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2.6 直角三角形（第二课时）
题型一：含30°的直角三角形与垂直平分线综合
1．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，已知在
ABC
中，
90
C
=
，
15
B
=
，AB 的垂直平分线交BC
于点D，交AB 于点E．若
10cm
DB =
，则AC 的值是（ ）
A．5cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，根
据线段垂直平分线的性质，得出
10cm
AD
BD
=
=
，根据等边对等角得出
15
DAB
B
= =
，根据三角形外
角的性质求出
30
ADC
=
，然后根据含30角的直角三角形的性质求解即可．
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【详解】解：连接AD，
∵DE 是AB 垂直平分线，
10cm
DB =
∴
10cm
AD
BD
=
=
，
∴
15
DAB
B
= =
，
∴
30
ADC
DAB
B
=
+=
，
又
90
C
=
，
∴
1
5cm
2
AC
AD
=
=
，
故选：A．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
30
C
=
，AC 的垂直平分线交AC 于点
D，交BC 于点E，若
12
BC =
，则DE 的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰
三角形的性质．连接AE ，根据线段垂直平分线的性质可得AE
CE
=
，从而得到
30
CAE
C
=
=
，再结合
直角三角形的性质可得
BAE
CAE
=
，
2
AE
BE
=
，从而得到
3
BC
DE
=
，即可求解．
【详解】解：如图，连接AE ，
∵DE 垂直平分AC ，
∴AE
CE
=
，DE
AC
⊥
，
∴
30
CAE
C
=
=
，
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∵
90
B
?
? ，
∴
,
90
60
BE
AB
BAC
C
⊥
=
−
=
，
∴
30
BAE
BAC
CAE
=
−
=
，
∴
BAE
CAE
=
，
2
AE
BE
=
，
∴BE
DE
=
，
∴
2
CE
DE
=
，
∴
2
3
BC
BE
CE
DE
DE
DE
=
+
=
+
=
，
∵
12
BC =
，
∴
1
4
3
DE
BC
=
=
．
故选：A
3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在ABC
中，
90
C
=
，
15
B
=
，AB 的垂直平分线交BC 于点
D， 交AB 于点 E，若
6
AC =
， 则BD等于 （ ）
A．10
B．12
C．16
D．18
【答案】B
【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得ABD
为等腰三角形是解决本题的关键 ．
根据DE 为AB 的垂直平分线，即线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得ABD
为
等腰三角形，即可求解
DAC
的度数，再结合30的直角三角形的性质即可求解 ．
【详解】解：因为AB 的垂直平分线交BC 于点D，
所以可得AD
BD
=
，即ABD
为等腰三角形，
所以
15
DAE
B
= =
，
又因为
90
C
=
，
所以
180
90
15
75
CAB
=
−
−
=
，
又因为
15
DAE
=
，
所以
60
DAC
=
，
所以
30
CDA
=
，
则在Rt ACD
中，
6
AC =
，
所以
2
12
BD
AD
AC
=
=
=
．
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故选：B ．
4．（24-25 八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在
ABC
中，
90
15
C
B
=
=
，
，DE 垂直平分
,
AB D 为垂足，
DE 交BC 于点E，若
10
BE =
，则AC 的长为（ ）
A．5
B．5 3
C．10
D．10 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，含30角的直角三角形的性质等内容，
解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
先利用线段垂直平分线的性质和外角定理得出
30
AEC
=
，再利用含30角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，
∴
10
EA
EB
=
=
，
∴
15
EBA
EAB
=
=
，
∴
30
AEC
EBA
EAB
=
+
=
，
∵
90
C
=
，
∴
1
5
2
AC
EA
=
= ，
故选：A．
5．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，在
ABC
中,
30 ,
C
AD
AB
=
⊥
，垂足为点A，交BC 于点D，
过点D 的直线m 恰好垂直平分线段AC ，
5
AD = ，则BC 的长是（ ）
A．12
B．15
C．18
D．20
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，含30的直角三角形的性质，熟练掌握
以上知识点是解答本题的关键．直线m 恰好垂直平分线段AC ，得到
5
CD
AD
=
=
，由
30
C
=
，AD
AB
⊥
，
利用三角形的内角和定理求出
30
B
=
，再根据含30的直角三角形的性质，求出
2
10
BD
AD
=
=
，最后根
据BC
BD
CD
=
+
即可得解．
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【详解】解：直线m 恰好垂直平分线段AC ，
5
AD = ，
5
CD
AD
=
= ，
30
C
=
，
30
CAD
C
=
=
，
AD
AB
⊥
，
90
BAD
=
，
120
BAC
BAD
CAD
=
+
=
，
180
30
=
−
−
=
B
BAC
C
，
2
10
BD
AD
=
=
，
15
BC
BD
CD
=
+
=
，
故选：B．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，ABC
中，
45
C
=
，
120
B
=
．BC 、AB 的中垂线DE 、FH
分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F 、H ．若
3
CE =
，则AH 的长度是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30 度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接BH ，BE ，
根据线段垂直平分线的性质可知AH
BH
=
，
3
BE
CE
=
= ，
45
C
CBE
=
=
，故可得出
90
BEC
=
，即
BE
AC
⊥
，再由三角形外角的性质求出
BHE
的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图所示，连接BH ，BE ，
ABC
中，
45
C
=
，
120
ABC
=
，
180
45
120
15
A
=
−
−
=
．
DE
是BC 的垂直平分线，
3
CE =
，
3
BE
CE
=
=
，
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∴
45
C
CBE
=
=
，
90
BEC
=
，即BE
AC
⊥
．
HF
是AB 的垂直平分线，
AH
BH
=
，
15
A
ABH
=
=
，
30
BHE
=
，
在Rt
BEH
△
中，
3
BE =
，
2
6
BH
BE
=
=
，即
6
AH =
．
故选：B．
7．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，在ABC
中，
90
C
=
，线段AB 的垂直平分线交CB
AB
、
于点D
和E，
30 ,
3
B
CD
=
=
，则BD的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及含30 度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性
质及含30 度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得
60
BAC
=
，DB
DA
=
，则有
30
DAB
B
= =
，
然后根据含30 度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：在
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
∴
60
BAC
=
，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴DB
DA
=
，
∴
30
DAB
B
= =
，
在Rt
ACD
△
中，
30
DAC
BAC
DAB
=
−
=
，
3
CD =
，
∴
2
6
DA
CD
=
=
，
∴
6
DA
BD
=
=
．
故答案为：6．
8．
（2025·江苏扬州·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，线段AB 的垂直平分线分别交BC
AB
、
于点D
E
、，连接AD，
若
4
CAD
B
= ，
9
BD =
，则AC = ．
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【答案】4.5
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质等知识点，掌握30 度角所对
的直角边是斜边的一半成为解题的关键．
设
B
x
= ，由垂直平分线的性质以及等边对等角可得
DAB
B
x
= = ，再根据三角形外角的性质可得
2
ADC
x
=
，然后由直角三角形两锐角互余可得4
2
90
x
x
+
=
，解得：
15
x =
，即
2
30
ADC
x
=
=
；最后根
据30 度角所对的直角边是斜边的一半即可解答．
【详解】解：设
B
x
= ，
∵线段AB 的垂直平分线分别交BC
AB
、
于点D
E
、，连接AD，
∴
9
AD
BD
=
=
，
∴
DAB
B
x
= = ，
∴
2
2
ADC
B
DAB
B
x
= +
= =
，
∵
4
4
CAD
B
x
= =
，
90
C
=
，
∴
90
CAD
ADC
+
=
，即4
2
90
x
x
+
=
，解得：
15
x =
，
∴
2
30
ADC
x
=
=
，
∴
1
4.5
2
AC
AD
=
=
．
故答案为：4.5 ．
题型二：含30°的直角三角形与角平分线综合
1．（24-25 八年级下·广东深圳·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
30
C
=
，
ABC
的平分线BD交
AC 于点D，若
3
AD = ，则DC = （ ）
A．5
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由三角形
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内角和定理可得
60
ABC
=
，又BD平分
ABC
，则
30
ABD
CBD
=
=
，通过直角三角形性质可得
2
6
BD
AD
=
=
，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵
90
A
=
，
30
C
=
，
∴
60
ABC
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
30
ABD
CBD
=
=
，
∴
2
6
BD
AD
=
=
，
∵
30
C
CBD
=
=
，
∴
6
CD
BD
=
=
，
故选：B．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
6
BC =
，AD平分
CAB
交BC
于点D，E 为边AB 上一点，则线段DE 长度的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，含30 度直角三角形的性质等知识；过D 作DF
AB
⊥
于点F，则当E 与F 重合时，DE 最小，最小值为线段DF 的长，再由角平分线性质定理、含30 度直角三
角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过D 作DF
AB
⊥
于点F，
则当E 与F 重合时，DE 最小，最小值为线段DF 的长；
∵
90
C
=
，
30
B
=
，
∴
90
30
60
CAB
=
−
=
，
∵AD平分
CAB
，DF
AB
⊥
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∴
1
30
2
CAD
DAB
CAB
=
=
=
，CD
DF
=
，
∴
6
AD
BD
BC
CD
CD
=
=
−
= −
；
∵
2
AD
CD
=
，
∴6
2
CD
CD
−
=
，
即
2
CD = ，
∴
2
DF = ，
即DE 的最小值为2．
故答案为：2．
3．
（24-25 八年级下·江西抚州·期末）如图，在
ABC
中，
90 ,
C
AE
=
平分
,
BAC EF
垂直平分
,
6
AB CE =
，
则BE的长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30 度角的直角三角形的性质，三角形内
角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得
1
2
EAC
EAB
BAC
=
=
，由线段垂直平分线的性质
得到AE
BE
=
，则可得到
30
EAC
EAB
B
=
=
=
∠
∠
∠
，据此可得
2
12
BE
AE
CE
=
=
=
．
【详解】解：∵AE 平分
BAC
，
∴
1
2
EAC
EAB
BAC
=
=
，
∵EF 垂直平分AB ，
∴AE
BE
=
，
∴
B
EAB
=
，
∴
EAC
EAB
B
=
=
∠
∠
∠；
∵
90
C
=
，
∴
90
EAC
EAB
B
+
+
=
∠
∠
∠
，
∴
30
EAC
EAB
B
=
=
=
∠
∠
∠
，
∴
2
12
BE
AE
CE
=
=
=
，
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故答案为：12．
4．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，AE 平分
BAC
，EF 垂直平分AB ，
6
CE =
，则BE 的长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30 度角的直角三角形的性质，三角形内
角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得
1
2
EAC
EAB
BAC
=
=
，由线段垂直平分线的性质
得到AE
BE
=
，则可得到
30
EAC
EAB
B
=
=
=
∠
∠
∠
，据此可得
2
12
BE
AE
CE
=
=
=
．
【详解】解：∵AE 平分
BAC
，
∴
1
2
EAC
EAB
BAC
=
=
，
∵EF 垂直平分AB ，
∴AE
BE
=
，
∴
B
EAB
=
，
∴
EAC
EAB
B
=
=
∠
∠
∠；
∵
90
C
=
，
∴
90
EAC
EAB
B
+
+
=
∠
∠
∠
，
∴
30
EAC
EAB
B
=
=
=
∠
∠
∠
，
∴
2
12
BE
AE
CE
=
=
=
，
故答案为：12．
5．
（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，
30
AOB
=
，OP 平分
AOB
，PC OB
∥
交OA于C．如果
6
OC =
，
那么点P 到OB 的距离等于 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关定
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理是解题的关键．过点P 作PD
OA
⊥
于点D，PE
OB
⊥
于点E，根据角平分线性质定理可得PD
PE
=
，然
后证明
CPO
AOP
=
，即得
6
PC
OC
=
= ，再根据直角三角形的性质可得
1
3
2
PD
PC
=
= ，即得答案．
【详解】解∶ 过点P 作PD
OA
⊥
于点D，PE
OB
⊥
于点E，
OP
平分
AOB
，
AOP
BOP
=
，PD
PE
=
，
PC
OB
∥
，
CPO
BOP
=
，
30
DCP
AOB
=
=
，
CPO
AOP
=
，
6
PC
OC
=
= ，
PD
OA
⊥
，
30
DCP
=
，
1
3
2
PD
PC
=
