ ܣܤ，ܤܯ٣ ܣܤ，
∴סܥܣܤൌסܦܤܧൌ䀀㌳ι，
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①当E 在线段ܣܤ上时，
如图：若ܤܧൌܣܥൌ䀀，
∵ܧܦൌܥܤ，
∴Rt ᇞܦܧܤ،Rt ᇞܤܥܣHL ，
∵ܣܧൌ͵ݐcm，
∴ܤܧൌܣܤെܣܧൌൌʹ െ͵ݐcm，
∴ൌʹ െ͵ݐൌ䀀，解得：ݐൌ
͹
͵；
若ܤܧൌܣܤൌൌʹ，此时点E 和点A 重合，不符合题意；
②当E 在线段ܣܤ延长线上时，
如图：若ܤܧൌܣܥൌ䀀，
∴Rt ᇞܦܧܤ،Rt ᇞܤܥܣHL ，
∵ܣܧൌ͵ݐൌܣܤ൅ܤܧൌൌʹ ൅䀀ൌൌ͹cm，
∴ݐൌ
ൌ͹
͵ ；
如图：若ܤܧൌܣܤൌൌʹ，
∵ܧܦൌܥܤ，
∴Rt ᇞܦܧܤ،Rt ᇞܥܤܣHL ，
∵ܣܧൌ͵ݐൌܣܤ൅ܤܧൌൌʹ ൅ൌʹ ൌʹͶcm，
∴ݐൌൌ．
小学
初中
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∴当ݐൌ
͹
͵或
ൌ͹
͵ 或8 秒时，ᇞܦܧܤ与ᇞܤܥܣ全等．
5．【方程思想】如图，在ᇞܣܤܥ中，סܥൌ䀀㌳ι，ܣܦ是סܤܣܥ的平分线，交ܤܥ于点D，过D 作ܦܧ٣ ܤܣ于
点E，点F 在ܣܥ上，且ܤܦൌܦܨ．若ܣܤൌ͹ꀀͶ，ܣܨൌൌꀀͶ，求线段ܤܧ的长．
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）
综合（ASA 或者AAS）、全等的性质和HL 综合（HL）
【分析】设ܤܧൌ㤮，先证明ᇞܣܥܦ، ᇞܣܧܦAAS 得到ܣܥൌܣܧ，ܥܦൌܦܧ，再证明ᇞܨܥܦ، ᇞܤܧܦHL 得
到ܥܨൌܤܧൌ㤮，进而列方程求得x 的值即可．
【详解】解：设ܤܧൌ㤮,
∵ܣܦ是סܤܣܥ角平分线，，
∴סܦܣܥൌסܦܣܧ，
∵ܦܧ٣ ܤܣ，
∴סܦܧܣൌסܦܧܤൌ䀀㌳ι，
∵סܥൌ䀀㌳ι，
∴סܥൌסܦܧܣൌ䀀㌳ι，
在ᇞܣܥܦ和ᇞܣܧܦ中，
סܥൌסܦܧܣ
סܦܣܥൌסܦܣܧ
ܣܦൌܣܦ
，
∴ᇞܣܥܦ، ᇞܣܧܦAAS ，
∴ܣܥൌܣܧ，ܥܦൌܦܧ，
在Rt ᇞܨܥܦ和Rt ᇞܤܧܦ中，
ܦܨൌܤܦ
ܥܦൌܦܧ，
∴ᇞܨܥܦ، ᇞܤܧܦHL ，
∴ܥܨൌܤܧൌ㤮，
∵ܣܤൌ͹ꀀͶ，ܣܨൌൌꀀͶ，
∴ൌꀀͶ ൅㤮ൌ͹ꀀͶ െ㤮，解得㤮ൌ͵
即ܤܧൌ͵．
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1．（2023·河北·中考真题）在ᇞܣܤܥ和ᇞܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 中，סܤൌסܤ̵ ൌ͵㌳ι，ܣܤൌܣ̵ ܤ̵ ൌ͸，ܣܥൌܣ̵ ܥ̵ ൌͶ．已
知סܥൌ䁡ι，则סܥ̵ ൌ（
）
A．͵㌳ι
B．䁡ι
C．䁡ι或ൌൌ㌳ι െ䁡ι
D．͵㌳ι或ൌ䀀㌳ι
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和HL 综合（HL）、含30 度角的直角三角形
