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13.3 三角形的内角与外角
知识点一 三角形内角和定理
定理内容：三角形三个内角的和等于180°．
常用证明思路（转化思想）：通过添加平行线，将三角形三个内角转化为一个平角180°
或一组同旁内角完成证明．
常见辅助线：过三角形一个顶点作对边的平行线．
几何语言：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
基本应用：已知三角形其中两个内角，可直接求第三个内角；已知内角度数关系，可列
方程求解角度．
归纳总结
把三角形三个分散的内角，通过作辅助线拼接转化为平角180°或一组同旁内角（和
为180°），利用平角定义、平行线性质完成证明．
知识点二 直角三角形的性质与判定
性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）．
几何语言：在Rt△ABC 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°．
判定：（1）有两个角互余的三角形是直角三角形．
几何语言：在△ABC 中，若∠A+∠B=90°，则△ABC 为直角三角形．
（2）有一个角为90°的三角形是直角三角形．
（3）两边垂直的三角形是直角三角形．
拓展延伸
任意三角形中，最多有1 个直角、1 个钝角；最少有2 个锐角
特别提醒
1．直角三角形有且只有一个直角，另外两个角都是锐角，且两个锐角互余．
避坑：任意三角形至少有两个锐角，不能仅凭“有锐角”判定三角形类型．
第十三章
三角形
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2．Rt△ABC 特指直角三角形ABC，默认∠C 为直角（常规写法）；描述角度时必须指
明直角位置．
知识点三 三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．每个三角形有
6 个外角，同一顶点处的两个外角相等；外角与相邻内角互为邻补角，和为180°．
外角两大性质：（1）性质1（计算核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和．
（2）性质2（大小比较）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
特别提醒
1．三角形的外角是三角形一边与另一边的延长线组成的角；顶点必须是三角形的顶
点，一条边为三角形原边，另一条边为原边的延长线．
避坑：单纯在三角形外部的角，不满足边与延长线组合的，不是外角；每个顶点有2
个相等的外角，一个三角形共6 个外角．
2．三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者和为180°
易错点 1 内角和定理运算顺序错误
错例： 已知三角形两个角分别为50°和60°，求第三个角。
学生解答：∠C = 180° − 50° + 60° = 190°
错因： 将”减去两个角”误算为”减一个加一个”，运算符号看错。
规避方法： 列式写成 ∠C = 180° − (50° + 60°) = 70°，先求两角和再减，减少符号错误。
易错点 2 等腰三角形”已知一角”不分类讨论
错例： 等腰三角形一个角为40°，求其他两个角。
学生解答：(180° − 40°) ÷ 2 = 70°，另外两个角均为70°。
错因： 未讨论40°是顶角还是底角，漏解。
规避方法： 分两种情况：① 40°为顶角 → 底角 = (180°−40°)/2 = 70°；② 40°为底角 →
顶角 = 180°−40°×2 = 100°。答案：70°、70° 或 40°、100°。
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易错点 3 直角三角形两锐角关系混淆
错例： 直角三角形中，一个锐角是另一个的3 倍，求各锐角。
学生解答：设两锐角为x 和3x，x + 3x = 180°，x = 45°。
错因： 未利用”直角三角形两锐角互余（和为90°）“，错误使用180°。
规避方法： 直角三角形中两锐角之和 = 90°。列方程 x + 3x = 90°，解得 x = 22.5°，3x =
67.5°。
易错点 4 外角定理与邻补角关系混淆
错例： 三角形一个外角为120°，求与之不相邻的两个内角之和。
学生解答：180° − 120° = 60°。
错因： 混淆了”外角 + 相邻内角 = 180°“与”外角 = 不相邻两内角之和”，用邻补角关系求出
了
相邻内角，却当成了不相邻两内角之和。
规避方法： 明确两个定理：① 外角 + 相邻内角 = 180°（邻补角）；② 外角 = 不相邻两内角之
和。本题中不相邻两内角之和 = 外角 = 120°。
易错点 5 外角定理逆用方向错误
错例： 三角形中∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C 的外角。
学生解答：∠C 的外角 = ∠A − ∠B = 50° − 60° = −10°。
错因： 外角定理是”外角 = 不相邻两内角之和”，学生误用为”差”。
规避方法： 外角定理：∠C 的外角 = ∠A + ∠B = 50° + 60° = 110°。牢记是”和”不是”
差”。
题型一：三角形内角和定理的证明
方法技巧
1.快速判断法（最常用）：把三角形三个分散的内角，通过作辅助线拼接转化为平
角180°或一组同旁内角（和为180°），利用平角定义、平行线性质完成证明．。
2.过顶点作对边平行线，利用平行线性质，将三个内角拼接成平角。
1．李想同学想知道三角形𝐴𝐵𝐶内角和的度数，下面拼法中正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为180°．
【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角，
∵平角等于180∘，
∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角，
A 选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意；
B 选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意；
C 选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意；
D 选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意．
2．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的
数学思想主要是（ ）
A．转化思想
B．分类讨论思想
C．方程思想
D．整体思想
【答案】A
【分析】本题考查常见数学思想的识别，解题关键是理解剪拼验证三角形内角和过程的本质.