= ，
3
PE
= ，
即点P 到OB 的距离等于3．
故答案为：3．
题型三：含30°的直角三角形的实际应用
1．（24-25 八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知
90
ACB
=
，
30
BAC
=
，
1.6m
BC =
，则AB 的长为（ ）m ．
A．1.6
B．0.8
C．3.2
D．2.8
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据30所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握30所对直
角边是斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
30
BAC
=
，
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∴
1
1.6m
2
BC
AB
=
=
，
∴
3.2m
AB =
，
故选：C ．
2．
（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，
30
BAC
=
，
则缆车从点A 到点B 的过程中竖直上升的高度（BC 的长）为（ ）
A．60 米
B．45 米
C．30 米
D．15 米
【答案】D
【分析】本题考查了含30 度角的直角三角形，根据 30 度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
30
BAC
=
，
30
AB =
米，
则
1
15
2
BC
AB
=
=
米，
故选：D．
3．（24-25 八年级上·福建莆田·期中）如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中
,
AB CD
分别表示一楼，二楼地面的水平线，
150 ,
ABC
BC
=
的长是40m．则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h是
（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40
【答案】B
【分析】本题考查的是直角三角形性质，熟练掌握30 度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键，先求
出
30
CBE
=
，再根据30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出
1
20m
2
CE
BC
=
=
即可解决．
【详解】解：作CE
AB
⊥
，交AB 延长线于点E，
150
ABC
=
，
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180
150
30
CBE
=
−
=
，
BC
的长是40m，
1
20m
2
CE
BC
\
=
=
，
则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h是20m，
故选：B．
4．
（24-25 八年级下·湖南株洲·期末）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若
150
ABC
BC
=
，
的长为6 米，
则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h为 米．
【答案】3
【分析】本题考查了含30角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含30角
的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意，过点C 作CE
AB
⊥
延长线于点E ，则
90
BEC
=
，可得
30
CBE
=
，运用含30角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点C 作CE
AB
⊥
延长线于点E ，则
90
BEC
=
，
∵
150
ABC
=
，
∴
180
180
150
30
CBE
ABC
=
−
=
−
=
，
∴在Rt BCE
中，
1
1
6
3
2
2
CE
BC
=
=
=
（米），
∴点B 到点C 上升的高度
3
h = 米，
故答案为：3 ．
5．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC 上种植草皮美化环境，已知
150
A
=
，这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮需要 元．
【答案】150a
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14 /
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30 度角的直角三角形的性质，
关键在于作出AB 边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出
ABC
的面积．作BA边的
高CD，设与BA的延长线交于点D ，则
30
DAC
=
，由
30m
AC =
，即可求出
15m
CD =
，然后根据三角形
的面积公式即可推出
ABC
的面积为
2
150m ，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D ，
150
BAC
=
，
30
DAC
=
，
CD
BD
⊥
，
30m
AC =
，
15m
CD
=
，
20m
AB =
，
2
1
1
20 15
150m
2
2
ABC
S
AB CD
=
=
=
，
每平方米售价a 元，
购买这种草皮的价格：150a 元．
故答案为：150a ．
6．
（24-25 八年级下·内蒙古包头·期中）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若
50cm
AO
BO
=
=
，
30cm
CO
DO
=
=
．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度
AOB
应为120，求出AB 距离地面CD的高
度是 cm．
【答案】40
【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成
为解题的关键．
如图：作DE
AB
⊥
于E，根据等腰直角三角形的性质可得
30
A
B
=
=
∠
∠
，再求得
50 30
80cm
AD=
+
=
，再运用
30所对的直角边等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：如图：作DE
AB
⊥
于E，
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15 /
∵
120
AOB
=
，
50cm
AO
BO
=
=
，
∴
180
30
2
AOB
A
−
=
=
，
∵
50
30
80(cm)
AD =
+
=
，
∴
1
40cm
2
DE
AD
=
=
．
故答案为40．
7．（2025·广东深圳·二模）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如
图1）．已知停车场入口的栏杆AO 的长度为3 米（如图2 所示），栏杆AO 从水平位置绕点O顺时针旋转到A O
的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角
AOA
为30时，栏杆A 端升高了 米．
【答案】3
2 /1.5
【分析】本题考查了含30角的直角三角形定义，熟悉掌握此定义是解题的关键．
过点A作A B
AO
⊥
于点B ，即可根据含30角的直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半解答．
【详解】解：过点A作A B
AO
⊥
于点B ，如图所示：
∵
90
A BO
=
，
30
A OA
=
，
∴
1
1
3
3
2
2
2
A B
A O
=
=
=
，
故答案为：3
2 ．
8．（24-25 八年级上·北京·期中）如图1 是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘
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的端点A 与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘
45cm
AC
BD
=
=
，且与闸机侧立而夹角
30
PCA
BDQ
=
=
，
求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．
【答案】55
【分析】本题考查了含30 度角的直角三角形的性质、线段的和差等知识点，正确作出辅助线、构造直角三
角形是解题的关键．
如图：过点A作AE
CP
⊥
，垂足为E，过点B作BF
DQ
⊥
，垂足为F，根据垂直定义可得：
90
AEC
BFC
=
=
，
然后分别在Rt
AEC
△
和Rt
CBF
△
中，利用含30 度角的直角三角形的性质求出AE 和BF 的长，最后利用线
段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点A 作AE
CP
⊥
，垂足为E，过点B 作BF
DQ
⊥
，垂足为F，
∴
90
AEC
BFC
=
=
，
∵
30
45cm
PCA
BDQ
AC
BD
=
=
=
=
，
，
∴
1
1
22.5cm
22.5cm
2
2
AE
AC
BF
BD
=
=
=
=
，
，
∵双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度
10
22.5 10
22.5
55cm
AE
BF
=
+
+
=
+
+
=
．
故答案为：55．
9．（24-25 八年级上·内蒙古通辽·期末）如图所示，有一根垂直于地面的松树在A 处断裂，松树顶部落在地
面C 处，通过测量可知
30
ACB
=
，且松树断裂处A 与地面的距离AB 的长为6 米，则松树断裂前的高为
米．
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【答案】18
【分析】本题考查了直角三角形的性质，由题意可得
30
ACB
=
，
6
AB =
米，
90
ABC
=
，由直角三角形
的性质可得
2
12
AC
AB
=
=
米，即可得解．
【详解】解：由题意可得，
30
ACB
=
，
6
AB =
米，
90
ABC
=
，
∴
2
12
AC
AB
=
=
米，
∴松树断裂前的高为
6 12
18
AB
AC
+
=
+
=
米，
故答案为：18．
题型四：含30°的直角三角形中尺规作图问题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
C
=
，
2
AC =
．以点A 为圆心，AC
长为半径作弧，交BC 于点D ；再分别以点C 和点D 为圆心，以大于1
2 DC 长为半径作弧，两弧相交于点E ，
作射线AE 交BC 于点F ，则BF 的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 3
2
−
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，直角三角形的性质，熟练掌握30 度所对直角边等于斜边的一半是
解题的关键．根据题意可知
30
B
=
，根据30 度所对直角边等于斜边的一半得出
2
BC
AC
=
，由作图可得
AF
BC
⊥
，即
90
AFC
=
，再根据30 度所对直角边等于斜边的一半得出
1
2
CF
AC
=
，最后由BF
BC
CF
=
−
即可得解．
【详解】解：∵在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
C
=
，
2
AC =
．
∴
90
90
60
30
B
C
=
−
=
−
=
，
∴
2
2 2
4
BC
AC
=
= =
；
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18 /
由作图可得，AF
BC
⊥
，即
90
AFC
=
，
∴
90
90
60
30
FAC
C
=
−
=
−
=
，
∴
1
1
2
1
2
2
CF
AC
=
=
= ，
∴
4 1
3
BF
BC
CF
=
−
=
−=
．
故选：B．
2．（24-25 八年级下·山西晋中·期末）如图，在
ABC
中，
120
AB
AC
A
=
=
，
，分别以点A、C 为圆心，
大于1
2 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点P 和点Q，作直线PQ ，分别交BC
AC
、
于点D 和点E．若
5
CD = ，
则BD长为（ ）
A．8
B．10
C．5 2
D．5 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，含30 度角的直
角三角形的性质，连接AD，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出
30
B
C
=
=
，
再由作法得DE 垂直平分AC ，所以
5
DA
DC
=
=
， 所以
30
DAC
C
=
=
， 从而得到
90
BAD
=
， 然
后根据含30度角的直角三角形三边的关系求BD的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接AD，
∵
,
120
AB
AC
A
=
=
，
∴
30
B
C
=
=
，
由作法得DE 垂直平分AC ，
∴
5
DA
DC
=
=
，
∴
30
DAC
C
=
=
，
∴
120
30
90
BAD
=
−
=
，
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19 /
在Rt
ABD
△
中，
30
B
=
，
∴
2
10
BD
AD
=
=
，
故选：B.
3．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，按以下步骤作图：①以顶点C
为圆心，BC 的长为半径画弧，交AB 于B，D 两点；②分别以点B，D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径画弧，
两弧交于点E：③作射线CE 交AB 于点F．若
30
A
=
，
4
BC =
，则DF 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是含30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一
半．根据尺规作图得到EC 是线段BD的垂直平分线，得到BF
DF
=
，CF
BD
⊥
，根据直角三角形的性质求
出
30
BCF
=
，再根据含30 度角的直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：由尺规作图可知：EC 是线段BD的垂直平分线，
∴BF
DF
=
，CF
BD
⊥
，
∵
30
A
=
，
∴
90
0
30
6
ACF
=
−
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
30
BCF
=
，
∴
1
2
2
BF
BC
=
=
，
∴
2
DF
BF
=
=
，
故答案为：2 ．
4．（23-24 八年级下·四川成都·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
B
=
，分别以点A 和点B 为
圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，连接MN ，交BC 于点D，连接AD，若
10
DC =
，
则BD的长度为 ．
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【答案】20
【分析】本题主要考查垂直平分线的定义和含30角的直角三角形性质，根据题意知MN 为AB 的中垂线，
得到BD
DA
=
，结合题干给定的角度可求得
=30
DBA
DAB
=
，进而求得
30
CAD
=
，即可求得答案．
【详解】解：由题意得MN 为AB 的中垂线，则BD
DA
=
，
∴
DBA
DAB
=
，
∵
90
C
=
，
30
B
=
，
∴
60
BAC
=
，
=30
DBA
DAB
=
，
∴
30
CAD
=
，
则
2
2 10
20
BD
DA
DC
=
=
=
=
，
故答案为：20．
5．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在
ABC
中，
90 ,
30
C
B
=
=
，以A 为圆心，任意长为半径
画弧分别交AB
AC
、
于点M 和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP
并延长交BC 于点D，若
2
CD = ，则BD = ．
【答案】4
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30 度角的直角三角形，等角对等边.
