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专题 06 全等、等腰及相似有关解答题的模型构建（6 大类
型）
题型解读｜模型构建｜通关试 练
1.三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
（4）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
2. 等腰三角形的性质与判定
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
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（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
3. 等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶
角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线
是对称轴．
（3）等边三角形的判定：
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5 三角形折叠问题探究
三角形折叠模型（一） 三角形折叠模型（二） 三角形折叠模型（三）
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A
C'
E
2
B F C
∠2=2∠C 1 1
2∠C=∠1+∠2或 ∠C= 2∠C=∠2-∠1或 ∠C= （∠2-∠1）
2 2
（∠1+∠2）
6 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合
经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，
也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为
“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
（2）半角模型：
1、半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
2、模型特征：等线段，共端点，含半角
3、思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
4、解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，
然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出
现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
模型 01 全等三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的
关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若
已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，
且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
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解决全等三角形的问题认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段
或角之间的联系。在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当
辅助线构造三角形；最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，
把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACE=60°
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明△ACE是等边三角形是解答
的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，再证明△ACE是等边三角形，利用
等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在△ABC与△ADE中，
¿，
所以△ABC≌△ADE(SAS)；
（2）解：因为△ABC≌△ADE，∠BAC=60°，
所以AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，
所以△ACE是等边三角形．
所以∠ACE=60°．
1．（2025·陕西西安·二模）如图，E是AB上一点，AB=DE，CB=CE，EC平分∠BED，求证：
∠D=∠A．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义
和等腰三角形的性质可得∠DEC=∠B，进而由SAS可得△DCE≌△ACB，据此即可求证，掌握全等三
角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵CB=CE，
∴∠B=∠BEC，
∵EC平分∠BED，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠DEC=∠B，
在△DCE和△ACB中，
¿，
∴△DCE≌△ACB(SAS)，
∴∠D=∠A．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图；在△ABC中，延长BA到点D，过点D作DE∥AC，连接BE，
AB=DE, AC=DB，求证：EB=BC．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理
与性质．由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB=∠BAC，又BD=CA,DE=AB，利用SAS即可
证明△DEB≌△ABC，从而得到EB=BC．
【详解】证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠BAC
在△DEB与△ABC中，
¿，
∴△DEB≌△ABC(SAS)，
∴EB=BC．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为
D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF．
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(1)求∠EAF的度数．
(2)求证：EF=BC．
【答案】(1)115°
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理：
（1）由三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明△EAF≌△CAB(SAS)，得出EF=BC．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC．
∴∠ADC=90°．
∵∠C=25°，
∴∠EAF=∠ADC+∠C=115°；
（2）证明：在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=115°．
∴∠EAF=∠CAB．
在△EAF和△CAB中，
¿，
∴△EAF≌△CAB(SAS)，
∴EF=BC．
4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=CD，点E，F分别是AB，
