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2.5 直角三角形及其全等的判定
课标要点
1.理解直角三角形的定义与基本概念，掌握直角三角形的表示方法，明晰直角三角形的边
角基本特征，熟练掌握直角三角形按边、角的分类特点。
2.掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，能利用该性质进行角度计算、
角度推理与简单几何说理。
3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，能根据角度关系判
定三角形是否为直角三角形，厘清性质与判定的双向逻辑关系。
4.掌握直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练
掌握定理的几何语言表达，理解定理的推导过程与几何内涵。
5.掌握直角三角形全等的特殊判定定理——斜边、直角边（HL）定理，准确理解定理内
容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，明确HL 定理的专属适用条件。
6.能在复杂图形、折叠图形、几何变式题型中识别直角三角形模型，挖掘隐含的直角、互
余角、斜边中线等条件，规范几何推理过程。
学习重难点
重点：
1.掌握直角三角形两锐角互余的性质及对应的判定定理，熟练进行直角三角形角度计算与
三角形形状判定。
2.熟练掌握直角三角形斜边中线定理，能运用定理解决线段长度计算、线段相等证明、角
度推导等基础问题。
3.熟练区分直角三角形全等的通用判定方法与特殊HL 定理，能根据题干条件灵活选用最
优判定方法。
4.熟练运用直角三角形的性质与判定，结合已学几何知识，规范完成基础几何计算与证明
题型的解答。
难点：
1.精准区分直角三角形性质与判定的逻辑关系，理清“直角推锐角互余”和“锐角互余推
直角”的双向推理，避免定理混用。
2.在复杂图形、折叠、组合直角三角形模型中，挖掘隐含条件（公共斜边、公共直角边、
垂直、等角等），精准凑齐全等判定条件。
3.在复杂图形、折叠、动态几何题型中，快速识别直角三角形模型，挖掘隐藏的斜边中线、
第二章
特殊三角形
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30°角、互余角等关键条件。
4.综合运用多个直角三角形性质定理，结合等腰三角形、全等三角形知识完成多步递进推
理，构建完整、严谨的几何逻辑链。
5.灵活运用特殊直角三角形的边角关系解决几何综合题型，掌握线段倍分关系的转化方
法，突破几何线段推导难点。
知识点
直角三角形的性质（重点）
1.直角三角形的定义：有一个角时直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形用符号“Rt△”
2.直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余。
2.直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
随学随练
1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐸在𝐶𝐴的延长线上，𝐸𝑃⊥𝐵𝐶于点
𝑃，𝐸𝑃交𝐴𝐵于点𝐹，若𝐴𝐵= 5，𝐴𝐸= 2，则𝐵𝐹的长为（ ）
易错提醒
1）斜边上的中线性质仅限斜边中线，两条直角边的中线无此性质；
2）两锐角互余不能用于非直角三角形。
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用𝐴𝐵= 𝐴𝐶得到∠𝐵= ∠𝐶，然后结合𝐸𝑃⊥𝐵𝐶得到∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝑃，等量代换得到∠𝐸= ∠𝐴𝐹𝐸，求
出𝐴𝐹= 𝐴𝐸= 2，进而求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶，
∵𝐸𝑃⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶+ ∠𝐸= 90°，∠𝐵+ ∠𝐵𝐹𝑃= 90°，
∴∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝑃，
又∵∠𝐵𝐹𝑃= ∠𝐴𝐹𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐹𝐸，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸= 2，
∴𝐵𝐹= 𝐴𝐵−𝐴𝐹= 5 −2 = 3．
2．（25-26 八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷，𝐸分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐶的中
点，连接𝐴𝐷，𝐷𝐸．求证：∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷．
【答案】
证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶是直角三角形．
又∵点𝐸是边𝐴𝐶的中点，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷．
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【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质．先利用等腰三角形三线合一的性质得
出△𝐴𝐷𝐶是直角三角形，然后通过𝐷𝐸是直角三角形斜边中线得到∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷．
【详解】略
知识点
直角三角形的判定（重点）
1.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
【补充说明】
1) 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理后都可以化成𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的形式，所
以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断.
2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数
时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况：
①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变；
②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数.
3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程.
随学随练
1．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴+ ∠𝐵= 90°
C．∠𝐴∶∠𝐵∶∠𝐶= 1 ∶2 ∶3
D．∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶
【答案】D
【分析】本题利用三角形内角和为180°，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出
结论．
【详解】解：三角形的三个内角满足∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
A ∵∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，
∴2∠𝐶= 180°，得∠𝐶= 90°，
∴𝛥𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不符合题意；
B ∵∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶= 180° −(∠𝐴+ ∠𝐵) = 90°，
∴𝛥𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不符合题意；
易错提醒
1）仅有一个锐角为90°表述错误，三角形内角最大为180°，只能是有一个内角是直角；
2）不能用“两个角相加为90°”直接口述判定，需规范表述两角互余。
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C ∵∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 1: 2: 3，
∴∠𝐶= 180° ×
3
1+2+3 = 90°，
∴𝛥𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不符合题意；
D ∵∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶，
∴3∠𝐴= 180°，
解得∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= 60°，三角形中不存在90°的角，
∴𝛥𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，符合题意．
2．如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关
键；
先通过三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵= 82°，再通过角平分线求出∠𝐵𝐶𝐸，进而可求出∠𝐵𝐶𝐷，从而可得到
∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，进而得证．
【详解】证明：∵∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 82°．
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 41°．
∵∠𝐷𝐶𝐸= 11°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
知识点
直角三角形全等的判定
1. 三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角
边”或“HL”）．
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2. 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
随学随练
1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于点O，连接𝐴𝐵、𝐶𝐷，若𝐴𝑂= 𝐷𝑂，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，则
可判定△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶，依据是（ ）
A．SAS
B．HL
C．ASA
D．SSS
【答案】B
【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等．
【详解】解：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于点𝑂，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐷𝑂𝐶= 90°，
∴△𝐴𝑂𝐵和△𝐷𝑂𝐶均为直角三角形，
在Rt △𝐴𝑂𝐵和Rt △𝐷𝑂𝐶中，
{𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝑂= 𝐷𝑂，
∴Rt △𝐴𝑂𝐵≌Rt △𝐷𝑂𝐶(HL)，
则可判定△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶，依据是HL．
2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶= 90°，𝐵𝐶=
𝐶𝐷，若要用“HL”直接判定Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐸𝐶𝐷，则需要添加的条件是________．
易错提醒
1）HL 只适用于直角三角形，普通三角形不能使用；
2）必须是斜边+一条直角边，两条直角边相等用SAS，不可混用HL；
3）书写证明需先注明三角形为Rt△，再用HL 判定。
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【答案】
𝐴𝐵= 𝐸𝐶
【详解】∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶= 90°
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐶𝐷中，
{𝐴𝐵= 𝐸𝐶
𝐵𝐶= 𝐶𝐷，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐸𝐶𝐷(HL)．
故需添加条件𝐴𝐵= 𝐸𝐶．
3．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，点D 在边𝐴𝐶上，
连接𝐵𝐷，过点C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐶，连接𝐴𝐸，且𝐴𝐸= 𝐵𝐷，求证：𝐶𝐸= 𝐴𝐷．
【答案】证明：∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐶𝐴𝐸中，
{𝐴𝐵= 𝐶𝐴
𝐵𝐷= 𝐴𝐸
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐷≌Rt △𝐶𝐴𝐸(HL)，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐷．
【分析】由等角对等边得出𝐴𝐵= 𝐴𝐶，再证明Rt △𝐴𝐵𝐷≌Rt △𝐶𝐴𝐸(HL)，由全等三角形的性质即可得出
𝐶𝐸= 𝐴𝐷．
【详解】证明：略；
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拓展
直角三角形性质与判定双向对比
1. 直角三角形的性质与判定为互逆逻辑，一个是已知直角三角形推导结论，一个是根据条件证明直角三
角形，是基础核心辨析点，具体对比如下：
对比维度
直角三角形性质
直角三角形判定
前提条件
已知三角形是直角三角形
未知三角形形状，需证明为直角三角形
核心结论
1. 两个锐角互余；
2. 斜边上的中线等于斜边的一半
三角形中有两个角互余，即可判定为直角三
角形
逻辑方向
由图形属性推边角关系
由角度关系推图形属性
活学活用
1．（25-26 八年级下·江西宜春·期中）如图，一根木棍斜靠在与地面（𝑂𝑀）垂直的墙（𝑂𝑁）上，设木棍中
点为𝑃，若木棍长6 米，点𝑃到点𝑂的距离（ ）
A．2.5 米
B．3 米
C．3.5 米
D．4 米
【答案】B
【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结果.
【详解】解：由题意，∠𝐴𝑂𝐵= 90°,𝑃为𝐴𝐵的中点，𝐴𝐵= 6，
∴𝑂𝑃=
1
2 𝐴𝐵= 3，
即：点𝑃到点𝑂的距离为3 米.
