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学科网（北京）股份有限公司 1 / 2.3 等腰三角形的性质定理（第二课时） 题型一：根据等腰三角形“三线合一”求角度 1．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在 ABC 中，AB AC = ，点D 为BC 的中点，若 44 C = ，则 BAD 的度数为（ ） A．46 B．48 C．50 D．52 2．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在 ABC 中，AB AC AD = ， 是BC 边上的中线，BE 平分 ABC 分别交AD、AC 于点O、E ，若 26 ABE = ，则 BAD 的度数为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 2 / A．52 B．50 C．40 D．38 3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰 ABC 中， , 110 , AD BC BAC BAD ⊥ = 的度数是（ ） A．80 B．70 C．60 D．55 4．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 ABC 中， , AB AC AD CE = 、 分别是 ABC 的中线和角 平分线．若 20 CAD = ，则 ACE 的度数是（ ） A．35 B．30 C．25 D．20 5．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，AD CE 、 分别是 ABC 的中线和高线．若 , 34 , AB AC ACE = = 则 BAD 的度数为（ ） A．34 B．56 C．29 D．28 6． （24-25 八年级下·广东梅州·期中）如图，在 ABC 中，点E 在BC 上，DE 垂直平分AB 于点D，AE AC ⊥ ， 若1 60 = ，则 C = ． 学科网（北京）股份有限公司 3 / 7．（24-25 八年级上·广东惠州·期中）如图，在 ABC 中，点D 在BC 边上，BD AD AC = = ，E 为CD的中 点，若 16 CAE = ，则 B 的大小为 ． 8．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，在 ABC 中，AB AC = ，点E 在BC 边上，在线段AC 的延长线 上取点D ，使得CD CE = ，连接DE ，CF 是CDE 的中线，若 52 FCE = ，则 A 的度数为 ． 题型二：根据等腰三角形“三线合一”求线段长度 1．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如图，在 ABC 中，AD是BC 边上的中线，作BE AD ⊥ ，交AD的延 长线于点E．已知 , 9 AC CD AE = = ，那么AD = ． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在 ABC 中， 2 B C = ，AD BC ⊥ 于点D ．若 ABC 的周长为20， 6 CD = ， 则AC 的长为 ． 3．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在 ABC 中，AB AC = ，AD BC ⊥ ，且 4 BC = ，则BD长为 学科网（北京）股份有限公司 4 / 4． （24-25 八年级上·山西吕梁·期末）在 ABC 中，AB AC = ，BD AC ⊥ 于点D，E 在AB 上，CB CE = ， 5 CD = ， 则BE = ． 5．（24-25 八年级上·湖南长沙·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ，AD BC ⊥ 于点D ，点P 是AD上一点， 连接PB ，PC ，若 27 cm PB = ，则线段PC 的长度为 cm． 6．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，AB AC = ，DB DC = ，若 6 cm BC = ，则BE = cm． 7． （24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图，在等腰 ABC 中，AB AC = ，AD为 ABC 的角平分线，若 ABC 的周长为16cm， ABD △ 的周长为12cm，则AD的长为 cm． 学科网（北京）股份有限公司 5 / 8．（24-25 八年级上·福建泉州·期中）如图，ABC 中，AB AE = ，且AD BC ⊥ ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若 ABC 周长为20， 6 CD = ，则AF = ． 题型三：“三线合一”中的面积问题 1．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在 ABC 中，AB AC AD BC ⊥ = ， 于点D ，点E ，F 是AD 上的两点，若 3 5 BD AD = = ， ，则图中阴影部分的面积是（ ） A．4.5 B．6 C．7.5 D．15 2．（2025·云南临沧·二模）如图，CD是等腰 ABC 底边上的中线，BE平分 ABC ，交CD于点E ， 8 2 AC DE = = ， ，则BCE 的面积是（ ） A．16 B．12 C．8 D．6 3．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在 ABC 中，AB AC = ，AE 是 BAC 的平分线，点D 是AE 上的一点， 2 AD DE = ，若 ADC △ 的面积为4，则 ABC 的面积是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 6 / A．6 B．8 C．10 D．12 4．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）如图，在 ABC 中， 90 ACB = ， 6 AC BC = = ，D 是AB 的中点， 点E ，F 分别在边AC ，CB 上，且满足AE CF = ，则四边形CEDF 的面积为（） A．36 B．18 C．9 D．9 2 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在 ABC 中，AB AC = ，AD平分 BAC 交BC 于点D ， 5 AD = ， 3 CD = ， 则 ABC 的面积为 ． 