【详解】解：∵剪拼过程中，将三角形内角和未知问题转化为已知的平角（180°）推导，把陌生问题转化
为熟悉已知问题解决，符合转化思想的特征，符合题意；
分类讨论思想需要分多种情况讨论，方程思想是通过建立方程求解，整体思想是将部分看作整体研究，均
不符合该过程.
3．如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质解答即可．
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【详解】解：A、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴= ∠2, ∠𝐵= ∠1，
∵∠1 + ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠2 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
B、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵= ∠3,∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
C、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= ∠5, ∠𝐶= ∠4，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠4 + ∠5 = 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
D、无法证明三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项符合题意.
4．定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠𝐶𝐸𝐷、∠𝐶、∠𝐷是△𝐶𝐸𝐷的三个内角．
求证：∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐷= 180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠𝐵𝐸𝐶；③上述证明得到的结论，只有在锐
角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
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A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠2 = ∠𝐷，∠1 + ∠𝐵𝐸𝐶= 180°，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E 作直线𝐴𝐵，使得𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠2 = ∠𝐷（两直线平行，内错角相等），
∴∠1 + ∠𝐵𝐸𝐶= 180°，
∴∠1 + ∠𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐷= 180°．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示∠𝐵𝐸𝐶，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④．
题型二：与平行线有关的三角形内角和问题
方法技巧
1．找平行线：确定图中互相平行的直线，标注平行关系；
2．转角度：借助同位角、内错角、同旁内角，把分散的角转移到同一个三角形
中；.
3．套定理：结合三角形内角和180°、直角互余、外角性质列等式；
4．计算/列方程：已知角度直接计算，未知角度设未知数求解．
1．如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°, ∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
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【答案】B
【分析】根据平行线的性质得到∠1 = ∠4 = 50°，根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：如图，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠1 = ∠4 = 50°，
∵∠3 = 100°，
∴∠2 = 180° −∠3 −∠4 = 30°．
2．如图，直线𝑎∥𝑏，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，若∠1 = 130°，则∠2等于（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】D
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠𝐶𝐵𝐷的度数，再根据三角形的内角和为180 度，即可
解答．
【详解】解：∵直线𝑎∥𝑏，∠1 = 130°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 180° −∠1 = 50°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠2 = 180° −∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐷𝐵= 180° −50° −90° = 40°．
3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1 = 55°，则∠2的度数是（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
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【答案】D
【详解】解：如图，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠3 = ∠1 = 55°，
∴∠4 = 180° −90° −55° = 35°，
∴∠2 = ∠4 = 35°．
4．如图，直线𝑎∥𝑏，直线𝑐与直线𝑎，𝑏分别相交于点𝐴，𝐵，𝐴𝐶⊥𝑏，垂足为𝐶．若∠1 = 44°17′，则∠2 =
（ ）．
A．46°43′
B．45°43′
C．45°83′
D．44°17′
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到∠𝐴𝐵𝐶= ∠1 = 44°17′，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：∵𝑎∥𝑏，𝐴𝐶⊥𝑏，∠1 = 44°17′，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠1 = 44°17′，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠2 = 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐵𝐶= 45°43′.
