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13.3.1 等腰三角形
等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合
一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
题型1：等腰三角形与角度问题
1.1．若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110° B．70° C．35° D．55°
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵ 等腰三角形的一个外角是 70° ，
∴ 与这个外角相邻的内角的度数为 180°-70°=110° ，
1
∴ 这个等腰三角形的顶角的度数为 110° ，底角的度数为 ×(180°-110°)=35°
2
，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，
由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性
质求出它的底角的度数即可.
【变式1-1】如图，B在AC上，D在CE上， AD=BD=BC ， ∠ACE=25° ，
∠ADE 的度数为（ ）A．50° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵BD=BC ， ∠ACE=25° ，
∴∠BDC=∠C=25° ，
∴∠ABD=50° ，
∵AD=BD ，
∴∠A=∠ABD=50° ，
∴∠ADE=∠A+∠C=75° .
故答案为：C.
【分析】由等边对等角得∠BDC=∠C=25°，利用三角形外角的性质求出
∠ABD=50°，由等边对等角得∠A=∠ABD=50°，根据三角形外角的性质求出
∠ADE=∠A+∠C=75°.
【变式1-2】等腰三角形的一个内角是 70° ，则它底角的度数是（ ）
A．70° B．70° 或 40°
C．70° 或 55° D．55°
【答案】C
1
【解析】【解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 (180°-70°)=55° ，
2
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和
定理求出其底角的度数，即可求解.
题型2：等腰三角形与周长问题
2.两边长为4和8的等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．16
或18
【答案】B
【解析】【解答】解：当腰长为4时，4+4＝8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8时，符合三边关系，其周长为8+8+4＝20
故该等腰三角形的周长为20.
故答案为：B.
【分析】分腰长为4、腰长为8，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定
出三角形的三边长，进而可得周长.
【变式2-1】如图，在 △ABC中，AD平分∠BAC， DE//AC ，AB=7cm，BD=3cm，则 △BDE的周长为（ ）
A．13cm B．10cm C．4cm D．7cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAB=∠DAC
∵DE//AC
∴∠EAD=∠DAC
∴∠EAD=∠DAB
∴EA=ED
∴BE+ED=BE+EA=AB
∵AB=7cm，BD=3cm
∴△BDE的周长 =BD+ED+BE=BD+AB=10cm
故答案为：B．
【分析】由角平分线的定义可得∠DAB=∠DAC，∠EAD=∠DAC，由平行线的
性质可得∠EAD=∠DAC，从而得出∠EAD=∠DAB，利用等角对等边可得
EA=ED，根据△BDE的周长 =BD+ED+BE=BD+AB，从而得出结论.
【变式2-2】等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（ ）
A．20 B．22 C．20或22 D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：①当6是腰长时，三边分别为6、6、8时，能组成三角形，
周长＝6+6+8＝20，
②当6是底边时，三边分别为6、8、8，能组成三角形，
周长＝6+8+8＝22，
综上所述，等腰三角形的周长为20或22.
故答案为：C.
【分析】分6为腰长、6为底边，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系判断
是否能构成三角形，进而求出周长.
题型3：等腰三角形与多选项问题3.等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，
②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是角平分线，
根据“三线合一”可得AD⊥BC，BD=DC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
结论正确是①②③④共4个.
故答案为：A.
【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD=DC，∠B=∠C，由角平分线的概念得
∠BAD=∠CAD，据此判断.
【变式3-1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，
连接DE.下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
① BD⊥AC； ②BD平分∠ABC； ③BD=DE； ④∠BDE=120°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解： ①② ∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴BD⊥AC，BD平
分∠ABC，正确；
1
③由（1）知BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE=
2
∠ACB=30°，∴∠DBC=∠E，∴DB=DE，正确；∠BDE=180°-∠DBC-∠E=180°-
30°×2=120°，正确；
综上，正确的有4项，
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，结合BD是中线，对 ①②作出判断；根据等边三角
形的性质，结合CD=CE，即可求出∠E的度数，对③ 作出判断；最后根据三角形内
角和的性质求出∠BDC即可对 ④ 作判断.【变式3-2】如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB
于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD=CE.( )
A．③④ B．①②③ C．①② D．
②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BF是∠ABC的平分线，∴∠CBF=∠DBF，∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∴∠DBF=∠DFB，
∴△BDF为等腰三角形，同理△CEF是等腰三角形，故 ①正确 ；由 ①得
BD=DF，EC=EF，∴DE=DF+EF=BD+CE，故② 正确；△ADE的周长
=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC，故 ③ 正确；根据题意无法推出
BD=CE，故④ 错误.
