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分层作业
14.2 三角形全等的判定(第四课时 尺规作图)
目 录
A 组 巩固过关
题型01 作一个三角形全等于已知三角形
题型02 作一个角等于已知角
题型03 过直线外一点作已知直线平行线
题型04 已知两角(边)及其夹边(角)作三角形
题型05 根据尺规作图求角度
题型06 利用尺规作图
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
作一个三角形全等于已知三角形
1． 用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
D．作角的平分线
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】作角平分线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【分析】根据作一条线段等于已知线段即可解决问题．
【详解】解：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
故选：C．
题型01
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【点睛】本题考查基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
2.如图， 在△𝐴𝐵𝐶中， ∠𝐵= 49°， 分别以点𝐴, 𝐶为圆心，𝐵𝐶, 𝐴𝐵长为半径作弧，两弧相交于点𝐷，连接𝐴𝐷, 𝐶𝐷，
则∠𝐴𝐷𝐶的度数为（ ）
A．41°
B．49°
C．51°
D．59°
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用SSS 间接证明三角形全等（SSS）、作线段(尺规作图)、结合尺规作图的全等问题（全等三角形
的判定综合）
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图
和全等三角形的判定定理．
通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：通过尺规作图操作可得𝐴𝐷= 𝐵𝐶, 𝐶𝐷= 𝐴𝐵，
又𝐴𝐶= 𝐶𝐴，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴(SSS)，
∴∠𝐷= ∠𝐵= 49°，
故选：B．
作一个角等于已知角
3.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠𝐴′𝑂′𝐵′等于已知角∠𝐴𝑂𝐵的示意图，请你根据所学的图形的全等这一
章的知识，说明画出∠𝐴′𝑂′𝐵′ = ∠𝐴𝑂𝐵的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】尺规作一个角等于已知角、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）
题型02
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【详解】解：作如下标识，
根据作法可知𝑂𝐷= 𝑂′𝐷′，𝑂𝐶= 𝑂′𝐶′，𝐶𝐷= 𝐶′𝐷′，
∴△𝑂𝐶𝐷≌△𝑂′𝐶′𝐷′ (SSS)，
∴∠𝐴′𝑂′𝐵′ = ∠𝐴𝑂𝐵，
则画出∠𝐴′𝑂′𝐵′ = ∠𝐴𝑂𝐵的依据是SSS，
4.如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤：
作法：（1）如图，以点
𝑂为圆心，任意长为半
径画弧，分别交𝑂𝐴, 𝑂𝐵
于点𝐶, 𝐷；
（2）画一条射线𝑂′𝐴′，
以点𝑂′为圆心，𝑂𝐶长
为半径画弧，交𝑂′𝐴′于
点𝐶′；
（3）以点𝐶′为圆心，
𝐶𝐷长为半径画弧，与
（2）中所画的弧相交
于点𝐷′；
（4）过点𝐷′画射线
𝑂′𝐵′，则∠𝐴′𝑂′𝐵′ =
∠𝐴𝑂𝐵．
则下列说法错误的是（ ）
A．在作法步骤（2）中，可以得到𝑂′𝐶′ = 𝑂𝐶
B．在作法步骤（3）中，可以得到𝐶′𝐷′ = 𝐶𝐷
C．∠𝐴′𝑂′𝐵′ = ∠𝐴𝑂𝐵= 30°
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D．判定△𝐶′𝑂′𝐷′ ≌△𝐶𝑂𝐷的依据是SSS
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】用SSS 证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角
【详解】解： A、以点𝑂′为圆心，𝑂𝐶长为半径画弧，交𝑂′𝐴′于点𝐶′，则𝑂′𝐶′ = 𝑂𝐶，不符合题意；
B、以点𝐶′为圆心，𝐶𝐷长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点𝐷′，则𝐶′𝐷′ = 𝐶𝐷，不符合题意；
C、题目中没有信息说明∠𝐴′𝑂′𝐵′ = ∠𝐴𝑂𝐵= 30°，符合题意；
D、判定△𝐶′𝑂′𝐷′ ≌△𝐶𝑂𝐷的依据是{
𝑂𝐷= 𝑂′𝐷′
𝑂𝐶= 𝑂′𝐶′
𝐶𝐷= 𝐶′𝐷′
，不符合题意．
过直线外一点作已知直线平行线
5.在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形𝐴𝐵𝐶中过点𝐵作𝐴𝐶边的平行线，小唯的思
路和作法如下：如图，以𝐵为顶点，𝐵𝐴为一边作∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，则𝐵𝐷与𝐴𝐶平行，他这样作图的依据是（ ）．
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】内错角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角
【详解】解：由作图可知 ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷与∠𝐵𝐴𝐶是直线𝐵𝐷和𝐴𝐶被直线𝐴𝐵所截形成的内错角，
∴ 根据“内错角相等，两直线平行”可得𝐵𝐷∥𝐴𝐶．
6.如图是“过直线𝐴𝐵外一点𝐶作𝐴𝐵的平行线𝐶𝐷”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明𝐶𝐷∥𝐴𝐵，证明
过程中判定△𝐶𝑀𝑁≌△𝐸𝐹𝐺的依据是（ ）
A．ASA
B．AAS
C．SSS
D．SAS
【答案】C
【难度】0.7
【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SSS 证明三角形全等（SSS）、同位角相等两直线平行、尺规作一
题型03
