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2.4 等腰三角形的判定定理
题型一：格点中画等腰三角形
1．（24-25 七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个
4 4
方格纸中，找出格点P 使
MNP
△
为等腰三角形，那么满足条件的格点P 的个数是（ ）
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2 /
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论．
【详解】解：如图，
由图得满足条件的格点P 有5 个，
故选：C．
2．（24-25 八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B 两点都在小方格的顶点上，如果点C
也是图中小方格的顶点，且
ABC
是等腰三角形，那么点C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
分AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C 的个数．
【详解】解：如图：当AB 为腰时，点C 的个数有2 个，
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3 /
当AB 为底时，点C 的个数有1 个，
故选：C．
3．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B
是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使
ABC
为等腰直角三角形，那么点C 的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以B 为直角顶点有2 个，以A 为直角顶点有2 个，以C
为直角顶点有2 个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
1
2
3
4
5
6
C
C
C
C
C
C
，
，
，
，
，
即为所求，
故选：A．
4．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点A 、B 均在格点（小正方形的顶点）上，连接AB ，
以AB 为一边，在格点上找一点C ，使得
ABC
为等腰三角形的点C 有（ ）
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4 /
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等
腰三角形的定义在格点上分以AB 为腰和底进行求解即可．
【详解】解：如图，
∴使得
ABC
为等腰三角形的点C 有4 个；
故选D．
5．（24-25 八年级上·福建福州·期末）如图，A，B，C，D，E 五点都在小正方形网格的格点上，则下列各
组点能构成等腰三角形的是（ ）
A．A，B，C
B．B，C，D
C．A，D，E
D．A，C，E
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题．
【详解】解：如图，AB
AC
=
，
ABC
是等腰三角形．
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5 /
故选：A．
6．（24-25 八年级上·云南昆明·期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B 在格点
上，点C 也在格点上，若
ABC
为等腰三角形，则图中符合条件的点C 有（ ）
A．4 个
B．6 个
C．8 个
D．10 个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法．
根据等腰三角形的定义判断即可．
【详解】解：如图，满足条件点C 有8 种情形．
故选：C．
7．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，点A ，B 在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得ABC
是等腰三角形，则满足条件的格点C 共有( )
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
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6 /
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握分类讨论思想的运用是解题的关键．满足AC
BC
=
的点C
的位置有5个，满足AC
AB
=
的点C 的位置有1个，满足CB
AB
=
的点C 的位置有1个，由此得出答案即可．
【详解】解：如图，满足条件的格点C 共7 个，
故选：D．
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 和B 是
两个格点，如果C 也是图中的格点，且使得
ABC
为等腰三角形，则点C 的个数为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关
键．由题意知，分当AB 为底时，当AB 为腰时，两种情况求解作答即可．
【详解】解：如图，由题意知，当AB 为底时，满足要求的点C 如
1
2
4
C
C
C
、
、
；当AB 为腰时，满足要求的
点C 如
5
3
C
C
、
；
∴共有5 个，
故答案为：5．
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题型二：找出图中的等腰三角形
1．（23-24 八年级上·全国·单元测试）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
72
B
=
，CD平分
ACB
交AB 于
点D ，DE
AC
∥
交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）
A．3个
B．4 个
C．5个
D．6 个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性
质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
72
B
=
，
∴
ABC
为等腰三角形，
72
B
ACB
=
=
，
36
A
=
∵DE
AC
∥
∴
72
DEB
ACB
B
=
= =
，
∴BD
DE
=
，BDE
为等腰三角形，
∵CD平分
ACB
，
∴
36
ACD
DCB
A
=
=
=
，
∴AD
CD
=
，ACD
为等腰三角形，
72
BDC
A
DCA
B
= +
=
=
，
∴BC
CD
=
，
BCD
△
为等腰三角形，
∵
36
ACD
DCB
A
=
=
=
，DE
AC
∥
，
∴
36
EDC
ACD
DCB
=
=
=
∴DE
EC
=
，DEC
为等腰三角形．
综上所述：共有5 个等腰三角形．
故选C．
2．（24-25 八年级上·江苏南京·期中）如图，已知
ABC
中，
6
AB =
，
10
AC =
，
14
BC =
，若过
ABC
的
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顶点的一条直线将
ABC
分割成两个三角形，使其中有一个边长为6 的等腰三角形，则这样的直线最多可
画（ ）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
【答案】C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用AB 为底以及AB 为腰得出符
合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当BA
BE
AF
AG
=
=
=
，BD
AD
=
时，都能得到符合题意的等腰三角形．
综上，这样的直线最多可画4 条．
故选：C．
3．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2
B．3
C．5
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角
和定理求解即可．
【详解】解：∵
36
EBC
ECB
=
=
，
∴EBC
是等腰三角形，
180
108
BEC
EBC
ECB
=
−
−
=
，
∴
180
108
72
AEB
DEC
=
=
−
=
，
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∴
AEB
A
=，
CED
D
=
，
∴ABE
、
CED
△
是等腰三角形，
∵
180
180
72
36
72
ABC
ACB
A
=
−
−=
−
−
=
，
180
180
72
36
72
BCD
DBC
D
=
−
−
=
−
−
=
，
∴
A
ABC
=
，
D
BCD
=
，
∴
ABC
、
BCD
△
是等腰三角形，
故图中共有5 个等腰三角形，
故选：C．
4．（23-24 八年级下·四川成都·期末）如图，在
ABC
中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线
交于点P ，连接PA PB
PC
、
、
，则图中有 个等腰三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，
,
AP
PB PB
PC
=
=
，
AP
PC
=
，
∴
,
,
ABP
BPC
APC
都是等腰三角形；
故答案为：3．
5．（22-23 八年级上·河南南阳·期末）如图，ABC
中，
72
ABC
=
，
36
A
=
，用尺规作图作出射线BD
交AC 于点D，则图中等腰三角形共有 个．
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【答案】3
【分析】根据已知条件
72
ABC
=
，
36
A
=
，可得
ABC
是底角为72的等腰三角形，再根据尺规作图
可得BD平分
ABC
，从而判断等腰三角形的个数．
【详解】∵
ABC
中，
72
ABC
=
，
36
A
=
，
∴
180
72
36
72
C
=
−
−
=
，
∴
C
ABC
=
，
∴AB
AC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形．
由题图可知，BD平分
ABC
，
∴
1
36
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，
∴
ABD
A
= ，
180
72
36
72
CDB
=
−
−
=
，
∴AD
BD
=
,
CDB
C
=
，
∴
ABD
△
是等腰三角形，BC
BD
=
，
∴BDC
是等腰三角形．
综上可知，题图中的等腰三角形有
ABC
，
ABD
△
，BDC
，共3 个．
故答案为：3．
题型三：利用等腰三角形中等边对等角求线段长度
1．（2025·湖南郴州·二模）如图，
10
AB =
，
8
BC = ，
A
ACD
=
，则BCD
的周长是（ ）
A．18
B．20
C．26
D．28
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定AD
CD
=
是关键．
根据
A
ACD
=
，得AD
CD
=
，则
10
CD
BD
+
=
，由此即可求解．
【详解】解：∵
A
ACD
=
，
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11 /
∴AD
CD
=
，
∵
10
AB
AD
BD
=
+
=
，
∴
10
CD
BD
+
=
，
∴BCD
的周长是
10 8
18
BD
DC
BC
+
+
=
+ =
，
故选：A ．
2．
（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在
ABC
中，
,
ABC
ACB
的平分线交于点D，过点D作EF
BC
∥
，
分别交AB
AC
、
于点E、F．若
12,
8
AB
AC
=
=
，则
AEF
△
的周长是（ ）
A．15
B．18
C．20
D．22
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得
到
,
EDB
CBD
FDC
BCD
=
=
，由角平分线的性质得到
,
EBD
CBD
FCD
BCD
=
=
，得出
,
EDB
EBD
FDC
FCD
=
=
，得到
,
ED
EB FD
FC
，即可求解；
【详解】解：∵EF
BC
∥
，
∴
,
EDB
CBD
FDC
BCD
=
=
，
∵
,
BD CD 是
,
ABC
ACB
的平分线，
∴
,
EBD
CBD
FCD
BCD
=
=
，
∴
,
EDB
EBD
FDC
FCD
=
=
，
∴
,
ED
EB FD
FC
，
又∵
12,
8
AB
AC
=
=
，
∴
AEF
△
的周长
12 8
20
AE
ED
FD
AF
AE
EB
FC
AF
AB
AC
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+ =
，
故选：C．
3．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，
AOB
的边OA、OB 均为平面反光镜，一束光线从OB 上的C
点射出，经OA上的D 点反射后，反射光线DE 恰好与OB 平行，已知
ADE
ODC
=
，
10
OC =
，则光线CD
的长度是（ ）
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A．8
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得
ADE
AOB
=
，结合
ADE
ODC
=
，证出
10
CD
OC
=
=
．
【详解】解：∵DE
OB
∥
，
∴
ADE
AOB
=
，
∵
ADE
ODC
=
，
∴
DOC
ODC
=
，
∴
10
CD
OC
=
=
，
故选：B．
4．（24-25 八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，BD是
ABC
的角平分线，过点D 作DE
AB
∥
交BC 于
点E ，若
4
CE =
，
3
DE = ，则边BC 的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到
EBD
EDB
=
，再根据等角对等边得到DE
BE
=
，进
而求解．
本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．
【详解】解：∵BD是
ABC
的角平分线，
∴
ABD
EBD
=
，
∵DE
AB
∥
，
∴
ABD
EDB
=
，
∴
EBD
EDB
=
，
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13 /
∴DE
BE
=
，
∵
4
CE =
，
3
DE = ，
∴
3
4
7
BC
BE
CE
DE
CE
=
+
=
+
= +
=
．
故选：C．
5．（23-24 八年级上·广西河池·期中）如图，ABC
中，BO、CO分别平分
ABC
、
ACB
，OM
AB
∥
，
ON
AC
∥
，
10cm
BC =
，则OMN
的周长= ．
【答案】10cm
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
由角平分线的定义得出
ABO
CBO
=
，结合平行线的性质得出
MBO
MOB
=
，推出OM
BM
=
，同理
ON
CN
=
，即可得解．
【详解】解：∵BO平分
ABC
，
∴
ABO
CBO
=
，
又∵OM
AB
∥
，
∴
ABO
MOB
=
，
∴
MBO
MOB
=
，
∴OM
BM
=
，
同理ON
CN
=
，
∵
10cm
BC =
，
则OMN
的周长
10cm
OM
MN
ON
BM
MN
NC
BC
=
+
+
=
+
+
=
=
．
故答案为：10cm．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）在
ABC
中，
B
C
=
，
2
AB =
，则AC 的长度为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等角对等边可得
2
AC
AB
=
=
．
【详解】解：在
ABC
中，
2
B
C
AB
=
=
，
，
∴
2
AC
AB
=
=
．
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故答案为：2．
7．
（24-25 八年级上·上海·期中）如图，已知AB
CD
∥
，BE 平分
ABC
，点E 为AD中点，如果
3
AB = ，
7
BC =
，
那么CD = ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长CD，BE 交于点F，证明
(
)
ASA
ABE
DFE
≌
可得AB
DF
=
，然后根据平行线的性质和等角对等边得到
BC
FC
CD
DF
CD
AB
=
=
+
=
+
．
【详解】解：如图，延长CD，BE 交于点F，
∵AB
CD
∥
，
∴
BAE
ADF
ABE
EFD
=
=
，
，
∵点E 为AD中点，
∴AE
DE
=
，
又∵
BEA
FED
=
，
∴
(
)
ASA
ABE
DFE
≌
，
∴AB
DF
=
，
∵BE 平分
ABC
，
∴
ABE
CBE
=
，
∴
CBE
F
=
，
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15 /
∴BC
FC
CD
DF
CD
AB
=
=
+
=
+
，
∴CD
BC
AB
=
−
，
∵
3
AB = ，
7
BC =
，
∴
7
3
4
CD =
−=
．
故答案为：4．
8．（2024 八年级上·全国·专题练习）（23-24 七年级下·山东烟台·期末）如图，A
EGF
=
，F 为BE ，CG
的中点，
4
DB =
，
8
DE = ，则AD的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关
键．先证明
(
)
SAS
GFE
CFB
≌
得到GE
BC
=
，EGF
C
=
，再根据等角对等边得到AD
DG
=
，AB
BC
=
，
设AD
DG
x
=
=
，由AB
BC
=
结合已知列方程求解x 值即可．
【详解】解： F 为BE ，CG 的中点，
GF
CF
=
，EF
BF
=
，
又
GFE
CFB
=
，
(
)
SAS
GFE
CFB
≌
GE
BC
=
，
EGF
C
=
，
A
EGF
=
，
AGD
EGF
=
A
AGD
C
=
=
，
AD
DG
=
，AB
BC
=
，
设AD
DG
x
=
=
，
4
DB =
，
8
DE = ，
8
BC
GE
DE
DG
x
=
=
−
= −
，
4
AB
x
=
+
，
4
8
x
x
+
= −
，
解得
2
x =
，
2
AD =
，
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故答案为：2．
题型四：判断是否为等腰三角形
1．（24-25 八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定
ABC
为等腰三角形的是（ ）
A．
:
:
1:1:3
A
B
C
=
B．
:
:
2:2:3
AB BC CA =
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．2 A
B
C
= +
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．由
:
:
1:1:3
A
B
C
=
，总份数为1 1 3
5
+ + = ，故
180
1
36
5
A
B
=
=
=
，
108
C
=
．因
A
B
=，则AC
BC
=
，ABC
为等腰三角形，不符合题意；
B．边比例
:
:
2:2:3
AB BC CA =
，说明AB
BC
=
，故ABC
为等腰三角形，不符合题意；
C．
50
B
=
，
80
C
=
，则
180
50
80
50
A
=
−
−
=
．因
A
B
=，则BC
AC
=
，ABC
为等腰三角形，
不符合题意；
D．由2 A
B
C
= +
，结合内角和
180
A
B
C
++
=
，得3
180
A
=
，即
60
A
=
，
120
B
C
+
=
．但
无法确定
B
与
C
是否相等，例如
70
B
=
，
50
C
=
时，ABC
不为等腰三角形．符合题意．
故选：D．
2．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）下列条件中，不能判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
3
AB = ，
3
AC =
，
4
BC =
B．
:
:
3: 4: 4
A
B
C
=
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．
:
:
4:5:6
AB AC BC =
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判
定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵
3
AB = ，
3
AC =
，
4
BC =
∴AB
AC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形；故选项A 不符合题意；
B、∵
:
:
3: 4: 4
A
B
C
=
，
∵
B
C
=
，
∴AC
AB
=
，
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17 /
∴
ABC
是等腰三角形，故选项B 不符合题意；
C、∵
50
B
=
，
80
C
=
，
∴
180
50
A
B
C
=
−−
=
，
∴
A
B
=，
∴AC
BC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形，故选项C 不符合题意；
D、∵
:
:
4:5:6
AB AC BC =
∴AB
BC
AC
，
∴
ABC
不是等腰三角形，故选项D 符合题意．
故选：D．
3．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）在
ABC
中，
90
45
C
A
=
=
，
，则对
ABC
的形状判断最准确的
一项是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出
B
的度数，进而得到
B
A
=，
再由
90
C
=
即可得到
ABC
是等腰直角三角形．
【详解】解：∵在
ABC
中，
90
45
C
A
=
=
，
，
∴
180
45
B
C
A
=
−
−=
∠
，
∴
B
A
=，
∴CA
CB
=
，
∴
ABC
是等腰直角三角形，
故选：C．
4．（24-25 八年级上·江苏南通·阶段练习）下列条件中，不能判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
3
3
4
a
b
c
=
=
=
，
，
B．: :
2:2:4
a b c =
C．
50
80
B
C
=
=
，
D．
:
:
1:1:2
A
B
C
=
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的定义和判定，三角形三边关系，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的定
义和等角对等边的判定定理是解题关键．由等腰三角形的定义可直接判断A；由三角形三边关系可判断B；
根据三角形内角和定理可求出
A
B
=，再根据等角对等边，可判断C；直接由等角对等边可判断D．
【详解】解：A．∵
3
3
4
a
b
c
=
=
=
，
，
，
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18 /
∴a
b
=
，即
ABC
是等腰三角形，故该选项能判定，不符合题意；
B．∵: :
2:2:4
a b c =
，
∴可设
2
a
x
=
，则
2
b
x
=
，
4
=
c
x ，
∴
4
a
b
x
+
=
，即此时以a
b
c
、、为边不能组成三角形，
∴不能判定
ABC
是等腰三角形，故该选项符合题意；
C．∵
180
50
A
B
C
=
−−
=
，
∴
A
B
=，
∴能判定
ABC
是等腰三角形，故该选项不符合题意；
D．∵
:
:
1:1:2
A
B
C
=
，
∴可设
A
B
=，
∴能判定
ABC
是等腰三角形，故该选项不符合题意．
故选：B．
5．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
3
a = ，
3
b =
，
4
c =
B．: :
2:3:4
a b c =
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．
:
:
1:1:2
A
B
C
=
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵
3
a = ，
3
b =
，
4
c =
，
∴a
b
=
，
∴
ABC
是等腰三角形；故选项A 不符合题意；
B、∵: :
2:3:4
a b c =
∴a
b
c
，
∴
ABC
不是等腰三角形，故选项B 符合题意；
C、∵
50
B
=
，
80
C
=
，
∴
180
50
A
B
C
=
−−
=
，
∴
A
B
=，
∴AC
BC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形，故选项C 不符合题意；
D、∵
:
:
1:1:2
A
B
C
=
，
∵
A
B
=，
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∴AC
BC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形，故选项D 不符合题意．
故选：B．
6．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在
ABC
中，
A
、
B
、
C
的对边分别为a 、b 、c ，
给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（ ）
A．
:
:
1:1:3
A
B
C
=
B．: :
2: 2:1
=
a b c
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．2 A
B
C
= +
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内
角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、因为
:
:
1:1:3
A
B
C
=
，
180
A
B
C
++
=
，所以
1
180
36
1 1 3
A
B
=
=
=
+ +
，则
AC
BC
=
，所以
ABC
是等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、因为
: :
2: 2:1
=
a b c
，所以设
2
a
b
x
=
=
，则有两边相等的
ABC
是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、因为
180
A
B
C
++
=
，所以
180
180
50
80
50
A
B
C
=
−−
=
−
−
=
，则
A
B
=，则AC
BC
=
，
所以
ABC
是等腰三角形，故本选项不符合题意；
因为2 A
B
C
= +
，
180
A
B
C
++
=
，则
2
180
A
A
+ =
，那么
60
A
=
，
120
B
C
+
=
，不能
判定是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
题型五：等腰三角形中尺规作图（选填题）
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知在
ABC
中，AB
BC
，用尺规在BC 边上确定一点D，使得
AD CD
BC
+
=
，则下列作图中，一定符合要求的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，
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根据尺规作图的过程可知AB
BD
AC
CD
=
=
，
，再判断A，C；然后根据尺规作图的过程可得AC 的垂直平
分线交BC 于点D，可得AD
CD
=
，进而得BD CD
BD
AD
BC
+
=
+
=
，判断C，最后结合C 判断D 即可．
【详解】解：根据尺规作图的过程可知AB
BD
AC
CD
=
=
，
，
可得BD CD
AB
CD
BC
+
=
+
=
，BD CD
BD
AC
BC
+
=
+
=
，
所以A，C 不正确；
根据尺规作图的过程可得AC 的垂直平分线交BC 于点D，
∴AD
CD
=
，
∴BD CD
BD
AD
BC
+
=
+
=
，
∴C 不正确；
根据尺规作图的过程可得AB 的垂直平分线交BC 于点D，
∴AD
BD
=
，
∴BD CD
AD CD
BC
+
=
+
=
，
∴D 正确．
故选：D．
2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，已知直线m
n
，线段AC 分别与直线m，n 相交于点B 、点C ，
以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若
70
A
=
，则的度数为（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出AB
AD
=
，
由等边对等角得出
55
ABD
ADB
=
=
，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题
的关键．
【详解】∵以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B、点D，
∴AB
AD
=
,
∴
ABD
ADB
=
，
∵
70
A
=
,
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21 /
∴
180
70
55
2
ABD
ADB
−
=
=
=
，
∵m
n
∥，
∴
55
ABD
=
=
，
故选：C．
3．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l 及直线l 外一点P，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作
法中错误
．．的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对
选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：A 选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行，
B 选项利用同位角相等判定两直线平行，
C 选项无法判断两直线平行，
D 选项利用内错角相等即可证明两直线平行，
故选：C．
4．（23-24 七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段
的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（ ）
A．I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③
B．I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→②
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C．I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→①
D．I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→②
【答案】B
【分析】该题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握尺规作图的基本方法；
根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线； 作一条线段的垂直平分线；即可判断得出答案；
【详解】解：①是作一个角等于已知角的方法；②是作一个角的平分线的作法；③是作一条线段的垂直平
分线方法，
故选：B．
5．（24-25 九年级上·山东德州·期中）已知锐角
40
AOB
=
，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，
以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C．②以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，GH 与OB 交于
点E，连接DC 并延长，使DC 的延长线交GH 于点P，连接DE ，则
POC
的度数为 ．
【答案】15
【分析】由作法得OC
OD
=
，DO
DP
=
，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出
70
ODC
OCD
=
=
，再计算出
55
DOP
DPO
=
=
，然后计算
DOP
DOC
−
即可．
【详解】解：由作法得OC
OD
=
，DO
DP
=
，
OD
OC
=
，
1
1
(180
)
(180
40 )
70
2
2
ODC
OCD
COD
=
=
−
=
−
=
，
DO
DP
=
，
1
1
(180
)
(180
70 )
55
2
2
DOP
DPO
ODP
=
=
−
=
−
=
，
55
40
15
POC
DOP
DOC
=
−
=
−
=
．
故答案为：15．
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23 /
题型六：尺规作图----作等腰三角形（解答题）
1．（24-25 七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，
AOB
，求作：等腰
COD
△
，使得点C 、D 分别在OA、
OB 上，且底边CD上的高长为3a ．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，过直线上一点作直线的垂线，作线段等于已知线段，全等三
角形的判定与性质，等腰三角形的定义，先作
AOB
的平分线，再在角平分线上截取
3
OQ
a
=
，再过Q 作
角平分线的垂线，交
,
OA OB 于
,
C D 即可.
【详解】解：如图，OCD
即为所求；
理由：由作图可得：
3
OQ
a
=
，
AOQ
BOQ
=
，CD
OQ
⊥
，
∴
90
OQC
OQD
=
=
，
∵OQ
OQ
=
，
∴COQ
DOQ
≌
，
∴OC
OD
=
，
∴OCD
即为所求.
