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分层作业
2.1 认识实数
目 录
A 组 巩固过关
题型01 认识无理数
题型02 无理数的估算
题型03 实数与数轴
题型04 实数的大小比较
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
认识无理数
一、单选题
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3
B．22
7
C．0.2
D．2
2．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．
1
7
−
B．3.1415926
C．3
D．
4
3．在
2
−
，0 ，3 ，16 ，π 中，无理数的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题
题型01
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4．若a 是无理数，且1
2
a
，则a 的值可以是________．（写出一个即可）
5．在0 ，6 ，3
7 ，
4 ，，3 8 中，无理数有________个．
三、解答题
6．在4 4
的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为2 5 的线段AB ；
(2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数．
无理数的估算
一、单选题
1．下列整数中与13 最接近的是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．如图，数轴上有A、B 、C 、D 四个点，则以下结论正确的是（ ）
A．点A表示的数可能是
2
−
B．点B 表示的数可能是π
3
C．点C 表示的数可能是5
D．点D 表示的数可能是7
3．已知
17
2
m =
−，则实数m 的范围是（ ）
A．0
1
m
B．1
2
m
C．2
3
m
D．3
4
m
二、填空题
4．已知
1
11
n
n
−
（n 为整数），则n 的值是__________．
题型02
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5．比较大小：
7
−
______ 3
−．
5
1
6
−______ 1
6 ．
三、解答题
6．比较下列各组中两个数的大小：
(1)
2
−
和
3
−
；
(2) 3 和3
2
−
；
(3) 15 和4
3 5 ；
(4)
7
−
和2.45
−
．
7．分别写出所有符合下列各条件的数．
(1)
5
−
和10 之间的整数．
(2)小于
47 的正整数．
(3)满足
2
3
x
−
的x 的整数值．
(4)大于2 且小于3 的一个无理数．
8．一个长方形的长是宽的3 倍，它的对角线长为440 米，求这个长方形的宽．（结果精确到0.1 米，并写
出估算过程）
实数与数轴
一、单选题
1．如图，数轴上点E 在点A右侧，点A表示的数为1
−，正方形ABCD的面积为5．若AD
AE
=
，则点E 表
示的数的相反数是（ ）
A．5
B．1
5
−
C．
5
−
D．1
5
−+
2．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1 cm
），刻度尺上的“1 cm
”和“6 cm ”分
别对应数轴上的数“ x ”和“ 7 ”，则x 表示的数为（ ）
题型03
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A．7
5
−
B．
7
5
+
C．5
2 7
−
D．2 7
5
−
3．如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A 作直线l
OA
⊥
，在l 上取点B，使
2
AB =
，以点O 为圆心，OB
为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C 表示的数是（ ）
A．13
B．
13
−
C．13
3
−
D．
13
3
-
-
二、填空题
4．如图，O为数轴原点，点A表示的数为3，过点A作数轴的垂线，在垂线上取点B ，使得
2
AB =
，以原
点O为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点C ，则点C 表示的数为________．
三、解答题
5．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请
阅读并完成下列问题：
(1)如图1，过数轴上表示2 的点A，作数轴的垂线，并截取长度为1的线段AB ，连接OB ，以点O为圆心，
以OB 为半径画弧，与数轴正半轴交于点C ，请直接
．．写出点C 表示的数．
(2)如图2 ，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示10 的点P ．（保留作图痕迹，不写作法）
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图中认识一下
无理数.
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(1)如图1，半径为1 个单位长度的圆从原点O 沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O 重
合）由原点到达点O，则OO的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O代表的实数就是______.
(2)如图2，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
2
AC =
，
1
BC = ，根据勾股定理可以求得AB =______.
(3)你能在5×6 的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），以格点为顶点画一个面积为5 的正方形吗？
如果能，请在图中表示出来.
(4)如图4，点A、B、C 是小正方形的顶点，求
ABC
的度数.
