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1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 2.2 等腰三角形及其性质 课标要点 1.理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本 概念，明晰等腰三角形与等边三角形的从属关系，能准确识别等腰三角形的各组成部分。 2.经历等腰三角形性质、等边三角形性质的探索、猜想与证明过程，掌握等腰三角形“等 边对等角、三线合一”与等边三角形“内角都等于60°”的核心性质，能熟练运用文字 语言与几何符号语言表述性质。 3.掌握等腰三角形“三线合一”的重要性质，明确等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合，理解该性质的几何内涵与适用条件。 4.了解等腰三角形的轴对称性，知晓等腰三角形是轴对称图形，其对称轴为顶角平分线（底 边上的中线、底边上的高）所在直线，结合轴对称性质理解等腰三角形边角等量关系。 5.能运用等腰三角形的性质，进行三角形角度、边长的计算，解决角度求值、边长求解、 简单几何说理与证明问题。 6.掌握等腰三角形的基础作图方法，能根据已知条件作出等腰三角形，规范作图步骤，结 合图形性质分析图形特征。 7.初步学会运用分类讨论思想解决等腰三角形相关问题，结合三角形内角和、三边关系， 规避解题中的漏解、错解问题，培养严谨的几何思维。 学习重难点 重点： 1.掌握等腰三角形与等边三角形的定义与基本概念，熟练运用等腰三角形与等边三角形的 性质进行角度、边长的计算与几何说理。 2.深刻理解并熟练运用等腰三角形“三线合一”性质，掌握其几何语言表达，能运用该性 质解决线段垂直、线段相等、角相等的证明与计算问题。 3.掌握等腰三角形的轴对称特征，能结合轴对称性质分析等腰三角形的边角关系，解决基 础图形变换问题。 4.熟练掌握等腰三角形与等边三角形基础题型的解题思路，规范几何推理与书写格式。 难点： 1.精准理解“三线合一”的本质内涵，明确该性质仅适用于等腰三角形，且针对顶角与底 边对应的三线，避免滥用、错用性质。 2.运用分类讨论思想解决等腰三角形问题，针对腰与底边不明确、顶角与底角不明确的题 第二章 特殊三角形 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 型，全面分类讨论，结合三角形三边关系、内角和定理排除无效情况。 3.在复杂图形、折叠、组合几何图形中，挖掘等腰三角形、等边三角形的隐含条件，结合 全等三角形、轴对称知识完成多步综合推理。 4.灵活整合等腰三角形与等边三角形的性质，构建完整逻辑推理链，解决综合性求值、证 明题型，突破单一性质解题的思维局限。 知识点 等腰三角形与等边三角形的定义 1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形。 2.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 2.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形。 随学随练 1．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3 和6，则该三角形的周长是（ ） A．12 B．15 C．9 D．6 2．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 知识点 等腰三角形的性质（重点） 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形范畴。等腰三角形包含一般等腰三角形和等边三角 形两类。 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 1. 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2. 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（简写成“三线合一”）。 随学随练 1．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 130°，则∠𝐶的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 2．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，为 了方便灌溉，从顶点A 修了一条与底边𝐵𝐶垂直的水渠𝐴𝐷， 已知𝐵𝐷= 20m， 则𝐶𝐷=_______m． 3．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，E 为𝐴𝐶上一点，且 𝐴𝐷= 𝐴𝐸，连接𝐷𝐸．若∠𝐵𝐴𝐶= 80°，求∠𝐶𝐷𝐸的度数． 知识点 等边三角形的性质（重点） 1. 等边三角形的性质：等边三角形的各个内角都等于60°。 易错提醒 1）三线合一仅适用于等腰三角形底边，腰上的高、中线、角平分线不重合； 2）等边对等角、三线合一必须在同一个三角形中使用； 3）已知等腰三角形边长、角度时，需分类讨论，易漏解。 4 / 19 学科网（北京）股份有限公司 随学随练 1．（25-26 八年级下·山西太原·期中）如图，直线𝑎∥𝑏，等边△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐶在直线𝑏上，若∠1 = 38°，则∠2 的度数为（ ） A．98° B．102° C．120° D．142° 2．（2026·贵州遵义·二模）如图，𝐴𝐷是等边△𝐴𝐵𝐶的高，若𝐴𝐵= 4，则𝐶𝐷的长为_________． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，D、E 分别为𝐵𝐶、𝐶𝐴延长线上一点，且满足𝐶𝐷= 𝐴𝐸，连接𝐴𝐷、𝐵𝐸，求证：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷． 知识点 尺规作图——作等腰三角形 1. 已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形。 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D； 易错提醒 1）不可将等边三角形的三线合一、三角60°性质套用到普通等腰三角形； 2）等边三角形任意两角、任意两边均相等，无需区分腰与底、顶角与底角。 5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ③在MN 上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形。 随学随练 1．（25-26 九年级上·云南昆明·期中）用直尺和圆规作等腰△𝐴𝐵𝐶，使∠𝐵𝐴𝐶为顶角．下列四个选项中，符 合要求的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑎，高𝐴𝐷= 𝑏．（用 圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 拓展 等腰三角形与等边三角形定义核心对比 特别提醒 作图依据：等腰三角形两腰相等，依托尺规作等长线段完成，核心是确定顶点位置。 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 1. 