根据题意，得到AD平分
BAC
，进而得到
30
CAD
DAB
=
=
，利用含30 度角的直角三角形的性质以
及等角对等边得到
2
BD
AD
CD
=
=
，即可．
【详解】解：∵
90 ,
30
C
B
=
=
，
∴
60
BAC
=
，
由题意，得：AD平分
BAC
，
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21 /
∴
30
CAD
DAB
B
=
=
= ，
∴AD
BD
=
，
在Rt
ACD
△
中，
90 ,
30
C
CAD
=
=
，
∴
2
4
BD
AD
CD
=
=
=
.
故答案为：4 ．
6．（2025·山东聊城·三模）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
4
AC =
，点P 为AB 上一点，点Q
为BC 上一点，且BP
PQ
=
，分别以点P，Q 为圆心，以大于1
2 PQ的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直
线MN ，若MN 恰好经过AB 的中点，则PB 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了含30 度角的直角三角形、垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．设AB 的中点为D ，连接DQ ，由
90
C
=
，
30
B
=
得到
2
8
AB
AC
=
= ，根据
中点的定义得到
1
4
2
BD
AB
=
=
，由作图可得直线MN 是PQ 的垂直平分线，则有DQ
DP
=
，通过计算可得
60
DPQ
PQB
B
=
+
=
，推出
DPQ
是等边三角形，得到BP
PQ
DP
=
=
，即可求出PB 的长．
【详解】解：如图，设AB 的中点为D ，连接DQ ，
90
C
=
，
30
B
=
，
2
2 4
8
AB
AC
=
= = ，
AB
的中点为D，
1
4
2
BD
AB
=
=
，
由作图可得，直线MN 是PQ 的垂直平分线，
MN
恰好经过AB 的中点D ，
DQ
DP
=
，
BP
PQ
=
，
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30
PQB
B
=
=
，
60
DPQ
PQB
B
=
+
=
，
DPQ
△
是等边三角形，
PQ
DP
=
，
BP
DP
=
，
1
1
4
2
2
2
PB
BD
=
=
=
．
故答案为：2．
7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
30
C
=
，按以下步骤作图：①以点A 为圆
心，任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径
作弧，两弧交于点O；③作射线AO ，交BC 于点D．若
1
BD = ，则BC 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质等知识点，
灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：过D 点作DH
AC
⊥
于H 点，由题中作法得AD平分
BAC
，根据
,
AB DH
AC
BD ⊥
⊥
得
1
DH
BD
=
= ，
根据含30直角三角形的性质
2
2
CD
DH
=
=
，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过D 点作DH
AC
⊥
于H 点，
由题中作法得AD平分
BAC
，
∵
90 ,
B
DH
AC
=
⊥
，
∴
1
DH
BD
=
= ，
∵
30
C
=
，
∴
2
2
CD
DH
=
=
，
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∴
1 2
3
BC
BD
CD
=
+
= +
= ．
故答案为：3．
8．（2025·江西赣州·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
B
=
，分别以点B 和点C 为圆心，适
当的长为半径作弧，两弧相交于D 、E 两点，直线DE 交AB 于点F ，连结CF ．若
2
AC =
，则CF = ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形外角定理，等边三角形的判断和性
质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
根据尺规作图可知，DE 垂直平分线段BC ，然后根据角的度数确定
ACF
△
为等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：根据尺规作图可知，DE 垂直平分线段BC ，
CF
BF
=
，
30
BCF
B
\ ?
?
? ，
60
AFC
B
BCF
= +
=
，
90
60
A
B
=
−=
，
ACF
△
为等边三角形，
2
CF
AC
=
=
，
故答案为：2．
题型五：含30°的直角三角形中的简单证明题
1．（24-25 八年级下·广东河源·期中）如图，在
ABC
中，
,
30
CA
CB
A
=
=
，D 是AC 的中点，DE
AC
⊥
交AB 于点E ．求证：
2
BE
AE
=
．
【答案】见详解
【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，30度角的直角三角形，正
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确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边对等角，得
30
B
A
=
=
∠
∠
，根据三角形内角和性质得
120
ACB
=
°，再结合DE
AC
⊥
交AB 于点E ．D 是AC 的中点，得ED是AC 的垂直平分线，则
30
ECA
A
= =
，
90
BCE
=
，运用30度角所对的直角边是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：∵
,
30
CA
CB
A
=
=
，
∴
30
B
A
=
=
∠
∠
，
180
30
30
120
ACB
=
−
−
=
，
∵DE
AC
⊥
交AB 于点E ．D 是AC 的中点，
∴ED是AC 的垂直平分线，
∴AE
CE
=
，
∴
30
ECA
A
= =
，
∴
120
30
90
BCE
=
−
=
，
在Rt BCE
中，
30
B
=
，
则
2
BE
EC
=
，
∵AE
CE
=
，
∴
2
BE
AE
=
．
2．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
30
ACB
B
=
=
，点D 为AB 的中点，
连接CD，求证：
ADC
△
是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，含30 度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质，由三角
形内角和定理可得
60 ,
BAC
=
，由含30 度角的直角三角形的性质可得
1
2
AC
AB
=
，再由直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半可得
1
2
AD
DB
AB
=
=
，则AD
AC
=
，据此可证明结论．
【详解】证明：∵在Rt
ABC
△
中，
90 ,
30
ACB
B
=
=
，
∴
1
60 ,
2
BAC
AC
AB
=
=
，
∵点D 为AB 的中点，
∴
1
2
AD
DB
AB
=
=
，
∴AD
AC
=
，
∴
ADC
△
是等边三角形．
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3．
（24-25 八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，Rt
ABC
△
中，
90
30
C
ABC
=
=
，
，线段AD平分
BAC
交BC 于点E，连接BD，BD
AC
∥
．
(1)求证：AE
BE
=
；
(2)求证：BC
CE
DE
+
=
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据三角形的内角和定理，角平分线定义可求出
30
BAE
=
，然后根据等角对等边即可得证；
（2）根据平行线的性质可得出
90 ,
30
DBE
C
D
EAC
=
=
=
=
，根据含30角的直角三角形的性质可
得出
2
AE
CE
=
，
2
DE
BE
=
，结合（1）中AE
BE
=
即可得证．
【详解】（1）证明：
90 ,
30 ,
C
ABC
=
=
60
BAC
=
，
AD
平分
BAC
，
1
30
2
CAE
BAE
BAC
=
=
=
，
ABC
EAB
=
，
AE
BE
=
．
（2）证明：
1
90 ,
30
2
C
EAC
BAC
=
=
=
，
2
AE
CE
=
，
BD
AC
∥
，
90 ,
30
DBE
C
D
EAC
=
=
=
=
，
2
DE
BE
=
，
又AE
BE
=
，
2
DE
BE
AE
BE
CE
BE
CE
CE
BC
CE
=
+
=
+
=
+
+
=
+
．
4．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，
30
BAC
=
，BE
AC
⊥
，AD
BC
⊥
，
点F 是BE与AD的交点，点M 是AC 的中点，过点 A 作 AH
AB
⊥
交 FM 延长线于点 H．
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(1)试判断AH 与 BF 的数量关系并说明理由；
(2)求证：
1
2
AH
FE
AC
+
=
．
【答案】(1) AH
BF
=
，见解析
(2)见解析
【分析】
（1）连接CF ，证明AD垂直平分BC ，得出BF
CF
=
，证明
(
)
ASA
AHM
CFM
≌
，得出AH
CF
=
，
即可证明结论；
（2）由（1）可得AH
FE
BF
FE
BE
+
=
+
=
，根据直角三角形的性质得出
1
2
BE
AB
=
，即可得出答案．
【详解】（1）解：AH
BF
=
；理由如下：
连接CF ，如图所示：
∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴BD
CD
=
，
A
ABC
CB
=
∠
，
∴AD垂直平分BC ，
∴BF
CF
=
，
∴
FBC
FCB
=
，
∴
ABC
FBC
ACB
FCB
−
=
−
，
即
ABF
ACF
=
，
∵BE
AC
⊥
，AH
AB
⊥
，
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∴
90
AEB
=
，
90
BAH =
∠
，
∵
30
BAC
=
，
∴
90
30
60
HAM
=
−
=
，
90
30
60
ABF
=
−
=
，
∴
HAM
ABF
=
，
∴
HAM
FCM
=
，
∵M 为AC 的中点，
∴AM
CM
=
，
∵
AMH
CMF
=
，
∴
(
)
ASA
AHM
CFM
≌
，
∴AH
CF
=
，
AH
BF
=
．
（2）证明：由（1）可得AH
FE
BF
FE
BE
+
=
+
=
，
∵在Rt
ABE
△
中，
30
BAC
=
，
∴
1
2
BE
AB
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
1
2
AH
FE
AC
+
=
．
5．
（24-25 八年级上·甘肃定西·期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE
AB
∥
，
过点E 作EF
DE
⊥
，交直线BC 于点F 求证：
1
2
DE
DF
=
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角形30角所对直
角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据等边三角形的性质得到
60
B
=
，再根据平行线的性质得到
60
EDF
B
= =
，因为EF
DE
⊥
，所以
可得到
30
F
=
，即可证明．
【详解】证明：∴ABC
是等边三角形，
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∴
60
B
=
，
∵DE
AB
，
∴
60
EDF
B
= =
，
∵EF
DE
⊥
，
∴
90
DEF
=
，
∴
180
180
90
60
30
F
DEF
EDF
=
−
−
=
−
−
=
，
∴
1
2
DE
DF
=
．
6．（24-25 八年级上·四川绵阳·期中）如图，在等边ABC 中，D、E 分别是BC 、CA 上的点，且AE
CD
=
，
AD与BE 交于点F．
(1)求证：
ABF
CAD
=
；
(2)作BG
AD
⊥
，垂足为G，求证：
2
BF
FG
=
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识，
（1）由等边三角形的性质得
60
BAE
C
=
=
，AB
AC
=
，再证出ABE
CAD
≌
，进而即可得解；
（2）由BG
AD
⊥
，可得
90
BGF
=
，由
60
BFD
=
，可得
30
FBG
=
，再由直角三角形的性质即可得
解；
熟练利用全等三角形的判定得出ABE
CAD
≌
是解题关键．
【详解】（1）解：
ABC
是等边三角形，
60
BAE
C
=
=
，AB
AC
=
，
在ABE
和CAD
中
AE
CD
EAB
C
CA
AB
=
=
=
，
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(
)
SAS
ABE
CAD
≌
，
ABF
CAD
=
；
（2）证明：
BG
AD
⊥
，垂足为G ，
90
BGF
=
，
60
BFD
ABE
BAD
CAD
BAF
BAC
=
+
=
+
=
=
．
30
FBG
=
，
1
2
FG
BF
=
，
∴
2
BF
FG
=
．
7．（2024 八年级上·全国·专题练习）如图：在
ABC
中，AB
BC
AC
=
=
，AE
CD
=
，AD与BE 相交于点P ，
BQ
AD
⊥
于Q ．求证：
(1) ADC
BEA
≌
；
(2)
2
BP
PQ
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，熟
练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
（1）由已知可得
ABC
是等边三角形，从而得到
60
BAC
C
=
=
，根据SAS即可判定ADC
BEA
≌
；
（2）根据全等三角形的性质可得到
ABE
CAD
=
，再根据外角的性质即可求得
60
BPQ
=
，即可得出
30
PBQ
=
，根据含30°角的直角三角形的性质即可得结论
【详解】（1）证明：∵AB
BC
AC
=
=
，
∴
ABC
是等边三角形，
∴
60
BAC
C
=
=
，
在
ADC
△
和
BEA
△
中，
AB
AC
BAC
C
AE
CD
=
=
=
，
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∴ADC
BEA
≌
．
（2）证明：∵ADC
BEA
≌
，
∴
ABE
CAD
=
，
∵
60
CAD
BAD
+
=
，
∴
60
ABE
BAD
+
=
∠
∠
，
∴
60
BPQ
=
，
∵BQ
AD
⊥
，
∴
30
PBQ
=
，
∴
2
BP
PQ
=
．
题型六：含30°的直角三角形中综合应用
1．（24-25 九年级上·江西宜春·期末）如图，
ABC
是等腰三角形，AB
AC
=
，点D 是AB 上一点，过点D
作DE
BC
⊥
交BC 于点E，交CA 的延长线于点F．
(1)证明：
ADF
△
是等腰三角形；
(2)若
60 ,
16,
5
B
BD
AD
=
=
=
，求EC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，
熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到
F
ADF
=
即可；