2．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸、𝐶𝐷相
交于点𝐹，且∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵．
(1)试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由；
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(2)若∠𝐵= 32°，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(3)求证：∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹．
【答案】(1)解：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下：
∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是高，
∴∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
又∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
(2)119°；
(3)证明：∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，
又∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵，∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹．
【分析】(1)根据题意可以求得∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，从而得到△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
(2)由直角三角形的性质可得∠𝐵𝐴𝐶= 58°，又𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，所以∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
29°，最后通过三角形内角和定理即可求解；
(3)根据𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，然后通过∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵，三角形的外角性质即可得出结
论成立．
【详解】（1）略；
（2）解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 32°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90° −32° = 58°，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 29°，
在△𝐴𝐵𝐸中，∠𝐴𝐸𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵
= 180° −29° −32°
= 119°；
（3）略．
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拓展
直角三角形核心性质易错点归纳
1. 中线性质专属条件：“斜边上的中线等于斜边的一半”仅适用于直角三角形，普通三角形无此性质，且
必须是斜边中线，直角边中线不具备该特点。
2. 互余逻辑区分：直角三角形性质是“已知直角，得锐角互余”；判定定理是“已知锐角互余，得直角三
角形”，二者因果关系不可颠倒。
3. HL 定理使用前提：使用HL 证明全等时，必须先明确两个三角形为直角三角形，非直角三角形不可使用
该判定方法。
活学活用
1．（25-26 八年级上·河南许昌·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，且
𝐵𝐸与𝐶𝐹交于点G．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹；
(2)若∠𝐴= 50°，求∠𝐵𝐺𝐹的度数．
【答案】(1)
证明：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= ∠𝐴，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(AAS)；
(2)50°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三角形的高的定义得到∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，再利用AAS即可证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹；
（2）根据三角形的高的定义得到∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠𝐴𝐵𝐸的度
数，进而可求出∠𝐵𝐺𝐹的度数．
【详解】（1）略
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（2）解：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
∵∠𝐴= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 90° −∠𝐴= 40°，
∴∠𝐵𝐺𝐹= 90° −∠𝐹𝐵𝐺= 50°．
2．（25-26 八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐵𝐷= 𝐶𝐷, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸, 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷；
(2)求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
【答案】(1)
证明：连接𝐴𝐷，如图所示：
在△ABD和△ACD中，
{
AB = AC
BD = CD
AD = AD
，
∴△ABD ≌△ACD(SSS)，
∴∠ABD = ∠ACD；
(2)
证明：由（1）可知：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
在Rt △𝐷𝐸𝐵和Rt △𝐷𝐹𝐶中，
{𝐷𝐵= 𝐷𝐶
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐷𝐸𝐵≌Rt △𝐷𝐹𝐶(HL)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判
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定及角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）连接𝐴𝐷，先证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SSS)，然后根据全等三角形的性质可进行求证；
（2）由（1）可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，进而根据角平分线的性质定理可进行求证．
【详解】（1）略
（2）略
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，D 为𝐴𝐵延长线上的一点，点E 在边𝐵𝐶上，连接
𝐴𝐸, 𝐷𝐸, 𝐷𝐶，其中𝐴𝐸= 𝐶𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷．
(2)若∠𝐵𝐷𝐶= 75°，求∠𝐶𝐴𝐸的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质：
（1）利用“HL”证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷即可；
（2）由（1）知Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐶𝐵𝐷，可得∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 75°，再由三角形外角的性质解答即可．
【详解】（1）证明：由题意，得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐸和Rt △𝐶𝐵𝐷中，
∵{𝐴𝐵= 𝐶𝐵,
𝐴𝐸= 𝐶𝐷,
∴Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐶𝐵𝐷(HL)．
（2）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴= 45°，
由（1）知Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 75°．
∵∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸, ∠𝐴𝐶𝐸= 45°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵−∠𝐴𝐶𝐵= 75° −45° = 30°．
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题型
利用直角三角形的两个锐角互余求解
▌例1．（25-26 七年级下·广东河源·期中）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐵= 90°, ∠𝐴= 30°，则∠𝐶的度数为
（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】D
【分析】本题利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠𝐶的度数.
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= 90°，
又∵∠𝐴= 30°，
∴∠𝐶= 90° −30° = 60°.
▌例2．（25-26 八年级上·广东东莞·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶边上，沿𝐴𝐷将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐶
与𝐵𝐶边上的点𝐶′重合，展开后得到折痕a．
(1)折痕a 是△𝐴𝐵𝐶的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”）
(2)若∠𝐵𝐴𝐶′ = 10°，∠𝐵= 40°，求∠𝐷𝐴𝐶的度数．
【答案】(1)高
(2)∠𝐷𝐴𝐶= 40°
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识
点是解题的关键．
（1）由折叠可知∠𝐴𝐷𝐶= 90°，即𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，即可求解；
（2）先根据三角形外角的性质求出∠𝐴𝐶′𝐷= 50°，根据折叠可知∠𝐴𝐶′𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 50°，再根据直角三角
形两个锐角互余，即可求解．
【详解】（1）解：由折叠可知∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶′ =
1
2 × 180° = 90°，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
解题贴士
直角三角形两锐角和为90°，已知一个锐角可直接求另一个；结合对顶角、外角、平行线角度关系，通
过角度和差快速计算未知角度。
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∴折痕a 是△𝐴𝐵𝐶的高．
（2）解：∠𝐵𝐴𝐶′ = 10°，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴𝐶′𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶′ = 50°，
由折叠可知∠𝐴𝐶′𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 50°，
∵∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐶𝐷= 40°．
▌对点练1-1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高．若∠𝐴𝐵𝐶=
65°，则∠𝐴𝐵𝐷的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．60°
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质求出顶角∠𝐴的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 65°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 65°，
∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐵𝐶= 50°，
∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90° −∠𝐴= 40°．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·山西长治·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的高，∠𝐵𝐶𝐷=
35°，则∠𝐴为________°．
【答案】35
【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐷= 35°．
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的高，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°, 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐷= 35°．
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▌对点练1-3．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是70°，则另一个锐角的补
角的度数为________．
【答案】
160°/160 度
【详解】解：∵直角三角形的两锐角互余，已知一个锐角为70°，
∴另一个锐角的度数为90° −70° = 20°，
∵互补的两个角和为180°，
∴另一个锐角的补角的度数为180° −20° = 160°.
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐶𝐸是角平分线，𝐴𝐷，𝐶𝐸相
交于点𝑂，且∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐵= 70°．
(1)求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
(2)求∠𝐴𝑂𝐶的度数．
【答案】(1)20°
(2)115°
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形
的高与底边垂直是解题关键．
（1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐴𝐷；
（2）根据∠𝐵𝐴𝐷= 20°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°求出∠𝐶𝐴𝑂，再结合直角三角形两锐角互余求出∠𝐴𝐶𝐷，然后利用角
平分线定义和三角形内角和定理，即可求出∠𝐴𝑂𝐶．
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵ ∠𝐵= 70°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= 90° −70° = 20°．
答：∠𝐵𝐴𝐷= 20°．
（2）解：由（1）知∠𝐵𝐴𝐷= 20°，∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴ ∠𝐶𝐴𝑂= 60° −20° = 40°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷= 90° −40° = 50°，
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∵ 𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐴𝐶𝑂=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 25°，
∴ ∠𝐴𝑂𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝑂−∠𝐴𝐶𝑂= 180° −40° −25° = 115°．
答：∠𝐴𝑂𝐶= 115°．
题型
利用直角三角形的两个锐角互余证明
▌例1．（25-26 八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点𝐻是△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷和𝐵𝐸所在直线的交点，且𝐴𝐷=
𝐵𝐷，求证：𝐵𝐻= 𝐴𝐶．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．关键是通过高的性质得到直角，再利用同角的余角相等找到
相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，再由直角三角形两锐角互余
推出∠𝐻𝐵𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，结合已知𝐴𝐷= 𝐵𝐷，证明△𝐵𝐷𝐻≅△𝐴𝐷𝐶，最后根据全等三角形对应边相等得到
𝐵𝐻= 𝐴𝐶．
【详解】解：∵𝐴𝐷、𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 90°，
∵在Rt △𝐻𝐷𝐵中，∠𝐵𝐻𝐷+ ∠𝐻𝐵𝐷= 90°，
在Rt △𝐴𝐻𝐸中，∠𝐴𝐻𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∠𝐵𝐻𝐷= ∠𝐴𝐻𝐸，
∴∠𝐻𝐵𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
在△𝐵𝐷𝐻和△𝐴𝐷𝐶中，
{
∠𝐵𝐷𝐻= ∠𝐴𝐷𝐶
∠𝐻𝐵𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐵𝐷= 𝐴𝐷
∴△𝐵𝐷𝐻≅△𝐴𝐷𝐶(AAS)，
解题贴士
借助直角三角形两锐角互余，结合同角或等角的余角相等，证明两个锐角相等，进而证角相等、线段相
等、三角形全等。
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∴𝐵𝐻= 𝐴𝐶.
▌对点练1-1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷．
(1)求证：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵；
(2)𝐴𝐹分别交𝐶𝐷、𝐵𝐶于𝐸、𝐹，若𝐶𝐸= 𝐶𝐹，求证：𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，等边对等角．
（1）由于∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐵都是∠𝐵𝐶𝐷的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据等边对等角可得∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，根据对顶角相等得出∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹，即可得出∠𝐴𝐸𝐷=
∠𝐴𝐹𝐶，进而根据等角的余角相等，即可得证．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵；
（2）证明：∵𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，
又∵∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐶，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹，
∴𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐴𝐵上一
点，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐶𝐴的延长线于点𝐹．求证：△𝐴𝐷𝐹是等腰三角形；
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【答案】见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等．由𝐴𝐵= 𝐴𝐶，可知∠𝐵=
∠𝐶，再由𝐷𝐸⊥𝐵𝐶和余角的性质可推出∠𝐹= ∠𝐵𝐷𝐸，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠𝐴𝐷𝐹=
∠𝐹，于是得到结论．
【详解】证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶，
又∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐵= 90°，
∴ ∠𝐵𝐷𝐸= 90° −∠𝐵，∠𝐹= 90° −∠𝐶，
∴ ∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐹，
又∵∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷．
题型
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解
▌例1．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，若
𝐶𝐷= 2，则𝐵𝐷的长为（ ）
解题贴士
Rt△中，斜边中线=斜边的一半，可直接实现倍半线段转化；常用于求线段长、周长、等腰三角形边长计
算。
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A．4
B．2√2
C．√2
D．2
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 2．
▌例2．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐷是边𝐴𝐵的中点，∠𝐵=
25°，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
【答案】65°
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形的性质得𝐶𝐷= 𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵，即
得∠𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 25°，进而根据角的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵𝐷是𝐴𝐵的中点，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 25°；
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90° −∠𝐷𝐶𝐵= 90° −25° = 65°．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东中山·期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部
件的尺寸．已知∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 为边𝐴𝐵的中点，点A，B 对应的刻度分别为2，8，则𝐶𝐷的长为
（ ）
A．2.5 cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答．