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在
ABC
中，
40
A
=
，点D 在边C 上．请用尺规作图法，在
ABC
内求作一点F ，使
70
CFD
=
．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
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24 /
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得
40 ,
FDC
A
DF
DC
=
=
=
，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解．
【详解】解：如图，
根据作图可得
40 ,
FDC
A
DF
DC
=
=
=
∴
(
)
1 180
70
2
CFD
DCF
FDC
=
=
−
=
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在钝角
ABC
中，
30
C
=
，请用尺规作图法，求作一个等边BDE
，
使得顶点D，E 均在
ABC
的边上．（作出符合题意的一个等边三角形即可．保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点D ，易得
60
CBD
=
，再以B 为
圆心，以BD的长为半径画弧，交BC 于点E ，得到BD
BE
=
，即可得到等边BDE
．
【详解】解：如图，BDE
即为所求作．（作法不唯一）
4．（2025 九年级下·江苏南京·专题练习）如图，已知
，线段a ．用直尺和圆规按下列要求作图．（保
留作图痕迹，写出必要的文字说明）
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25 /
(1)作出一个等腰三角形ABC ，使其底角
=
，底边长
a
=
；
(2)作出一个等腰三角形DEF ，使其底角
=
，底边上的高
a
=
．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两
底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的
高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，
通过180
2
−
得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角．
（1）先作射线BN ，再以点B 为圆心，线段a 的长为半径画弧，交射线BN 于点C，分别作
MBC
LCB
=
=
∠
∠
∠
，CL交BM 于点A ，则
ABC
即为所求；
（2）先作出2的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角
PDQ
的角平分线DG ，根据等腰三角形“三线
合一”的性质，在角平分线上截取DH
a
=
，过点H 作EF
DH
⊥
，分别交DP、DQ 于点E 、点F ，即得所
求．
【详解】（1）解：作法：先作射线BN ，再以点B 为圆心，线段a 的长为半径画弧，交射线BN 于点C，
分别作
MBC
LCB
=
=
∠
∠
∠
，CL交BM 于点A ，则
ABC
即为所求；
（2）解：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角，
②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即
180
2
=
−
，
③作
PDQ
=
，
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26 /
④作
PDQ
的角平分线DG ，
⑤在DG 上取点H ，使DH
a
=
，
⑥过点H 作EF
DH
⊥
，分别交DP、DQ 于点E 、点F ，
5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知线段a 和b ．求作以a 的长为底，b 的长为腰的等腰三角形，并
画出边a 上的高h．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图之线段的垂直平分线，作已知线段，掌握尺规作图的基本方法是解题的关键．首
先作BC
a
= ，进而作出线段BC 的垂直平分线交BC 于点D ，以点B 为圆心，以b 长为半径画弧交BC 的垂直
平分线于点A ，连接AC ，即可．
【详解】解：作BC
a
= ，进而作出线段BC 的垂直平分线交BC 于点D ，以点B 为圆心，以b 长为半径画弧
交BC 的垂直平分线于点A ，连接AC ，
如图，
ABC
和AD即为所作．
6．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知角，线段a ．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，
写出必要的文字说明）
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27 /
(1)作出一个等腰三角形ABC ，使其底角
=
，底边长
a
=
；
(2)作出一个等腰三角形DEF ，使其底角
=
，底边上的高
a
=
．（用两种不同的方法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两
底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的
高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，
通过180
2
−
得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角．
（1）根据给定的线段长度作出底边BC ，分别以B 、C 为顶点，作两底角都等于的角，这两个角的另一
边相交于点A ，即得所求；
（2）方法1：先作出2的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角
PDQ
的角平分线DG ，根据等腰三角
形“三线合一”的性质，在角平分线上截取DH
a
=
，过点H 作EF
DH
⊥
，分别交DP、DQ 于点E 、点F ，
即得所求；方法2 ：先作一个两底角为的等腰三角形DMN
，作DMN
底边上的高DR，在DR上截取
DH
a
=
，过点H 作EF
DH
⊥
，分别交DM 、DN 于点E 、点F ，DEF
即为所求．
【详解】（1）解：作法：①作
MBN
=
，
②在BN 上取点C ，使BC
a
= ，
③在BN 的上方作
LCB
=
，CL交BM 于点A ，
则如图1，
ABC
即为所求；
（2）作法1：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角，
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28 /
②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即
180
2
=
−
，
③作
PDQ
=
，
④作
PDQ
的角平分线DG ，
⑤在DG 上取点H ，使DH
a
=
，
⑥过点H 作EF
DH
⊥
，分别交DP、DQ 于点E 、点F ，
则如图2 ，DEF
即为所求；
作法2 ：①作一条线段MN ，
②分别以M 、N 为顶点，作
PMN
=
，
QNM
=
，MP 交NQ 于点D ，
③过点D作DR
MN
⊥
于R ，
④在DR上截取DH ，使DH
a
=
，
⑤过点H 作EF
DH
⊥
，分别交DM 、DN 于点E 、点F ，
则如图3，DEF
即为所求．
7．（2025·陕西咸阳·一模）如图，A 为直线l 外一点，点B ，C 在直线l 上，已知
ABC
为锐角．请用尺规
作图法，在直线l 上求作一点D ，使得
2
ADB
ABC
=
，（保留作图痕迹，不写作法）
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29 /
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质．作线段AB 的垂直平
分线交直线l 于点E ，再连接AE ，得到AE
BE
=
，进而得到
BAE
ABC
=
，推出
2
AEC
ABC
BAE
ABC
=
+
=
，最后以A 为圆心、AE 的长为半径画弧，交直线l 于点D ，得到
2
ADB
AEC
ABC
=
=
，点D 即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
8．（24-25 八年级上·山东滨州·期末）尺规作图：
(1)如图，电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B 的距离必须
相等，到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点．
(2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图--应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
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（1）作OT 平分
MON
，EF 垂直平分线段AB ，射线OT 交EF 于点P，点P 即为所求；
（2）作DT
EF
⊥
于点D，在射线DT 上截取线段DA
h
=
，以A 为圆心，a 为半径作弧交直线EF 于点B，C，
连接
,
AB AC ，
ABC
即为所求．
【详解】（1）解：如图1 中，点P 即为所求；
（2）如图2 中，
ABC
即为所求．
由作图可知：
,
,
AD
BC AD
h AB
AC
a
⊥
=
=
=
，
故
ABC
即为所求．
9．
（2025·陕西西安·二模）如图，在四边形ABCD中，点E 是BC 边上的点，请用尺规作图法作一个等腰
BEP
△
，
点P 在四边形ABCD内部，且点P 到边AB 、BC 的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保
留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
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【分析】此题考查了尺规作等腰三角形，角平分线，解题的关键是掌握以上作图方法．
以点B 为圆心，BE 为半径画弧交AB 于点F，然后作出
ABC
的平分线交EF 于点P，连接BP，PE，BEP
△
即为所求．
【详解】如图所示，
根据题意得，BP
BE
=
，且点P 到AB ，BC 的距离相等
∴等腰
BEP
△
即为所求．
题型七：根据等边角对等边证明等腰三角形
1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，F 是CB 的延长线上一点，连接DF 交AB
于点E，
ADF
DFC
=
，点G 在边BC 上，连接DG ，DF 平分
ADG
．求证：
DGF
△
是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明
ADF
GDF
=
，结合
ADF
DFC
=
，可得
GDF
DFC
=
，从而可得结论．
【详解】证明：
DF
平分
ADG
，
ADF
GDF
=
，
ADF
DFC
=
，
GDF
DFC
=
，
GD
GF
=
，
DFG
是等腰三角形．
2．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线AB 是ACD
的外角平分线，且
AB
CD
∥
．请判断该卡通形象头部ACD
的形状，并说明理由．
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【答案】ACD
是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．
根据AB
CD
∥
得出
FAB
ACD
=
，
DAB
ADC
=
，再根据平分线得出
FAB
DAB
=
，等量代换得出
ACD
ADC
=
即可证明．
【详解】解：ACD
是等腰三角形，理由如下，
AB
CD
∥
，
=
FAB
ACD，
DAB
ADC
=
，
AB
是ACD
的外角的平分线，
FAB
DAB
=
，
ACD
ADC
=
，
AC
AD
=
，
ACD
是等腰三角形．
3．
（24-25 八年级下·河南焦作·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，AC
BC
=
，
90
ACB
=
，D 为BC 的中点，DE
AB
⊥
，
垂足为E，过点B 作BF
AC
∥
交DE 的延长线于点F，连接CF ．
(1)求证：AD
CF
⊥
；
(2)连接AF ，试判断
ACF
△
的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
ACF
△
是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定．
（1）证明
(
)
SAS
CBF
ACD
≌
，可得
BCF
CAD
=
，可证明
90
CAD
GCA
+
=
，可得结论；
（2）由（1）可得CF
AD
=
，又因为BE 垂直平分DF ，可得AF
AD
=
，可证明CF
AF
=
，可知
ACF
△
为等
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腰三角形．
【详解】（1）证明：∵在Rt
ABC
△
中，AC
BC
=
，
90
ACB
=
，
45
CBA
CAB
=
=
．
又
DE
AB
∵
⊥
，
90
DEB
=
，
45
BDE
=
，
又
BF
AC
∥
，
90
CBF
=
，
45
BFD
BDE
=
=
，
BF
DB
=
，
又
D
为BC 的中点，
CD
DB
=
，
BF
CF
=
，
在CBF
和ACD
中，
90
BF
CF
CBF
ACD
CB
AC
=
=
=
=
，
(
)
SAS
CBF
ACD
△
≌△
，
BCF
CAD
=
，
又
90
BCF
GCA
+
=
，
90
CAD
GCA
+
=
，
AD
CF
⊥
；
（2）解：
ACF
△
是等腰三角形，理由如下：
由（1）知：
CBF
ACD
≌
△
△
，
CF
AD
=
，
DBF
是等腰直角三角形，且BE 是
DBF
的平分线，
BE
垂直平分DF ，
AF
AD
=
，
CF
AD
=
，
CF
AF
=
，
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ACF
△
是等腰三角形．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，AB
CD
∥
，
ACD
的平分线交AB 于点E ．求证：
ACE
△
是
等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据
平行线的性质求出
AEC
DCE
=
，根据角平分线定义求出
ACE
DCE
=
，则
ACE
EC
=
，根据“等角
对等边”即可得证．
【详解】证明：
AB CD
，
AEC
DCE
=
，
CE
平分
ACD
，
ACE
DCE
=
，
ACE
AEC
=
，
AC
AE
=
，
ACE
是等腰三角形．
5．（24-25 八年级下·陕西榆林·期中）如图，在
ABD
△
和
DCA
△
中，AB
DC
=
，AC 交BD于点O，且
AC
DB
=
．求证：
AOD
△
是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据SSS证明ABD
DCA
≌
，再根据全等三角形的性质得出
ADB
DAC
=
，然后根据等腰三角形的判定即
可得证．
【详解】证明：在
ABD
△
和
DCA
△
中，
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AB
DC
BD
CA
AD
DA
=
=
=
，
(
)
SSS
ABD
DCA
≌
，
DA
ADB
C
=
，
OA
OD
=
，
AOD
是等腰三角形．
6．（24-25 八年级下·广东清远·期中）如图，在
ABC
中，
BAC
的平分线交BC 于点D，过点D 作DE
AB
∥
交AC 于点E．
(1)求证：
AED
△
是等腰三角形；
(2)若
110
C
=
，
30
B
=
，求
AED
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
140
AED
=
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，
平行线的性质是解此题的关键．
（1）根据角平分线性质可得
BAD
CAD
=
，由DE
AB
∥
，根据平行线的性质得
BAD
ADE
=
，到
CAD
ADE
=
，即可得到结论．
（2）根据三角形的内角和可求出
40
BAC
=
，由DE
AB
∥
，根据平行线的性质即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵AD是
BAC
的平分线，
BAD
CAD
=
，
DE
AB
∥
，
BAD
ADE
=
，
CAD
ADE
=
，
AE
DE
=
，
∴
AED
△
是等腰三角形；
（2）解：
110 ,
30
C
B
=
=
，
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180
40
BAC
C
B
=
−−
=
，
DE
AB
∥
，
180
AED
BAC
+
=
，
140
AED
=
．
7．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，ADB
ADC
≌
，E 是边AC 上一点，连接DE ．若AB
DE
∥
，
求证：
ADE
是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是关键．利
用全等三角形的性质得到
BAD
CAD
=
，再由平行线的性质得到
BAD
EDA
=
，进一步证明AE
DE
=
即
可．
【详解】证明：
ADB
ADC
≌
△
△
，
BAD
CAD
=
．
AB
DE
，
BAD
EDA
=
EDA
CAD
=
，
AE
DE
=
，
ADE
是等腰三角形．
8．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，
36
A
=
，CD平分
ACB
，交
AB 于点D ，求证：CDB
是等腰三角形．
【答案】见解析
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【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定，首先根据AB
AC
=
，
36
A
=
，CD平分
ACB
，可以求出
36
ACD
DCB
=
=
，根据三角形内角和定理可以求出
72
CDB
=
，根据等角对等边可
证结论成立．
【详解】证明：
AB
AC
=
，
ACB
B
= ，
又
36
A
=
，
(
)
1 180
72
2
ACB
B
A
=
=
−
=
，
CD
平分
ACB
，
1
36
2
ACD
DCB
ACB
=
=
=
，
180
180
36
72
72
CDB
B
BCD
=
−−
=
−
−
=
，
B
CDB
=
，
CD
BC
=
，
CDB
是等腰三角形．
9．（24-25 八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，ABC
是等边三角形，BD
AC
⊥
，点E 在BC 的延长线上，
且
30
EDC
=
．求证：BDE
是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等角对等边．根据等边三角形的性质、外角的性质及等腰三角形
的性质计算得到
30
DBC
E
=
=
，即可推理得出结论．
【详解】证明：
ABC
是等边三角形，BD
AC
⊥
，
60
30
ABC
BCA
DBC
\ ?
?
靶
=
?
，
，
30
EDC
=
，
30
E
ACB
EDC
=
−
=
，
30
DBC
E
= =
，
BD
DE
=
．
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∴BDE
是等腰三角形．
10．（24-25 九年级下·广东茂名·期中）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，BE 是角平分线，AD是高，BE 、
AD相交于点F ．求证：AF
AE
=
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得
2
BFD
=
，进而
由对顶角相等得1
2
= ，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】证明：∵
90
BAC
=
，
∴
2
90
ABE
+
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
BFD
DBF
+
=
，
∵BE 是角平分线，
∴
=
ABE
DBF ，
∴
2
BFD
=
，
∵
1
BFD
= ，
∴1
2
= ，
∴AF
AE
=
．
11．（2025·四川自贡·中考真题）如图，
ABE
BAF
=
，CE
CF
=
．求证：AE
BF
=
．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明AC
BC
=
，结合
ACE
BCF
=
，CE
CF
=
，证明ACE
BCE
≌
即可.
【详解】证明：∵
ABE
BAF
=
，
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∴AC
BC
=
，
∵
ACE
BCF
=
，CE
CF
=
，
∴
(
)
ACE
BCE SAS
≌
，
∴AE
BF
=
.
12．（23-24 八年级上·广东汕头·期中）已知：
ABC
中，
ABC
ACB
、
的角平分线相交于点D，过D 作
EF
BC
∥
交AB 于点E，交AC 于点F．求证：BE
CF
EF
+
=
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边．
根据角平分线定义和平行线性质求出
EDB
EBD
=
，推出DE
BE
=
，同理得出CF
DF
=
，即可求出答案．
【详解】证明：∵BD平分
ABC
，CD平分
ACB
，
,
EBD
DBC
FCD
BCD
=
=
，
EF
BC
∥
，
,
EDB
DBC
FDC
DCB
=
=
，
,
EDB
EBD
FDC
FCD
=
=
，
DE
BE
=
，CF
DF
=
，
EF
DE
DF
BE
CF
=
+
=
+
，
即BE
CF
EF
+
=
．
13．（24-25 七年级下·山东威海·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，分别以AC ，AB 为边作两个等
边
ACE
△
和
ABF
△
，连接FE并延长交BC 于点D．
(1)求
AEF
的度数；
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(2)求证：DC
DE
=
．
【答案】(1)90
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键
是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）证明ACB
AEF
≌
， 得出
90
ACB
AEF
=
=
即可；
（2）先分别求出
90
60
30
DCE
ACB
ACE
=
−
=
−
=
，
180
30
CED
AEF
AEC
=
−
−
=
，得出
DCE
CED
=
，根据等角对等边求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
ACE
△
和
ABF
△
是等边三角形，
∴AC
AE
=
，AB
AF
=
，
60
CAE
BAF
=
=
，
∴
CAB
EAF
=
，
∴ACB
AEF
≌
，
∴
90
AEF
ACB
=
=
．
（2）证明：∵
90
ACB
AEF
=
=
，
60
AEC
ACE
=
=
，
∴
90
60
30
DCE
ACB
ACE
=
−
=
−
=
，
180
30
CED
AEF
AEC
=
−
−
=
，
∴
DCE
CED
=
，
∴DC
DE
=
．
14．
（2025 九年级下·海南·专题练习）如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上，
,
AF
CD AB
DE
A
D
=
=
=
,
，
线段BC 与线段EF 交于点H ．
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
(2)求证：FH
CH
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据线段的和差可得出AC
DF
=
，再利用SAS即可证明；
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（2）根据全等三角形的性质得出
EFC
HCF
=
，再根据等角对等边即可得证．
【详解】（1）证明：∵AF
DC
=
，
∴AF
FC
DC
FC
+
=
+
，即AC
DF
=
．
∴在
ABC
和DEF
中，
AC
FD
A
D
AB
DE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
△
△
；
（2）∵
ABC
DEF
≌△
△
，
∴
EFC
HCF
=
，
∴FH
CH
=
．
题型八：等腰三角形的性质与判定求边长
1．（24-25 八年级上·湖南湘西·期中）如图，在ABC
中，
CAB
的角平分线AD与
CBA
的角平分线BD交
于点D，过D 点作AB 的平行线分别交AC 、BC 于点M 、N ，若ABC
的周长为25
9
AB =
、
，则CMN
的
周长为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】D
【分析】本题考查了等角对等边判定等腰三角形，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是关键，根据角
平分线的定义，角平分线的定义得到
,
MA
MD NB
ND
=
=
，结合题意得到CMN
的周长为CA CB
+
，由ABC
的周长为
25,
9
CA
CB
AB
AB
+
+
=
=
，即可求解．
【详解】解：∵
,
AD BD 平分
,
CAB
CBA
，
∴
,
CAD
BAD
CBD
ABD
=
=
，
∵MN
AB
，
∴
,
BAD
MDA
ABD
NDB
=
=
，
∴
,
MAD
MDA
NDB
NBD
=
=
，
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∴
,
MA
MD NB
ND
=
=
，
∴CMN
的周长为CM
CN
MD
ND
CM
CN
MA
NB
CA CB
+
+
+
=
+
+
+
=
+
，
∵ABC
的周长为
25,
9
CA
CB
AB
AB
+
+
=
=
，
∴
16
CA CB
+
=
，
∴CMN
的周长为16，
故选：D ．
2．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）如图，在
ABC
中，
45 ,
ABC
F
=
是高AD和BE 的交点，
4
CD =
，
则线段DF 的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，
根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到AD
BD
=
，根据
90 ,
90
FBD
C
CAD
C
+
=
+
=
，
推出
FBD
CAD
=
，根据ASA证FBD
CAD
≌
，推出CD
DF
=
即可．
【详解】解：∵AD是
ABC
的高，
AD
BC
⊥
，
90
ADB
ADC
=
=
，
45
ABC
=
，
45
BAD
ABD
=
=
，
AD
BD
=
，
BE
AC
⊥
，
90
BEC
=
，
90 ,
90
FBD
C
CAD
C
+
=
+
=
，
FBD
CAD
=
，
在FBD
和CAD
中，
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FDB
ADC
BD
AD
FBD
CAD
=
=
=
，
(ASA)
FBD
CAD
≌
，
4
CD
DF
=
= ，
故选：A．
3．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知等腰
ABC
的一腰AB 长为4 厘米，过底边BC 上任意一
点D 作AC 、AB 的平行线，分别交AB 、AC 于点E、F，则四边形AEDF 的周长为（ ）
A．4 厘米
B．8 厘米
C．12 厘米
D．16 厘米
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质定理和等腰三角形的性质．
根据等腰
ABC
可得
4
AB
AC
=
=
，再由AB
DF
∥
，AC
DE
∥
，可求出BE
DE
=
，FC
DF
=
，即可解答．
【详解】解：∵等腰
ABC
的一腰AB 长为4 厘米
∴
4
AB
AC
=
=
，
B
C
=
，
∵AB
DF
∥
，AC
DE
∥
，
∴
B
CDF
=
，
C
EDB
=
，
∴
B
BDE
=
，
C
FDC
=
，
∴BE
DE
=
，FC
DF
=
，
∴四边形AEDF 的周长为
8
AE
DE
DF
AF
AE
BE
CF
AF
AB
AC
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
（厘米）．
故选B．
4．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在
ABC
中，
6
AB
AC
=
=
，点E，F，D 分别在边AC ，AB ，BC 上，EF
∥AB ，DF ∥AC ，则四边形AEFD的周长是（ ）
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44 /
A．6
B．15
C．18
D．12
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题
关键．先根据等腰三角形的性质可得
B
C
=
，再根据平行线的性质可得
EFC
B
= ，
DFB
C
=
，从而
可得
,
B
DFB
EFC
C
=
=
，然后根据等腰三角形的判定可得
,
DF
DB EF
EC
=
=
，由此即可得．
【详解】解：
6
AB
AC
=
=
，
B
C
=
，
EF
AB
∥
，DF
AC
∥
，
EFC
B
= ，
DFB
C
=
，
,
B
DFB
EFC
C
=
=
，
,
DF
DB EF
EC
=
=
，
则四边形AEFD的周长是
(
)
(
)
12
AD
DF
EF
AE
AD
DB
EC
AE
AB
AC
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
，
故选：D．
5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，ABC
和
ADE
均为等腰直角三角形，其中点, ,
B C E 在同一直线上，
6,
4
BE
BC
=
=
，连接BD，则BD的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，证明
ABD
ACE
≌
△
△
即可求出结论．
【详解】解：
ABC
和
ADE
均为等腰直角三角形，
,
,
AB
AC AD
AE
=
=
∴
90
BAC
DAE
=
=
，
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45 /
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
ABD
ACE
≌
，
2
BD
CE
BE
BC
\
=
=
-
=
，
故选：A．
6．（2025 九年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形ABC 中，过点B，A 作BD
AC
⊥
，AE
BC
⊥
，BD
AE
，
交于点F，若
45
5
2
BAC
AD
CD
=
=
=
，
，
，则线段BF 的长度为（ ）
A．2
B．3 2
2
−
C．3
D．5
2
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据ASA 证明
ADF
△
与BDC
全等，进而利用全等三角
形的性质解答即可．
【详解】解：
BD
AC
⊥
，AE
BC
⊥
，
90
BDA
AEC
=
=
，
45
BAC
=
，
ABD
是等腰直角三角形，
AD
BD
=
，
90
FAD
AFD
+
=
，
90
DBC
BFE
+
=
，
AFD
BFE
=
，
FAD
DBC
=
，
在
ADF
△
与BDC
中，
90
FAD
DBC
AD
BD
ADF
BDC
=
=
=
=
，
(
)
ASA
ADF
BDC
≌
△
△
，
DF
CD
=
，
5 2
3
BF
BD
DF
AD CD
=
−
=
−
= −
= ，
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46 /
故选：C．
7．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）如图，在
ABC
中，CD平分
BCA
，点E 是BA的中点，过点E 作
EG
D
C
∥
，交BC 的延长线于点G ，若
1
1
4
CF
AF
=
= ，则BC = ．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全
等三角形和特殊三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质，推出
=
G
CFG ，进而得到CG
CF
=
，延
长GE 至点H ，使EG
EH
=
，连接AH ，证明AHE
BGE
≌
，得到AH
BG
=
，证明
AHF
△
为等腰三角形，
得到AF
BG
=
，再根据线段的和差进行计算即可．
【详解】解：∵CD平分
BCA
，
∴
BCD
ACD
=
，
∵CD
EG
∥
，
∴
,
G
BCD
CFG
ACD
=
=
，
∴
=
G
CFG ，
∴CG
CF
=
，
延长GE 至点H ，使EG
EH
=
，连接AH ，
∵E 为AB 的中点，
∴AE
BE
=
，
又∵
AEH
BEG
=
，
∴AEH
BEG
≌
，
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∴
,
G
H AH
BG
=