综上，正确的是 ①②③ .
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义，结合平行线的性质推出∠DBF=∠DFB，则可证明
△BDF为等腰三角形，同理△CEF是等腰三角形，则可判断①；利用①的结果，根
据等腰三角形，结合线段间的和差关系即可判断 ②；利用②的结果，则可推出 ③
正确；根据题意，无法确定 BD=CE.
题型4：等腰三角形与三线合一问题
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BE⊥AC于E．求证：
∠BAC=2∠EBC．
【答案】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，
∵D是BC的中点，
∴AD为BC的中线，
由“三线合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，
设AD与BE交于F点，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，
∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，
∴∠BAC=2∠EBC．
【解析】【分析】 利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，
∠BAD=∠CAD，即得∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，设AD与BE交于F点， 由垂
直的定义可得 ∠AEB=∠ADB=90°， 利用三角形外角的性质可得
∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，即得∠DBE=∠DAE，即得∠BAC=2∠EBC．
【变式4-1】如图，在 △ABC 中， AB=AC ，AD是BC边上的中线， AE⊥BE
1
于点E，且 BE= BC ．求证：AB平分 ∠EAD ．
2
【答案】解：∵AB=AC ，AD是BC边上的中线，
1
∴AD⊥BC ， BD= BC ．
2
1
∵BE= BC ，
2∴BE=BD ．
∵AE⊥BE ，
∴∠E=∠ADB=90°，
又∵AB=AB，
∴Rt△AEB≌ADB（HL）
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分 ∠EAD ．
【解析】【分析】利用“HL”证明 Rt△AEB≌ADB ，再利用全等三角形的性质即可得
到 ∠EAB=∠DAB， 即可证出 AB平分 ∠EAD
【变式4-2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D， E是AB
上一点，满足BE＝CD，求∠ADE的度数．
【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=80°
∴∠B=∠C=50°
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠ADB=90°，BD=CD
∵BE=CD
∴BE=BD
∴∠BDE=∠BED=65°
∴∠ADE=∠ADB —∠BDE=90°— 65°= 25°
【解析】【分析】根据AB=AC,得到△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，得到
∠ADB=90°，∠B=∠C=50°，BD=DC=BE，所以△BDE是等腰三角形，
∠BDE=∠BED=65°，∠ADE=∠ADB —∠BDE得到答案.
题型5：等腰三角形与个数问题
5.如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的
格点，则符合条件的三角形点D有（ ）A．4个 B．6个 C．9个 D．10
个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平
分线上，则这样的D点有5个，
当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，
故符合条件的点D有9个，
故答案为：C．
【分析】当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D
点有5个，当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，由此得出答
案。
【变式5-1】如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直线
BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，当AP =AP =AB时，△ABP为等腰三角形，
1 2
当BP =BP =AB时，△ABP为等腰三角形，
3 4
当BP =AB时，而∠BAC=60°，
2
所以△ABP 是等边三角形，
2
当AP =BP 时，△ABP为等腰三角形，
5 5
符合条件的点P有5个，
故答案为：B
【分析】分三种情况：AP=AB，BP=AB或BP=AP，据此分别求解即可.
【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所
在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使
△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M，M，交BC有一点M，
1 2 3
（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M，M，交AC有一点M（此
5 4 6
时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M（MA＝MB），交直线BC于点M；
7 8
∴符合条件的点有8个．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
题型6：等腰三角形与判定问题
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC.
（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由.
（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若ΔADE的周
长为20，BC=8.求ΔABC的周长.
【答案】（1）解： △ADE是等腰三角形 ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴ △ADE是等腰三角形 ；
（2）解：∵DE∥BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，.