【详解】解：∵点A，B 对应的刻度分别为2，8，
∴𝐴𝐵= 8 −2 = 6cm，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 为边𝐴𝐵的中点，
∴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵= 3cm．
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▌对点练1-2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，E，F 分别是边𝐴𝐵, 𝐴𝐶的中点，
若𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8cm，则𝐷𝐸=________cm．
【答案】4
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，点E 为𝐴𝐵的中点，
∴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 4cm ．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，公路𝐴𝐶，𝐵𝐶互相垂直，公路𝐴𝐵的中点𝑀与点𝐶被湖
隔开．若测得𝐴𝐵的长为6km，则𝑀, 𝐶两点间的距离是_____km．
【答案】3
【详解】解：∵公路𝐴𝐶，𝐵𝐶互相垂直，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵𝑀是公路𝐴𝐵的中点，
∴𝐶𝑀=
1
2 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 6km，
∴𝐶𝑀= 3km，
∴𝑀，𝐶两点间的距离为3km．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，交边𝐴𝐵于点
𝐷，点𝐸是边𝐵𝐶的中点，连接𝐷𝐸．
(1)若∠𝐴𝐶𝐷= 15°，求∠𝐷𝐸𝐶的度数；
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(2)猜想∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐷𝐸𝐶的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠𝐷𝐸𝐶= 60°
(2)∠𝐷𝐸𝐶= 4∠𝐴𝐶𝐷，理由见详解
【分析】（1）先结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶= 𝐷𝐸，结合等边对等角，以及
直角三角形的两个锐角互余，得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 75°，运用三角形内角和性质，得∠𝐵= 30°，即可得出
∠𝐷𝐸𝐶的度数
（2）结合等边对等角，以及直角三角形的两个锐角互余，得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐶𝐷，又因为直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半得𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐷，最后运用三角形外角性质，
得∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐷，即可作答．
【详解】（1）解：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，点𝐸是边𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝐸，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐷= 15°，
∴∠𝐴= 90° −15° = 75°，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 75°，
∴∠𝐵= 180° −75° −75° = 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵= 30°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐵= 60°；
（2）解：∠𝐷𝐸𝐶= 4∠𝐴𝐶𝐷，理由如下：
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐶𝐷，
则∠𝐵= 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴= 180° −(90° −∠𝐴𝐶𝐷) −(90° −∠𝐴𝐶𝐷) = 2∠𝐴𝐶𝐷，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，点𝐸是边𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐵= 4∠𝐴𝐶𝐷．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和性质，直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
▌对点练1-5．（25-26 八年级上·浙江·期末）如图，Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐵𝐶𝐷分别位于𝐵𝐷异侧，∠𝐷𝐴𝐵=
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∠𝐵𝐶𝐷= 90°，点O 是𝐵𝐷的中点，连接𝐴𝐶，𝐴𝑂，𝑂𝐶．
(1)若∠𝐴𝐷𝐵= 30°，∠𝐵𝐷𝐶= 40°，求∠𝐴𝑂𝐶的度数：
(2)若锐角∠𝐴𝐷𝐶= 𝛼，求∠𝐴𝑂𝐶的度数（用𝛼的代数式表示）．
【答案】(1)∠𝐴𝑂𝐶= 140°
(2)∠𝐴𝑂𝐶= 2𝛼
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得𝐴𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，𝐶𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，再根据等
腰三角形的性质可得∠𝑂𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵= 30°，∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶= 40°，从而可得∠𝐴𝑂𝐵= 60°，∠𝐶𝑂𝐵=
80°，由此即可得；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得𝐴𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，𝐶𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，再根据等
腰三角形的性质可得∠𝑂𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵，∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶，然后根据三角形的外角性质可得∠𝐴𝑂𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵，
∠𝐶𝑂𝐵= 2∠𝐵𝐷𝐶，由此即可得．
【详解】（1）解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，点𝑂是𝐵𝐷的中点，
∴𝐴𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，𝐶𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，
∴∠𝑂𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵= 30°，∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑂𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵= 60°，∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝑂𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶= 80°，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐵= 140°．
（2）解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，点𝑂是𝐵𝐷的中点，
∴𝐴𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，𝐶𝑂= 𝐷𝑂=
1
2 𝐵𝐷，
∴∠𝑂𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵，∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑂𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝑂𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶= 2∠𝐵𝐷𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐶= 𝛼，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐵
= 2∠𝐴𝐷𝐵+ 2∠𝐵𝐷𝐶
= 2(∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐶)
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= 2∠𝐴𝐷𝐶
= 2𝛼．
题型
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明
▌例1．（25-26 八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°,𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交边𝐴𝐵于
点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶垂足为𝐸, 𝐴𝐷=
1
2 𝐵𝐷．求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐸．
【答案】见解析
【分析】如图，取𝐵𝐷的中点𝐻，连接𝐸𝐻，而𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，证明𝐸𝐻= 𝐵𝐻= 𝐷𝐻=
1
2 𝐵𝐷，∠𝐵= ∠𝐻𝐸𝐵，𝐴𝐷=
𝐷𝐸，再证明△𝐷𝐸𝐻为等边三角形，进一步证明即可．
【详解】证明：如图，取𝐵𝐷的中点𝐻，连接𝐸𝐻，而𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴𝐸𝐻= 𝐵𝐻= 𝐷𝐻=
1
2 𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐻𝐸𝐵，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷，
∵∠𝐴= 90°，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐸，
∵𝐴𝐷=
1
2 𝐵𝐷，
解题贴士
在直角三角形中，取斜边中点连中线，利用中线与斜边倍半关系，构造等腰三角形，证明线段相等、角
度相等、垂直关系。
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∴𝐷𝐸=
1
2 𝐵𝐷= 𝐷𝐻= 𝐸𝐻，
∴△𝐷𝐸𝐻为等边三角形，
∴∠𝐷𝐻𝐸= 60°，
∴∠𝐵= ∠𝐻𝐸𝐵= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° −30° = 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷= 30° = ∠𝐵，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等
腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐸
在边𝐵𝐶的延长线上，𝐷𝐴⊥𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷；
(2)如果𝐹是𝐷𝐸的中点，求证：𝐶𝐹= 𝐷𝐹．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，再结合𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)；
（2）结合△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐷，得∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶，又因为三角形内角和性质，得出∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，根
据𝐹是𝐷𝐸的中点，得𝐶𝐹=
1
2 𝐷𝐸= 𝐷𝐹，即可作答．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐷𝐴⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
则∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
即△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)，
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（2）证明：依题意，如图所示：
由（1）得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵∠1 = ∠2，
∴180° −∠2 −∠𝐴𝐸𝐵= 180° −∠1 −∠𝐴𝐷𝐶，
即∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∵𝐹是𝐷𝐸的中点，
∴𝐶𝐹=
1
2 𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·浙江湖州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的
中线，𝐶𝐷= 𝐴𝐸．
(1)求证：𝐶𝐷= 𝐷𝐸；
(2)若∠𝐵𝐴𝐷= 40°，求∠𝐷𝐶𝐸的度数．
【答案】(1)
证明：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的中线，
∴点𝐸是边𝐴𝐵的中点，
∴𝐷𝐸是Rt △𝐴𝐵𝐷斜边𝐴𝐵上的中线，
∴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∵𝐶𝐷= 𝐴𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸；
(2)25°
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【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，三角形
外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题
的关键；
（1）由𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的中线，得到𝐷𝐸是Rt △𝐴𝐵𝐷斜边𝐴𝐵上的中线，从而得到𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 𝐴𝐸，又有
𝐶𝐷= 𝐴𝐸，即可证明𝐶𝐷= 𝐷𝐸；
（2）根据𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，∠𝐵𝐴𝐷= 40°，可求得∠𝐵= 50°，由𝐷𝐸是Rt △𝐴𝐵𝐷斜边𝐴𝐵上的中线，得
到∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝐸= 50°，再根据𝐶𝐷= 𝐷𝐸，得到∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，最后根据∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐶，即可求
解．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
∴∠𝐵= 90° −∠𝐵𝐴𝐷= 90° −40° = 50°，
由（1）知，𝐷𝐸是Rt △𝐴𝐵𝐷斜边𝐴𝐵上的中线，
∴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 𝐵𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝐸= 50°，
又∵𝐶𝐷= 𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶，
∵∠𝐵𝐷𝐸是△𝐶𝐷𝐸的外角，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐸𝐶= 2∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐷𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐷𝐸=
1
2 × 50° = 25°，
∴∠𝐷𝐶𝐸的度数为25°．
题型
直角三角形的判定
▌例1．（25-26 八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵+ ∠𝐶= 90°
解题贴士
常用三种判定：①有一个角为90°的三角形是直角三角形；②两锐角互余的三角形是直角三角形；③三
角形一边中线等于该边一半，此三角形为直角三角形（斜边判定）。
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C．∠𝐵= ∠𝐶= 45°
D．∠𝐵=60°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌
握上述知识点并能运用其来求解．
根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存
在90°的角．
【详解】解：∵∠𝐴= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故A 不符合题意；
∵∠𝐵+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴= 180° −(∠𝐵+ ∠𝐶) = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故B 不符合题意；
∵∠𝐵= ∠𝐶= 45°，
∴∠𝐴= 180° −45° −45° = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故C 不符合题意；
∠𝐵= 60°，仅知道一个角为60°，无法确定是否存在90°的角（如等边三角形三个角均为60°），
不能判定△ABC 为直角三角形，
故D 符合题意；
故选：D．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川雅安·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质．根据平行线的性
质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、两条平行直线同时被第三条直线所截，同旁内角互补，故原说法错误，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
C、有两个角互余的三角形是直角三角形，故原说法正确，符合题意；
D、两点之间，线段最短，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
▌对点练1-2．一个三角形中，如果两个角的和为90°，那么第三个角是___________°，这个三角形是
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___________三角形．
【答案】 90 直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为90°，
∴第三个角是180° −90° = 90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：90，直角．
▌对点练1-3．如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷为斜边AB 上一点，连接𝐶𝐷，将△𝐵𝐶𝐷沿𝐶𝐷翻
折，使𝐵落在点𝐸处，点F 为直角边𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐹，将△𝐴𝐷𝐹沿𝐷𝐹翻折，使点𝐴与点𝐸重合，求证：
△𝐸𝐹𝐶是直角三角形．
【答案】证明：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°
由△𝐵𝐶𝐷沿𝐶𝐷翻折得△𝐸𝐶𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，
由△𝐴𝐷𝐹沿𝐷𝐹翻折得△𝐸𝐷𝐹，
∴∠𝐴= ∠𝐹𝐸𝐷
∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 90°
即△𝐸𝐹𝐶是直角三角形．
【分析】首先，△𝐵𝐶𝐷沿𝐶𝐷翻折得到△𝐸𝐶𝐷，可得对应角∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷，其次，△𝐴𝐷𝐹沿𝐷𝐹翻折使点𝐴与
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点𝐸重合，可得对应角∠𝐴= ∠𝐹𝐸𝐷，再把∠𝐹𝐸𝐶拆分为∠𝐹𝐸𝐷和∠𝐶𝐸𝐷的和，根据上述关系，∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐴+
∠𝐵，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，因此∠𝐹𝐸𝐶= 90°，从而证明△𝐸𝐹𝐶是直角三角形．
【详解】略
题型
用HL 证全等
▌例1．（25-26 七年级下·山东淄博·期末）如图，𝐴𝐵⊥𝐶𝐹，垂足为𝐵，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，点𝐸在𝐶𝐹上，𝐶𝐸= 𝐹𝐵，
𝐴𝐶= 𝐷𝐹，依据上述条件可以判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．这种判定三角形全等的依据是（ ）
A．AAS
B．ASA
C．SSS
D．HL
【答案】D
【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹= 90°，再由𝐶𝐸= 𝐹𝐵得出𝐶𝐵= 𝐸𝐹，最后结
合𝐴𝐶= 𝐷𝐹利用HL定理即可判定．
【详解】解：∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹都是直角三角形，
∵𝐶𝐸= 𝐹𝐵，
∴𝐶𝐸+ 𝐸𝐵= 𝐹𝐵+ 𝐸𝐵，即𝐶𝐵= 𝐸𝐹，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐷𝐸𝐹中，
{𝐴𝐶= 𝐷𝐹
𝐶𝐵= 𝐸𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐸𝐹(HL)．
▌例2．（25-26 八年级下·福建宁德·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= ∠𝐵= 90°，E 是𝐴𝐵上的一点，
解题贴士
HL 仅适用于直角三角形，只需证明：斜边相等、一条直角边相等，即可判定两Rt△全等，无需找角。
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𝐴𝐸= 𝐵𝐶，连接𝐷𝐸，𝐶𝐸，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸．求证：Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐸𝐶．
【答案】见解析
【分析】先根据等角对等边得到𝐷𝐸= 𝐸𝐶，再利用HL即可证得结论.