实数的大小比较
一、单选题
1．计算2
3
−
= （ ）
A．2
3
+
B．3
2
−
C．2
3
−
D．2
3
−−
2．在实数
3
−
，
2
3
−
，
3
−
，
3 8
−
，最小的是（ ）
A．
2
3
−
B．
3
−
C．
3
−
D．
3 8
−
二、填空题
3．7 的相反数是_________，2
5
−
的绝对值等于_________，比较大小：1
− _________
3
−
．
4．比较大小：
7
2
______ 3
2 ；
7
3
−
______ 1
−（填“”，“”或“ = ”）．
三、解答题
5．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若
0
a
b
−
，则a
b
；若
0
a
b
−
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
−
，
题型04
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则a
b
．
例：比较10 2
−
和2 的大小．
由“作差法”得10
2
2
10
4
−−
=
−
，因为9
10
16
，所以3
10
4
，所以10
4
0
−
，所以10
2
2
−
．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较5
1
−和1 的大小；
(2)比较17
1
+ 和7 的大小．
6．观察下列等式，并回答问题：
第1 个1
2
2 1
−
=
−；
第2 个
2
3
3
2
−
=
−
；
第3 个
3
4
4
3
−
=
−
；
第4 个
4
5
5
4
−
=
−
；
……
(1)化简：
35
6
−
= _____；这是第_____个等式．
(2)第n 个等式是_____．（用含n 的式子表示）
(3)比较
24
1
4
−与1 的大小．
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．无理数也能用数轴上的点表示
C．无理数与无理数的和可能是有理数
D．无理数都是无限小数
2．如图，数轴上有O A B C D
, , , ,
五点，则实数13
1
−表示的点会落在（ ）
A．点O和A之间
B．点A和B 之间
C．点B 和C 之间
D．点C 和D 之间
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3．数轴上表示数1 和3 的点分别为A 和B，若A 为BC 的中点，则点C 表示的数是（ ）
A．2 3 1
−
B．3
1
−
C．2
3
−
D．3
2
−
4．如图，数轴上点A表示的数是1，点B 表示的数是2
−，BC 与数轴垂直，且
1
BC = ，以点A为圆心，AC
的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点D ，则点D 表示的实数是（ ）
A．10
B．10
3
−
C．3
10
−
D．1
10
−
5．实数a，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a
b
B．
0
a
b
+
C．
2
2
a
b
+
+
D．
1
1
−
−
a
b
6．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB 为半径画弧，交网格线于点D ，则ED的长
为（ ）
A．
2
3
2
−
B．5
C．2
D．3
7．如图，有一边重合的两直角三角形放在数轴上，点A表示数1
1
AC
BC
BD
=
=
=
,
，以点A为圆心，AD为
半径画弧交数轴于点E ，则点E 表示的数是（ ）
A．3
B．
2
3
−
+
C．1
3
−+
D．1
3
+
8．如图，在Rt
OAB
△
中，
90
OAB
=
，
2
OA =
，
1
AB = ，OA在数轴上，在OB 上截取BC
BA
=
，以原点
O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P，则OP 的中点D 对应的实数是（ ）
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A．5
1
−
B．1
5
−
C．
5
1
2
−
D．1
5
2
−
二、填空题
9．将四个数
2
−
，
5 ，13 ，
23表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
10．在数轴上与表示15 的点距离最近的整数点所表示的数为__________．
11．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B
C
D
，，
是4 4
的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长
为半径画圆交数轴于点P
Q
，
．点P 表示的数记为m ，点Q 表示的数记为n ，则mn 的值为_____．
12．如图，
1
OP = ，过点P 作
1
PP
OP
⊥
，且
1
1
PP = ，得
1
2
OP =
；再过点
1P 作
1 2
1
PP
OP
⊥
且
1
2
1
PP = ，得
2
3
OP =
；
又过点
2P 作
2
3
2
P P
OP
⊥
且
2
3
1
P P = ，得
3
2
OP =
依此法继续作下去，得
2023
OP
= _____．
三、解答题
13．如图是三个4 5
的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段AB 的两个端点就是格点．
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(1)线段AB 的长度为________；
(2)请在图中找到所有满足条件的格点C ，连接BC ，使得
13
BC =
；
(3)在（2）的基础上，连接AC ，计算
ABC
S
的面积．
14．阅读下面的文字，解答问题
大家知道
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
2 的小数部分我们不可能全部地写出来，于
是小明用
2 1
−来表示
2 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
2 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部