=
，
∵
CFG
AFE
=
，
∴
AFE
H
=
，
∴AH
AF
=
，
∴BG
AF
=
，
∵
1
1
4
CF
AF
=
= ，
∴
1,
4
CG
CF
BG
AF
=
=
=
=
，
∴
3
BC
BG
CG
=
−
= ；
故答案为：3．
8．（24-25 八年级下·宁夏银川·期中）如图，在
ABC
中，
5
AB =
，
4
AC =
，
8
BC = ，AI 平分
BAC
，CI
平分
ACB
，将
BAC
平移使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角
形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接BI ，证明BI 平分
ABC
，则
ABI
CBI
=
，由平移得
AB
DI
∥
，则
ABI
BID
=
，推出
CBI
BID
=
，得出BD
DI
=
，同理可得
,
CE
EI
DIE
=
的周长
8
DE
DI
EI
DE
BD CE
BC
=
+
+
=
+
+
=
=
，即可得出结果．
【详解】解：连接BI ，如图所示，
∵AI 平分
,
BAC CI
平分
ACB
，
∴BI 平分
ABC
，
∴
ABI
CBI
=
，
由平移得AB
DI
∥
，
ABI
BID
=
，
CBI
BID
=
，
DB
DI
=
，
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同理可得CE
EI
=
；
∴DIE
的周长
8
DE
DI
EI
DE
BD CE
BC
=
+
+
=
+
+
=
=
，
即图中阴影部分的周长为 8 ；
故答案为：8．
9．
（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，AD
BC
∥
，E 为DC 中点且AE
BE
⊥
，若
41
DAE
=
，则
EBC
= ．
【答案】49
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；延长AE 、
BC 交于F ，由AAS可判定
AED
FEC
△
≌△
，由全等三角形的性质得AE
FE
=
，由等腰三角形的判定及性质
结合三角形内角和定理即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，能构建全等
三角形是解题的关键．
【详解】解：延长AE 、BC 交于F ，
E 为DC 中点，
DE
CE
=
，
AD
BC
∥
，
41
DAE
F
=
=
，
AED
FEC
=
，
AED
FEC
≌
（AAS），
AE
FE
=
，
AE
BE
⊥
，
BA
BF
=
，
1
2
EBC
ABF
=
(
)
1 180
2
2
F
=
−
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49
=
，
故答案为：49．
10．（24-25 七年级下·上海普陀·期末）在
ABC
中，D 是边BC 上一点，AD平分
BAC
BD
CD
=
，
，在不
添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使
ABC
为等边三角形，那么可以添加的条件
是 ．（只需写出一个）
【答案】AB
BC
=
（答案不唯一）
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明AD垂直平分BC ，推出
AB
AC
=
，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：如图，添加AB
BC
=
时，
ABC
为等边三角形，
∵在
ABC
中，AD平分
BAC
，BD
CD
=
，
∴AD是
ABC
中BC 边上的中线，
∴AD是
ABC
中BC 边上的高（三线合一），
∴AD垂直平分BC ，
∴AB
AC
=
，
∵AB
BC
=
，
∴AB
AC
BC
=
=
，
∴ABC
是等边三角形．
故答案为：AB
BC
=
（答案不唯一）．
题型九：等腰三角形的性质与判定求角度
1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，BE平分
ABC
分别交AD、AC 于点O、E，若
26
ABE
=
，则
BAD
的度数为（ ）
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50 /
A．52
B．50
C．40
D．38
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得
90
ADB
=
，
从而得
90
BAD
ABD
+
=
，再根据角平分线定义可得
52
ABC
=
，据此计算即可求解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
BAD
ABD
+
=
，
∵BE 平分
ABC
，
26
ABE
=
，
∴
5
2
2
A
ABC
BE
=
=
，
∴
0
38
9
AB
BAD
C
=
=
−
，
故选：D．
2．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在
ABC
中，
72
，
，
AB
AC
B
AC
=
=
的垂直平分线交AB 于
E
D
，
为垂足，连接EC ，若
BCE
的度数为（ ）
A．36
B．72
C．48
D．30
【答案】A
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形的判定与性质、垂直平分线性质和三角形内角和定理，
先由等腰三角形性质得到
72
ACB
B
= =
，再由三角形内角和定理确定
A
，利用垂直平分线性质及等腰
三角形的判定与性质即可得到答案，熟记相关几何性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：在
ABC
中，
72
，
AB
AC
B
=
=
，则
72
ACB
B
= =
,
由三角形内角和定理可得
180
36
A
B
ACB
=
−−
=
,
ED是AC 的垂直平分线，
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EA
EC
=
,则
36
ECA
A
= =
，
72
36
36
BCE
ACB
ECA
=
−
=
−
=
,
故选：A．
3．（24-25 七年级下·山东威海·期中）如图，在
ABC
中，AI 平分
BAC
，BI 平分
ABC
，点O 是AC
BC
、
的垂直平分线的交点，连接AO
BO
、
，若
AOB
=
，则
AIB
的大小为（ ）
A．
1
90
2
+
B．
1
90
4
+
C．
1
90
4
−
D．
1
180
2
+
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三
角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键．
连接CO并延长，交BI 于点D，由线段垂直平分线的性质可知OA
OC
=
，OB
OC
=
，即得出
OCA
OAC
OCB
OBC
=
=
，
，结合三角形外角的性质可求出
2
AOB
ACB
=
=
，即
2
ACB
=
，再
根据三角形内角和定理有
180
2
CAB
CBA
+
=
−
．由角平分线的定义得出
1
2
BAI
CAB
=
，
1
2
ABI
CBA
=
，再结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接CO并延长，交BI 于点D．
∵点O 是AC
BC
、
的垂直平分线的交点，
∴OA
OC
OB
OC
=
=
，
，
∴
OCA
OAC
OCB
OBC
=
=
，
，
∴
2
AOD
OCA
OAC
OCA
=
+
=
，
2
BOD
OCB
OBC
OCB
=
+
=
，
∴
2
2
2
AOB
AOD
BOD
OCA
OCB
ACB
=
+
=
+
=
=
，
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∴
2
ACB
=
，
∴
180
180
2
CAB
CBA
ACB
+
=
−
=
−
．
∵AI 平分
BAC
，BI 平分
ABC
，
∴
1
2
BAI
CAB
=
，
1
2
ABI
CBA
=
，
∴
(
)
1
90
2
4
BAI
ABI
CAB
CBA
+
=
+
=
−
，
∴
(
)
180
90
4
AIB
BAI
ABI
=
−
+
=
+
．
故选B．
4．（2025·安徽阜阳·三模）如图，直线m
n
∥，把一块含45角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，
点A 在m 上，点B 在n 上，AC 与n 相交于点D ，以A，B 为圆心，大于1
2 AB 为半径画弧，两弧相交于点P，
Q，作直线PQ 交直线m 于点E ，连接BE．若
1
= ，则
CBD
=（ ）
A．90
−
B．
1
45
2
−
C．2
135
−
D．1
30
2
−
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，结合角
平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意知，PQ 是AB 的垂直平分线，
AE
BE
=
，
1
1
1
2
2
EAB
EBA
=
=
=
，
m n
，
1
2
EAB
ABD
=
=
，
ABC
是等腰直角三角形，
45
ABC
=
，
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1
45
2
CBD
ABC
ABD
=
−
=
−
，
故选B．
5．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，在
ABC
中，AB
BC
=
，点D 是边BC 上一点，连接AD，线段AD
的垂直平分线交AB 于点E，交AD于点F，连接DE ，若
a
CAD
=
，则
BDE
=（ ）
A．30
+
B．
1
45
2
+
C．2
D．90
−
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据线
段垂直平分线的性质得到AE
DE
=
，则
EAD
EDA
=
，设
EAD
EDA
=
=
∠
∠
，根据等边对等角可得
C
BAC
=
=
+
∠
∠
，再由三角形外角的性质可得
BDA
BDE
EDA
C
CAD
=
+
=
+
∠
∠
∠
∠
∠
，据此可得答案．
【详解】解：∵线段AD的垂直平分线交AB 于点E，交AD于点F，
∴AE
DE
=
，
∴
EAD
EDA
=
，
设
EAD
EDA
=
=
∠
∠
，
∴
BAC
EAD
CAD
=
+
=
+
∠
∠
∠
，
∵AB
BC
=
，
∴
C
BAC
=
=
+
∠
∠
，
∵
BDA
BDE
EDA
C
CAD
=
+
=
+
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
BDE
+
=
+
+
∠
，
∴
2
BDE
=
，
故选：C．
6．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰
ABC
中，AB
AC
=
，CE 是
ABC
的角平分线．若
40
BAC
=
，则
BEC
的度数为（ ）
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54 /
A．70
B．75
C．105
D．125
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．熟练掌握等腰
三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，得到
180
40
70
2
ACB
B
−
=
=
=
，再根据CE 是
ABC
的角平分线得到
1
35
2
ACE
ACB
=
=
，然后利用三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∵等腰
ABC
中，AB
AC
=
，
40
BAC
=
，
∴
180
40
70
2
ACB
B
−
=
=
=
，
∵CE 是
ABC
的角平分线，
∴
1
35
2
ACE
ACB
=
=
，
∴
35
45
75
BEC
ACE
A
=
+=
+
=
．
故选：B．
题型十：等腰三角形的性质与判定综合
1．（24-25 七年级下·四川巴中·期末）如图，C 是线段AB 的中点，
,
A
B
D
E
=
=
．
(1)求证：ACE
BCD
≌
；
(2)请判断线段OD 与OE 的数量关系，并说明理由；
(3)分别连接CO，GF ，求证CO垂直平分GF ．
【答案】(1)见解析
(2)OD
OE
=
，见解析
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(3)见解析
【分析】（1）利用AAS证明ACE
BCD
≌
即可；
（2）根据ACE
BCD
≌
得到AE
BD
=
；结合
A
B
=，得到OA
OB
=
，利用线段之差解答即可；
（3）设CO，GF 的交点为M，证明
(
)
ASA
EOF
DOG
≌
，利用等腰三角形的三线合一性质证明即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵C 是线段AB 的中点，
∴AC
BC
=
，
∵
A
B
E
D
AC
BC
=
=
=
，
∴ACE
BCD
≌
．
（2）证明：OD
OE
=
，理由如下：
∵ACE
BCD
≌
，
∴AE
BD
=
；
∵
A
B
=，
∴OA
OB
=
，
∴AE
OA
BD
OB
−
=
−
，
∴OD
OE
=
．
（3）证明：设CO，GF 的交点为M，
∵
A
B
=，
∴OA
OB
=
，
∵C 是线段AB 的中点，
∴AC
BC
=
，
∴
GOC
FOC
=
，
∵
E
D
EO
DO
EOF
DOG
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
EOF
DOG
≌
，
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∴OG
OF
=
，
∴OM
GF
⊥
，GM
FM
=
，
∴CO垂直平分GF ．
2．（24-25 八年级上·湖南湘西·期中）如图，在
ABC
中，1
2
36
= =
，
4
72
=
．
(1)求证：
ABC
是等腰三角形；
(2)若
ABD
△
的周长比
ADC
△
的周长大9，求AC 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用；
（1）求解
3
1
2
72
4
= +=
= ，
180
2 72
36
DAC
=
−
=
，
36
36
72
4
BAC
=
+
=
= ，从而可得
结论；
（2）证明DB
DA
=
，AD
AC
=
，结合BA
BC
=
与
ABD
△
的周长比
ADC
△
的周长大9，进一步求解即可.
【详解】（1）证明：∵1
2
36
= =
，
4
72
=
，
∴
3
1
2
72
4
= +=
= ，
∴
180
2 72
36
DAC
=
−
=
，
∴
36
36
72
4
BAC
=
+
=
= ，
∴BA
BC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形.
（2）解：∵1
2
= ，
∴DB
DA
=
，
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∵
3=
4
，
∴AD
AC
=
，而BA
BC
=
，
∵
ABD
△
的周长比
ADC
△
的周长大9，
∴
9
AB
BD
AD
AD CD
AC
+
+
−
−
−
=
，
∴
9
BC
BD CD
AC
+
−
−
=
，
∴
9
BD
CD
BD
CD
AD
+
+
−
−
=
，
∴
9
AD =
，
∴
9
AC =
.
3．（24-25 八年级下·辽宁阜新·期末）在
ABC
中，AB
CB
=
，
90
ABC
=
，点D 是AC 上一点，AD
AB
=
，
点E 是AB 上一点，AE
CD
=
．
(1)如图1，求证：BDE
是等腰三角形；
(2)如图2，延长ED、BC 交于点G，求证：点C 在DG 的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、垂直平分
线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由AB
CB
=
，
90
ABC
=
得到
45
A
C
=
=
，利用全等三角形的判定推出ADE
CBD
≌
，得到
DE
BD
=
，即可证明；
（2）由AD
AB
=
，
45
A
=
得到
180
67.5
2
A
ABD
−
=
=
，推出
22.5
CBD
ABC
ABD
=
−
=
，利用对
顶角相等和全等三角形的性质得到
22.5
CDG
ADE
CBD
=
=
=
，利用三角形外角的性质推出
22.5
G
ACB
CDG
=
−
=
，再利用垂直平分线的判定即可证明．
【详解】（1）证明：∵AB
CB
=
，
90
ABC
=
，
∴
45
A
C
=
=
，
∵AD
AB
=
，
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∴AD
CB
=
，
在
ADE
和
CBD
△
中，
AE
CD
A
C
AD
CB
=
=
=
∴
(
)
SAS
ADE
CBD
≌
，
∴DE
BD
=
，
∴BDE
是等腰三角形．
（2）证明：∵AD
AB
=
，
45
A
=
，
∴
180
67.5
2
A
ABD
−
=
=
，
∴
90
67.5
22.5
CBD
ABC
ABD
=
−
=
−
=
，
由（1）得，ADE
CBD
≌
，
∴
22.5
ADE
CBD
=
=
，
∴
22.5
CDG
ADE
=
=
，
∴
45
22.5
22.5
G
ACB
CDG
=
−
=
−
=
，
∴
G
CDG
=
，
∴CD
CG
=
，
∴点C 在DG 的垂直平分线上．
4．（24-25 八年级上·广东东莞·期中）如图所示，在
ABC
中，AB
AC
=
，DE 是边AB 的垂直平分线，交AB
于E ，交AC 于D，连接BD．
(1)若
50
A
=
，求
DBC
的度数．
(2)若
BCD
△
的周长为18cm，
ABC
的周长为30cm，求BE 的长．
【答案】(1)
15
DBC
=
(2)
6
BE
cm
=
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，熟悉掌握垂直平分线
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的性质是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质求出
ABC
的度数，利用垂直平分线的性质求出
ABD
的度数，即可解答；
（2）利用三角形的周长运算方法列式求出AB 的长，再利用垂直平分线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵AB
AC
=
，
50
A
=
，
∴
180
180
50
65
2
2
A
ABC
−
−
=
=
=
∠
∠
，
∵DE 是边AB 的垂直平分线，
∴AD
BD
=
，
∴
50
ABD
A
==
，
∴
65
50
15
DBC
ABC
ABD
=
−
=
−
=
∠
∠
∠
；
（2）解：∵
BCD
△
的周长
18
BC
BD
CD
BC
AD
CD
BC
AC
cm
=
+
+
=
+
+
=
+
=
，
ABC
的周长
18
30
AB
AC
BC
AB
cm
=
+
+
=
+
=
，
∴
12
AB
cm
=
，
∵DE 是边AB 的垂直平分线，
∴
1
1 12
6
2
2
BE
AE
AB
cm
=
=
=
=
．
5．（2025·河北·中考真题）如图．四边形ABCD的对角线AC ，BD相交于点E ，AC
AD
=
，ACB
ADB
，
点F 在ED上，
BAF
EAD
=
．
(1)求证：ABC
AFD
≌
；
(2)若BE
FE
=
，求证：AC
BD
⊥
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明
BAC
FAD
=
，结合AC
AD
=
，ACB
ADB
，即可得到结论；
（2）先证明AB
AF
=
，结合BE
FE
=
即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵
BAF
EAD
=
，
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∴
BAF
CAF
EAD
CAF
−
=
−
，即
BAC
FAD
=
，
又∵AC
AD
=
，ACB
ADB
，
∴ABC
AFD
≌
；
（2）证明：∵ABC
AFD
≌
，
∴AB
AF
=
，
∵BE
FE
=
，
∴AE
BF
⊥
，即AC
BD
⊥
.
6．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期中）如图1，在
ABC
中，AD是它的角平分线．
(1)求证：
:
:
ABD
ACD
S
S
AB AC
=
；
(2)如图2，在
ABC
中，AD是它的角平分线，且
2
C
B
= ，请同学们探究线段AB 、AC 、CD三者的数
量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) AB
AC
CD
=
+
，见解析
【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，
添加辅助线是解答的关键．
（1）作DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，垂足为E、F，根据角平分线的性质得到DE
DF
=
，再利用三角形的面积公
式求解即可；
（2）在AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ，先证明
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
，得到AE
AC
=
，DE
DC
=
，C
AED
=
，
再利用三角形的外角性质和等角对等边得到BE
DE
DC
=
=
，进而可求解．
【详解】（1）证明：作DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，垂足为E、F，
AD
平分
BAC
，
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DE
DF
=
，
1
1
:
:
:
2
2
ABD
ACD
S
S
AB
DE
AC
DF
AB AC
=
=
；
（2）解：在AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ，如图，
AD
平分
BAC
，
DAE
DAC
=
，
又AD
AD
=
，
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
，
AE
AC
=
，DE
DC
=
，
C
AED
=
，
又
AED
B
BDE
C
= +
=
，且
2
C
B
= ，
B
BDE
=
，
BE
DE
=
，
BE
DC
=
，
AB
AE
EB
AC
CD
=
+
=
+
，
即AB
AC
CD
=
+
．
7．（24-25 七年级下·上海青浦·期中）已知：如图
ABC
DCB
=
，BD
AC
、
分别平分
ABC
，
DCB
．
(1)求证：
ABO
DCO
△
≌△
；
(2)求证：AD
BC
∥
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和、平行线的判
定等知识，证明三角形全等是解题的关键；
（1）根据角平分线的定义结合
ABC
DCB
=
，即可推出
ACB
DBC
ABD
DCA
=
=
=
，进而可得
OB
OC
=
，再根据角边角即可证得结论；
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（2）根据全等三角形的性质可得OA
OD
=
，可得
OAD
ODA
=
，然后根据三角形的内角和定理结合对顶
角相等可得
OAD
OCB
=
，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵BD
AC
、
分别平分
ABC
，
DCB
，
∴
1
1
,
2
2
DBC
ABD
ABC
ACB
DCA
BCD
=
=
=
=
，
∵
ABC
DCB
=
，
∴
ACB
DBC
ABD
DCA
=
=
=
，
∴OB
OC
=
，
在
,
ABO
DCO
中，
ABO
DCO
OB
OC
AOB
DOC
=
=
=
∴
(
)
ASA
ABO
DCO
≌
；
（2）证明：∵
ABO
DCO
△
≌△
，
∴OA
OD
=
，
∴
OAD
ODA
=
，
∵
180
OAD
ODA
AOD
OBC
OCB
BOC
+
+
=
=
+
+
，且
AOD
BOC
=
，
ACB
DBC
=
，
∴
OAD
OCB
=
，
∴AD
BC
∥
．
8．（24-25 八年级下·四川达州·期中）如图，CD为Rt
ABC
△
斜边上的高，
BAC
的平分线分别交CD，BC
于点E、F，FG
AB
⊥
，垂足为点G．
(1)求证：CE
FG
=
；
(2)若
12
AC =
，
15
AB =
，
4
CE =
，求
ABC
的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)54
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
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（1）先根据角平分线的性质得出FC
FG
=
，
CAF
DAE
=
,再证
AED
AFC
=
，由对顶角相等可知
AED
CEF
=
，故可得出
CEF
AFC
=
，那么CE
CF
=
，由此可得出结论；
（2）先证
4
FG
CF
CE
=
=
=
，再根据
1
1
2
2
ABC
ACF
ABF
S
S
S
AC CF
AB FG
=
+
=
+
△
△
△
即可解答；
【详解】（1）证明：∵AF 是
BAC
的平分线，
90
ACB
=
，FG
AB
⊥
，
∴FC
FG
=
，
CAF
DAE
=
,
90
CAF
CFA
+
=
,
90
DAE
AED
+
=
,
∴
AED
AFC
=
，
∵
AED
CEF
=
，
∴
CEF
AFC
=
，
∴CE
CF
=
，
∴CE
FG
=
；
（2）解：∵
4
CE =
，
∴
4
FG
CF
CE
=
=
=
，
∵
12
AC =
，
15
AB =
，
∴
ABC
ACF
ABF
S
S
S
=
+
1
1
2
2
AC
CF
AB
FG
=
+
1
1
12 4
15 4
54
2
2
=
+
=
．
题型十一：等边三角形的判定
1．（24-25 八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60，则这个三角形一
定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了等边 三角形的判定、轴对称图形，如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一
定是等腰三角形，有一个内角为60的等腰三角形是等边三角形．
【详解】解：三角形是轴对称图形，
这个三角形一定是等腰三角形，
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又这个三角形有一个内角为60，
这个三角形一定是等边三角形．
故选：C．
2．（24-25 八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定
ABC
为等边三角形的是（ ）
A．
60
A
=
B．
120
B
C
+
=
C．
B
C
=
D．
60 ,
B
AB
AC
=
=
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为60，
或一个角为60的等腰三角形．
【详解】解：A、不能判定
ABC
为等边三角形，不符合题意；
B、不能判定
ABC
为等边三角形，不符合题意；
C、不能判定
ABC
为等边三角形，不符合题意；
D、能判定
ABC
为等边三角形，符合题意；
故选D．
3．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断
ABC
是等边三角形的是（ ）
A．
A
B
C
= =
B．
,
AB
BC
A
C
=
=
C．
,
60
AB
BC
B
=
=
D．
,
AB
BC AC
BC
=
=
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边
都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：
有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．
根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断
ABC
是等边三角形，故本选项不符合
题意；
B、AB
BC
=
得到
A
C
=
，那么只能得到
ABC
是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意；
C、由“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”可以判断
ABC
是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、
,
AB
BC AC
BC
=
=
，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；
故选：B．
4．（24-25 七年级下·全国·课后作业）若
ABC
三条边的长分别为m，n，p，且
(
)
2
0
m
n
n
p
−
+
−
=
，则这
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个三角形为（ ）
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查的是非负数的性质、等边三角形的判定，根据非负数的性质列出算式，求出m，n，p 的
关系，根据等边三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：∵
(
)
2
0
m
n
n
p
−
+
−
=
，
∴
0
−
=
m
n
，
0
n
p
−
=
，
解得，m
n
=
，n
p
=
，
则m
n
p
=
=
，
∴这个三角形是等边三角形，
故选：C．
5．（23-24 八年级上·北京西城·期中）ABC
的三边长分别为a ，b ，c ，若满足(
)
(
)
2
2
0
a
b
b
c
c
a
−
+
−
+
−
=
，
则
ABC
的形状为（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有30角的直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定、偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握等边三角形的判定是解题关
键．根据偶次方和绝对值的非负性可得
0,
0,
0
a
b
b
c
c
a
−
=
−
=
−
=
，从而可得a
b
c
=
= ，再根据等边三角形的
判定即可得．
【详解】解：∵(
)
(
)
2
2
0
a
b
b
c
c
a
−
+
−
+
−
=
，
∴
0,
0,
0
a
b
b
c
c
a
−
=
−
=
−
=
，
∴a
b
c
=
= ，
∵
ABC
的三边长分别为a ，b ，c ，
∴
ABC
是等边三角形，
故选：A．
6．（2024 八年级上·浙江·专题练习）如图，在Rt ABC
中，
90
C
=
，
30
A
=
，点P 从点A 出发，沿射
线AB 方向运动，在运动开始后，PCB
形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
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A．直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等边三角形→直角三角形→等腰三角形
C．等边三角形→等腰三角形→直角三角形
D．等腰三角形→直角三角形→等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查三角形，PCB
是特殊三角形，特殊三角形只能是直角三角形，等边三角形，由此判断即
可解答．
【详解】解：点P 从点A 出发，沿射线AB 方向运动，在运动开始后，PCB
形状的变化过程中，依次出现
的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形．
故选：A ．
7．（24-25 八年级下·四川成都·期中）已知a
b
c
，，为
ABC
三边的长，若
(
)
2
2
2
2
2
b
c
a
c a
b
+
+
=
+
，则
ABC
的形状为 ．
【答案】等边三角形
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出(
)
(
)
2
2
0
b
c
a
c
−
+
−
=
，得到a
b
c
=
= ，因
此三角形是等边三角形．
【详解】解：因为
(
)
2
2
2
2
2
b
c
a
c a
b
+
+
=
+
，
即
2
2
2
2
2
2
0
b
c
a
ac
bc
+
+
-
-
=
，
即(
)
(
)
2
2
0
b
c
a
c
−
+
−
=
，
得：
0,
0
b
c
a
c
-
=
-
= ，
所以
,
b
c a
c
=
=
，
所以a
b
c
=
= ，
所以
ABC
的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
题型十二：等边三角形的性质与判定综合
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1．（辽宁省本溪市2024-2025 学年八年级下学期7 月期末数学试题）如图，
ABC
是等边三角形，点D 在
边BC 上，点E 在AD的延长线上，连接BE ，EC ，且
BAE
BCE
=
．
(1)求证：
60
AEC
=
；
(2)求证：BE
CE
AE
+
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定；
（1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案；
（2）在线段EA上截取EH
EC
=
，连接HC ，证明
EHC
△
是等边三角形AHC
BEC
≌
，可得BE
AH
=
，
结合AH
EH
AE
+
=
，可得结论.
