文档文本内容
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2.5 直角三角形及其全等的判定
课标要点
1.理解直角三角形的定义与基本概念，掌握直角三角形的表示方法，明晰直角三角形的边
角基本特征，熟练掌握直角三角形按边、角的分类特点。
2.掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，能利用该性质进行角度计算、
角度推理与简单几何说理。
3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，能根据角度关系判
定三角形是否为直角三角形，厘清性质与判定的双向逻辑关系。
4.掌握直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练
掌握定理的几何语言表达，理解定理的推导过程与几何内涵。
5.掌握直角三角形全等的特殊判定定理——斜边、直角边（HL）定理，准确理解定理内
容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，明确HL 定理的专属适用条件。
6.能在复杂图形、折叠图形、几何变式题型中识别直角三角形模型，挖掘隐含的直角、互
余角、斜边中线等条件，规范几何推理过程。
学习重难点
重点：
1.掌握直角三角形两锐角互余的性质及对应的判定定理，熟练进行直角三角形角度计算与
三角形形状判定。
2.熟练掌握直角三角形斜边中线定理，能运用定理解决线段长度计算、线段相等证明、角
度推导等基础问题。
3.熟练区分直角三角形全等的通用判定方法与特殊HL 定理，能根据题干条件灵活选用最
优判定方法。
4.熟练运用直角三角形的性质与判定，结合已学几何知识，规范完成基础几何计算与证明
题型的解答。
难点：
1.精准区分直角三角形性质与判定的逻辑关系，理清“直角推锐角互余”和“锐角互余推
直角”的双向推理，避免定理混用。
2.在复杂图形、折叠、组合直角三角形模型中，挖掘隐含条件（公共斜边、公共直角边、
垂直、等角等），精准凑齐全等判定条件。
3.在复杂图形、折叠、动态几何题型中，快速识别直角三角形模型，挖掘隐藏的斜边中线、
第二章
特殊三角形
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30°角、互余角等关键条件。
4.综合运用多个直角三角形性质定理，结合等腰三角形、全等三角形知识完成多步递进推
理，构建完整、严谨的几何逻辑链。
5.灵活运用特殊直角三角形的边角关系解决几何综合题型，掌握线段倍分关系的转化方
法，突破几何线段推导难点。
知识点
直角三角形的性质（重点）
1.直角三角形的定义：有一个角时直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形用符号“Rt△”
2.直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余。
2.直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
随学随练
1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐸在𝐶𝐴的延长线上，𝐸𝑃⊥𝐵𝐶于点
𝑃，𝐸𝑃交𝐴𝐵于点𝐹，若𝐴𝐵= 5，𝐴𝐸= 2，则𝐵𝐹的长为（ ）
易错提醒
1）斜边上的中线性质仅限斜边中线，两条直角边的中线无此性质；
2）两锐角互余不能用于非直角三角形。
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A．1
B．2
C．3
D．4
2．（25-26 八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷，𝐸分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐶的中
点，连接𝐴𝐷，𝐷𝐸．求证：∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷．
知识点
直角三角形的判定（重点）
1.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
【补充说明】
1) 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理后都可以化成𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的形式，所
以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断.
2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数
时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况：
①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变；
②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数.
3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程.
