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第十三章 三角形
一、三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类：
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(二、三角形中三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
三、三角形的高线、中线、角平分线
三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；
四、三角形的内角和定理
（1）定理：三角形三个 内角和等于 18 0 度；
（2）直角三角形的两个锐角互余.
五、三角形的外角定义和定理
（1）外角定义：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个）
（2）外角定理：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；三角形外角 和为 36 0 度.
易错点1 画三角形的高线易错问题
1.易错点总结： 钝角三角形高线位置混淆：易误将钝角两边的高线画在三角形内部，实际应向边的延长
线作垂线，垂足在外部。高线与中线、角平分线混淆：常把高线画成连接顶点与对边中点（中线）或平分
内角的线（角平分线），忽略“垂直”核心特征。
2.注意事项：明确高线定义：必须满足“过顶点”且“垂直于对边（或其延长线）”，用直角符号标注垂
足。 区分三角形类型：锐角三角形高线全在内部，直角三角形两条直角边互为高线，钝角三角形钝角两
边高线在外部。
1．如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解： ．作出的是 中 边上的高线，故该选项不符合题意；
．不能作出 的高线，故该选项不符合题意；
．不能作出 的高，故该选项不符合题意；
．作出的是 中 边上的高线，故该选项符合题意．
故选：D．
易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题
1.易错点总结： 折叠方向遗漏：忽略折叠可能向三角形内部或外部进行，只算单种情况导致漏解。角度
关系误判：折叠后对应角相等的性质应用错误，混淆重叠部分与原角的关系。
2.注意事项：分类讨论折叠方式：明确折叠边、折叠方向，画出不同示意图分析角度。紧扣等量关系：利
用折叠前后对应角相等，结合三角形内角和180°，列等式时标注重叠角。
2．如图，在 中， ，将纸片折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕与边
、 分别交于点 、 ．若 是直角三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握
翻折的性质．
分类讨论，当 时和当 时，分别利用翻折的性质即可求解．
【详解】解：当 时，则 ，
根据翻折的性质得， ；
当 时， ，
，
根据翻折的性质得， ；
故答案为： 或 ．易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题
1.易错点总结：内外角平分线混淆：误将外角平分线当作内角平分线计算，导致角度关系错误。角平分线
分角错误：忽略角平分线将角平分为相等两部分的性质，错用比例关系。
2.注意事项： 明确角平分线类型：区分内角与外角平分线，结合图形标注角的位置。利用等量关系计算：
紧扣“角平分线分角相等”，结合三角形内外角关系（外角=不相邻两内角和）推导。
3．如图①，在 中， 平分 ，且与 的外角 的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，则 ．
【猜想证明】
（3）当 和 在变化，而 始终保持不变，则 是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？
（用含有 的式子表示 ）
【拓展提高】
（4）若把 截去，得到四边形 ，如图②，猜想 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不变化，理由见解析，结论
（4） ，理由见解析
【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是
以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；（3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到 ；
（4）延长 交于点A，将问题转化为（3）即可．
【详解】解：（1）∵ ， 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
，
（3）不变化，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴
即
（4） ，理由如下：
如图，延长 交于点A，
则
∴ ，
由（3）可得 ，
∴ ．
一、单选题1．在 中，画出边 上的高，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高的定义， 边上的高是过点B向 作垂线，垂足为E，据此可得答案．
【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边 上的高，
故选：C．
2．如图， 中， ，将 沿 折叠，使得点B落在 边上的点F处，若
且 中有两个内角相等，则 的度数为（ ）
A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
【答案】B
【分析】分三种情形：①当AE=AF时，②当AF=EF时，③当AE=EF时，分别求解即可．
【详解】解：①当AE=AF时，则∠AFE=∠AEF= （180°-∠A），
∵∠B=∠EFD=90°-∠A，∠CFD=60°，
∴∠AFD=120°，
∴ （180°-∠A）+90°-∠A=120°，
∴∠A=40°．
②当AF=EF时，∠AFE=180°-2∠A，
同法可得180°-2∠A+90°-∠A=120°，
∴∠A=50°．
③当AE=EF时，点F与C重合，不符合题意．
综上所述，∠A=40°或50°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．如图， 于点O，点E，F分别是射线 上的动点（不与点O重合），延长 至点G，
的角平分线及其反向延长线分别交 的角平分线于点M，N．若 中有一个角是
另一个角的4倍，则 为（ ）．
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．先根据角平分线和平角的定义可得：
，分4种情况讨论，①当 时，②当 时，③当 时，④当
时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论．
【详解】解： 平分 平分 ，
，
，
；
①当 时
，
平分 ，
，
，
，
；
②当 时，
，
，此种情况不成立；
③当 时，
设 ，
，
，
，
，
；
④当 时，
设 ，
，
，
此种情况不成立；
综上所述， 的度数为 或 ；
故选：A．
二、填空题
4．如图， 的边 上的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的高，从顶点 作 的垂线段即为 边上的高，掌握三角形的高的定义是解
