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分层作业
14.2 三角形全等的判定(第二课时 ASA AAS)
目 录
A 组 巩固过关
题型01 利用ASA 或AAS 判定全等
题型02 ASA 或AAS 判定在实际生活中的应用
题型03 利用ASA 或AAS 求线段长度
题型04 一线三垂直
题型05 利用ASA 或AAS 解决综合问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
利用ASA 或AAS 判定全等
1.手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形
中，和老师的三角形全等的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．乙和丙
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用SAS 证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答．
题型01
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【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边
的夹角，所以不能判定其全等；
乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等；
丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等，
所以，和老师的三角形全等的是乙和丙．
2．如图，已知点𝐷, 𝐸分别在𝐴𝐵, 𝐴𝐶上，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，图中添加一个条件后可得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，则添加的这
个条件不可能是（ ）
A．∠𝐵= ∠𝐶
B．𝐷𝐵= 𝐸𝐶
C．∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵
D．𝐷𝐶= 𝐸𝐵
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者
AAS）、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】分析条件可知，𝐴𝐷= 𝐴𝐸, ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，根据三角形全等判定条件确定．
【详解】解：根据题意知，𝐴𝐷= 𝐴𝐸, ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
A，∠𝐵= ∠𝐶，满足AAS，可证全等，不符合题意；
B，𝐷𝐵= 𝐸𝐶，则𝐴𝐵= 𝐴𝐶，满足SAS，不符合题意；
C，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵，满足ASA，可证全等，不符合题意；
D，𝐷𝐶= 𝐸𝐵，不满足任一判定条件，不能证全等，符合题意．
ASA 或AAS 判定在实际生活中的应用
3.如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带
________（填序号①②③）．
【答案】①
题型02
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【难度】0.65
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者
AAS）
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案．
【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“ASA”可以作出
与原三角形全等的三角形；
②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形
全等的三角形．
4.如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点𝑂处用电钻打孔，墙壁厚35 cm（即𝑂𝐴= 35 cm，𝑂𝐴平行于地面），
点𝐴与地面的距离为40 cm，要使钻头从墙壁对面距地面18 cm的点𝐵处打出（𝐴𝐵⊥𝑂𝐴）．工人师傅的具体
做法如下：在与地面平行的方向上截取𝑂𝐶= 35 cm，再过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑂𝐶，连结𝐷𝑂，然后沿着𝐷𝑂的方向打
孔，要使钻头正好从满足要求的点𝐵处打出，则𝐶𝐷的长为（ ）
A．40 cm
B．35 cm
C．22 cm
D．17 cm
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】证明△𝐴𝐵𝑂≅△𝐶𝐷𝑂即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵⊥𝑂𝐴，𝐶𝐷⊥𝑂𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶= 90°，
∵𝑂𝐴, 𝑂𝐶都与地面平行，
∴𝐴, 𝑂, 𝐶三点共线，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
在△𝐴𝐵𝑂和△𝐶𝐷𝑂中，
{
∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷
𝑂𝐴= 𝑂𝐶
∴△𝐴𝐵𝑂≅△𝐶𝐷𝑂(ASA)
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 40 −18 = 22(cm)，
∴𝐶𝐷= 22cm．
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利用ASA 或AAS 求线段长度
5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷在𝐵𝐶边上，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，交𝐵𝐶的延长线
于点𝐹，𝐴𝐵= 𝐸𝐹．若𝐷𝐸= 4，𝐵𝐹= 8，则𝐶𝐹的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【难度】0.63
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐸𝐷(AAS)，得到𝐷𝐸= 𝐵𝐶= 4，最后根据𝐶𝐹= 𝐵𝐹−𝐵𝐶= 8 −4 = 4求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，∠𝐵+ ∠𝐹= 90°，∠𝐵+ ∠𝐴= 90°，
∴∠𝐹= ∠𝐴，
∵𝐴𝐵= 𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐶，
∵𝐷𝐸= 4，𝐵𝐹= 8，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐶= 4，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐹−𝐵𝐶= 8 −4 = 4．
6 如图．点A，B，C，D 在同一条直线上，点E，F 分别在直线𝐴𝐵的两侧，且𝐴𝐸= 𝐵𝐹，∠𝐴= ∠𝐵．∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹．
若𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 2，则𝐶𝐷的长为_____________．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
题型03
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【分析】直接利用AAS证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹即可；根据全等三角形的性质得到𝐵𝐷= 𝐴𝐶= 2，则𝐶𝐷= 𝐴𝐵−
𝐴𝐶−𝐵𝐷= 4．
【详解】证明：在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐷𝐹中，
{
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹(AAS)；
解：∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹，𝐴𝐶= 2，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐶= 2，
又∵𝐴𝐵= 8，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶−𝐵𝐷= 4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
7.如图，AC 平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，垂足分别为B，D．若𝐴𝐵= 4，𝐶𝐷= 3，则四边形ABCD 的
面积为____________．
【答案】12
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】由角平分线的定义和垂直的定义求出∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐵= ∠𝐷，结合已知条件，利用“AAS”即可