【详解】（1）证明：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
ABC
=
，
在
ABD
△
中，
180
ABC
ADB
BAE
+
+
=
，
在
CED
△
中，
180
AEC
EDC
BCE
+
+
=
，
又∵
BAE
BCE
=
，
ADB
CDE
=
，
∴
60
AEC
ABC
=
=
∠
∠
；
（2）证明：在线段EA上截取EH
EC
=
，连接HC ，
∵
ABC
是等边三角形
∴CA
CB
=
，
60
ACB
=
，
∵EH
EC
=
，
60
AEC
=
，
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∴
EHC
△
是等边三角形
∴CE
EH
CH
=
=
，
60
ECH
=
，
∴
60
ACB
ECH
=
=
，
∴
ACB
HCB
ECH
HCB
−
=
−
，
∴
ACH
BCE
=
，
∴AHC
BEC
≌
，
∴BE
AH
=
，
∵AH
EH
AE
+
=
，
∴BE
CE
AE
+
=
.
2．（24-25 八年级上·福建莆田·期中）如图，
ABD
△
与CDE
都是等边三角形，若BE 与AC 相交于点F ，BD
与AC 相交与点G ，BE 与CD相交于点H ．
(1)求证：AC
BE
=
；
(2)求
DHG
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)60
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形
是解决本题的关键．
（1）利用“边角边”证明ADC
BDE
≌
全等，即可证明．
（2）证明
CAD
EBD
=
，
180
2 60
60
BDC
ADB
=
−
=
=
，证明ADG
BDH
≌
，可得DG
DH
=
，
DGH
为等边三角形，从而可得答案.
【详解】（1）证明：∵
ABD
△
和ECD
都是等边三角形，
∴AD
BD
=
，CD
CE
=
，
60
ADB
CDE
=
=
∠
∠
∴
ADB
BDC
CDE
BDC
+
=
+
，
即
ADC
BDE
=
，
在ACD
和BDE
中，
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AD
BD
ADC
BDE
CD
ED
=
=
=
，
∴ADC
BDE
≌
(
)
SAS ，
∴AC
BE
=
．
（2）解：∵ADC
BDE
≌
，
∴
CAD
EBD
=
，
∵
60
ADB
CDE
=
=
∠
∠
，
∴
180
2 60
60
BDC
ADB
=
−
=
=
，
∵AD
BD
=
，
∴ADG
BDH
≌
，
∴DG
DH
=
，
∴DGH
为等边三角形，
∴
60
DHG
=
.
3．（24-25 八年级下·山东枣庄·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，AD是BC 边上的中
线，分别以点C ，D为圆心，大于1
2CD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN 分别交AC ，BC
于点F ，E ，连接DF ．
(1)
ADF
△
是等边三角形吗？为什么？
(2)若EF 的长为2，求AB 的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)8
【分析】（1）先运用三角形内角和性质算出
30
B
C
=
=
，因为MN 是CD的垂直平分线，所以DF
CF
=
，
则
30
FDC
C
=
=
，故
60
AFD
=
，再结合在
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，即可作答;
（2）因为MN 是CD的垂直平分线，则
90
FEC
=
，结合
30
C
=
，
2
EF =
，得
2
4
FC
EF
=
=
，因为DF
FC
=
，
得
4
DF = ，因为
ADF
△
是等边三角形，得
4
AF
DF
=
= ，
8
AC
AF
FC
=
+
= ，即可作答．
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【详解】（1）解：
ADF
△
是等边三角形．
理由是：在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，
(
)
1
180
30
2
B
C
BAC
=
=
−
=
，
以点C ，D为圆心，大于1
2CD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN 分别交AC ，BC 于点F ，
E ，
MN 是CD的垂直平分线，
DF
CF
=
，
30
FDC
C
=
=
，
60
AFD
C
FDC
= +
=
．
在
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，
1
60
2
DAF
BAC
=
=
，
60
ADF
DAF
AFD
=
=
=
，
ADF
△
是等边三角形；
（2）解：由（1）知，MN 是CD的垂直平分线，
90
FEC
=
，
30
C
=
，
2
EF =
，
2
4
FC
EF
=
=
，
DF
FC
=
，
4
DF = ，
ADF
△
是等边三角形，
4
AF
DF
=
= ，
4
4
8
AC
AF
FC
=
+
=
+
=
，
AB
AC
=
，
8
AB =
．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，
40
B
=
，
20
C
=
，AD平分
BAC
，交BC
于点D，过点D 作DE
AB
∥
，交AC 于点E ．
(1)求
ADC
的度数．
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(2)若
ADC
△
与
EDC
△
的周长分别为11和9，求DE 的长．
【答案】(1)100
(2) 2
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明
ADE
是等边
三角形是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理得到
180
120
BAC
B
C
=
−−
=
，由AD平分
BAC
得到
1
60
2
BAD
CAD
BAC
=
=
=
，由三角形外角的性质得到
100
ADC
BAD
B
=
+=
，
（2）证明
ADE
是等边三角形，则AD
DE
AE
=
=
，由三角形周长得到
11,
9
AD
CD
AC
DE
CD
AC
DE
CD
CE
+
+
=
+
+
=
+
+
=
，则
11 9
2
AE
AC
CE
=
−
=
−=
，即可得到
2
DE
AE
=
=
．
【详解】（1）解：∵
40
B
=
，
20
C
=
，
∴
180
120
BAC
B
C
=
−−
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
1
60
2
BAD
CAD
BAC
=
=
=
，
∴
100
ADC
BAD
B
=
+=
，
（2）∵DE
AB
∥
∴
60
ADE
BAD
=
=
，
∴
180
60
AED
ADE
CAD
=
−
−
=
，
∴
ADE
是等边三角形，
∴AD
DE
AE
=
=
∵
ADC
△
与
EDC
△
的周长分别为11和9，
∴
11,
9
AD
CD
AC
DE
CD
AC
DE
CD
CE
+
+
=
+
+
=
+
+
=
，
∴
11 9
2
AE
AC
CE
=
−
=
−=
，
∴
2
DE
AE
=
=
．
5．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D、E 分别在边BC 、AC 上，DE
AB
∥
，
过点E 作EF
DE
⊥
，交BC 的延长线于点F．
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(1)求
F
的度数；
(2)若
2
CD = ，求DE 的长．
【答案】(1)30
(2)2
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理．
（1）根据平行线的性质可得
60
EDC
B
= =
，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证
EDC
△
是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
B
=
，
∵DE
AB
∥
，
∴
60
EDC
B
= =
，
∵EF
DE
⊥
，
∴
90
DEF
=
，
∴
90
30
F
EDC
=
−
=
；
（2）解：∵
60
ACB
=
，
60
EDC
=
，
∴
EDC
△
是等边三角形，
∴
2
ED
DC
=
=
．
6．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，在
ABC
中，
ABC
ACB
BD
AC
=
⊥
，
于点D，E 是BC 上一
点，连接AE ，与BD相交于点O，连接OC
DE
，
，且OB
OC
=
．
(1)求证：AE 垂直平分BC
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(2)若
60
BAC
=
，求证：CDE
是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，
解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据AB
AC
=
，OB
OC
=
，即可证明AE 垂直平分BC ；
（2）根据等边三角形的判定得出
ABC
是等边三角形，根据等边三角形性质得出BC
AC
=
，
60
ACB
=
，
1
2
CD
AC
=
，
1
2
EC
BC
=
，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵
A
ABC
CB
=
∠
，
∴AB
AC
=
，
∴点A 在线段BC 的垂直平分线上，
∵OB
OC
=
，
∴点O 在线段BC 的垂直平分线上，
∴AO 垂直平分BC ，
即AE 垂直平分BC ．
（2）解：∵
A
ABC
CB
=
∠
，
∴AB
AC
=
，
∵
60
BAC
=
，
∴
ABC
是等边三角形，
∴BC
AC
=
，
60
ACB
=
，
∵BD
AC
⊥
，
1
2
CD
AC
=
．
∵AE 垂直平分BC ，
∴
1
2
EC
BC
=
，
∴EC
CD
=
，
∴CDE
是等边三角形．
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7．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，AD
BC
⊥
，垂足为G ，
且AD
AB
=
，
4
AC =
，
60
EDF
=
，
EDF
的两边分别交AB ，AC 于点E ，F ，
1
AF = ．
(1)求证：
ABD
△
是等边三角形．
(2)求AE 的长．
【答案】(1)见详解
(2)3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握
等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出
60
BAD
DAC
=
=
，再由AD
AB
=
，即可得出结论；
（2）由
ABD
△
是等边三角形，得出
60
ABD
ADB
=
=
，BD
AD
=
，证出
BDE
ADF
=
，由ASA 证明
BDE
ADF
≌
，得出BE
AF
=
，结合已知和AE
AB
BE
AC
BE
=
−
=
−
即可．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴
1
2
BAD
DAC
BAC
=
=
．
∵
120
BAC
=
，
∴
1 120
60
2
BAD
DAC
=
=
=
．
又∵AD
AB
=
，
∴
ABD
△
是等边三角形．
（2）证明：∵
ABD
△
是等边三角形，
∴
60
ABD
ADB
=
=
，BD
AD
=
．
∵
60
EDF
=
，
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∴
ADB
EDF
=
．
∴
ADB
ADE
EDF
ADE
−
=
−
，
∴
BDE
ADF
=
．
在BDE
与
ADF
△
中，
60
DBE
DAF
BD
AD
BDE
ADF
=
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BDE
ADF
△
△
≌
．
∴BE
AF
=
，
又∵
1
AF = ，
∴
1
BE = ，
∵
4
AC =
，AB
AC
=
，
∴
3
AE
AB
BE
AC
BE
=
−
=
−
=
．
8．（2025·福建·中考真题）如图，
ABC
是等边三角形，D 是AB 的中点，CE
BC
⊥
，垂足为C，EF 是由
CD沿CE 方向平移得到的．已知EF 过点A，BE 交CD于点G．
(1)求
DCE
的大小；
(2)求证：CEG
是等边三角形．
【答案】(1)60
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的
性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想
等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边三角形的性质推出
30
DCB
=
，垂直，得到
90
BCE
=
，角的和差关系求出
DCE
的大小即可；
（2）平移得到CD
EF
∥
，进而得到
30
EAC
DCA
=
=
，角的和差关系推出
EAC
ECA
=
，进而得到
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,
120
AE
CE
AEC
=
=
，根据AB
CB
=
，推出BE 垂直平分AC ，进而得到
1
60
2
GEC
AEC
=
=
，推出
GEC
GCE
EGC
=
=
，进而得到CEG
是等边三角形即可．
【详解】（1）解：
ABC
是等边三角形，
60
ACB
=
∴
．
D 是AB 的中点，
1
30
2
DCB
DCA
ACB
=
=
=
．
CE
BC
⊥
，
90
BCE
=
，
60
DCE
BCE
DCB
=
−
=
．
（2）由平移可知：CD
EF
∥
，
30
EAC
DCA
=
=
，
又
30
ECA
BCE
ACB
=
−
=
，
EAC
ECA
=
，
∴
,
120
AE
CE
AEC
=
=
，
又
AB
CB
=
，
BE 垂直平分AC ，
1
60
2
GEC
AEC
=
=
，
由（1）知，
60
GCE
=
，
60
EGC
=
，
GEC
GCE
EGC
=
=
，
CEG
是等边三角形．
9．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如图，ABC
和CDE
是等边三角形，连接BD
AE
、
交于点P，BD
AC
、
交于点Q．点F 为线段BD上一点，且FP
AP
=
．
求证：
(1) BCD
ACE
≌
；
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(2) AFP
是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知
全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得
60
AC
BC
CD
CE
ACB
DCE
=
=
=
=
，
，
，再证明
ACE
BCD
=
，据此
可利用SAS证明BCD
ACE
≌
；
（2）由全等三角形的性质可得
CBD
CAE
=
，再由三角形内角和定理可证明
60
APQ
BCQ
=
=
∠
∠
，据
此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵
ABC
和CDE
是等边三角形，
∴
60
AC
BC
CD
CE
ACB
DCE
=
=
=
=
，
，
，
∴
ACB
ACD
DCE
ACD
+
=
+
，即
ACE
BCD
=
，
∴
(
)
SAS
ACE
BCD
≌
△
△
；
（2）证明：∵BCD
ACE
≌
，
∴
CBD
CAE
=
，
∵
180
CBQ
CQB
BCQ
+
+
=
∠
∠
∠
，
180
AQP
APQ
PAQ
+
+
=
∠
∠
∠
，
AQP
CQB
=
∠
∠
，
∴
60
APQ
BCQ
=
=
∠
∠
，
又∵FP
AP
=
，
∴AFP
是等边三角形．
题型一：等腰三角形判定定理中多结论问题
1．（24-25 七年级下·山东东营·期末）已知：如图，ABC
中，点D 是AB 边上一点，
=90
BDC
，BD
CD
=
，
BE平分
ABC
，且BE
AC
⊥
于E ，与CD相交于点F ，若DH
BC
⊥
于H ，交BE于点G ．有以下结论：
①BF
AC
=
；②
30
ECF
=
；③若连接AF ，则AF
DH
∥
；④点G 是BE的中点；⑤ABE
与
CBE
△
成
轴对称．以上五个结论中正确的是（ ）
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A．①③⑤
B．①④⑤
C．①②③⑤
D．①③④⑤
【答案】A
【分析】证明
BDF
CDA
△
≌△
，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接
,
AF CG ，三线
合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到
1
45
2
CDH
BDC
DFA
=
=
=
，判断③，中垂线的性
质，结合斜边大于直角边，判断④，证明AEB
CEB
≌
，得到BE 垂直平分AC ，判断⑤．
【详解】解：∵
90
BDC
=
，BD
CD
=
，
∴
45
DBC
DCB
=
=
，
90
ADC
=
，
∵BE
AC
⊥
，
∴
90
BEC
BDC
=
=
，
又∵
BFD
CFE
=
，
∴
DBF
DCA
=
，
∵BD
CD
=
，
90
ADC
BDC
=
=
，
∴
BDF
CDA
△
≌△
，故①正确；
∵BE 平分
ABC
，
∴
1
22.5
2
DBF
DBC
=
=
∠
∠
，
∴
22.5
ECF
=
；故②错误；
连接
,
AF CG ，
∵
BDF
CDA
△
≌△
，
∴AD
DF
=
，
∴
45
AFD
=
∵
,
DH
BC BD
CD
⊥
=
，
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∴DH 垂直平分BC ，
1
45
2
CDH
BDC
DFA
=
=
=
，
∴BG
CG
=
，AF
DH
∥
，故③正确；
在Rt
CGE
△
中，CG
EG
，
∴BG
EG
，故④错误；
∵BE
AC
⊥
，BE 平分
ABC
，
∴
,
BEC
AEC
ABE
CBE
=
=
，
又∵BE
BE
=
，
∴AEB
CEB
≌
，
∴AE
CE
=
，
∴BE 垂直平分AC ，
∴ABE
与
CBE
△
成轴对称，故⑤正确；
故选：A．
2．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分
别作等边
ABC
和等边ECD
，AD与BE 交于点O，AD与BC 交于点P ，BE 与CD交于点Q ，连接PQ ，
则有以下五个结论：①AD
BE
=
；②PQ
AE
∥
；③AP
BQ
=
；④DE
DP
=
；⑤
60
AOB
=
．其中正确
的有（ ）
A．①③⑤
B．①②⑤
C．①②③⑤
D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，①由于
ABC
和CDE
是等边三角形，可知AC
BC
=
，CD
CE
=
，
60
ACB
DCE
=
=
，从而证出
≌
ACD
BCE
，
可推知AD
BE
=
；②由
≌
ACD
BCE
得
CBE
DAC
=
，加之
60
ACB
DCE
=
=
，AC
BC
=
，得到
(
)
ASA
CQB
CPA
≌
，再根据
60
PCQ
=
推出
PCQ
△
为等边三角形，又由
PQC
DCE
=
，根据内错角相
等，两直线平行，可知②正确；③根据② 中
(
)
ASA
CQB
CPA
≌
，可知③正确；④根据
60
,
60
DQE
ECQ
CEQ
CEQ
CDE
=
+
=
+
=
可知
DQE
CDE
，可知④错误；⑤由BC
DE
∥
，
得到
CBE
BED
=
，由
CBE
DAE
=
，得到
60
AOB
OAE
AEO
=
+
=
，故⑤正确．熟记相关几何性
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质与判定，灵活运用是解决问题的关键．
【详解】解：
ABC
和CDE
是等边三角形，
,
,
60
AC
BC CD
CE
ACB
DCE
=
=
=
=
，
ACB
BCD
DCE
BCD
+
=
+
，即
ACD
BCE
=
，
在ACD
和BCE
中，
AC
BC
ACD
BCE
CD
CE
=
=
=
(
)
SAS
ACD
BCE
△
≌△
，
AD
BE
=
，故①正确；
(
)
SAS
ACD
BCE
≌
，
CBE
DAC
=
，
又
60
ACB
DCE
=
=
，
60
BCD
=
，即
ACP
BCQ
=
，
又
AC
BC
=
，
(
)
ASA
CQB
CPA
≌
，
CP
CQ
=
，
又
60
PCQ
=
，可知
PCQ
△
为等边三角形，
60
PQC
DCE
=
=
，
PQ
AE
∥
，故②正确；
(
)
ASA
CQB
CPA
≌
，
AP = BQ
，故③正确；
AD
BE
=
，AP
BQ
=
，
AD
AP
BE
BQ
−
=
−
，即DP
QE
=
，
60
DQE
ECQ
CEQ
CEQ
=
+
=
+
，
60
CDE
=
，
DQE
CDE
，则DE
DP
，故④错误；
60
ACB
DEC
=
=
BC
DE
∥
，
CBE
BED
=
，
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DAE
CBE
BED
=
=
，
60
AOB
OAE
AEO
BED
AEO
CED
=
+
=
+
=
=
，故⑤正确；
故选：C．
3．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，
60
ABC
=
，AD平分
BAC
交BC 于点D ，CE
平分
ACB
交AB 于点E ，AD
CE
，
交于点F ．则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A．
120
AFC
=
B．若
2
AB
AE
=
，则CE
AB
⊥
C．
ABD
△
的面积
ADC
=
的面积
D．CD
AE
AC
+
=
【答案】C
【分析】A、根据三角形内角和定理可得
120
BAC
ACB
+
=
，然后根据AF 、CF 分别平分
BAC
、
ACB
，
可得
60
FAC
FCA
+
=
，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、延长CE 至G，使EG
CE
=
，连接BG ，
根据SAS证明AEC
BEG
≌
，则可得
ACE
G
=
，
G
BCE
=
，然后根据等角对等边可得BG
BC
=
，再
根据等腰三角形三线合一即可进行判断；C、当AD是
ABC
的中线时，
ABD
△
的面积
ADC
=
的面积，进
而可以进行判断；D、如图，作
AFC
的平分线交AC 于点G，易得
60
AFG
CFG
=
=
，
60
AFE
=
，
通过证明AEF
AGF
≌
，CDF
CGF
≌
，得出AE
AG
=
，CD
CG
=
，即可解答．
【详解】解：A、
ABC
中，
60
ABC
=
，
180
60
120
BAC
ACB
+
=
−
=
，
∵AF 、CF 分别平分
BAC
、
ACB
，BG
1
1
60
2
2
FAC
FCA
BAC
ACB
+
=
+
=
，
(
)
180
180
60
120
AFC
FAC
FCA
=
−
+
=
−
=
．
故A 选项正确，不符合题意；
B、如图，延长CE 至G，使EG
CE
=
，连接BG ，
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又∵
2
AB
AE
=
，
∴AE
BE
=
，
∵
AEC
BEG
=
，
SAS
(
)
AEC
BEG
≌
，
ACE
G
=，
又
ACE
BCE
=
，
G
BCE
=
，
BG
BC
=
，
又
AE
BE
=
，
BE
CG
⊥
，
CE
AB
⊥
，故B 选项正确，不符合题意：
C、当AD是
ABC
的中线时，
ABD
△
的面积
ADC
=
的面积，题干所给条件无法证明， 故C 选项不一定
正确，符合题意；
D、如图，作
AFC
的平分线交AC 于点G，由A 选项得
120
AFC
=
，
60
AFG
CFG
=
=
，
60
AFE
=
，
60
AFG
CFG
AFE
CFD
=
=
=
=
，
EAF
GAF
=
，
DCF
GCF
=
，
ASA
(
)
AEF
AGF
≌
，
(ASA)
CDF
CGF
≌
，
AE
AG
=
，CD
CG
=
，
CD
AE
CG
AG
AC
+
=
+
=
，
故D 选项正确，不符合题意．
故选：C
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4．（24-25 八年级上·广东惠州·期中）如图，
ABC
中，
45 ,
ABC
CD
AB
=
⊥
于D，BE 平分
ABC
，且
BE
AC
⊥
于点E，与CD相交于点F，DH
BC
⊥
于H，交BE 于G，有下列结论：①BH
DH
=
；②BD
CD
=
；
③AD
CF
BD
+
=
；④
1
2
CE
BF
=
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，
全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据
45
DH
BC
ABC
⊥
=
，
，可得
ABC
BDH
=
，从而得到BH
DH
=
，故①符合题意；再由CD
AB
⊥
，
可得
45
BCD
ABC
=
=
，从而得到BD
CD
=
，故②符合题意；然后根据BE
AC
⊥
，可得
ACD
ABE
=
，
从而证得
BDF
CDA
△
△
≌
，可得到DF
AD
BF
AC
=
=
，
，故③符合题意；再由BE 平分
ABC
BE
AC
⊥
，
，
可得
ABE
CBE
△
△
≌
，可得到
1
2
CE
AE
AC
=
=
，故④符合题意．
【详解】解：∵DH
BC
⊥
，
∴
90
BHD
DHC
=
=
，
∵
45
ABC
=
，
∴
45
BDH
=
，
∴
ABC
BDH
=
，
∴BH
DH
=
，故①正确；
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
BDC
ADC
=
=
，
∴
45
BCD
ABC
=
=
，
∴BD
CD
=
，故②正确；
∵
90
ADC
=
，
∴
90
A
ACD
+
=
，
∵BE
AC
⊥
，
∴
90
AEB
CEB
=
=
，
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∴
90
A
ABE
+
=
，
∴
ACD
ABE
=
，
∵
90
BDF
ADC
BD
CD
=
=
=
，
，
∴
(
)
ASA
BDF
CDA
≌
，
∴DF
AD
=
，
∴BD
CD
DF
CF
AD
CF
=
=
+
=
+
，故③正确；
∵
BDF
CDA
△
△
≌
，
∴BF
AC
=
，
∵BE 平分
ABC
，
∴
ABE
CBE
=
，
∵
90
BE
BE
AEB
CEB
=
=
=
，
，
∴
(
)
ABE
CBE ASA
≌
，
∴
1
1
2
2
AE
CE
AC
BF
=
=
=
，故④正确；
故选：D．
5．（24-25 八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边
ABC
中，D 是边AC 上一点，连接BD，将
BCD
△
绕
点B 逆时针旋转60°，得到BAE
，连接ED．若
5
BC = ，
4
BD =
，则下列结论①AE
BC
∥
；②
ADE
的周
长是9；③BDE
是等边三角形；④
ADE
BDC
=
，正确的是（ ）
A．①③
B．①②③
C．②③
D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
利用旋转的性质可得出BD
BE
=
，
60
DBE
=
，即可判断③；证明
(
)
SAS
CBD
ABE
≌
，得出
60
C
BAE
ABC
=
=
=
，即可判断①；利用等边三角形的性质以及全等三角形的性质即可判定②，利
用三角形外角的性质即可判断④．
【详解】解：∵将
BCD
△
绕点B 逆时针旋转60，得到BAE
，
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∴BD