6．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ，D 在直线AC 左侧，满足 DC AC ⊥ 且DC AC = ，垂足为C．连接BD，若 BCD △ 的面积为16，则BC 的长为 ． 7．（23-24 八年级上·广东东莞·期中）如图，在 ABC 中，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CD AE ⊥ ，交AE 的延长线于点D，连接BD．若AB BD = ， BCD △ 的面积为15，则 ABC 的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 7 / 题型四：判断结论是否正确 1．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）如图， ABC 中，AB AC = ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是 （ ） A． B C = B．AD平分 BAC C．AD BC ⊥ D． 2 AB BD = 2．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）在 ABC 中，AB AC = ，过A 点作AD BC ⊥ ，垂足为点D ，下列结论 不正确的是（ ） A． B C = B． BAD CAD = C．BD CD = D． 1 2 BD AB = 3．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是 一个筝形，其中AD CD = ，AB CB = ，小明在探究筝形的性质时，连接AC ，BD交于点O，下列说法错误 的是（ ） A．BD平分 ABC B．BD垂直平分AC 学科网（北京）股份有限公司 8 / C． 1 2 ABCD S AC BD = 四边形 D．AO DO BO + = 4．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，ABC 中，AB AC = ，AM 是BC 边上的中线，点N 在AM 上， 则NB 与NC 的关系是（ ） A．NB NC B．NB NC C．NB NC = D．不能确定 5．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在 ABC 中， , = ⊥ AB AC AD BC ，垂足为D ，点E 是AD上一点， 连接 , BE CE ．下列说法错误的是（ ） A．BD DC = B． BAD CAD = C．AB AD = D．BE CE = 6．（24-25 八年级上·青海海东·阶段练习）如图，AD平分 , BAC EF 垂直平分AD于点E ，交BC 的延长线 于点F ，连接AF ．下列结论中不正确的是（ ） A．AF DF = B．BD CD = C． B BAD ADF + = D． BAD DAC = 7．（24-25 八年级上·山东日照·期中）如图，在四边形ABCD中，AB CD ∥ ，AD AB ⊥ ，P 是AD边上的一 学科网（北京）股份有限公司 9 / 个动点，要使PC PB + 的值最小，则点P 应满足（ ） A． APB DPC = B．PB PC = C．PA PD = D． 90 BPC = 题型五：“三线合一”中尺规作图问题（选填） 1．（2025·江苏苏州·一模）已知线段AB ，利用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，下列4 个作图中正确的有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案．其中 OAB △ 与OCD 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD的中点，OE OF ⊥ ．下 列判断错误 ．．的是（ ） A． 180 AOD BOC + = B． BOF COE = C． 90 BOD = D． BOC AOB = 3．（24-25 八年级上·河北秦皇岛·期末）在 ABC 中AB AC = ，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线 的交点为O，下列说法正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 10 / A．点O 是 ABC 的重心 B．AC 的垂直平分线一定不经过点0 C．点O 到 ABC 三边距离相等 D．点O 到 ABC 三个顶点距离相等 4．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 ABC 中，AC BC ．按下列步骤用直尺和圆规作图： 第一步：分别以点A 和点B 为圆心、大于AB 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N； 第二步：作直线MN 交边AC 于点D； 第三步：连接BD． 根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ） A．CB BD = B． A ABD = C． ADN BDN = D．MN AB ⊥ 5．（24-25 八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ，AD是边BC 上的高， 在BA，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF = ；分别以点E，F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径画弧， 两弧在 ABC 内部交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M 作MN AB ⊥ 于点N．若 2 MN = ， 3 BD = ， 4 AD MD = ，则 ABC 的面积是（ ） A．24 B．18 C．12 D．6 6．（24-25 八年级上·山东潍坊·阶段练习）在 ABC 中， 90 , 39 ACB B = = ，分别以点A，B 为圆心，大 学科网（北京）股份有限公司 11 / 于1 2 AB 的长为半径画弧，两弧交于D，E 两点，直线DE 交BC 于点F，连接AF ．以点A 为圆心，AF 的长 为半径画弧，交BC 延长线于点H，连接AH ．则 FAH 的度数是（ ） A．20 B．24 C．39 D．44 7．（24-25 七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段AB 的端点A ，B 为圆心，取大于1 2 AB 长为半径， 作两条相交的弧，交点记为C ，D ，点E 在射线DC 上．