题的关键．
【详解】解：边 上的高是 ，
故答案为： ．
5．如图，已知在 中， ， ， 是角平分线，点 、 分别在边 上，
．将 绕点 以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为 ．当
秒时有 ．【答案】33或69
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
分两种情况讨论，先求出旋转角，即可求 的值．
【详解】延长 交 于点 ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ 是角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当旋转角 时，
同理可求： ，
综上所述： 的值为33或69，故答案为：33或69．
6．在 中， ，点 ， 分别是 ， 边两个动点．将 沿 折叠得到 ，
点 的对应点为点 ， 的平分线交直线 于点 ．若边 与 的一条边平行， ，则
的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三
种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
①如下图：
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
②如下图：∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
③如下图：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
7．如图（1）已知 的外角 与 的平分线相交于点P，如图（2）已知 的内角
与外角 的角平分线相交于点P．选择其中一个图形猜想 与 的关系并证明你的猜想．
解：我选择的是_________，猜想结论：_________．
证明：
【答案】图（1），结论： 或图（2），结论： ．证明见解析．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角的性质．熟练掌握角平分线的
定义和三角形的外角的性质是解题的关键．
（1）图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得
；
（2）图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到 ．
【详解】解：图（1），结论： ．
证明如下：
， ，
．
， 分别是 外角 ， 的角平分线，
．
即： ；
图（2），结论： ．
证明如下：
， 分别是 的内角 与外角 的角平分线，， ．
是 的外角，
．
，
．
故答案为：图（1），结论： 或图（2），结论： ．
8．已知 中， ， 是边 上一点（不与点 ，点 重合）．
(1)如图1，若 是 的高， 是 的角平分线．求证， ；
(2)如图2，若 ， ， 与 的平分线相交于点 ．
①依题意补全图形；
②试用等式表示 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)详见解析
(2)①图见解析；② ，证明见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握它们的性质是解
题的关键；
（1）先根据同角的余角相等证得 ，再根据角平分线的定义得出 ，根据三角形
外角的性质得出 ，根据角的和差关系得出 ，问题即可得解；
（2）①根据题意画出图形即可；
②设 ， ，分别求出 、 、 的度数，然后根据三角形内角和定理分
别求出 、 的度数，问题即可得解．
【详解】（1）证明： 是 的高，．
．
，
．
．
是 的角平分线，
．
是 的外角，
．
，
（2）解：①补图如图示
②答： ．
证明：设 ， ．
平分 ，
．
，
．
．
．
平分 ，
．
在 中，．
在 中，
．
．
．
即 ．
9．探究一：
（1）如图1，在 中， ， ， 分别是两个内角 ， 的角平分线，则
_______度；
（2）如图2，在 中， ， ， 分别是两个外角 ， 的角平分线，则
________度．
探究二：
（3）如图3，在 中， 是三角形内角 的角平分线， 是外角 的角平分线，请说明和 之间的数量关系?并证明你的结论．
（4）如图 ，在四边形 中， 是内角 的角平分线， 是外角 的角平分线，请直接
写出 与 ， 之间的数量关系．（不用说明理由）
【答案】探究一：（1） ；（2） ；探究二：（3） ，证明见解析；（4）
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，
补角的定义，三角形的内角和定理等，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而
利用三角形内角和定理求解；
探究一:
(1 )根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得答案；
(2)根据角平分线的定义、平角定义以及三角形内角和定理即可求得答案；
探究二：
（3）根据在 中， 是三角形内角 的角平分线， 是外角 的角平分线，推出
， ，根据三角形外角性质求解即可；
（4）根据四边形的内角和定理表示出 ，再表示出 ，然后根据角平分线的定义可得
， ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得:
，然后整理即可得解；
【详解】解：探究一：（1） 在 中， ，，
， 分别是两个内角 ， 的角平分线，
， ，
；
（2） 在 中， ，
，
，
， 分别是两个外角 ， 的角平分线，
，
，
；
探究二：
（3） ，证明如下：
在 中， 是三角形内角 的角平分线， 是外角 的角平分线，
， ，
，
，
，
，
（4）由四边形内角和定理得 ，
，
由三角形的外角性质得： ，
是内角 的角平分线， 是外角 的角平分线，
， ，10．如图1， 、 的角平分线 、 相交于点 ，
(1)如果 ，那么 的度数是多少，试说明理由并完成填空；
(2)如图2， ，如果 、 的角平分线 、 相交于点 ，请直接写出 度数；
(3)如图2，重复上述过程， 、 的角平分线 、 相交于点 得到 ，设 ，
请用 表示 的度数（直接写出答案）
【答案】(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析
(2)16°
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义可知， ， ，根据三角形外角的性质可知
， ，可得 ；
（2）根据（1）的方法求解即可；
（3）由（1）（2）的规律可知， ．【详解】（1）解：结论： =32°；理由如下：
∵ 、 的角平分线 、 相交于点 ，
∴ ， （角平分线的定义）
∵ ， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴ ．
（2）解：∵ 、 的角平分线 、 相交于点 ，
∴ ， （角平分线的意义）
∵ ， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴
（3）
解：由（1）（2）可知，
，
，
，
…，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键．