BE
=
，
60
DBE
=
，
∴BDE
是等边三角形，故③正确；
∵
ABC
是等边三角形，
∴BC
BA
=
，
60
ABC
=
，
∴
60
CBD
ABE
ABD
=
=
−
，
又BD
BE
=
，
∴
(
)
SAS
CBD
ABE
≌
，
∴
60
C
BAE
ABC
=
=
=
，AE
CD
=
，
∴AE
BC
∥
，故①正确；
∵
ABC
、BDE
是等边三角形，
5
BC = ，
4
BD =
，
∴
5
AC
BC
=
=
，
4
DE
BD
=
=
，
60
BAC
BDE
=
=
∴
ADE
的周长是
9
AE
AD
DE
CD
AD
DE
AC
DE
+
+
=
+
+
=
+
=
，故②正确；
∵
BDC
BAC
ABD
BAC
=
+
，
60
BAC
BDE
=
=
，
∴
BDC
BDE
，
故④不正确，
故选：B．
6．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分
别作等边
ABC
和等边CDE
AD
，
与BE 交于点O
AD
，
与BC 交于点P
BE
，
与CD交于点Q ，连接PQ
OC
，
，
有如下四个结论：①AD
BE
=
，②PQ
OC
=
，③
60
AOB
=
，④OC 平分
AOE
，⑤CO平分
BCD
，
其中结论正确的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证
≌
ACD
BCE
即可判断①；证
ACP
BCQ
△
≌△
推出CPQ
是等边三角形，根据
CAP
CBQ
=
，
60
CAB
ABC
=
=
，可推出
120
ABO
BAO
+
=
，即可判断③；根据
≌
ACD
BCE
，可得
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,
ACD
BCE
S
S
BE
AD
=
=
，设ACD
边AD上的高为
1h ，BCE
边BE 上的高为
1h ，可推出
1
2
h
h
=
，即可判断④；
根据
CPO
COP
，即可判断②；假设CO平分
BCD
，则可求出
30
OAC
=
，即可判断⑤．
【详解】解：由题意得：
,
,
60
AC
BC
AB DC
CE
DE
ABC
ACB
BAC
=
=
=
=
=
=
=
，
60
DCE
DEC
CDE
=
=
=
，
∴
ACD
BCE
=
，
∴
≌
ACD
BCE
，
∴AD
BE
=
，故①正确；
∴
CAP
CBQ
=
，
∵
180
60
BCQ
ACB
DCE
ACP
=
−
−
=
=
，
∴
ACP
BCQ
△
≌△
，
∴CP
CQ
=
，
∴CPQ
是等边三角形，
∴
60
CPQ
=
，PC
PQ
=
，
∵
CAP
CBQ
=
，
60
CAB
ABC
=
=
，
∴(
) (
)
120
CAB
CAP
CBQ
ABC
−
+
+
=
，即
120
ABO
BAO
+
=
，
∴
(
)
180
60
AOB
ABO
BAO
=
−
+
=
，故③正确；
∵
≌
ACD
BCE
，
∴
,
ACD
BCE
S
S
BE
AD
=
=
，
设ACD
边AD上的高为
1h ，BCE
边BE 上的高为
1h ，
则
1
2
1
1
2
2
AD h
BE h
=
，
∴
1
2
h
h
=
，
∴OC 平分
AOE
，故④正确；
∴
(
)
1
1
180
60
2
2
POC
POQ
AOB
=
=
−
=
，
又
CPO
CPQ
即
60
CPO
，
∴
CPO
COP
，
∴PC
OC
，
又PC
PQ
=
，
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∴PQ
OC
，故②错误；
若CO平分
BCD
，
则
1
30
2
PCO
PCQ
=
=
，
又
60
ACB
=
，
∴
90
ACO
=
，
又
60
AOC
=
，
∴
30
OAC
=
，
而题干没有这一条件，则CO平分
BCD
不成立，故⑤错误；
故选∶B
7．（24-25 七年级下·河南驻马店·期末）如图，在ABC
中，
45
ABC
=
，BE平分
ABC
，BE
AC
⊥
于点
E，CD
AB
⊥
于点D，BE交CD于点F，H 是边BC 的中点，连接DH 与BE交于点G．现有下列结论：①
2AE
BF
=
；②
67.5
A
=
；③是DGF
等腰三角形；④四边形ADGE 和四边形GHCE 面积相等．其中正
确的结论有（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运
用知识点进行推理是解此题的关键．根据角平分线的定义求出
BAE
CBE
=
，求出BD
CD
=
，根据全等三
角形的判定推出
BDF
CDA
△
≌△
，BEA
BEC
≌
，根据全等三角形的性质得出AB
BC
=
，BF
AC
=
，再逐
个判断即可．
【详解】解：
BE
平分
ABC
，
ABE
CBE
=
，
BE
AC
⊥
，CD
AB
⊥
，
90
BEA
BEC
ADC
BDC
=
=
=
=
，
90
DBF
DFB
+
=
，
90
ACD
EFC
+
=
，
BFD
EFC
=
，
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DBF
ACD
=
，
=90
BDC
，
45
ABC
=
，
45
DCB
ABC
=
=
，
BD
CD
=
，
(
)
ASA
BDF
CDA
≌
，
BF
AC
=
，
ABE
CBE
=
，BE
BE
=
，
BEA
BEC
=
，
(
)
ASA
BEA
BEC
≌
，
AB
BC
=
，AE
CE
=
1
2
AE
AC
=
，
∴
1
2
AE
BF
=
，即2AE
BF
=
，故①正确；
45
ABC
=
，AB
BC
=
，
(
)
(
)
1
1
180
180
45
67.5
2
2
A
ACB
ABC
=
=
−
=
−
=
，故②正确；
BD
CD
=
，H 为BC 的中点，
90
DHB
=
，
90
BEC =
，
90
DGF
BGH
CBE
=
=
−
，
90
DFG
EFC
ACD
=
=
−
，
CBE
ABE
ACD
=
=
，
DGF
DFG
=
，
DGF
是等腰三角形，故③正确；
BEA
BEC
≌
，
BEA
BEC
S
S
=
，
又
BGD
和BHG
的面积不一定相等，
ADGE
GHCE
S
S
四边形
四边形
，故④错误；
即正确的是①②③，共3 个，
故选：C．
8．（24-25 八年级下·四川成都·期中）如图，在
ABC
中，D 为
ABC
内一点，CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，
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垂足为D ，交AC 于点E ，
A
ABE
=
．若
6
AC =
，
4
BC =
，则BD的长为（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、
等腰三角形的判定是解题的关键．
根据CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，证出
BDC
EDC
△
≌△
，得到BC
BE
=
，BD
DE
=
即可．
【详解】解：
CD
平分
ACB
，
BCD
ECD
=
，
BE
CD
⊥
，
90
BDC
EDC
=
=
，
CD
CD
=
，
(
)
ASA
BDC
EDC
≌
，
4
BC
CE
=
=
，BD
DE
=
，
又
A
ABE
=
，
AE
BE
=
，
6
AC =
，
4
BC =
，
2
AE
AC
CE
=
−
=
，
2
=
=
BE
AE
，
1
1
2
BD
BE
=
= ，
故选：A．
题型二：根据等边对等角求边长
1．
（24-25 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，点D 是
ABC
内一点，连接AD、BD、CD，其中BD
CD
⊥
，
BD平分
ABC
，若
10cm
AB =
，
6cm
BC =
，
2
BCD
DCA
=
，则DC = （ ）
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A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．3cm
【答案】A
【分析】延长CD，交AB 于点E ，由三角形角平分线的定义可得
1
2
CBD
EBD
ABC
=
=
，利用ASA 可
证得
BDC
BDE
≌
△
△
，于是可得
1
2
DC
DE
CE
=
=
，
6cm
BE
BC
=
=
，
2
BED
BCD
DCA
=
=
，由三角形
外角的性质可得
BED
DCA
EAC
=
+
，则
2
DCA
EAC
DCA
+
=
，进而可得
EAC
DCA
=
，由等角
对等边可得
4cm
CE
AE
AB
BE
=
=
−
=
，再根据
1
2
DC
DE
CE
=
=
即可求出DC 的长．
【详解】解：如图，延长CD，交AB 于点E ，
BD
CD
⊥
，
90
BDC
BDE
=
=
，
BD
平分
ABC
，
1
2
CBD
EBD
ABC
=
=
，
又
BD
BD
=
，
(
)
ASA
BDC
BDE
≌
，
1
2
DC
DE
CE
=
=
，
6cm
BE
BC
=
=
，
2
BED
BCD
DCA
=
=
，
BED
DCA
EAC
=
+
，
2
DCA
EAC
DCA
+
=
，
EAC
DCA
=
，
10 6
4cm
CE
AE
AB
BE
=
=
−
=
−=
，
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1
1
4
2cm
2
2
DC
DE
CE
=
=
=
=
，
故选：A ．
2．（24-25 八年级上·云南玉溪·期中）如图，BN 是
MBC
的角平分线，P 为BN 上一点，PA
BC
∥
，
PD
BC
⊥
．若
4
PA =
，
3
PD =
，则ABP
的面积为（ ）
A．24
B．12
C．7
D．6
【答案】D
【分析】过P 作PE
BM
⊥
于点E ，由角平分线的性质可得
3
PE
PD
=
= ，利用角平分线的有关计算可得
ABP
CBP
=
，由两直线平行内错角相等可得
APB
CBP
=
，进而可得
ABP
APB
=
，由等角对等边可
得
4
AB
AP
=
=
，然后利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：如图，过P 作PE
BM
⊥
于点E ，
∵BN 是
MBC
的角平分线，PD
BC
⊥
，
∴
3
PE
PD
=
= ，
ABP
CBP
=
，
∵PA
BC
∥
，
∴
APB
CBP
=
，
∴
ABP
APB
=
，
∴
4
AB
AP
=
=
，
∴ABP
的面积为1
1
4 3
6
2
2
AB PE
=
=
，
故选：D ．
3．
（23-24 七年级下·山东济南·期末）如图，在
ABC
中，BE ，CE 分别是
ABC
和
ACB
的平分线，ED
AC
∥
，
交BC 于点D，EF
AB
⊥
于点F．若
35
BC =
，
5
EF = ，
13
DE =
，则
EBD
△
的面积为（ ）
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A．50
B．55
C．60
D．65
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟
练掌握相关性质．过E 作EM
BC
⊥
于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM ，根据平行
线和角平分线的性质易证
DCE
DEC
=
，根据等角对等边求得CD，从而求得BD，最后根据三角形面积
公式求解即可．
【详解】解：过E 作EM
BC
⊥
于M，
BE
平分
ABC
，EM
BC
⊥
，EF
AB
⊥
，
5
EF = ，
5
EM
EF
=
=
，
CE
平分
ACB
，
ACE
DCE
=
，
ED
AC
∥
，
ACE
DEC
=
，
DCE
DEC
=
，
13
CD
DE
=
=
，
35
BC =
，
35 13
22
BD
BC
CD
=
−
=
−
=
，
1
1
·
22 5
55
2
2
EBD
S
BD EM
=
=
=
，
故选：B．
4．（24-25 八年级上·吉林松原·期末）如图，D 为
ABC
内一点，CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，垂足为D，
交AC 于点E，若
A
ABE
=
，
1
BD = ，
3
BC = ，则AC 的长为 ．
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【答案】5
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性
质是解决问题的关键．
先证明
EDC
△
和BDC
全等得
1
DE
BD
=
= ，
3
EC
BC
=
=
，则
2
BE =
，再根据
A
ABE
=
得
2
AE
BE
=
=
，
由此可得出AC 的长．
【详解】解：
CD
平分
ACB
，
ECD
BCD
=
，
BE
CD
⊥
，
90
EDC
BDC
=
=
，
在
EDC
△
和BDC
中，
90
ECD
BCD
CD
CD
EDC
BDC
=
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
EDC
BDC
≌
，
DE
BD
=
，EC
BC
=
，
1
BD =
，
3
BC = ，
1
DE
BD
=
= ，
3
EC
BC
=
= ，
2
BE
DE
BD
=
+
=
，
A
ABE
=
，
2
AE
BE
=
=
，
5
AC
AE
EC
=
+
= ．
故答案为：5．
5．（23-24 八年级上·浙江宁波·期中）如图，D 为
ABC
内一点，CD平分
ACB
，BD
CD
⊥
，A
ABD
=
，
若
10
AC =
，
6
BC =
，则BD的长为 ．
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【答案】2
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线
的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长BD交AC 于点E ，
根据角平分线的定义及垂直的定义得
90
CDB
CDE
=
=
，
ECD
BCD
=
，利用ASA 可证明
ECD
BCD
△
≌△
，得出
6
CE
BC
=
=
，BD
DE
=
，可得
4
AE =
，根据等角对等边得出
4
AE
BE
=
=
，即可得
BD的长．
【详解】解：如图，延长BD交AC 于E ，
∵CD平分
ACB
，BD
CD
⊥
，
∴
90
CDB
CDE
=
=
，
ECD
BCD
=
，
在ECD
和
BCD
△
中，
CDE
CDB
CD
CD
ECD
BCD
=
=
=
，
∴
ECD
BCD
△
≌△
，
∴
6
CE
BC
=
=
，BD
DE
=
，
∴
10
6
4
AE
AC
CE
=
−
=
−
=
，
∵
A
ABD
=
，
∴
4
AE
BE
=
=
，
∴
1
2
2
BD
BE
=
=
．
故答案为：2
6．（24-25 八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在
ABC
中，DE
BC
∥
，
ABC
和
ACB
的平分线分别交DE
于点G ，F ，BG ，CF 相交于点O．
（1）若
50
A
=
，则
BOC
的度数为 ；
（2）若
5
FG =
，
8
ED =
，则EB
DC
+
的值为 ．
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95 /
【答案】 115 13
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，平行线的性质：
①由角平分线得到
1
1
,
2
2
GBC
ABC
FCB
ACB
=
=
，由三角形的内角和定理得到
180
50
130
ABC
ACB
+
=
−
=
，再对BOC
运用内角和定理即可求解；
②根据题意证明
,
EB
EG DF
DC
=
=
，进而可得EB
CD
ED
FG
+
=
+
，即可得出答案．
【详解】解：①
ABC
和
ACB
的平分线分别交DE 于点G ，F ，
∴
1
1
,
2
2
GBC
ABC
FCB
ACB
=
=
，
∵
50
A
=
，
∴
180
50
130
ABC
ACB
+
=
−
=
，
∴
(
)
1
180
2
GBC
FCB
ABC
ACB
BOC
+
=
+
=
−
，
∴
1
180
130
2
BOC
−
=
，
∴
115
BOC
=
，
故答案为：115；
②∵ED
BC
∥
，
∴
,
EGB
GBC
DFC
FCB
=
=
，
∵
ABC
和
ACB
的平分线分别交DE 于点G ，F ，
∴
,
ABG
GBC
ACF
FCB
=
=
，
∴
,
EBG
EGB
DFC
ACF
=
=
，
∴
,
EB
EG DC
DF
=
=
，
∵
5,
8
FG
ED
=
= ，
∴
8 5 13
EB
DC
EG
DF
ED
FG
+
=
+
=
+
= + =
，
故答案为：13．
7．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，在
ABC
中，AD为BC 边上的中线，E 为AD上一点，连接BE
并延长交AC 于点F ，若
FAE
FEA
=
，
5
BE =
，
1.8
AF =
，则CF 的长为 ．
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【答案】3.2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，延长AD至G ，使DG
AD
=
，连接BG ，可
证明
(
)
SAS
BDG
CDA
≌
，则BG
AC
=
，
CAD
G
=
，根据AF
EF
=
，得
CAD
AEF
=
，可证出
G
BEG
=
，即得出
5
AC
BE
=
=
，然后利用线段的和差即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AD至G ，使DG
AD
=
，连接BG ，
∵AD为BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
在BDG
和CDA
中，
BD
CD
BDG
CDA
DG
DA
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BDG
CDA
≌
，
∴BG
AC
=
，
CAD
G
=
，
∵
AEF
FAE
=
，
∴
CAD
AEF
=
，
∵
BEG
AEF
=
，
∴
CAD
BEG
=
，
∴
G
BEG
=
，
∴
5
BG
BE
=
=
，
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∴
5
AC
BE
=
=
，
∵
1.8
AF =
，
∴
5 1.8
3.2
CF
AC
AF
=
−
= −
=
．
故答案为：3.2．
题型三：等腰三角形的个数
1．（24-25 八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，
ABC
中
70
B
=
，
80
C
=
，在直线BA上找一
点D ，使ACD
或
BCD
△
为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）
A．9 个
B．8 个
C．7 个
D．6 个
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可．
【详解】解：以B 为圆心，BC 的长为半径画圆，得到
2
6
,
BD C
BD C
为等腰三角形，
以C 为圆心，BC 的长为半径画圆，得到
4
BD C
为等腰三角形，
作BC 的中垂线，得到
7
BD C
为等腰三角形，即，以BC 为边的等腰三角形有4 个，
同理：以AC 为边的等腰三角形也有4 个；
故总共有8 个等腰三角形；
故选B．
2．（23-24 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
A
=
．在直线BC 或AC
上取一点P，使得PAB
是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）处．
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A．6
B．7
C．8
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解．
【详解】如图，第1 个点在AC 上，作线段AB 的垂直平分线，交AC 于点P，则有PA
PB
=
；
第2 个点是以A 为圆心，以AB 长为半径截取AP
AB
=
，交AC 延长线上于点P；
第3 个点是以A 为圆心，以AB 长为半径截取AP
AB
=
，在上边与CA 延长线上交于点P；
第4 个点是以B 为圆心，以BA长为半径截取BP
BA
=
，与AC 的延长线交于点P；
第5 个点是以B 为圆心，以BA长为半径截取BP
BA
=
，与BC 在左边交于点P；
第6 个点是以A 为圆心，以AB 长为半径截取AP
AB
=
，与BC 在右边交于点P；
故符合条件的点P 有6 个点．
故选：A．
3．（23-24 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，
75
ABC
=
，
30
BAC
=
．点P 为直线BC 上
一动点，若点P 与
ABC
三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P 的位置有（ ）
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99 /
A．4 个
B．6 个
C．8个
D．9个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角
形的情况，得到满足条件的点P 的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内
角和定理．
【详解】解：如图，
∵在
ABC
中，
75
ABC
=
，
30
BAC
=
，
∴
180
180
75
30
75
ACB
ABC
BAC
=
−
−
=
−
−
=
，
当
1
75
37.5
2
CAP
CPA
=
=
=
时，CAP
为等腰三角形；
当
(
)
1
180
75
52.5
2
BAP
BPA
=
=
−
=
时，
BAP
△
为等腰三角形；
当
75
PAB
PBA
=
=
时，PAB
为等腰三角形；
当P 与C 重合时，ABP
为等腰三角形；
当P 与B 重合时，
ACP
△
为等腰三角形；
当
75
PAC
PCA
=
=
时，PAC
为等腰三角形；
当
(
)
1
180
75
52.5
2
CAP
CPA
=
=
−
=
时，CAP
为等腰三角形；
当
37.5
BAP
BPA
=
=
时，
BAP
△
为等腰三角形；
综上，满足条件的点P 的位置有8个．
故选：C．
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4．（23-24 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知
(
)
4,1
A
，在坐标轴上确定一点P
使得AOP
为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（ ）
A．4 个
B．6 个
C．8 个
D．7 个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA为底，可能OA为腰两种情况，依此即可得出答案．
【详解】解：如图：①以A 为圆心，以OA为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（O除外）；
②以O 为圆心，以OA为半径作圆，此时交坐标轴于四个点；
③作线段AO 的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点，
共有：2
4
2
8
+ +
= ，
故选：C ．
5．（24-25 八年级上·全国·单元测试）已知(
)
0,2
A
、
(
)
4,0
B
，点C 在x 轴上，若
ABC
是等腰三角形，则
满足这样条件的C 有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，分BC
AB
=
，AC
AB
=
，AC
BC
=
三种情况，根据
等腰三角形性质即可求解．
【详解】解：以B 为圆心，以AB 为半径画弧，交x 轴于
1
C ，
2
C 两点，此时BC
AB
=
；
以A 为圆心，以AB 为半径画弧，交x 轴于
3
C 点，此时AC
AB
=
；
作AB 的垂直平分线交x 轴于
4
C ，此时AC
BC
=
，
满足这样条件的C 有: 2 1 1
4
+ + =
（个），
故答案为：4．
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6．
（23-24 八年级上·吉林白城·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
(
)
2,2
P
，点Q 在坐标轴上，PQO
是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有 个．
【答案】8
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，根据等腰三角形的性质作出图形，利用数
形结合的思想是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知：PQO
是等腰三角形，
当PO
PQ
=
时，以点P 为圆心，PO为半径画圆，与坐标轴交于
1
Q ，
2
Q （除点O外），
当OP
OQ
=
时，以点O为圆心，OP 为半径画圆，与坐标轴交于
3
Q ，
4
Q ，
5
Q ，
6
Q ，
当QP
QO
=
时，即点Q 在OP 的垂直平分线，与坐标轴交于
7
Q ，
8
Q ，
结合图形，综上，满足条件的点Q 共有8 个，
故答案为：8．
7．（24-25 八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知
(
)
1,1
A
，在x 轴上确定点
P ，使AOP
为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 个．
【答案】4
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【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关
键．有三种情况：当OA
AP
=
时，以A 为圆心，以OA为半径画圆，看与x 轴交点个数；当OA
OP
=
时，以O
为圆心，以OA为半径画圆，看与x 轴交点个数；当OP
AP
=
时，作OA的中垂线，看中垂线与x 轴的交点个
数，从而得到答案．
【详解】解：如图，有三种情况
当OA
AP
=
时，以A 为圆心，以OA为半径的圆与x 轴交点有1 个；
当OA
OP
=
时，以O为圆心，以OA为半径的圆与x 轴交点有2 个；
当OP
AP
=
时，作OA的中垂线，中垂线与x 轴的交点有1 个．
故答案为：4．
题型四：等腰三角形的性质与判定中最值问题
1．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
60
BAC
=
，BC 边上的高
7
AD =
，
E 是AD边上的一个动点，F 是边AB 的中点，则EB
EF
+
的最小值是（ ）
A．3.5
B．5
C．7
D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握和运用等边三角形的性
质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
先连接CE ，CF ，再根据EB
EC
=
，将FE
EB
+
转化为FE
CE
+
，最后根据两点之间线段最短，求得CF 的
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长，即为FE
EB
+
的最小值．
【详解】解：连接CE ，CF ，
∵AB
AC
=
，
60
BAC
=
，
∴
ABC
是等边三角形，
∵AD是BC 边上的高，
AD
是BC 边上的中线，即AD垂直平分BC ，
EB
EC
=
，
∴BE
EF
CE
EF
CF
+
=
+
，
∴当C 、F 、E 三点共线时，EF
EC
+
值最小 ，最小值为CF ，
等边
ABC
中，F 是AB 边的中点，
7
CF
AD
=
= ，
EF
BE
+
的最小值为7，
故选：C．
