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2.3 等腰三角形的判定定理
课标要点
1.理解并掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”，等边三角形的判定方法，能够准确
用文字语言、几何符号语言表述定理，明确定理的适用条件，区分等腰三角形性质定理与
判定定理的因果关系。
2.经历等腰三角形判定定理与等边三角形的判定定理的探索与证明过程，掌握通过作顶角
平分线、底边高线或底边中线构造全等三角形完成证明的方法，理解判定定理的推导原
理，体会几何演绎推理的严谨性。
3.能在几何图形、折叠、平行线、复杂组合图形中，挖掘等角、等边等隐含条件，判定等
腰三角形，进而转化边角关系，解决基础几何综合问题。
4.区分等腰三角形“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异：性质是“由边等推角等”，
判定是“由角等推边等”，规避定理混用的逻辑错误，规范几何推理书写格式。
学习重难点
重点：
1.熟练掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理的内容与几何表达，能准确运用定理判定
等腰三角形。
2.掌握等腰三角形判定定理的证明思路与辅助线添加方法，能独立完成定理的完整证明过
程。
3.熟练掌握等边三角形的两种判定方法，能根据已知条件判定等边三角形。
4.能灵活运用等腰三角形、等边三角形判定定理，结合已有几何知识完成边角计算与几何
证明。
难点：
1.精准区分等腰三角形性质定理与判定定理的因果逻辑，避免“性质、判定混用”，理清
“边等⇋角等”的双向推理关系。
2.在复杂图形、平行线模型、折叠模型中，主动挖掘隐藏的相等角，通过等角推导等边，
判定等腰三角形，找到解题突破口。
3.综合运用三角形内角和、外角、平行线、全等三角形等知识，多层推理得出等角条件，
再完成等腰三角形判定，构建完整推理链。
4.灵活选用等边三角形的判定方法，区分一般三角形与等腰三角形前提下60°角的判定
差异，避免判定条件误用。
第二章
特殊三角形
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5.结合分类讨论思想解决等腰三角形判定的多解问题，结合三角形三边关系、内角和排除
不合理答案，提升解题严谨性。
知识点
等腰三角形的判定（重点）
1. 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。
随学随练
1．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶，𝐴𝐷∥𝐵𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐶是等腰
三角形．
2．（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，𝐶𝐵= 𝐷𝐴，𝐶𝐴= 𝐷𝐵，𝐶𝐵、𝐷𝐴相交于点O，求证：
𝑂𝐴= 𝑂𝐵．
特别提醒
核心判定依据为等角对等边，是从角度关系推边的关系，与“等边对等角”互为逆定理，仅限同一个
三角形中使用。
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知识点
等边三角形的判定（重点）
2. 等边三角形判定的定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。
3. 等边三角形判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
4. 等边三角形判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
随学随练
1．（25-26 八年级上·河南新乡·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点𝐷在线段𝐵𝐶上．若∠𝐶𝐴𝐸= 60∘，𝐴𝐷=
1，则△𝐴𝐵𝐷的周长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．（25-26 八年级上·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60°．点𝐷是边𝐵𝐴延长线上一点，
𝐷𝐸∥𝐴𝐶，且∠𝐷= ∠𝐵．求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
拓展
等腰三角形两种判定方法对比
对比维度
定义法判定
判定定理（等角对等边）
判定依据
三角形有两条边长度相等
三角形有两个内角角度相等
易错提醒
1）“有一个角是60°的三角形”不能直接判定，必须限定是等腰三角形；
2）勿混淆判定条件，两个角为60°也可间接推出三角相等，可用于判定；
3）等边三角形判定无需区分边角位置，任意位置满足条件即可。
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判定核心
通过边长关系直接判定
通过角度关系间接推导边长关系
适用场景
已知边长数值、可直接对比边长的题型
已知角度关系、无明确边长条件的题型
活学活用
1．（25-26 八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这个三角形一定是
（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．不能确定
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶，D 为𝐵𝐶的中点，下列结论不一定成立的是（ ）
A．𝐴𝐵= 𝐴𝐶
B．𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵
C．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
D．∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
拓展
等边三角形三种判定方法对比
判定方法
判定核心内容
判定特点
定义法（边判
定）
三条边全部相等的三角形为等边三角
形
最基础判定方法，依据边长全等判定，直观
无推导
定理1（角判
定）
三个内角全部相等的三角形为等边三
角形
纯角度判定，无需边长条件，三角相等可直
接推三边相等
定理2（混合判
定）
有一个角是60°的等腰三角形为等
边三角形
结合等腰三角形属性+特殊角度，判定步骤更
简便，适用性极强
活学活用
1．（25-26 八年级上·山东德州·期中）关于等边三角形的说法：
（1）等边三角形有1 条对称轴；
（2）有一个角等于60°的三角形是等边三角形；
（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
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（4）等边三角形两条中线的交点到三边的距离相等．