随学随练
1．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
易错提醒
1）仅有一个锐角为90°表述错误，三角形内角最大为180°，只能是有一个内角是直角；
2）不能用“两个角相加为90°”直接口述判定，需规范表述两角互余。
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A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴+ ∠𝐵= 90°
C．∠𝐴∶∠𝐵∶∠𝐶= 1 ∶2 ∶3
D．∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶
2．如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
知识点
直角三角形全等的判定
1. 三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角
边”或“HL”）．
2. 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
随学随练
1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于点O，连接𝐴𝐵、𝐶𝐷，若𝐴𝑂= 𝐷𝑂，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，则
可判定△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶，依据是（ ）
A．SAS
B．HL
C．ASA
D．SSS
2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶= 90°，𝐵𝐶=
易错提醒
1）HL 只适用于直角三角形，普通三角形不能使用；
2）必须是斜边+一条直角边，两条直角边相等用SAS，不可混用HL；
3）书写证明需先注明三角形为Rt△，再用HL 判定。
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𝐶𝐷，若要用“HL”直接判定Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐸𝐶𝐷，则需要添加的条件是________．
3．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，点D 在边𝐴𝐶上，
连接𝐵𝐷，过点C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐶，连接𝐴𝐸，且𝐴𝐸= 𝐵𝐷，求证：𝐶𝐸= 𝐴𝐷．
拓展
直角三角形性质与判定双向对比
1. 直角三角形的性质与判定为互逆逻辑，一个是已知直角三角形推导结论，一个是根据条件证明直角三
角形，是基础核心辨析点，具体对比如下：
对比维度
直角三角形性质
直角三角形判定
前提条件
已知三角形是直角三角形
未知三角形形状，需证明为直角三角形
核心结论
1. 两个锐角互余；
2. 斜边上的中线等于斜边的一半
三角形中有两个角互余，即可判定为直角三
角形
逻辑方向
由图形属性推边角关系
由角度关系推图形属性
活学活用
1．（25-26 八年级下·江西宜春·期中）如图，一根木棍斜靠在与地面（𝑂𝑀）垂直的墙（𝑂𝑁）上，设木棍中
点为𝑃，若木棍长6 米，点𝑃到点𝑂的距离（ ）
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A．2.5 米
B．3 米
C．3.5 米
D．4 米
2．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸、𝐶𝐷相
交于点𝐹，且∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵．
(1)试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由；
(2)若∠𝐵= 32°，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(3)求证：∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹．
拓展
直角三角形核心性质易错点归纳
1. 中线性质专属条件：“斜边上的中线等于斜边的一半”仅适用于直角三角形，普通三角形无此性质，且
必须是斜边中线，直角边中线不具备该特点。
2. 互余逻辑区分：直角三角形性质是“已知直角，得锐角互余”；判定定理是“已知锐角互余，得直角三
角形”，二者因果关系不可颠倒。
3. HL 定理使用前提：使用HL 证明全等时，必须先明确两个三角形为直角三角形，非直角三角形不可使用
该判定方法。
活学活用
1．（25-26 八年级上·河南许昌·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，且
𝐵𝐸与𝐶𝐹交于点G．
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(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹；
(2)若∠𝐴= 50°，求∠𝐵𝐺𝐹的度数．
2．（25-26 八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐵𝐷= 𝐶𝐷, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸, 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷；
(2)求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，D 为𝐴𝐵延长线上的一点，点E 在边𝐵𝐶上，连接
𝐴𝐸, 𝐷𝐸, 𝐷𝐶，其中𝐴𝐸= 𝐶𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷．
(2)若∠𝐵𝐷𝐶= 75°，求∠𝐶𝐴𝐸的度数．
题型
利用直角三角形的两个锐角互余求解
▌例1．（25-26 七年级下·广东河源·期中）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐵= 90°, ∠𝐴= 30°，则∠𝐶的度数为
（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
▌例2．（25-26 八年级上·广东东莞·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶边上，沿𝐴𝐷将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐶
与𝐵𝐶边上的点𝐶′重合，展开后得到折痕a．
解题贴士
直角三角形两锐角和为90°，已知一个锐角可直接求另一个；结合对顶角、外角、平行线角度关系，通
过角度和差快速计算未知角度。
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(1)折痕a 是△𝐴𝐵𝐶的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”）
(2)若∠𝐵𝐴𝐶′ = 10°，∠𝐵= 40°，求∠𝐷𝐴𝐶的度数．
▌对点练1-1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高．若∠𝐴𝐵𝐶=
