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14.2 三角形全等的判定（第一课时 SAS）（导学案）
【学习目标】
1. 掌握三角形全等的判定定理1——“边角边”（SAS），并能准确说出其含义；
2. 能运用 SAS 判定两个三角形全等，并能规范书写证明过程（特别是“边→角→边”的顺序）；
3. 能利用全等三角形的性质解决线段相等、角度计算等问题。
【学习重点】
掌握“边角边”（SAS）判定定理，并能运用它证明两个三角形全等及解决相关问题。
【学习难点】
1. 理解“两边及夹角”中“夹角”的必要性（避免出现“边边角”的错误）；
2. 在复杂图形中正确识别对应边、对应角，并利用公共边、公共角或进行角的加减构造条件。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
判定两个三角形全等判定一、
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
几何语言：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆).
【课堂探究】
情景导入
观看量产机器人视频，从而思考如何量产全等三角形，量产全等三角形需要哪些条件
新知探究
1. 回顾全等三角形的性质
△𝑨𝑩𝑪≌△
{
𝑫𝑬𝑭𝑨𝑩= 𝑫𝑬,𝑨𝑪= 𝑫𝑭, 𝑩𝑪= 𝑬𝑭
∠𝑨= ∠𝑫,∠𝑩= ∠𝑬, ∠𝑪= ∠𝑭
要量产全等三角形一定需要这六个条件吗？
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△𝑨𝑩𝑪≌△𝑫𝑬𝑭吗?
2. 探究一：只满足一个条件
（1）一组边相等
不全等
（2）一组角相等
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不全等
3. 探究二：满足两个条件
（1）两组边相等
不全等
（2）两组角相等
不全等
（3）一组边相等+一组角相等
不全等
结论：
只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.
4. 探究三：满足三个条件
（1）三组角相等 （2）两组边相等+一组角相等
（3）两组角相等+一组边相等 （4）三组边相等
当（1）三组角相等
不全等
当（2）两组边相等+一组角相等
① 两组边相等+一组夹角等
全等
②两组边相等+一组非夹角等
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不全等
判定两个三角形全等判定一、
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
几何语言：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆).
1.如图，下列条件中，不能证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹的是( C )
A．𝐴𝐵＝𝐷𝐸，∠𝐵＝∠𝐸，𝐵𝐶＝𝐸𝐹
B．𝐴𝐵＝𝐷𝐸，∠𝐴＝∠𝐷，𝐴𝐶＝𝐷𝐹
C．𝐵𝐶＝𝐸𝐹，∠𝐵＝∠𝐸，𝐴𝐶＝𝐷𝐹
D．𝐵𝐶＝𝐸𝐹，∠𝐶＝∠𝐹，𝐴𝐶＝𝐷𝐹
2.下图中全等的三角形有__①③_____
典例分析
例1.如图，已知𝐴𝐶= 𝐴𝐷,∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵.
求证:(1)𝐵𝐶= 𝐵𝐷；(2)𝐴𝐵平分∠𝐶𝐵𝐷.
证明(1)在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐷中，{
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵
𝐴𝐵= 𝐴𝐵
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆).
∴𝐵𝐶＝𝐵𝐷.
(2)∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐵𝐷
∴𝐴𝐵平分∠𝐶𝐵𝐷.
规律与方法：
“SAS”表示两边及夹角对应相等的关系，而不是两边和任意一角对应相等的关系，因此“SAS”一定要
按“边→角→边”的顺序寻找并排列条件，不要出现“边→边→角”的错误．
例2. 如图𝐴𝐵＝𝐴𝐶，𝐴𝐷＝𝐴𝐸，∠𝐴＝55°，∠𝐶＝35°，求∠𝐷𝑂𝐸的度数
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解：在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷中，{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴= ∠𝐴
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆).