【详解】证明：∵∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐶，
在Rt △𝐴𝐷𝐸和Rt △𝐵𝐸𝐶中，
∵ {𝐷𝐸= 𝐸𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐶
，
∴ Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐸𝐶(HL)．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷．要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，
还需增加一个条件
．．．．可以是________．
【答案】𝐴𝐶= 𝐴𝐷（答案不唯一）
【分析】根据垂直的定义可得∠𝐶= ∠𝐷= 90°，结合公共边𝐴𝐵= 𝐴𝐵，利用直角三角形全等的判定定理HL
或AAS添加条件即可．
【详解】解：这个条件可以是𝐴𝐶= 𝐴𝐷，
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐶= ∠𝐷= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐴𝐵𝐷中，
{𝐴𝐵= 𝐴𝐵
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐴𝐵𝐷(HL)，
故答案为：𝐴𝐶= 𝐴𝐷（答案不唯一）．
▌对点练1-2．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B 在同一条直线上，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，∠𝐶=
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∠𝐷= 90°．求证：∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷．
【答案】证明见详解
【分析】先求出𝐴𝐹= 𝐵𝐸，再利用“HL”证明Rt △𝐴𝐶𝐹和Rt △𝐵𝐷𝐸全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷．
【详解】证明：∵𝐴𝐸= 𝐵𝐹，
∴𝐴𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹，即𝐴𝐹= 𝐵𝐸，
在Rt △𝐴𝐶𝐹和Rt △𝐵𝐷𝐸中，
{𝐴𝐹= 𝐵𝐸
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐶𝐹≌Rt △𝐵𝐷𝐸(HL)，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，𝐵𝐸和𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高，H 是𝐵𝐸和𝐶𝐹的交
点．且𝐶𝐹= 𝐵𝐸．
(1)求证：△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸；
(2)请添加一个条件，使得△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)添加∠𝐴= 60°后，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．理由见解析（答案不唯一）
【分析】（1）利用HL证明△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸；
（2）由△𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸得出∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐵𝐶𝐴，进而得出𝐴𝐵= 𝐴𝐶，根据有一个角是60 度的等腰三角形为等
边三角形，可得添加的条件可以为∠𝐴= 60°．
【详解】（1）证明：∵ 𝐵𝐸和𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴ △𝐵𝐶𝐹和△𝐶𝐵𝐸是直角三角形，
在Rt △𝐵𝐶𝐹和Rt △𝐶𝐵𝐸中，
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{𝐶𝐹= 𝐵𝐸
𝐵𝐶= 𝐶𝐵
∴ △𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸(HL)；
（2）解：添加∠𝐴= 60°后，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．理由如下：
∵ △𝐵𝐶𝐹≌△𝐶𝐵𝐸，
∴ ∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸，即∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐵𝐶𝐴，
∴ 𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
又∵ ∠𝐴= 60°，
∴ △𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
题型
全等的性质与HL 综合
▌例1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点𝐸，𝐹分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，过
点𝐹作𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，且𝐸𝐹= 𝐹𝐷．若∠𝐴= 75°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．45°
D．55°
【答案】C
【分析】可证得△𝐵𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐹与△𝐵𝐸𝐹≌△𝐵𝐷𝐹，得到∠𝐴= ∠𝐸𝐹𝐵= 75°，∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐵𝐹𝐷= 75°，再计
算出∠𝐴𝐶𝐵，即可求解∠𝐴𝐵𝐶．
【详解】解：∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐵𝐸𝐹，
∵𝐴𝐸= 𝐸𝐹，𝐵𝐸= 𝐵𝐸，
∴△𝐵𝐸𝐴≌△𝐵𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐹𝐵= 75°，
∵𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐷𝐹= 90°，
又∵𝐸𝐹= 𝐹𝐷，𝐵𝐹= 𝐵𝐹，
解题贴士
先用HL 证明直角三角形全等，再利用全等性质：对应边相等、对应角相等，进行线段转化、角度计算、
垂直证明等综合推导。
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∴△𝐵𝐸𝐹≌△𝐵𝐷𝐹(HL)，
∴∠𝐸𝐹𝐵= ∠𝐵𝐹𝐷= 75°，
∴∠𝐶𝐹𝐷= 180° −∠𝐸𝐹𝐵−∠𝐵𝐹𝐷= 180° −75° −75° = 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐶𝐹𝐷= 180° −90° −30° = 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵= 180° −75° −60° = 45°．
▌例2．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵= 90°，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点D
(1)如图1，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点E，说明：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷；
(2)如图2，在（1）的条件下，延长𝐸𝐷交𝐶𝐵的延长线于点F，说明：𝐶𝐹= 𝐴𝐶；
(3)如图3，点H 为𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐻，𝐴𝐶+ 𝐶𝐻= 10，𝐴𝐷= 𝐷𝐻，求𝐵𝐶的长
【答案】(1)解：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= 90° = ∠𝐵，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷，
又∵𝐶𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷(AAS)；
(2)解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐹= 90° = ∠𝐴𝐸𝐷，
∵∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴= ∠𝐹，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷，𝐶𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐷(AAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐶；
(3)5
【分析】（1）利用AAS证明△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷即可；
（2）证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐷，即可得出结果；
（3）作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，由全等得到𝐴𝐻= 2𝐴𝐸，由（1）可知△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，进而得到𝐶𝐸= 𝐵𝐶，根据
线段的和差关系得到𝐴𝐶+ 𝐶𝐻= 2𝐵𝐶= 10，即可得出结果.
【详解】（1）略
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（2）略
（3）解：作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐻= ∠𝐷𝐸𝐻= 90°，
∵𝐴𝐷= 𝐷𝐻，𝐷𝐸= 𝐷𝐸，
∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐻𝐷𝐸(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐻，
∴𝐴𝐻= 2𝐴𝐸，
由（1）可知，△𝐵𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐻= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐶−𝐴𝐻= 2𝐵𝐶+ 2𝐴𝐸−𝐴𝐻= 2𝐵𝐶+ 𝐴𝐻−𝐴𝐻= 2𝐵𝐶= 10，
∴𝐵𝐶= 5.
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以顶点A 为圆心，适当
长为半径画弧，分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧
交于点P，作射线𝐴𝑃交边𝐵𝐶于点D，点E 在𝐴𝐵上．若𝐴𝐶= 7，𝐶𝐷= 3，𝐴𝐵= 9，当𝐷𝐸长度最小时，△
𝐵𝐷𝐸的面积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】C
【分析】由垂线段最短可知，当𝐷𝐸⊥𝐴𝐵时，𝐷𝐸长度最小，由作图过程可知𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，结合角平分线
性质得到𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 3，证明Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐸𝐷(HL)，利用全等三角形性质得到𝐴𝐸= 𝐴𝐶= 7，进而得
到𝐵𝐸，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：由垂线段最短可知，当𝐷𝐸⊥𝐴𝐵时，𝐷𝐸长度最小，
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由作图过程可知𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∵ ∠𝐶= 90°，𝐶𝐷= 3，
∴ 𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 3，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐸𝐷(HL)，
∴ 𝐴𝐸= 𝐴𝐶= 7，
∴ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 9 −7 = 2，
∴ △𝐵𝐷𝐸的面积是
1
2 𝐵𝐸⋅𝐷𝐸=
1
2 × 2 × 3 = 3．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，斜边𝐵𝐶的中垂线𝐷𝐸交𝐴𝐶于点F，
交∠𝐵𝐴𝐶的外角平分线于点E，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶于点G，𝐸𝑀垂直𝐵𝐴的延长线于点M，连接𝐵𝐸交𝐴𝐶于点N，现有
下列结论：①△𝐵𝐸𝑀≌△𝐶𝐸𝐺；②∠𝐵𝐸𝐶= 90°；③𝐴𝐸∥𝐵𝐶；④𝑆△𝑀𝐵𝐸= 2𝑆△𝐶𝐹𝐸．其中正确的结论有
________________（填序号）．
【答案】①②
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理可判断①；由①知∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐺𝐶𝐸，根据三角形的
内角和可判断②；根据正方形的性质、平行线的判定以及∠𝐴𝐵𝐶> ∠𝐸𝐵𝐶可判断③；由线段垂直平分线的
性质和三角形的面积可判断④．
【详解】解：∵𝐴𝐸平分∠𝑀𝐴𝐶，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶，𝐸𝑀⊥𝐴𝑀，
∴𝐸𝐺= 𝑀𝐸，∠𝐴𝑀𝐸= ∠𝐶𝐺𝐸= 90°，
∵𝐷𝐸垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐶，
在Rt △𝐵𝐸𝑀和Rt △𝐶𝐸𝐺中，
{𝐸𝐵= 𝐸𝐶
𝐸𝑀= 𝐸𝐺
∴Rt △𝐵𝐸𝑀≌Rt △𝐶𝐸𝐺(HL)，故①正确；
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由①知∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐺𝐶𝐸，
又∵∠𝐴𝑁𝐵= ∠𝐸𝑁𝐶，
∴∠𝑁𝐸𝐶= ∠𝑁𝐴𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 90°，故②正确；
∵∠𝑀𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐸平分∠𝑀𝐴𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝐸= 45°，
由②知∠𝐵𝐸𝐶= 90°，
∵𝐵𝐸= 𝐸𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 45°，
由图可知∠𝐴𝐵𝐶> ∠𝐸𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐶≠∠𝑀𝐴𝐸，
∴不能判断𝐴𝐸∥𝐵𝐶，故③错误；
如图，连接𝐵𝐹，