求证；由全等三角形的性质得𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 4, 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 3，根据三角形的面积公式求出𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐶𝐷，再
根据四边形ABCD 的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷求解即可．
【详解】∵ AC 平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐵= ∠𝐷，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐶(AAS)；
∵△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐶，𝐴𝐵= 4, 𝐶𝐷= 3，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 4, 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 3，
∵∠𝐵= ∠𝐷= 90°，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 ⋅𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=
1
2 × 4 × 3 = 6，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 ⋅𝐴𝐷⋅𝐶𝐷=
1
2 × 4 × 3 = 6，
∴四边形ABCD 的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 6 + 6 = 12．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．
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一线三垂直
8.如图，在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐹中，点𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，∠𝐸= ∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶．若𝐴𝐸= 3，
𝐵𝐹= 6，则𝐸𝐹=_______．
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余
【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐹，结合已知条件利用AAS证明△
𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解．
【详解】解：点𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 180° −90° = 90°，
∵在Rt △𝐴𝐶𝐸中，∠𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐶𝐵𝐹中，
{
∠𝐸= ∠𝐹= 90°
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹= 6，𝐶𝐹= 𝐴𝐸= 3，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 6 + 3 = 9．
9.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 为𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐷．过点B 作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于点E，
过点C 作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷交𝐴𝐷的延长线于点F．若𝐵𝐸= 4，𝐶𝐹= 1，则𝐸𝐹的长度为___________．
【答案】3
题型04
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【难度】0.85
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】证明△𝐴𝐹𝐶≌△𝐵𝐸𝐴，得到𝐵𝐸= 𝐴𝐹, 𝐶𝐹= 𝐴𝐸，即可得解．
【详解】解： ∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐸𝐴𝐶= 90°，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐸𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸，
在△𝐴𝐹𝐶和△𝐵𝐸𝐴中：
{
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐹𝐴
∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐹𝐶≌△𝐵𝐸𝐴(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐸= 4, 𝐴𝐸= 𝐶𝐹= 1，
∴𝐸𝐹= 𝐴𝐹−𝐴𝐸= 4 −1 = 3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全
等是解题的关键．
利用ASA 或AAS 解决综合问题
10．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐴𝐷与𝐶𝐸交于点𝐹，且𝐴𝐵= 𝐶𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷；
(2)已知𝐵𝐶= 8，𝐴𝐷= 5，求𝐴𝐹的长．
【答案】(1)
证明：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐹𝐷中，
题型05
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{
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐹𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐹= 90°
𝐴𝐵= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷(AAS)；
(2)2
【难度】0.65
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键．
（1）由同角的余角相等得出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，再利用AAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷即可；
（2）由全等三角形的性质可得𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 5，𝐷𝐹= 𝐵𝐷，由此计算即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 5，𝐷𝐹= 𝐵𝐷，
∵𝐵𝐶= 8，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= 3，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷−𝐷𝐹= 2．
11.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，且𝐵𝐸与𝐶𝐹交于点G．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹；
(2)若∠𝐴= 50°，求∠𝐵𝐺𝐹的度数．
【答案】(1)
证明：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= ∠𝐴，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(AAS)；
(2)50°
【难度】0.85
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
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（1）由三角形的高的定义得到∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，再利用AAS即可证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹；
（2）根据三角形的高的定义得到∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠𝐴𝐵𝐸的度数，
进而可求出∠𝐵𝐺𝐹的度数．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
∵∠𝐴= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 90° −∠𝐴= 40°，
∴∠𝐵𝐺𝐹= 90° −∠𝐹𝐵𝐺= 50°．
1． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，垂足分别是D，E，AD，CE 交于点H．已知𝐸𝐻= 𝐸𝐵= 4，𝐴𝐸= 6，
则CH 的长为（ ）
A．1
B．2
C．
3
5
D．