其中正确的说法有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，△𝐴𝐷𝐵，△𝐵𝐶𝐷均是等边三角形，E，F 分别是𝐴𝐵，𝐴𝐷边上
的两个动点，且满足𝐴𝐸= 𝐷𝐹，𝐵𝐹与𝐷𝐸交于点G，连接𝐶𝐺．
（1）∠𝐸𝐺𝐵的度数是________ ；
（2）若𝐷𝐺= 4，𝐵𝐺= 6，则𝐶𝐺=_______ ．
3．（25-26 八年级下·陕西商洛·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，D 为𝐵𝐶边延长线上一点，𝐶𝐸平分
∠𝐴𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐵𝐷．
(1)求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸；
(2)判别△𝐴𝐷𝐸是什么特殊三角形？并说明理由．
题型
根据等角对等边证明等腰三角形
▌例1．（25-26 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 36°，∠𝐵= 72°，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐵𝐶
于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明．
解题贴士
在同一三角形中，通过内角和、外角性质、平行线性质、角平分线等条件，证出两个内角相等，即可直
接推出对应两条边相等，判定三角形为等腰三角形。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，过线段𝐶𝐷上一点E 作
𝐸𝐺∥𝐴𝐷，交𝐴𝐶于点F，交𝐵𝐴的延长线于点G．请判断△𝐴𝐹𝐺的形状，并加以证明．
▌对点练1-2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分内角∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐸平分外角∠𝐶𝐴𝐷．
(1)若𝐴𝐸∥𝐵𝐶，求证：△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形．
(2)若∠𝐶= 68°，求∠𝐸的度数．
题型
等角对等边的其他证明题
▌例1．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是𝐵𝐶上一点，过点
D 作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点E，交𝐵𝐴的延长线于点F．求证：𝐴𝐹= 𝐴𝐸．
解题贴士
先通过平行、折叠、角平分线、垂直、对顶角等条件转化角度，得到两角相等，再利用等角对等边证线
段相等，进而证明线段关系、图形形状。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，点C，D 在𝐴𝐵上，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐸𝐴= 𝐹𝐵，∠𝐴=
∠𝐵，𝐸𝐷，𝐹𝐶相交于点G．
(1)求证：∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹；
(2)求证：𝐸𝐺= 𝐹𝐺．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点D，且∠𝐴=
2∠𝐵，求证：𝐵𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐶．
题型
根据等角对等边求解
▌例1．如图，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶右侧一点，连接𝐴𝐷、𝐶𝐷，若∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵， ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷， 𝐴𝐵= 4，则𝐴𝐷的
长为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8
解题贴士
利用等角对等边实现角度转边长，结合线段和差、周长、方程思想，设未知数表示边长，代入计算求值。
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▌对点练1-1．（25-26 八年级上·重庆·期中）如图，已知∠𝐴= ∠𝐵, 𝐶𝐸∥𝐷𝐴, 𝐶𝐸交𝐴𝐵于E，且𝐵𝐶= 10，则
𝐶𝐸=________．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝐸，
过点𝐸作𝑀𝑁∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐴𝐶于点𝑁．若𝐵𝑀+ 𝐶𝑁= 7，
(1)求𝑀𝑁的长度；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为25，𝐵𝐶= 10，求△𝐴𝑀𝑁的周长．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·云南昭通·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点D，点E 在
𝐴𝐵上，连接𝐷𝐸．已知∠𝐴= 30°，∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= 75°．
(1)求证：𝐷𝐸∥𝐵𝐶；
(2)若𝐴𝐵= 12，𝐷𝐸= 4，求𝐴𝐷的长．
题型
格点图中的等腰三角形
▌例1．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）如图，在4 × 4的正方形网格中有两个格点A、B，连接𝐴𝐵，在网
格中再找一个格点𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，满足条件的格点𝐶的个数是（ ）
解题贴士
1）通过网格边长相等判定等腰；
2）分类讨论：底边水平、竖直、倾斜三种情况，逐一排查找点。
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A．2
B．3
C．5
D．7
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，在3 × 3的正方形网格中，点A，B 均在格点处，若
点C 也在格点处，且△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，则满足条件的点C 的位置有__________处．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是4 × 4的正方形网格，每个小正方形的边
长均为1 个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段𝐴𝐵的端点都在格点上，在图①、图②给定网
格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以𝐴𝐵为腰画一个等腰三角形𝐴𝐵𝐶；