定义与图形属性对比 类别 等腰三角形 等边三角形 边长特征 有且仅有两条边相等 三条边全部相等 图形关系 基础三角形图形 特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集 对称轴情况 是轴对称图形，仅有1 条对称轴（顶角平 分线所在直线） 是轴对称图形，有3 条对称轴 2. 从属关系辨析 ①等边三角形满足等腰三角形“两边相等”的定义要求，因此所有等边三角形都是等腰三角形； ②普通等腰三角形仅两条边相等，不满足三边相等条件，因此等腰三角形不一定是等边三角形。 活学活用 1．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰 长为（ ） A．7cm B．5cm C．3cm D．7cm或3cm 2．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则𝑎的值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．14 拓展 等腰与等边三角形性质差异对比 对比维度 等腰三角形 等边三角形 角度性质 满足等边对等角，仅两腰对应的两个底 角相等，顶角与底角度数不等；内角无 固定数值，内角和为180° 三个内角完全相等，度数固定为 60°，任意两边均可对等角，完全满 足等边对等角性质 7 / 19 学科网（北京）股份有限公司 特殊线段性质 （三线合一） 仅底边对应的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高线互相重合，两腰对应 的线段无此性质 三组线段均满足三线合一，任意内角 平分线、对边中线、对边高线都互相 重合，是等腰三角形三线合一性质的 延伸 活学活用 1．如下图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝑃，𝑄是𝐵𝐶边上两点，𝐴𝑃= 𝐴𝑄，∠𝐵𝐴𝑃= 20°．求∠𝐴𝑄𝐵的度数． 2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐸是边𝐵𝐶上的一点，且𝐴𝐸= 𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶= 80°,∠𝐶= 60°． (1)求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐶； (2)求∠𝐵𝐴𝐸的大小． 题型 等腰三角形的定义 ▌例1．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）等腰三角形周长是19，其中一边长是5，则等腰三角形的底边长 是（ ） A．5 B．5或9 C．9 D．7 ▌例2．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形一个外角等于80°，则它的三个内角的度数分别为 ______． 解题贴士 有两条边相等的三角形为等腰三角形；解题时通过边长计算、角度推导，找出一组相等边即可判定，常 结合三角形三边关系、内角和求解边长、角度。 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-1．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）在等腰△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 120°，则这个等腰三角形的底 角为（ ） A．120° B．30° C．30°或120° D．60° ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2 和5，则它的周长为（ ） A．8 B．9 C．9 或12 D．12 ▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山东枣庄·期中）已知𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边，且满足𝑎2 −𝑐2 = 0，则△𝐴𝐵𝐶 的形状一定是__________． ▌对点练1-4．（25-26 八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰△𝐴𝐵𝐶的两边x，y 满足|𝑥−4| + (𝑦−5)2 = 0， 求△𝐴𝐵𝐶的周长． ▌对点练1-5．（25-26 八年级上·贵州遵义·期中）已知𝑎, 𝑏, 𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长，𝑎= 4, 𝑏= 7． (1)求𝑐的取值范围． (2)若△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，△𝐴𝐵𝐶的周长是多少． 题型 等边对等角 ▌例1．（2026·湖南长沙·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 40°，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐶𝐴𝐷的度数为 （ ） A．70° B．65° C．60° D．55° ▌例2．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶上，𝐴𝐶与𝐷𝐸交于点𝑂，且𝐴𝐵= 𝐴𝐷， ∠𝐶= ∠𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸． 解题贴士 等腰三角形两腰对应的底角相等，根据已知角度，结合三角形内角和180°，列式求解未知角；遇外角 题型，利用外角性质辅助计算。 9 / 19 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：𝐵𝐶= 𝐷𝐸； (2)若∠𝐵= 75°，∠𝐶= 40°，求∠𝐶𝑂𝐸的度数． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川泸州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 40°，𝐴𝐶边上的高为 𝐵𝐷，则∠𝐶𝐵𝐷的度数为________． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所 示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒𝑂𝐴, 𝑂𝐵组成，𝑂𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸， 点𝐷、𝐸可在槽中滑动．若∠𝐵𝐷𝐸= 75°，则∠𝐴𝑂𝐵的度数是_____． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F 在一条直线上，且𝐴𝐷= 𝐶𝐹，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹． (1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹； (2)若∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，求∠𝐹的度数． 10 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型 三线合一 ▌例1．