文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 7
14.2 三角形全等的判定（第二课时 ASA AAS）（导学案）
【学习目标】
1.掌握“角边角（ASA）”和“角角边（AAS）”两个三角形全等的判定定理，能区分
两个定理的适用条件。
2.能运用ASA、AAS 判定定理证明两个三角形全等，并解决线段相等、角相等的相关
问题。
3.体会“AAS 可由ASA 推导得出”的逻辑关系，感受数学知识之间的内在联系。
【学习重点】
理解并掌握ASA、AAS 判定定理，能运用两个定理证明三角形全等并解决相关问题。
【学习难点】
1.区分ASA 和AAS 的适用条件，正确书写判定过程的对应条件；
2.能在复杂图形中找到隐含的全等条件，灵活选择判定方法解决问题。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1. 全等三角形判定二
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)
几何语言：
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
∠𝐴= ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝑆𝐴).
2. 全等三角形判定三
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)
几何语言：
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
∠𝐵= ∠𝐸
∠𝐶= ∠𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆).
【课堂探究】
回顾旧知
全等三角形的判定方法
1、定义法 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
几何语言：
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 7
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆).
必须按照边角边的顺序书写
接着昨天的探究，如果两个三角形满足两组角相等和一组边相等，那么它们全等不？
新知探究
1. 两组角相等+一组夹边等
全等
判定两个三角形全等判定二、
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)
几何语言：
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
∠𝐴= ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝑆𝐴).
【提醒】必须按照角边角的顺序书写
2. 两组角相等+一组等角的对边
1.如图𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵= ∠𝐸 ，∠𝐶= ∠𝐹.求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹.
证明：∵∠𝐴= 180° −∠B −∠𝐶,
∠𝐷= 180° −∠E −∠𝐹,
∴∠𝐴= ∠D,
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中， {
∠𝐴= ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝑆𝐴).
观察这道题的条件与结论，对比判定二ASA，你有什么结论了？
判定两个三角形全等判定二、
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)
几何语言：
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
∠𝐵= ∠𝐸
∠𝐶= ∠𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆).
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 7
【提醒】必须按照角角边的顺序书写
典例讲解
例1.如图，𝐴𝐶⊥𝐶𝐵，𝐷𝐵⊥𝐶𝐵，垂足分别为𝐶，𝐵，
(1)若直接用“𝐴𝑆𝐴”证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，则还需添加的条件为___∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷𝐶𝐵____
(2)若直接用“𝐴𝐴𝑆”证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，则还需添加的条件为___∠𝐴＝∠𝐷__________
例2. 如图，𝐵是线段𝐴𝐶的中点，𝐴𝐷∥𝐵𝐸，𝐵𝐷∥𝐶𝐸.求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐸.
证明：∵𝐵是𝐴𝐶的中点，∴𝐴𝐵＝𝐵𝐶.
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐸，𝐵𝐷∥𝐶𝐸，
∴∠𝐴＝∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐷＝∠𝐶.
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，{
∠𝐴= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝐴𝑆𝐴).
例3. 如图𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥𝐸𝐶，𝐴𝐶＝𝐵𝐶，∠𝐸＝∠𝐷，求证：𝐶𝐷＝𝐶𝐸.
证明：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐷𝐶𝐸＝90°.
∴∠𝐴𝐶𝐵＋∠𝐴𝐶𝐷＝∠𝐷𝐶𝐸＋∠𝐴𝐶𝐷，即∠𝐵𝐶𝐷＝∠𝐴𝐶𝐸.
在△𝐵𝐶𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，{
∠𝐷= ∠𝐸
∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆).
∴𝐶𝐷＝𝐶𝐸.
例4. 如图，已知∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵＝ ∠𝐷𝐵𝐶，
(1)求证：∠𝐴＝∠𝐷．
(2)求证：𝑂𝐴＝𝑂𝐷．
证明(1)：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中，
{
∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷𝐶𝐵
𝐵𝐶= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐶𝐵＝ ∠𝐷𝐵𝐶
,
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵 (𝐴𝑆𝐴).