(2)在图②中以𝐴𝐵为底边画一个等腰三角形．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·吉林·期末）如图，在6 × 6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格
点，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写
画法）．
(1)在图①中的边上找一点𝐸，使得𝐵𝐸= 𝐸𝐶；
(2)在图②中画出一个△𝐴𝐵𝐷，使𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝐷为格点（点𝐷不与点𝐶重合）；
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(3)在图③中以𝐵𝐶为边画一个等腰三角形𝐵𝐶𝐹．
题型
等腰三角形的性质与判定综合
▌例1．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，下列结论不一定
．．．
正确的是（ ）．
A．𝐴𝐵= 𝐴𝐶
B．𝐵𝐷= 𝐷𝐶
C．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
D．𝐴𝐵= 2𝐵𝐷
▌例2．（25-26 八年级下·河南平顶山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D，E 在边𝐵𝐶上，且𝐵𝐷=
𝐶𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐸为等腰三角形；
(2)若∠𝐴𝐷𝐸= 60°，𝐵𝐷= 𝐴𝐷，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·河南南阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐷∥𝐵𝐶．已知𝐴𝐵=
5，𝐴𝐷= 3，则△𝐴𝐸𝐷的周长为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·天津·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，D 为𝐵𝐶边上的一点，𝐴𝐷=
𝐵𝐷= 𝐴𝐶，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为______．
解题贴士
先通过角度条件判定等腰三角形（等角对等边），再利用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）进行
边角计算与证明。
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▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，其中△𝐸𝐷𝐹
的顶点𝐷与𝐵𝐶的中点重合，𝐷𝐸，𝐷𝐹分别与𝐴𝐵，𝐴𝐶交于点𝐺，𝐻．若△𝐴𝐵𝐶的面积为18，则阴影部分的面
积为________．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，分别交
𝐵𝐶，𝐴𝐶于点𝐸，𝐹，且满足𝐴𝐵= 𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵𝐴𝐸= 40°，求∠𝐶的度数；
(2)若𝐷𝐶= 5cm，求△𝐴𝐵𝐸的周长．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·山东济南·期末）已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，在△𝐷𝐸𝐶中，𝐷𝐶= 𝐸𝐶，
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 𝛼，点𝐴、𝐷、𝐸在同一条直线上，𝐴𝐸与𝐵𝐶相交于点𝐹，连接𝐵𝐸．
(1)如图1，当𝛼= 40°时，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)如图2，当𝛼= 90°时，完成下列问题：
①判断𝐴𝐷与𝐵𝐸的数量关系和位置关系；
②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若
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∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹，𝐵𝐸= 3，求线段𝐴𝐹的长．
题型
等边三角形的判定
▌例1．（25-26 八年级上·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60°．点𝐷是边𝐵𝐴延长线上一点，
𝐷𝐸∥𝐴𝐶，且∠𝐷= ∠𝐵．求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长．若(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| =
0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·陕西汉中·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是𝐵𝐶的中点，连接
𝐴𝐷，点𝐸在△𝐴𝐵𝐶的左侧，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸，∠𝐸= 90°，𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐸，且𝐵𝐸∥𝐴𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三
角形．
题型
等边三角形的性质与判定综合
解题贴士
三种判定方法灵活选用：①三边都相等；②三角都相等（均为60°）；③有一个角是60°的等腰三角形，
即为等边三角形。
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▌例1．（2025·河南商丘·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 9，∠𝐵= 60∘，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐵𝐶的方向
平移得到△𝐴′𝐵′𝐶′，连接𝐴′𝐶，若𝐵𝐵′ = 3，则△𝐴′𝐵′𝐶的周长为（ ）
A．27
B．18
C．24
D．20
▌例2．（25-26 八年级上·广东阳江·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，点F 在𝐴𝐸上，点D 在𝐶𝐵的延长
线上，∠𝐶𝐷𝐸= 120°，𝐹𝐷∥𝐴𝐵，且𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