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐵𝐶= 6， 则点𝐵到𝐴𝐷所在直线的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 ▌例2．（25-26 七年级下·甘肃白银·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，∠𝐵𝐴𝐷= 50°，则∠𝐵的度数为_______． ▌对点练1-1．（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，在𝐵𝐶的中点D 处挂一重锤， 让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认𝐵𝐶处于水平位置，这一判断过程体 现的数学依据是（ ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）如图，等腰△𝐴𝐵𝐶的底边𝐵𝐶的长为4cm，面积是10cm2， 解题贴士 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，已知其一条件，可直接推导另外两个条 件，用于垂直证明、线段平分、角度平分、边长计算。 11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 腰𝐴𝐵的垂直平分线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点E，F，若D 为边𝐵𝐶的中点，M 为线段𝐸𝐹上一动点，则△𝐵𝐷𝑀 周长的最小值为_____cm． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐸是 𝐴𝐶上一点且𝐷𝐸∥𝐴𝐵． (1)求证：𝐷𝐸= 𝐴𝐸． (2)若∠𝐸𝐷𝐴= 24°，求∠𝐶的度数． ▌对点练1-4．（25-26 八年级上·甘肃·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶中点，连接𝐴𝐷． (1)求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶； (2)若𝐵𝐶= 10cm，𝐴𝐷= 12cm，求△𝐴𝐵𝐶的面积． 题型 等边三角形的性质 ▌例1．（25-26 八年级上·云南红河·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，点E 为𝐵𝐶延长线上一 点，若𝐶𝐸= 𝐶𝐷= 3cm，则𝐵𝐸的长为（ ） 解题贴士 等边三角形三边相等，三个内角均为60°；每条边上均满足三线合一；可直接利用边角相等、60°特殊 角，求解边长、角度、证明全等。 12 / 19 学科网（北京）股份有限公司 A．9cm B．6cm C．3cm D．2cm ▌例2．（2026·陕西·中考真题）如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点𝐷在𝐴𝐶的延长线上，𝐶𝐸∥𝐴𝐵，𝐶𝐸= 𝐴𝐷．求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸． ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷是𝐴𝐶边上的任意一 点，点𝐵，𝐶，𝐸在同一条直线上，且𝐶𝐸= 𝐶𝐷，则∠𝐸的度数是（ ） A．30° B．15° C．20° D．35° ▌对点练1-2．（25-26 七年级下·上海金山·期末）在等边△𝐴𝐵𝐶中，若过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为点𝐷，则 ∠𝐵𝐴𝐷=________°． ▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川·期中）如图，在一个面积为16 的等边三角形纸片中取三边的中点，若 连接各个中点．则阴影部分的面积是______． ▌对点练1-4．（25-26 八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， 点 E 在𝐵𝐶的延长线上，且 ∠𝐸= 30°，求𝐶𝐸的长． 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-5．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等边三角形（三条边都相 等，三个角都是60°的三角形），且点𝐷在𝐶𝐵的延长线上，连接𝐵𝐸与𝐴𝐷相交于点𝑃． (1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐸； (2)求∠𝐸𝐵𝐷． 题型 尺规作图——作等腰三角形 ▌例1．（25-26 八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段𝑎，∠𝐴𝑂𝐵． 求作：等腰△𝐶𝑂𝐷，使得点𝐶，𝐷分别在𝑂𝐴，𝑂𝐵上，且底边𝐶𝐷上的高为3𝑎． ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵= 𝐵𝐶，以下作法正确的 是（ ） 解题贴士 易错：①作图半径选取错误，无法交于一点；②未保留作图弧痕，考试扣分；③混淆高、腰、底边的作 图条件，图形不符合题意；④未写最终作图结论。 14 / 19 学科网（北京）股份有限公司 A．①② B．②③ C．①③ D．②④ ▌对点练1-2．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，线段𝐴𝐵= 6，请利用圆规和无刻度直尺作等腰△ 𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶= 𝐴𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶的面积为18． 基础通关 1．（2026·内蒙古通辽·二模）若等腰三角形的两边长分别是8和9，则它的周长为（ ） A．24 B．25 C．26 D．25或26 2．（25-26 七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的第三边长是（ ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 3．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽 象为等腰三角形，若等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 4．（25-26 七年级上·山东泰安·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶如图所示放置，当△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形时，𝐴𝐶 的长为（ ） A．3 B．4 C．3 或4 D．无法确定 5．（25-26 七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示， 在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是 通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ） 15 / 19 学科网（北京）股份有限公司 A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 6．