∴∠𝐴＝∠𝐷.
证明(2)：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 7
∴𝐴𝐵＝𝐷𝐶.
在△𝐴𝐵𝑂和△𝐷𝐶𝑂中，{
∠𝐴＝∠𝐷
∠𝐴𝑂𝐵＝ ∠𝐷𝑂𝐶
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
,
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐷𝐶𝑂 (𝐴𝐴𝑆).
∴𝑂𝐴＝𝑂𝐷.
变式训练
1.如图在△𝐴𝐵𝐶中,点𝐷在边𝐵𝐶上，𝐶𝐷＝𝐴𝐵，𝐷𝐸∥𝐴𝐵, ∠𝐷𝐶𝐸＝∠𝐴.求证：𝐷𝐸＝𝐵𝐶.
证明：∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐷𝐶＝∠𝐵.
在△𝐶𝐷𝐸和△𝐴𝐵𝐶中，{
∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐵
𝐶𝐷= 𝐴𝐵
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴
∴△𝐶𝐷𝐸≌△𝐴𝐵𝐶(𝐴𝑆𝐴).
∴𝐷𝐸＝𝐵𝐶
2.如图，点𝐶在𝐵𝐷上，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐸𝐷⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐶𝐸，𝐴𝐵＝𝐶𝐷.求证： 𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐷𝐸.
证明：∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐸𝐷⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐵＝∠𝐷＝∠𝐴𝐶𝐸＝90°.
∴∠𝐷𝐶𝐸＋∠𝐷𝐸𝐶＝90°，∠𝐵𝐶𝐴＋∠𝐷𝐶𝐸＝90°.
∴∠𝐵𝐶𝐴＝∠𝐷𝐸𝐶.
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中 ， {
∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐷𝐸𝐶
∠𝐵= ∠𝐷
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆).
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷, 𝐵𝐶= 𝐷𝐸
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐷𝐸
3.如图点𝐷在𝐴𝐵上，点𝐸在𝐴𝐶上，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐶.
(1)求证𝐴𝐷= 𝐴𝐸.
(2)求证𝑂𝐵= 𝑂𝐶
(3)连接𝐴𝑂,请证明𝐴𝑂平分∠𝐴,𝐴𝑂平分∠𝐷𝑂𝐸
(4)连接𝐵𝐶,请猜测𝐴𝑂与𝐵𝐶的位置关系，并证明
证明(1)：在△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐵𝐸中，
{
∠𝐴= ∠𝐴
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∠𝐶= ∠𝐵
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 7
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸(𝐴𝑆𝐴)
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸
证明(2)：∵𝐵𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐷, 𝐶𝐸= 𝐴𝐶−𝐴𝐸
又∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸,∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸
在△𝐵𝑂𝐷和△𝐶𝑂𝐸中，{
∠𝐵= ∠𝐶
∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐸
𝐵𝐷= 𝐶𝐸
∴△𝐵𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸(𝐴𝐴𝑆)
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶
法一、证明(3)：在△𝐴𝐵𝑂和△𝐴𝐶𝑂中，{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝑂= 𝐶𝑂
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝑂 (𝑆𝐴𝑆)
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂, ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴𝑂𝐶
∵∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐵𝑂𝐷, ∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐴𝑂𝐶−∠𝐶𝑂𝐸
∵∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐸
∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐸
∵∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂, ∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐸
∴𝐴𝑂平分∠𝐴,𝐴𝑂平分∠𝐷𝑂𝐸