若 100 ACB = ， 30 AED = ，则 EAC = °． 8． （23-24 八年级上·湖南株洲·期中）如图，在等腰 ABC 中，在AB AC 、 上分别截取AP AQ 、 ，使AP AQ = ．再 分别以点P，Q 为圆心，以大于PQ 的长为半径作弧，两弧在 BAC 内交于点R，作射线AR ，交BC 于点D．已 知 5, 4, 6 AB AC AD BC = = = = ．若点M、N 分别是线段AD和线段AB 上的动点，则BM MN + 的最小值为 （ ） A．5 B．6.4 C．4.8 D．6 9．（24-25 八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在 ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以点A，C 为圆心， 大于1 2 AC 的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD 交BC 于点E，连接AE ，若 2 AD = ， ABC 的周长为 学科网（北京）股份有限公司 12 / 16，则ABE 的周长为( ) A．9 B．10 C．11 D．12 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在 ABC 中，AB AC = ．在AB ，AC 上分别截取AP ，AQ ，使 AP AQ = ．再分别以点P，Q 为圆心，以大于1 2 PQ的长为半径作弧，两弧在 BAC 内交于点R，作射线AR ， 交BC 于点D．若 6 BD = ，则BC 的长为（ ） A．12 B．3 C．8 D．10 题型六：“三线合一”解决实际问题 1．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条 是否水平．在这个测平仪中，AB AC = ，BC 边的中点D 处挂了一个重锤．陈老师将BC 边与木条重合，观 察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（ ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 2．（24-25 八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在 ABC 中，AB AC = ，D 是BC 的中点，连接AD，E 是AC 上一点，且AD DE = ．若 =110 BAC ，则 ADE 的度数为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 13 / A．55 B．60 C．62.5 D．70 3．（24-25 八年级下·河南焦作·阶段练习）河南所有行政村实现了5G网络覆盖，如图，为了让安装5G 设备 的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆DE 上一点A 往地面拉两条长度相等的固定绳AB 与AC ，当 BE CE = ，且点B ，E ，C 在同一直线上时，电线杆DE BC ⊥ .这种操作方法的依据是（ ） A．等角对等边 B．两点之间线段最短 C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短 4．（24-25 七年级下·全国·单元测试）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶 溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状 元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC ，AB AC = ，D 是边BC 上的一点．下列条件不能说明AD平分 BAC 的是（ ） A． ADB ADC = B．BD CD = C． 2 BC AD = D． ABD ACD S S = 5．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角 尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质 是 ． 学科网（北京）股份有限公司 14 / 6．（24-25 八年级上·北京丰台·期末）为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角 三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘， 结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数 学的角度分析，理由是 ． 题型七：“三线合一”中基础解答题 1．（24-25 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上， 且AD AE = ，若 30 CAD = ，求 EDC 的度数． 2．（24-25 七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：1 2 = ，DA DB = ， 1 2 AC AB = ．求 ACD 度数． 3．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，在 ABC 中， 7 AB AC cm = = ， 50 B AD BC = ⊥ ， 于点D，点 E 在AC 上且AE AD = ． 学科网（北京）股份有限公司 15 / (1)若 ABC 的周长是22cm ，求线段BD的长； (2)求 CDE 的度数． 4． （24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在 ABC 中， 100 A = ，D 为AC 边上一点，连接BD，BD DC = ， 过点D 作BC 的垂线，垂足为E． (1)若 20 ABD = ，求 C 的度数； (2)若 5 CE = ，BDC 的周长为24，求BD的长． 5．（24-25 七年级上·山东·期末）如图 ABC 中，AB AC = ，AE 是 ABC 中线， ACB 的平分线与AE 相 交于点D， 125 ADC = ． 求 (1) DCE 的度数． (2) BAC 的度数． 学科网（北京）股份有限公司 16 / 6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在 ABC 中，AB AC = ，D 是BC 边上的中点， 20 B = ． (1)求 DAC 的大小； (2)若 13 AB = ， 12 CD = ，求 ABC 的周长． 