∵𝐷𝐸垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹，
在Rt △𝐴𝐵𝐹中，𝐵𝐹> 𝐴𝐵，
∴𝐶𝐹> 𝐴𝐵，
∵𝑆△𝑀𝐵𝐸=
1
2 𝑀𝐵· 𝑀𝐸，𝑆△𝐶𝐹𝐸=
1
2 𝐶𝐹· 𝐸𝐺，且𝑀𝐸= 𝐸𝐺，
若𝑆△𝑀𝐵𝐸= 2𝑆△𝐶𝐹𝐸，
则有
1
2 𝑀𝐵· 𝑀𝐸= 2 ×
1
2 𝐶𝐹· 𝐸𝐺，
即𝑀𝐵= 2𝐶𝐹，
由①知𝑀𝐵= 𝐶𝐺，
即𝐶𝐺= 2𝐶𝐹，
那么就有𝐶𝐹= 𝐹𝐺，
而题目给出的条件无法推出此结论，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川达州·期末）已知，𝐴𝑂⊥𝐵𝐶于点𝑂，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，交𝐴𝑂于点𝐷．
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(1)如图1，若𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝑂= 50°，则∠𝐷𝐵𝐶=______°；
(2)如图2，点𝐸为𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐸，𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 10，𝐴𝐷= 𝐷𝐸，求𝐶𝑂的长．
【答案】(1)50
(2)𝐶𝑂= 5
【分析】（1）依据角平分线定义得∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷，结合𝐴𝐶= 𝐵𝐶, 𝐶𝐷= 𝐶𝐷，用SAS证△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐷，由
全等性质得∠𝐶𝐴𝑂= ∠𝐷𝐵𝐶，结合∠𝐶𝐴𝑂= 50°求出∠𝐷𝐵𝐶．
（2）作𝐷𝑁⊥𝐴𝐶，由𝐴𝐷= 𝐷𝐸得𝐴𝑁= 𝐸𝑁（等腰三线合一），结合𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 10推出𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 2𝐶𝑁，再
用HL证明Rt △𝐶𝐷𝑁≌Rt △𝐶𝐷𝑂，得𝐶𝑂= 𝐶𝑁= 5．
【详解】（1）解：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐷中，
{
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷
𝐶𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)，
∴∠𝐶𝐴𝑂= ∠𝐷𝐵𝐶，
∵∠𝐶𝐴𝑂= 50°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= 50°．
（2）解：过点𝐷作𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于点𝑁，如图2 所示：
∵𝐴𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐴𝑁= 𝐸𝑁，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝑁+ 𝐸𝑁= 2𝐸𝑁，
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∴𝐴𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐶𝐸+ 2𝐸𝑁，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐸+ 2𝐸𝑁+ 𝐶𝐸= 2(𝐶𝐸+ 𝐸𝑁) = 2𝐶𝑁，
又∵𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 10，
∴2𝐶𝑁= 10，
∴𝐶𝑁= 5，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝑂⊥𝐵𝐶于点𝑂，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于点𝑁，
∴∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐶𝑁𝐷= 90°，𝐷𝑂= 𝐷𝑁，
在Rt △𝐶𝐷𝑂和Rt △𝐶𝐷𝑁中，
{𝐷𝑂= 𝐷𝑁
𝐶𝐷= 𝐶𝐷
，
∴Rt △𝐶𝐷𝑁≌Rt △𝐶𝐷𝑂(HL)，
∴𝐶𝑂= 𝐶𝑁= 5．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶的外角，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑃与𝐵𝑃交于点𝑃．求证：∠𝑃=
1
2 ∠𝐴；
(2)如图2，𝐴𝐶的垂直平分线交𝐵𝑃于点𝑄，交𝐴𝐶于点𝐺，过点𝑄作𝑄𝑀⊥𝐵𝐶于点𝑀，𝑄𝑁⊥𝐵𝐴，交𝐵𝐴的延长
线于点𝑁，若𝐵𝐶= 9，𝐵𝑁= 7，求𝐴𝑁的长．
【答案】(1)证明：∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐹，
∵∠𝐴𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐹−∠𝐴𝐵𝐶，
∵∠𝑃𝐶𝐹是△𝑃𝐵𝐶的一个外角，
∴∠𝑃𝐶𝐹= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃，
∴∠𝑃= ∠𝑃𝐶𝐹−∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐹−
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 (∠𝐴𝐶𝐹−∠𝐴𝐵𝐶) =
1
2 ∠𝐴；
(2)𝐴𝑁的长为2
【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线导角可得∠𝑃= ∠𝑃𝐶𝐹−∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 (∠𝐴𝐶𝐹−∠𝐴𝐵𝐶) =
1
2 ∠𝐴；
（2）连接𝑄𝐴，𝑄𝐶，利用中垂线的性质可证Rt △𝑄𝐴𝑁≌Rt △𝑄𝐶𝑀(HL)，Rt △𝐵𝑄𝑁≌Rt △𝐵𝑄𝑀(HL)，则
𝐴𝑁= 𝑀𝐶= 𝐵𝐶−𝐵𝑀= 𝐵𝐶−𝐵𝑁可求．
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【详解】（1）略
（2）解：如图，连接𝑄𝐴，𝑄𝐶，
∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑄𝑀⊥𝐵𝐶，𝑄𝑁⊥𝐵𝐴，
∴𝑄𝑀= 𝑄𝑁，
∵𝐴𝐶的垂直平分线交𝐵𝑃于点𝑄，
∴𝑄𝐴= 𝑄𝐶，
在Rt △𝑄𝐴𝑁和Rt △𝑄𝐶𝑀中，
{𝑄𝑁= 𝑄𝑀
𝑄𝐴= 𝑄𝐶
，
∴Rt △𝑄𝐴𝑁≌Rt △𝑄𝐶𝑀(HL)，
∴𝐴𝑁= 𝑀𝐶，
在Rt △𝐵𝑄𝑁和Rt △𝐵𝑄𝑀中，
{𝑄𝑁= 𝑄𝑀
𝐵𝑄= 𝐵𝑄
，
∴Rt △𝐵𝑄𝑁≌Rt △𝐵𝑄𝑀(HL)，
∴𝐵𝑁= 𝐵𝑀，
∵𝐵𝐶= 9，𝐵𝑁= 7，
∴𝐴𝑁= 𝑀𝐶= 𝐵𝐶−𝐵𝑀= 𝐵𝐶−𝐵𝑁= 9 −7 = 2，
即𝐴𝑁的长为2．
题型
一线三垂直模型
▌例1．（25-26 八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
解题贴士
一线三垂直模型核心结论：模型中左右两个直角三角形全等，对应直角边交叉相等。
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【问题背景】
（1）如图1，直线l 经过点A，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，过点B，C 分别向直线l 作垂线，垂足分别为点
D，E，求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．
【问题探究】
（2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，D 为𝐴𝐶上一点，E 是𝐴𝐵上一点，且∠𝐵𝐷𝐸= 90°，𝐷𝐵= 𝐷𝐸=
𝐴𝐸，若𝐵𝐶= 5，求𝐴𝐷的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 45°，△𝐴𝐶𝐷的面积为14，𝐶𝐷= 7，请直接
写出△𝐵𝐶𝐷的面积．
【答案】（1）证明：∵𝐵𝐷⊥𝐷𝐸，𝐶𝐸⊥𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐴= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，直线l 经过点A，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴ △𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(AAS)；
（2）10；
（3）
21
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关
键．
（1）根据垂直得出直角三角形，根据同角的余角相等得出相等角，最后利用AAS证明三角形全等即可；
（2）过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶交于点𝐹，同理可得△𝐷𝐹𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(AAS)，可得𝐷𝐹= 𝐵𝐶= 5，再根据等腰三角形
的性质可得𝐴𝐹= 𝐷𝐹=
1
2 𝐴𝐷= 5，即可解答；
（3）过点𝐵作𝐵𝑁⊥𝐷𝐶交𝐷𝐶的延长线于点𝑁，过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐷𝐶于点𝑀，同理可得△𝐴𝑀𝐶≌△
𝐶𝑁𝐵(AAS)，可得𝐶𝑀= 𝐵𝑁, 𝐴𝑀= 𝐶𝑁，证明𝐷𝑀= 𝐴𝑀，利用三角形面积公式求得𝐴𝑀= 4，进而得到
𝐷𝑀= 𝐴𝑀= 4，再求出𝐵𝑁= 𝐶𝑀= 3，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶交于点𝐹，
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同理（1）得△DFE ≌△BCD(AAS)，
∴DF = BC = 5，
∵DE = AE，EF ⊥AD，
∴AF = DF =
1
2 AD，
∴𝐴𝐷= 2𝐷𝐹= 10；
（3）解：如图，过点𝐵作𝐵𝑁⊥𝐷𝐶交𝐷𝐶的延长线于点𝑁，过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐷𝐶于点𝑀，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵= 45°，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝑁= 90°，
同理（1）中得△𝐴𝑀𝐶≌△𝐶𝑁𝐵(AAS)，
∴𝐶𝑀= 𝐵𝑁, 𝐴𝑀= 𝐶𝑁，
∵∠𝐴𝐷𝐶= 45°,∠𝐴𝑀𝐷= 90°，
∴∠𝑀𝐴𝐷= 45°，
∴𝐷𝑀= 𝐴𝑀，
∵△𝐴𝐶𝐷的面积为14，𝐶𝐷= 7，
∴
1
2 𝐶𝐷· 𝐴𝑀= 14，
∴𝐴𝑀= 4，
∴𝐷𝑀= 𝐴𝑀= 4，
∴𝐶𝑀= 𝐶𝐷−𝐷𝑀= 3，
∴𝐵𝑁= 𝐶𝑀= 3，
∴△𝐵𝐶𝐷的面积为
1
2 𝐶𝐷· 𝐵𝑁=
1
2 × 7 × 3 =
21
2 ．
▌对点练1-1．（1）如图1，C、A、E 在一条直线上，∠𝐵𝐴𝐷= 90°, 𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐵𝐶⊥𝐶𝐴于点C，𝐷𝐸⊥𝐴𝐸于
点E．求证：𝐵𝐶= 𝐴𝐸．
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（2）如图2，𝐸𝐴⊥𝐴𝐵且𝐴𝐸= 𝐴𝐵, 𝐵𝐶⊥𝐶𝐷且𝐵𝐶= 𝐶𝐷，计算图中实线所围成的图形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积．
（3）如图3，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐴𝐶= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐶、𝐷𝐸，且𝐵𝐶⊥𝐴𝐹于点F，𝐷𝐸与𝐴𝐹交于
点G，若𝐵𝐶= 21,𝐴𝐹= 12，求△𝐴𝐷𝐺的面积．
【答案】
（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐷= 90°
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∵𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐴𝐸中，
{
∠𝐴𝐵𝐶= 𝐷𝐴𝐸
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐸𝐴
𝐵𝐴= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐸；
（2）50；
（3）63
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是
解题的关键．
（1）证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(AAS)，根据全等三角形的对应边相等得到𝐵𝐶= 𝐴𝐸；
（2）根据全等三角形的性质得到𝐴𝑃= 𝐵𝐺= 3，𝐴𝐺= 𝐸𝑃= 6，𝐶𝐺= 𝐷𝐻= 4，𝐶𝐻= 𝐵𝐺= 3，根据梯形
和三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）过点𝐷作𝐷𝑃⊥𝐴𝐺于𝑃，过点𝐸作𝐸𝑄⊥𝐴𝐺交𝐴𝐺的延长线于𝑄，推导出𝐷𝑃= 𝐸𝑄， ∠𝐷𝑃𝐺= ∠𝐸𝑄𝐺=
90°，即可证明△𝐷𝑃𝐺≌△𝐸𝑄𝐺(AAS)，得到𝑃𝐺= 𝐺𝑄，再根据全等三角形的性质推导出𝐵𝐶= 𝐵𝐹+ 𝐹𝐶=
𝐴𝑃+ 𝐴𝑄= 2(𝐴𝑃+ 𝑃𝐺) = 21进而求出𝐴𝐺，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】证明：（1）略
（2）解：由（1）中模型可知，△𝐴𝐸𝑃≌△𝐵𝐴𝐺，△𝐶𝐵𝐺≌△𝐷𝐶𝐻，
∴𝐴𝑃= 𝐵𝐺= 3，𝐴𝐺= 𝐸𝑃= 6，𝐶𝐺= 𝐷𝐻= 4，𝐶𝐻= 𝐵𝐺= 3，
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则𝑆实线围成的图形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸=
1
2 (4 + 6) × (3 + 6 + 4 + 3) −
1
2 × 3 × 6 −
1
2 × 3 × 6 −
1
2 × 3 × 4 −
1
2 × 3 × 4 = 50；
（3）解：过点𝐷作𝐷𝑃⊥𝐴𝐺于𝑃，过点𝐸作𝐸𝑄⊥𝐴𝐺交𝐴𝐺的延长线于𝑄，
由（1）中模型可知，△𝐴𝐹𝐵≌△𝐷𝑃𝐴，△𝐴𝐹𝐶≌△𝐸𝑄𝐴，
∴𝐷𝑃= 𝐴𝐹，𝐸𝑄= 𝐴𝐹，𝐵𝐹= 𝐴𝑃，𝐹𝐶= 𝐴𝑄，
∴𝐷𝑃= 𝐸𝑄= 𝐴𝐹= 12，
∵𝐷𝑃⊥𝐴𝐺, 𝐸𝑄⊥𝐴𝐺，
∴∠𝐷𝑃𝐺= ∠𝐸𝑄𝐺= 90°，
∵∠𝐷𝐺𝑃= ∠𝐸𝐺𝑄
∴△𝐷𝑃𝐺≌△𝐸𝑄𝐺(AAS)，
∴𝐷𝐺= 𝐺𝐸，𝑃𝐺= 𝐺𝑄，
∵𝐵𝐹= 𝐴𝑃，𝐹𝐶= 𝐴𝑄，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐴𝑃+ 𝐴𝑄，
∵𝐵𝐶= 21，
∴𝐴𝑃+ 𝐴𝑄= 21，
∴𝐴𝑃+ 𝐴𝑃+ 𝑃𝐺+ 𝐺𝑄= 21，
∴𝐴𝑃+ 𝐴𝑃+ 𝑃𝐺+ 𝑃𝐺= 21，
∴𝐴𝑃+ 𝑃𝐺= 10.5，
∴𝐴𝐺= 10.5，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐺=
1
2 𝐴𝐺⋅𝐷𝑃=
1
2 × 10.5 × 12 = 63．
▌对点练1-2．（1）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线𝑙经过点A，分别从点B，C 向直线
