文档文本内容
1 / 41
学科网（北京）股份有限公司
2.2 等腰三角形及其性质
课标要点
1.理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本
概念，明晰等腰三角形与等边三角形的从属关系，能准确识别等腰三角形的各组成部分。
2.经历等腰三角形性质、等边三角形性质的探索、猜想与证明过程，掌握等腰三角形“等
边对等角、三线合一”与等边三角形“内角都等于60°”的核心性质，能熟练运用文字
语言与几何符号语言表述性质。
3.掌握等腰三角形“三线合一”的重要性质，明确等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合，理解该性质的几何内涵与适用条件。
4.了解等腰三角形的轴对称性，知晓等腰三角形是轴对称图形，其对称轴为顶角平分线（底
边上的中线、底边上的高）所在直线，结合轴对称性质理解等腰三角形边角等量关系。
5.能运用等腰三角形的性质，进行三角形角度、边长的计算，解决角度求值、边长求解、
简单几何说理与证明问题。
6.掌握等腰三角形的基础作图方法，能根据已知条件作出等腰三角形，规范作图步骤，结
合图形性质分析图形特征。
7.初步学会运用分类讨论思想解决等腰三角形相关问题，结合三角形内角和、三边关系，
规避解题中的漏解、错解问题，培养严谨的几何思维。
学习重难点
重点：
1.掌握等腰三角形与等边三角形的定义与基本概念，熟练运用等腰三角形与等边三角形的
性质进行角度、边长的计算与几何说理。
2.深刻理解并熟练运用等腰三角形“三线合一”性质，掌握其几何语言表达，能运用该性
质解决线段垂直、线段相等、角相等的证明与计算问题。
3.掌握等腰三角形的轴对称特征，能结合轴对称性质分析等腰三角形的边角关系，解决基
础图形变换问题。
4.熟练掌握等腰三角形与等边三角形基础题型的解题思路，规范几何推理与书写格式。
难点：
1.精准理解“三线合一”的本质内涵，明确该性质仅适用于等腰三角形，且针对顶角与底
边对应的三线，避免滥用、错用性质。
2.运用分类讨论思想解决等腰三角形问题，针对腰与底边不明确、顶角与底角不明确的题
第二章
特殊三角形
2 / 41
学科网（北京）股份有限公司
型，全面分类讨论，结合三角形三边关系、内角和定理排除无效情况。
3.在复杂图形、折叠、组合几何图形中，挖掘等腰三角形、等边三角形的隐含条件，结合
全等三角形、轴对称知识完成多步综合推理。
4.灵活整合等腰三角形与等边三角形的性质，构建完整逻辑推理链，解决综合性求值、证
明题型，突破单一性质解题的思维局限。
知识点
等腰三角形与等边三角形的定义
1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形。
2.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形。
随学随练
1．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3 和6，则该三角形的周长是（ ）
A．12
B．15
C．9
D．6
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验
证能否构成三角形，最后计算周长．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当3 为底边长时，两腰长均为6，
特别提醒
等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形范畴。等腰三角形包含一般等腰三角形和等边三角
形两类。
3 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∵3 + 6 > 6，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为3 + 6 + 6 = 15；
②当3 为腰长时，底边长为6，
∵3 + 3 = 6，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去；
因此三角形的周长为15．
2．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．1，2，1
C．2，2，3
D．2，5，2
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构
成等腰三角形．
【详解】解：A、1 + 2 = 3，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
B、1 + 1 = 2，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且2 + 2 > 3，满足三边关系，
∴可构成等腰三角形，该选项符合题意；
D、2 + 2 < 5，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
故选：C．
知识点
等腰三角形的性质（重点）
1. 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2. 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（简写成“三线合一”）。
随学随练
1．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 130°，则∠𝐶的度数为（ ）
易错提醒
1）三线合一仅适用于等腰三角形底边，腰上的高、中线、角平分线不重合；
2）等边对等角、三线合一必须在同一个三角形中使用；
3）已知等腰三角形边长、角度时，需分类讨论，易漏解。
4 / 41
学科网（北京）股份有限公司
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】B
【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶=
180°−∠𝐴
2
= 25°．
2．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，为
了方便灌溉，从顶点A 修了一条与底边𝐵𝐶垂直的水渠𝐴𝐷， 已知𝐵𝐷= 20m， 则𝐶𝐷=_______m．
【答案】20
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三
角形“三线合一”进行求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
∵𝐵𝐷= 20m，
∴𝐶𝐷= 20m．
故答案为：20．
3．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，E 为𝐴𝐶上一点，且
𝐴𝐷= 𝐴𝐸，连接𝐷𝐸．若∠𝐵𝐴𝐶= 80°，求∠𝐶𝐷𝐸的度数．
【答案】20°
【分析】先根据垂直定义可得：∠𝐴𝐷𝐶= 90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠𝐵𝐴𝐷=
∠𝐶𝐴𝐷= 40°，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 70°，从而利用角
的和差关系进行计算，即可解答．
5 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 80°
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 40°，∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷=
180°−∠𝐷𝐴𝐸
2
= 70°，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝐸= 20°．
知识点
等边三角形的性质（重点）
1. 等边三角形的性质：等边三角形的各个内角都等于60°。
随学随练
1．（25-26 八年级下·山西太原·期中）如图，直线𝑎∥𝑏，等边△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐶在直线𝑏上，若∠1 = 38°，则∠2
的度数为（ ）
A．98°
B．102°
C．120°
D．142°
【答案】A
【详解】解：如图，
∵∠1 = 38°，
∴∠3 = ∠1 = 38°，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴= 60°，
易错提醒
1）不可将等边三角形的三线合一、三角60°性质套用到普通等腰三角形；
2）等边三角形任意两角、任意两边均相等，无需区分腰与底、顶角与底角。
6 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴∠4 = ∠3 + ∠𝐴= 38° + 60° = 98°，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠2 = ∠4 = 98°．
2．（2026·贵州遵义·二模）如图，𝐴𝐷是等边△𝐴𝐵𝐶的高，若𝐴𝐵= 4，则𝐶𝐷的长为_________．
【答案】2
【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是等边△𝐴𝐵𝐶的高，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵= 4，𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶= 2．
3．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，D、E 分别为𝐵𝐶、𝐶𝐴延长线上一点，且满足𝐶𝐷=
𝐴𝐸，连接𝐴𝐷、𝐵𝐸，求证：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷．
【答案】
证明：在等边△𝐴𝐵𝐶中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 120°，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，进而得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，利用SAS判定定理证明△
𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷，从而得出结论．
【详解】略
7 / 41
学科网（北京）股份有限公司
知识点
尺规作图——作等腰三角形
1. 已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形。