5
3
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD=∠BCE，则可根据“AAS”证明△BCE≌△HAE，则CE=AE=6，然
后计算CE-HE 即可．
【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠ADB=90°，
∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△BCE 和△HAE 中，
{
∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐻
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐸𝐴𝐻
𝐵𝐸= 𝐸𝐻
，
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∴△BCE≌△HAE(AAS)，
∴CE=AE=6，
∴CH=CE-HE=6-4=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工
具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
2.如图， 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐵𝐶于D，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，若𝐴𝐵= 9cm，则△𝐷𝐸𝐵
的周长是 （ ）
A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．9cm
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】先利用“角角边”证明△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐸𝐷全等，根据全等三角形对应边相等可得𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐶𝐷= 𝐷𝐸，
然后求出𝐵𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐴𝐸，进而可得△𝐷𝐸𝐵的周长．
【详解】解：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐸𝐷中，
{
∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐶𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐵𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵= 9，
∴△𝐷𝐸𝐵的周长为9cm．
3.如图，把一个长为10m的梯子𝐴𝐵斜靠在墙𝑀𝑁上，𝑁𝑀⊥𝑀𝐵，测得𝐵𝑀= 6m，梯子沿墙下滑到𝐶𝐷位置，
测得∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐷𝐶𝑀，𝐷𝑀= 8 m，点𝑀、𝐵、𝐷在一条直线上，则梯子下滑的高度（即𝐴𝐶的长）为__________m．
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【答案】2
【难度】0.59
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】证明△𝐴𝑀𝐵≌△𝐷𝑀𝐶(AAS)，得𝐴𝑀= 𝐷𝑀，𝐶𝑀= 𝐵𝑀，据此解答即可．
【详解】解：在△𝐴𝑀𝐵和△𝐷𝑀𝐶中，
{
∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐷𝑀𝐶
∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐷𝐶𝑀
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝑀𝐵≌△𝐷𝑀𝐶(AAS)，
∴𝐴𝑀= 𝐷𝑀= 8m，𝐶𝑀= 𝐵𝑀= 6m，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝑀−𝐶𝑀= 2m．
4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐶的中点，分别过点𝐴，𝐶作𝐵𝐷的垂线，垂足为𝐸，𝐹．若𝐷𝐸= 3，𝐶𝐹= 𝐵𝐹= 4，
则△𝐴𝐵𝐶的面积是______．
【答案】28
【难度】0.59
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】利用AAS证明三角形的全等，得到𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 3，𝐴𝐸= 𝐶𝐹= 4，𝑆△𝐴𝐸𝐷= 𝑆△𝐶𝐹𝐷，根据等面积法，
即可求解△𝐴𝐵𝐶的面积．
【详解】解：∵𝐷是𝐴𝐶的中点，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐸，𝐶𝐹⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°，
在△𝐴𝐸𝐷和△𝐶𝐹𝐷中，
小学
初中
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{
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹
𝐴𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐷(AAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 3，𝐴𝐸= 𝐶𝐹= 4，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐷+ 𝐷𝐹+ 𝐹𝐵= 3 + 3 + 4 = 10，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐶𝐷𝐹+ 𝑆△𝐵𝐹𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐸𝐷+ 𝑆△𝐵𝐹𝐶= 𝑆△𝐴𝐸𝐵+ 𝑆△𝐵𝐹𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐸𝐵× 𝐴𝐸+
1
2 × 𝐶𝐹× 𝐹𝐵=
1
2 × 10 × 4 +
1
2 × 4 × 4 = 28．
5.如图，△𝐴𝐵𝐶的面积为12 cm2，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑃⊥𝐵𝑃于点𝑃，连接𝑃𝐶，则△𝑃𝐵𝐶的面积为_____cm2．
【答案】6
【难度】0.4
【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐸，证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝐸𝐵𝑃得到𝐴𝑃= 𝑃𝐸，再利用三角形的中线性质求解即可．
【详解】解：如图，延长𝐴𝑃交𝐵𝐶于𝐸，
∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐸𝐵𝑃，
∵𝐴𝑃⊥𝐵𝑃，
∴∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐸𝑃𝐵= 90°，
在△𝐴𝐵𝑃和△𝐸𝐵𝑃中，
{
∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐸𝐵𝑃
𝐵𝑃= 𝐵𝑃
∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐸𝑃𝐵
，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐸𝐵𝑃(ASA)，
∴𝐴𝑃= 𝑃𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝑃= 𝑆△𝐸𝐵𝑃
∴𝑆△𝐴𝐶𝑃= 𝑆△𝐸𝐶𝑃，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为12cm2，
∴ 𝑆△𝑃𝐵𝐶= 𝑆△𝐸𝐵𝑃+ 𝑆△𝐸𝐶𝑃=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6cm2．
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6..如图．四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，点𝐹在𝐸𝐷上，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷；
(2)若𝐵𝐸= 𝐹𝐸，求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
【答案】(1)证明：∵∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐹−∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐹，即∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷；
(2)证明：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐹𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹，
∵𝐵𝐸= 𝐹𝐸，
∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐹，
即𝐴𝐶⊥𝐵𝐷.
