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13.3.1 三角形的内角（第2 课时 直角三角形的性质和判定）（教学设 计） 年级 八年级 学科 数学 课时数 1 课时 教师 课题 直角三角形的性质和判定 知识与技 能 1. 理解并掌握“直角三角形两锐角互余”的性质及其几何符号语言。 2. 掌握直角三角形的判定定理：“有两个角互余的三角形是直角三角形”。 3. 能运用上述性质和判定进行简单的角度计算和推理论证。 过程与方 法 经历“观察特例—提出猜想—逻辑推理—应用拓展”的过程，体会从特殊到 一般的归纳思想，以及“性质”与“判定”互逆关系的辩证思维；通过变式 训练和分类讨论（如高线位置不确定），提升几何直观与逻辑推理能力。 教学 目标 情感态度 价值观 感受几何命题之间的内在联系与逻辑美，养成言必有据、严谨推理的学习习 惯，在解决问题的过程中获得成就感。 教材 分析 本节是人教版八年级上册“三角形”一章的重要内容。直角三角形的性质和判定既是 三角形内角和定理的直接推论，又是后续学习勾股定理、直角三角形全等判定及解直角三 角形的基础。教材通过问题链引导学生自主发现性质并用演绎推理加以证明，体现了“性 质与判定”的互逆结构，有助于学生形成完整的认知体系。 学情 分析 学生已经学习了三角形的内角和定理及三角形的分类，具备初步的几何说理能力。但 对于“性质”与“判定”的区别与联系容易混淆，且在遇到高线在三角形外部（钝角情 况）的分类讨论问题时，空间想象能力和严密性尚有欠缺。教学中应通过画图引导，突破 思维定势。 教学 重点 1. 直角三角形两锐角互余的性质及其应用； 2. 有两个角互余的三角形是直角三角形的判定及应用。 教学 难点 1. 含高线的复杂图形中角度关系的转化与分析； 2. 分类讨论思想在求角度时的规范应用 教学 器材 多媒体PPT 课件、三角板、量角器。 教学过程 教师活动 学生活动 导入新课 课前练习 ①一个三角形，三个内角度数比是2:5:3，则这个三角形的三个内角是_36°、_54°_、___ _____ ②在△ABC 中，∠A=4∠B，∠C 比∠A 大18°，则这个三角形的三个内角是__72°、_18°_、 90°_____。 【设计意图】从具体数值计算入手，让学生通过自己的计算结果自然发现规律，降低抽 象概念的门槛。 独立计算， 回答问题。 发现算出 的三角形 都含有 90°角，且 另外两个 锐角相加 都是90° 新知探究 1.引导学生观察计算结果回答问题 问1.这两个三角形是什么三角形？ 直角三角形 问2.这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 这两个直角三角形的两锐角互余 问3.任何直角三角形的两个锐角都互余吗？ 直角三角形两锐角互余 你能证明上面的结论吗？ 2. 引导学生结合PPT 图示，在Rt△ABC 中（∠C=90°），利用“三角形内角和等于 180°”写出严格的证明过程。 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中， ∠𝐶= 90°，求证：∠𝐴+ ∠𝐵= 90° 证明：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中， ∵ ∠𝐴 + ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°， ∠𝐶= 90°， ∴ ∠𝐴 + ∠𝐵= 90°. 3. 规范几何语言： ∵在Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 【设计意图】经历命题的证明过程，体会演绎推理的严谨性；通过即时练习内化性质， 培养符号意识 尝试口头 表述推理 思路，在 练习本上 书写规范 的证明过 程。同桌 互相批改 几何语 言。 新知应用 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是__ 30°______ 2. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶＝90°，∠𝐴＝3∠𝐵，则∠𝐴＝__ 67.5°_______． 3.如图𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷于点𝐶，若∠𝐵𝑂𝐷= 38°，则∠𝐴=__ 52°_____. 4.如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后得到一个四边形，则∠1 + ∠2的度数为___ 270°____. 5. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐸𝐹与𝐴𝐵，𝐶𝐷分别相交于点𝐸，𝐹，𝐸𝑃⊥𝐸𝐹，与∠𝐸𝐹𝐷的平分线𝐹𝑃 相交于点𝑃，且∠𝐵𝐸𝑃＝50°，则∠𝐸𝑃𝐹的度数为___ 70°_________ 6.如图,在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°,𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶边于点𝐸.若∠ 𝐴𝐵𝐸= 25°，则∠𝐷𝐴𝐶的度数为_ 40°____ 【设计意图】通过练习，巩固直角三角形的性质，利用性质解决问题 独立完成 基础练习 题，巩固 性质。 新知再探 1. 逆向设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互 余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. 结论：有两个角互余的三角形是直角三角形 2. 指导学生画出一般△ABC，假设∠A+∠B=90°，推导∠C 的度数并完成证明。 