2．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，点E ，F 分别为AB ，BC
上的两个定点且
3
BE
CF
=
= ，
2
DE =
，在CD上有一动点M 使ME
MF
+
最短，则ME
MF
+
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】在AB 上找到E 点关于CD的对称点E，连接EF
交CD于点M ，连接EM ，推出ME
MF
+
的最小
值是EF
的长，再证明出BE F
是等边三角形，即可求出EF
的长，从而解决问题．
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【详解】解：在AB 上找到E 点关于CD的对称点E，连接EF
交CD于点M ，连接EM ，
此时CD是EE的垂直平分线，
ME
ME
=
，
2
DE
DE
=
= ，
此时ME
MF
+
取最小值，最小值为ME
MF
EF
+
=
，
等边
ABC
中，CD
AB
⊥
，
3 2
5
AD
BD
BE
DE
=
=
+
= +
= ，
5 2
7
BE
BD
DE
=
+
= +
=
，
2
10
AB
BD
=
=
，
等边
ABC
中，
10
BC
AB
=
=
，
60
B
=
，
又
3
CF = ，
7
BF
BC
CF
BE
=
−
=
=
，
BE F
是等边三角形，
7
E F
BF
=
=
，
即ME
MF
+
的最小值为7 ．
故选：D ．
3．
（24-25 八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知
AOB
的大小为，P 是
AOB
内部的一个定点，且
8
OP = ，
点E，F 分别是OA、OB 上的动点，若PEF
周长的最小值等于8，则=（ ）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】A
【分析】本题考查轴对称求最短距离．作P 点关于OA的对称点P，作P 点关于OB 的对称点P，连接P P
交OA于点E 、交BO于点F ，连接OP、OP，此时PEF
周长最小为
''
8
P P
=
，由对称性可得OP P
是等
边三角形，
''
,
P OE
POE
P OF
POF
=
=
，即可求解．
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【详解】解：作P 点关于OA的对称点P，作P 点关于OB 的对称点P，连接P P
交OA于点E 、交BO于
点F ，连接OP、OP，
由对称性可知，PE
P E
=
，PF
P F
=
，
PEF
周长
PE
PF
EF
P E
P F
EF
P P
=
+
+
=
+
+
=
，
此时PEF
周长最小，
∵PEF
周长的最小值等于8，即
''
8
P P
=
OP
OP
=
，OP
OP
=
，
''
''
8
OP
OP
P P
OP
=
=
=
=
，
OP P
是等边三角形，
60
P OP
=
，
由对称的性质得：
''
,
P OE
POE
P OF
POF
=
=
，
''
1
30
2
AOB
POE
POF
P OP
=
=
+
=
=
，
故选：A．
4．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）已知，点P 是等边三角形ABC 的边BC 上的一点（点P 与点C 、点B
不重合），则在以线段AP ，BP，CP 为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ）
A．90
B．100
C．110
D．120
【答案】D
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关
键．过点P 作PE
AB
交AC 于点E ，证明
CEP
△
是等边三角形得CE
CP
PE
=
=
，则AE
BP
=
，
120
AEP
=
，
由此即可得出答案．
【详解】解：过点P 作PE
AB
交AC 于点E ，如图所示：
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106 /
ABC
是等边三角形，
60
CAB
CBA
C
=
=
=
，AC
BC
=
，
PE
AB
∥
，
60
CEP
CAB
=
=
，
60
CPE
CBA
=
=
，
60
CEP
CPE
C
=
=
=
，
CEP
△
是等边三角形，
CE
CP
PE
=
=
，
AE
AC
CE
BC
CP
BP
=
−
=
−
=
，
180
120
AEP
CEP
=
−
=
，
在以线段AP ，BP，CP 为边的三角形中，最大的内角为120．
故选：D ．
5．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）如图，点P 是
AOB
内任意一点，
30
AOB
=
，
8
OP = ，点M 和点N
分别是射线OA和射线OB 上的动点，则PMN
周长的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】此题考查轴对称－最短路线问题．设点P 关于OA的对称点为C，关于OB 的对称点为D，当点M、
N 在CD上时，
MPN
△
的周长最小，据此解答即可．
【详解】解：分别作点P 关于OA
OB
、
的对称点C、D，连接CD，分别交OA
OB
、
于点M、N，连接OC
OD
、
．
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107 /
∵点P 关于OA的对称点为C，
∴PM
CM
OP
OC
COA
POA
=
=
=
，
，
；
∵点P 关于OB 的对称点为D，
∴PN
DN
OP
OD
DOB
POB
=
=
=
，
，
，
∴
8
OC
OD
OP
=
=
= ，
∵
30
AOB
=
，
∴
COD
COA
POA
POB
DOB
=
+
+
+
2
2
POA
POB
=
+
2
60
AOB
=
=
，
∴
COD
△
是等边三角形，
∴
8
CD
OC
OD
=
=
=
．
∴PMN
的周长的最小值
8
PM
MN
PN
CM
MN
DN
CD
=
+
+
=
+
+
=
=
．
故选：D．
6．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为45
8 的锐角
ABC
中，
5
2
AB =
，
30
C
=
，D 是
ABC
内部一点，E，F 分别是边BC
AC
，
上的动点，连接AD
BD
DE
DF
EF
，
，
，
，
．若
ABD
△
的面积为2，则DEF
周长的最小值为 ．
【答案】29
10 /2.9
【分析】过点D 作直线l
AB
∥
，过点C 作CG
AB
⊥
于点G，交直线l 于点H，求出CH ，推出CD的最小值
为CH ，再作点D 关于BC
AC
，
的对称点D¢，D，连接D D
，CD、CD，证明出
CD D
△
是等边三角形，
且边长等于CD，由此可解决问题．
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108 /
本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌
握相关知识，证明出
CD D
△
是等边三角形，且边长等于CD，是解题的关键．
【详解】解：过点D 作直线l
AB
∥
，过点C 作CG
AB
⊥
于点G，交直线l 于点H，如图，
由题意，知CG 为
ABC
的边AB 上的高，HG 等于
ABD
△
的边AB 上的高，
∵锐角
ABC
的面积为45
8 ，
5
2
AB =
，
∴1
5
45
2
2
8
CG
=
，
9
2
CG =
，
∵
ABD
△
的面积为2，
5
2
AB =
，
∴1
5
2
2
2 HG
=
，点D 是直线l 上的动点，
∴
8
5
HG =
，
29
10
CH
CG
HG
=
−
=
，
∵CD
CH
，
CD的最小值为29
10 ，
作点D 关于BC
AC
，
的对称点D¢，D，连接
''
D D
，CD、CD，ED，
''
FD ，
则CD
CD
=
，CD
CD
=
，
2
DCD
DCB
=
，
2
DCD
DCA
=
，
''
,
DE
D E DF
D F
=
=
，
当
''
,
, ,
D F E D
共线时，DEF
周长最小为
''
D D
，
∵
30
ACB
=
，
∴
2
60
D CD
ACB
=
=
，
∴
CD D
△
是等边三角形，
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DEF
周长的最小值为
''
D D
D C
CD
=
=
= 29
10 ，
故答案为：29
10 ．
7．（24-25 七年级下·山东济南·阶段练习）如图，点C、D 在线段AB 的同侧，
4,
12,
9,
CA
AB
BD
M
=
=
=
是
AB 的中点，
120
CMD
=
，则CD长的最大值是 ．
【答案】19
【分析】本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关
键是利用两点之间线段最短解决问题．作点A关于CM 的对称点A，点B关于DM 的对称点B，证明
A BM
△
为等边三角形，即可解决问题.
【详解】解：作点A 关于CM 的对称点A，点B 关于DM 的对称点B，连接A C
，AM
，B M
，A B
，B D
，
∴
CMA
CMA
=
，
BMD
BMD
=
，AM
AM
=
，BM
BM
=
，AC
A C
=
，BD
BD
=
，
∵
120
CMD
=
，
∴
60
+
=
AMC
DMB
，
∴
60
+
=
CMA
DMB
，
∴
60
=
A MB
，
∵M 是AB 的中点，
12
AB =
，
∴
6
MA
MB
=
=
，
∴
=
MA
MB ，
∴
A BM
△
为等边三角形，
∴
6
A B
A M
AM
=
=
=
，
∵
4,
9
CA
BD
=
=
，
4 6 9
19
CD
CA
A B
B D
CA
AM
BD
+
+
=
+
+
=
+ + =
，
∴CD的最大值为19．
故答案是19．
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题型五：等腰三角形的性质与判定中需分情况讨论
1．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）已知BD是等腰
ABC
一腰上的高，且
40
ABD
=
，则
ABC
三内
角度数为 ．
【答案】50、65、65或80、50、50或130、25、25
【分析】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出
A
，再分
点A 是顶角顶点，点A 是底角或顶角顶点3 种情况求解．
【详解】解：∵
40
ABD
=
，BD是等腰
ABC
腰上的高，
∴
90
90
40
50
A
ABD
=
−
=
−
=
，
①如图1，点A 是顶角顶点时，顶角为
A
，是50，两底角为65；
②如图2，点A 是底角顶点时，两底角是50，顶角
180
50
50
80
BCA
=
−
−
=
；
③如图3，点A 是顶角顶点时，顶角
90
40
130
BAC =
+
=
∠
，两底角是
(
)
1
180
130
25
2
−
=
；
综上所述，等腰
ABC
三内角度数为50、65、65或80、50、50或130、25、25．
故答案为：50、65、65或80、50、50或130、25、25．
2．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）在
ABC
中，AB
AC
=
，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交直线AC
于点E，
60
AEB
=
，那么
EBC
等于 ．
【答案】0或90
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【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质；线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点的距离相等．分两种情况：
BAC
为锐角，
BAC
为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出
AE
BE
=
，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：分以下两种情况：
如图1，
BAC
为锐角，
∵DE 垂直平分AB ，
∴AE
BE
=
，
∴
BAC
ABE
=
，
∵
60
AEB
=
，
∴
60
BAC
ABE
=
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
180
60
60
2
ABC
−
=
=
，
∴
0
EBC
ABC
ABE
=
−
= （此时点E 和点C 重合）；
如图2，
BAC
为钝角，
∵DE 垂直平分AB ，
∴AE
BE
=
，
∴
BAE
ABE
=
，
∵
60
AEB
=
，
∴
60
BAE
EBA
=
=
，
∴
120
BAC
=
，
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∵AB
AC
=
，
∴
180
120
30
2
ABC
−
=
=
，
∴
90
EBC
EBA
ABC
=
+
=
．
故答案为：0或90．
3．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在
ABC
中，AC 与AB 边上的垂直平分线DM 、EN 分别交BC
于点D、点E ．连接DA、EA，
60
DAE
=
，则
BAC
= ．
【答案】60或120
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练
掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
分2 种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得
B
BAE
=
、
C
CAD
=
，根据题意得
120
AED
ADE
+
=
，利用三角形的外角的性质求得
60
BAE
CAD
+
=
，根据
BAC
BAE
DAE
CAD
=
+
+
即可求解；②当点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，
60
BAC
DAE
=
=
．
【详解】解：根据题意，有2 种情况，
①如图，
AC 与AB 边上的垂直平分线DM 、EN 分别交BC 于点D 、点E ，
AE
BE
=
，AD
CD
=
，
B
BAE
=
，
C
CAD
=
，
60
DAE
=
，
120
AED
ADE
+
=
，
AED
是ABE
的一个外角，
ADE
是
ADC
△
的一个外角，
2
AED
B
BAE
BAE
=+
=
，
2
ADE
C
CAD
CAD
=
+
=
，
2
2
120
BAE
CAD
+
=
，
60
BAE
CAD
+
=
，
120
BAC
BAE
DAE
CAD
=
+
+
=
．
②如图，当点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，
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此时，
60
BAC
DAE
=
=
．
综上所述，
60
BAC
=
或120．
故答案为：60或120．
4．（19-20 八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知点P 是射线ON 上的一动点，若
40
O
=
，当
A
= 时，
AOP
为等腰三角形．
【答案】40或70或100
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性
质是解题的关键．分AO
AP
=
、AO
OP
=
和OP
AP
=
三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得
A
的度数．
【详解】解：分三种情况：
①当AO
AP
=
时，则
40
O
APO
=
=
，
180
180
40
40
100
A
O
APO
=
−−
=
−
−
=
；
②当OA
OP
=
时，则
1 (180
40 )
70
2
A
APO
=
=
−
=
；
③当PO
PA
=
时，则
40
A
AON
=
=
，
综上所述，当
A
为40或70或100时，AOP
为等腰三角形，
故答案为：40或70或100．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在
ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D 在BC 边上，把
ABD
△
沿AD
折叠后，使得点B 落在点E 处，连接BE 、CE ，若
20
DBE
=
，则
DCE
= ．
【答案】25或115
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
分两种情况：当点E 在直线BC 的下方时，当点E 在直线BC 上方时；分别求解即可得到答案．
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【详解】解：如图1，当点E 在直线BC 的下方时，
,
90
AB
AC
BAC
=
=
，
45
ABC
ACB
=
=
，
由折叠可知
,
,
AB
AE BD
ED
=
=
AC
AE
=
，
20
DBE
=
，
65
AEB
ABE
ABD
DBE
=
=
+
=
，
180
50
BAE
ABE
AEB
=
−
−
=
，
40
CAE
BAC
BAE
=
−
=
，
AC
AE
=
，
ACE
AEC
=
，
(
)
1 180
70
2
ACE
CAE
=
−
=
，
70
45
25
DCE
ACE
ACB
=
−
=
−
=
；
如图2，当点E 在直线BC 上方时，
45
ABC
ACB
=
=
，
20
DBE
=
，
25
ABE
ABC
DBE
=
−
=
，
由折叠可知AB
AE
=
，
25
ABE
AEB
=
=
，
180
130
BAE
ABE
AEB
=
−
−
=
，
130
90
40
CAE
BAE
BAC
=
−
=
−
=
，
AB
AC
=
，
AC
AE
=
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(
)
1 180
70
2
ACE
AEC
CAE
=
=
−
=
，
45
70
115
DCE
ACB
ACE
=
+
=
+
=
，
故答案为：25或115．
8．（24-25 九年级下·河南驻马店·阶段练习）在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
4
AB =
，P 为BC 上不与端点重合
的一动点，将ABP
沿直线AP 翻折得到
ADP
△
，连接CD，若
CDP
△
是以PC 为直角边的等腰直角三角形，
则BC 的长等于 ．
【答案】8 或2 2
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据
当
90
DPC
=
时和当
90
DCP
=
时两种情况进行讨论，求出答案即可．
【详解】解：当
90
DPC
=
时，
ABP
沿直线AP 翻折得到
ADP
△
，
90
B
?
? ，
90
ADB
=
，AB
AD
=
，
90
DPC
=
，
四边形ABPD是正方形．
又
CDP
△
是等腰直角三角形，
4
PC
BP
=
=
．
4
4
8
BC =
+
= ；
当
90
DCP
=
时，如图2 所示，设PC
m
=
，则
2
PD
PB
m
=
=
．
延长AD交BC 的延长线于点E ．由题意可知，
45
AEB
=
．
ABE
是等腰直角三角形．
4
AB
BE
=
= ．
2
4
m
m
m
+
+
=
，
解得
4
2 2
m =
−
．
(
)
2
1
2 2
BC
m
=
+
=
．
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故BC 的长为8 或2 2 ．
9．（24-25 九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）
ABC
中，
60
BAC
=
，
90
ACB
=
，点D 在直线AB 上，
ACD
是等腰三角形，则
BCD
的度数为 ．
【答案】30或120
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质及等边三
角形的判定是解题的关键．根据题意分点D 在斜边AB 上和在斜边BA的延长线上两种情况讨论，对于第一
种情况，可证ACD
是等边三角形，得到
60
ACD
=
，再由
BCD
ACD
ACB
+
=
即可得到答案；对于第
二种情况，根据等腰三角形的性质求出
30
ACD
=
，即可求得答案．
【详解】解：当点D 在斜边AB 上时，
ACD
是等腰三角形，
60
BAC
=
，
ACD
是等边三角形，
60
ACD
=
，
90
ACB
=
，
90
60
30
BCD
ACB
ACD
=
−
=
−
=
；
当点D 在斜边BA的延长线上时，
ACD
是等腰三角形，
ACD
D
=
，
60
ACD
D
ACB
+
=
=
，
30
ACD
=
，
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90
ACB
=
，
90
30
120
BCD
ACB
ACD
=
+
=
+
=
；
综上所述，
BCD
的度数为30或120．
故答案为：30或120．
10．（24-25 八年级上·江西上饶·期末）已知
ABC
是以AB 为腰的等腰三角形，D 为线段BC 上一点，且
90
ADC
=
，若AD恰好为
ABC
一边的1
2 ，则
C
的大小为 ．
【答案】30或45或75
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．分四种情况讨论，
利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：如图，当AB
BC
=
，
1
2
AD
AB
=
时，取AB 的中点E ，连接DE ，
∵
90
ADC
=
，
∴
90
ADB
=
，
∴
1
2
DE
BE
AE
AB
=
=
=
，
∴AD
DE
AE
=
=
，
∴
ADE
是等边三角形，
∴
60
EAD
=
，
∴
30
B
=
，
∵AB
BC
=
，
∴
(
)
1 180
30
75
2
C
=
−
=
；
当AB
AC
=
，
1
2
AD
AC
=
时，
同理，
30
C
=
；
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118 /
当AB
AC
=
，
1
2
AD
BC
=
时，
∵AB
AC
=
，
90
ADB
=
，
∴BD
CD
=
，
∴
1
2
AD
BC
CD
=
=
，
∴ACD
是等腰直角三角形，
∴
45
C
=
，
综上，
C
的大小为30或45或75．
故答案为：30或45或75．
题型六：等腰三角形的性质与判定解答题压轴
1．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）已知
ABC
是等边三角形，点D 是AB 所在直线左侧的一动点，且在
BC 边的上方．
(1)如图1，CD平分
ACB
，连接
90
AD BD
DAC
=
,
,
．求证：DB
BC
⊥
；
(2)如图2，若
BAD
BCD
=
，点G 是BC 延长线上一点，连接DG 交AC 于点E ．
①求
BDC
的度数；
②若点E 为AC 的中点，
ABD
G
=
，探究线段EG DE AD
,
,
之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①
60
BDC
=
；②EG
ED
AD
=
+
，见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．
（1）根据题意可证
(
)
SAS
ACD
BCD
≌
， 得到
90
CAD
CBD
=
=
，由此即可求解；
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119 /
（2）①在CD上截取CF
AD
=
，连接BF ，可证
(
)
SAS
BCF
BAD
≌
，得到BF
BD
CBF
ABD
=
=
,
，
60
DBF
ABC
=
=
，则
BFD
△
为等边三角形，由此即可求解；
②在EG 上取点H ，使EH
DE
=
，连接CH ，可证
(
)
SAS
AED
CEH
≌
，由①知，
BFD
△
为等边三角形，
则
60
ADF
ADB
BDF
=
−
=
，
ADF
DFB
=
，FB
CH
∥
，
ABD
CBF
G
=
=
，所以AD
GH
=
，由
EG
EH
GH
ED
AD
=
+
=
+
即可求解．
【详解】（1）证明：∵
ABC
是等边三角形，
∴AC
BC
=
，
∵CD平分
ACB
，
∴
ACD
BCD
=
，
∵CD
CD
=
，
∴
(
)
SAS
ACD
BCD
≌
，
∴
90
CAD
CBD
=
=
，
∴DB
BC
⊥
；
（2）解：①在CD上截取CF
AD
=
，连接BF ，
∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
BC
AB
ABC
=
=
,
，
∵
AB
CB
BAD
BCF
AD
CF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BCF
BAD
≌
，
∴BF
BD
CBF
ABD
=
=
,
，
∴
CBF
ABF
ABD
ABF
+
=
+
，
∴
60
DBF
ABC
=
=
，
∴
BFD
△
为等边三角形，
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120 /
∴
60
BDC
=
；
②在EG 上取点H ，使EH
DE
=
，连接CH ，
∵E 为AC 的中点，
∴AE
CE
=
，
∵
AE
CE
AED
CEH
DE
EH
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AED
CEH
≌
，
∴AD
CH
=
，
EAD
ECH
=
，
∴DA
CH
∥
，
由①知，
BFD
△
为等边三角形，
∴
60
BDF
DFB
=
=
，
∵BCF
BAD
≌
，
∴
ADB
CFB
=
，
∵
180
CFB
DFB
+
=
，
∴
120
ADB
CFB
=
=
，
∴
60
ADF
ADB
BDF
=
−
=
，
∴
ADF
DFB
=
，
∴DA
BF
∥
，
∴FB
CH
∥
，
∴
CBF
GCH
=
，
∵
ABD
CBF
G
=
=
，
∴
G
GCH
=
，
∴CH
GH
=
，
∴AD
GH
=
，
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∴EG
EH
GH
ED
AD
=
+
=
+
．
2．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美
【初步探究】
在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：“折叠中隐含着许多轴对称问题．” 为了深入理解，小明决定动
于实验．他拿出一张长方形纸片ABCD，其中，AB
CD
∥
，AD
BC
∥
．他在边AD上取一点E ，在边BC 上
取一点F ，并将纸片沿直线EF 折叠，使得点C 落在新位置C，如图1，小明发现
GEF
△
是等腰三角形；
（1）请结合图1 证明
GEF
△
是一个等腰三角形（即GE
GF
=
）
【深入探究】
小明又沿着对称轴GH 折叠，使得点E 与F 重合，展开后如图2 ，GH 与EF 交于点O，连接EH 后，他想
进行以下探究活动：
活动1（计算面积）：
若测量得
10
EF =
，
8
GH =
，求四边形GFHE 的面积；
活动2（证明性质）：
小明发现四边形GFHE 的四条边均相等，你能证明吗？
（2）请选择以上任意一个活动完成．
【答案】（1）见解析；（2）活动一：40；活动二：见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握
折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠可得1
2
= ，根据平行线的性质可得1
3
= ，即可得出
2
3
=
，根据等角对等边，即
可得证；
（2）活动一：根据折叠的性质可得EF
GH
⊥
，进而根据
GEH
AGFH
GFHE
S
S
S
=
+
△
△
四边形
，即可求解．
活动二：根据折叠的性质，证明
(
)
ASA
GEO
HFO
△
≌△
，进而得出GE
HF
=
，即可得证．
【详解】（1）第一次折叠，
1
2
=
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122 /
又
AD
BC
，
1
3