𝑙作垂线，垂足分别为D，E．求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；
（2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线𝑙经过点A，点D，E 分别在直线𝑙上，如果∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐴𝐷𝐵=
∠𝐵𝐴𝐶，猜想𝐷𝐸，𝐵𝐷，𝐶𝐸有何数量关系，并给予证明；
（3）如图3，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，点B 的坐标为(1,3)，点C 的坐标为(−1,0)，直接写出点A 的坐标
______．
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【答案】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝐵𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐵𝐴，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐸𝐴= 90°，
∵∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐸𝐴𝐶，∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐴𝐵= 𝐶𝐴，
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．
（2）𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．证明如下：
∵∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐸𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐸𝐶𝐴= 180° −∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐸𝐴，
∵∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180° −∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∴△𝐶𝐸𝐴≌△𝐴𝐷𝐵，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐷，𝐵𝐷= 𝐴𝐸，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐴+ 𝐴𝐷，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．
（3）(−4,2)
【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键．
（1）利用同角的余角相等得出∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，再利用角角边证明全等即可．
（2）利用∠𝐶𝐸𝐴+ ∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐶𝐴𝐸= 180°和∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°可得∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷，证明△
𝐶𝐸𝐴≌△𝐴𝐷𝐵，得到𝐶𝐸= 𝐴𝐷，𝐵𝐷= 𝐴𝐸，等量代换即可．
（3）过点A 和点B 向𝑥轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可．
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【详解】（1）略
（2）略
（3）过点A 作𝐴𝐷⊥𝑥轴点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝑥轴于点E，
由（1）可得：∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝐵，∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐷𝐶= 𝐸𝐵，
∵𝐵(1,3)，𝐶(−1,0)，
∴𝐵𝐸= 3，𝑂𝐸= 1，𝑂𝐶= 1，
∴𝐴𝐷= 2, 𝑂𝐷= 4，
∴𝐴(−4,2)．
基础通关
1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，F 是𝐴𝐸延长线上一点，且
𝐹𝐷⊥𝐵𝐶于点D，∠𝐵= 28°，∠𝐹= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶=（ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
【答案】A
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐷𝐸𝐹，根据对顶角相等得到∠𝐴𝐸𝐶，再利用三角形外角性质求出
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∠𝐵𝐴𝐸，最后根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：∵𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝐸= 90°，
∵∠𝐹= 18°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 90° −∠𝐹= 72°，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 72°，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵= 28°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 72° −28° = 44°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸= 88°．
2．（25-26 八年级下·山东菏泽·期末）直角三角形斜边上的高和中线分别是3 和4，则它的面积是（ ）
A．24
B．20
C．15
D．12
【答案】D
【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为4，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得斜边长为2 × 4 = 8，
∵斜边上的高为3，
∴面积为
1
2 × 8 × 3 = 12．
3．（25-26 八年级下·山西临汾·期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（𝑂𝑀）垂直的墙（𝑂𝑁）上，设木棍中
点为𝑃，若木棍𝐴端沿墙下滑，且𝐵端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点𝑃到点𝑂的距离（ ）
A．始终不变
B．先变小再变大
C．先变大再变小
D．逐渐变小
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离不发生变化，，
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连接𝑂𝑃，
∵∠𝐴𝑂𝐵= 90°，𝑃为𝐴𝐵的中点，
∴𝑂𝑃=
1
2 𝐴𝐵，
即在木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离不发生变化．
4．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，D，E 分别是𝐵𝐶，𝐴𝐵上的点，𝐴𝐷平
分∠𝐵𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点F，G 为𝐴𝐷的中点，延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于点H．下列结论正确的有（ ）
①线段𝐴𝐷是△𝐴𝐶𝐸的高；②△𝐴𝐵𝐺与△𝐵𝐷𝐺的面积相等；③𝐴𝐵−𝐴𝐶= 𝐵𝐸；④∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸+
∠𝐸𝐴𝐷= 90°．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，𝐴𝐹是𝐶𝐸的高；②点𝐺为𝐴𝐷的中点，底边在同一直线
上，等高且等底，故面积相等；③𝐴𝐷平分角且𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，可证三角形全等，得到𝐴𝐶= 𝐴𝐸，代入线段差即
可推出𝐴𝐵−𝐴𝐶= 𝐵𝐸；④利用外角性质将得∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸，结合直角三角形两锐角互余，等量
代换可证三个角相加等于90°。
【详解】解：①∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐹，
∴线段𝐴𝐹为△𝐴𝐶𝐸的高，
故结论①不正确，不符合题意；
②∵点𝐺为𝐴𝐷的中点，
∴𝐴𝐺= 𝐷𝐺，
∵△𝐴𝐵𝐺的边𝐴𝐺上的高与△𝐵𝐷𝐺的边𝐷𝐺上的高相同，
∴△𝐴𝐵𝐺与△𝐵𝐷𝐺面积相等，
故结论②正确，符合题意；
③∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
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∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐹，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
在△𝐴𝐶𝐹和△𝐴𝐸𝐹中，
{
∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝐸= 90°
，
∴ △𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹(ASA)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐶= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
故结论③正确，符合题意；
④∵∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐹，
∴∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐷= 90°，
故结论④正确，符合题意；
结论正确的有3 个．
5．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）一个直角三角形的一个锐角为45度，则另一个锐角的度数是________
度．
【答案】45
【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键，根据直角三角形两锐角
互余计算即可得到答案．
【详解】解：∵直角三角形的一个锐角为45度，直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角的度数为90° −45° = 45°．
6．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，公路𝐴𝐶，𝐵𝐶互相垂直，公路𝐴𝐵的中点M 与点C 被湖隔开，若测得
𝐴𝑀的长为1.8km，则M，C 两点间的距离为_________km．
【答案】1.8
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合
已知条件即可求解．
【详解】解：∵公路𝐴𝐶、𝐵𝐶互相垂直，
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∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
∵𝑀是𝐴𝐵的中点，𝐴𝑀= 1.8km，
∴𝐶𝑀=
1
2 𝐴𝐵, 𝐴𝑀=
1
2 𝐴𝐵，
∴𝐶𝑀= 𝐴𝑀= 1.8km．
即M，C 两点间的距离为1.8km．
7．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，__________．
求证：𝐵𝐶= 𝐶𝐷．
请在空格处添加条件并证明．
小明：“添加∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，就可以证明𝐵𝐶= 𝐶𝐷．”
小丽：“要添加∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°才可以证明．”
你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
【答案】小丽，证明见解析
【详解】解：支持小丽的观点，证明如下：
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐴𝐷𝐶(HL)
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐷．
8．（25-26 八年级上·福建泉州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷点，𝐸是𝐴𝐷上的一点，连接
𝐵𝐸．若𝐴𝐷= 𝐵𝐷, 𝐴𝐶= 𝐵𝐸，求证：𝐷𝐶= 𝐷𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．由𝐴𝐷⊥
𝐵𝐶，可得∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，结合𝐴𝐷= 𝐵𝐷, 𝐴𝐶= 𝐵𝐸，证明Rt △𝐴𝐷𝐶≌Rt △𝐵𝐷𝐸(HL)，即可得出结
论．
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【详解】证明：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，
∵𝐴𝐷= 𝐵𝐷, 𝐴𝐶= 𝐵𝐸，
∴Rt △𝐴𝐷𝐶≌Rt △𝐵𝐷𝐸(HL)，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸．
9．（25-26 八年级上·北京西城·期末）如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐵⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐵, 𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=
∠𝐷𝐴𝐸．
(1)求证：𝐴𝐷= 𝐴𝐸；
(2)若∠𝐵𝐴𝐷= 20°，∠𝐷𝐴𝐸= 110°，求∠𝐶𝐸𝐷的度数．
【答案】(1)
证明：∵𝐷𝐵⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 90°．
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
{
∠𝐵= ∠𝐶,
𝐴𝐵= 𝐴𝐶,
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸,
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(ASA)．
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
(2)∠𝐶𝐸𝐷= 35°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