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先证明∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷，结合𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，即可得到结论；
（2）先证明𝐴𝐵= 𝐴𝐹，结合𝐵𝐸= 𝐹𝐸即可得到结论.
【详解】（1）略
（2）略
7.（1）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐹，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点F，E，
求证：𝐵𝐹= 𝐶𝐸
（2）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E．
求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐸 ．
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【答案】（1）证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
又∵𝐵𝐹，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐹𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，
又∵𝐵𝐶= 𝐶𝐵，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐸．
（2）证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°
∵∠𝐴= ∠𝐴, 𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(AAS)
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
【难度】0.65
【知识点】等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】（1）本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形
的性质可得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，进而由角平分线的定义可得∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，再根据ASA可证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，
据此即可求证𝐵𝐹= 𝐶𝐸，掌握以上知识点是解题的关键．
（2）本题考查全等三角形在证明三角形两腰上的高相等的应用，等腰三角形的定义，真命题的证明，掌握
角角边的证明方法是本题关键．
通过角角边证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，从而得出对应边（高）相等．
【详解】略
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1．
【多结论问题】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，𝐷、𝐸是斜边𝐵𝐶上两点，且∠𝐷𝐴𝐸= 45°，
过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐴𝐷，垂足是𝐴，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐵𝐶，垂足是𝐶，交𝐴𝐹于点𝐹，连接𝐸𝐹，下列结论：①△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹；
②𝐷𝐸= 𝐸𝐹；③若𝑆△𝐴𝐷𝐸= 15，𝑆△𝐶𝐸𝐹= 6，则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 36；④𝐵𝐷+ 𝐶𝐸= 𝐷𝐸，其中正确的是（ ）
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①②④
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS 综
合（SAS）
【分析】由ASA证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹可判断①正确；证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐹𝐸可判断②正确；由①②结论得到
𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐹𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐹，由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐸𝐶 = 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹+ 𝑆△𝐶𝐸𝐹求解可判断
③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∵𝐴𝐹⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐹，
∵𝐶𝐹⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐹中，
{
𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹(ASA)，故①正确；
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐹，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐶= 45°，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐶= 45°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐹𝐸中，
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{
𝐴𝐷= 𝐴𝐹
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐹𝐸(SAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐹，故②正确；
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹，△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐹𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐹𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐹，𝐵𝐷= 𝐶𝐹，𝐷𝐸= 𝐸𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐸𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐹𝐸+ 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐸𝐹，
∵𝑆△𝐴𝐷𝐸= 15，𝑆△𝐶𝐸𝐹= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 36，故③正确；
∵在△𝐶𝐸𝐹中，𝐶𝐹+ 𝐶𝐸> 𝐸𝐹，
∴𝐵𝐷+ 𝐶𝐸> 𝐷𝐸，故④错误，
综上，正确的是①②③．
2．【截长补短】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的两条角平分线，且𝐵𝐸，𝐶𝐹交于点𝑃．试
猜想𝑃𝐸与𝑃𝐹之间的数量关系，并说明理由．
【答案】𝑃𝐸= 𝑃𝐹，理由如下：
∵∠𝐴= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −60° = 120°，
∵ 𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的两条角平分线，且𝐵𝐸，𝐶𝐹交于点𝑃．
∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 60°，
∴ ∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 120°；
在𝐵𝐶上截取𝐵𝐷= 𝐵𝐹，连接𝑃𝐷，则△𝐵𝐹𝑃≌△𝐵𝐷𝑃(SAS)，
∴ 𝑃𝐹= 𝑃𝐷，∠𝐵𝑃𝐹= ∠𝐵𝑃𝐷，
∵∠𝐵𝑃𝐶= 120°，
∴ ∠𝐵𝑃𝐸= 60°，
∴ ∠𝐵𝑃𝐷= 60°，
∴ ∠𝐶𝑃𝐷= 60°，
又∵ ∠𝐶𝑃𝐸= ∠𝐵𝑃𝐹= 60°，
∴ ∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐶𝑃𝐸，