65°，则∠𝐴𝐵𝐷的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．60°
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·山西长治·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的高，∠𝐵𝐶𝐷=
35°，则∠𝐴为________°．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是70°，则另一个锐角的补
角的度数为________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐶𝐸是角平分线，𝐴𝐷，𝐶𝐸相
交于点𝑂，且∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐵= 70°．
(1)求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
(2)求∠𝐴𝑂𝐶的度数．
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题型
利用直角三角形的两个锐角互余证明
▌例1．（25-26 八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点𝐻是△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷和𝐵𝐸所在直线的交点，且𝐴𝐷=
𝐵𝐷，求证：𝐵𝐻= 𝐴𝐶．
▌对点练1-1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷．
(1)求证：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵；
(2)𝐴𝐹分别交𝐶𝐷、𝐵𝐶于𝐸、𝐹，若𝐶𝐸= 𝐶𝐹，求证：𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐴𝐵上一
点，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐶𝐴的延长线于点𝐹．求证：△𝐴𝐷𝐹是等腰三角形；
题型
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解
解题贴士
借助直角三角形两锐角互余，结合同角或等角的余角相等，证明两个锐角相等，进而证角相等、线段相
等、三角形全等。
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▌例1．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，若
𝐶𝐷= 2，则𝐵𝐷的长为（ ）
A．4
B．2√2
C．√2
D．2
▌例2．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐷是边𝐴𝐵的中点，∠𝐵=
25°，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东中山·期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部
件的尺寸．已知∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 为边𝐴𝐵的中点，点A，B 对应的刻度分别为2，8，则𝐶𝐷的长为
（ ）
A．2.5 cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
▌对点练1-2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，E，F 分别是边𝐴𝐵, 𝐴𝐶的中点，
若𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8cm，则𝐷𝐸=________cm．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，公路𝐴𝐶，𝐵𝐶互相垂直，公路𝐴𝐵的中点𝑀与点𝐶被湖
解题贴士
Rt△中，斜边中线=斜边的一半，可直接实现倍半线段转化；常用于求线段长、周长、等腰三角形边长计
算。
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隔开．若测得𝐴𝐵的长为6km，则𝑀, 𝐶两点间的距离是_____km．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，交边𝐴𝐵于点
𝐷，点𝐸是边𝐵𝐶的中点，连接𝐷𝐸．
(1)若∠𝐴𝐶𝐷= 15°，求∠𝐷𝐸𝐶的度数；
(2)猜想∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐷𝐸𝐶的数量关系，并说明理由．
▌对点练1-5．（25-26 八年级上·浙江·期末）如图，Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐵𝐶𝐷分别位于𝐵𝐷异侧，∠𝐷𝐴𝐵=
∠𝐵𝐶𝐷= 90°，点O 是𝐵𝐷的中点，连接𝐴𝐶，𝐴𝑂，𝑂𝐶．
(1)若∠𝐴𝐷𝐵= 30°，∠𝐵𝐷𝐶= 40°，求∠𝐴𝑂𝐶的度数：
(2)若锐角∠𝐴𝐷𝐶= 𝛼，求∠𝐴𝑂𝐶的度数（用𝛼的代数式表示）．
题型
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明
▌例1．（25-26 八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°,𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交边𝐴𝐵于
解题贴士
在直角三角形中，取斜边中点连中线，利用中线与斜边倍半关系，构造等腰三角形，证明线段相等、角
度相等、垂直关系。
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点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶垂足为𝐸, 𝐴𝐷=
1
2 𝐵𝐷．求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐸．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐸
在边𝐵𝐶的延长线上，𝐷𝐴⊥𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷；
(2)如果𝐹是𝐷𝐸的中点，求证：𝐶𝐹= 𝐷𝐹．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·浙江湖州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的
中线，𝐶𝐷= 𝐴𝐸．
(1)求证：𝐶𝐷= 𝐷𝐸；
(2)若∠𝐵𝐴𝐷= 40°，求∠𝐷𝐶𝐸的度数．
题型
直角三角形的判定
▌例1．（25-26 八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵+ ∠𝐶= 90°
解题贴士
常用三种判定：①有一个角为90°的三角形是直角三角形；②两锐角互余的三角形是直角三角形；③三
角形一边中线等于该边一半，此三角形为直角三角形（斜边判定）。
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C．∠𝐵= ∠𝐶= 45°