（2）根据含30 度角的直角三角形的性质，求出BE 的长，证明
ABC
为等边三角形，求出BC 的长，再根
据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
=
，
∴
B
C
=
，
∵DE
BC
⊥
，
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∴
90 ,
90
B
BDE
C
F
+
=
+
=
，
∴
BDE
F
=，
∵
BDE
ADF
=
，
∴
F
ADF
=
，
∴AF
AD
=
，
∴
ADF
△
是等腰三角形；
（2）解：∵DE
BC
⊥
，
60 ,
16,
5
B
BD
AD
=
=
=
，AB
AC
=
，
∴
30 ,
21
BDE
AB
BD
AD
=
=
+
=
，ABC 为等边三角形，
∴
1
8,
21
2
BE
BD
BC
AB
=
=
=
=
，
∴
13
EC
BC
BE
=
−
=
．
2．（24-25 七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在
ABC
中，AE 是中线，AD是角平分线，AF 是高，
30
B
=
，
80
C
=
，
2,
3
BE
AF
=
=
，
(1) AB 的长
(2)
BAD
的度数．
(3)
DAF
的度数．
(4)
AEC
S
是多少？
【答案】(1)6
(2)35
(3)25
(4)3
【分析】本题考查三角形的中线，角平分线，和高线，含30 度角的直角三角形，熟练掌握相关定义和性质，
是解题的关键：
（1）根据含30 度角的直角三角形的性质，求解即可；
（2）根据三角形的内角和定理，求出
BAC
的度数，角平分线求出
BAD
的度数；
（3）根据三角形的外角结合三角形的内角和定理进行求解即可；
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（4）直接利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵AF 是高，
∴
90
AFB
=
，
∵
30
B
=
，
3
AF =
，
∴
2
6
AB
AF
=
=
；
（2）∵在
ABC
中，AD是角平分线，
30
B
=
，
80
C
=
，
∴
180
70
BAC
B
C
=
−−
=
，
∴
1
35
2
BAD
BAC
=
=
；
（3）由（1）（2）知：
90
AFB
=
，
35
BAD
=
，
∴
65
ADF
B
BAD
= +
=
，
∴
90
25
DAF
ADF
=
−
=
；
（4）∵在
ABC
中，AE 是中线，AF 是高，
2,
3
BE
AF
=
=
，
∴
2
CE
BE
=
=
，
∴
1
1
2 3
3
2
2
AEC
S
CE AF
=
=
=
．
3．（23-24 八年级下·四川巴中·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
于E，
连接CE ，交AD于点F．
(1)求证：AE
AC
=
；
(2)若
60
BAC
=
，
10
AD =
，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 5
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形，掌握
30 度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．
（1）利用“AAS”证明出
(
)
AAS
AED
ACD
≌
，即可得出结论；
（2）证明
ACE
△
是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，得到
30
CAD
=
，AD
CE
⊥
，再利用
30 度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
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【详解】（1）证明：
90
ACB
=
，DE
AB
⊥
，
90
AED
ACD
=
=
，
AD
平分
BAC
，
EAD
CAD
=
，
在
AED
△
和ACD
中，
EAD
CAD
AED
ACD
AD
AD
=
=
=
，
(
)
AAS
AED
ACD
≌
，
AE
AC
=
（2）解：
60
BAC
=
，AE
AC
=
，
ACE
是等边三角形，
60
ACE
=
，
AD
平分
BAC
，
30
CAD
=
，AD
CE
⊥
，
90
ACB
=
，
10
AD =
，
1
5
2
CD
AD
=
= ，
在Rt CFD
中，
30
DCF
ACB
ACE
=
−
=
，
1
5
2
2
DF
CD
=
=
．
4．（23-24 八年级上·广东汕头·期中）如图，
ABC
中，
120
AB AC
BAC
AD
AC
⊥
=
，
=
，
交BC 于点D，
(1)求证：
3
BC
AD
=
．
(2)若
6
4
AB
AD
=
=
，
，求
ABC
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，
（1）根据等腰三角形的性质得
30
C
B
= =
，再求出
BAD
B
=
∠
∠，进而得出AD
BD
=
，然后根据直角
三角形的性质得
2
DC
AD
=
，则答案可得；
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（2）作AE
BC
⊥
，根据直角三角形的性质得
1
3
2
AE
AB
=
=
，再由（1）得
3
BC
AD
=
，然后根据
Δ
1
2
ABC
S
BC
AE
=
得出答案．
【详解】（1）证明：∵
,
120
AB
AC
BAC
=
=
，
∴
30
C
B
= =
．
∵AD
AC
⊥
交BC 于点D，
∴
90
120
90
30
DAC
BAD
BAC
DAC
B
=
=
−
=
−
=
=
，
，
∴AD
BD
=
．
∵在Rt ADC
中，
30
C
=
，
∴
2
DC
AD
=
，
∴
2
3
BC
BD
DC
AD
AD
AD
=
+
=
+
=
；
（2）解：过点A 作AE
BC
⊥
于点E，
∴
90
AEC
=
．
∵
30
B
=
，
∴
1
1
6
3
2
2
AE
AB
=
=
=
，
由（1）可知
3
3 4
12
BC
AD
=
= =
，
∴
Δ
1
1 12 3
18
2
2
ABC
S
BC
AE
=
=
=
．
5．
（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC
是等边三角形，BD是中线，延长BC 至点E，使CE
CD
=
．
(1)求证：DB
DE
=
；
(2)过点D 作DF 垂直于BE ，垂足为F，若
3
CF = ，求
ABC
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)36
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【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30的直角三角形的性质，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到
60
ABC
ACB
=
=
，
30
DBC
=
，再根据角之间的关系求得
DBC
CED
=
，根据等角对等边即可证明；
（2）由DF
BE
⊥
，
60
ACB
=
，得出DFC
为直角三角形，
30
CDF
=
，再根据
3
CF = ，得出
6
CD =
，
进而求出AC 的长，进而求解．
【详解】（1）证明：∵ABC
是等边三角形，BD是中线，
∴
60
ABC
ACB
=
=
，
∴
30
DBC
=
，
∵CE
CD
=
，
∴
CDE
E
=
，
又∵
BCD
CDE
E
=
+
，
∴
1
30
2
CDE
E
BCD
=
=
=
，
∴
DBC
E
=
，
∴DB
DE
=
；
（2）解：∵DF
BE
⊥
，
60
ACB
=
，
∴DFC
为直角三角形，
30
CDF
=
，
∵
3
CF = ，
∴
6
CD =
，
∴
2
12
AC
BC
CD
=
=
=
，
∴ABC
的周长为：12 3
36
=
．
6．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，点A、F、C、D 在同一条直线上，
90
ABC
DEF
=
=
，BC
EF
∥
，
AF
DC
=
，连接BF ，EC ，BE ，BE 与AC 相交于点O．
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
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(2)若BF
BC
=
，OF
OC
=
，
30
A
=
，
6
AB =
，求线段BE 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30角所对的直角边等于斜
边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由BC
EF
∥
，易得
BCA
EFD
=
，由AF
DC
=
，易得AC
DF
=
，又根据
90
ABC
DEF
=
=
，即
可推出
(
)
AAS
ABC
DEF
≌
；
（2）先证明
(
)
SAS
BOC
EOF
≌
，得OB
OE
=
，所以
2
BE
OB
=
，再根据BF
BC
=
，OF
OC
=
，易得
90
BOC
=
，所以
1
3
2
OB
AB
=
= ，即可求出线段BE 的长．
【详解】（1）证明：
BC
EF
∥
，
BCA
EFD
=
，
90
ABC
DEF
=
=
，AF
DC
=
，
AF
CF
DC
CF
+
=
+
，即AC
DF
=
，
(
)
AAS
ABC
DEF
≌
；
（2）解：由（1）可知，
ABC
DEF
≌△
△
，
BC
EF
=
，
BCA
EFD
=
，
OF
OC
=
，
(
)
SAS
BOC
EOF
≌
，
OB
OE
=
，
2
BE
OB
=
，
又
BF
BC
=
，OF
OC
=
，
BO
CF
⊥
，
90
BOC
=
，
30
A
=
，
6
AB =
，
1
3
2
OB
AB
=
=
，
2
6
BE
OB
=
=
．
7．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）如图，在等边
ABC
中，D 是边AC 上的一点，点E 在边BC 的延长线
上．
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(1)若BD
ED
=
，D 为AC 的中点，求证：CD
CE
=
．
(2)过点D 作DM
BC
⊥
于点M，在（1）的条件下，当
18
BE =
时，求MC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌
握相关判定和性质，是解题的关键：
（1）三线合一，等边对等角，得到
30
CBD
E
=
=
∠
∠
，三角形的外角求出
30
CDE
E
=
= ，即可得证；
（2）作DM
BC
⊥
于点M ，三线合一结合含30度角的直角三角形的性质推出
3
9
EM
CM
CE
MC
CD
CM
=
+
=
+
=
=
，即可得解．
【详解】（1）证明：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
ACB
ABC
=
=
，
∵D为AC 的中点，
∴
1
30
2
DBC
ABC
=
=
，
∵BD
DE
=
，
∴
30
DBE
DEB
=
=
，
∵
ACB
CED
CDE
=
+
，
∴
30
CED
CDE
=
=
，
∴CD
CE
=
；
（2）作DM
BC
⊥
于点M ，如图，
∵BD
ED
=
，
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1
9
2
EM
EB
=
= ，
90
DMC
=
，
60
DCM
=
，
30
CDM
=
，
2
CD
MC
=
CE
CD
=
，
3
9
EM
CM
CE
MC
CD
CM
=
+
=
+
=
=
，
3
MC
= ．
8．
（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）如图，ABC
是等边三角形，E，F 分别是边
,
AB AC 上的点，且
，
AE
CF
=
且
,
CE BF 交于点P，且EG
BF
⊥
，垂足为G．
(1)求证：
ACE
CBF
=
；
(2)若
1
PG = ，求PE的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
2
PE = ．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30角的直角三角形等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到
,
60
AC
BC
A
BCF
=
=
=
，再证明
ACE
CBF
≌
，即可得出结论；
（2）求出
30
GEP
=
，得到
2
PE
PG
=
，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
ABC
是等边三角形，
∴
,
60
AC
BC
A
BCF
=
=
=
，
在
ACE
△
与CBF
中，
60
AC
BC
A
BCF
AE
CF
=
=
=
=
∴
(
)
SAS
ACE
CBF
△
≌△
，
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39 /
∴
ACE
CBF
=
；
（2）解：∵
ACE
CBF
=
，
∴
60
BPE
CBF
BCE
ACE
BCE
ACB
=
+
=
+
=
=
，
∵EG
BF
⊥
，即
90
=
PGE
，
∴
30
GEP
=
，
∴在Rt
PGE
△
中，
2
PE
PG
=
，
∵
1
PG = ，
∴
2
PE =
．
9．（24-25 八年级下·湖南娄底·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
于E ，
连接CE ，交AD于点F ．
(1)求证：AE
AC
=
；
(2)若
60
BAC
=
，
10
AD =
，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 5
2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定
与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解决此题的关键．
（1）根据AAS证明AED
ACD
≌
，即可得到结论；
（2）根据题意得到
30
CAD
=
，即可得到
1
5
2
CD
AD
=
=
，进而证明
AEC
△
是等边三角形，得到
30
BCE
=
，
根据30的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵DE
AB
⊥
，
∴
90
AED
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
AED
ACB
=
=
，
∵AD平分
BAC
，
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∴
DAE
DAC
=
，
在
AED
△
和ACD
中，
90
AED
ACB
DAE
DAC
AD
AD
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AED
ACD
≌
，
∴AE
AC
=
；
（2）解∶∵AD平分
BAC
，
60
BAC
=
，
∴
30
CAD
=
，
∵
90
ACD
=
，
∴
1
5
2
CD
AD
=
=
，
60
ADC
=
，
∵AE
AC
=
，
60
CAB
=
，
∴
AEC
△
是等边三角形，
∴
60
ACE
=
，
∴
30
BCE
=
，
∴
90
CFD
=
，
∴
1
5
2
2
DF
CD
=
=
．
10．（24-25 八年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，ABC
为等边三角形，AE
CD
=
，AD、BE相交于点.