7．（24-25 八年级上·云南昆明·期中）如图，在 ABC 中，边BC 的垂直平分线MN ，交边AC 于点D ，交边 BC 于点E ，连接BD． (1)若 4 CE = ， ABD △ 的周长为10，求 ABC 的周长． (2)若 60 ADM = ， 20 ABD = ，求 A 的度数． 8．（24-25 八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC = ，点D 在BC 上，且点D 在AC 的垂 直平分线上，连接AD． (1)若 10, 12 AB BC = = ，求ABD 的周长； (2)分别过点 , A C 作AH BC ⊥ 于H 、CM AD ⊥ 于M ，若 2 DM = ， 8 CD = ，求BD的长． 学科网（北京）股份有限公司 17 / 9．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，AD AE 、 分别为 ABC 的高线及角平分线，且 80 BAC = ， (1)若 25 C = ，求 DAE 的度数； (2)若AB AE = ，求 C 的度数． 10． （24-25 八年级上·湖北随州·期中）如图，在等腰 ABC 中，AB AC = ， 8 BC = ， 90 BAC = ，AD是 BAC 的平分线，交BC 于D， 4 = AD ，点E 是AB 的中点，连接DE ． (1)求 B 的度数； (2)求三角形BDE的面积． 11．（24-25 八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在 ABC 中，AD BC ⊥ 于点D，EF 垂直平分AC ，交AC 于 点F，交BC 于点E，连接AE ，且AB AE = ． (1)若 40 DAE = ，求 C 的度数； (2)若 ABC 的周长为19cm ， 7cm AC = ，求DC 的长． 学科网（北京）股份有限公司 18 / 题型八：“三线合一”中求证类问题 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在 ABC 中，AB AC = ，AD为 ABC 的中线．以点A 为圆心、AD的 长为半径画弧，与AB AC ， 分别交于点E F ，，连接DE DF ， ． (1)求证：ADE ADF ≌ ； (2)若 80 BAC = ，求 BDE 的度数． 2．（24-25 八年级上·福建南平·期末）如图，在 ABC 中，AD BC ⊥ 于D ，CE AB ⊥ 于E ，AD与CE 相交 于点F ，且AD CD = ． (1)求证：AB CF = ； (2)若 1 2 AE CF = ，求 BAD 的度数． 3．（24-25 八年级上·广西崇左·期末）如图， ABC 中，AB AC = ， 90 BAC = ，点P 是BC 上的一动点， AP AQ = ， 90 PAQ = ，连接CQ ． (1)求证：CQ BC ⊥ ； (2)当点P 在什么的位置时，ACQ 是直角三角形？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 19 / 4．（24-25 八年级上·江苏镇江·期末）如图，在 ABC 中，BA BC = ，CD AB ⊥ ，垂足为D ，BE AC ⊥ ，垂 足为E ，CD、BE 交于点F ，BD CD = ．求证： (1) BDF CDA △ ≌△ ； (2) 2 BF CE = ． 5．（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在 ABC 中，AB AC = ，D、E、F 分别在三边上，且BE CD = ， BD CF = ，G 为EF 的中点． (1)若 40 A = ，求 ABC 的度数； (2)求证：DG 垂直平分EF ． 6．（2024 八年级下·天津·专题练习）如图，在 ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ， D为线段CE 的中点，BE AC = ． (1)求证：AD BC ⊥ ； (2)若 75 BAC = ，求 B = ． 学科网（北京）股份有限公司 20 / 7．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在 ABC 中，AB AC = ，AD是BC 边上的中线， , AE BC CE AE ⊥ ∥ ，垂足为E． (1)求证： ABD CAE △ △ ≌ ； (2)若 ABD △ 的面积是2，求四边形ABCE的面积． 8． （24-25 八年级上·山东临沂·期中）如图：在 ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ， D为线段CE 的中点，BE AC = ． (1)求证：AD BC ⊥ ； (2)若 35 B = ，求 C 的度数． 题型九：“三线合一”中尺规作图解答题 1．（24-25 八年级上·广东广州·期中）已知：在 ABC 中，AB AC = ， (1)（尺规作图）求作： BAC 的角平分线AD，使得AD与BC 相交于点D ． (2)若 5 CD = ，求BC 的长． 学科网（北京）股份有限公司 21 / 2．（24-25 七年级下·河南平顶山·期末）作图题：以下画图或尺规作图不写画法，保留作图痕迹． (1)如图1，Rt ABC △ 的顶点A 在直线l 上，已知 90 , 1 35 BAC = = ，画出 ABC 关于直线l 的对称 AB C △ ， 并直接写出 CAC 的度数； (2)如图2， , , A B C 表示不在同一直线上的三个小区位置，现要建一个快递接收站点P ，使PA PB PC = = ， 请利用尺规作图，画出点P 的位置，并说出其中用到的数学道理． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知在 ABC 中，B C = ，请用尺规作图法在边BC 上求作一点D ， 连接AD，使得 ABD ACD △ ≌△ ．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025·广东潮州·一模）如图，在 ABC 中，AB BC = ．用尺规作图：作 ABC 关于直线AC 对称的 ADC △ ．（不写作法，但要保留作图痕迹．） 5．（2025·江西新余·二模）如图，在6 6 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在 格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） 学科网（北京）股份有限公司 22 / (1)在图（1）中画出一个ABP ，使 ABP ABC S S = △ △ ，P 为格点（点P 不在点C 处）； (2)在图（2）中的边BC 上找一点D ，使点D 到AB 和AC 所在直线距离相等． 