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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13.3 三角形的内角与外角 知识点一 三角形内角和定理 定理内容：___________________________． 常用证明思路（转化思想）：通过添加_________，将三角形三个内角转化为 __________________完成证明． 常见辅助线：___________________________． 几何语言：___________________________． 基本应用：已知三角形其中两个内角，可直接求第三个内角；已知内角度数关系，可列 方程求解角度． 归纳总结 把三角形三个分散的内角，通过作辅助线拼接转化为平角180°或一组同旁内角（和 为180°），利用平角定义、平行线性质完成证明． 知识点二 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角__________________． 几何语言：___________________________． 判定：（1）有两个角_________的三角形是直角三角形． 几何语言：____________________________________． （2）有一个角为_________的三角形是直角三角形． （3）_________的三角形是直角三角形． 拓展延伸 任意三角形中，最多有1 个直角、1 个钝角；最少有2 个锐角 特别提醒 1．直角三角形有且只有一个直角，另外两个角都是锐角，且两个锐角互余． 避坑：任意三角形至少有两个锐角，不能仅凭“有锐角”判定三角形类型． 第十三章 三角形 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2．Rt△ABC 特指直角三角形ABC，默认∠C 为直角（常规写法）；描述角度时必须指 明直角位置． 知识点三 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的_________．每个三 角形有______个外角，同一顶点处的两个_________相等；外角与相邻内角互为 _______，和为_________． 外角两大性质：（1）性质1（计算核心）：三角形的一个外角_________与它不相邻 的两个内角的和． （2）性质2（大小比较）：三角形的一个外角_________任何一个与它不相邻的内 角． 特别提醒 1．三角形的外角是三角形一边与另一边的延长线组成的角；顶点必须是三角形的顶 点，一条边为三角形原边，另一条边为原边的延长线． 避坑：单纯在三角形外部的角，不满足边与延长线组合的，不是外角；每个顶点有2 个相等的外角，一个三角形共6 个外角． 2．三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者和为180° 易错点 1 内角和定理运算顺序错误 错例： 已知三角形两个角分别为50°和60°，求第三个角。 学生解答：∠C = 180° − 50° + 60° = 190° 错因： 将”减去两个角”误算为”减一个加一个”，运算符号看错。 规避方法： 列式写成 ∠C = 180° − (50° + 60°) = 70°，先求两角和再减，减少符号错误。 易错点 2 等腰三角形”已知一角”不分类讨论 错例： 等腰三角形一个角为40°，求其他两个角。 学生解答：(180° − 40°) ÷ 2 = 70°，另外两个角均为70°。 错因： 未讨论40°是顶角还是底角，漏解。 规避方法： 分两种情况：① 40°为顶角 → 底角 = (180°−40°)/2 = 70°；② 40°为底角 → 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 顶角 = 180°−40°×2 = 100°。答案：70°、70° 或 40°、100°。 易错点 3 直角三角形两锐角关系混淆 错例： 直角三角形中，一个锐角是另一个的3 倍，求各锐角。 学生解答：设两锐角为x 和3x，x + 3x = 180°，x = 45°。 错因： 未利用”直角三角形两锐角互余（和为90°）“，错误使用180°。 规避方法： 直角三角形中两锐角之和 = 90°。列方程 x + 3x = 90°，解得 x = 22.5°，3x = 67.5°。 易错点 4 外角定理与邻补角关系混淆 错例： 三角形一个外角为120°，求与之不相邻的两个内角之和。 学生解答：180° − 120° = 60°。 错因： 混淆了”外角 + 相邻内角 = 180°“与”外角 = 不相邻两内角之和”，用邻补角关系求出 了 相邻内角，却当成了不相邻两内角之和。 规避方法： 明确两个定理：① 外角 + 相邻内角 = 180°（邻补角）；② 外角 = 不相邻两内角之 和。本题中不相邻两内角之和 = 外角 = 120°。 易错点 5 外角定理逆用方向错误 错例： 三角形中∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C 的外角。 学生解答：∠C 的外角 = ∠A − ∠B = 50° − 60° = −10°。 错因： 外角定理是”外角 = 不相邻两内角之和”，学生误用为”差”。 规避方法： 外角定理：∠C 的外角 = ∠A + ∠B = 50° + 60° = 110°。牢记是”和”不是” 差”。 题型一：三角形内角和定理的证明 方法技巧 1.快速判断法（最常用）：把三角形三个分散的内角，通过作辅助线拼接转化为平 角180°或一组同旁内角（和为180°），利用平角定义、平行线性质完成证明．。 