（1）由题意可得∠𝐵= ∠𝐶，由∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，再证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸即可证得；
（2）由∠𝐵𝐴𝐷= 20°可得∠𝐶𝐴𝐸= 20°，∠𝐶𝐸𝐴= 70°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可
求得∠𝐶𝐸𝐷的度数．
【详解】（1）略
（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐷= 20°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 20°．
∴在Rt △𝐴𝐶𝐸中，
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∠𝐶𝐸𝐴= 70°．
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷．
∵∠𝐷𝐴𝐸= 110°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= (180° −∠𝐷𝐴𝐸) ÷ 2 = 35°．
∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐴−∠𝐴𝐸𝐷= 35°．
10．（25-26 八年级上·山东·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 是𝐵𝐶的中点，∠𝐵= 40°，求∠𝐵𝐴𝐷的
度数．
【答案】50°
【分析】此题考查等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余．
根据等腰三角形的性质可得到∠𝐴𝐷𝐵= 90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 是𝐵𝐶的中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −40° = 50°．
11．（25-26 八年级上·江苏镇江·期末）如图，𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，∠𝐶= ∠𝐷= 90°．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷；
(2)若∠𝑂𝐵𝐶= 36°，则∠𝐵𝐴𝐶=_______°．
【答案】(1)证明见解析
(2)27
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定及全等三角形的性质、直角三角形的性质，关键是利用HL证明
三角形全等，再结合全等性质与直角三角形的角度关系求解．
（1）先根据∠𝐶= ∠𝐷= 90°判定△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷为直角三角形，再结合已知𝐴𝐶= 𝐵𝐷和公共边𝐴𝐵= 𝐵𝐴，
利用HL定理证明全等．
（2）由全等三角形的性质得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷，在Rt △𝑂𝐵𝐶中求出∠𝐵𝑂𝐶的度数，再利用三角形外角性质或
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直角三角形两锐角互余的关系，建立关于∠𝐵𝐴𝐶的方程求解．
【详解】（1）解：∵∠𝐶= ∠𝐷= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷都是直角三角形，
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐵𝐴𝐷中，{𝐴𝐶= 𝐵𝐷
𝐴𝐵= 𝐵𝐴
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≅Rt △𝐵𝐴𝐷(HL)；
（2）解：由（1）知△𝐴𝐵𝐶≅△𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷，
在Rt △𝑂𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝑂𝐵𝐶= 36°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 90° −36° = 54°，
又∵∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐶，即54° = 2∠𝐵𝐴𝐶，
解得∠𝐵𝐴𝐶= 27°；
故答案为：27．
12．（25-26 八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，F 是𝐵𝐶上的一点，𝐵𝐷⊥𝐴𝐹于点
D，𝐶𝐸⊥𝐴𝐹的延长线于点E，𝐴𝐷= 𝐶𝐸．求证：𝐵𝐷= 𝐴𝐸．
小虎同学的证明如下：
证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐹，𝐶𝐸⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°………第一步
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐷= 𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)………第二步
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸……………………第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程；
(3)请直接写出𝐵𝐷，𝐷𝐸，𝐶𝐸这三条线段之间的数量关系： ．
【答案】(1)二
(2)见解析
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(3)𝐵𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理求解即可；
（2）根据三角形全等的判定定理求解即可；
（3）由△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸得到𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，然后等量代换求解即可．
【详解】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误；
（2）解：证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐹，𝐶𝐸⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐷= 𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(HL)，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸；
（3）解：由（2）得，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸．
素养提升
1．若△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 2∠𝐵，∠𝐶= 3∠𝐵，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得∠𝐵，从而可得∠𝐶，即可判
断三角形的类型．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 2∠𝐵，∠𝐶= 3∠𝐵，
∴2∠𝐵+ ∠𝐵+ 3∠𝐵= 180°，
∴∠𝐵= 30°，
∴∠𝐶= 30° × 3 = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
故选：B．
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）一个小长方体木块静止在斜面𝑂𝐴上，其受力分析如图，重力𝐺的方向
与水平地面𝑂𝐵垂直，摩擦力𝐹1的方向与斜面平行，支持力𝐹2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1 = 28°，
则支持力𝐹2与重力𝐺方向的夹角∠2的度数是（ ）
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A．162°
B．152°
C．142°
D．118°
【答案】B
【分析】重力𝐺与水平地面垂直，得∠𝑂𝐷𝐶= 90°．由∠1 = 28°，得∠𝑂𝐶𝐷= 62°，由对顶角得∠𝐸𝐶𝐴=
62°．摩擦力𝐹1与斜面平行，故∠𝐶𝐸𝐹1 = 180° −62° = 118°．支持力𝐹2与斜面垂直，即与𝐹1垂直，得
∠𝐹2𝐸𝐹1 = 90°．由周角360°得∠2 = 360° −90° −118° = 152°．
【详解】解：如图，设重力𝐺的作用线与斜面𝑂𝐴交于点𝐶，与水平地面𝑂𝐵交于点𝐷．
∵重力𝐺的方向与水平地面𝑂𝐵垂直，
∴∠𝑂𝐷𝐶= 90°．
∵ ∠1 = 28°，
∴∠𝑂𝐶𝐷= 90° −28° = 62°．
∴ ∠𝐸𝐶𝐴= 62°．
∵摩擦力𝐹1的方向与斜面平行，
∴∠𝐶𝐸𝐹1 = 180° −∠𝐸𝐶𝐴= 180° −62° = 118°，
∵支持力𝐹2的方向与斜面垂直，
∴支持力𝐹2的方向与摩擦力𝐹1的方向垂直，
∴ ∠𝐹2𝐸𝐹1 = 90°，
∴∠2 = 360° −∠𝐹2𝐸𝐹1 −∠𝐶𝐸𝐹1 = 360° −90° −118° = 152°．
3．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是角平分线，∠𝐵= 40°，∠𝐶=
80°，则∠𝐸𝐴𝐷的度数为（ ）
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A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】B
【分析】根据已知条件𝐴𝐷是高, ∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°,得出∠𝐵𝐴𝐷= 50°,∠𝐶𝐴𝐷= 10°,又因为𝐴𝐸是角平分
线,得出∠𝐷𝐴𝐸= 20°．
【详解】解：∵ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∵ ∠𝐵= 40°,∠𝐶= 80°
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐷= 90° −40° = 50°
∴ ∠𝐶𝐴𝐷= 90° −80° = 10°
∵ 𝐴𝐸是角平分线
∴ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ 10°
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= 50° = ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ 10° + ∠𝐷𝐴𝐸
∴ 2∠𝐷𝐴𝐸+ 10° = 50°
∴ ∠𝐷𝐴𝐸= 20°
4．（25-26 八年级下·河南南阳·期末）如图，梯子𝐴𝐵斜靠在墙面上，点𝑃是梯子𝐴𝐵的中点，当梯子的一端𝐵
沿墙面𝐵𝐶向下移动，另一端𝐴沿水平面向左移动时，𝑃点和𝐶点的距离（ ）
A．先变小后变大 B．不断变小
C．不断变大
D．始终不变
【答案】D
【分析】连接𝑃𝐶，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得𝑃𝐶=
1
2 𝐴𝐵，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接𝑃𝐶，
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∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，即∠𝐴𝐶𝐵= 90°，且点𝑃是梯子𝐴𝐵的中点，
∴𝑃𝐶=
1
2 𝐴𝐵，
∵梯子𝐴𝐵的长度为定值，
∴𝑃𝐶的长度为定值，即𝑃点和𝐶点的距离始终不变．
5．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐹中，点𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，∠𝐸=
∠𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶．若𝐴𝐸= 3，𝐵𝐹= 6，则𝐸𝐹=_______．
【答案】9
【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明∠𝐴= ∠𝐵𝐶𝐹，结合已知条件利用AAS证明△
𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解．
【详解】解：点𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 180° −90° = 90°，
∵在Rt △𝐴𝐶𝐸中，∠𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐶𝐵𝐹中，
{
∠𝐸= ∠𝐹= 90°
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹= 6，𝐶𝐹= 𝐴𝐸= 3，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 6 + 3 = 9．
6．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 50°，边𝐵𝐶的垂直平分线
与边𝐴𝐵交于点M，点E 在线段𝐴𝑀上，连接𝐶𝐸，𝐶𝑀，且∠𝐴𝐶𝐸= 30°．
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(1)求∠𝐸𝐶𝑀的度数；
(2)求证：△𝐸𝐶𝑀是等腰三角形．
【答案】(1)20°
(2)证明：∵ ∠𝐴= 50°，∠𝐴𝐶𝐸= 30°，
∴ ∠𝐶𝐸𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸= 80°，
∵ ∠𝑀𝐶𝐵= ∠𝐵= 40°，
∴ ∠𝐶𝑀𝐸= ∠𝑀𝐶𝐵+ ∠𝐵= 80°，
∴ ∠𝐶𝐸𝑀= ∠𝐶𝑀𝐸，
∴ 𝐶𝐸= 𝐶𝑀，
∴ △𝐸𝐶𝑀是等腰三角形．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求∠𝐵= 40°，再根据垂直平分线的性质，可得𝑀𝐵= 𝑀𝐶，从而
∠𝑀𝐶𝐵= ∠𝐵= 40°，∠𝐴𝐶𝑀= 50°，最后计算即可求解；
（2）根据三角形外角的性质，先求∠𝐶𝐸𝑀= 80°，∠𝐶𝑀𝐸= 80°，再证∠𝐶𝐸𝑀= ∠𝐶𝑀𝐸即可．
【详解】（1）解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 50°，
∴ ∠𝐵= 90° −∠𝐴= 90° −50° = 40°，
∵点M 在边𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴ 𝑀𝐵= 𝑀𝐶
∴ ∠𝑀𝐶𝐵= ∠𝐵= 40°，
∴ ∠𝐴𝐶𝑀= 90° −∠𝑀𝐶𝐵= 50°，
∵ ∠𝐴𝐶𝐸= 30°，
∴ ∠𝐸𝐶𝑀= ∠𝐴𝐶𝑀−∠𝐴𝐶𝐸= 50° −30° = 20°，
则∠𝐸𝐶𝑀的度数为20°．
（2）略
7．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼𝐴𝐵的高度，在旗杆𝐶𝐷与楼
𝐴𝐵之间选定一点𝑃（点𝐷, 𝑃, 𝐵在同一直线上），测得∠𝐶𝑃𝐴= 90°，点𝑃到楼底的距离𝑃𝐵= 10 m，旗杆𝐶𝐷的
高度为10 m．若旗杆𝐶𝐷与楼𝐴𝐵之间的距离𝐵𝐷= 42 m，请你计算楼𝐴𝐵的高度．
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【答案】楼𝐴𝐵的高度为32 m
【分析】证明△𝑃𝐵𝐴≌△𝐶𝐷𝑃(AAS)，进一步利用全等三角形的性质可得答案.