=
，
2
3
= ，
GE
GF
=
（2）活动一：
第二次折叠，对称轴是GH ，
EF
GH
⊥
GEH
AGFH
GFHE
S
S
S
=
+
△
△
四边形
1
1
2
2
GH OE
GH OF
=
+
(
)
1
2GH
OE
OF
=
+
1
2GH EF
=
1 10 8
2
=
40
=
活动二：第二次折叠，
GE
GF
=
，EH
FH
=
，OE
OF
=
，EF
GH
⊥
又
AD
BC
，
1
3
=
在
GEO
△
和HFO
中
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1
3
OE
OF
GOE
HOF
=
=
=
(
)
ASA
GEO
HFO
△
≌△
GE
HF
=
，
GE
HE
HF
GF
=
=
=
3．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期末）在
ABC
中，D 为AB 边上一点，E 为BC 边上一点，连接DE
CD
，
，
将BDE
沿DE 折叠得到FDE
，直线DF 与直线BC 相交于点G ．
(1)当D为AB 边的中点，且CD
AD
=
时，
①如图1，探究
ABC
的形状，并说明理由；
②如图2，若DE
DG
=
，探究BE 与CG 的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，AC
AD
=
，
40
ACD
B
−=
，
10
A
B
= +
，当EF
AC
∥
时，求
DGE
的度数．
【答案】(1)①
ABC
是直角三角形，理由见解析；②BE
CG
=
，理由见解析
(2)140或40
【分析】（1）①根据等边对等角得出
A
ACD
=
，
B
DCB
=
，进而根据三角形内角和定理得出
90
DCB
ACD
ACB
+
=
=
，即可求解；
②根据已知得出
DEB
DGC
=
，进而证明BDE
CDG
≌
(
)
AAS ，根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）设
ADC
ACD
=
=
，则
180
2
A
=
−
，
40
B
=
−
，根据
10
A
B
= +
建立方程，得出
70
=
．所
以
30
B
=
，
40
A
=
．进而可得
180
110
ACB
A
B
=
−−=
，进而分两种情况讨论，①当点F 在BC 下
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124 /
方时，②当点F 在BC 上方时，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：①
ABC
是直角三角形，理由如下：
如图1，因为BD
AD
=
，CD
AD
=
，
所以BD
CD
=
，
A
ACD
=
．所以
B
DCB
=
．
在
ABC
中，
因为
180
A
B
ACB
++
=
，
所以
180
A
B
DCB
ACD
++
+
=
，
即(
)
2
180
DCB
ACD
+
=
．
所以
90
DCB
ACD
ACB
+
=
=
．
所以
ABC
是直角三角形．
②如图2，因为DE
DG
=
，所以
DEG
DGE
=
．
所以180
180
DEG
DGE
−
=
−
，
即
DEB
DGC
=
．
在BDE
和CDG
中，
因为
DEB
DGC
=
，
B
DCG
=
，DE
DG
=
，
所以BDE
CDG
≌
(
)
AAS ．
所以BE
CG
=
．
（2）如图3，因为AC
AD
=
，所以
ADC
ACD
=
．
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125 /
设
ADC
ACD
=
=
，所以
180
2
A
=
−
．
因为
40
ACD
B
−=
，所以
40
B
=
−
．
因为
10
A
B
= +
，所以180
2
40
10
=
−
−
+
．
所以
70
=
．所以
30
B
=
，
40
A
=
．
所以
180
110
ACB
A
B
=
−−=
．
①当点F 在BC 下方时，如图3，
因为EF
AC
∥
，所以
110
FEG
ACB
=
=
．
因为
30
F
B
=
=
∠
∠
，
在EFG
中，
180
40
EGF
FEG
F
=
−
−
=
．
所以
180
140
DGE
EGF
=
−
=
．
②当点F 在BC 上方时，如图4，
因为EF
AC
∥
，所以
110
FEG
ACB
=
=
．
因为
30
F
B
=
=
∠
∠
，
在EFG
中，
180
40
DGE
FEG
F
=
−
−
=
．
综上，
DGE
的度数为140或40．
4．（23-24 八年级上·福建莆田·期中）已知
ABC
和
ADE
都是等边三角形，分别连接BD
CE
，
．
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(1)如图1，若BD
AD
⊥
，求
CED
的度数；
(2)如图2，若点D 在边AC 上，延长BD交CE 于点G，连接AG ．
①求证：GA平分
BGE
．
②判断DG
EG
AG
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)30
(2)①见解析；②AG
DG
EG
=
+
，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
即可；
（2）①过点A 分别作AP
BG
⊥
于点P，AP
BG
⊥
于点Q，证明
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，利用角的平分线的判定
定理解答即可．
②在CE 延长线上取点T，使得ET
DG
=
，连接AT ，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，角平分线的判定等知识．解
题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【详解】（1）解：
ABC
和
ADE
都是等边三角形，
60
AB
AC
AD
AE
BAC
DAE
AED
=
=
=
=
=
，
，
，
BAD
CAE
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴
ADB
AEC
=
，
∵BD
AD
⊥
，
∴
90
AEC
ADB
=
=
，
又∵
60
AED
=
，
∴
30
CED
AEC
AED
=
−
=
，
∴
CED
为30．
（2）①证明：如图，过点A 分别作AP
BG
⊥
于点P，AP
BG
⊥
于点Q，
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127 /
60
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
=
，
，
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴BD
CE
=
，
ABD
ACE
S
S
=
，即1
1
2
2
BD AP
CE AQ
=
，
解得AP
AQ
=
，
∵AP
BG
⊥
，AQ
CE
⊥
，
∴GA平分
BGE
．
②解：AG
DG
EG
=
+
．
理由如下：在CE 延长线上取点T，使得ET
DG
=
，连接AT ，
由（1）得，ABD
ACE
≌
，
∴
ADB
AEC
=
，
∴
ADG
AET
=
，
∵AD
AE
DG
ET
=
=
，
，
∴
(
)
SAS
ADG
AET
≌
，
∴AG
AT
=
，
DAG
EAT
=
，
由
60
DAE
DAG
GAE
EAT
GAE
GAT
=
+
=
+
=
=
，
∴AGT
是等边三角形
∴AG
GT
=
，
由GT
EG
GT
=
+
，
故AG
DG
EG
=
+
．
5．（24-25 八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形
的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．
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(1)①如图1，在
ABC
中，
36
A
=
，
72
C
=
，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分
得的各等腰三角形顶角的度数；
②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”．
(2)如图3，
50
EFP
=
，点G 在射线FP上，若EFG
存在“等腰线段EH ”，则
EGF
的度数为 ．
【答案】(1)①画图见解析；②不存在
(2)40或32.5或25
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键是：
（1）①作
ABC
的平分线BD即可，然后根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求解即可；
②根据“等腰线段”的定义和等边三角形的判定与性质判定即可；
（2）分三种情况讨论：①EH
FH
=
；②FE
FH
=
；③EF
EH
=
三种情况讨论，根据等腰三角形的性质、
三角形的内角和定理等知识求解即可．
【详解】（1）解：①如图，BD即为所求，
∵
36
A
=
，
72
C
=
，
∴
72
ABC
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
36
ABD
CBD
=
=
，
∴
72
BDC
=
，
∴
36
A
ABD
=
=
，
72
BDC
C
=
=
，
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∴AD
BD
=
，BD
BC
=
，
108
ADB
=
，
∴
ABD
△
、
BCD
△
是等腰三角形，
∴BD是
ABC
的“等腰线段”；
②若等边三角形存在“等腰线段”，如图，
则
ABD
△
，
BCD
△
都是等腰三角形，
又
ABC
是等边三角形，
∴
60
A
C
=
=
，
∴
ABD
△
，
BCD
△
都是等边三角形，
∴D 和A 或D 和C 重合，
此时不存在
ABD
△
或
BCD
△
，
∴等边三角形不存在“等腰线段”，
故答案为：不存在；
（2）解∶∵EFG
存在“等腰线段EH ”，
∴
EFH
△
、EHG
是等腰三角形，
①当EH
FH
=
时，如图，
∴
50
EFP
FEH
=
=
，
∴
100
EF
EHG
P
FEH
+
=
=
，
∵EHG
是等腰三角形，
∴
180
40
2
EHG
EGF
GEH
−
=
=
=
；
②当FE
FH
=
时，如图，
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∴
180
65
2
F
FHE
FEH
−
=
=
=
∴
115
EHG
=
，
∵EHG
是等腰三角形，
∴
180
32.5
2
EHG
EGF
GEH
−
=
=
=
；
③当EF
EH
=
时，如图，
∴
50
EFP
EHF
=
=
，
∴
130
EHG
=
，
∵EHG
是等腰三角形，
∴
180
25
2
EHG
EGF
GEH
−
=
=
=
；
综上，
EGF
的度数为40或32.5或25．
6．（24-25 八年级上·湖南益阳·期中）（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的
探究：如图1，AD是
ABC
的中线，过点B 作AC 的平行线，交AD的长线于点E ，发现DE 的长恰好等于
中线AD的长，请验证这一结论；
【深入探究】
（2）如图2，
ABC
中，点D ，E 在BC 边上，CD
DE
=
，过点E 作EF
AB
∥
，交
BAC
的角平分线AD于
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点F ，试判断EF 与AC 的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD平分
BAC
，点E 为BC 边的中点，过点E 作EF
AD
∥
，交
AC 于点F ，交BA的延长线于点G ，若
24
ABC
S
=
，
8
=
CF
，则AG 的长度．
【答案】（1）见解析 （2）EF
AC
=
；理由见解析 （3）4
【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性
质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答；
（2）延长FD 到G ，使DG
FD
=
，连接CG ，根据全等三角形的性质得到
G
EFD
=
，EF
CG
=
，根据
角平分线的定义得到
BAD
CAD
=
，根据平行线的性质得到EFD
BAD
=
，求得
CAD
G
=
，于是得
到结论；
（3）延长GE 至点M ，使EF
EM
=
，连接BM ，证明
(SAS)
BEM
CEF
≌
△
△
，得到
M
CFE
=
，BM
CF
=
，
推出BGM
，AGF
均为等腰三角形，得到BG
BM
CF
=
=
，AF
AG
=
，根据AC
AF
CF
=
+
，根据面积求
出AG 的长即可．
【详解】解：（1）
BE
AC
∥
，
CAD
E
= ，
AD
是
ABC
的中线，
BD
CD
=
，
在
ADC
△
和
EDB
△
中，
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CAD
E
ADC
BDE
BD
CD
=
=
=
，
(
)
ADC
EDB AAS
≌
，
AD
DE
=
；
（2）EF
AC
=
，
理由：延长FD 到G ，使DG
FD
=
，连接CG ，
在DEF
与
DCG
△
中，
DE
DC
EDF
CDG
DF
DG
=
=
=
，
(SAS)
DEF
DCG
≌
△
△
，
G
EFD
=
，EF
CG
=
，
AD
平分
BAC
，
BAD
CAD
=
，
∵EF
AB
∥
，
EFD
BAD
=
，
CAD
G
= ，
AC
CG
=
，
EF
AC
=
；
（3）延长GE 至点M ，使EF
EM
=
，连接BM ，
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同法可得：
(SAS)
BEM
CEF
≌
△
△
，
M
CFE
=
，BM
CF
=
，
90
BAC
=
，AD平分
BAC
，
45
BAD
CAD
=
=
，
EF
AD
∥
，
45
G
BAD
=
=
，
45
CFE
CAD
=
=
，
CFE
G
=
，
G
M
=
，
BG
BM
=
，
8
BG
CF
=
=
，
CFE
AFG
G
=
=
，
AG
AF
=
，
8
AB
BG
AG
CF
AG
AG
=
−
=
−
= −
，
8
AC
AF
CF
AG
=
+
= +
，
90
BAC
=
，
24
ABC
S
=
，
1
1
(8
)(8
)
24
2
2
AB AC
AG
AG
=
−
+
=
，
4
AG
=
，
故AG 的长度为4．
7．（23-24 八年级上·广西桂林·期中）如图，在等边角形
ABC
中，BDC
是等腰三角形，
,
120
BD
CD
BDC
=
=
，以D 为顶点作一个60的
MDN
，角的两边分别交AB
AC
、
边于M、N 两点，连
接MN ．延长ND
MD
、
分别与BC 交于点P、Q，
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(1)求证：
MDB
CDP
=
；
(2)求证：MDB
PDC
≌
；
(3) MN 与PQ 有怎样的数量关系，请说明理由；
(4)若
ABC
的边长为1，求AMN
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) MN
PQ
=
，理由见解析
(4)1
【分析】本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形得判定与性质等知识点，熟练掌握
全等三角形的判定定理及等边三角形的性质是解答本题的关键．
（1）根据1
2
120
+=
，
2
120
CDP
+
=
，即可证明结论；
（2）由等边三角形的性质结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理可证
5
4
30
= =
，利用ASA 即可
证明；
（3）同理（2）得
(
)
ASA
BDQ
CDN
≌
，推出DQ
DN
=
，易证
(
)
SAS
MDN
PDQ
≌
，即可得出结论；
（4）由全等三角形的性质将AMN
的周长转化为BP
PQ
CQ
+
+
，即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图，
∵
60
MDN
=
，
∴1
2
120
+=
，
∵
120
BDC
=
即
2
120
CDP
+
=
，
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∴
MDB
CDP
=
；
（2）证明：
ABC
是等边三角形，
5
3
60
ABC
= +=
，
∵
BCD
△
为等腰三角形，BD
CD
=
且
120
BDC
=
，
∴
3
4
30
= =
，
∴
5
4
30
= =
，
在
MDB
△
与
PDC
△
中
5
4
MDB
CDP
BD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
MDB
PDC
≌
；
（3）解：MN
PQ
=
，
同理（2）得
(
)
ASA
BDQ
CDN
≌
，
∴DQ
DN
=
，
∴
(
)
SAS
MDN
PDQ
≌
，
∴MN
PQ
=
；
（4）解：∵MDB
PDC
≌
，
∴MB
PC
=
，
∴AB
MB
BC
PC
−
=
−
即 AM
BP
=
，
∵BDQ
CDN
≌
，
∴ BQ
CN
=
，
∴ BC
BQ
AC
CN
−
=
−
即CQ
AN
=
，
∵MN
PQ
=
，
∴AMN
的周长为
1
AM
MN
AN
BP
PQ
CQ
=
+
+
=
+
+
= ．
8．（24-25 八年级下·山东枣庄·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，AD是BC 边上的中
线，分别以点C ，D为圆心，大于1
2CD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN 分别交AC ，BC
于点F ，E ，连接DF ．
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(1)
ADF
△
是等边三角形吗？为什么？
(2)若EF 的长为2，求AB 的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)8
【分析】（1）先运用三角形内角和性质算出
30
B
C
=
=
，因为MN 是CD的垂直平分线，所以DF
CF
=
，
则
30
FDC
C
=
=
，故
60
AFD
=
，再结合在
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，即可作答;
（2）因为MN 是CD的垂直平分线，则
90
FEC
=
，结合
30
C
=
，
2
EF =
，得
2
4
FC
EF
=
=
，因为DF
FC
=
，
得
4
DF = ，因为
ADF
△
是等边三角形，得
4
AF
DF
=
= ，
8
AC
AF
FC
=
+
= ，即可作答．
【详解】（1）解：
ADF
△
是等边三角形．
理由是：在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，
(
)
1
180
30
2
B
C
BAC
=
=
−
=
，
以点C ，D为圆心，大于1
2CD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN 分别交AC ，BC 于点F ，
E ，
MN 是CD的垂直平分线，
DF
CF
=
，
30
FDC
C
=
=
，
60
AFD
C
FDC
= +
=
．
在
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，
1
60
2
DAF
BAC
=
=
，
60
ADF
DAF
AFD
=
=
=
，
ADF
△
是等边三角形；
（2）解：由（1）知，MN 是CD的垂直平分线，
90
FEC
=
，
30
C
=
，
2
EF =
，
2
4
FC
EF
=
=
，
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DF
FC
=
，
4
DF = ，
ADF
△
是等边三角形，
4
AF
DF
=
= ，
4
4
8
AC
AF
FC
=
+
=
+
=
，
AB
AC
=
，
8
AB =
．
1．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，ABC
是等边三角形，BD是中线，延长BC 至E ，使 CE
CD
=
，
则下列结论错误的是（ ）
A．
30
CED
=
B．
3
BE
AD
=
C．DE
BD
=
D．
1
2
CD
BD
=
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据等边
三角形的性质得到
60
ACB
ABC
=
=
，根据等腰三角形的性质得到
CED
CDE
=
，再根据外角的性质
可判断A，根据等边三角形中线得到
2
2
AC
BC
CD
AD
=
=
=
，AD
CD
=
，即可判断B，根据等边三角形中线得
到
DEB
DBE
=
，即可判断C，由
1
2
CD
BC
=
，BC
BD
，可判断D，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、
ABC
是等边三角形，
60
ACB
ABC
=
=
，
60
CED
CDE
ACB
+
=
=
，
CE
CD
=
，
CED
CDE
=
，
2
60
CED
=
，
30
CED
=
，故选项不符合题意；
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B、∵BD是等边三角形ABC 的中线，
∴
2
2
AC
BC
CD
AD
=
=
=
，AD
CD
=
，
∵CE
CD
=
，
3
BE
BC
CE
AD
=
+
=
，故选项不符合题意；
C、∵BD是等边三角形ABC 的中线，
∴
1
30
2
CBD
ABC
=
=
∴
DEB
DBE
=
，
DE
BD
=
，故选项不符合题意；
D、
1
2
CD
BC
=
，BC
BD
，
1
2
CD
BD
，故选项符合题意
故选：D．
2．（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）如图，点I 为
ABC
的角平分线的交点，
4cm
AB =
，
3cm
AC =
，
2cm
BC =
，将
ACB
平移，使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4cm
B．3.5cm
C．3cm
D．2cm
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质，解决本题的关键
是掌握角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质．
连接AI ，BI ，根据点I 为
ABC
的角平分线的交点，可得IA和IB 分别平分
CAB
和
CBA
，再根据
ACB
平移，使其顶点与点I 重合，可得DI
AC
∥
，EI
BC
∥
，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影
部分的周长．
【详解】解：如图，连接AI ，BI ，
点I 为
ABC
的角平分线的交点，
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IA
和IB 分别平分
CAB
和
CBA
，
CAI
DAI
=
，
CBI
EBI
=
，
将
ACB
平移，使其顶点与点I 重合，
DI
AC
∥
，EI
BC
∥
，
CAI
DIA
=
，
CBI
EIB
=
，
DAI
DIA
=
，
EBI
EIB
=
，
DA
DI
=
，EB
EI
=
，
(
)
4 cm
DE
DI
EI
DE
DA
EB
AB
+
+
=
+
+
=
=
．
所以图中阴影部分的周长为4cm ．
故选：A．
3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在
ABC
中，
90
AB
AC
BAC
=
=
，
，点D 在AC 边上，点E 在BD
边上，
45
AED
=
，若
3
4
DE
BE
=
=
，
，则
BCD
△
的面积为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定义，对顶
角相等．掌握知识点是解题的关键．
过点A 作AE
AF
⊥
于点A，与BD的延长线交于点F，连接CF ，证明
90
BAE
EAC
CAF
CAE
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
，
90
ABD
ADB
+
=
，可得
AEF
△
是等腰直角三角形，继而证明
(SAS)
ABE
ACF
≌
△
△
，则
ADB
CDF
=
，
可得
90
CFD
=
，即可解答．
【详解】解：过点A 作AE
AF
⊥
于点A，与BD的延长线交于点F，连接CF ，如图
∴
90
EAF
BAC
=
=
，
∴
90
BAE
EAC
CAF
CAE
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
，
90
ABD
ADB
+
=
，
∴
BAE
CAF
=
，
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∵
45
AED
=
，
∴
AEF
△
是等腰直角三角形，
∴AE
EF
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
(SAS)
ABE
ACF
≌
△
△
，
∴
4,
CF
BE
ACF
ABD
=
=
=
∠
∠
，
∵
ADB
CDF
=
∴
90
CDF
DCF
+
=
∠
∠
，
∴
90
CFD
=
，
∴
1
1
4 (4
3)
14
2
2
BCD
S
CF BD
=
=
+
=
△
．
故选：C．
4．（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50 海里的速度沿南偏东50的方向航行，当货轮在A 处
时，测得灯塔C 在其北偏东70的方向上，航行2 小时后货轮到达B 处，此时测得灯塔C 在其北偏东10的
方向上，则货轮到达B 处时与灯塔C 的距离是（ ）
A．100 海里
B．80 海里
C．60 海里
D．50 海里
【答案】A
【分析】本题考查了方向角，平行线性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于推出
ABC
为等边三
角形．
根据方向角，平行线性质，推出
ABC
为等边三角形，再结合等边三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：由题知，
180
70
50
60
BAC =
−
−
=
∠
，
2 50
100
AB =
=
（海里），
如图，由两直线平行，内错角相等可知，1
50
=
，
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50
10
60
ABC
=
+
=
，
ABC
为等边三角形，
100
BC
AB
=
=
海里，
故选：A．
5．（24-25 八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P 为等边
ABC
的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，
PA
CQ
=
，连接PQ 交AC 于D，若
3
CD =
，
10
BQ =
，则PA的长为（ ）
A．2
B．2.2
C．2.5
D．2.4
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．过点P 作PF
BC
交AC 于点F ；
得出APF
是等边三角形，进而证明
(AAS
PDF
QDC
≌
)，得到FD
CD
=
，设AP
x
=
，则有AF
PF
CQ
x
=
=
=
，
根据BQ
BC
CQ
=
+
，列式计算即可求解．
【详解】解：如图，过点P 作PF
BC
交AC 于点F，
ABC
是等边三角形，
60
B
ACB
=
=
，
PF
BC
，
60 ,
60
APF
B
AFP
ACB
=
=
=
=
，
60
APF
AFP
=
=
，
APF
△
是等边三角形，
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60
APF
BCA
=
=
，AP
PF
AF
CQ
=
=
=
，
DFP
DCQ