(2)若𝐵𝐷= 2cm，𝐶𝐷= 6cm，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·山东德州·期末）如图，𝑃是∠𝐵𝐴𝐶内部一点，𝑃关于𝐴𝐵、𝐴𝐶的对称点分别是
点𝑃1、点𝑃2，连接𝑃1𝑃2分别与𝐴𝐵，𝐴𝐶交于点𝑀，点𝑁，连接𝑃𝑀，𝑃𝑁，下列结论：①若∠𝐵𝐴𝐶= 30°，则
△𝑃1𝑃2𝐴是等边三角形；②△𝑃𝑀𝑁的周长等于线段𝑃1𝑃2的长；③𝑃𝐴平分∠𝑀𝑃𝑁；④
1
2 ∠𝑀𝑃𝑁+ ∠𝐵𝐴𝐶=
90°．正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
▌对点练1-2．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2 的等边△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐴方向平移1 个单位长度，得到
解题贴士
先根据已知条件判定等边三角形，再利用三边相等、三角60°、三线合一全部性质，结合全等、平行、
角度转化，解决证明、计算综合题。
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△𝐷𝐸𝐹，𝐸𝐹与𝐴𝐶相交于点G，则四边形𝐴𝐷𝐹𝐺的周长为______．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰Rt △𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐴𝐵，则
∠𝐶𝐷𝐵=________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·内蒙古·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷是𝐴𝐵的中点，𝐶𝐸⊥𝐵𝐶，垂
足为𝐶，𝐸𝐹是由𝐶𝐷沿𝐶𝐸方向平移得到的，连接𝐷𝐹，已知𝐸𝐹过点𝐴，𝐵𝐸交𝐶𝐷于点𝐺．
(1)求∠𝐷𝐶𝐸的度数；
(2)若𝐸𝐶= 2，求𝐴𝐸的长度；
(3)求证：△𝐶𝐸𝐺是等边三角形．
基础通关
1．（2026·广西贵港·三模）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 60°，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ）
A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形
D．等腰直角三角形
2．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）如图，下列关于△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹的说法中正确的是（ ）
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A．△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形
B．△𝐷𝐸𝐹是等腰三角形
C．△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹均是等腰三角形
D．△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹均不是等腰三角形
3．（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，已知，𝐵𝐶= 12，𝐷𝐵，𝐷𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸∥𝐴𝐵，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，则△𝐷𝐸𝐹的周长为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
4．（25-26 八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长2.6米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆
𝐸𝐹的倾斜角为65°．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆𝐸𝐹′的倾斜角为55°，
那么𝐹𝐹′的长是______米．
5．（25-26 八年级上·江苏盐城·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，若
𝐴𝐵= 12，则𝐶𝐷=______．
6．（2026·陕西渭南·二模）如图，延长△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶至点E，点D 在𝐵𝐸下方，连接𝐶𝐷、𝐴𝐷、𝐸𝐷、𝐵𝐶=
𝐷𝐸、∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸，求证：𝐴𝐵= 𝐶𝐸．
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7．（25-26 七年级上·山东烟台·期末）如图，方格纸中小方格的边长均为1，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在格点上，请
你只用无刻度的直尺
．．．．．．．．完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图1 中作点D，使得𝐷𝐴= 𝐷𝐵= 𝐷𝐶；
(2)在图2 中的𝐵𝐶边上作点E，使△𝐴𝐵𝐸为等腰直角三角形；
(3)在图3 中作一个格点
．．F（不与点B 重合），使得∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵．
8．如图，已知𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= 120°，∠𝐶𝐴𝐸= 30°．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷为等边三角形；
(2)若∠𝐵= 42°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
9．（25-26 八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点O，
𝑂𝐷∥𝐴𝐵交于点D，且𝑂𝐸∥𝐴𝐶交于点E．
(1)是判断△𝑂𝐷𝐸的形状，并说明理由．
(2)若𝑂𝐷= 3，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
10．（25-26 八年级上·湖北·期中）上午8 时，一条渔船从港口𝐴出发，以每小时10 海里的速度向正北方向
𝐴𝑁航行，上午12 时到达海岛𝐵处．从𝐴, 𝐵望海岛𝐶，测得∠𝑁𝐴𝐶= 30°，∠𝑁𝐵𝐶= 60°（如图所示）．
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(1)求海岛𝐵到海岛𝐶的距离；