作法：如图（2），①作线段AB=a；
②作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；
③在MN 上取一点C，使DC=h；
④连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形。
随学随练
1．（25-26 九年级上·云南昆明·期中）用直尺和圆规作等腰△𝐴𝐵𝐶，使∠𝐵𝐴𝐶为顶角．下列四个选项中，符
合要求的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图作等腰三角形；逐项判断各选项的作法是否符合要求即可．
【详解】解：由题知，四个选项所作的三角形均是等腰三角形，但前三个选项的等腰三角形的顶角不是
∠𝐵𝐴𝐶，只有选项D 中等腰三角形的顶角是∠𝐵𝐴𝐶，故选项D 中等腰三角形符合题意；
特别提醒
作图依据：等腰三角形两腰相等，依托尺规作等长线段完成，核心是确定顶点位置。
8 / 41
学科网（北京）股份有限公司
故选：D．
2．（25-26 八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑎，高𝐴𝐷= 𝑏．（用
圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
【答案】
【详解】解：先作一条直线，在直线上取点D，过D 作直线的垂线，再以点D 为圆心，线段𝑏的长为半径
画弧，交垂线于点A，连接𝐴𝐷，此时𝐴𝐷= 𝑏；以A 为圆心，线段𝑎的长为半径画弧，交第一步的直线于
B、C 两点，连接𝐴𝐵、𝐴𝐶，此时△𝐴𝐵𝐶即为所求三角形．
拓展
等腰三角形与等边三角形定义核心对比
1. 定义与图形属性对比
类别
等腰三角形
等边三角形
边长特征
有且仅有两条边相等
三条边全部相等
图形关系
基础三角形图形
特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集
对称轴情况
是轴对称图形，仅有1 条对称轴（顶角平
分线所在直线）
是轴对称图形，有3 条对称轴
2. 从属关系辨析
①等边三角形满足等腰三角形“两边相等”的定义要求，因此所有等边三角形都是等腰三角形；
②普通等腰三角形仅两条边相等，不满足三边相等条件，因此等腰三角形不一定是等边三角形。
活学活用
9 / 41
学科网（北京）股份有限公司
1．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰
长为（ ）
A．7cm
B．5cm
C．3cm
D．7cm或3cm
【答案】B
【分析】分两种情况：①当腰长为3cm时，②当底边长为3cm时，再结合三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：①当腰长为3cm时，则底边长为13 −3 −3 = 7(cm)，
三角形的三边长分别为3cm，3cm，7cm，此时3 + 3 = 6 < 7，不满足三角形三边关系，不能组成三角
形，不符合题意，舍去；
②当底边长为3cm时，则腰长为
13−3
2
= 5(cm)，
三角形的三边长分别为3cm，5cm，5cm，此时3 + 5 = 8 > 5，满足三角形三边关系，能组成三角形，符
合题意；
综上，该等腰三角形的腰长为5cm．
2．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则𝑎的值是（ ）
A．5
B．7
C．8
D．14
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系，得到9 < 𝑎< 15，再根据等腰三角形的定义即可得出结果.
【详解】解：由题意，14 −5 < 𝑎< 14 + 5且8 −7 < 𝑎< 8 + 7，
故9 < 𝑎< 15，
又∵图中三角形有一个是等腰三角形，
故𝑎= 14.
拓展
等腰与等边三角形性质差异对比
对比维度
等腰三角形
等边三角形
角度性质
满足等边对等角，仅两腰对应的两个底
角相等，顶角与底角度数不等；内角无
三个内角完全相等，度数固定为
60°，任意两边均可对等角，完全满
10 / 41
学科网（北京）股份有限公司
固定数值，内角和为180°
足等边对等角性质
特殊线段性质
（三线合一）
仅底边对应的顶角平分线、底边上的中
线、底边上的高线互相重合，两腰对应
的线段无此性质
三组线段均满足三线合一，任意内角
平分线、对边中线、对边高线都互相
重合，是等腰三角形三线合一性质的
延伸
活学活用
1．如下图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝑃，𝑄是𝐵𝐶边上两点，𝐴𝑃= 𝐴𝑄，∠𝐵𝐴𝑃= 20°．求∠𝐴𝑄𝐵的度数．
【答案】∠𝐴𝑄𝐵= 80°
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握利用等边三角形得
60°角，结合外角定理和等腰三角形性质求角度是解题的关键．
先由等边三角形得∠𝐵= 60°，用三角形外角性质求∠𝐴𝑃𝐶，再由𝐴𝑃= 𝐴𝑄得∠𝐴𝑄𝐵= ∠𝐴𝑃𝐶．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴∠𝐵= 60°，
又∵∠𝐵𝐴𝑃= 20°，
∴∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐵= 80°．
∵𝐴𝑃= 𝐴𝑄，
∴∠𝐴𝑄𝐵= ∠𝐴𝑃𝐶= 80°．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐸是边𝐵𝐶上的一点，且𝐴𝐸= 𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶= 80°,∠𝐶= 60°．
(1)求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐶；
(2)求∠𝐵𝐴𝐸的大小．
【答案】(1)见解析
(2)20°
11 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差．
（1）先由𝐴𝐸= 𝐴𝐶得△𝐴𝐶𝐸是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（2）先由已知得∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶= 60°，则∠𝐶𝐴𝐸= 60°，再根据∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸计算即可．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐸是等腰三角形，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，即𝐴𝐷⊥𝐸𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶；
（2）解：∵𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶= 60°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 60°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 20°．
题型
等腰三角形的定义
▌例1．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）等腰三角形周长是19，其中一边长是5，则等腰三角形的底边长
是（ ）
A．5
B．5或9
C．9
D．7
【答案】B
【分析】分两种情况讨论，将边长为5的边分别作为腰长和底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三
角形，即可得到底边长的所有可能结果．
【详解】解：情况1：若边长为5的边是等腰三角形的腰长；
∵周长为19，
∴底边长为19 −2 × 5 = 9，
∵5 + 5 = 10 > 9，满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴该情况成立，此时底边长为9；
情况2：若边长为5的边是等腰三角形的底边长，则腰长为
19−5
2
= 7，
解题贴士
有两条边相等的三角形为等腰三角形；解题时通过边长计算、角度推导，找出一组相等边即可判定，常
结合三角形三边关系、内角和求解边长、角度。
12 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∵5 + 7 = 12 > 7，满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴该情况成立，此时底边长为5；
综上，等腰三角形的底边长为5或9．
▌例2．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形一个外角等于80°，则它的三个内角的度数分别为
______．
【答案】100°，40°，40°
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的外角的性质．由外角性质求出相邻内角，再根据等腰三
角形的性质讨论可能情况．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于80°，
∴与这个外角相邻的内角是180° −80° = 100°．
当100°的内角是顶角时，底角度数为
180°−100°
2
= 40°，此时三个内角为100°，40°，40°；
当100°的内角是底角时，另一个底角也为100°，但100° + 100° = 200° > 180°，不符合三角形内角和定
理，故舍去．
因此三个内角为100°，40°，40°．
故答案为100°，40°，40°
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）在等腰△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 120°，则这个等腰三角形的底
角为（ ）
A．120°
B．30°
C．30°或120°
D．60°
【答案】B
【详解】解：∵三角形内角和为180°，若120°为底角，则两个底角的和为120° + 120° = 240° > 180°，不
符合三角形内角和定理，
∴∠𝐴= 120°只能是等腰△𝐴𝐵𝐶的顶角，
∴底角为
180°−120°
2
= 30°．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2 和5，则它的周长为（ ）
A．8
B．9
C．9 或12
D．12
【答案】D