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个角等于已知角
【详解】由尺规作图可知，
𝐸𝐺= 𝐸𝐹= 𝐶𝑀= 𝐶𝑁,且𝑀𝑁= 𝐺𝐹．
∵在△𝐸𝐹𝐺和△𝐶𝑀𝑁中
{
𝐸𝐹= 𝐶𝑀
𝐸𝐺= 𝐶𝑁
𝐺𝐹= 𝑀𝑁
∴ △𝐶𝑀𝑁≌△𝐸𝐹𝐺(SSS)．
∴ ∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝑀𝐶𝑁，
∴𝐶𝐷∥𝐴𝐵．
已知两角(边)及其夹边(角)作三角形
7.如图1，已知∠𝛼、∠𝛽和线段𝑐，试作△𝐴𝐵𝐶，使∠𝐴= ∠𝛼，∠𝐵= ∠𝛽，𝐴𝐵= 𝑐．我们用尺规作图得到如图
2 所示的△𝐴𝐵𝐶，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全
等的方法是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定
综合）
【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA．
8.已知：已知线段a，c 和∠𝛼（如图（1）所示）．
求作：△𝐴𝐵𝐶，使𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐵= 𝑐，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝛼．
小明的作法如下：①作∠𝑀𝐵𝑁= ∠𝛼；②在线段𝐵𝑀，𝐵𝑁上分别截取𝐵𝐴= 𝑐，𝐵𝐶= 𝑎；③连接𝐴𝐶，△𝐴𝐵𝐶即
为所求作的三角形（如图（2）所示）．
在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）．
题型04
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【答案】②
【难度】0.85
【知识点】尺规作图——作三角形
【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知
线段的要求完成填空即可．
【详解】解：①作∠𝑀𝐵𝑁= ∠𝛼；
②在线段𝐵𝑀，𝐵𝑁上分别截取𝐵𝐴= 𝑐，𝐵𝐶= 𝑎；
③连接𝐴𝐶，△𝐴𝐵𝐶即为所求作的三角形．
错误的是②，
故答案为：②．
9.已知△𝐴𝐵𝐶，求作△𝐴′𝐵′𝐶′，使得△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________．
【答案】SAS
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）、尺规作一个角等于已知角
【分析】本题需要先读懂尺规作图的痕迹，得到三组对应相等的条件，再根据全等三角形的判定定理得到
作图依据．
【详解】解：由作图痕迹可知，𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵，∠𝐴′𝐵′𝐶′ = ∠𝐴𝐵𝐶，𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶，
在△𝐴′𝐵′𝐶′和△𝐴𝐵𝐶中，
{
𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵
∠𝐴′𝐵′𝐶′ = ∠𝐴𝐵𝐶
𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶
，
∴△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶(SAS)，
因此作图的依据为SAS．
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根据尺规作图求角度
10.如图，点𝐵在直线𝑙上，分别以线段𝐵𝐴的端点为圆心，以𝐵𝐶（小于线段𝐵𝐴）长为半径画弧，分别交直线𝑙、
线段𝐵𝐴于点𝐶、𝐷、𝐸，再以点𝐸为圆心，以𝐶𝐷长为半径画弧，交前面的弧于点𝐹，画射线𝐴𝐹．若∠𝐵𝐴𝐹的平
分线𝐴𝐻交直线𝑙于点𝐻, ∠𝐴𝐻𝐵= 39°， 则∠𝐴𝐵𝐶的度数为（ ）
A．68°
B．78°
C．82°
D．84°
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算、尺规作一个角等于已知角
【分析】通过作图痕迹可知∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶，于是可得𝐵𝐶∥𝐴𝐹，再利用平行线的性质和角的平分线的定义
求解即可．
【详解】解：由作图痕迹，可知∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶∥𝐴𝐹，
∴∠𝐻𝐴𝐹= ∠𝐴𝐻𝐵= 39°，
∵𝐴𝐻是∠𝐵𝐴𝐹的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐹= 2∠𝐻𝐴𝐹= 78°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐹= 78°．
11.如图∠𝐴𝑂𝐵，𝐶为射线𝑂𝐵上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点𝑂为圆心，任意长为半径作弧，交𝑂𝐴于
点𝐷，交𝑂𝐵于点𝐸；②以点𝐶为圆心，𝑂𝐷为半径作弧，交𝑂𝐶于点𝐹；③以点𝐹为圆心，𝐷𝐸为半径作弧，交上
一步作的弧于点𝐺；④连接𝐶𝐺并延长，交𝑂𝐴于点𝐻．若∠𝐴𝐻𝐶= 108°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数为（ ）
A．54°
B．64°
C．61°
D．72°
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】三角形的外角的定义及性质、尺规作一个角等于已知角
题型05
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【分析】根据作图∠𝐻𝐶𝑂= ∠𝐴𝑂𝐵，再由三角形外角的性质得到∠𝐴𝐻𝐶= ∠𝐻𝐶𝑂+ ∠𝐴𝑂𝐵= 108°，即可求解．
【详解】解：由作图可得∠𝐻𝐶𝑂= ∠𝐴𝑂𝐵，
∵∠𝐴𝐻𝐶= ∠𝐻𝐶𝑂+ ∠𝐴𝑂𝐵= 108°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 54°．
12.如图，已知点P 在直线l 外，按以下步骤作图：①在直线l 上任取一点A，以点A 为圆心，以AP 的长为
半径作弧，交直线l 于点B，连接PB；②以点P 为圆心，以PA 的长为半径作弧；③以点A 为圆心，以PB