P
(1)求证：ABE
CAD
≌
；
(2)求
BPQ
的度数；
(3)若BQ
AD
⊥
于Q ，
6
PQ =
，
2
PE =
，求AD的长.
【答案】(1)见解析；
(2)60
(3)14
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【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以，含30角直角三角形的性质，熟
练掌握等边三角形性质和全等三角形判定与性质是解题的关键．
（1）要证明ABE
CAD
≌
，根据等边三角形性质可知AB
AC
=
，
60
BAE
C
=
=
，又已知AE
CD
=
，
利用全等三角形判定定理（SAS）来证明．
（2）利用（1）中全等三角形的性质，得到
ABE
CAD
=
，再结合三角形外角性质，将
BPQ
转化为与
等边三角形内角相关的角来求解．
（3）先由（1）知BE
AD
=
，再根据（2）中
60
BPQ
=
以及BQ
AD
⊥
，得出
30
PBQ
=
，利用含30直
角三角形的性质求出BP，进而求出BE（即AD）的长．
【详解】（1）证明：
ABC
是等边三角形，
AB
AC
=
，
60
BAE
C
=
=
，
又
AE
CD
=
，
(
)
SAS
ABE
CAD
≌
．
（2）解：
ABE
CAD
≌
，
ABE
CAD
=
，
BPQ
是ABP
的外角，
BPQ
ABE
BAP
=
+
，
BPQ
CAD
BAP
BAC
=
+
=
，
ABC
是等边三角形，
60
BAC
=
，
60
BPQ
=
．
（3）解：
BQ
AD
⊥
，
60
BPQ
=
，
30
PBQ
=
，
在Rt BPQ
中，
30
PBQ
=
，
2
BP
PQ
=
，
6
PQ =
，
12
BP
=
，
2
PE =
，
12 2 14
BE
BP
PE
=
+
=
+
=
，
由（1）知ABE
CAD
≌
，
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14
AD
BE
=
=
．
11．（2025·浙江·模拟预测）如图，在
ABC
中，
,
90
=
=
AC
AB
BAC
，在AC 右侧作等边三角形ACD ．
(1)求
CBD
的度数；
(2)若
4
BC =
，求BD的长度．
【答案】(1)30
(2) 2 3
2
+
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、含30角的直角三角形的性质等
知识，熟练掌握等边三角形的判定和性质是关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质进行解答即可；
（2）作CE
BD
⊥
于点E．
4,
,
30
BC
CE
BD
CBD
=
⊥
=
，得到
2,
2 3
CE
DE
BE
=
=
=
，即可得到答案．
【详解】（1）解：
90
BAC
=
，AC
AB
=
，
45
ABC
ACB
=
=
．
ACD
为等边三角形，
,
60
AB
AC
AD
CAD
ACD
=
=
=
=
，
150
BAD
=
，
15
ADB
ABD
=
=
，
30
CBD
=
（2）如图，作CE
BD
⊥
于点E．
45
ACB =
，
60
ACD
=
，
30
CBD
=
，
45
BDC
=
．
,
CE
BD
^
45
DCE =
，
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CE
DE
=
．
4,
,
30
BC
CE
BD
CBD
=
⊥
=
，
2,
2 3
CE
DE
BE
=
=
=
，
2 3
2
BD
=
+ ．
12．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 是AB 的中点，连接DE 并延长
交CB 的延长线于点F，点G 在边BC 上，且
GDF
ADF
=
．
(1)求证：
DGF
△
是等腰三角形；
(2)连接EG ，若
2
60
EG
DGC
=
=
，
，求DG 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 4
【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相
关知识．
（1）结合平行线性质得到
GDF
F
= ，即可证明
DGF
△
是等腰三角形；
（2）连接EG ，根据等腰三角形性质得到EG
DF
⊥
，利用平行线性质推出
30
GDF
=
，再结合直角三角
形性质求解，即可解题．
【详解】（1）证明：AD
BC
∥
，
ADF
F
= ，
GDF
ADF
=
，
GDF
F
= ，
GF
GD
=
，
即
DGF
△
是等腰三角形；
（2）解：连接EG ，
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GF
GD
=
，E 是AB 的中点，
GE
DF
⊥
，
60
DGC
=
，
AD
BC
∥
，
60
ADG
DGC
=
=
，
1
30
2
GDF
ADF
ADG
=
=
=
，
2
EG =
，
2
4
DG
EG
=
=
．
题型七：含30°的直角三角形尺规作图综合应用
1．（24-25 八年级下·山西运城·期末）已知：如图，
ABC
中，点D 边AC 上的一点，连接BD，点G 是AC
的中点．
(1)实践与操作：过点A 作直线AF
BD
⊥
于点E ，交BC 于点F （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法，标明字母）；
(2)推理与计算：若
60
ABC
=
，且BD平分
ABC
，
1.5,
8
AE
BC
=
=
，直接写出
,
E G 两点之间的距离（若
完成（1）题有困难，可直接画草图完成（2）题）．
【答案】(1)见解析
(2) 5
2
【分析】本题主要考查复杂作图---作垂线，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，正确作
图是解答本题的关键．
（1）以点A 为圆心，任意升为半径画弧，交BD于点
,
M N ，分别以
,
M N 为圆心大于1
2 MN 的长为半径画
弧，两弧交于点P ，过
,
A P 作直线AF ，则直线AF 即为所求；
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（2）设直线AF 与BC 交于点H ，证明ABH
是等边三角形，得
3
BH
AB
=
=
，点E 为AH 的中点，
8 3
5
CH
BC
BH
=
−
= −=
，连接EG ，则EG 为ACH
的中位线，由中位线定理可求出
1
5
2
2
EG
CH
=
=
．
【详解】（1）解：如图，直线AF 即为所求；
；
（2）解：设直线AF 与BC 交于点H ，
∵BD平分
ABC
，且
60
ABC
=
，
∴
30
ABD
DBC
=
=
，
∵AF
BD
⊥
，即
90
BEA
BEH
=
=
，
∴
60
BAH
BHA
=
=
，
∴ABH
是等边三角形，
∵
1.5
AE =
，
∴
2
3
AB
AE
=
= ，
∴
3
BH
AB
=
=
，
∴
8 3
5
CH
BC
BH
=
−
= −=
，
又AF
BD
⊥
，
∴AE
HE
=
，即E 为AH 的中点，
连接EG ，
∵G 为AC 的中点，
∴EG 为ACH
的中位线，
∴
1
5
2
2
EG
CH
=
=
．
2．（24-25 八年级上·福建福州·期中）如图，在Rt
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，CD平分
ACB
，
交AB 于点P．
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(1)尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(2)记直线l 与AB ，CD的交点分别是点E，F．
①求证：BE
AC
=
；
②当
6
AC =
时，求EF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
6
EF =
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）①根据含30 度角的直角三角形的性质可得
1
2
AC
AB
=
，由线段垂直平分线的性质可得
1
2
BE
AB
=
，则
BE
AC
=
．
②连接CE ，由题意可得
ACE
△
为等边三角形，则
6
CE
AC
=
=
，
60
ACE
AEC
=
=
．由线段垂直平分线
的性质可得
90
AEF
=
，则
150
CEF
AEF
AEC
=
+
=
，由角平分线的定义可得和角度的计算可得
ECF
CFE
=
，根据等角对等边即可得到结果．
【详解】（1）解：如图，直线l 即为所求．
（2）解：①证明：∵
90
ACB
=
，
30
ABC
＝
，
∴
1
2
AC
AB
=
．
∵直线l 垂直平分线段AB ，
∴
1
2
BE
AE
AB
=
=
，
∴BE
AC
=
．
②连接CE ，
∵
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，
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∴
60
A
=
．
由①知，AE
AC
=
，
∴
ACE
△
为等边三角形，
∴
6
CE
AC
=
=
，
60
ACE
AEC
=
=
．
∵直线l 垂直平分线段AB ，
∴
90
AEF
=
，
∴
150
CEF
AEF
AEC
=
+
=
．
∵
90
ACB
=
，CD平分
ACB
，
∴
1
45
2
ACF
ACB
=
=
，
∴
15
ECF
ACE
ACF
=
−
=
，
∴
180
15
CFE
CEF
ECF
−
−
=
＝
，
∴
ECF
CFE
=
，
∴
6
EF
CE
=
=
．
3．（2025·广东珠海·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
．
(1)尺规作图：过点C 作斜边AB 边上的高CD，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若
30 ,
6
A
BC
=
=
，求BD的长．
【答案】(1)图见解析
(2)3
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30 度角的直角三角形
的性质，是解题的关键：
（1）根据尺规作垂线的方法，作图即可；
（2）根据同角的余角相等，结合含30 度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，CD即为所求；
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（2）解：∵
90 ,
ACB
CD
AB
=
⊥
，
∴
90 ,
90
A
B
BCD
B
BDC
+
=
+
=
=
，
∴
30
BCD
A
= =
，
∵
90 ,
6
CDB
BC
=
=
，
∴
1
3
2
BD
BC
=
=
．
4．（24-25 八年级下·福建漳州·期中）如图，在
ABC
中，
90 ,
30
ACB
A
=
=
．
(1)尺规作图：在AC 边上作点D ，使得
2
AD
CD
=
；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点D在AC 边上，
2
AD
CD
=
，过点D 作DE
AB
⊥
于点E ，连接BD，求证：AD
BD
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查基本作图，作垂直平分线及角平分线，含30 度角的直角三角形的性质等，理解题意，
掌握相应的作图方法是解题关键．
（1）方法一：作线段AB 的垂直平分线，结合含30 度角的直角三角形的性质即可得出结果；方法二：作
ABC
的角平分线，结合角平分线的性质及含30 度角的直角三角形的性质即可得出结果；
（2）设CD
x
=
，则
2
AD
x
=
，根据角平分线的性质及含30 度角的直角三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：方法一： 方法二：
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∴如图所示，点D为所求作的点．
（2）解：设CD
x
=
，则
2
AD
x
=
．
∵
90 ,
30
ACB
A
=
=
，
∴
60
ABC
=
，
∵DE
AB
⊥
，
∴
90
AED
=
又∵
30
A
=
，
∴
1
2
DE
AD
x
=
=
，
∴DE
CD
=
又∵
,
90
DE
AB
ACB
⊥
=
，
∴
1
30
2
ABD
ABC
=
=
，
∴
A
ABD
=
，
∴AD
BD
=
．
5．
（2025·浙江衢州·一模）如图1，
30 ,
8
B
AB
=
=
．在图1 中，用无刻度的直尺和圆规作
ABC
，使AC
a
=
．
(1)若线段a 长如图2 所示，请作出所有满足条件的三角形；
(2)若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a 的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）以A 为圆心，a 为半径作弧，交
B
的另一边于C ，C，连接AC ，AC即可；
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（2）当AC
BC
⊥
时，
ABC
唯一，此时
1
4
2
AC
AB
=
=
，
【详解】（1）如图，
ABC
，
ABC
△
即为所求；
（2）解：当AC
BC
⊥
时，
ABC
唯一，此时
1
4
2
AC
AB
=
=
，
4
a
=
．
6．（23-24 八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角
ABC
中，
90
C
=
．
(1)尺规作图：作
B
的平分线，交AC 于点D ，在AB 上截取BE
BC
=
，连接DE （只保留作图痕迹，不写
作法）；
(2)在（1）的条件下，若
30
A
=
，
2
3
CD =
，求AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查作角平分线，作线段，涉及含30的直角三角形的性质，等角对等边等，熟练掌握相关知
识是解题的关键．
（1）根据尺规作一个角的平分线，作线段的方法，进行作图即可；
（2）求出
90
60
ABC
A
=
−=
，再由BD是
B
的平分线，可得
1
30
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，继而得
4
2
3
BD
CD
=
=
，
30
A
ABD
=
=
，即可解答．
【详解】（1）解：作图如图所示：
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（2）∵
90
C
=
，
30
A
=
，
∴
90
60
ABC
A
=
−=
，
∵BD是
B
的平分线，
2
3
CD =
∴
1
30
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，
∴
4
2
3
BD
CD
=
=
，
30
A
ABD
=
=
，
∴
4
3
AD
BD
=
=
，
∴
2
AC
AD
CD
=
+
=
．
7．（2025·浙江舟山·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
30
A
=
，
90
C
=
．
(1)用尺规作图：在AC 边上找一点P ，使得PA
PB
=
；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：
1
3
PC
AC