【分析】需分情况讨论，①当2为腰长，5为底边长时，②当5为腰长，2为底边长时，验证能否构成三角
形后计算周长即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当2为腰长，5为底边长时，
∵2 + 2 = 4 < 5，
∴2，2，5 无法构成三角形，此情况舍去．
13 / 41
学科网（北京）股份有限公司
②当5为腰长，2为底边长时，
∵2 + 5 > 5，
∴2，5，5 可以构成三角形，
则它的周长为5 + 5 + 2 = 12．
综上所述，这个等腰三角形的周长为12．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山东枣庄·期中）已知𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边，且满足𝑎2 −𝑐2 = 0，则△𝐴𝐵𝐶
的形状一定是__________．
【答案】等腰三角形
【分析】根据𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边可知𝑎> 0, 𝑐> 0，进而根据𝑎2 −𝑐2 = 0得到𝑎= 𝑐，可知△𝐴𝐵𝐶的形状
一定是等腰三角形．
【详解】解：∵𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边，
∴𝑎> 0, 𝑐> 0，
∵𝑎2 −𝑐2 = 0，
∴𝑎2 = 𝑐2，
∴𝑎= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶的形状一定是等腰三角形．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰△𝐴𝐵𝐶的两边x，y 满足|𝑥−4| + (𝑦−5)2 = 0，
求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【答案】13 或14
【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据非负性求出𝑥, 𝑦的值，再分2 种
情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵|𝑥−4| + (𝑦−5)2 = 0，
∴𝑥−4 = 0且𝑦−5 = 0，
∴𝑥= 4，𝑦= 5，
当x 是腰，y 是底边时，4 + 4 > 5，能组成三角形，
此时△𝐴𝐵𝐶的周长= 4 + 4 + 5 = 13，
当y 是腰，x 是底边时，5 + 5 > 4，能组成三角形，
此时△𝐴𝐵𝐶的周长= 5 + 5 + 4 = 14，
综上，△𝐴𝐵𝐶的周长为13 或14．
▌对点练1-5．（25-26 八年级上·贵州遵义·期中）已知𝑎, 𝑏, 𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长，𝑎= 4, 𝑏= 7．
(1)求𝑐的取值范围．
(2)若△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，△𝐴𝐵𝐶的周长是多少．
14 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)3 < 𝑐< 11
(2)15 或18
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关
键．
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可；
（2）根据𝑎≠𝑏，c 必须与a 或b 相等，再分两种情况：𝑐= 𝑎= 4和𝑐= 𝑏= 7，结合（1）所求的c 的取值
范围，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵𝑎, 𝑏, 𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长，𝑎= 4, 𝑏= 7
∴𝑏−𝑎< 𝑐< 𝑏+ 𝑎，即7 −4 < 𝑐< 7 + 4，
∴3 < 𝑐< 11；
（2）解：∵𝑎= 4, 𝑏= 7，
∴𝑎≠𝑏，
∴c 必须与a 或b 相等，
当𝑐= 𝑎= 4时，满足3 < 𝑐< 11，即此时能构成三角形，
∴此时△𝐴𝐵𝐶的周长= 4 + 4 + 7 = 15；
当𝑐= 𝑏= 7时，满足3 < 𝑐< 11，即此时能构成三角形，
∴此时△𝐴𝐵𝐶的周长= 4 + 7 + 7 = 18；
综上所述，△𝐴𝐵𝐶的周长是15 或18．
题型
等边对等角
▌例1．（2026·湖南长沙·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 40°，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐶𝐴𝐷的度数为
（ ）
解题贴士
等腰三角形两腰对应的底角相等，根据已知角度，结合三角形内角和180°，列式求解未知角；遇外角
题型，利用外角性质辅助计算。
15 / 41
学科网（北京）股份有限公司
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形性质可得∠𝐵= ∠𝐶= 70°，再根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
在△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 70°，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶= 70°．
▌例2．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶上，𝐴𝐶与𝐷𝐸交于点𝑂，且𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∠𝐶= ∠𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
(1)求证：𝐵𝐶= 𝐷𝐸；
(2)若∠𝐵= 75°，∠𝐶= 40°，求∠𝐶𝑂𝐸的度数．
【答案】(1)
证明：∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
∠𝐶= ∠𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(AAS)．
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐸；
(2)70°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质．
（1）由∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(AAS)，即可得解；
（2）利用全等三角形的性质，得到∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 75°，利用等边对等角，求出∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵= 75°，再利
用三角形外角的性质即可得解．
16 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，则∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 75°．
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵= 75°．
∴∠𝐶𝐷𝑂= 180° −∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐷𝑂= 30°
∴∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝑂= 70°．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川泸州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 40°，𝐴𝐶边上的高为
𝐵𝐷，则∠𝐶𝐵𝐷的度数为________．
【答案】20°/20 度
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠𝐶的度数，根据三角形高的定义求出∠𝐴𝐷𝐵的度
数，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶=
180°−∠𝐴
2
= 70°，
∵𝐴𝐶边上的高为𝐵𝐷，
∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，即∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 20° ．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所
示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒𝑂𝐴, 𝑂𝐵组成，𝑂𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸，
点𝐷、𝐸可在槽中滑动．若∠𝐵𝐷𝐸= 75°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数是_____．
【答案】25°/25度
【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，根据题意得到∠𝑂+ 2∠𝑂= 75°，由此即可求解．
17 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：∵𝑂𝐶= 𝐶𝐷，
∴∠𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂，
∵∠𝐷𝐶𝐸是外角，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝑂+ ∠𝐶𝐷𝑂= 2∠𝑂，
∵𝐶𝐷= 𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 2∠𝑂，
∵∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑂+ ∠𝐷𝐸𝐶= 75°，
∴∠𝑂+ 2∠𝑂= 75°，
解得，∠𝑂= 25°，即∠𝐴𝑂𝐵= 25°，
故答案为：25° ．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F 在一条直线上，且𝐴𝐷= 𝐶𝐹，𝐴𝐵=
𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
(2)若∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，求∠𝐹的度数．
【答案】(1)
证明：∵𝐴𝐷= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐶𝐹+ 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
又∵𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)；
(2)70°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的
性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明𝐴𝐶= 𝐷𝐹，再利用SAS即可证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹；
（2）由等边对等角和三角形内角和定理可得∠𝐴𝐶𝐵的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
18 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵=
180°−∠𝐴
2
= 70°，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 70°．
题型
三线合一
▌例1．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐵𝐶= 6，
则点𝐵到𝐴𝐷所在直线的距离是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶= 3，即点𝐵到𝐴𝐷所在直线的距离是3．
▌例2．（25-26 七年级下·甘肃白银·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，∠𝐵𝐴𝐷=
50°，则∠𝐵的度数为_______．
【答案】40°/40 度
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠𝐴𝐷𝐵= 90°，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，即∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 50°，
解题贴士
等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，已知其一条件，可直接推导另外两个条
件，用于垂直证明、线段平分、角度平分、边长计算。
19 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐵= 90° −∠𝐵𝐴𝐷= 40°
▌对点练1-1．（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，在𝐵𝐶的中点D 处挂一重锤，
让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认𝐵𝐶处于水平位置，这一判断过程体
现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合
D．三角形具有稳定性
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明𝐴𝐷⊥𝐵𝐶即可．
【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合．
理由：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶．
∵𝐴𝐷是重锤所在的直线，
∴𝐵𝐶是水平的．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）如图，等腰△𝐴𝐵𝐶的底边𝐵𝐶的长为4cm，面积是10cm2，
腰𝐴𝐵的垂直平分线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点E，F，若D 为边𝐵𝐶的中点，M 为线段𝐸𝐹上一动点，则△𝐵𝐷𝑀
周长的最小值为_____cm．
【答案】7
【分析】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高，解题的关键
在于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值．
本题连接𝐴𝐷，由于△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，点D 为边𝐵𝐶的中点，故𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，再根据三角形的面积公式求
20 / 41
学科网（北京）股份有限公司
出𝐴𝐷的长，再根据𝐸𝐹是线段𝐴𝐵的垂直平分线可知，点𝐵关于直线𝐸𝐹的对称点为点𝐴，故𝐴𝐷的长为𝐵𝑀+
𝑀𝐷的最小值，由此即可解题．
【详解】解：连接𝐴𝐷，如图所示：
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，点𝐷是𝐵𝐶边的中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∵𝐵𝐶= 4cm，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=
1
2 × 4 × 𝐴𝐷= 10，
解得𝐴𝐷= 5cm，
∵𝐸𝐹是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴点𝐵关于直线𝐸𝐹的对称点为𝐴，
∴𝐴𝐷的长为𝐵𝑀+ 𝑀𝐷的最小值，
∴△𝐵𝐷𝑀的周长的最小值为= (𝐵𝑀+ 𝑀𝐷) + 𝐵𝐷= 𝐴𝐷+
1
2 𝐵𝐶= 5 +
1
2 × 4 = 7cm．
故答案为：7．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐸是
𝐴𝐶上一点且𝐷𝐸∥𝐴𝐵．
(1)求证：𝐷𝐸= 𝐴𝐸．
(2)若∠𝐸𝐷𝐴= 24°，求∠𝐶的度数．
【答案】(1)见解析
(2)66°
【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，根据平行线的性质得到∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，进而得到
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，从而得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠𝐴𝐷𝐶= 90°，再利用∠𝐶= 90° −∠𝐶𝐴𝐷进行求解即可．
21 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸；
（2）解：∵∠𝐸𝐷𝐴= 24°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐴= 24°
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∴∠𝐶= 90° −∠𝐶𝐴𝐷= 66°．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·甘肃·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶中点，连接𝐴𝐷．
(1)求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；
(2)若𝐵𝐶= 10cm，𝐴𝐷= 12cm，求△𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】(1)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
(2)60cm2
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积；
（1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证；
（2）由三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶中点，
∴ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶．
（2）解：△𝐴𝐵𝐶的面积=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷
= 1
2 × 10 × 12
= 60（cm2）．
题型
等边三角形的性质
22 / 41
学科网（北京）股份有限公司
▌例1．（25-26 八年级上·云南红河·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，点E 为𝐵𝐶延长线上一
点，若𝐶𝐸= 𝐶𝐷= 3cm，则𝐵𝐸的长为（ ）
A．9cm
B．6cm
C．3cm
D．2cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 2𝐶𝐷= 6cm，据此根
据线段的和差关系可得答案．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐶= 2𝐶𝐷，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐷= 3cm，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 2𝐶𝐷= 6cm，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 9cm，
故选：A．
▌例2．（2026·陕西·中考真题）如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点𝐷在𝐴𝐶的延长线上，𝐶𝐸∥𝐴𝐵，𝐶𝐸=
𝐴𝐷．求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸．
【答案】证明：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐵𝐴= 𝐵𝐶，∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°
∵𝐶𝐸∥𝐴𝐵