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，求证： △𝐴𝐵𝐶是直角三角形 证明：在△𝐴𝐵𝐶中， ∵ ∠𝐴 + ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°， ∠𝐴+ ∠𝐵= 90° ， ∴ ∠𝐶= 90°，即△𝐴𝐵𝐶是直角三角形 小组讨 论，尝试 写出逆命 题的证明 3. 师生共同归纳直角三角形的判定定理，强调其与性质的互逆关系。 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形． 几何语言： ∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形 【设计意图】渗透“正逆”互逆的数学思想，完善学生对直角三角形认知的结构化 针对训练 1．已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝45°＋𝛼，∠𝐵＝45°－𝛼，则△𝐴𝐵𝐶的形状是(B) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2.下列条件：①∠𝐴＋∠𝐵＝∠𝐶；②∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶＝1:2:3；③∠𝐴＝90°－∠𝐵；④3∠𝐴＝2∠𝐵 ＝∠𝐶.其中能确定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的条件有(C) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3.如图，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为𝐸，∠𝐴= ∠𝐶，△𝐴𝐵𝐷是直角三角形吗？为什么？ 解：△𝐴𝐵𝐷是直角三角形.理由如下： ∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐶𝐸𝐷= 90°， ∴∠𝐶+ ∠𝐷= 90°， ∵∠𝐴= ∠𝐶， ∴∠𝐴+ ∠𝐷= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形. 【设计意图】通过练习，巩固直角三角形的判定，利用判定解决问题 典例分析 例1.已知点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的延长线上一点，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，交𝐴𝐶于点𝐸，∠𝐴＝35 °，∠𝐷＝40°，求∠𝐴𝐶𝐷的度数． 解：∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐹𝐷＝90°. 在△𝐴𝐸𝐹与△𝐷𝐸𝐶中， ∵∠𝐴＋∠𝐴𝐸𝐹＋∠𝐴𝐹𝐸＝180°， ∠𝐷＋∠𝐷𝐸𝐶＋∠𝐸𝐶𝐷＝180°， ∠𝐴𝐸𝐹＝∠𝐷𝐸𝐶 ， ∴∠𝐴＋∠𝐴𝐹𝐸＝∠𝐷＋∠𝐸𝐶𝐷. ∴∠𝐴𝐶𝐷＝90°＋35°－40°＝85°. 例2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，分别交 𝐶𝐷，𝐴𝐶于点𝐹，𝐸． （1）若∠𝐶𝐸𝐹= 62°，求∠𝐴的度数； （2）证明：∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹． 解（1）：∵∠𝐶𝐸𝐹= 62°，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴∠𝐶𝐵𝐸= 28°. ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶𝐵𝐸= 2 × 28° = 56°. ∴∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐵𝐶= 34°． 证明（2）：如图：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90° ， ∴∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐵𝐸= 90°， ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐷𝐹𝐵= 90°. 又∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐷𝐹𝐵， ∵∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸， ∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹． 【设计意图】通过典型例题暴露学生找角关系的困难，帮助学生突破学习的重点 跟随老师 思路，在 复杂图形 中分离基 本图形 （直角三 角形）。 变式训练 1.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶＝30°，∠𝐶𝐴𝐷＝20°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数 解：如图1，当△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形时 ∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐶= 90°−∠𝐶𝐴𝐷= 90°−20° = 70°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶= 180°−30°−70° = 80°； 如图2，当△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形时， ∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°−∠𝐴𝐵𝐶= 90°−30° = 60°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 60°−20° = 40°； 综上，∠𝐵𝐴𝐶的度数是40°或80°． 