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段的垂直平分线．也考查了等腰三角形的性质，含30 度角的直角
三角形三边的关系．
（1）作AB 的垂直平分线得到PA
PB
=
；
（2）由PA
PB
=
得到
30
PBA
A
= =
，所以
60
BPC
A
BPA
= +
=
，利用含30 度角的直角三角形三边
的关系得到
2
PB
PC
=
，所以
1
3
PC
AC
=
．
【详解】（1）解：如图，点P 为所作；
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52 /
（2）解：由作图可得，PA
PB
=
，
而
30
A
=
，
∴
30
PBA
A
= =
，
90
60
CBA
A
=
−=
，
∴
30
PBC
CBA
BPA
=
−
=
，
∴
2
PB
PC
=
，
∴2PC
PC
AC
+
=
，
∴
1
3
PC
AC
=
．
8．（2025·广东云浮·一模）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
(1)实践与操作：用尺规作图法在边AC 上找一点D，使得BD
AD
=
；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，若BD平分
ABC
，
2
CD = ，求线段BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，含30 度角的直角三角形，熟练掌握中垂线的性质和
含30 度角的直角三角形的性质，是解题的关键：
（1）根据BD
AD
=
，得到点D 在线段AB 的中垂线上，利用尺规作图作线段AB 的中垂线，交AC 于点D 即
可；
（2）根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理，三角形的外角，求出
30
CBD
=
，根据含30 度角的
直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，点D 即为所求；
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（2）∵BD
AD
=
，
∴
D
A
BA
=
，
∴
2
BDC
A
ABD
ABD
= +
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
CBD
ABD
=
，
∴
2
BDC
CBD
=
，
∵
90
C
=
，
∵
3
90
BDC
CBD
CBD
+
=
=
，
∴
30
CBD
=
，
∴
2
4
BD
CD
=
=
．
9．（2025·广东汕头·一模）如图，
ABC
中，
90
ABC
=
．
(1)实践与操作：用尺规作图法作线段BC 的垂直平分线，交AC 于点Q；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接BQ ，若
60
C
=
，
3
BQ =
，求AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线
的性质和含30 度角的直角三角形三边的关系．
（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到QB
QC
=
，再证明
BCQ
△
为等边三角形，然后根据含30 度角的直
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角三角形三边的关系得到AC 的长．
【详解】（1）解：如图，直线l、点Q 即为所作．
；
（2）解：∵点Q 在线段BC 的垂直平分线上，
∴QB
QC
=
，
又
60
C
=
，
∴
BCQ
△
为等边三角形，
∴
3
BC
BQ
=
=
，
∵
90
ABC
=
，
60
C
=
，
∴
30
A
=
，
∴
2
6
AC
BC
=
=
．
题型八：利用直角三角形的判定定理求角度
1．
（24-25 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，AD为BC 边上的中线，
32
B =
∠
，
则
CAD
的度数为（ ）
A．58
B．56
C．54
D．62
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底
边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到AD
BC
⊥
，
BAD
CAD
=
，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD为BC 边上的中线，
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∴AD
BC
⊥
，
BAD
CAD
=
，
∴
90
B
BAD
+
=
，
∵
32
B =
∠
，
∴
58
BAD
=
，
∴
58
CAD
BAD
=
=
，
故选：A．
2．（2024 八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上
的F 点处，若
50
BAF
=
，则
AEF
= ．
【答案】70
【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解
题的关键．
根据长方形的性质可求出
40
FAD
=
，由折叠可得对应角相等可得
90
AFE
D
=
=
，
20
FAE
=
，由直
角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵
50 ,
90
BAF
BAD
=
=
，
40
FAD
=
，
由折叠的性质知，
1
20 ,
90
2
DAE
EAF
FAD
AFE
D
=
=
=
=
=
，
∴在Rt AEF
中，
90
20
70
AEF
=
−
=
，
故答案为：70 ．
3．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图
ABC
中，
90
ACB
D
=
,
在AB 边上，E 在AC 边上，
,
2
AC
AD
B
ADE
=
=
，则
EDC
的大小为 度．
【答案】45
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【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角
三角形两锐角互余是解题的关键．
根据题意，设
A
x
=
，则
90
B
x
=
−，可得
1
45
2
ADE
x
=
−
，根据等边对等角可得
1
90
2
ACD
ADC
x
=
=
−
，再由
EDC
ADC
ADE
=
−
，即可求解．
【详解】解：设
A
x
=
，
在Rt ABC
中，
90
90
B
A
x
=
−=
−，
∵
2
B
ADE
=
，
∴
(
)
1
1
1
90
45
2
2
2
ADE
B
x
x
=
=
−
=
−
，
∵AC
AD
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
180
180
90
2
2
2
ACD
ADC
A
x
x
=
=
−
=
−
=
−
，
∴
1
1
90
45
45
2
2
EDC
ADC
ADE
x
x
=
−
=
−
−
−
=
，
故答案为：45 ．
4．（24-25 八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
28
A
=
，点D 在边AB 上，
将
ABC
沿CD折叠，使得点B 落在AC 边上的点B处，则
ADB
的度数为 ．
【答案】34/34度
【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，根据直角三角形的特征得
62
B
=
，再根据折叠的性质得
62
DB C
=
，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是
解题的关键．
【详解】解：
90
ACB
=
，
28
A
=
，
90
62
B
A
=
−=
，
CDB
△
沿CD折叠得到CDB
，
62
DB C
B
= =
，
DB C
是ADB
的一个外角，
62
28
34
ADB
DB C
A
=
−=
−
=
，
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故答案为：34．
题型九：利用直角三角形的判定定理判定是否为直角三角形
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的
ABC
不是直角三角形的是（ ）
A．
90
A
=
B．
:
:
3:4:5
A
B
C
=
C．
C
A
B
= +
D．
90
A
C
+
=
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到
结论．
【详解】解：A，
90
A
=
，
ABC
是直角三角形，不合题意；
B，
:
:
3:4:5
A
B
C
=
时，最大的角
5
180
75
3
4
5
C
=
=
+
+
，
ABC
不是直角三角形，符合题意；
C，
C
A
B
= +，则
1 180
90
2
C
=
=
，
ABC
是直角三角形，不合题意；
D，
90
A
C
+
=
，则
90
B
?
? ，
ABC
是直角三角形，不合题意；
故选B．
2．（24-25 八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①
A
B
C
=
+
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
2
A
B
C
= = ；④
1
1
2
3
A
B
C
=
=
；⑤
1
2
A
B
C
=
=
中，能确定
ABC
为直角三角形的条件有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【详解】解：①∵
A
B
C
=
+
，
180
A
B
C
++
=
∴2
180
C
=
，
∴
90
C
=
，
∴
ABC
是直角三角形，
故本小题符合题意；
②∵
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ，
180
A
B
C
++
=
，
∴最大角为
3
180
90
1 2
3
C
=
=
+ +
，
∴
ABC
是直角三角形，
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故本小题符合题意；
③∵
2
A
B
C
= = ，
180
A
B
C
++
=
，
∴2
2
180
C
C
C
+
+
=
，
∴
36
C
=
，
∴
72
A
=
，
∴
ABC
是锐角三角形，
故本小题不符合题意；
④∵
1
1
2
3
A
B
C
=
=
，
180
A
B
C
++
=
，
∴最大角为
3
180
90
1 2
3
C
=
=
+ +
，
∴
ABC
是直角三角形，
故本小题符合题意；
⑤∵
1
2
A
B
C
=
=
，
180
A
B
C
++
=
，
∴最大角为
2
180
90
1 2 1
C
=
=
+
+
，
∴
ABC
是直角三角形，
故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4 个．
故选：B．
3．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①
A
B
C
=
+
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
2
A
B
C
= = ；④
1
1
2
3
A
B
C
=
=
；⑤
2
3
A
B
C
= =
中，能确定
ABC
为直角三角形的条件有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，
即可分别进行判断．
【详解】解：①由
180
A
B
C
++
=
得到2
180
C
=
，即
90
C
=
，是直角三角形；
②由题可得
3
180
90
1 2
3
C
=
=
+ +
，是直角三角形；
③由
180
A
B
C
++
=
得到2
2
180
C
C
C
+ +
=
，解得
36
C
=
，
72
A
B
= =
，不是直角三角形；
④由
180
A
B
C
++
=
得到
2
3
180
A
A
A
+ + =
，解得
30
A
=
，
60
B
=
，
90
C
=
，是直角三角
形；
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⑤由
180
A
B
C
++
=
得到
1
1
180
2
3
A
A
A
+
+
=
，解得
1080
11
A
=
，不是直角三角形；
故选：C．
4．（23-24 八年级上·山东日照·阶段练习）已知
ABC
的三个角分别是
A
、
B
、
C
，下列选项中：①
A
B
C
= −
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
A
B
C
= =
，④
1
2
A
B
C
+
=
，⑤
2
3
A
B
C
= =
，
不能判断
ABC
是直角三角形的有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是180和有两个角互
余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可．
【详解】解；①
A
B
C
= −
，
180
A
B
C
++
=
，
180
B
B
C
C
++
=
−
，
90
B
=
，
ABC
是直角三角形；
②
:
:
1:2:3
A
B
C
=
，
180
A
B
C
++
=
，
3
180
90
1 2
3
C
=
=
+
+
，
ABC
是直角三角形；
③
A
B
C
= =
，
180
A
B
C
++
=
，
60
A
B
C
= =
=
，
ABC
不是直角三角形；
④
1
2
A
B
C
+=
，
180
A
B
C
++
=
，
1
180
2
C
C
+
=
，
120
C
=
，
ABC
不是直角三角；
⑤
2
3
A
B
C
= =
，
设
C
x
=
，则
3
3 ,
2
A
x
B
x
=
=
，
180
A
B
C
++
=
，
3
3
180
2
x
x
x
+
+
=
，
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解得：
360
11
x
=
，
1080
540
360
,
,
11
11
11
A
B
C
=
=
=
，
ABC
不是直角三角形；
综上所述，不能判断
ABC
是直角三角形的有3 个，
故选：C ．
5．（24-25 八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定
ABC
是直角三角形的是（ ）
A．
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: :
B．
B
C
A
−
=
C．
2
3
A
B
C
= =
D．
40
A
=
，
50
B
=
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐
项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】A 、由题意可设三角形的三个内角度数分别为x 、2x 、3x，
∴
2
3
180
x
x
x
+
+
=
，
∴
30
x =
，故三角形三个内角的度数分别为30、60、90，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
B、∵
B
C
A
−
= ，
∴
B
A
C
=
+
∠
∠
∠
，
∴
90
B
?