∴∠MBC=∠DMB=∠DBM，∠MCB=∠MCE=∠EMC..
∴BD=DM，ME=CE..
∵△ADE的周长=AD+AE+DM+ME=20，.
∴AD+AE+BD+CE=20..
∴△ABC的周长=（AD+AE+BD+CE）+BC=20+8=28.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，根据二直线平行，同
位角相等得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，故∠ADE=∠AED，据此即可得出结
论；
（2）由平行线的性质和角平分线定义易得∠MBC=∠DMB=∠DBM，
∠MCB=∠MCE=∠EMC，由等角对等边可得BD=DM，ME=CE，于是△ABC的周长
=（AD+AE+BD+CE）+BC可求解.
【变式6-1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
180°-∠A
∴∠B=∠ACB= =72°，
2
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，∴AB=a-b，
∵AB=AC，
∴AC=a-b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线求出 AD=DC， 再求出 CB=CD， 最后证
明即可；
（2）先求出 AB=a-b， 再求出 AC=a-b， 最后求周长即可。
【变式6-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，
且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
{
BE=CF
∠ABC=∠ACB ，
BD=CE
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
1
∴∠B= （180°-40°）=70°，
2
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明
△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出
∠B的度数，由此得出答案。
一、单选题
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
【答案】D
【解析】【解答】解：对称轴是一条直线，本题中A、B、C选项都是指线段．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质进行求解，注意图形的对称轴是直线，而不是线段．
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点
F，则图中共有等腰三角形( )
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【解析】【解答】图中的等腰三角形有△ABC、△BCE、△CDB、△BFC、△BFD、
△CEF、△AEB、△ADC，
故答案为：A.
【分析】根据题目条件，求出∠ABC和∠ACB以及∠BEC的度数，按照从小到大的顺
序计算等腰三角形的个数即可。
3．等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）A．40° B．100° C．70° D．40°或
70°
【答案】D
【解析】【解答】首先要讨论140°的角是顶角的外角还是底角的外角，再利用等腰三
角形的性质和三角形内角和定理求出底角．
当等腰三角形的顶角的外角为140°，则顶角等于40°，所以底角等于70°；
当等腰三角形的底角的外角为140°，则底角等于40°．
故答案为：D.
【分析】因为等腰三角形的一个外角既可以是顶角的外角，也可以是底角的外角，所
以分两种情况讨论：
（1）当等腰三角形的顶角的外角为140°时，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理可得顶角等于40°，所以底角等于70°；
（2）当等腰三角形的底角的外角为140°时，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理可得底角等于40°。
4．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BF＝CD，若∠A＝50°，则∠EDF的度数
是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】∵AB=AC，∠A=50°，
1
∴∠B=∠C= （180°﹣∠A）=65°．
2
{
BD=CE
在△BDF和△CED中， ∠B=∠C ，
BF=CD
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠CDE=∠BFD．
∵∠BDF+∠BFD+∠B=180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE=180°，
∴∠EDF=∠B=65°．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C及∠B的度数，结合BD=CE、
BF=CD，即可证出△BDF≌△CED（SAS），由全等三角形的性质可得出∠CDE=∠BFD，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF=∠B，此
题得解．
5．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．16cm B．12cm C．20cm D．16cm
或20cm
【答案】C
【解析】【分析】∵等腰三角形有两边分别分别是4cm和8cm，∴此题有两种情况：
【解答】①若4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20cm，
②若8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去。
∴该等腰三角形的周长为20cm，故选C.
【点评】本题解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边
长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
6．如图，在 △ ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作
DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
【答案】B
【解析】【解答】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵DF∥AB，
∴∠ EDC＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用平行线的性质得到∠ EDC＝
∠B，利用三角形的外角性质即可求解．
二、填空题
7．等腰三角形有一个角为70°，则底角的度数为 .
【答案】70°或55°
【解析】【解答】解：根据题意,一个等腰三角形的一个角等于70°，
①当这个角是底角时,即该等腰三角形的底角的度数是70°，
②当这个角是顶角时，设该等腰三角形的底角是x，则2x+70°=180°，
解得x=55°,即该等腰三角形的底角的度数是55°.