D．∠𝐵=60°
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川雅安·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短
▌对点练1-2．一个三角形中，如果两个角的和为90°，那么第三个角是___________°，这个三角形是
___________三角形．
▌对点练1-3．如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷为斜边AB 上一点，连接𝐶𝐷，将△𝐵𝐶𝐷沿𝐶𝐷翻
折，使𝐵落在点𝐸处，点F 为直角边𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐹，将△𝐴𝐷𝐹沿𝐷𝐹翻折，使点𝐴与点𝐸重合，求证：
△𝐸𝐹𝐶是直角三角形．
题型
用HL 证全等
▌例1．（25-26 七年级下·山东淄博·期末）如图，𝐴𝐵⊥𝐶𝐹，垂足为𝐵，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，点𝐸在𝐶𝐹上，𝐶𝐸= 𝐹𝐵，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，依据上述条件可以判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．这种判定三角形全等的依据是（ ）
A．AAS
B．ASA
C．SSS
D．HL
▌例2．（25-26 八年级下·福建宁德·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= ∠𝐵= 90°，E 是𝐴𝐵上的一点，
解题贴士
HL 仅适用于直角三角形，只需证明：斜边相等、一条直角边相等，即可判定两Rt△全等，无需找角。
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𝐴𝐸= 𝐵𝐶，连接𝐷𝐸，𝐶𝐸，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸．求证：Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐸𝐶．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷．要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，
还需增加一个条件
．．．．可以是________．
▌对点练1-2．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B 在同一条直线上，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，∠𝐶=
∠𝐷= 90°．求证：∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，𝐵𝐸和𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高，H 是𝐵𝐸和𝐶𝐹的交
点．且𝐶𝐹= 𝐵𝐸．
(1)求证：△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸；
(2)请添加一个条件，使得△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，并说明理由．
题型
全等的性质与HL 综合
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▌例1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点𝐸，𝐹分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，过
点𝐹作𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，且𝐸𝐹= 𝐹𝐷．若∠𝐴= 75°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．45°
D．55°
▌例2．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵= 90°，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点D
(1)如图1，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点E，说明：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷；
(2)如图2，在（1）的条件下，延长𝐸𝐷交𝐶𝐵的延长线于点F，说明：𝐶𝐹= 𝐴𝐶；
(3)如图3，点H 为𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐻，𝐴𝐶+ 𝐶𝐻= 10，𝐴𝐷= 𝐷𝐻，求𝐵𝐶的长
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以顶点A 为圆心，适当
长为半径画弧，分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧
交于点P，作射线𝐴𝑃交边𝐵𝐶于点D，点E 在𝐴𝐵上．若𝐴𝐶= 7，𝐶𝐷= 3，𝐴𝐵= 9，当𝐷𝐸长度最小时，△
𝐵𝐷𝐸的面积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，斜边𝐵𝐶的中垂线𝐷𝐸交𝐴𝐶于点F，
交∠𝐵𝐴𝐶的外角平分线于点E，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶于点G，𝐸𝑀垂直𝐵𝐴的延长线于点M，连接𝐵𝐸交𝐴𝐶于点N，现有
下列结论：①△𝐵𝐸𝑀≌△𝐶𝐸𝐺；②∠𝐵𝐸𝐶= 90°；③𝐴𝐸∥𝐵𝐶；④𝑆△𝑀𝐵𝐸= 2𝑆△𝐶𝐹𝐸．其中正确的结论有
解题贴士
先用HL 证明直角三角形全等，再利用全等性质：对应边相等、对应角相等，进行线段转化、角度计算、
垂直证明等综合推导。
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________________（填序号）．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川达州·期末）已知，𝐴𝑂⊥𝐵𝐶于点𝑂，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，交𝐴𝑂于点𝐷．
(1)如图1，若𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝑂= 50°，则∠𝐷𝐵𝐶=______°；
(2)如图2，点𝐸为𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐸，𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 10，𝐴𝐷= 𝐷𝐸，求𝐶𝑂的长．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶的外角，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑃与𝐵𝑃交于点𝑃．求证：∠𝑃=
1
2 ∠𝐴；
(2)如图2，𝐴𝐶的垂直平分线交𝐵𝑃于点𝑄，交𝐴𝐶于点𝐺，过点𝑄作𝑄𝑀⊥𝐵𝐶于点𝑀，𝑄𝑁⊥𝐵𝐴，交𝐵𝐴的延长