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴
∵𝐶𝐸= 𝐴𝐷
解题贴士
等边三角形三边相等，三个内角均为60°；每条边上均满足三线合一；可直接利用边角相等、60°特殊
角，求解边长、角度、证明全等。
23 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(SAS)．
【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴，再由𝐶𝐸= 𝐴𝐷，结合
SAS即可证明．
【详解】略
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷是𝐴𝐶边上的任意一
点，点𝐵，𝐶，𝐸在同一条直线上，且𝐶𝐸= 𝐶𝐷，则∠𝐸的度数是（ ）
A．30°
B．15°
C．20°
D．35°
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得
到∠𝐴𝐶𝐵= 60°，由等边对等角和三角形外角的性质可得∠𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 30°．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐸，
∴∠𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
故选：A．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·上海金山·期末）在等边△𝐴𝐵𝐶中，若过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为点𝐷，则
∠𝐵𝐴𝐷=________°．
【答案】30
【分析】根据等边三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐶= 60°，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得𝐴𝐷平分
∠𝐵𝐴𝐶，即可计算出∠𝐵𝐴𝐷的度数．
【详解】解：如图，
24 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 60° = 30°．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川·期中）如图，在一个面积为16 的等边三角形纸片中取三边的中点，若
连接各个中点．则阴影部分的面积是______．
【答案】6
【分析】本题考查了等边三角形的中位线分割与面积计算，解题的关键是理解连接三边中点后原三角形被
等分为4 个全等小等边三角形，再结合阴影部分的组成计算总面积．
先利用中位线性质，将原等边三角形分成4 个面积相等的小等边三角形，每个面积为原三角形的
1
4；再根据
阴影部分的构成，计算两部分阴影的面积和．
【详解】解：连接等边三角形三边中点，原三角形被分成4 个全等的小等边三角形，每个小等边三角形的
面积=
16
4 = 4，
其中1 个完整小等边三角形为阴影，面积为4；
该小等边三角形被高分成2 个全等的直角三角形，每个面积为
4
2 = 2，其中1 个直角三角形为阴影，面积为
2；阴影部分总面积= 4 + 2 = 6，
故答案为：6．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， 点
E 在𝐵𝐶的延长线上，且 ∠𝐸= 30°，求𝐶𝐸的长．
【答案】3cm
【分析】根据等边三角形的性质得出∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 6cm，𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶，利用三角形内角和定理
25 / 41
学科网（北京）股份有限公司
求出角的度数证明𝐶𝐷= 𝐶𝐸．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 6cm，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 6cm，𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶= 3cm，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 120°．
又∵∠𝐸= 30°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 30° = ∠𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸= 3cm．
【点睛】重点掌握三线合一．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等边三角形（三条边都相
等，三个角都是60°的三角形），且点𝐷在𝐶𝐵的延长线上，连接𝐵𝐸与𝐴𝐷相交于点𝑃．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸；
(2)求∠𝐸𝐵𝐷．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“SAS”进行证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶= 60°，然后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸= 60° ，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷 ，
即∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐵𝐸 中
{
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸(SAS)；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
26 / 41
学科网（北京）股份有限公司
又∵由（1）得△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸= 60°
∴∠𝐸𝐵𝐷= 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸= 180° −60° −60° = 60° ．
题型
尺规作图——作等腰三角形
▌例1．（25-26 八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段𝑎，∠𝐴𝑂𝐵．
求作：等腰△𝐶𝑂𝐷，使得点𝐶，𝐷分别在𝑂𝐴，𝑂𝐵上，且底边𝐶𝐷上的高为3𝑎．
【答案】如图，△𝑂𝐶𝐷即为所求；
【分析】先作∠𝐴𝑂𝐵的平分线，再在角平分线上截取𝑂𝑄= 3𝑎，再过𝑄作角平分线的垂线，交𝑂𝐴, 𝑂𝐵于𝐶, 𝐷
即可.
【详解】解：作图依据：由作图可得：𝑂𝑄= 3𝑎，∠𝐴𝑂𝑄= ∠𝐵𝑂𝑄，𝐶𝐷⊥𝑂𝑄，
∴∠𝑂𝑄𝐶= ∠𝑂𝑄𝐷= 90°，
∵𝑂𝑄= 𝑂𝑄，
∴△𝐶𝑂𝑄≌△𝐷𝑂𝑄(ASA)，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐷，
∴△𝑂𝐶𝐷即为所求．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵= 𝐵𝐶，以下作法正确的
解题贴士
易错：①作图半径选取错误，无法交于一点；②未保留作图弧痕，考试扣分；③混淆高、腰、底边的作
图条件，图形不符合题意；④未写最终作图结论。
27 / 41
学科网（北京）股份有限公司
是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性
质推理解答即可．
【详解】解：图①中∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，则𝐵𝐴= 𝐵𝐶，符合题意；
图②中𝐴𝐵= 𝐴𝐶，不符合题意；
图③中根据平行线和角平分线的作图可得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，则𝐵𝐴= 𝐵𝐶，符合题意；
图④中作图为垂直平分线，可得𝐶𝐴= 𝐶𝐵，不符合题意；
故选：C．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，线段𝐴𝐵= 6，请利用圆规和无刻度直尺作等腰△
𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶= 𝐴𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶的面积为18．
【答案】如图，△𝐴𝐵𝐶即为所求．
【分析】由面积得𝐴𝐵边上的高为6，先作线段𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵于点𝐷，再截取𝐶𝐷= 6即可．
【详解】解：设𝐴𝐵边上的高为ℎ，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为18．
∴
1
2 𝐴𝐵· ℎ= 18，即
1
2 × 6 · ℎ= 18，
解得ℎ= 6，
故作线段𝐴𝐵的垂直平分线，并在垂直平分线上截取ℎ= 6 = 𝐴𝐵即可．
28 / 41
学科网（北京）股份有限公司
基础通关
1．（2026·内蒙古通辽·二模）若等腰三角形的两边长分别是8和9，则它的周长为（ ）
A．24
B．25
C．26
D．25或26
【答案】D
【分析】需分两种情况讨论腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否能构成三角形，再计算周
长．
【详解】解：分两种情况讨论：
当8为腰长，9为底边长时
∵8 + 8 > 9，符合三角形三边关系
∴该三角形周长为 8 + 8 + 9 = 25；
当9为腰长，8为底边长时
∵8 + 9 > 9，符合三角形三边关系
∴该三角形周长为 9 + 9 + 8 = 26
因此等腰三角形的周长为25或26．
2．（25-26 七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的第三边长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2或4
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需分情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形
三边关系排除不能构成三角形的情况，得到正确结果.