BC上的点，连接DE，DF，EF，且∠ADF=∠CDE．
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)若DE=2AE=4，DE∥BC，求BC的长．
【答案】(1)见解析；
(2)6．
【分析】(1)根据∠ADF=∠CDE可证∠ADE=∠CDF，利用ASA可证△AED≌△CFD；
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(2)根据∠A=90°，DE=2AE可知∠ADE=30°，∠AED=60°，根据DE∥BC可知
∠B=∠AED=60°，根据△AED≌△CFD可证∠CFD=60°、CF=AE=2，所以可证DF∥BE，所
以四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知BF=DE=4，所以BC=6．
【详解】（1）证明：∵∠ADF=∠CDE，
∴∠ADF−∠EDF=∠CDE−∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△AED和△CFD中，¿，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
（2）解：∵DE=2AE=4，∠A=90°，
1
∴sin∠AEB= ，
2
∴∠ADE=30°，AE=2，
∴∠AED=90°−∠ADE=90°−30°=60°，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠AED=60°，
由(1)得：△AED≌△CFD，
∴AE=CF=2，∠AED=∠CFD=60°，
∴∠CFD=∠B，
∴DF∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE=4，
∴BC=BF+CF=4+2=6，
即BC的长为6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、平行
线的判定和性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边和角之间的关系．
模型 02 等腰三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等腰三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考
试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用
等腰三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等腰三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相
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等的重要手段．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的
高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有
时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角
形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3√2，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
连接BE，DE．
(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)若AD=2时，求CE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)√10
(3)存在，18
【分析】（1）由SAS即可证明△CAD≌△CBE；
（2）证明△CAD≌△CBE（SAS），勾股定理得到DE，在 Rt△CDE 中，勾股定理即可求解；
（3）证明AD2+BD2=2CD2，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE．
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB．
即∠ACD=∠BCE．
∴△CAD≌△CBE(SAS)．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=BC=3√2，
∴∠CAB=∠CBA=45°,AB=√2AC=6．
∴BD=AB−AD=6−2=4．
∵△CAD≌△CBE，
∴BE=AD=2，∠CBE=∠CAD=45°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
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∴DE=√BD2+BE2=2√5．
DE
∴在Rt△CDE中，CE=CD= =√10．
√2
（3）由（2）可知，AD2+BD2=BE2+BD2=DE2=2CD2．
∴当CD最小时，有AD2+BD2的值最小，此时CD⊥AB．
∵△ABC为等腰直角三角形，
1 1
∴CD= AB= ×6=3．
2 2
∴ AD2+BD2=2CD2≥2×32=18．
即AD2+BD2的最小值为18．
【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1．（2025·陕西西安·一模）如图，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°．求证：
△BAE≌△CAD．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题的关键；
根据等腰直角三角形的性质得AB=AC，AE=AD，再证证∠BAE=∠CAD，根据SAS，即得结论．
【详解】证明：∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD．
在△ABC与△ADE中，
¿
∴△BAE≌△CAD．
2．（2025·上海松江·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，点
E．AF∥BC，交BE的延长线于点F．
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AE CD
(1)求证： = ；
AF AC
(2)求证：2AB⋅AD=BF⋅BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解
题的关键．
（1）根据题意证明△AEF∽△CDA，即可求解；
AB AG
（2）设AD与BF交于点G，可证△ABF∽△GBA，得到 = ，再证△AFG∽△DAB，得到
BF AF
AG BD 1
= ，则有AB⋅AD=BF⋅BD，由BD= BC，代入计算即可求解．
AF AD 2
【详解】（1）证明： 如图所示，
∵AD⊥BC BE⊥AC
， ，
∴∠AEF=∠ADC=90∘，
∵AF∥BC，
∴∠1=∠C，
∴△AEF∽△CDA，
AE AF
∴ = ，
CD AC
AE CD
∴ = ；
AF AC
（2）证明：设AD与BF交于点G，
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∵AF∥BC
，
∴∠FAD=∠ADB=90∘，∠1+∠2=∠1+∠F=90∘，
∴∠2=∠F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠2=∠3，BC=2BD，
∴∠3=∠F ，
又∠ABF=∠GBA，
∴△ABF∽△GBA，
AB AG
∴ = ，
BF AF
∵∠3=∠F，∠FAD=∠ADB，
∴△AFG∽△DAB，
AG BD
∴ = ，
AF AD
AB BD