6．（24-25 七年级下·吉林·期中）如图，在6 6 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小 正方形的边长均为1，、、 A B C 三点均在格点上． (1)在图①中，作 ABC 的角平分线AE ； (2)在图②中，作 BAC 的角平分线AF ； (3)在图③中，CD是 ABC 的角平分线，作 ABC 的角平分线AG ． 7．（2025·河南·二模）如图，已知ABC ． (1)请用无刻度的直尺和圆规在BC 上方作 CBE ACB = ，在射线BE上截取BD BA = ，连接AD交BC 于点 F ．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若AD BC ⊥ ，求证：BF CF = ． 8．（23-24 八年级下·贵州六盘水·期中）在 ABC 中，AB AC = ． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作 BAC 的平分线和AB 的垂直平分线，交点为P （不写作法，保留作 图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 23 / (2)连接PB ，若 70 ABC = ，求 ABP 的度数． 9．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，AB AC = ，AD AE = ， DAC EAB = ． (1)求证：BD EC = ． (2)用直尺和圆规作图：过点A 作AF BC ⊥ ，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 题型一：等腰三角形“三线合一”中线段和最值问题 1．（24-25 七年级下·安徽宿州·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， 3 AC = ， 4 BC = ， 5 AB = ，AD 是 BAC 的平分线，若P 、Q 分别是AD和AC 上的动点，则PC PQ + 的最小值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2.4 2．（2025·山东济宁·一模）如图，在ABC 中， 10 AB AC = = ， 12 BC = ， 8 AD = ，AD BC ⊥ ．若P、Q 分 别是AD和AC 上的动点，则PC PQ + 的最小值是 ． 3． （24-25 八年级下·江西九江·期中）如图，在 ABC 中，AB AC = ，D 为BC 的中点， 4 3 5 AD BD AB = = = ， ， ， 点P 为AD边上的动点，点E 为AB 边上的动点，则PE PB + 的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 24 / 4．（24-25 八年级上·山西大同·期末）如图， ABC 中，AB AC = ， 3 BC = ， ABC 的面积是6．若D 为底 边BC 的中点，P 为AC 的垂直平分线EF 上的一个动点，连接 , PD PC ，则PC PD + 的最小值是 ． 5．（24-25 八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在 ABC 中，AB AC = ，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点， ABC 的面积为12， 4 BC = ，则BM DM + 的最小值为 ， BM DM − 的最大值为 ． 6．（24-25 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在 ABC 中， 5 AB AC = = ， 6 BC = ， 4 = AD ，AD是BC 边上的中线，若P ，Q 分别是AD和AC 上的动点，则PC PQ + 的最小值是 ． 7．（24-25 七年级下·山东青岛·期末）如图， ABC 中， 13 10 AB AC BC AD = = = ， ， 是BC 边上的中线且 12 AD = ，F 是AD上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF EF + 的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 25 / 8．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）如图， ABC 中，AB AC = ， 4 BC = ， 8 ABC S = △ ，点D 是BC 中点， EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD + 最小，则其最小 值为 ． 9．（24-25 八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在 ABC 中，BA BC = ，BD平分 ABC ，交AC 于点D， 点M、N 分别为BD、BC 上的动点，若 10 BC = ， ABC 的面积为40 ，则CM MN + 的最小值为 ． 题型二：等腰三角形“三线合一”中周长最值问题 1．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形OAB 的底边在x 轴上， ( ) 6,0 B ，面积是18，腰AO 的垂直平分线EF 分别交AO AB 、 边于E、F 点．若点C 为OB 边的中点，点M 为线段EF 上动点，则 COM △ 周长的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 26 / 2．（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，在 ABC 中， B C = ， 4 BC = ， 10 ABC S = △ ，AD BC ⊥ 于点 D，EF 垂直平分AB ，垂足为点E ，交AC 于点F ，点P 是EF 上一动点，则 PBD △ 周长的最小值为 ． 3． （24-25 八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 8 BC = ，ABC 面积为16，AD BC ⊥ 于点D，直线EF 垂直平分AB 交AB 于点E，交BC 于点F，P 为直线EF 上一动点，则 PBD △ 周长的最小 值为 ． 4．