线于点𝑁，若𝐵𝐶= 9，𝐵𝑁= 7，求𝐴𝑁的长．
题型
一线三垂直模型
▌例1．（25-26 八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
解题贴士
一线三垂直模型核心结论：模型中左右两个直角三角形全等，对应直角边交叉相等。
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【问题背景】
（1）如图1，直线l 经过点A，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，过点B，C 分别向直线l 作垂线，垂足分别为点
D，E，求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．
【问题探究】
（2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，D 为𝐴𝐶上一点，E 是𝐴𝐵上一点，且∠𝐵𝐷𝐸= 90°，𝐷𝐵= 𝐷𝐸=
𝐴𝐸，若𝐵𝐶= 5，求𝐴𝐷的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 45°，△𝐴𝐶𝐷的面积为14，𝐶𝐷= 7，请直接
写出△𝐵𝐶𝐷的面积．
▌对点练1-1．（1）如图1，C、A、E 在一条直线上，∠𝐵𝐴𝐷= 90°, 𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐵𝐶⊥𝐶𝐴于点C，𝐷𝐸⊥𝐴𝐸于
点E．求证：𝐵𝐶= 𝐴𝐸．
（2）如图2，𝐸𝐴⊥𝐴𝐵且𝐴𝐸= 𝐴𝐵, 𝐵𝐶⊥𝐶𝐷且𝐵𝐶= 𝐶𝐷，计算图中实线所围成的图形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积．
（3）如图3，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐴𝐶= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐶、𝐷𝐸，且𝐵𝐶⊥𝐴𝐹于点F，𝐷𝐸与𝐴𝐹交于
点G，若𝐵𝐶= 21,𝐴𝐹= 12，求△𝐴𝐷𝐺的面积．
▌对点练1-2．（1）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线𝑙经过点A，分别从点B，C 向直线
𝑙作垂线，垂足分别为D，E．求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；
（2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线𝑙经过点A，点D，E 分别在直线𝑙上，如果∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐴𝐷𝐵=
∠𝐵𝐴𝐶，猜想𝐷𝐸，𝐵𝐷，𝐶𝐸有何数量关系，并给予证明；
（3）如图3，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，点B 的坐标为(1,3)，点C 的坐标为(−1,0)，直接写出点A 的坐标
______．
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基础通关
1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，F 是𝐴𝐸延长线上一点，且
𝐹𝐷⊥𝐵𝐶于点D，∠𝐵= 28°，∠𝐹= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶=（ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
2．（25-26 八年级下·山东菏泽·期末）直角三角形斜边上的高和中线分别是3 和4，则它的面积是（ ）
A．24
B．20
C．15
D．12
3．（25-26 八年级下·山西临汾·期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（𝑂𝑀）垂直的墙（𝑂𝑁）上，设木棍中
点为𝑃，若木棍𝐴端沿墙下滑，且𝐵端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点𝑃到点𝑂的距离（ ）
A．始终不变
B．先变小再变大
C．先变大再变小
D．逐渐变小
4．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，D，E 分别是𝐵𝐶，𝐴𝐵上的点，𝐴𝐷平
分∠𝐵𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点F，G 为𝐴𝐷的中点，延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于点H．下列结论正确的有（ ）
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①线段𝐴𝐷是△𝐴𝐶𝐸的高；②△𝐴𝐵𝐺与△𝐵𝐷𝐺的面积相等；③𝐴𝐵−𝐴𝐶= 𝐵𝐸；④∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸+
∠𝐸𝐴𝐷= 90°．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）一个直角三角形的一个锐角为45度，则另一个锐角的度数是________
度．
6．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，公路𝐴𝐶，𝐵𝐶互相垂直，公路𝐴𝐵的中点M 与点C 被湖隔开，若测得
𝐴𝑀的长为1.8km，则M，C 两点间的距离为_________km．
7．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，__________．
求证：𝐵𝐶= 𝐶𝐷．
请在空格处添加条件并证明．
小明：“添加∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，就可以证明𝐵𝐶= 𝐶𝐷．”
小丽：“要添加∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°才可以证明．”
你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
8．（25-26 八年级上·福建泉州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷点，𝐸是𝐴𝐷上的一点，连接
𝐵𝐸．若𝐴𝐷= 𝐵𝐷, 𝐴𝐶= 𝐵𝐸，求证：𝐷𝐶= 𝐷𝐸．
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9．（25-26 八年级上·北京西城·期末）如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐵⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐵, 𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=
∠𝐷𝐴𝐸．
(1)求证：𝐴𝐷= 𝐴𝐸；
(2)若∠𝐵𝐴𝐷= 20°，∠𝐷𝐴𝐸= 110°，求∠𝐶𝐸𝐷的度数．
10．（25-26 八年级上·山东·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 是𝐵𝐶的中点，∠𝐵= 40°，求∠𝐵𝐴𝐷的
度数．