分．
又例如：
4
7
9
，即 2
7
3
，
7
的整数部分为2 ，小数部分为 (
)
7
2
−
请解答：
(1) 57 的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果
11 的小数部分为a ，
7 的整数部分为b ，求
11
a
b
−
+
∣
∣
的值．
(3)已知： 9
5
x
y
−
=
+ ， 其中x 是整数，且0
1
y
，求x
y
−
的相反数．
15．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，
再依次连接其中四个顶点A，B ，C ，D （其中点D 与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后
以原点为圆心，以正方形ABCD的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点E ．
(1)正方形ABCD的面积是 ，点E 表示的数是 ；
(2)请在数轴上继续找出表示
2
−
的点F ；（保留作图痕迹）
(3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点G 表示的数为m ，且EF
EG
=
，求m 的值．
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一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F 对应的数分别为-2 和-1，
现将正六边形ABCDEF 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点E 所对应的数为0，连续
翻转2000 次后，数轴上1998 这个数所对应的点是（ ）
A．A 点
B．D 点
C．E 点
D．F 点
二、填空题
2．已知数轴上A，B 两点，且这两点间的距离为4 2 ，若点A在数轴上表示的数为3 2 ，则点B 表示的数
为______．
三、解答题
3．阅读材料，并解答问题：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
2
2
2
3
4
5
+
=
，斜边
5
AB =
，为了比较5
1
+ 与10 的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分
别进行了研究．
(1)小伍同学利用计算器得到了5
2.236
，10
3.162
．故5
1
+ ____ 10 ．（填“”“ ”或“= ” )
(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中
90
C
=
，
3
BC = ，点D在BC 上，且
1
BD
AC
=
= ．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较5
1
+ 和10 的
大小．
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4．阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a 的最大整数；用{a}表示a 减去[a]所得的差．
例如：[ 3 ]＝1，[2.2]＝2，{ 3 }＝3 ﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[ 7 ]＝ {5﹣7 }＝ ；
（2）若[
x ]＝1，写出所有满足题意的整数x 的值： ．
（3）已知y0是一个不大于280 的非负数，且满足{
0
y }＝0．我们规定：y1＝[
0
y ]，y2＝[
1y ]，y3＝[
2
y ]，…，
以此类推，直到yn 第一次等于1 时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝ ，n
＝ ．
5．阅读材料，完成任务．
材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1 所示将两个边长为1 的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的
拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数2 ；按照图2 和图3 所示的两种剪拼方法将一个边长为1 的正
方形和一个边长为2 的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m．
材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示
2
的点，关键是在数轴上构造线段
2
OA
OA
=
=
．如图4，正方形的边长为1 个单位长度，以原点O 为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上
分别交于点A，A，则点A 对应的数为2 ，点A对应的数为
2
−
．类似的，我们可以在数轴上找到表示
任意无理数的点．
材料3：如图5，改变图4 中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB 与OB，其中O
仍在原点，点B，B分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB 与OB的长得到点B，B所表示的无理数．按
照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点．
任务：
(1)材料1 中，无理数m 是________，画图确定表示m 的点M；
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(2)如图5，点B 表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)数轴上分别标出表示数-0.5 以及3
m
−+
的点，并比较它们的大小．
(4)若
3
a
m
= −+
，
2
b
m
=
−
，求代数式
0.5
2
a
b
+
−
−
的值，并在数轴上表示对应的点．
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