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，在 ABC 中，AB AC = ， 4 BC = ， ABC 的面积是10，AB 的 垂直平分线ED分别交AC ，AB 边于E ，D 两点，若F 为BC 边的中点，在线段ED上存在一点P ，使P， B，F 三点构成的 PBF △ 的周长最小，则 PBF △ 周长的最小值为 ． 5．（24-25 八年级上·山东聊城·期中）如图，在 ABC 中， , 5, AB AC BC ABC = = △ 的面积为20．DE 垂直平 分AC ，分别交边 , AB AC 于点D，E，点F 为直线DE 上一动点，点G 为BC 的中点，连接 , FG FC ，则 FGC △ 的周长的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 27 / 6．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图，等腰 ABC 中，AB AC = ， 12 BC = ，面积为48．EF 垂直平 分AC ，垂足为点E ，交AB 边于点F ，点D 是边BC 的中点，点M 在线段EF 上移动，连接CM ，DM ， 则DMC 的周长的最小值为 ． 7．（24-25 九年级上·北京·期中）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为3，面积是12，腰AC 的垂直平分 线EF 分别交AC AB ， 边于E，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM 周长的 最小值为 ． 8．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为12的 ABC 中，AB AC = ， 6 BC = ，AD BC ⊥ 于点D ， 直线EF 垂直平分AB 交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 为直线EF 上一动点，则 PBD △ 周长的最小值为 ． 题型三：等腰三角形“三线合一”中需分情况讨论问题 1．（24-25 八年级下·辽宁阜新·期中）已知 ABC 中，AB AC = ，AD是BC 边上的中线，且 40 BAD = ，点 E 是边AC 上的一点，若 ADE 为等腰三角形，则 EDC 的度数是 ． 2．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在 ABC 中，AD是BC 边上的高，垂足为点D ，点E 在 射线BC 上，连接AE ，若AB AE CE = = ， 10 AB = ， 8 BD = ，则CD = ． 学科网（北京）股份有限公司 28 / 3．（24-25 九年级上·上海·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角 是 ． 4．（2025 七年级下·全国·专题练习）已知，在 OPQ △ 中，OP OQ = ，OP 的垂直平分线交OP 于点D，交直 线OQ 于点E， 50 OEP = ，求 POQ 的度数． 题型四：“三线合一”中多结论问题 1．（23-24 八年级上·西藏拉萨·期中）如图，在 ABC 中，AB AC AD = ， 平分 BAC DE AB DF AC E F ⊥ ⊥ ， ， ，，为垂足，则下列结论： （1）BD DC = ； （2）BAD CAD = ； （3）AD BC ⊥ ； （4）DE DF = ，其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（24-25 八年级上·广东东莞·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形ABCD是一个筝 形，其中AD CD = ，AB CB = ，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC BD ⊥ ；② 1 2 AO CO AC = = ； ③ ABD CBD ≌ △ △ ；④若 6 AC = ， 8 BD = ，则四边形ABCD的面积等于48，其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（24-25 七年级上·山东泰安·期末）如图，分别以 ABC 的顶点 , A C 为圆心，以大于1 2 AC 的长为半径画 弧，两弧相交于 , D E 两点，连接ED交AC 于F ，再以F 为圆心，FC 为半径画弧，交BC 于点G ，连接AG ．若 AB AC = ，则下列说法：①AG BC ⊥ ；② BAG CAG = ∠ ∠ ；③AG BG = ；④BG CG = ．其中不一定正确 的有（ ） 学科网（北京）股份有限公司 29 / A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（24-25 八年级上·全国·期末）如图所示，在 ABC 中，内角 BAC 与外角 CBE 的平分线相交于点P， BE BC = ，PB 与CE 交于点H，PG AD ∥ 交BC 于点F，交AB 于点G，连接CP ．下列结论：① 2 ACB APB = ∠ ∠ ； ② : : PAC PAB S S PC PB = △ △ ；③BP垂直平分CE ；④ PCF CPF = ∠ ∠ ．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图， ABC 中， 90 BAC = ，AD BC ⊥ ， ABC 的平 分线BE 交AD于点F ，AG 平分 DAC ．给出下列结论：① BAD C = ；② AEF AFE = ；③ EBC C = ；④AG EF ⊥ ；⑤点G 在EF 的垂直平分线上，其中正确结论是（ ） A．②③⑤ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 6．（24-25 九年级下·河北石家庄·阶段练习）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图， 其中 OAB △ 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD的中点， OE OF ⊥ ．下列推断：①OB OD ⊥ ；② BOC AOB = ；③OE OF = ；④ 180 BOC AOD + = ，正确的 是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 学科网（北京）股份有限公司 30 / 7．