? ，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
C 、设
3
B
x
=
，
2
C
x
=
，
6
A
x
=
（x 为正数），
∵
180
A
B
C
++
=
，
∵6
3
2
180
x
x
x
+
+
=
°，
∴
180
11
x =
°，
∴
1080
11
A
=
°，
540
11
B
=
°，
360
11
C
=
，
∴此选项中不是直角三角形，符合题意；
D 、∵
40
A
=
，
50
B
=
，
180
A
B
C
++
=
∴
90
C
=
，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
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故选：C ．
题型一：含30°的直角三角形最值问题
1．（24-25 七年级下·江苏·期末）如图，在等边
ABC
中，AD为边BC 上的中线，
3
AD = ．将
ABC
沿着
射线AD方向向下平移得A B C
，连接A B
，BB，则2A B
BB
+
的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，关键是把求
2A B
BB
+
的最小值转化为求
1
2
A B
BB
+
的最小值．过A作A G
AC
⊥
于G，则
1
1
2
2
A G
AA
BB
=
=
，从而
有
1
2
A B
A G
A B
BB
+
=
+
，当B
A
G
，，
三点共线时，
1
2
A B
BB
+
取得最小值，最小值为线段BG 的长，从
而2A B
BB
+
取得最小值为BG 长度的2 倍；利用等边三角形的性质，得
3
BG
AD
=
=
，则可求得2A B
BB
+
的最小值．
【详解】解：由平移性质知：AA
BB
=
；
如图，过A作A G
AC
⊥
于G，
∵
ABC
是等边三角形，AD为边BC 上的中线，
∴
1
30
2
CAD
CAB
AD
BC
=
=
⊥
，
；
∵A G
AC
⊥
，
∴
1
1
2
2
A G
AA
BB
=
=
，
∴
1
2
A B
A G
A B
BB
+
=
+
，
当B
A
G
，，
三点共线时，此时BG
AC
⊥
，
1
2
A B
BB
+
取得最小值，最小值为线段BG 的长，
∴2A B
BB
+
取得最小值，最小值为BG 长度的2 倍；
∵
ABC
是等边三角形，AD
BC
BG
AC
⊥
⊥
，
，
∴
3
BG
AD
=
= ，
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62 /
∴
1
2
2
2
A B
BB
A B
BB
+
=
+
的最小值为2
6
BG =
．
故答案为：6．
2．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，
4
AB =
，D 是直角
边AC 上的一个动点，连接BD，以BD为边向外作等边BDE
，连接CE ．在点D 运动的过程中，线段CE 的
长的最小值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，
线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．延长BC 到点F ，使得CF
BC
=
，连接AF ，
EF ，由
90
ACB
=
，
30
BAC
=
，
4
AB =
，可得：
1
2
2
CF
BC
AB
=
=
=
，
60
ABF
=
，证明
ABF
△
是等
边三角形，得到
60
AFB
=
，结合BDE
是等边三角形，可证明FBE
ABD
≌
，得到
30
BFE
BAD
=
=
，
推出
90
AFE
=
，得到点E 在经过点F 且与AF 垂直的射线FE上运动，作CH
FE
⊥
交射线FE于点H ，则
90
CHE
=
，得到
1
1
2
CH
CF
=
= ，由CE
CH
可得
1
CE ，即可求解．
【详解】解：延长BC 到点F ，使得CF
BC
=
，连接AF ，EF ，
90
ACB
=
，
30
BAC
=
，
4
AB =
，
1
2
2
CF
BC
AB
=
=
=
，
90
60
ABF
BAC
=
−
=
，
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2
4
BF
BC
=
=
，
AB
BF
=
，
ABF
△
是等边三角形，
60
AFB
=
，
BDE
是等边三角形，
BE
BD
=
，
60
DBE
=
，
60
FBE
ABD
DBF
=
=
−
，
在FBE
和
ABD
△
中，
BF
AB
FBE
ABD
BE
BD
=
=
=
，
(
)
SAS
FBE
ABD
≌
，
30
BFE
BAD
=
=
，
90
AFE
AFB
BFE
=
+
=
，
点E 在经过点F 且与AF 垂直的射线FE上运动，作CH
FE
⊥
交射线FE于点H ，则
90
CHE
=
，
1
1
2
CH
CF
=
= ，
CE
CH
，
1
CE ，
CE 的最小值为1，
故答案为：1．
3．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在
ABC
中，
90 ,
30 ,
6
BAC
B
AB
=
=
=
，D 为AB 上一点，且
ADE
为
等边三角形，
2
AD =
．点F 是边BC 上的一个动点，连结DF ，以DF 为边在左侧作一个等边DFG
，连结
AG ．在整个运动过程中，AG 的最小值是 ．
【答案】1
【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，理解题意，作出辅
助线，确定运动轨迹是解题关键．
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64 /
连接EF ，证明
SAS
ADG
EDF
△
≌△
（
），可得AG
EF
=
，由此得出在整个运动过程中，EF 最小时，AG 最小，
根据点到直线，垂线段最短，可知，当EF
BC
⊥
时，AG 最短，进一步证明当EF
BC
⊥
时，A 、E 、F 三
点共线，求出此时
1
3
2
AF
AB
=
=
，
1
EF = ，即EF 最小值为1，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接EF ，
∴
ADE
EDG
GDF
EDG
+
=
+
，即
ADG
EDF
=
，
∵
ADE
、DFG
为等边三角形，
∴
,
AD
DE DG
DF
=
=
，
∴
SAS
ADG
EDF
△
≌△
（
）
∴AG
EF
=
，
∴在整个运动过程中，EF 最小时，AG 最小，
根据点到直线，垂线段最短，
当EF
BC
⊥
时，AG 最短，如图3 所示，
∵
60
ADE
AED
=
=
，
∴
120
=
BDE
，
又∵
30
B
=
，
90
EFB
=
，
∴
360
120
DEF
EDB
EFB
B
=
−
−
−=
，
∴
60
120
180
AED
DEF
+
=
+
=
，
∴当EF
BC
⊥
时，A 、E 、F 三点共线，
∵
30
B
=
，AF
BC
⊥
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∴
1
1
6
3
2
2
AF
AB
=
=
=
，
∴
3 2
1
EF
AF
AE
=
−
= −
= ，即EF 最小值为1，故AG 最小值为1．
故答案为：1．
4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在
ABC
中，
6
AB =
，
30
BAC
=
，
BAC
的平分线交BC 于点D ，
M 、N 分别是AD和AB 上的动点，则BM
MN
+
的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质，含30角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．
作BH
AC
⊥
于点H ，根据垂线段最短可知，BM
MN
+
的最小值是线段BH 的长度，根据解含30角的直角
三角形即可．
【详解】解：如图，作BH
AC
⊥
于点H ，
∵AD平分
BAC
，
作点N 关于AD的对称点K ，
∴BM
MN
BM
MK
BH
+
=
+
，
∵
6
AB =
，
30
BAC
=
，
∴
1
1
6
3
2
2
BH
AB
=
=
=
，
∴
3
BM
MN
+
，
∴BM
MN
+
的最小值是3，
故答案为：3．
5．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，四边形ABCD是长方形，
8
AD
BC
=
=
，
30
ABD
=
，若点M
是对角线BD上的一个动点，点N 是边AB 上的一个动点，则AM
MN
+
的最小值 ．
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【答案】12
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段和最小值问题，垂线段最短，等面
积法求线段等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
作点A 关于BD的对称点A，交BD于点O，连接
,
,
A M A N A B
，根据轴对称的性质和勾股定理求出相关线
段，依据垂线段最短，利用等面积法即可求出线段最小值．
【详解】解：如图，作点A 关于BD的对称点A，交BD于点O，连接
,
,
A M A N A B
，
由轴对称的性质得：
,
,
A M
AM A O
AO AA
BD
=
=
⊥
，
AM
MN
A M
MN
+
=
+
，
由两点之间线段最短得：当点
,
,
A M N
共线时，A M
MN
+
取最小值，最小值为A N
，
由垂线段最短得：当A N
AB
⊥
时，A N
取得最小值，
在矩形ABCD中，
8
BC = ，
30
ABD
=
，
2
2
8,
2
16,
8 3
AD
BC
BD
AD
AB
BD
AD
=
=
=
=
=
−
=
，
在Rt AOB
中，
2
2
1
4 3,
12
2
AO
AB
BO
AB
AO
=
=
=
−
=
，
2
8 3
AA
AO
A O
AO
=
+
=
=
，
又
1
1
2
2
A AB
S
AB A N
AA BO
=
=
，
8 3 12
12
8 3
AA BO
A N
AB
=
=
=
，
故AM
MN
+
的最小值为12,
故答案为：12．
6．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
ABC
=
，点D 是BC 边上的点，
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3
CD =
，将ACD
沿直线AD翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD上的动点，则PE
PB
+
的最小值是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，30角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识
点并灵活运用是解题的关键．
根据折叠得到PC
PE
=
，
DAC
DAB
=
，则PE
PB
PC
PB
BC
+
=
+
，那么当点
, ,
C P B 三点共线时，
PE
PB
+
取得最小值为BC ，导角得到AD
DB
=
，再根据30角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接PC ，
∵将ACD
沿直线AD翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，
∴PC
PE
=
，
DAC
DAB
=
∴PE
PB
PC
PB
BC
+
=
+
，
∴当点
, ,
C P B 三点共线时，PE
PB
+
取得最小值为BC ，
∵
90
C
=
，
30
ABC
=
，
∴
60
BAC
=
，
∴
1
30
2
DAC
DAB
BAC
=
=
=
，
∴
30
DAB
ABC
=
=
，
∴DA
DB
=
，
∵
90
C
=
，
30
DAC
=
，
∴
2
2 3
6
AD
CD
BD
=
= =
=
，
∴
3 6
9
BC
CD
BD
=
+
= +
=
，
故答案为：9．
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7．（24-25 八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
BAD
BDC
=
=
，
30
DBC
=
，
且
6
BD =
，则AC 的最大值为 ．
【答案】3
21
+
/ 21 3
+
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形三边关系，取BD的中点O，连
接
,
OA OC ，根据斜边中线的性质结合三角形性质得出当且仅当A、O、C 三点共线时，AC 取最大值求得答
案即可；
【详解】解：∵
90
BDC
=
，
30
DBC
=
，
6
BD =
，
∴
2
2
2
1
,
2
CD
BC CD
BD
BC
=
+
=
，
(
)
2
2
2
6
2
CD
CD
+
=
，
解得：
2 3
CD =
，
取BD的中点O，连接
,
OA OC ，
在Rt
ABD
△
中，
1
3
2
OA
BD
OD
OB
=
=
=
= ，
在Rt
OCD
△
中，
(
)
2
2
2 3
3
21
OC =
+
=
，
AC
OA OC
?