=
，
FDP
CDQ
=
，
在
PDF
△
和QDC
中，
PDF
QDC
DFP
QCD
PF
QC
=
=
=
(AAS
PDF
QDC
≌
)，
FD
CD
=
，
设AP
x
=
，则有AF
PF
CQ
x
=
=
=
，
3
CD =
，
3
DF
= ，
6
CF
CD
DF
=
+
= ，
6
BC
AC
x
=
=
+
，
6
2
BQ
BC
CQ
x
=
+
=
+
，
10
BQ =
，
6
2
10
x
+
=
，
解得：
2
x =
，即
2
PA=
，
故选：A．
6．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边QM 上某点A 出发，先到草地边PQ 上某点B 收马，再到
小河边PM 上某点C 饮马，最后回到点A 处．已知，点P 到QM 的距离为2 2km，
45
QPM
=
，若
ABC
的周长为m ，则m 的最小值是（ ）
A．3 2
B．4
C．4 2
D．4 3
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，在QM 上取一点A ，作点
A 关于QP 的对称点D，点A 关于PM 的对称点E ，连接DE 交PQ 于B ，交PM 于C ，连接AB 、AC 、PA、
PD、PE，由轴对称的性质可得
ABC
的周长为m
DE
=
，即当DE 最小时，ABC
的周长m 最小，证明DPE
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为等腰直角三角形，得出
2
DE
DP
=
，由垂线段最短可得，当PA
QM
⊥
时，PA最小，即DP最小，结合
题意可得DP的最小值为2 2km，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，在QM 上取一点A ，作点A 关于QP 的对称点D ，点A 关于PM 的对称点E ，连接DE 交
PQ 于B ，交PM 于C ，连接AB 、AC 、PA、PD、PE，
，
由对称轴的性质可得：AB
DB
=
，AP
DP
=
，AP
PE
=
，AC
CE
=
，
APQ
DPQ
=
，
APM
EPM
=
，
∴
ABC
的周长为m
AB
AC
BC
BD
CE
BC
DE
=
+
+
=
+
+
=
，
∴当DE 最小时，
ABC
的周长m 最小，
∵
45
QPM
=
，
∴
(
)
2
2
90
DPE
APQ
DPQ
APM
EPM
APQ
APM
QPM
=
+
+
+
=
+
=
=
，
∵PE
PD
PA
=
=
，
∴DPE
为等腰直角三角形，
∴
2
DE
DP
=
，
由垂线段最短可得，当PA
QM
⊥
时，PA最小，即DP最小，
∵点P 到QM 的距离为2 2km，
∴DP的最小值为2 2km，
∴m 的最小值为2
4
DP =
，
故选：B．
7．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，在
ABC
中，BD平分
ABC
，BD
AD
⊥
，若
ACB
与
BAD
互补，
20
AC =
，则AD的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长AD
BC
、
交于点E ，
可证
(
)
ASA
ABD
EBD
≌
，得到AD
ED
=
，BAD
E
= ，由补角性质可得
BAD
ACE
=
，即得
ACE
E
=，
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得到
20
AE
AC
=
=
，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长AD
BC
、
交于点E ，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
EBD
=
，
∵AD
BD
⊥
，
∴
90
ADB
EDB
=
=
，
又∵BD
BD
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
EBD
≌
，
∴AD
ED
=
，
BAD
E
= ，
∵
180
ACB
BAD
+
=
，
180
ACB
ACE
+
=
，
∴
BAD
ACE
=
，
∴
ACE
E
=，
∴
20
AE
AC
=
=
，
∴
1
10
2
AD
AE
=
=
，
故答案为：10．
8．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）如图，在
ABC
中，
45
BAC
=
，以BC 为边向外作等腰直角
,
90
BCD
CBD
=
，连接AD，若
6
AC =
，则
ACD
S
=
．
【答案】18
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造
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全等三角形是解题的关键．
如图所示，过点B 作BE
AB
⊥
交AC 延长线于E，连接
,
AD DE ，证明
ABC
EBD
△
≌△
得到
6,
45
DE
AC
BAC
BED
=
=
=
=
∠
∠
，则
90
AED
=
，再利用三角形面积公计算式可得答案．
【详解】解：如图所示，过点B 作BE
AB
⊥
交AC 延长线于E，连接DE ，
∵
45
AB
BE
BAE =
⊥
，∠
，
∴ABE
是等腰直角三角形，
∴BA
BE
=
，
45
BEA
=
∵
BCD
△
是等腰直角三角形，
90
CBD
=
，
∴BC
BD
=
，
∴
90
ABC
EBD
CBE
=
=
−∠
，
∴
(
)
SAS
ABC
EBD
≌
，
∴
6,
45
DE
AC
BAC
BED
=
=
=
=
∠
∠
，
∴
90
AED
=
，
∴
1
1
6 6
18
2
2
ACD
S
AC DE
=
=
=
；
故答案为：18．
9．（24-25 七年级下·上海徐汇·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，BC
a
= ，
36
A
=
，AB 的垂直平分
线交AC 边于点D，交AB 边于点E CD
b
=
，则
ABC
的周长为 （用a 、b 表示）．
【答案】3
2
a
b
+
【分析】根据垂直平分线的性质得到AD
BD
=
，则
36
ABD
A
= =
，进一步证明BD
BC
AD
a
=
=
=
，得
到AB
AC
AD CD
a
b
=
=
+
=
+ ，即可求出答案．
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146 /
【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AC 边于点D ，交AB 边于点E
∴AD
BD
=
，
∴
36
ABD
A
= =
，
∴
72
BDC
A
ABD
= +
=
，
∵AB
AC
=
，
36
A
=
，
∴
(
)
1 180
72
2
ABC
C
A
=
=
−
=
，
∴
72
BDC
C
=
=
，
∴BD
BC
AD
a
=
=
=
，
∴AB
AC
AD CD
a
b
=
=
+
=
+ ，
∴
ABC
的周长为3
2
a
b
+
故答案为：3
2
a
b
+
10．（23-24 八年级上·重庆永川·期中）如图，点C 是线段AB 上除点A、B 外的任意一点，分别以AC
BC
、
为边在线段AB 的同旁作等边ACD
和等边BCE
，连接AE 交DC 于M，连接BD交CE 于N，交AE 于点P ，
连接MN ．
(1)求证：AE
BD
=
；
(2)求
APD
的度数；
【答案】(1)见解析
(2)60
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等
三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到
,
60 ,
,
60
AC
DC
ACD
EC
BC
ECB
=
=
=
=
，证明
ACE
DCB
=
，即可
证明
(SAS)
AEC
DBC
≌
，得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到
EAC
BDC
=
，根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：等边ACD
和等边BCE
，
,
60 ,
,
60
AC
DC
ACD
EC
BC
ECB
=
=
=
=
，
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60
ACE
ACD
DCE
DCE
=
+
=
+
，
60
DCB
DCE
ECB
DCE
=
+
=
+
，
ACE
DCB
=
，
在
AEC
△
和
DBC
△
中，
AC
DC
ACE
DCB
EC
BC
=
=
=
，
(SAS)
AEC
DBC
≌
，
AE
BD
=
；
（2）解：
(SAS)
AEC
DBC
≌
，
EAC
BDC
=
，
AMC
DMP
=
，
180 ,
180
MAC
ACM
AMC
MDP
DMP
APD
+
+
=
+
+
=
，
60
APD
ACD
=
=
．
11．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边
ABC
的边AB 上一点P，作PE
AC
⊥
于E，Q 为BC
延长线上一点，且PA
CQ
=
，连PQ 交AC 边于D．
(1)求证：PD
DQ
=
；
(2)线段DE 与AC 有什么样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
1
2
DE
AC
=
，见解析
【分析】本题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．正确作出辅
助线是解答本题的关键．
（1）过P 作BC 的平行线至AC 于F，易证APF
是等边三角形，再证明PFD
与QCD
全等，得出结论；
（2）利用APF
是等边三角形，PE
AC
⊥
，得出AE
EF
=
，再由
PFD
QCD
≌
△
△
，得出CD
DF
=
，由此得
出DE 与AC 的关系解决问题．
【详解】（1）证明：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
A
ABC
ACB
=
=
=
，
过P 作BC 的平行线至AC 于F，
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∴
60 ,
60
AFP
ACB
APF
ABC
=
=
=
=
，
∴
60
A
APF
AFP
=
=
=
，
∴APF
是等边三角形；
∴PA
PF
=
，
∵PA
CQ
=
，
∴PF
CQ
=
，
∵PF
BQ
∥
，
∴
=
PFD
QCD ，
又
PDF
QDC
=
，PF
CQ
=
，
∴
(
)
AAS
PFD
QCD
≌
，
∴PD
DQ
=
；
（2）解：结论：
1
2
DE
AC
=
，理由：
∵PE
AC
⊥
，APF
是等边三角形，
∴AE
EF
=
，
∵
PFD
QCD
≌
△
△
，
∴CD
DF
=
，
∴
1
2
DE
EF
DF
AC
+
=
＝
．
12．（24-25 八年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴的正半轴上，点B 在x 轴的正半
轴上，且OA
OB
=
．
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(1)如图1，若点D 在BA的延长线上，连接OD ，点E 在第一象限，且满足OD
OE
BD
BE
⊥
⊥
，
，连接DE ，
求证：DOE
是等腰直角三角形；
(2)如图2，点F 在AB 的延长线上，以OF 为斜边向上构等腰直角三角形OFM ，连接AM，若
10
2
AB
BF
=
=
，
，
求AMF
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，
对于（1），先根据“角边角”证明
AOD
BOE
≌
△
△
，再根据三角形全等的性质求解即可；
对于（2），过点O 作OT
OF
⊥
交FM 的延长线于点T，连接AT ，证明BOF
AOT
≌
，再求得
135
45
90
TAF
TAO
BAO
=
−
=
−
=
，再求解即可．
【详解】（1）证明：如图，OE 与BD交于点H，
∵OD
OE
BD
BE
⊥
⊥
，
，
∴
90
DOE
DBE
=
=
.
∵
DHO
BHE
=
，
∴
ODH
HEB
=
.
∵
90
DOE
AOB
=
=
，
∴
DOA
EOB
=
.
∵OA
OB
=
，
∴
AOD
BOE
≌
△
△
，
∴OD
OE
=
.
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∵
90
DOE
=
，
∴DOE
是等腰直角三角形；
（2）解：如图3，过点O 作OT
OF
⊥
交FM 的延长线于点T，连接AT ．
∵
MFO
△
为等腰直角三角形，
∴
45
90
MFO
FMO
=
=
，
.
∵OT
OF
⊥
，
∴
90
FOT
=
，
∴
45
MTO
=
，
∴FTO
为等腰直角三角形，
∴FO
OT
=
.
∵
90
90
BOF
BOT
AOT
BOT
=
+
=
＋
，
，
∴
BOF
AOT
=
．
∵OA
OB
=
，
∴BOF
AOT
≌
,
∴
2
FBO
TAO
FB
AT
=
=
=
，
.
∵
45
ABO
=
，
∴
180
135
FBO
ABO
=
−
=
，
∴
135
TAO
=
，
∴
135
45
90
TAF
TAO
BAO
=
−
=
−
=
.
∵
10
2
AB
FB
=
=
，
，
∴
10
2
12
AF =
+
=
，
∴
1
1
2 12
12
2
2
ATF
S
AT AF
=
=
=
.
∵FTO
为等腰直角三角形，
⊥
OM
MF ，
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151 /
∴
1
2
FM
TM
FT
=
=
，
∴
1
6
2
AMF
ATF
S
S
=
=
.
13．（24-25 七年级下·四川达州·期中）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
于D
AE
，
平分
BAC
．
(1)若
30
B
=
，且AE
CE
=
，求
DAE
的度数；
(2)若
3
CD
DE
=
，
ADE
的面积为2，
4
AC =
，求点E 到边AB 的距离．
【答案】(1)
10
DAE
=
(2)4
【分析】（1）根据角平分线定义得到
2
BAC
CAE
=
，根据等边对等角以及三角形内角和得到
180
2
CAE
B
CAE
=
−−
，结合已知可求出
50
CAE
C
=
=
，利用
DAE
CAE
DAC
=
−
即可求出结
果；
（2）过点E 作EM
AC
⊥
于点M，CN
AB
⊥
于点N，求出
8
AEC
ADE
ADC
S
S
S
=
+
=
，根据
4
AC =
，求出EM
的长，根据角平分线性质即可求出最后结果．
【详解】（1）解：
AE
平分
BAC
，
2
BAC
CAE
=
，
AE
CE
=
，
180
CAE
C
B
BAC
=
=
−−
，即
180
2
CAE
B
CAE
=
−−
，
30
B
=
，
50
CAE
C
=
=
，
AD
BC
⊥
，
90
ADC
=
，
90
40
DAC
C
=
−
=
，
50
40
10
DAE
CAE
DAC
=
−
=
−
=
；
（2）解：如图，过点E 作EM
AC
⊥
于点M，CN
AB
⊥
于点N，
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1
2
2
ADE
S
ED AD
=
=
，
3
CD
DE
=
，
1
1
2
2
3CD AD
=
，即
12
CD AD
=
，
1
6
2
ADC
S
AD DC
=
=
，
1
2
6
8
2
AEC
ADE
ADC
S
S
S
AC EM
=
+
=
=
+
=
，
4
AC =
，
4
EM
=
，
EM
AC
⊥
，CN
AB
⊥
，AE 平分
BAC
，
4
EN
EM
=
=
，
点E 到边AB 的距离为4．
14．（24-25 七年级下·河南驻马店·期末）如图①，在
ABC
中，
90
BAC
AB
AC
=
=
，
，直线MN 过点A ，
且MN
BC
∥
，点D是直线MN 上一点，不与点A 重合．
(1)若点E 是图①中线段AB 上一点，且DE
DA
=
，请判断线段DE 与DA的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接BD，过点D 作DP
DB
⊥
交线段AC 于点P ，求证：
ADP
EDB
≌
△
△
；
(3)如图③，在图（1）的基础上，改变点D 的位置后，连接BD，过点D 作DP
DB
⊥
交线段CA 的延长线于
点P ，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) DE
DA
⊥
，理由见解析
(2)证明见解析
(3) DB
DP
=
，理由见解析
【分析】（1）先求出
45
B
=
，再由平行线的性质求出
45
DAE =
∠
，然后证
90
ADE
=
，即可得出结论；
（2）先证
PDA
BDE
=
，再证
PAD
BED
=
，再由ASA 即可证得
ADP
EDB
≌
△
△
；
（3）过点D作DF
AM
⊥
交AB 的延长线于F ，先证
BD
ADP
=
，再证
F
PAM
=
，然后由ASA 证得
BDF
PDA
≌
，即可得出结论．
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【详解】（1）解：线段DE 与DA的位置关系为：DE
DA
⊥
，
理由如下：
在Rt
ABC
△
中，AB
AC
=
，则
45
B
C
=
=
∠
，
∵MN
BC
∥
，
∴
45
DAE
B
= =
，
∵DE
DA
=
，
∴
45
AED
DAE
=
=
，
∴
(
)
180
45
45
90
ADE
=
−
+
=
，
∴DE
DA
⊥
；
（2）证明：∵
⊥
DP
BD，
∴
90
BDP
=
，
∵
90
ADE
=
，
∴
ADE
BDP
=
，
∴
ADE
PDE
BDP
PDE
−
=
−
，
即
PDA
BDE
=
，
∵
45
90
135
180
180
45
135
PAD
DAE
BAC
BED
AED
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=
，
，
∴
PAD
BED
=
，
在
ADP
△
和
EDB
△
中，
PDA
BDE
DA
DE
PAD
BED
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BED
PAD
≌
；
（3）解：线段DB与DP的数量关系为：DB
DP
=
，
理由如下：
过点D作DF
AM
⊥
交AB 的延长线于F ，如图3 所示：
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∴
90
ADF
，
∵DP
DB
⊥
，
∴
90
BDP
=
，
∴ADF
BDP
，
∴
BDP
ADB
ADF
ADB
−
=
−
，
即
BDF
ADP
=
，
由（1）知，
45
DAB
=
，
∴
ADF
△
是等腰直角三角形，
∴
45
DF
DA
F
=
=
，
，
∵
90
90
45
45
PAD
DAB
=
−
=
−
=
，
∴
F
PAD
=
，
在BDF
和PDA
中，
BDF
ADP
DF
DA
F
PAD
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BDF
PDA
≌
，
∴DB
DP
=
．
15．（24-25 七年级下·上海静安·期末）如图，已知
ABC
是等边三角形，
2cm
BC =
，点P 从点A 出发，沿
射线AB 以1cm s 的速度运动，过点P 作PE
BC
∥
交射线AC 于点E，同时点Q 从点C 出发沿BC 的延长线
以1cm s 的速度运动，连接BE 、EQ ，设点P 的运动时间为( )s
t
．
(1)当点P 在边AB 上，且不与点A 、B 重合时，求证：BPE
ECQ
≌
；
(2)直接写出CE 的长（用含t 的代数式表示）；
(3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3 时，直接写出t 的值和对应的等
腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
【答案】(1)证明过程见解析；
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(2)当0
2
t
时，CE 的长为2
t
−；当
2
t
时，CE 的长为
2
t −
；
(3)当
1
t = 时，等腰三角形有5 个；当
4
t =
时，等腰三角形有4 个．
【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解图形的运
动过程．
（1）由等边三角形的性质和平行线的性质，可得角之间的关系和线段长度之间的关系，利用“SAS ”即可证
得结论；
（2）根据运动时间进行分类讨论，写出每种情况对应的线段长度即可；
（3）根据题意可知，当
1
t = 或
4
t =
时，等腰三角形的个数大于3，写出对应的等腰三角形即可．
【详解】（1）证明：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
A
ABC
ACB
=
=
=
，AB
AC
BC
=
=
，
∴
180
60
120
ECQ
=
−
=
，
∵PE
BC
，
∴
60
APE
ABC
=
=
，
60
AEP
ACB
=
=
，
∴APE
是等边三角形，
180
60
120
BPE
=
−
=
，
∴AP
AE
PE
=
=
，
∴PB
AB
AP
AC
AE
EC
=
−
=
−
=
，
根据点的运动过程可知，AP
CQ
=
，
∴PE
CQ
=
，
在BPE
和ECQ
中，
BP
EC
BPE
ECQ
PE
CQ
=
=
=
，
∴BPE
ECQ
≌
（2）解：根据题意可知，点P 从点A 到点B 所需时间为
( )
2
2 s
1
t =
=
，
当0
2
t
时，
2
CE
t
=
−，
当
2
t
时，
2
CE
t
= −
，
答：当0
2
t
时，CE 的长为2
t
−；当
2
t
时，CE 的长为
2
t −
．
（3）解：当
1
t = 时，如图3 1
−，有5 个等腰三角形：APE
、ABC
、BPE
、ECQ
、BEQ
，
当
4
t =
时，如图3
2
−，有4 个等腰三角形：APE
、ABC
、BCE
、BEQ
，
答：当
1
t = 时，等腰三角形有5 个；当
4
t =
时，等腰三角形有4 个．
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16．
（24-25 七年级下·重庆北碚·期末）在
ABC
中，点D 是边BC 上的一点，ABD
ADB
=
，BF 平分
ABC
，
与AD交于点E ，与AC 交于点F ．
(1)如图1，若BE
AD
⊥
，
45
ACB
=
，求
CAD
的度数；
(2)如图2，
DAM
是
ABD
△
的一个外角，AH 平分
DAM
，与BF 的延长线交于点H ，
DAC
C
=
，求
证：
H
C
=
．
【答案】(1)15
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解
题的关键；
（1）根据等角对等边可得AB
AD
=
，进而证明
(
)
ASA
BAE
BDE
≌
得出AB
BD
=
，则
ABD
△
是等边三角形，
60
ADB
=
，进而根据三角形的外角的性质，即可求解；
（2）设
ABD
ADB
=
=
，根据三角形外角的性质可得
2
DAM
ABD
ADB
=
+
=
，根据角平分线的
定义可得
1
2
MAH
DAH
DAM
=
=
=
，进而可得AH
BC
∥
，则
1
2
H
HBC
=
=
，根据
DAC
C
=
以
及三角形的外角的性质可得
1
2
C
=
，即可得证．
【详解】（1）解：∵
ABD
ADB
=
∴AB
AD
=
∵BF 平分
ABC
，BE
AD
⊥
，
∴
,
90
ABE
DBE
BEA
BED
=
=
=
又∵BE
BE
=
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∴
(
)
ASA
BAE
BDE
≌
∴AB
BD
=
∴AB
AD
BD
=
=
∴
ABD
△
是等边三角形，
∴
60
ADB
=
∵
45
ACB
=
，
∴
60
45
15
DAC
ADB
C
=
−
=
−
=
（2）证明：设
ABD
ADB
=
=
∵
DAM
是
ABD
△
的一个外角，
∴
2
DAM
ABD
ADB
=
+
=
∵AH 平分
DAM
，
∴
1
2
MAH
DAH
DAM
=
=
=
∴
MAH
ABD
=
∴AH
BC
∥
∴
H
HBC
=
∵BF 平分
ABC
，
∴
1
1
2
2
HBC
ABC
=
=
∵
DAC
C
=
∴
ADB
C
DAC
=
+
=
，
∴
1
2
C
=
∴
H
C
=
．
17．（24-25 七年级下·福建福州·期末）综合与实践
问题提出：如图1，在
ABC
中，AD平分
BAC
，交BC 于点D，且
2
ACB
B
=
，则AB ，CD，AC 之
间存在怎样的数量关系？并说明理由．
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方法运用：
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC 至点E，使得AE
AB
=
，连接DE ，……，
请判断AB ，CD，AC 之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB 上截取线段构造全等三角形来解题．如
图3，在线段AB 上截取AF ，使得AF =①________，连接②________．请补全空格，并在图3 中画出辅
助线．
延伸探究：
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形ABCDE 中，
EA
ED
=
，AB
DC
BC
+
=
，
180
A
D
+
=
，若
140
BCD
=
，求
BCE
的度数．
【答案】（1）AB
CD
AC
=
+
，见解析；（2）①
AC ；②DF ，见解析；（3）70
【分析】（1）利用SAS证明
BAD
EAD
△
≌△
，得出
B
E
=，从而证得
E
CDE
=
，所以CD
CE
=
，即
可得出结论AB
CD
AC
=
+
；
（2）在线段AB 上截取AF ，使得AF
AC
=
，连接DF ，同理可证明ADF
ADC
≌
，则
AFD
C
DF
CD
=
=
∠
∠，
，
证明
B
BDF
=
，得到BF
DF
=
，则BF
CD
=
，即可证明AB
AC
CD
=
+
；
（3）延长BA至点G，使AG
DC
=
，连接BE ，利用SAS证明
AGE
DCE
△
△
≌
，得出
G
ECD
=
，EG
EC
=
，
从而可证得BG
BC
=
．即可利用SSS证明
GEB
CEB
△
≌△
，得出
G
ECB
=
∠
∠
，即可由
1
2
BCE
BCD
=
求
解．
【详解】（1）AB
CD
AC
=
+
，理由如下：
∵AD平分
BAC
，
∴
BAD
CAD
=
．
又∵AB
AE
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
BAD
EAD
≌
，
∴
B
E
=．
∵
2
ACB
B
= ，
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∴
2
ACB
E
= ．
又∵
ACB
E
CDE
= +
，
∴
E
CDE
=
，
∴CD
CE
=
．
∵AE
AC
CE
=
+
，
∴AB
CD
AC
=
+
．
（2）如图，在线段AB 上截取AF ，使得AF
AC
=
，连接DF ，
同理可证明ADF
ADC
≌
，
∴
AFD
C
DF
CD
=
=
∠
∠，
，
∵
2
ACB
B
= ，
∴
2
AFD
B
= ，
∵
B
BDF
AFD =+
，
∴
B
BDF
=
，
∴BF
DF
=
，
∴BF
CD
=
，
∵AB
AF
BF
=
+
，
∴AB
AC
CD
=
+
；
（3）如图，延长BA至点G，使AG
DC
=
，连接BE ，GE ．
∵
180
BAE
D
+
=
，
180
BAE
GAE
+
=
，
∴
D
GAE
=
．
∵AE
DE
=
，
D
GAE
=
，AG
DC
=
，
∴
AGE
DCE
△
△
≌
，
∴
G
ECD
=
，EG
EC
=
．
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∵AB
CD
BC
+
=
，
∴BG
AB
AG
BC
=
+
=
．
又∵BE
BE
=
，EG
EC
=
，
∴
GEB
CEB
△
≌△
，
∴
G
ECB
=
∠
∠
．
又∵
G
ECD
=
，
∴
1
1 140
70
2
2
BCE
BCD
=
=
=
．