(2)渔船从海岛𝐵按原来的方向继续航行40 海里（记为点𝐷处）出现了故障，它向海岛𝐵和海岛𝐶都发出了求
救信号．接到求救信号后，海岛𝐵派出的救援队立即以每小时25 海里的速度前往，海岛𝐶派出的救援队晚
出发10 分钟，速度为每小时30 海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
素养提升
1．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
垂足为点𝐷，连接𝐶𝐸，∠𝐵= 50°，则∠𝐵𝐶𝐸的度数为（）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
2．（25-26 九年级下·湖北武汉·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐸, 𝐹分别为𝐴𝐵, 𝐵𝐶上的点，将△𝐵𝐸𝐹
沿𝐸𝐹折叠得△𝑃𝐸𝐹，连接𝐴𝑃, 𝐶𝑃，过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷．点𝐷恰好是𝐴𝐶的中点．若∠𝐴𝐶𝐵= 65°，𝐴𝑃平
分∠𝐵𝐴𝐶，则∠𝑃𝐹𝐶=（ ）
A．100°
B．90°
C．80°
D．60°
3．（25-26 七年级下·上海金山·期末）如图，∠𝐵，∠𝐶的平分线相交于点𝐷，过点𝐷作𝐸𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵于点𝐸，
交𝐴𝐶于点𝐹，下列结论中：①𝐵𝐸= 𝐷𝐸；②𝐷𝐹= 𝐸𝐷；③∠𝐵𝐷𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐴；④△𝐴𝐸𝐹周长= 𝐴𝐵+
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𝐴𝐶，正确的有（ ）
A．①②
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
4．（25-26 七年级下·山东威海·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐼，𝐶𝐼分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹交于点𝐼，过点𝐼作
𝐷𝐼∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸．若𝐵𝐷= 8cm，𝐷𝐸= 3cm，则𝐶𝐸等于_______．
5．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，D 是边𝐴𝐶的中点，𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，且
𝐴𝐸∥𝐵𝐷，𝐶𝐸交𝐵𝐷于点F．
(1)求∠𝐵𝐴𝐸的度数；
(2)求证：△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
6．（25-26 七年级下·山东威海·期末）已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
(1)如图1，𝐵𝐷，𝐶𝐸分别为两腰上的中线．求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
(2)如图2，若点𝐷为𝐴𝐶上任意一点，试问，在𝐴𝐵上是否存在点𝐸，使𝐵𝐷= 𝐶𝐸？若存在，请添加一个条件
（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由．
7．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 120°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐺，且
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𝐴𝐷= 𝐴𝐵，𝐸，𝐹分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，且∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷是等边三角形；
(2)若𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 11，𝐶𝐹= 8，求𝐵𝐸的长．
迁移创新
1．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：
如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 5.4，𝐴𝐷= 3，若𝐴𝐶边的长度为奇数，求𝐴𝐶的长．小
明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长𝐴𝐷至点E，使𝐴𝐷= 𝐷𝐸，连接𝐵𝐸，由已知和作图
能得到△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶，所以𝐴𝐶= 𝐵𝐸．
【思考发现】
(1)如图①，△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)请根据小明的方法思考，直接写出𝐴𝐶的长可能为______（写一个值即可）；
【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分
散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中．
(3)如图②，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐺交𝐴𝐶于G，交𝐴𝐷于F，𝐴𝐶= 𝐵𝐹．探究∠𝐴𝐹𝐺与∠𝐺𝐴𝐹的关系，并说
明理由．
2．（25-26 七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究
在折叠中探索几何元素的关系
材料准备
定点𝑃在△𝐴𝐵𝐶(∠𝐵< ∠𝐶)纸片内的位置如图1 所示．
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【垂直可折】
操作要求：按如图2 所示方法折叠，可以得到折痕𝑀𝑁与三角形底边𝐵𝐶垂直．
操作说明：①过点𝑃折叠纸片，使得点𝐵落在𝐵𝐶上的𝐵′处，展平纸片，得到折痕𝑀𝑁．
(1)任务一：说明𝑀𝑁⊥𝐵𝐶．
【平行可折】
操作要求：在图2 中折叠，使得折痕经过点P 且平行于𝐵𝐶．
(2)任务二：在图3 中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明．
【等角可折】
操作要求：如图4，过点𝑃折出折痕𝑙，使得𝑙与𝐴𝐵、𝐴𝐶分别相交于点𝐷，𝐸，且∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶．
(3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明．