2.过顶点作对边平行线，利用平行线性质，将三个内角拼接成平角。 1．李想同学想知道三角形𝐴𝐵𝐶内角和的度数，下面拼法中正确的是（ ） 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的 数学思想主要是（ ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 3．如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ） A． B． C． D． 4．定理：三角形的内角和是180°． 已知：∠𝐶𝐸𝐷、∠𝐶、∠𝐷是△𝐶𝐸𝐷的三个内角． 求证：∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐷= 180°． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠𝐵𝐸𝐶；③上述证明得到的结论，只有在锐 角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 方法技巧 1．找平行线：确定图中互相平行的直线，标注平行关系； 2．转角度：借助同位角、内错角、同旁内角，把分散的角转移到同一个三角形 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 中；. 3．套定理：结合三角形内角和180°计算； 1．如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°, ∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ） A．20° B．30° C．80° D．100° 2．如图，直线𝑎∥𝑏，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，若∠1 = 130°，则∠2等于（ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1 = 55°，则∠2的度数是（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．如图，直线𝑎∥𝑏，直线𝑐与直线𝑎，𝑏分别相交于点𝐴，𝐵，𝐴𝐶⊥𝑏，垂足为𝐶．若∠1 = 44°17′，则∠2 = （ ）． A．46°43′ B．45°43′ C．45°83′ D．44°17′ 题型三：结合角平分线求角度 方法技巧 角平分线等分内角，先求半角，再结合内角和、外角性质计算． 1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ） 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．49° B．50° C．51° D．52° 2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂，𝐶𝑂是△𝐴𝐵𝐶的角平分线且𝐵𝑂，𝐶𝑂相交于点O，∠𝐴= 80°，求∠𝐵𝑂𝐶的度数 （ ） A．120° B．100° C．110° D．130° 3．如图， 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸, 𝐶𝐹是角平分线，𝐵𝐸, 𝐶𝐹相交于点 G， 则∠𝐵𝐺𝐶与∠𝐴之间的数量关系正确的 是（ ） A．∠𝐵𝐺𝐶= 2∠𝐴 B．∠𝐵𝐺𝐶= 180° −∠𝐴 C．∠𝐵𝐺𝐶= 90° + 1 3 ∠𝐴 D．∠𝐵𝐺𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐴 4．如图，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，若∠𝐸𝐴𝐶= 63°，∠𝐵= 37°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数为 （ ） A．26° B．27° C．36° D．37° 题型四：三角形折叠中的角度问题 方法技巧 1．标角：把折叠产生的相等角，用相同字母/数字统一标注； 2．找平角：折叠处的折线在原三角形边上，形成平角180°，列出角度等式； 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3．套定理求解：结合三角形内角和180°计算． 1．如图，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐷𝐸折叠，使点𝐵与点𝐶重合，若∠𝐴= 76°，∠𝐶= 32°，则∠𝐴𝐵𝐸的度数为（ ） A．40° B．32° C．30° D．45° 2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 61°，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸翻折后，点A 落在𝐵𝐶边上的点F 处，若∠𝐷𝐸𝐹= 52°， 则∠𝐵𝐷𝐹的度数为（ ） A．58° B．46° C．50° D．32° 3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，M，N 分别是边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的点，将△𝐵𝑀𝑁沿𝑀𝑁折叠；使点B 落在点𝐵′处，若 ∠𝐵= 35°，∠𝐵𝑁𝑀= 28°，则∠𝐴𝑀𝐵′的度数为（ ） A．