【详解】解：∵等腰三角形已知两边长为2和4，第三边有两种可能，分情况讨论：
∴当第三边长为2，
∵ 2 + 2 = 4，
∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去；
当第三边长为4，
∵ 2 + 4 > 4，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
∴第三边长为4.
3．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽
象为等腰三角形，若等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】A
29 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，即可计算出顶角度数．
【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为70°，
∴该等腰三角形两个底角的和为2 × 70° = 140°，
又∵任意三角形的内角和为180°，
∴顶角的度数为180° −140° = 40°．
4．（25-26 七年级上·山东泰安·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶如图所示放置，当△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形时，𝐴𝐶
的长为（ ）
A．3
B．4
C．3 或4
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可．
【详解】解：∵当△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形时，
①当𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 3，在△𝐴𝐶𝐷中，2 −2 < 3 < 2 + 2，
在△𝐴𝐵𝐶中，3 −3 < 4 < 3 + 3，
∴此时𝐴𝐶= 3；
②当𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4，在△𝐴𝐶𝐷中，2 −2 < 4 = 2 + 2，不符合三边关系，
∴此种情况舍去；
综上，𝐴𝐶的长为3．
故选：A．
5．（25-26 七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，
在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是
通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形的“三线合一”
30 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可．
【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中
点𝐷时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平，
∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”．
6．（2026·福建三明·二模）如图，点𝐶在线段𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝑁上，若∠𝐴𝐶𝑁= 35°，则∠𝐵=_____°．
【答案】55
【分析】由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐴= ∠𝐵，再由三角形内角和定理
即可求解．
【详解】解：∵点𝐶在线段𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝑁上，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝑁= 70°，∠𝐴= ∠𝐵，
∴∠𝐵=
1
2 (180° −∠𝐴𝐶𝐵) = 55°．
7．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰△𝐴𝐵𝐶形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均
匀，需使𝐴𝐵= 𝐴𝐶，并用𝐴𝐷连接和加固支架．已知𝐷是𝐵𝐶边的中点，且∠𝐵𝐴𝐶= 70°，则
∠𝐵𝐴𝐷=________．
【答案】35°
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
已知等腰△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是𝐵𝐶边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，𝐴𝐷平分顶角∠𝐵𝐴𝐶，
因此只需将∠𝐵𝐴𝐶的度数除以2即可得到∠𝐵𝐴𝐷的度数．
【详解】解：∵在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是𝐵𝐶边的中点，
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶（等腰三角形三线合一），
31 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∵∠𝐵𝐴𝐶= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 70° = 35°，
故答案为：35°．
8．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，点𝐹在𝐴𝐵边上，延长𝐶𝐹交𝐴𝐷于点𝐸，𝐵𝐷=
𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸．
(1)求证：𝐴𝐷= 𝐶𝐸；
(2)若∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐴𝐹𝐶= 45°，求∠𝐸𝐴𝐵的度数．
【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸，
即∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐵𝐸中，
{
𝐵𝐴= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐵𝐷= 𝐵𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸；
(2)15°
【分析】（1）证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(SAS)即可；
（2）根据三角形外角的性质可得∠𝐵𝐶𝐹= 15°，利用全等三角形的性质即可得到∠𝐸𝐴𝐵= 15°．
【详解】（1）略
（2）解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐴𝐹𝐶= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐹= 45° −30° = 15°，
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐵𝐶𝐹= 15°．
9．（25-26 八年级上·河北唐山·期末）如图，从A 处观测C 处的仰角∠𝐶𝐴𝐷= 30°，现以点D 为圆心，𝐷𝐶长
为半径画弧，交𝐴𝐷于点B．
32 / 41
学科网（北京）股份有限公司
(1)求∠𝐶𝐵𝐷的度数．
(2)从C 处观测A，B 两处的视角∠𝐴𝐶𝐵是多少度？
【答案】(1)45°
(2)15°
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关
键．
（1）由题意得，𝐷𝐵= 𝐷𝐶，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案；
（2）根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，𝐷𝐵= 𝐷𝐶，
又∵∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷=
180°−∠𝐴𝐷𝐶
2
= 45°；
（2）解：∵∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐶𝐴𝐷= 30°，∠𝐶𝐵𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 15°．
10．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）“三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所
示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒𝑂𝐴，𝑂𝐵组成，两根棒在O 点相连并
可绕O 转动，C 点固定，𝑂𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸，点D，E 可在槽中滑动，若∠𝑂= 25°，求∠𝐵𝐷𝐸度数．
【答案】∠𝐵𝐷𝐸= 75°
【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质可得∠𝑂= ∠𝑂𝐷𝐶，
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，由外角性质求解即可．
【详解】解：∵𝑂𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸，
∴∠𝑂= ∠𝑂𝐷𝐶，∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝑂+ ∠𝑂𝐷𝐶= 2∠𝑂= 50°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 50°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝑂+ ∠𝐷𝐸𝐶= 25° + 50° = 75°．