的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若∠𝑃𝐵𝐴= 72°，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为________．
【答案】
108°
【难度】0.65
【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）
【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三
角形内角和定理求解∠𝐵𝑃𝐶的度数即可；
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】如图，连接AC，由作图可得𝐴𝐵= 𝐴𝑃= 𝑃𝐶，𝐴𝐶= 𝑃𝐵，
∴在△𝐴𝐵𝑃和△𝑃𝐶𝐴中
{
𝐴𝐵= 𝑃𝐶
𝐵𝑃= 𝐶𝐴
𝐴𝑃= 𝑃𝐴
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝑃𝐶𝐴(SSS)
∴∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐴𝑃𝐶，
∵𝑃𝐶∥𝑙．
∴∠𝑃𝐵𝐴= 72°，
∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐴= 108°．
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利用尺规作图
13.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐴𝐵𝐶．求作：在∠𝐴𝐶𝐵的内部作射线𝐶𝑀，使∠𝐴𝐶𝑀= ∠𝐴𝐵𝐶．
【答案】解：所求图形，如图所示．
【难度】0.85
【知识点】尺规作一个角等于已知角
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可．
【详解】略
14.如图，已知线段a，b，∠𝛼，有一个三角形的两条边长分别是a 和b，一个内角等于∠𝛼．
(1)请你用尺规作一个满足条件的三角形．
(2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的
三角形；若不能，请你说明理由．
【答案】(1)
题型06
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(2)
【难度】0.66
【知识点】全等三角形的概念、作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角
【分析】（1）作∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝛼，以点O 为圆心，𝑎为半径画弧交𝑂𝐴于点C，以点O 为圆心，𝑏为半径画弧交𝑂𝐵
于点D，连接𝐶𝐷，则△𝑂𝐶𝐷即为所求；
（2）作∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝛼，以点O 为圆心，𝑎为半径画弧交𝑂𝐴于点C，以点C 为圆心，𝑏为半径画弧交𝑂𝐵于点E，
连接𝐶𝐸，则△𝑂𝐶𝐸即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
15.如图，用直尺和圆规作△𝐴𝐵𝐶，使∠𝐵= ∠𝛼, ∠𝐶= ∠𝛽, 𝐵𝐶= 𝑚．
【答案】如图，即为所求
【难度】0.65
【知识点】尺规作图——作三角形、作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角
【分析】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两
点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之
前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：SSS的全等三角形的判定
和性质）和作相等线段，利用ASA的全等三角形的判定方法确定△𝐴𝐵𝐶．
【详解】解：略．
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1.如图，若∠𝛼= 29°，根据尺规作图的痕迹，则∠𝐴𝑂𝐵的度数为（ ）
A．29°
B．45°
C．58°
D．60°
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】几何图形中角度计算问题、尺规作一个角等于已知角
【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，∠𝐴𝑂𝐵= 2∠𝛼，
∵∠𝛼= 29°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 2∠𝛼= 2 × 29° = 58°．
2.如图1所示，已知一条直线𝐴𝐵和直线外一点𝐶，仅用圆规和无刻度直尺完成其中两条直线的某种位置关系
的作图，作图结果为图2所示．①以𝐶点为圆心画弧线；②以𝐸点为圆心画弧线；③以𝐹点为圆心画弧线．请
从下面选项中选择正确的用圆规画弧线的顺序（ ）
A．②①③
B．①③②
C．②③①
D．①②③
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】尺规作图——作三角形、全等的性质和SSS 综合（SSS）、同位角相等两直线平行
【分析】根据过直线外一点作已知直线的平行线的尺规作图方法，即可得解．
【详解】解：依图得，该作图过程是过直线外一点作直线的平行线，
则根据过直线外一点作直线的平行线尺规作图方法可知：
第一步，过点𝐶作任意一条直线交𝐴𝐵于点𝐸，
第二步，以点𝐸为圆心，任意长度为半径画弧，与直线𝐸𝐹和𝐴𝐵分别相交于点𝐺、𝑀，即𝐸𝐺= 𝐸𝑀，
第三步，以点𝐶为圆心，𝐸𝐺长度为半径画弧，与直线𝐸𝐹相交于点𝐹，即𝐸𝐺= 𝐶𝐹= 𝐶𝑁，
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第四步，以点𝐹为圆心，𝐺𝑀长度为半径画弧，两弧相交于点𝑁，即𝐺𝑀= 𝐹𝑁，
第五步，连接𝐶𝑁，
此时△𝐶𝐹𝑁和△𝐸𝐺𝑀中，
{
𝐸𝐺= 𝐶𝐹
𝐸𝑀= 𝐶𝑁
𝐺𝑀= 𝐹𝑁
，
∴△𝐶𝐹𝑁≌△𝐸𝐺𝑀(𝑆𝑆𝑆)，
∴∠𝐹𝐶𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀，
∴𝐶𝑁∥𝐴𝐵，
综上，正确的用圆规画弧线的顺序为②①③．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的判定、尺规作图之过直线外一点作直线
的平行线，解题关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线的尺规作图法．