∴ = 即AB⋅AD=BF⋅BD，
BF AD
1
∵BD= BC，
2
∴2AB⋅AD=BF⋅BC．
3．（2025·上海松江·一模）如图，在△ABC中，∠B=60°，BC=6，S =6√3．
△ABC
(1)求AB的长；
(2)在BC边上取一点D，使CD=2，连接AD，求∠CAD的正切值．
【答案】(1)4
√3
(2)
5
【分析】（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H，由面积法求得AH=2√3，进而解直角三角形即可得解；
（2）过点C作CE⊥AD，垂足为E，由（1）得AB=4，解直角三角形得BH=2，证△ABD是等边三角
形，得∠ADB=∠B=∠CDE=60°，AD=AB=4，∠DCE=30°，从而求得DE=1，CE=√3，
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AE=AD+DE=5，利用正切定义即可得解．
【详解】（1）解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵BC=6 S =6√3
△ABC
， ．
1 1
∴S = BC⋅AH= ×6⋅AH=6√3
△ABC 2 2
∴AH=2√3
∵∠B=60°
AH
∴sinB=
AB
2√3
∴AB= =4
sin60°
（2）解：过点C作CE⊥AD，垂足为E
由（1）得AB=4，
∴BH=ABcos60°=2，CD=2，
∴HD=BC−BH−CD=6−2−2=2=BH，
∴BD=4=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=∠B=∠CDE=60°，AD=AB=4
∴∠DCE=90°−60°=30°，
∴DE=1，CE=√3，
∴AE=AD+DE=5，
CE √3
∴tan∠CAD= = ．
AE 5
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，30度直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练
掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．（2025·上海崇明·一模）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB，垂足为D，
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点F是线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E,AE与BC交于点H，
连接CE．
AH BH
(1)求证： = ；
CH EH
(2)当CE∥AB时，求CE的长；
(3)当△CFH是等腰三角形时，求CH的长．
【答案】(1)见解析
14
(2)CE=
5
9 7
(3) 或
2 4
【分析】（1）根据题意∠AEB=∠ACB，∠AHC=∠BHE，证明△ACH∽△BEH即可求证；
（2）根据题意可得△CHE∽△AHB，则有∠CEH=∠ABH，由CE∥AB，得到AH=BH，如图所示，
4
作HG⊥AB，垂足是G，由勾股定理、三角函数的计算得到AB=10,cos∠ABC= ，在Rt△BHG中，
5
BG 5 4 25 CE CH
cos∠ABC= ，则有 = ，得到BH= ，再根据 = ，即可求解；
BH BH 5 4 AB BH
（3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当∠CFH=∠CHF时，可证AH平分∠CAB，
根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得HG；第二种情况：当∠CHF=∠HCF时，可得
AC BC 6 8
tan∠CHF=tan∠CAB，则 = ，即 = ，即可求解；第三种情况：当∠HCF=∠HFC时，
CH AC CH 6
结合（2）的计算即可求解．
【详解】（1）解：∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEB=∠ACB，
∵∠AHC=∠BHE，
∴△ACH∽△BEH，
AH CH AH BH
∴ = 即 = ；
BH EH CH EH
AH BH
（2）解：∵ = ,∠CHE=∠AHB，
CH EH
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∴△CHE∽△AHB，
∴∠CEH=∠ABH，
∵CE∥AB，
∴∠CEH=∠HAB，
∴∠ABH=∠HAB，
∴AH=BH，
如图所示，作HG⊥AB，垂足是G，
∵HG⊥AB
，
1
∴BG= AB，
2
在Rt△ABC中，AC=6,BC=8，
4
∴AB=10,cos∠ABC= ，
5
∴BG=5，
BG
在Rt△BHG中，cos∠ABC= ，
BH
5 4
∴ = ，
BH 5
25
∴BH= ，
4
7
∴CH=BC−BH= ，
4
∵CE∥AB，
7
CE CH CE 4
∴ = ，即 = ，
AB BH 10 25
4
14
∴CE= ；
5
（3）解：若△CFH是等腰三角形，那么∠CFH=∠CHF或∠FHC=∠FCH或∠HCF=∠HFC，
第一种情况：当∠CFH=∠CHF时，
∵∠CFH=∠AFD，
∴∠CHF=∠AFD，
又∵∠CHF+∠CAH=∠AFD+∠FAD=90°，
∴∠CAH=∠FAD，
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∵∠ACB=90°，即AC⊥BC HG⊥AB，
∴CH=HG，
∵AH=AH,CH=GH，
∴△ACH≌△AGH(HL)，
∴AG=AC=6，
∴BG=AB−AG=4，
HG
在Rt△BHG中，tan∠ABC= ，
BG
3
∴HG=4× =3，即CH=3
4
第二种情况：当∠FHC=∠FCH时
∵∠HCF=∠CAB，
∴∠CHF=∠CAB，
∴tan∠CHF=tan∠CAB，
AC BC 6 8
∴ = ，即 = ，
CH AC CH 6
9
∴CH= ；
2
第三种情况：当∠HCF=∠HFC时，
∵∠CFH=∠AFD，
∴∠HCF=∠AFD，
又∠HCF+∠ABC=∠AFD+∠FAD=90°，
∴∠ABC=∠FAD
∵∠ABC=∠CEA，
∴∠FAD=∠CEA，
∴CE∥AB，
BG
由（2）可知，在Rt△BHG中，cos∠ABC= ，
BH
5 4
∴ = ，
BH 5
25
∴BH= ，
4
7 7
∴CH=BC−BH= ，即CH= ；
4 4
9 7
综上所述，CH=3或 或 ．
2 4
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形
的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键．
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模型 03 等边三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等边三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考
试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等边三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用
等边三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等边三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角
性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合
一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角