11．（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）如图，等边△𝐴𝐵𝐶的边长是6cm，动点M、N 分别从点A，点C 同时
出发，沿𝐴𝐶、𝐶𝐵匀速运动，点M，点N 的运动速度分别是1 cm s
⁄ ，2 cm s
⁄ ，当点M 运动2s时，求点M，
点N 两点间的距离．
33 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【答案】4cm
【分析】本题考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得∠𝐶= 60°，𝐴𝐶= 6cm，进而求出𝐶𝑀= 4cm，证得△𝐶𝑀𝑁是等边三角形，从而
得出点M，点N 两点间的距离即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是边长为6cm的等边三角形，
∴∠𝐶= 60°，𝐴𝐶= 6cm，
∵点M，点N 的运动速度分别是1 cm s
⁄ ，2 cm s
⁄ ，点M 运动2s时
∴𝐴𝑀= 1 × 2 = 2cm，𝐶𝑁= 2 × 2 = 4cm
∴𝐶𝑀= 𝐴𝐶−𝐴𝑀= 6 −2 = 4cm
∴𝐶𝑀= 𝐶𝑁
∵∠𝐶= 60°
∴△𝐶𝑀𝑁是等边三角形
∴𝑀𝑁= 𝐶𝑀= 4cm
∴点M，点N 两点间的距离是4cm．
12．（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，过B 作 𝐵𝐷⊥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点 D．过
点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点E，交𝐵𝐶于点F．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹；
(2)过点A 作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于点G，若𝐴𝐵= 𝐷𝐹，求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐺．
【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐹= 90°，
∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐵𝐷𝐸，即∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹；
(2)证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
34 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，
由（1）得，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵= 𝐷𝐹，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
∵𝐴𝐺⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐺𝐶= ∠𝐹𝐵𝐷= 90°，
在△𝐵𝐷𝐹和△𝐺𝐶𝐴中，
{
∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐴𝐺𝐶
∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐶
𝐷𝐹= 𝐶𝐴
，
∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐺𝐶𝐴(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐺．
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可证明；
（2）证明△𝐵𝐷𝐹≌△𝐺𝐶𝐴(AAS)，即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
素养提升
1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）若实数a，b 满足𝑎2 −6𝑎+ 9 + |𝑏−4| = 0，且a，b 恰好是等腰△
𝐴𝐵𝐶的两条边长，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．10
B．12
C．10或12
D．10或11
【答案】D
【分析】由非负数性质求a，b 的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可．
【详解】解：∵𝑎2 −6𝑎+ 9 + |𝑏−4| = 0，即(𝑎−3)2 + |𝑏−4| = 0，
∴𝑎−3 = 0，𝑏−4 = 0，
解得𝑎= 3，𝑏= 4，
a，b 恰好是等腰△𝐴𝐵𝐶的两条边长，故分两种情况讨论：
①当腰长为3 时，三边长为3，3，4，
∵3 + 3 > 4，
∴三角形存在，周长为3 + 3 + 4 = 10，
②当腰长为4 时，三边长为4，4，3，
∵3 + 4 > 4，
35 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴三角形存在，周长为4 + 4 + 3 = 11，
综上，△𝐴𝐵𝐶的周长为10或11．
2．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角
形的“特征值”．若等腰三角形𝐴𝐵𝐶中∠𝐴= 80°，则它的“特征值”为（ ）
A．
5
8
B．
1
4
C．
5
8或4
D．
8
5或
1
4
【答案】D
【分析】分∠𝐴为顶角和∠𝐴为底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，结合
“特征值”的定义计算即可．
【详解】解：①当∠𝐴为顶角时，底角度数为
1
2 × (180° −80°) = 50°，
∴特征值𝑘=
80°
50° =
8
5；
②当∠𝐴为底角时，顶角度数为180° −2 × 80° = 20°，
∴特征值𝑘=
20°
80° =
1
4；
综上，该等腰三角形的特征值为
8
5或
1
4，
故选：D．
3．（25-26 八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰△𝐴𝐶𝐷，下列
说法正确的是（ ）
A．甲、乙正确，丙错误
B．甲、丙正确，乙错误
C．乙、丙正确，甲错误
D．甲、乙、丙都正确
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与
圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行
分析即可．
【详解】解：甲图：以点𝐴为圆心，𝐴𝐶为半径作弧，交𝐴𝐵于点𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐷为等腰三角形，
乙图：作𝐴𝐶的垂直平分线，交𝐴𝐵于点𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
36 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴△𝐴𝐶𝐷为等腰三角形，
丙图：所作的∠𝐴= ∠𝐷𝐶𝐴，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶是等腰三角形，
∴甲、乙、丙都正确．
故选：D．
4．（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，直线𝑙分别与边𝐴𝐵，𝐴𝐶交于点D，
E，则∠2 −∠1的度数是_________．
【答案】45°/45度
【分析】先根据等腰直角三角形的性质，求出∠𝐴的度数．因为Rt △𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐵是直角，所以可
结合三角形内角和定理得到∠𝐴的度数．观察∠1和∠2与△𝐴𝐷𝐸内角的关系，利用三角形外角的性质，建立
∠1、∠2和∠𝐴的数量关系．对得到的数量关系做变形，直接推导∠2 −∠1的度数．
【详解】解：∵∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴∠𝐴=
180°−90°
2
= 45°．
∵∠2 = ∠1 + ∠𝐴，
∴∠2 −∠1 = 45°．
5．（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐷是△𝐴𝐵𝐶内一
点，连接𝐴𝐷, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，若𝐶𝐷= 8，则△𝐵𝐶𝐷的面积为______．
【答案】16
【分析】过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐶𝐷，交𝐶𝐷延长线于点𝐹，先证出△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐴𝐸，则
𝐵𝐹= 𝐶𝐸，再求出𝐶𝐸的长，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐶𝐷，交𝐶𝐷延长线于点𝐹，
37 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐹+ ∠𝐶𝐵𝐹= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐵𝐶𝐹和△𝐶𝐴𝐸中，
{
∠𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°
∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴𝐶𝐸
𝐵𝐶= 𝐶𝐴
，
∴△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐴𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，𝐶𝐷= 8，
∴𝐶𝐸=
1
2 𝐶𝐷= 4，
∴𝐵𝐹= 4，
∴△𝐵𝐶𝐷的面积为
1
2 𝐶𝐷⋅𝐵𝐹=
1
2 × 8 × 4 = 16．
6．（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，点C 在线段𝐴𝐵上，𝐴𝐷∥𝐸𝐵, 𝐴𝐶= 𝐵𝐸, 𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
(1)找出一个与△𝐴𝐶𝐷全等的三角形，并说明理由；
(2)若𝐶𝐸= 𝐷𝐹, ∠𝐶𝐸𝐷= 40°，求∠𝐸𝐶𝐹的度数．
【答案】(1)△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐸𝐶．理由如下：
∵𝐴𝐷∥𝐸𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐸𝐶中，
38 / 41
学科网（北京）股份有限公司
{
𝐴𝐶= 𝐵𝐸
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐸𝐶(SAS)，
(2)30°
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶𝐵𝐸，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得𝐶𝐷= 𝐸𝐶，再由等腰三角形的性质可得∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐷𝐶𝐹的度数，即可求
解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐸𝐶，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐶．
∵∠𝐶𝐸𝐷= 40°，
∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸= 40°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 180° −∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐶𝐷𝐸= 100°，
∵𝐶𝐸= 𝐷𝐹, 𝐶𝐷= 𝐸𝐶，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐹，
∴∠𝐷𝐶𝐹=
180°−∠𝐶𝐷𝐹
2
= 70°，
∴∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐹= 100° −70° = 30°．
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶的垂直平分线𝐷𝐸分别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点𝐷、𝐸，
连接𝐴𝐸，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐴𝐸于点𝐹，点𝐺在𝐵𝐸上，连接𝐹𝐺，∠𝐺𝐹𝐸与∠𝐶互余．
(1)判断𝐹𝐺与𝐷𝐸的位置关系，并说明理由．
(2)若𝐵𝐴= 𝐵𝐸，𝐸𝐶= 10，求𝐴𝐹的长．
【答案】(1)𝐹𝐺∥𝐷𝐸，理由如下：
∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶，
在△𝐶𝐷𝐸中，∠𝐸𝐷𝐴= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐴+ ∠𝐸𝐴𝐷= 90°，
又∵∠𝐺𝐹𝐸与∠𝐶互余，
39 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐺𝐹𝐸+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐺𝐹𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐺𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐴，
∴𝐹𝐺∥𝐷𝐸；
(2)5
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐶𝐸，根据三角形内角和得到∠𝐷𝐸𝐴+ ∠𝐸𝐴𝐷=
90°，根据余角的定义得到∠𝐺𝐹𝐸+ ∠𝐶= 90°，即∠𝐺𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐴，可知𝐹𝐺∥𝐷𝐸；
（2）根据垂直平分线的性质得到𝐴𝐸= 𝐸𝐶= 10，根据等腰三角形三线合一求出𝐹为𝐴𝐸中点，即可求出𝐴𝐹
的长．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶= 10，
又∵𝐵𝐴= 𝐵𝐸，𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，
∴𝐴𝐹=
1
2 𝐴𝐸=
1
2 × 10 = 5．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为
某蝶几设计图，其中△𝐴𝐷𝐶和△𝐴𝐵𝐶为两个全等的等腰直角三角形，且点𝐹与点𝐵关于直线𝐶𝐸对称，分别
连接𝐶𝐹、𝐷𝐹，若∠𝐶𝐹𝐷= 25°，则∠𝐵𝐶𝐸= __________．
【答案】
20°
【分析】根据全等三角形性质得出𝐶𝐷= 𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，利用对称性质得出𝐶𝐵= 𝐶𝐹，进而得到𝐶𝐷=
𝐶𝐹，利用等腰三角形性质求出∠𝐷𝐶𝐹，最后利用角的和差关系及对称性求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐷𝐶和△𝐴𝐵𝐶为两个全等的等腰直角三角形，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐵𝐶𝐴= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∵点𝐹与点𝐵关于直线𝐶𝐸对称，
40 / 41
学科网（北京）股份有限公司
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐹，
∴∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐶𝐹𝐷= 25°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= 180° −∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐶𝐹𝐷= 180° −25° −25° = 130°，
∴∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐷𝐶𝐹−∠𝐵𝐶𝐷= 130° −90° = 40°，
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 × 40° = 20°．
2．（25-26 七年级下·山西太原·期末）如图，等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
(1)在图1 中，仅用无刻度的直尺和圆规作出𝐵𝐶边上的高𝐴𝐻（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2，在（1）的条件下，点𝐸为边𝐴𝐶上一点（不与端点重合），射线𝐸𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，直线𝑀𝑁分别与
射线𝐸𝐷，边𝐴𝐵交于点𝑀，𝑁．若∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝐻𝐴𝐸，小亮发现𝑀𝑁∥𝐴𝐶，并将说理过程梳理为如下思路图，
请补全①②③处空缺的内容．
【答案】(1)
(2)①𝐴𝐻∥𝐸𝑀；②∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶；③∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝐷𝐸𝐶
【分析】（1）已知△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，等腰三角形三线合一，𝐵𝐶边上的高同时是𝐵𝐶的垂直
平分线；
（2）根据平行线性质即可求解．
41 / 41
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：分别以点𝐵、𝐶为圆心，大于
1
2 𝐵𝐶的等长线段为半径画弧，两弧交于𝐵𝐶上下两点；连接
两交点，得到𝐵𝐶的垂直平分线，该线与𝐵𝐶交于𝐻，且经过点A；线段𝐴𝐻即为𝐵𝐶边上的高，保留圆弧、交
点、直线痕迹即可．
（2）解：由同位角相等，两直线平行：
∠𝐴𝐻𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 90°，同位角相等，①𝐴𝐻∥𝐸𝑀；
由两直线平行，同位角相等：
𝐴𝐻∥𝐸𝑀，②∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶；
已知∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝐻𝐴𝐸，结合②∠𝐻𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，
得③∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝐷𝐸𝐶；
由内错角相等，两直线平行：𝑀𝑁∥𝐴𝐶．