法二、∵△𝐵𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐸, ∠𝐵𝐷𝑂= ∠𝐶𝐸𝑂
∵∠𝐴𝐷𝑂= 180° −∠𝐵𝐷𝑂, ∠𝐴𝐸𝑂= 180° −∠𝐶𝐸𝑂
∴∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝐴𝐸𝑂
在△𝐴𝐷𝑂和△𝐴𝐸𝑂中，{
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝐴𝐸𝑂
𝐷𝑂= 𝐸𝑂
∴△𝐴𝐷𝑂≌△𝐴𝐸𝑂 (𝑆𝐴𝑆)
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂, ∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐸
∴𝐴𝑂平分∠𝐴,𝐴𝑂平分∠𝐷𝑂𝐸
解(4)：结论：𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，理由如下：
延长𝐴𝑂 ，并与𝐵𝐶相交于点𝐹
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹中，{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐹 (𝑆𝐴𝑆)
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶
∵∠𝐴𝐹𝐵+ ∠𝐴𝐹𝐶= 180°
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°
∴𝐴𝑂⊥𝐵𝐶
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 7
【课堂总结】
【课堂练习】
1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵＝∠𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，过点𝐷分别向𝐴𝐵，𝐴𝐶作垂线段𝐷𝐸，𝐷𝐹，则能够直
接判定△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹的理由是__𝐴𝐴𝑆________
2.如图，𝐸为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶的中点，𝐶𝑁∥𝐴𝐵，过点𝐸作直线交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐶𝑁于点𝑁.若𝑀𝐵＝6𝑐𝑚，
𝐶𝑁＝4𝑐𝑚，则𝐴𝐵=__10___𝑐𝑚.
3.如图，要测量河两岸相对的两点𝐴，𝐵间的距离，先从𝐵处出发沿与𝐴𝐵成90°的方向前进10𝑚到𝐶处
立一标杆，然后方向不变继续朝前走10𝑚到𝐷处，在𝐷处转90°沿𝐷𝐸方向再走17𝑚到达𝐸处，使得𝐴(目标
物)，𝐶(标杆)与𝐸在同一直线上，那么可得𝐴，𝐵间的距离是______17________𝑚.
4.如图，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐵𝐸//𝐷𝐹，𝐴𝐸＝𝐶𝐹，求证：△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸.
证明： ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐵𝐸//𝐷𝐹，
∴∠𝐴＝∠𝐶，∠𝐴𝐹𝐷＝∠𝐶𝐸𝐵.
∵𝐴𝐸＝𝐶𝐹,
∴𝐴𝐸+ 𝐸𝐹＝𝐶𝐹+ 𝐸𝐹，即𝐴𝐹＝𝐶𝐸.
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐵𝐸中，{
∠𝐴＝∠𝐶，
𝐴𝐹= 𝐶𝐸，
∠𝐴𝐹𝐷＝∠𝐶𝐸𝐵，
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(𝐴𝑆𝐴).
5.如图已知点𝐴，𝐹，𝐸，𝐶在同一直线上，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐸＝∠𝐶𝐷𝐹，𝐴𝐹＝𝐶𝐸.
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹
(2)求证：△𝐶𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐹
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 7
证明(1)：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∴∠𝐵𝐴𝐸＝∠𝐷𝐶𝐹.
∵𝐴𝐹＝𝐶𝐸，
∴𝐴𝐹＋𝐸𝐹＝𝐶𝐸＋𝐸𝐹，即𝐴𝐸＝𝐶𝐹.
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中， {
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐶𝐹
𝐴𝐸= 𝐶𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝐴𝑆)．
证明(2)：∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝐴𝑆)．
∴∠𝐵𝐸𝐴＝∠𝐷𝐹𝐶, 𝐵𝐸= 𝐷𝐹
∵∠𝐵𝐸𝐶= 180° −∠𝐵𝐸𝐴, ∠𝐷𝐹𝐴= 180° −∠𝐷𝐹𝐶
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐷𝐹𝐴，
在△𝐶𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐹中， {
𝐵𝐸= 𝐷𝐹
∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐷𝐹𝐴
𝐶𝐸= 𝐴𝐹
∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
小学
初中