故答案为：70°或55°.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，分①当这个角是底角时，②当这个角是顶角
时两种情况考虑即可解决问题.
8．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
【答案】35
【解析】【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【分析】用分类讨论的思想①14cm为腰，7cm为底，②14cm为底，7cm为腰，再根
据三角形三边之间的关系判断即可。
9．等腰三角形一边的长是5，另一边的长是10，则它的周长是 .
【答案】25
【解析】【解答】解：若腰为5，则5+5＝10，不满足三角形三边关系，舍去；
若腰为10，则它的周长＝10+10+5＝25.
故答案为25.
【分析】分情况讨论：腰为5时；腰为10时，分别利用三角形的三边关系定理，可确
定出此三角形的腰长和底边，然后可求出此三角形的周长.
三、作图题
10．如图，已知：AB∥CD．
（1）在图中，用尺规作∠ACD 的平分线交 AB 于 E 点；
（2）判断△ACE 的形状，并证明.
【答案】（1）解：如图即为所求。
（2）解：△ACE是等腰三角形.证明: ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD ，
∵AB ∥ CD∴∠ECD=∠AEC，
∴∠ACE=∠AEC, △ACE是等腰三角形
【解析】【分析】（1）利用尺规作图法，作∠ACD 的平分线交 AB于E点 。
（2）利用角平分线的定义，可证∠ACE=∠ECD，再根据平行线的性质，可得到
∠ECD=∠AEC，从而可证得∠ACE=∠AEC，继而可证得结论。
四、解答题
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度
数．
【答案】解：∵AB=AC，∠A=40°，
180-∠A
∴∠ABC=∠C= =70°，
2
∵BD是∠ABC的平分线，
1
∴∠DBC= ∠ABC=35°，
2
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．
【解析】【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的
度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根
据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．
12．如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E．求证：
DE=DF．
【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，
∵BD=DC，
∴△BDF≌△CDE，
∴DE=DF．
【解析】【分析】要证DE=DF，只需证△BDF≌△CDE，已知AB=AC，可得∠B=∠C，
又已知BD=DC，∠BFD=∠CED=90°，则两三角形全等可证．
五、综合题
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表
示）．
【答案】（1）解： ∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ．
∵MN//BC ．
∴∠AMN=∠ABC ， ∠ANM=∠ACB ，
∴∠AMN=∠ANM ，
∴AM=AN ，
∴ΔAMN 是等腰三角形；
（2）解：①证明： ∵BP 平分 ∠ABC ，
∴∠PBC=∠PBM ，
∵MN//BC ，
∴∠MPB=∠PBC ，
∴∠MBP=∠MPB ，
∴ △BPM是等腰三角形；
②∵CP 平分 ∠ACB ，
∴∠PCB=∠PCN ，
∵MN//BC ，∴∠NPC=∠PCB ，
∴∠NCP=∠NPC ，
∴NP=NC ，
同理可得： MP=MB ，
∴ △AMN的周长 =AM+MP+NP+AN ，
=AM+MB+NC+AN ，
=AB+AC ，
又 ∵ △ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b）
∴AB+AC=a-b ，
∴ △AMN的周长 =a-b ．
【解析】【分析】（1）由 MN//BC ，可知 ∠AMN=∠ABC ，
∠ANM=∠ACB ，进而证得△AMN是等腰三角形；（2）①由于 MN//BC ，
BP 平分 ∠ABC ， CP 平分 ∠ACB ，易证 BM=MP ，②同理可得 NC=NP ，
进而得到△AMN的周长 =AB+AC 即可．
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，
连结EC．
（1）求∠ECD的度数.
（2）若CE=12，求BC的长.
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36°
（2）解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°，∵∠ECD=36°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECD=36°，
∠BEC=72°=∠B，
∴BC=EC=12
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质可得 CE=AE，利用等边对等角即可求出
∠ECD=∠A=36°。（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得
∠BEC=72°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠B=72° ，由等角对等
边可得 BC=EC=12。