题型三：结合角平分线求角度
方法技巧
角平分线等分内角，先求半角，再结合内角和、外角性质计算．
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
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A．49°
B．50°
C．51°
D．52°
【答案】C
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −28° −50° = 102°，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2 × 102° = 51°．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂，𝐶𝑂是△𝐴𝐵𝐶的角平分线且𝐵𝑂，𝐶𝑂相交于点O，∠𝐴= 80°，求∠𝐵𝑂𝐶的度数
（ ）
A．120°
B．100°
C．110°
D．130°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理得到∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 100°，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理
计算．
【详解】解：∵𝐵𝑂，𝐶𝑂是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)．
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 100°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180° −
1
2 × 100° = 130°．
3．如图， 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸, 𝐶𝐹是角平分线，𝐵𝐸, 𝐶𝐹相交于点 G， 则∠𝐵𝐺𝐶与∠𝐴之间的数量关系正确的
是（ ）
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A．∠𝐵𝐺𝐶= 2∠𝐴
B．∠𝐵𝐺𝐶= 180° −∠𝐴
C．∠𝐵𝐺𝐶= 90° +
1
3 ∠𝐴
D．∠𝐵𝐺𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐴
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可得
∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 90° −
1
2 ∠𝐴，即可求解．
【详解】解：∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴，
∵𝐵𝐸, 𝐶𝐹是角平分线，
∴∠𝐶𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2 (180° −∠𝐴) = 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴∠𝐵𝐺𝐶= 180° −(∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹) = 180° −(90° −
1
2 ∠𝐴) = 90° +
1
2 ∠𝐴．
4．如图，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，若∠𝐸𝐴𝐶= 63°，∠𝐵= 37°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数为
（ ）
A．26°
B．27°
C．36°
D．37°
【答案】A
【分析】该题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐷，结合角平分线求出∠𝐴𝐶𝐵，
根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，∠𝐸𝐴𝐶= 63°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180° −90° −63° = 27°，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
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∴∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷= 27°，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐷= 54°，
∵∠𝐵= 37°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −54° −37° = 89°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 89° −63° = 26°.
题型四：三角形折叠中的角度问题
方法技巧
1．标角：把折叠产生的相等角，用相同字母/数字统一标注；
2．找平角：折叠处的折线在原三角形边上，形成平角180°，列出角度等式；
3．套定理求解：结合三角形内角和180°计算．
1．如图，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐷𝐸折叠，使点𝐵与点𝐶重合，若∠𝐴= 76°，∠𝐶= 32°，则∠𝐴𝐵𝐸的度数为（ ）
A．40°
B．32°
C．30°
D．45°
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理．
根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶= 72°，根据折叠的性质得到∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶= 32°，即可求出∠𝐴𝐵𝐸的度
数．
【详解】解：∵∠𝐴= 76°，∠𝐶= 32°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 180° −76° −32° = 72°，
∵将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐷𝐸折叠，使点𝐵与点𝐶重合，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶= 32°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 40°．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 61°，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸翻折后，点A 落在𝐵𝐶边上的点F 处，若∠𝐷𝐸𝐹= 52°，
则∠𝐵𝐷𝐹的度数为（ ）
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A．58°
B．46°
C．50°
D．32°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述
知识点并能熟练运用求解．
先利用折叠的性质求出∠𝐷𝐹𝐸，从而可利用三角形内角和定理求出∠𝐹𝐷𝐸，再利用折叠的性质求得∠𝐵𝐷𝐹．
【详解】解：∵∠𝐴= 61°，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸翻折后，点A 落在𝐵𝐶边上的点F 处，
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐴= 61°，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸，
∵∠𝐷𝐸𝐹= 52°，
∴∠𝐹𝐷𝐸= 180° −∠𝐷𝐸𝐹−∠𝐷𝐹𝐸= 180° −52° −61° = 67°，
∴∠𝐵𝐷𝐹= 180° −∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐹𝐷𝐸= 180° −67° −67° = 46°.