（23-24 八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，等腰 ABC 中，AB AC = ， BD AC ⊥ ，CE AB ⊥ ，下列结论： ①BD CE = ；② BCE CBD = ；③ 1 2 DBC BAC = ；④AF 垂直平分BC ；正确的个数是（ ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4 个 题型五：“三线合一”中解答题压轴 1．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）如图， 90 BAD CAE = = ，AB AD = ，AE AC = ，AF CB ⊥ ，垂足 为F． (1)求证： ABC ADE △ ≌△ ； (2)求 FAC 的度数； (3)求证： ABF ADC = ，并直接写出线段CD、BC 、BF 之间的数量关系． 2．（24-25 八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD = ， 180 ABC ADC + = ．E、 F 两点分别是BC 、CD上的点，且EF BE FD = + ，试探究图中 EAF 与 BAD 的数量关系． 小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长FD 到点G，使DG BE = ，连接AG ．然后顺利的完成了此题的 解答．请你按照他的方法写出解答过程． （2）如图2，在四边形ABCD中， 180 ABC ADC + = ，AB AD = ．若E、Ｆ分别在CB 、CD的延长线上， 且仍然满足EF BE FD = + ，请直接写出 EAF 与 BAD 的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 31 / 3．（24-25 八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在 ABC 中， 90 ACB = ，AC BC = ，E 为AC 的中点，过点 A 作AD AB ⊥ 交BE 的延长线于点D ，CG 平分 ACB 交BD于点G ． (1)求证：点G 在AB 的垂直平分线上； (2)在AB 上确定一点F ，使得AF AD = ，连接CF ，求证： 180 CFB CGB + = ．（利用尺规作图将图形补 充完整，保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25 八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，AB CD ∥ ，BP和PC 分别平分 ABC 和 DCB ，两线相交 于点P，过P 点的直线EF 分别与射线BA，射线CD相交于点E，F． 【问题引入】（1）若EF AB ⊥ ，求证：PE PF = ． 【探索研究】（2）若将（1）中“ EF AB ⊥ ”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若 7 BC m = + ， 5 CF m = + ，求BE 的长． 学科网（北京）股份有限公司 32 / 5． （23-24 七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △ 中，AB AC = ， 45 DEF = 且 DEF 的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M，N， (1)当BE CN = 且M 与A 重合时，求证： ABE ECN △ ≌△ (2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN = + 6．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（1），正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A B C O 与 正方形ABCD的边长相等．在正方形A B C O 绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形 OEBF 的面积）始终等于正方形ABCD面积的1 4 ． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形A B C O 这一条件主要用到的信息是 90 A OC = ， 图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（2 ），ABC 中， 90 ABC = ， BA BC = ，O是边AC 的中点．以O为顶点作 90 A OC = ，OA交线段AB 于点E ，OC交线段BC 于点F ．请 完成以下问题： 问题（1）：四边形OEBF 的面积是 ABC 面积的________． 问题（2）：猜想线段BE BF AB 、 、 之间的等量关系，并说明理由． 【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让 A OC 绕点O旋转，OA交直线AB 于点E， OC交直线BC 于点F ，连接EF ．若 4 AB = ， 1 BE = ，请直接写出OEF 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 33 / 7．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图1，在Rt ABC △ 中． 90 BAC = ，AB AC = ，D 为 ABC 内一 点． 90 EAD = ，且AE AD = ，连接CE ，BD的延长线与CE 交于点F． (1)求证：BD CE = ，BD CE ⊥ ； (2)如图2，连接AF ，DC ，已知 135 BDC = ． ①判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由； ②当F 是线段CE 中点时，直接写出线段AD与线段BD的关系： ． 8．（24-25 八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在 ABC 中，AB AC = ， 6 BC = ，点P 从点B 出发沿射线BA移动，同时，点Q 从点C 发沿线段AC 的延长线移动，已知点P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D． (1)如图1，当点P 为AB 的中点时，求证：PD DQ = ． (2)如图2，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E，当点P，Q 在移动的过程中，线段ED长度是否保持不变？ 