∴∠𝐵＝∠𝐶
∵ ∠𝐴＝55°，∠𝐶＝35°, ∠𝐵𝐷𝑂＝∠𝐴+ ∠𝐶
∴∠𝐶= 35°, ∠𝐵𝐷𝑂＝90°
∴∠𝐷𝑂𝐸＝∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝑂= 125°
规律与方法:
注意图形隐含条件：①公共边、公共角相等
例3 如图，𝐵𝐷= 𝐵𝐴，∠1 = ∠2，𝐸𝐵= 𝐵𝐶，
求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸．
证明：∵∠1 = ∠2，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸.
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐸中，
{
𝐵𝐴= 𝐵𝐷,
∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷𝐵𝐸
BC = BE,
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸（𝑆𝐴𝑆）.
规律与方法:
注意图形隐含条件：②利用角的和、差找出三角形的对应角．
变式训练
1.已知如图，𝐸是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵＝𝐷𝐸，𝐴𝐵//𝐷𝐸，求证：∠𝐴＝∠𝐷.
证明：∵𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸＝𝐸𝐶.
∵𝐴𝐵//𝐷𝐸，
∴∠𝐵＝∠𝐷𝐸𝐶.
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐸𝐶中，{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶
𝐵𝐸= 𝐸𝐶
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆).
∴∠𝐴＝∠𝐷.
2.如图，点𝐵，𝐹，𝐶，𝐸在同一条直线上，𝐵𝐹＝𝐸𝐶，𝐴𝐵＝𝐷𝐸，∠𝐵＝∠𝐸.求证：∠𝐴＝∠𝐷.
证明：∵𝐵𝐹＝𝐸𝐶，
∴𝐵𝐹＋𝐶𝐹＝𝐸𝐶＋𝐶𝐹，即BC＝EF.
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
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∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆).
∴∠𝐴＝∠𝐷.
3.如图，𝐴𝐵＝𝐴𝐶，𝐴𝐷＝𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶＝∠𝐷𝐴𝐸.∠1＝28°，∠2＝32°，𝐵，𝐷，𝐸三点在一条直线上，求
∠3 的度数．
解：∵∠𝐵𝐴𝐶＝∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶－∠𝐷𝐴𝐶＝∠𝐷𝐴𝐸－∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐶𝐴𝐸.
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中， {
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆).
∴∠𝐴𝐵𝐷＝∠2＝32°.
∴∠3＝∠1＋∠𝐴𝐵𝐷＝28°＋32°＝60°.
【课堂总结】
【课堂练习】
1．如图，使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶成立的条件是(D )
A．𝐴𝐵＝𝐴𝐷，∠𝐵＝∠𝐷 B．𝐴𝐵＝𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐴𝐶𝐷
C．𝐵𝐶＝𝐷𝐶，∠𝐵𝐴𝐶＝∠𝐷𝐴𝐶 D．𝐴𝐵＝𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶＝∠𝐷𝐴𝐶
2.如图，𝐴𝐷，𝐵𝐶是两根长度相同的木条，𝑂是𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点．经测量，𝐴𝐵＝9𝑐𝑚，则容器的内径
𝐶𝐷＝__9__𝑐𝑚.
3.如图，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑃，𝐴𝑃＝𝐷𝑃.若要用“𝑆𝐴𝑆”证明△𝐴𝑃B≌△𝐷𝑃𝐶，则还需添加的一个条件
是___ 𝑃𝐵＝𝑃𝐶(或𝐵𝐷＝𝐴𝐶)____．
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4.如图是小军制作的燕子风筝和燕子风筝的骨架图，𝐴𝐵＝𝐴𝐸，𝐴𝐶＝𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐸𝐴𝐶，
∠𝐶＝50°，求∠𝐷的大小．
解：∵∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶＝∠𝐸𝐴𝐷.
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐷中，{
𝐴𝐵= 𝐴𝐸
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷(𝑆𝐴𝑆).
∴∠𝐷＝∠𝐶＝50°.
5.如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶.
证明：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐶𝐴𝐷.
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷＝∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆).
∴∠𝐴𝐷𝐵＝∠𝐴𝐷𝐶.
∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°,
∴∠𝐴𝐷𝐵＝90°.
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶.
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
D
B
C
A