∵ 𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
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∴ ∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐸𝐶𝑃，
∵ 𝐶𝑃= 𝐶𝑃，
∴ △𝐶𝐷𝑃≌△𝐶𝐸𝑃(ASA)，
∴ 𝑃𝐷= 𝑃𝐸，
∴ 𝑃𝐸= 𝑃𝐹．
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SSS 综合（SSS）、角平分线的性质定理、全等的性质和SAS 综合（SAS）、全等的性
质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】在𝐵𝐶上截取𝐵𝐷= 𝐵𝐹，连接𝑃𝐷；再证明△𝐵𝐹𝑃≅△𝐵𝐷𝑃得到𝑃𝐹= 𝑃𝐷，∠𝐵𝑃𝐹= ∠𝐵𝑃𝐷；再证明
△𝐶𝐷𝑃≌△𝐶𝐸𝑃，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】
（3）略
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成
为解答本题的关键．
3．
【利用方程思想解决问题】如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，点𝐴、𝐸、𝐵、𝐷在同一条直线上，𝐴𝐶∥𝐹𝐷，𝐵𝐶∥𝐸𝐹，
𝐴𝐸= 𝐵𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)若𝐴𝐵= 𝐴𝐶，连接𝐶𝐸，△𝐴𝐶𝐸比△𝐵𝐶𝐸的周长小3，𝐴𝐸= 4，求𝐵𝐶．
【答案】(1)见解析；
(2)11．
【难度】0.65
【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）、几何问题(一元一次
方程的应用)
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【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点的应
用是解题的关键．
（1）由平行线的性质可得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐹𝐷𝐴，∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴，再由线段的和与差得𝐴𝐵= 𝐸𝐷，最后通过“ASA”
证明全等即可；
（2）连接𝐶𝐸，设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，根据△𝐴𝐶𝐸比△𝐵𝐶𝐸的周长小3，得𝐴𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐴𝐸+ 3 = 𝐸𝐶+ 𝐸𝐵+ 𝐵𝐶，
即𝑥+ 4 + 3 = 𝑥−4 + 𝐵𝐶，从而求解．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐶∥𝐹𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐹𝐷𝐴，
∵𝐵𝐶∥𝐸𝐹，
∴∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴，
∵𝐴𝐸= 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐸+ 𝐸𝐵= 𝐸𝐵+ 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐵= 𝐸𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)；
（2）解：如图，连接𝐶𝐸，
设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，
∵△𝐴𝐶𝐸比△𝐵𝐶𝐸的周长小3，
∴𝐴𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐴𝐸+ 3 = 𝐸𝐶+ 𝐸𝐵+ 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐸+ 3 = 𝐸𝐵+ 𝐵𝐶，
∵𝐴𝐸= 4，
∴𝑥+ 4 + 3 = 𝑥−4 + 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶= 11．
1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交于点𝑂，𝐴𝐷∥𝐵𝐶．若_________，则𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
从①𝑂𝐴= 𝑂𝐶，②∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴，③𝐴𝐵= 𝐶𝐷这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
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【答案】①𝑂𝐴= 𝑂𝐶（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键．
选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂，再由角边角的证明方法
即可证明△𝐷𝐴𝑂与△𝐵𝐶𝑂全等，由此可得结论；
选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂，再由角角边的证明方法
即可证明△𝐴𝐷𝐶与△𝐶𝐵𝐴全等，由此可得结论．
【详解】解：选择①𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂，
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐶，且∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，
在△𝐷𝐴𝑂与△𝐵𝐶𝑂中，
由{
∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂
𝑂𝐴= 𝑂𝐶
∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶
，
∴△𝐷𝐴𝑂≌△𝐵𝐶𝑂，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐵；
故答案为：①𝑂𝐴= 𝑂𝐶．
选择②∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴，
在△𝐴𝐷𝐶与△𝐶𝐵𝐴中，
由{
∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐵𝐶𝑂
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴
𝐴𝐶= 𝐶𝐴
，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐵𝐴，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐵．
故答案为：②∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴．
2．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E 在同一条直线上，𝐴𝐶= 𝐷𝐹, ∠𝐴= ∠𝐷, 𝐴𝐵∥𝐷𝐸．
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(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)若𝐵𝐹= 4, 𝐹𝐶= 3，求𝐵𝐸的长．
【答案】(1)
证明：∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐸，
∵𝐴𝐶= 𝐷𝐹, ∠𝐴= ∠𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)；
(2)11
【难度】0.85
【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：
SAS,AAS,ASA,SSS,HL，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得到∠𝐵= ∠𝐸，再由“AAS”直接证明即可；
（2）由△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，再由线段和差即可得到𝐵𝐹= 𝐶𝐸，最后由𝐵𝐸= 𝐵𝐹+ 𝐹𝐶+ 𝐶𝐸即可求
解．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴𝐵𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐹𝐶，
∵𝐵𝐹= 4, 𝐹𝐶= 3，
∴3 + 4 = 𝐶𝐸+ 3，
∴𝐶𝐸= 4，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐹+ 𝐹𝐶+ 𝐶𝐸= 4 + 3 + 4 = 11．