的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD=CE，BE与AD交于点F．求证：
AD=BE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出AB=BC，
∠ABD=∠BCE=60°，然后根据SAS证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
又BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE．
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1．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在△ABC中，点E在BA的延长线上，AE=AC，∠BAD=∠EAC，
∠ACB=∠AED．
(1)求证：AB=AD；
(2)若AC平分∠DAE，AB=2，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定；
（1）根据已知得出∠BAC=∠DAE，进而根据ASA证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质，即
可得证；
（2）根据全等三角形的性质以及角平分线的定义，得出∠BAD=∠CAD=∠EAC，进而得出
∠BAD=60°，即可证明△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
¿，
∴△ABC≌△ADE，
∴AB=AD．
（2）解：∵AC平分∠DAE，
∴∠CAD=∠EAC，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠EAC，
∵∠BAD+∠CAD+∠EAC=180°，
∴3∠BAD=180°，∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2．
2．（2023·浙江宁波·一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，
中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、
C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD=40cm．
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(1)当∠ADC=120°时，求此时BD的长；
(2)当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（精确到0.1cm，sin80°=0.98，
cos80°=0.17，tan80°=5.67）
【答案】(1)40cm
(2)64.8cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，菱形的性质，等边三角形的性质与判定：
1
（1）连接AC交BD于点E，由四边形ABCD是菱形得到∠ADB= ∠ADC，当∠ADC=120°时，
2
∠ADE=60°，由AB=AD得到△ADB是等边三角形，则BD=AD=40cm；
1
（2）当∠ADC=20°时，在Rt△ADE中，∠ADB= ∠ADC=10°，则AE=6.8，则
2
AC=2AE=13.6(cm)，当∠ADC=160°时，Rt△ADE中∠ADB=80°，则可得到AE=39.2，得到
AC=2AE=78.4(cm)，即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示，连接AC交BD于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴∠ADB= ∠ADC，AB=AD
2
1
当∠ADC=120°时，∠ADE= ∠ADC=60°，
2
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AD=40(cm)；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
1
∴AC=2AE，AC⊥BD，∠ADB= ∠ADC，
2
当∠ADC=20°时，
1
在Rt△ADE中，∠ADB= ∠ADC=10°，
2
∴∠DAC=90°−∠ADB=80°，
∴AE=ADcos80°=40×0.17=6.8cm，
∴AC=2AE=13.6cm，
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当∠ADC=160°时，
1
在Rt△ADE中，∠ADB= ∠ADC=80°，
2
∴AE=ADsin80°=40×0.98=39.2cm，
∴AC=2AE=78.4cm
∴这个千斤顶升高了78.4−13.6=64.8cm，
答：这个千斤顶升高了64.8cm．
3．（2023·贵州黔东南·一模）问题提出：
已知：在△ABC中，BC=a,AC=b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=____________；
问题探究：
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=____________；
问题拓展：
（3）如图3，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的
度数．
【答案】（1）3√3；（2）3√6−3√2；（3）a+b，∠ACB=120°
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条
件，是解题的关键．
（1）a=b=3，且∠ACB=60°，△ABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据此即可求
解；
（2）a=b=6，且∠ACB=90°，△ABC是等腰直角三角形，且CD是边长是6的等边三角形的高长与等
腰直角三角形的斜边上的高的差；
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，当点E、
A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b．
【详解】解：（1）∵a=b=3，且∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
3√3
∴OC= ，
2
∵等边三角形ABD，
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3√3
∴OD= ，
2
∴CD=3√3；
（2）作DO⊥AB，垂足为O，连接CO，
∵等边三角形ABD，
∴DO是AB的垂直平分线，
∴AO=BO，
∵AC=BC=6，AO=BO，
∴CO⊥AB，
∴D，C，O在同一直线上，
∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB=6√2=AD，
∴AO=3√2=OC，
∴OD=√AD2−OA2=3√6，
∴CD=OD−OC=3√6−3√2；
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，
则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，
∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CD．
当点E、A、C不在一条直线上时，
有CD=CE0)．
(1)BC的长为______．
(2)求点P到BC的距离（用含t的代数式表示）．
(3)当B′D与等腰△ABC的腰垂直时，求t的值．
(4)当△BPD与△B′PD拼成的图形为三角形时，直接写出t的值．
【答案】(1)8
(2)当0