请说明理由． 1．（24-25 七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这 个等腰三角形的顶角的度数是（ ） A．90 B．60 C．45 D．30 2．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知 ABC 的面积为12，BP平分 ABC ，且AP BP ⊥ 于 点P ，则BPC 的面积是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 34 / A．10 B．8 C．6 D．4 3．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（ ） A．三角形的三条高线交于一点 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等 4． （2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形ABC 中， 90 ABC = ，D 为AC 边上中点，过D 点作DE DF ⊥ 交AB 于E ，交BC 于F ，若AB 的长为8，则四边形BFDE的面积为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 5． （23-24 八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线l 经过线段AB 的中点O，点P 在直线l 上，且PA PB = ， 则下列结论： PAO PBO = ① ； 30 A = ② ； PO ③ 平分 APB ； PO ④ 垂直平分线段AB ．其中正确的 个数有（ ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4 个 6．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点D ，C ，E 在直线l 上，点A ，B 在l 的同侧，AC BC ⊥ ， 若AD AC BC BE = = = ， 6 CD = ， 12 ACD S = ，则CE 的长是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 35 / A．7 B．8 C．9 D．10 7．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，在 ABC 中，AB AC = ，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ， C 重合），连接AD，作 40 ADE B = = ，DE 交线段AC 于点E ，下列结论：① DEC BDA = ；②若 AB DC = ，则AD DE = ；③当DE AC ⊥ 时，则D 为BC 中点；④当 ADE 为等腰三角形时， 40 BAD = ； 其中正确的有（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 8． （24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中AB AC = ，立柱AD BC ⊥ ， 且顶角 110 BAC = ，则 DAB 的度数为 ． 9．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在 ABC 中， , AB BC BE = 是 ABC 的中线，AD BC ⊥ 于 点D ，若 36 DAB = ，则 EBC 的度数为 ． 10．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 ABC 中，BC 的垂直平分线EF 交 ABC 的平分线BD 于点E，若 66 BAC = ， 24 ACE = ，则 BEF 的度数为 ． 11．（2025·陕西·模拟预测）如图，在 ABC 中，AC BC = ，CG AB ⊥ 于点G ，点D 、E 在边AB 上，点D 在 学科网（北京）股份有限公司 36 / 点G 的左侧，且AD BE = ，则图中全等三角形的对数共有 对． 12．（23-24 七年级下·山东东营·期中）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AC 的垂直 平分线EF 分别交AC ，AB 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM 的 周长的最小值为 ． 13．（24-25 八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形ABCD中， 90 ABC = ，AD BC ∥ ，AB BC = ，E 是AB 的中点，CE BD ⊥ ． (1)求证： ABD BCE △ △ ≌ ． (2)求证：AC 是线段ED的垂直平分线． 14．（24-25 七年级下·河南驻马店·期末）如图：在 ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于 点F ，D为线段CE 的中点，BE AC = ． (1)试说明：AD BC ⊥ ； 学科网（北京）股份有限公司 37 / (2)若 35 B = ，求 C 的度数． 15．（24-25 七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：在 ABC 中，点D E F 、、 分别在边BC AC AB 、 、 上， FD DE BF CD FDE B = = = ， ， ． FDE B =． (1)求证：AB AC = ； (2)连接AD，如果AD平分 FDE ，求证：AD BC ⊥ ． 16．（2025·陕西榆林·三模）已知， ABC 中，AB AC = ， 40 A = ，D 为BC 的中点，请利用尺规作图法 在 ABC 内部确定点E ，使E 到B 、C 的距离相等且 55 BED = ．（不写做法，保留作图痕迹） 17．（2025·广东广州·二模）以线段AC 、CB 为底，在平面内构造等腰ACD 与等腰 CBE △ ，DA DC = ， EC EB = ， ADC = ， CEB = ，且 180 + = ． (1)如图1，当点A 、B 、C 三点共线时，求证：DC CE ⊥ (2)如图2，当点A 、B 、C 三点不共线时，若 60 = ，连接AB ，点F 为AB 中点，连接DF 、EF ，求证： DF EF ； (3)如图3，当点B 在线段AD上运动且点E 在直线BC 的下方时（点B 与A 、D 不重合），请直接写出 ．．．． AEC 与 DBC 的数量关系．