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，M，N 分别是边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的点，将△𝐵𝑀𝑁沿𝑀𝑁折叠；使点B 落在点𝐵′处，若
∠𝐵= 35°，∠𝐵𝑁𝑀= 28°，则∠𝐴𝑀𝐵′的度数为（ ）
A．10°
B．37°
C．54°
D．63°
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得∠𝐵𝑀𝑁的度数，由平
角的定义可得∠𝐴𝑀𝑁的度数，再由折叠的性质可得∠𝐵′𝑀𝑁的度数，据此由角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵∠𝐵= 35°，∠𝐵𝑁𝑀= 28°，∠𝐵+ ∠𝐵𝑁𝑀+ ∠𝐵𝑀𝑁= 180°，
∴∠𝐵𝑀𝑁= 117°，
∴∠𝐴𝑀𝑁= 180° −∠𝐵𝑀𝑁= 63°，
由折叠的性质可得∠𝐵′𝑀𝑁= ∠𝐵𝑀𝑁= 117°，
∴∠𝐴𝑀𝐵′ = ∠𝐵′𝑀𝑁−∠𝐴𝑀𝑁= 54°．
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4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 34°，∠𝐶= 42°，𝐷是𝐵𝐶边上一点，连接𝐴𝐷．将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠后，点𝐵落
到点𝐸处，若𝐷𝐸∥𝐴𝐶，则∠𝐴𝐷𝐵的度数为（ ）
A．106°
B．110°
C．111°
D．113°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据三角形的内角和得到∠𝐵𝐴𝐶= 104°，由折叠的性质得到∠𝐸= ∠𝐵= 34°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐸=
∠𝐴𝐷𝐵，，根据平行线的性质得到∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐸= 34°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵∠𝐵= 34°，∠𝐶= 42°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 104°，
由折叠的性质得，∠𝐸= ∠𝐵= 34°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵，
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐸= 34°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 (∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸) = 35°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐷= 111°．
题型五：三角形三角形内角和定理的应用
方法技巧
直接套用∠A+∠B+∠C=180°，已知两角求第三角；遇角度比例、倍数关系，设未知数
列方程求解．
1．民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽象为等腰三角形，若等腰三角形
的一个底角为70°，则其顶角的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】A
【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，即可计算出顶角度数．
【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为70°，
∴该等腰三角形两个底角的和为2 × 70° = 140°，
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又∵任意三角形的内角和为180°，
∴顶角的度数为180° −140° = 40°．
2．如果三角形的三个内角分别是(2𝑥−𝑦)°，(𝑥+ 𝑦)°，𝑥°，则x 的值为（ ）
A．40
B．45
C．50
D．55
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理，将三个内角相加等于180°，化简后即可求出𝑥的值.
【详解】解：∵三角形的内角和为180°，
∴(2𝑥−𝑦)° + (𝑥+ 𝑦)° + 𝑥° = 180°，
∴2𝑥−𝑦+ 𝑥+ 𝑦+ 𝑥= 180，
∴4𝑥= 180，
解得𝑥= 45，
因此𝑥的值为45.
3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G 的方向竖直向下，支持力𝐹1的方向与斜面垂
直，摩擦力𝐹2的方向与斜面平行．若斜面的坡角𝛼= 25°，则摩擦力𝐹2与重力G 方向的夹角𝛽的度数为
（ ）
A．165°
B．155°
C．120°
D．115°
【答案】D
【分析】由平行线的性质及三角形内角和的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵摩擦力𝐹2的方向与斜面平行，
∴∠1 = ∠𝛽，
∵重力G 的方向竖直向下，
∴重力G 的方向与地面垂直，
∴∠3 = 90°，
∵∠𝛼+ ∠2 + ∠3 = 180°，∠1 + ∠2 = 180°，
∴∠𝛽= ∠1 = ∠𝛼+ ∠3 = 25° + 90° = 115°．
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4．创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款电脑支撑架，我们可以通过改变面板张角的大
小来调节视角舒适度．若张角∠𝐵𝐶𝐷= 70°，支撑杆𝐶𝐵 与桌面夹角∠𝐵= 65°，那么此时面板𝐶𝐷与水平方
向夹角∠1的度数为（ ）
A．45°
B．55°
C．65°
D．70°
【答案】A
【分析】设过点𝐷的水平线交𝐵𝐶于点𝐸，则𝐷𝐸∥𝐴𝐵，则∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵= 65°，再根据三角形内角和定理即可
求解．
【详解】解：如图，设过点𝐷的水平线交𝐵𝐶于点𝐸，则𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵= 65°，
∴∠1 = 180° −∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐶𝐸𝐷= 180° −70° −65° = 45°．
题型六：直角三角形的两锐角互余
方法技巧
关键抓住直角三角形在两锐角的和为90°
1．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若∠𝐴= 42°，则∠𝐵的度数为（ ）
A．38°
B．48°
C．58°
D．68°
【答案】B
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【分析】已知直角∠𝐶和∠𝐴的度数，用90°减去∠𝐴的度数即可求出∠𝐵的度数．
【详解】∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,∠𝐴= 42°，
∴∠𝐵= 90° −∠𝐴= 90° −42° = 48°．
2．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，∠𝐵是∠𝐴的2倍，则∠𝐴的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60∘
D．75∘
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质，利用直角三角形两锐角互余，结合题目给出的角度倍数关系即可求
解．
【详解】∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90∘，
∵∠𝐵= 2∠𝐴，
∴∠𝐴+ 2∠𝐴= 90∘，
3∠𝐴= 90∘，
∴∠𝐴= 30∘．
3．直角三角形两锐角的差是20°，则较大的锐角度数是（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【答案】C
【分析】本题利用直角三角形两锐角互余的性质，通过设未知数列一元一次方程即可求出较大锐角的度
数．
【详解】解：设较大的锐角度数为𝑥°，
∵直角三角形两锐角和为90°，两锐角差为20°，
∴较小锐角度数为(𝑥−20)° ，
列方程得 𝑥+ (𝑥−20) = 90 ，
整理得 2𝑥= 110，
解得 𝑥= 55，
∴较大的锐角度数是55°．