【分析】过A 作ܣܦ٣ ܤܥ于点D，过ܣ̵ 作ܣ̵ ܦ̵ ٣ ܤ̵ ܥ̵ 于点ܦ̵ ，求得ܣܦൌܣ̵ ܦ̵ ൌ͵，分两种情况讨论，利用
全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A 作ܣܦ٣ ܤܥ于点D，过ܣ̵ 作ܣ̵ ܦ̵ ٣ ܤ̵ ܥ̵ 于点ܦ̵ ，
∵סܤൌסܤ̵ ൌ͵㌳ι，ܣܤൌܣ̵ ܤ̵ ൌ͸，
∴ܣܦൌܣ̵ ܦ̵ ൌ͵，
当ܤ、ܥ在点D 的两侧，ܤ̵ 、ܥ̵ 在点ܦ̵ 的两侧时，如图，
∵ܣܦൌܣ̵ ܦ̵ ൌ͵，ܣܥൌܣ̵ ܥ̵ ൌͶ，
∴Rt ᇞܣܥܦ،Rt ᇞܣ̵ ܥ̵ ܦ̵ HL ，
∴סܥ̵ ൌסܥൌ䁡ι；
当ܤ、ܥ在点D 的两侧，ܤ̵ 、ܥ̵ 在点ܦ̵ 的同侧时，如图，
∵ܣܦൌܣ̵ ܦ̵ ൌ͵，ܣܥൌܣ̵ ܥ̵ ൌͶ，
∴Rt ᇞܣܥܦ،Rt ᇞܣ̵ ܥ̵ ܦ̵ HL ，
∴סܣ̵ܥ̵ ܦ̵ ൌסܥൌ䁡ι，即סܣ̵ܥ̵ ܤ̵ ൌൌൌ㌳ι െסܣ̵ܥ̵ ܦ̵ ൌൌൌ㌳ι െ䁡ι；
综上，סܥ̵ 的值为䁡ι或ൌൌ㌳ι െ䁡ι．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30 度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点ܦ，ܧ分别在ܣܤ，ܣܥ上，סܣܦܥൌסܣܧܤൌ䀀㌳ι，ܤܧ，ܥܦ相交
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于点ܱ
，ܱܤൌܱ
ܥ．
求证：סൌൌסʹ．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵סܣܦܥൌסܣܧܤൌ䀀㌳ι，
∴סܦܱܤ൅סܤൌסܧܱܥ൅סܥൌ䀀㌳ι．
∵סܦܱܤൌסܧܱܥ，
∴סܤൌסܥ．第一步
又ܱ
ܣൌܱ
ܣ，ܱܤൌܱ
ܥ，
∴ᇞܣܤܱ، ᇞܣܥܱ
第二步
∴סൌൌסʹ 第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二
(2)
证明：∵סܣܦܥൌסܣܧܤൌ䀀㌳ι，
∴סܤܦܥൌסܥܧܤൌ䀀㌳ι，
在ᇞܦܱܤ和ᇞܧܱܥ中，
סܤܦܱ
ൌסܥܧܱ
סܦܱܤൌסܧܱܥܱ
ܤൌܱ
ܥ
，
∴ᇞܦܱܤ؆ᇞܧܱܥሺAASሻ，
∴ܱ
ܦൌܱ
ܧ，
在ܴ
ݐᇞܣܦܱ
和ܴ
ݐᇞܣܧܱ
中，ܱ
ܣൌܱ
ܣܱ
ܦൌܱ
ܧ，
∴ܴ
ݐᇞܣܦܱ
؆ܴ
ݐᇞܣܧܱሺHLሻ，
∴סൌൌסʹ．
【难度】0.94
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、全等的性质和HL 综合（HL）
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【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）略
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．