2.问题情景：如图1，将一块直角三角板𝑃𝑀𝑁放置在△𝐴𝐵𝐶上(点𝑃在△𝐴𝐵𝐶内部)，使 三角板𝑃𝑀𝑁的两条直角边𝑃𝑀，𝑃𝑁恰好分别经过点𝐵和点𝐶.试问∠𝐴𝐵𝑃与∠𝐴𝐶𝑃是否存在 某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若∠𝐴＝ 50°，则∠𝐴𝐵𝐶＋∠𝐴𝐶𝐵＝_ 130°___． 又∵∠𝑃𝐵𝐶＋∠𝑃𝐶𝐵＝__ 90°__， ∴∠𝐴𝐵𝑃＋∠𝐴𝐶𝑃＝_ 40°___． (2)类比探究：请探究∠𝐴𝐵𝑃＋∠𝐴𝐶𝑃与∠𝐴的数量关系，并说明理由． 动手画 图，体会 当∠B 为 锐角时， 高AD 可能 在三角形 外部，得 出40°或 80°两个 答案。 解：(2)∠𝐴𝐵𝑃＋∠𝐴𝐶𝑃＝90°－∠𝐴. 理由：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＋∠𝐴𝐵𝐶＋∠𝐴𝐶𝐵＝ 180°， ∴∠𝐴＋(∠𝐴𝐵𝑃＋∠𝑃𝐵𝐶)＋(∠𝐴𝐶𝑃＋∠𝑃𝐶𝐵)＝180°. 在△𝑃𝐵𝐶中，∠𝑃＋∠𝑃𝐵𝐶＋∠𝑃𝐶𝐵＝180°，∠𝑃＝90°， ∴∠𝑃𝐵𝐶＋∠𝑃𝐶𝐵＝ 90°. ∴∠𝐴＋(∠𝐴𝐵𝑃＋∠𝐴𝐶𝑃)＋ 90°＝180°. ∴∠𝐴𝐵𝑃＋∠𝐴𝐶𝑃＝90°－∠𝐴. (3)类比延伸：如图2，改变直角三角板𝑃𝑀𝑁的位置，使点𝑃在△𝐴𝐵𝐶外部，直角三角 板𝑃𝑀𝑁的两条直角边𝑃𝑀，𝑃𝑁仍然分别经过点𝐵和点𝐶，求∠𝐴𝐵𝑃，∠𝐴𝐶𝑃，∠𝐴的关系， 并说明理由． 解：结论：∠𝐴𝐶𝑃−∠𝐴𝐵𝑃= 90°−∠𝐴， 理由是：设𝐴𝐵交𝑃𝐶于𝑂，如图2: ∵∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝑃𝑂𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝑂+ ∠𝐴= ∠𝑃+ ∠𝑃𝐵𝑂， 即∠𝐴𝐶𝑃+ ∠𝐴= 90° +∠𝐴𝐵𝑃， ∴∠𝐴𝐶𝑃−∠𝐴𝐵𝑃= 90°−∠𝐴. 【设计意图】通过分类讨论打破思维定势，突破难点 课 堂 练 习 1.如图，把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝12°， 那么∠2的度数是__ 18°___ 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵＝90°，将三角形纸片𝐴𝐵𝐶沿𝐶𝐷折叠，使点𝐵恰好落在𝐴𝐶边上 的点𝐸处．若∠𝐴＝25°，则∠𝐸𝐷𝐶＝__ 70°____． 3.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵＝90°，𝐶𝐷是高．若∠𝐵−∠𝐴＝10°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数是 50 ° ． 4.如图，把一张𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，若∠1 = 70°，∠𝐶= 90°，则∠2的度数为_ 50° __． 5.将一副直角三角板如图放置，已知∠𝐸＝60°，∠𝐶＝45°，𝐸𝐹//𝐵𝐶，则∠𝐵𝑁𝐷＝_ 105° ___． 6.如图，𝐴𝐵//𝐷𝐸，𝐸𝐷垂直于𝐵𝐷，垂足是𝐷，且∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸．求证：△𝐴𝐶𝐸是直角三角 形． 证明：∵𝐸𝐷⊥𝐵𝐷，∴∠𝐶𝐷𝐸= 90°， ∴∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°． ∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°． ∵𝐴𝐵//𝐷𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶= 180°， ∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐶= 90°， ∴△𝐴𝐶𝐸是直角三角形． 7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，𝐵𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，若∠𝐶= 70°， ∠𝐴𝐵𝐹= 30°，求∠𝐴𝐷𝐶的度数． 解：∵𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐹𝐶= 90°． ∵∠𝐶= 70°，∴∠𝐶𝐵𝐹= 90°−70° = 20°． ∵∠𝐴𝐵𝐹= 30°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐶𝐵𝐹= 50°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶= 180°−50°−70° = 60°． ∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∴∠𝐶𝐴𝐷= 1 2∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 × 60° = 30°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶= 180°−30°−70° = 80°． 板 书 设 计 13.3.1.2 直角三角形的性质和判定 一、性质： 二、判定： 直角三角形两锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： 几何语言： ∵ Rt△ABC 中，∠C=90° ∵ ∠A+∠B=90° ∴ ∠A+∠B=90° ∴ △ABC 是直角三角形 三、例1 例2 课 堂 小 结 13.3.1.2 直角三角形的性质和判定 作 业 1.教材P14 练习1,2；P16 练习4 2.配套同步分层作业