4．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴−∠𝐵= 10°，则∠𝐴的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【答案】B
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【分析】根据直角三角形的性质得到∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∵∠𝐴−∠𝐵= 10°，
∴{∠𝐴+ ∠𝐵= 90°
∠𝐴−∠𝐵= 10°
，
解得：∠𝐴= 50°．
题型七：直角三角形的判定
方法技巧
定义法：有一个角是直角
性质法：两角互余⟺ 三角形为直角三角形
1．下列条件不能判定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐶
B．∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 3: 4: 5 C．∠𝐴= 90° −∠𝐵 D．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：选项A：
∵∠𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐶，且∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴ 2∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故选项A 不符合题意；
选项B：
∵∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 3: 4: 5，3 + 4 + 5 = 12，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴△𝐴𝐵𝐶中最大的角为∠𝐶= 180° ×
5
12 = 75°，
∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，
故选项B 符合题意；
选项C：
∵∠𝐴= 90° −∠𝐵，
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∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
又∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 180° −90° = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故选项C 不符合题意；
选项D：
∵∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐶，
又∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴ 2∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故选项D 不符合题意．
故选：B．
2．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=
1
2 ∠𝐵=
1
3 ∠𝐶，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得∠𝐶，即可求解．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=
1
2 ∠𝐵=
1
3 ∠𝐶，
∴∠𝐵= 2∠𝐴，∠𝐶= 3∠𝐴，
∴∠𝐴+ 2∠𝐴+ 3∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴= 30°，
∴∠𝐵= 30° × 2 = 60°，∠𝐶= 30° × 3 = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
3．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
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设△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= ∠𝐵−∠𝐶，则∠𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐶，由三角形的内角和定理，即可判断三角形的形状．
【详解】解：不妨设△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= ∠𝐵−∠𝐶，则∠𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐶，
又∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴2∠𝐵= 180°，
∴∠𝐵= 90°，
∴ 三角形为直角三角形．
4．在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= ∠𝐵，且∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由∠𝐴= ∠𝐵且∠𝐴+ ∠𝐵= 90°可求各角度数，
从而判断三角形形状．
【详解】解：∵∠𝐴= ∠𝐵，设∠𝐴= ∠𝐵= 𝑥，
又∵∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴2𝑥= 90°，
∴𝑥= 45°，
∴∠𝐴= 45°，∠𝐵= 45°，
∴∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形．
题型八：三角形外角的定义及性质
方法技巧
性质法：外角 = 两个不相邻内角之和，直接代入计算
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，延长𝐵𝐶至点D，若∠𝐴= 48°，∠𝐵= 53°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
A．91°
B．101°
C．136°
D．126°
【答案】B
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【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 48° + 53° = 101°．
2．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1 = 120°，则∠2的度数是
（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．120°
【答案】B
【详解】解：由题意可得：∠2 = ∠1 −90° = 120° −90° = 30°.
3．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板𝐴𝐵𝐶按如图所示的位置放置，如果∠𝐶𝐷𝐸= 50°，那么∠𝐵𝐴𝐹的
大小为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
【答案】C
【分析】由题意可确定𝐷𝐸∥𝐴𝐹，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵𝐷𝐸∥𝐴𝐹，∠𝐶𝐷𝐸= 50°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐵= 20°．
4．图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的示意图，座椅靠背𝐸𝐹与地面𝐴𝐵垂直，小桌板𝐶𝐷与地面𝐴𝐵
平行，小桌板支撑杆𝐷𝐹与桌面𝐷𝐶的夹角∠𝐶𝐷𝐹= 125°，则座椅靠背𝐸𝐹与小桌板支撑杆𝐷𝐹形成的夹角
∠𝐸𝐹𝐷的度数是（ ）
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A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】D
【分析】延长𝐶𝐷交𝐵𝐸于点𝑇，先由平行线的性质求解∠𝐷𝑇𝐵= 180° −∠𝐵= 90°，再由三角形的外角性质
求解即可．
【详解】解：如图，延长𝐶𝐷交𝐵𝐸于点𝑇，由题意得∠𝐵= 90°
∵𝐶𝐷∥𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝑇𝐵= 180° −∠𝐵= 90°，
∵∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷+ ∠𝐷𝑇𝐵，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐷𝑇𝐵= 125° −90° = 35°．