10° B．37° C．54° D．63° 4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 34°，∠𝐶= 42°，𝐷是𝐵𝐶边上一点，连接𝐴𝐷．将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐷折叠后，点𝐵落 到点𝐸处，若𝐷𝐸∥𝐴𝐶，则∠𝐴𝐷𝐵的度数为（ ） A．106° B．110° C．111° D．113° 题型五：三角形三角形内角和定理的应用 方法技巧 直接套用∠A+∠B+∠C=180°，已知两角求第三角；遇角度比例、倍数关系，设未知数 列方程求解． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽象为等腰三角形，若等腰三角形 的一个底角为70°，则其顶角的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．如果三角形的三个内角分别是(2𝑥−𝑦)°，(𝑥+ 𝑦)°，𝑥°，则x 的值为（ ） A．40 B．45 C．50 D．55 3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G 的方向竖直向下，支持力𝐹1的方向与斜面垂 直，摩擦力𝐹2的方向与斜面平行．若斜面的坡角𝛼= 25°，则摩擦力𝐹2与重力G 方向的夹角𝛽的度数为 （ ） A．165° B．155° C．120° D．115° 4．创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款电脑支撑架，我们可以通过改变面板张角的大 小来调节视角舒适度．若张角∠𝐵𝐶𝐷= 70°，支撑杆𝐶𝐵 与桌面夹角∠𝐵= 65°，那么此时面板𝐶𝐷与水平方 向夹角∠1的度数为（ ） A．45° B．55° C．65° D．70° 题型六：直角三角形的两锐角互余 方法技巧 关键抓住直角三角形在两锐角的和为90° 1．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若∠𝐴= 42°，则∠𝐵的度数为（ ） A．38° B．48° C．58° D．68° 2．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，∠𝐵是∠𝐴的2倍，则∠𝐴的度数为（ ） A．30° B．45° C．60∘ D．75∘ 3．直角三角形两锐角的差是20°，则较大的锐角度数是（ ） 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．45° B．50° C．55° D．60° 4．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴−∠𝐵= 10°，则∠𝐴的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．80° 题型七：直角三角形的判定 方法技巧 定义法：有一个角是直角 性质法：两角互余⟺ 三角形为直角三角形 1．下列条件不能判定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是（ ） A．∠𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐶 B．∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 3: 4: 5 C．∠𝐴= 90° −∠𝐵 D．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶 2．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 1 2 ∠𝐵= 1 3 ∠𝐶，则△𝐴𝐵𝐶是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= ∠𝐵，且∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型八：三角形外角的定义及性质 方法技巧 性质法：外角 = 两个不相邻内角之和，直接代入计算 1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，延长𝐵𝐶至点D，若∠𝐴= 48°，∠𝐵= 53°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ） A．91° B．101° C．136° D．126° 2．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1 = 120°，则∠2的度数是 （ ） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．20° B．30° C．40° D．120° 3．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板𝐴𝐵𝐶按如图所示的位置放置，如果∠𝐶𝐷𝐸= 50°，那么∠𝐵𝐴𝐹的 大小为（ ） A．10° B．15° C．20° D．30° 4．图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的示意图，座椅靠背𝐸𝐹与地面𝐴𝐵垂直，小桌板𝐶𝐷与地面𝐴𝐵 平行，小桌板支撑杆𝐷𝐹与桌面𝐷𝐶的夹角∠𝐶𝐷𝐹= 125°，则座椅靠背𝐸𝐹与小桌板支撑杆𝐷𝐹形成的夹角 ∠𝐸𝐹𝐷的度数是（ ） A．20° B．25° C．30° D．35°