【详解】解：由题意，得∠𝐶𝐷𝑃= 90°, ∠𝐴𝐵𝑃= 90°, 𝑃𝐵= 𝐶𝐷= 10 m, 𝐵𝐷= 42 m．
∵∠𝐶𝑃𝐴= 90°，
∴∠𝐷𝑃𝐶+ ∠𝐴𝑃𝐵= 90°．
∵∠𝐴𝐵𝑃= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐴𝑃𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐷𝑃𝐶．
在△𝑃𝐵𝐴和△𝐶𝐷𝑃中，
∵∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐷𝑃𝐶, ∠𝑃𝐵𝐴= ∠𝐶𝐷𝑃, 𝑃𝐵= 𝐶𝐷，
∴△𝑃𝐵𝐴≌△𝐶𝐷𝑃(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝑃𝐷．
∵𝑃𝐷= 𝐵𝐷−𝑃𝐵= 42 −10 = 32(m)，
∴𝐴𝐵= 32 m．
答：楼𝐴𝐵的高度为32 m．
8．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，有两个全等的等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶和等腰直角三角形𝐹𝐷𝐸，其
中△𝐹𝐷𝐸的顶点𝐷与△𝐴𝐵𝐶的斜边中点重合，𝐴𝐵= 2．将△𝐹𝐷𝐸绕点𝐷顺时针旋转，边𝐷𝐹与边𝐴𝐵交于点
𝑀，边𝐷𝐸与边𝐵𝐶交于点𝑁，连接𝑀𝑁．
(1)点𝐷到𝐵𝐶的距离是_____；
(2)在△𝐹𝐷𝐸的旋转过程中，
①请判断△𝐷𝑀𝑁的形状，并说明理由；
②求△𝑀𝑁𝐵面积的最大值．
【答案】(1)1
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(2)①△𝐷𝑀𝑁是等腰直角三角形，理由见解析；②
1
2
【分析】（1）连接𝐵𝐷，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，可得𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶· 𝐵𝐶= 2 ，𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 ，再根
据三角形面积公式解答即可求解；
（2）①证明△𝐵𝐷𝑁≌△𝐴𝐷𝑀(ASA)，可得𝐷𝑁= 𝐵𝑀，即可求证；②由全等三角形的性质得𝐵𝑁= 𝐴𝑀，
设𝐵𝑁= 𝐴𝑀= 𝑎，则𝐵𝑀= 2 −𝑎，可得𝑆△𝑀𝑁𝐵=
1
2 𝐵𝑁· 𝐵𝑀=
1
2 𝑎· (2 −𝑎) = −
1
2 (𝑎−1)2 +
1
2，即可求解；
【详解】（1）解：如图，连接𝐵𝐷，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐵= 2，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶· 𝐵𝐶=
1
2 × 2 × 2 = 2 ，
∵点𝐷是斜边𝐴𝐶的中点，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 ，
∴𝐷𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶· 𝐷𝐻=
1
2 × 2 × 𝐷𝐻= 1 ，
解得𝐷𝐻= 1，
∴点𝐷到𝐵𝐶的距离是1；
（2）解：①△𝐷𝑀𝑁是等腰直角三角形，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，点𝐷是斜边𝐴𝐶的中点，
∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐶 ，∠𝐷𝐵𝑁= ∠𝐴= 45° ，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝑀+ ∠𝐵𝐷𝑀= 90° ，
∵∠𝐸𝐷𝐹= 90°，
∴∠𝐵𝐷𝑁+ ∠𝐵𝐷𝑀= 90° ，
∴∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝐴𝐷𝑀 ，
∴△𝐵𝐷𝑁≌△𝐴𝐷𝑀(ASA)，
∴𝐷𝑁= 𝐵𝑀，
∴△𝐷𝑀𝑁是等腰直角三角形；
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②∵△𝐵𝐷𝑁≌△𝐴𝐷𝑀 ，
∴𝐵𝑁= 𝐴𝑀，
设𝐵𝑁= 𝐴𝑀= 𝑎，则𝐵𝑀= 2 −𝑎，
∴𝑆△𝑀𝑁𝐵=
1
2 𝐵𝑁· 𝐵𝑀=
1
2 𝑎· (2 −𝑎) = −
1
2 𝑎2 + 𝑎= −
1
2 (𝑎−1)2 +
1
2，
∵−
1
2 (𝑎−1)2 ≤0 ，
∴𝑆△𝑀𝑁𝐵≤0 +
1
2 =
1
2，
∴△𝑀𝑁𝐵面积的最大值为
1
2．
9．（25-26 七年级下·福建福州·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 在𝐵𝐶上，E 为𝐴𝐶延
长线上一点，且𝐴𝐷= 𝐵𝐸．延长𝐴𝐷交𝐵𝐸于点F．
(1)求证：𝐶𝐷= 𝐶𝐸；
(2)求证：𝐴𝐹⊥𝐵𝐸．
【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐸为𝐴𝐶延长线上一点，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
在Rt △𝐴𝐶𝐷和Rt △𝐵𝐶𝐸中，
{𝐴𝐷= 𝐵𝐸
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐵𝐶𝐸(HL)，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸；
(2)证明：∵Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐸= 90°，
∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐸．
【分析】（1）运用HL证明Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐵𝐶𝐸可得𝐶𝐷= 𝐶𝐸；
（2）根据Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐵𝐶𝐸可得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，进而即可求证．
【详解】（1）略
（2）略
迁移创新
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1．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深
入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
【模型呈现】
(1)如图①，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点C 作直线𝐷𝐸，过点A 作𝐴𝐷⊥𝐷𝐸于
点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐷𝐸于点E，猜想𝐴𝐷，𝐵𝐸与𝐷𝐸之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点C 作直线𝐶𝐸，过点A
作𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐶𝐸于点E，𝐴𝐷= 12，𝐵𝐸= 4，则𝐷𝐸的长为________；
(3)【深入探究】如图③，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐸=
𝐷𝐸，且点E 在𝐵𝐶上，连接𝐵𝐷，试猜想线段𝐴𝐵与线段𝐵𝐷的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)𝐴𝐷，𝐵𝐸与𝐷𝐸之间满足的数量关系是：𝐴𝐷+ 𝐵𝐸= 𝐷𝐸，理由如下：
如图1 所示：
在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∵𝐴𝐷⊥𝐷𝐸于点D，𝐵𝐸⊥𝐷𝐸于点E，
∴∠𝐷= ∠𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐶𝐵𝐸中，{
∠𝐷= ∠𝐸
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐶𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐸= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐷𝐸；
(2)8
(3)𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，理由如下：
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如图3，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐶𝐵于点F，
∵𝐴𝐸= 𝐷𝐸，∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹= 90°，
∴同理得：△𝐴𝐶𝐸≌△𝐸𝐹𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐹，𝐶𝐸= 𝐷𝐹，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹= 𝐷𝐹，
∴△𝐵𝐷𝐹是等腰直角三角形，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐹= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 180° −45° −45° = 90°，
∴𝐴𝐵⊥𝐵𝐷．
【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，结合∠𝐷= ∠𝐸= 90°、𝐴𝐶= 𝐵𝐶，用AAS判定
△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，根据全等三角形对应边相等，将𝐷𝐸拆分为𝐷𝐶+ 𝐶𝐸，替换为𝐵𝐸+ 𝐴𝐷得到数量关系；
（2）同样先证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，得到对应边𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐶𝐷= 𝐵𝐸，由图中线段位置关系，用𝐶𝐸−𝐶𝐷计
算𝐷𝐸的长度；
（3）过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶交𝐶𝐵的延长线于点𝐹，构造一线三垂直模型，证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐸𝐹𝐷，得到对应边相
等关系，推导𝐵𝐹= 𝐷𝐹，得到∠𝐷𝐵𝐹= 45°，结合∠𝐴𝐵𝐶= 45°，计算∠𝐴𝐵𝐷的度数，判断𝐴𝐵与𝐵𝐷的位置关
系．
【详解】（1）略；
（2）如图2 所示：
在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
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∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点D，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸于点E，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸= 90°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠3 = ∠1，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐶𝐵𝐸中，{
∠3 = ∠1
∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐸−𝐶𝐷= 𝐴𝐷−𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷= 12，𝐵𝐸= 4，
∴𝐷𝐸= 8；
（3）略．
2．（25-26 七年级下·河南鹤壁·期末）在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活
动．
【问题情境】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D．
(1)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，则∠𝐷𝐴𝐸=_________°；
【操作探究】
(2)如图①，若线段𝐴𝐵沿着𝐴𝐸翻折，正好落在𝐴𝐶上，∠𝐵= 40°，∠𝐸𝐴𝐷= 10°，试计算∠𝐸𝐴𝐶的度数，并说
明理由；
【拓展探究】
(3)如图②，点M、N 分别在线段𝐴𝐵、𝐴𝐶上，将△𝐴𝐵𝐶折叠，点B 落在点F 处，点C 落在点G 处，折痕分
别为𝐷𝑀和𝐷𝑁，点G、F 都在射线𝐷𝐴上；若∠𝐵+ ∠𝐶= 80°，试计算∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺的度数，并直接写出结
果．
【答案】(1)5
(2)∠𝐸𝐴𝐶的度数为60°，理由如下：
∵线段𝐴𝐵沿着𝐴𝐸翻折，正好落在𝐴𝐶上，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶，
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∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −40° = 50°，
∵∠𝐸𝐴𝐷= 10°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐷= 60°；
(3)∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺的度数为20°
【分析】（1）由𝐴𝐷⊥𝐵𝐶、∠𝐵= 40°，根据直角三角形两锐角互余，得∠𝐵𝐴𝐷= 90° −40° = 50°．由三角
形内角和得∠𝐵𝐴𝐶= 180° −40° −30° = 110°，因𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，故∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 55°，进而可求出
∠𝐷𝐴𝐸的度数；
（2）由折叠可知𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶．由𝐴𝐷⊥𝐵𝐶、∠𝐵= 40°，得∠𝐵𝐴𝐷= 90° −40° =
50°，结合∠𝐸𝐴𝐷= 10°，可得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐷= 60°，则∠𝐸𝐴𝐶= 60°；
（3）由折叠得∠𝐷𝐹𝑀= ∠𝐵，∠𝐷𝐺𝑁= ∠𝐶，故∠𝐷𝐹𝑀+ ∠𝐷𝐺𝑁= 80°．根据三角形外角性质，∠𝐵𝐴𝐷=
∠𝐷𝐹𝑀+ ∠𝐴𝑀𝐹，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐺𝑁+ ∠𝐴𝑁𝐺，两式相加得∠𝐵𝐴𝐶= 80° + ∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺．由∠𝐵𝐴𝐶=
100°，代入得∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺= 20°．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −40° = 50°，
∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，且𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (180° −∠𝐵−∠𝐶) =
1
2 (180° −40° −30°) = 55°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷= 55° −50° = 5°；
（2）略
（3）解：∵∠𝐵+ ∠𝐶= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −(∠𝐵+ ∠𝐶) = 100°，
由折叠可得，∠𝐷𝐹𝑀= ∠𝐵，∠𝐷𝐺𝑁= ∠𝐶，
∴∠𝐷𝐹𝑀+ ∠𝐷𝐺𝑁= ∠𝐵+ ∠𝐶= 80°，
由图可得，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐹𝑀+ ∠𝐴𝑀𝐹，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐺𝑁+ ∠𝐴𝑁𝐺，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷
= ∠𝐷𝐹𝑀+ ∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐷𝐺𝑁+ ∠𝐴𝑁𝐺
= 80° + ∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺，
又∵∠𝐵𝐴𝐶= 100°，
∴80° + ∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺= 100°，
∴∠𝐴𝑀𝐹+ ∠𝐴𝑁𝐺= 20°．