11．（25-26 八年级上·江苏镇江·期末）如图，𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，∠𝐶= ∠𝐷= 90°．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷；
(2)若∠𝑂𝐵𝐶= 36°，则∠𝐵𝐴𝐶=_______°．
12．（25-26 八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，F 是𝐵𝐶上的一点，𝐵𝐷⊥𝐴𝐹于点
D，𝐶𝐸⊥𝐴𝐹的延长线于点E，𝐴𝐷= 𝐶𝐸．求证：𝐵𝐷= 𝐴𝐸．
小虎同学的证明如下：
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证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐹，𝐶𝐸⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°………第一步
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐷= 𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)………第二步
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸……………………第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程；
(3)请直接写出𝐵𝐷，𝐷𝐸，𝐶𝐸这三条线段之间的数量关系： ．
素养提升
1．若△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 2∠𝐵，∠𝐶= 3∠𝐵，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）一个小长方体木块静止在斜面𝑂𝐴上，其受力分析如图，重力𝐺的方向
与水平地面𝑂𝐵垂直，摩擦力𝐹1的方向与斜面平行，支持力𝐹2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1 = 28°，
则支持力𝐹2与重力𝐺方向的夹角∠2的度数是（ ）
A．162°
B．152°
C．142°
D．118°
3．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是角平分线，∠𝐵= 40°，∠𝐶=
80°，则∠𝐸𝐴𝐷的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
4．（25-26 八年级下·河南南阳·期末）如图，梯子𝐴𝐵斜靠在墙面上，点𝑃是梯子𝐴𝐵的中点，当梯子的一端𝐵
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沿墙面𝐵𝐶向下移动，另一端𝐴沿水平面向左移动时，𝑃点和𝐶点的距离（ ）
A．先变小后变大 B．不断变小
C．不断变大
D．始终不变
5．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐹中，点𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，∠𝐸=
∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶．若𝐴𝐸= 3，𝐵𝐹= 6，则𝐸𝐹=_______．
6．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 50°，边𝐵𝐶的垂直平分线
与边𝐴𝐵交于点M，点E 在线段𝐴𝑀上，连接𝐶𝐸，𝐶𝑀，且∠𝐴𝐶𝐸= 30°．
(1)求∠𝐸𝐶𝑀的度数；
(2)求证：△𝐸𝐶𝑀是等腰三角形．
7．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼𝐴𝐵的高度，在旗杆𝐶𝐷与楼
𝐴𝐵之间选定一点𝑃（点𝐷, 𝑃, 𝐵在同一直线上），测得∠𝐶𝑃𝐴= 90°，点𝑃到楼底的距离𝑃𝐵= 10 m，旗杆𝐶𝐷的
高度为10 m．若旗杆𝐶𝐷与楼𝐴𝐵之间的距离𝐵𝐷= 42 m，请你计算楼𝐴𝐵的高度．
8．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，有两个全等的等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶和等腰直角三角形𝐹𝐷𝐸，其
中△𝐹𝐷𝐸的顶点𝐷与△𝐴𝐵𝐶的斜边中点重合，𝐴𝐵= 2．将△𝐹𝐷𝐸绕点𝐷顺时针旋转，边𝐷𝐹与边𝐴𝐵交于点
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𝑀，边𝐷𝐸与边𝐵𝐶交于点𝑁，连接𝑀𝑁．
(1)点𝐷到𝐵𝐶的距离是_____；
(2)在△𝐹𝐷𝐸的旋转过程中，
①请判断△𝐷𝑀𝑁的形状，并说明理由；
②求△𝑀𝑁𝐵面积的最大值．
9．（25-26 七年级下·福建福州·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 在𝐵𝐶上，E 为𝐴𝐶延
长线上一点，且𝐴𝐷= 𝐵𝐸．延长𝐴𝐷交𝐵𝐸于点F．
(1)求证：𝐶𝐷= 𝐶𝐸；
(2)求证：𝐴𝐹⊥𝐵𝐸．
迁移创新
1．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深
入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
【模型呈现】
(1)如图①，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点C 作直线𝐷𝐸，过点A 作𝐴𝐷⊥𝐷𝐸于
点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐷𝐸于点E，猜想𝐴𝐷，𝐵𝐸与𝐷𝐸之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点C 作直线𝐶𝐸，过点A
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作𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐶𝐸于点E，𝐴𝐷= 12，𝐵𝐸= 4，则𝐷𝐸的长为________；
(3)【深入探究】如图③，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐸=
𝐷𝐸，且点E 在𝐵𝐶上，连接𝐵𝐷，试猜想线段𝐴𝐵与线段𝐵𝐷的位置关系，并说明理由．
2．（25-26 七年级下·河南鹤壁·期末）在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活
动．
【问题情境】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D．
(1)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，则∠𝐷𝐴𝐸=_________°；
【操作探究】
(2)如图①，若线段𝐴𝐵沿着𝐴𝐸翻折，正好落在𝐴𝐶上，∠𝐵= 40°，∠𝐸𝐴𝐷= 10°，试计算∠𝐸𝐴𝐶的度数，并说
明理由；
【拓展探究】
(3)如图②，点M、N 分别在线段𝐴𝐵、𝐴𝐶上，将△𝐴𝐵𝐶折叠，点B 落在点F 处，点C 落在点G 处，折痕分
别为𝐷𝑀和𝐷𝑁，点G、F 都在射线𝐷𝐴上；若∠𝐵+ ∠𝐶= 80°，试计算∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺的度数，并直接写出结
果．