3.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段a，c，∠𝛼．
求作：△𝐴𝐵𝐶，使𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐵= 𝑐，∠𝐴𝐵𝐶= 𝛼．
下面是作图示范：
正确作图顺序为（ ）
A．①②③④
B．①③②④
C．①③④②
D．①②④③
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】尺规作图——作三角形、作线段(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正
确的作图顺序．
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【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段𝐵𝐶= 𝑎，对应图①；
作一个角等于已知角α，以B 点为顶点，作∠𝐴𝐵𝐶= 𝛼，对应图③；
在射线上截取线段𝐴𝐵= 𝑐，在已作的角的射线上，截取𝐴𝐵= 𝑐，对应图②；
连接𝐴𝐶，得到△𝐴𝐵𝐶，对应图④，
∴正确作图顺序为：①③②④．
故选：B．
4.如图，Δ𝐴𝐵𝐶为等边三角形，要在Δ𝐴𝐵𝐶外部取一点𝐷，使得△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶全等，下面是两名同学做法：
（ ）
甲：①作∠𝐴的角平分线𝑙；②以𝐵为圆心，𝐵𝐶长为半径画弧，交𝑙于点𝐷，点𝐷即为所求；
乙：①过点𝐵作平行于𝐴𝐶的直线𝑙；②过点𝐶作平行于𝐴𝐵的直线𝑚，交𝑙于点𝐷，点𝐷即为所求．
A．两人都正确
B．两人都错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用SAS 证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）、结合尺规作图
的全等问题（全等三角形的判定综合）
【分析】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．
【详解】甲的作法如图一：
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线
∴∠𝐵𝐸𝐴= 90°
∵∠𝐵𝐸𝐴+ ∠𝐵𝐸𝐷= 180°
∴∠𝐵𝐸𝐷= 90°
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∴∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐵𝐸𝐷= 90°
由甲的作法可知，𝐴𝐵= 𝐵𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐶
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐷
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐶
𝐵𝐶= 𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(SAS)
故甲的作法正确；
乙的作法如图二：
∵𝐵𝐷∥𝐴𝐶, 𝐶𝐷∥𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中，{
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(ASA)
故乙的作法正确；
故选：A．
5.如图，根据作图痕迹，可以判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶的依据是__________（填全等理由）
【答案】ASA
【难度】0.85
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）、尺规作一个角等于已知角、结合尺规作图的全
等问题（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方
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法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可．
【详解】解：由作图知：∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶中，
{
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐶
𝐵𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶(ASA)，
∴判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶的依据是ASA．
故答案为：ASA．
6.如图，点D 是△𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐴𝐷, 𝐶𝐷，已知∠𝐵= 45°，∠𝐷= 90°．
(1)在△𝐴𝐵𝐶内求作一点M，使得△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀的度数．
【答案】(1)
解：如图，点M 即为所求；
(2)45°
【难度】0.84
【知识点】尺规作图——作三角形、全等的性质和SSS 综合（SSS）、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图：
（1）以点A 为圆心，𝐴𝐷的长为半径画弧，再以点C 为圆心，𝐶𝐷为半径画弧，两弧交于点M，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐷= 90°，从而得到∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴= 90°，再由∠𝐵= 45°，可
得∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 135°，即可求解．
∴∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀= (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴) −(∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴) = 45°
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝑀𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，∠𝐷= 90°，
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∴∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐷= 90°．
∴∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴= 90°．
∵∠𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180° −45° = 135°．
∴∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐶𝑀= (∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴) −(∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴) = 45°．
7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知点𝐷为𝐵𝐶边上中点，点𝐸为𝐴𝐵边上一点，连接𝐷𝐸．
(1)尺规作图：过点𝐶作𝐶𝐹∥𝐴𝐵交𝐸𝐷延长线于点𝐹（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若𝐴𝐵= 12，𝐴𝐸= 4，请求出𝐶𝐹的长度．
【答案】(1)如图，𝐶𝐹即为所求；
(2)8
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、内错角相等两直线平行、过直线外一点作已知
直线的平行线、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）作∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷即可；
（2）由作图可知∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷，证明△𝐸𝐵𝐷≌△𝐹𝐶𝐷(AAS)，得到𝐵𝐸= 𝐶𝐹= 8即可．
【详解】（1）略；
（2）解：由作图可知∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷，
∵𝐴𝐵= 12，𝐴𝐸= 4，
∴𝐵𝐸= 12 −4 = 8，
∵点𝐷为𝐵𝐶边上中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐶𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐹𝐶𝐷，
∵∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷，
∴△𝐸𝐵𝐷≌△𝐹𝐶𝐷(AAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹= 8，
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即𝐶𝐹的长度为8．
1．【动点问题】程老师制作了如图1 所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操
作学具时，点Q 在轨道槽𝐴𝑀上运动，点P 既能在以A 为圆心、以8 为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨
道槽𝑄𝑁上运动，图2 是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠𝑃𝐴𝑄= 30°，𝑃𝑄= 6时，可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄；
②当∠𝑃𝐴𝑄= 90°，𝑃𝑄= 10时，可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄；
③当∠𝑃𝐴𝑄= 150°，𝑃𝑄= 12时，可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）
【分析】以𝑃为圆心，𝑃𝑄长为半径画弧，与射线𝐴𝑀有1 个交点，则可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄，否则不
能得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
【详解】解：①当∠𝑃𝐴𝑄= 30°，𝑃𝑄= 6时，以𝑃为圆心，6 为半径画弧，与射线𝐴𝑀有两个交点，则△𝑃𝐴𝑄的
形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠𝑃𝐴𝑄= 90°，𝑃𝑄= 10时，以𝑃为圆心，10 为半径画弧，与射线𝐴𝑀有一个交点，𝑄点位置唯一确定，
则可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄，故②正确；
③当∠𝑃𝐴𝑄= 150°，𝑃𝑄= 12时，以𝑃为圆心，12 为半径画弧，与射线𝐴𝑀有一个交点，𝑄点位置唯一确定，
则可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄，故③正确；
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故选：B．
2．【分类讨论】如图，△𝐴𝐵𝐶是不等边三角形，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，以𝐷、𝐸为两个顶点作位置不同的三角形，使所
作三角形与△𝐴𝐵𝐶全等，这样的三角形最多可以画出（ ）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用SSS 证明三角形全等（SSS）
【分析】根据全等三角形的判断：三条边对应相等的两个三角形全等，由𝐷𝐸= 𝐵𝐶，那么可以有𝐷𝐹= 𝐴𝐵，
𝐸𝐹= 𝐴𝐶，或𝐷𝐹= 𝐴𝐶，𝐸𝐹= 𝐴𝐵两种情况，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：如图：𝐷𝐹= 𝐴𝐵，𝐸𝐹= 𝐴𝐶，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，或𝐷𝐹= 𝐴𝐶，𝐸𝐹= 𝐴𝐵，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，
