文档内容
15.3.1 等腰三角形(第 2 课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，
这为我们提供了证明两条线段相等的新方法。
2. 内容分析
本节课的内容是探索等腰三角形的判定方法，其知识基础源于学生已掌握的轴对称知识和等腰三角形
的性质，形成了 “性质→判定” 的逆向思维链条，共同完善了等腰三角形的知识体系。等腰三角形的判
定为证明两条线段相等提供了新途径。等腰三角形的轴对称性，不仅是性质推导的依据，也是判定定理发
现的直观支撑，体现了轴对称在几何研究中的价值。此外，内容还包含尺规作图的实践环节，将三线合一
的应用与作图操作结合，强化了理论与实践的联系。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并理解等腰三角形的判定定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
（2）能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形。
（3）在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问
题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生通过轴对称直观感知 “等角对等边” 的规律，理解环节则要明确定理的题设（两个角相
等）与结论（这两个角所对的边相等），避免与性质定理混淆；运用判定定理进行简单证明是能力落脚点，
需掌握定理的规范表述和推理格式，能在具体几何情境中识别 “角等” 条件，进而推导 “边等” 结论。
（2）尺规作图 “已知底边及底边上的高线作等腰三角形”，本质是三线合一的应用实践，培养学生
运用几何知识解决作图问题的能力。
（3）在探究过程中，学生需经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；在
表述证明思路或与他人交流时，需清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思
维习惯。
三、教学问题诊断分析
判定定理与性质定理的混淆
学生易因二者均涉及 “边等” 与 “角等” 的关系，出现性质与判定的颠倒使用，尤其在复杂几何题中，难以准确区分 “由边推角” 和 “由角推边” 的逻辑方向。在教学中可采取如下措施：明确列出
性质定理（等边→等角）和判定定理（等角→等边）的条件、结论、用途，并结合具体例题标注 “已知
什么，要证什么，用哪个定理”。开展 “反向提问” 训练：给出 “若一个三角形是等腰三角形，则
______”（性质）和 “若一个三角形有两个角相等，则______”（判定），让学生填充结论并说明依据，
强化逻辑方向的区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能准确区分等腰三角形的性质定理和判定定理。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.等腰三角形具备什么样的性质？
2.怎样判断一个三角形是不是等腰三角形？
设计意图：展示等腰三角形 “性质” 与 “判定” 的互逆关系。通过提问引导学生主动回忆等腰三
角形的性质（等边对等角、三线合一 ）和判定方法（定义），唤醒学生已有的知识储备，为后续知识的
深入探究或应用做好铺垫。
（二）合作探究
思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有
两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?
答 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
符号语言 如图 ，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明 作△ABC的角平分线AD.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
追问 你还有其他证法吗？
证明 作BC边上的高AD.
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”.
符号语言 ∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
设计意图：引导学生从 “边→角” 的正向认知，过渡到 “角→边” 的逆向探究，促使学生主动探
索等腰三角形判定定理。使学生经历完整的判定定理的生成过程，深化对几何定理科学性、严谨性的认知。
鼓励学生尝试不同的辅助线添加方式，培养学生思维的灵活性与开放性。
（三）典例分析
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
符号语言 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC.
求证：AB=AC.
分析 要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2.所以可以设法找出
∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
证明 ∵AD//BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.
又 AD平分∠CAE.
∴∠1=∠2.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.分析 根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶
点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底
边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法 如图.
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点 D.
(3)在MN上取一点C，使DC=h.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
设计意图：例 2 将平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理联系起来，构建 “平行
线 + 角平分线 → 等腰三角形” 的逻辑链条，完善知识体系。例 3 衔接等腰三角形的性质（三线合
一 ）与尺规作图，将理论知识转化为实践操作 。通过 “分析性质 → 设计步骤 → 规范作图” 的流程
强化 “性质指导作图，作图验证性质” 的双向联系，提升知识的综合应用能力。
（四）巩固练习
1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
解 ∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=72°.
∴∠2=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°.
∴∠1=∠A+∠2=36°+36°=72°.
∵∠ABC=∠C，∠1=∠C，∠A=∠2，
∴△ABC，△BCD，△ABD都是等腰三角形.
2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?
解 由折叠的性质得：∠1=∠2，
∵AB∥CD,
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△AEC是等腰三角形.
3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB.求证OC=OD.
解 ∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D.∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∴∠C=∠D，
∴OC=OD.
4.上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯
塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求海岛B与灯塔C的距离.
解 由题意得：AB=15×2=30( n mile).
∵∠C=∠NBC-∠NAC=84°-42°=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=30( n mile)，
∴海岛B与灯塔C的距离是30 n mile.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B=45°,∠A>∠ACB>∠B．尺规作图操作如下：（1）以
点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，
交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点
；（3）过点 画射线 交边 于点D．下列结论错误的为（ D ）
M′ M′ CM′ ABA．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC=BC
2．（2025·四川眉山）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=10．按下列步骤作图：①以
1
点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于 EF的
2
长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ A ）
A．4 B．5 C．6 D．8
第1题图 第2题图 第3题图
3．（浙江衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，
他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可
知，B、C两地相距 200 m．
4．（2022·广东广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：
△ABD≌△ACE.
证明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在 ABD和 ACE中，
∵A△B=AC，∠△B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
5．（2025·四川自贡）如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF．求证：AE=BF．
证明：∵∠ABE=∠BAF，
∴AC=BC，
∵∠ACE=∠BCF，CE=CF，
∴△ACE≌△BCE(SAS)，
∴AE=BF.
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理设计意图：用思维导图帮助学生梳理轴对称的相关知识及联系，将零散知识串联，构建清晰、完整的
知识网络，强化对图形的轴对称相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题15.3 第2，6，8题.
2.探究性作业：等腰三角形的性质2“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”的逆命题是真
命题吗？请分小组探索讨论，下节课分享交流.
五、教学反思