（2026·福建三明·二模）如图，点𝐶在线段𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝑁上，若∠𝐴𝐶𝑁= 35°，则∠𝐵=_____°． 7．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰△𝐴𝐵𝐶形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均 匀，需使𝐴𝐵= 𝐴𝐶，并用𝐴𝐷连接和加固支架．已知𝐷是𝐵𝐶边的中点，且∠𝐵𝐴𝐶= 70°，则 ∠𝐵𝐴𝐷=________． 8．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，点𝐹在𝐴𝐵边上，延长𝐶𝐹交𝐴𝐷于点𝐸，𝐵𝐷= 𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸． (1)求证：𝐴𝐷= 𝐶𝐸； (2)若∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐴𝐹𝐶= 45°，求∠𝐸𝐴𝐵的度数． 9．（25-26 八年级上·河北唐山·期末）如图，从A 处观测C 处的仰角∠𝐶𝐴𝐷= 30°，现以点D 为圆心，𝐷𝐶长 为半径画弧，交𝐴𝐷于点B． 16 / 19 学科网（北京）股份有限公司 (1)求∠𝐶𝐵𝐷的度数． (2)从C 处观测A，B 两处的视角∠𝐴𝐶𝐵是多少度？ 10．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）“三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所 示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒𝑂𝐴，𝑂𝐵组成，两根棒在O 点相连并 可绕O 转动，C 点固定，𝑂𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸，点D，E 可在槽中滑动，若∠𝑂= 25°，求∠𝐵𝐷𝐸度数． 11．（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）如图，等边△𝐴𝐵𝐶的边长是6cm，动点M、N 分别从点A，点C 同时 出发，沿𝐴𝐶、𝐶𝐵匀速运动，点M，点N 的运动速度分别是1 cm s ⁄ ，2 cm s ⁄ ，当点M 运动2s时，求点M， 点N 两点间的距离． 12．（25-26 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，过B 作 𝐵𝐷⊥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点 D．过 点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点E，交𝐵𝐶于点F． (1)求证：∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹； (2)过点A 作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于点G，若𝐴𝐵= 𝐷𝐹，求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐺． 素养提升 1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）若实数a，b 满足𝑎2 −6𝑎+ 9 + |𝑏−4| = 0，且a，b 恰好是等腰△ 𝐴𝐵𝐶的两条边长，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ） 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 A．10 B．12 C．10或12 D．10或11 2．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角 形的“特征值”．若等腰三角形𝐴𝐵𝐶中∠𝐴= 80°，则它的“特征值”为（ ） A． 5 8 B． 1 4 C． 5 8或4 D． 8 5或 1 4 3．（25-26 八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰△𝐴𝐶𝐷，下列 说法正确的是（ ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 4．（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，直线𝑙分别与边𝐴𝐵，𝐴𝐶交于点D， E，则∠2 −∠1的度数是_________． 5．（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐷是△𝐴𝐵𝐶内一 点，连接𝐴𝐷, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，若𝐶𝐷= 8，则△𝐵𝐶𝐷的面积为______． 6．（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，点C 在线段𝐴𝐵上，𝐴𝐷∥𝐸𝐵, 𝐴𝐶= 𝐵𝐸, 𝐴𝐷= 𝐵𝐶． (1)找出一个与△𝐴𝐶𝐷全等的三角形，并说明理由； 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 (2)若𝐶𝐸= 𝐷𝐹, ∠𝐶𝐸𝐷= 40°，求∠𝐸𝐶𝐹的度数． 7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶的垂直平分线𝐷𝐸分别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点𝐷、𝐸， 连接𝐴𝐸，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐴𝐸于点𝐹，点𝐺在𝐵𝐸上，连接𝐹𝐺，∠𝐺𝐹𝐸与∠𝐶互余． (1)判断𝐹𝐺与𝐷𝐸的位置关系，并说明理由． (2)若𝐵𝐴= 𝐵𝐸，𝐸𝐶= 10，求𝐴𝐹的长． 迁移创新 1．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为 某蝶几设计图，其中△𝐴𝐷𝐶和△𝐴𝐵𝐶为两个全等的等腰直角三角形，且点𝐹与点𝐵关于直线𝐶𝐸对称，分别 连接𝐶𝐹、𝐷𝐹，若∠𝐶𝐹𝐷= 25°，则∠𝐵𝐶𝐸= __________． 2．（25-26 七年级下·山西太原·期末）如图，等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶． (1)在图1 中，仅用无刻度的直尺和圆规作出𝐵𝐶边上的高𝐴𝐻（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，在（1）的条件下，点𝐸为边𝐴𝐶上一点（不与端点重合），射线𝐸𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，直线𝑀𝑁分别与 射线𝐸𝐷，边𝐴𝐵交于点𝑀，𝑁．若∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝐻𝐴𝐸，小亮发现𝑀𝑁∥𝐴𝐶，并将说理过程梳理为如下思路图， 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 请补全①②③处空缺的内容．