这样的三角形最多可以画出4个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．【拓展应用】如图，已知线段𝑎和∠𝛼．
(1)求作△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵= 𝑎，∠𝐴= ∠𝛼，∠𝐵= 2∠𝛼；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在（1）的条件下，若𝑎= 5cm， ∠𝛼= 45°，求𝐵𝐶的长．
【答案】(1)
如图所示，△𝐴𝐵𝐶即为所求
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(2)𝐵𝐶= 5cm
【难度】0.65
【知识点】尺规作图——作三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查尺规作三角形，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用所学知识解决问题．
（1）先作∠𝐴= ∠𝛼，再以点A 为圆心，以线段𝑎的长为半径画圆，交∠𝐴的一条边为B，再作∠𝐵= 2∠𝛼，交
∠𝐵的另一条边为C，连接𝐴𝐶即可．
（2）由作法可知：∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝛼= 90°，由此求出∠𝐶= 90° −45° = 45°，得出△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，
由此即可求解．
【详解】（1）解：略．
（2）解：∵∠𝐴= ∠𝛼= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝛼= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴∠𝐶= 90° −45° = 45°，即∠𝐶= ∠𝐴，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 𝑎= 5cm，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵= 5cm．
1．（2019·辽宁丹东·中考真题）如图，点C 在∠AOB 的边OA 上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，𝐹𝐺
⌢是
（ ）
A．以点C 为圆心、OD 的长为半径的弧
B．以点C 为圆心、DM 的长为半径的弧
C．以点E 为圆心、DM 的长为半径的弧
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D．以点E 为圆心、OD 的长为半径的弧
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行
【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
【详解】解：由作图可知作图步骤为：
①以点O 为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB 于M，D．
②以点C 为圆心，以OM 为半径画弧EN，交OA 于E．
③以点E 为圆心，以DM 为半径画弧FG，交弧EN 于N．
④过点N 作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选C．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
2．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l 外一点P 作直线l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
3.（2025·吉林·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 45°, ∠𝐴> ∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵．尺规作图操作如下：（1）
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以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边𝐵𝐴，𝐵𝐶于点M，N；（2）以点C 为圆心，𝐵𝑁长为半径画弧，
交边𝐶𝐵于点𝑁′；再以点𝑁′为圆心，𝑀𝑁长为半径画弧，与前一条以点C 为圆心的弧相交于三角形内部的点𝑀′；
（3）过点𝑀′画射线𝐶𝑀′交边𝐴𝐵于点D．下列结论错误
．．的为（ ）
A．∠𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵
B．∠𝐵𝐷𝐶=90°
C．𝐷𝐵= 𝐷𝐶
D．𝐴𝐷+ 𝐷𝐶= 𝐵𝐶
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等、尺规作一个角等于已知角
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，
由作图方法可得∠𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 45°，则由三角形内角和定理和等边对等角得到∠𝐵𝐷𝐶=90°，𝐵𝐷= 𝐷𝐶，由大
角对大边得到𝐵𝐶> 𝐴𝐵，再由𝐴𝐷+ 𝐷𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐵可得𝐴𝐷+ 𝐷𝐶< 𝐵𝐶．
【详解】解：由作图方法可得∠𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 45°，故A 结论正确，不符合题意；
∴∠𝐵𝐷𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐷𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐷= 𝐷𝐶，故B、C 结论都正确，不符合题意；
∵∠𝐴> ∠𝐴𝐶𝐵> ∠𝐵，
∴𝐵𝐶> 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐷+ 𝐷𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐵，
∴𝐴𝐷+ 𝐷𝐶< 𝐵𝐶，故D 结论错误，符合题意；
故选：D．