当且仅当A、O、C 三点共线时，AC 取最大值，
此时，
3
21
AC
OA OC
=
+
= +
，
故答案为：3
21
+
．
8．（24-25 八年级下·山东济南·期中）如图，
ABC
为等边三角形，
4
AB =
，AD
BC
⊥
，点E 为线段AD上
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的动点，连接CE ，以CE 为边作等边
CEF
△
，连接DF ，则线段DF 的最小值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，连接BF ，可证
(
)
SAS
BCF
ACE
≌
，得到
30
CBF
CAE
=
=
，BF
AE
=
，可知当DF
BF
⊥
时，线段DF 的值最小，进
而解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接BF ，
∵
ABC
为等边三角形，
4
AB =
，AD
BC
⊥
，
∴
4
BC
AC
AB
=
=
= ，
1
2
2
BD
CD
BC
=
=
= ，
60
BAC
ACB
=
=
，
30
CAE
=
，
∵
CEF
△
为等边三角形，
∴CF
CE
=
，
60
FCE
=
°，
∴
FCE
ACB
=
，
∴
BCF
ACE
=
，
在
BCF
和
ACE
△
中，
BC
AC
BCF
ACE
CF
CE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BCF
ACE
≌
，
∴
30
CBF
CAE
=
=
，BF
AE
=
，
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∴当DF
BF
⊥
时，线段DF 的值最小，
此时
90
BFD
=
，
30
CBF
=
，
∴
1
1
2
DF
BD
=
= ，
故答案为：1．
题型二：含30°的直角三角形多结论问题
1．（24-25 八年级下·河南郑州·期末）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
ABC
=
，BE 平分
ABC
交AC
于点E ，AD
BE
⊥
于点D．下列结论：①AC
BE
AE
−
=
；②
BCE
ABE
S
2S
=
；③
DAE
C
=
；④
4 3
BC
AD
=
．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】A
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，全等三角
形的判定与性质等知识，①先求出
30
C
=
，根据BE 平分
ABC
得
30
ABE
CBE
=
=
，进而得BE
CE
=
，
由此得AC
BE
AE
−
=
，据此可对结论①进行判断；②过点E 作EF
BC
⊥
于点F ，证明Rt
ABE
△
和Rt FBE
全等得
ABE
FBE
S
S
=
，再根据BE
CE
=
，EF
BC
⊥
得FB
FC
=
，则
FBE
FCE
S
S
=
，由此得
2
BCE
FBE
S
S
=
，据
此可对结论②进行判断；③根据三角形外角性质得
60
BEA
=
，再根据AD
BE
⊥
得
30
DAE
=
，由此可
对结论③进行判断；④在Rt
ABD
△
中，根据
30
ABE
=
得
2
AB
AD
=
，再根据Rt
ABE
△
和Rt FBE
全等
得
2
FB
AB
AD
=
=
，然后根据FB
FC
=
，得
4
BC
AD
=
，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答
案；熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：①在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
ABC
=
，
∴
90
30
C
ABC
=
−
=
，
∵BE 平分
ABC
，
∴
1
30
2
ABE
CBE
ABC
=
=
=
，
∴
30
CBE
C
=
=
∠
∠
，
∴BE
CE
=
，
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∴AC
BE
AC
CE
AE
−
=
−
=
，故结论①正确；
②过点E 作EF
BC
⊥
于点F ，如图所示，
∵BE 平分
ABC
，
90
BAC
=
，
∴EA
EF
=
，
在Rt
ABE
△
和Rt FBE
中，
EA
EF
BE
BE
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ABE
FBE
≌
，
∴
ABE
FBE
S
S
=
，
∵BE
CE
=
，EF
BC
⊥
，
∴FB
FC
=
，
∴
FBE
FCE
S
S
=
，
∴
2
BCE
FBE
S
S
=
，
∴
BCE
ABE
S
2S
=
，故结论②正确；
③∵
BEA
是EBC
的外角，
30
CBE
C
=
=
∠
∠
，
∴
60
BEA
CBE
C
=
+
=
，
∵AD
BE
⊥
，
∴
90
ADE
=
，
∴在Rt ADE
中，
90
30
DAE
BEA
=
−
=
，
∴
30
DAE
C
=
=
，故结论③正确；
④在Rt
ABD
△
中，
30
ABE
=
，
∴
2
AB
AD
=
，
∵Rt
Rt
ABE
FBE
△
≌
△
，
∴
2
FB
AB
AD
=
=
，
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又∵FB
FC
=
，
∴
2
4
BC
FB
AD
=
=
，故结论④不正确；
综上所述：结论正确的序号有①②③，
故选：A ．
2．（2025·四川南充·三模）如图，在
ABC
中，
60
BAC
=
，
2
AC
AB
=
，点D 为AC 的中点，以A 为圆心，
画两条半径不相等的弧，分别与AB ，AC 交于点E ，F 和点M ，N ，连接MF 与NE 交于点P ，作射线AP ，
分别与BC ，BD交于点G ，H ，则下列说法不正确的是（ ）
A．
90
ABC
=
B．
BAG
CAG
=
∠
∠
C．
3
AH
GH
=
D．
2
CG
DH
=
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30 度角的性质，解题
的关键是掌握相关知识解决问题．证明
ABD
△
是等边三角形，再根据直角三角形30 度角的性质，角平分线
的判定一一判断即可．
【详解】解：∵
2
AC
AB
=
，D 是AC 的中点，
∴AB
AD
=
，
∵
60
BAC
=
，
∴
ABD
△
是等边三角形，
∴
,
60
AD
DB
CD
ABD
ADB
DBC
C
=
=
=
=
=
+
，
30
DBC
C
=
=
∴
90
ABC
ABD
DBC
=
+
=
，故选项A 正确，不符合题意，
由作图可知
,
,
AE
AF
EAN
FAM AM
AN
=
=
=
，
,
AEN
AFM AM
AE
AN
AF
−
=
−
≌
，即ME
NF
=
，
PME
PNF
=
，
MPE
NPF
=
MPE
NPF
≌
PM
PN
=
,
AP
AP AM
AN
=
=
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APM
APN
≌
PAM
PAN
=
即AG 平分
BAC
，故选项B 正确，不符合题意；
∴
1
30
2
AG
BD
BAG
BAC
^
?
?
?
，
，
∴
2
AG
BG
=
，
∵
30
GBH
=
，
∴
2
BG
GH
=
，
∴
3
AH
GH
=
，故选项C 正确，不符合题意．
30
CAG
C
=
=
则
2
CG
AG
AB
BD
DH
=
>
=
=
，故选项D 错误．
故选：D．
3．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，已知
ABC
和BDE
都是等边三角形（A，B，D 共线）．下列
结论，①AE
CD
=
；②BF
BG
=
；③
120
AHD
=
；④BFG
是等边三角形；⑤FG
AD
∥
；⑥BH 平分
CBE
；
⑦BH 平分
AHD
；⑧DH
HE
BH
+
．其中错误的有（ ）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．由题中条件可得ABE
CBD
≌
，得出
ABE
CBD
S
S
=
，
AE
CD
=
，BDC
AEB
=
，EAB
BCD
=
，求出
60
AHC
CDB
EAB
CDB
BCD
CBA
=
+
=
+
=
=
，
得出
180
120
AHD
AHC
=
−
=
，进而得出BGD
BFE
≌
，BG
BF
=
，从而证明BFG
是等边三角形，
根据等边三角形的性质证明
BFG
ABC
=
，得出FG
AD
∥
，过B 作BM
AE
⊥
于M，BN
CD
⊥
于N，得
出BM
BN
=
，根据角平分线的判定得出BH 平分
AHD
，求出
90
60
30
HBM
=
−
=
，
90
60
30
HBN
=
−
=
，根据直角三角形的性质得出
2
BH
MH
=
，
2
BH
NH
=
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
ABM
CBN
≌
，得出AM
CN
=
，进而证明DN
EM
=
，从而证明HD
BH
HE
=
+
；根据已知条件，
不能证明BH 平分
CBE
，从而得出答案．
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【详解】解：∵
ABC
与BDE
为等边三角形，
∴AB
BC
=
，BD
BE
=
，
60
ABC
DBE
=
=
，
∴
ABE
CBD
=
，即AB
BC
=
，BD
BE
=
，
ABE
CBD
=
，
∴
(
)
SAS
ABE
CBD
≌
，
∴
ABE
CBD
S
S
=
，AE
CD
=
，
BDC
AEB
=
，
EAB
BCD
=
，
∵
60
CBA
=
，
∴
60
AHC
CDB
EAB
CDB
BCD
CBA
=
+
=
+
=
=
，
∴
180
120
AHD
AHC
=
−
=
，
∵
180
60
60
60
FBE
=
−
−
=
，
∴
60
DBG
FBE
=
=
，
∴
(
)
ASA
BGD
BFE
≌
，
∴BG
BF
=
，
∴BFG
是等边三角形，
∴
60
BFG
=
，
∴
BFG
ABC
=
，
∴FG
AD
∥
，故①②③④⑤正确；
过B 作BM
AE
⊥
于M，BN
CD
⊥
于N，如图所示：
∵
ABE
CBD
S
S
=
，AE
CD
=
，
∴1
1
2
2
AE
BM
CD BN
=
，
∴BM
BN
=
，
∴BH 平分
AHD
，⑦正确；
∴
1
60
2
AHB
DHB
AHD
=
=
=
，
∵
90
BMH
BNH
=
=
，
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∴
90
60
30
HBM
=
−
=
，
90
60
30
HBN
=
−
=
，
∴
2
BH
MH
=
，
2
BH
NH
=
，
∴MH
NH
=
，
∵在Rt ABM
和Rt CBN
中
AB
BC
BM
BN
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ABM
CBN
≌
，
∴AM
CN
=
，
∵AE
CD
=
，
∴AE
AM
CD
CN
−
=
−
，
∴DN
EM
=
，
∴
2
HE
BH
HE
HN
+
=
+
HE
HM
HN
=
+
+
EM
HN
=
+
DN
HN
=
+
HD
=
，
即HD
BH
HE
=
+
，故⑧错误；
根据已知条件，不能证明BH 平分
CBE
，故⑥错误；
综上分析可知：错误的有2 个．
故选：C．
4．（24-25 七年级下·重庆南岸·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，分别以顶点A，C 为圆心，大于
1
2 AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN 分别与BC
AC
，
交于点E，F，连接BF ；以
点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB
AC
，
于点H，G，再分别以点H，G 为圆心，大于1
2 HG 的长
为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP ．若射线AP 恰好经过点E，则下列四个结论，正确的个数是（ ）
①
30
C
=
；②AP 垂直平分线段BF ；③CE
AF
=
；④
1
6
BEF
ABC
S
S
=
△
△
．
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76 /
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，
灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
由作图可知MN 垂直平分线段AC 、AE 平分
BAC
，进而证明
30
C
EAC
BAE
=
=
=
，可判定①；再
说明AB
AF
=
可得AP 垂直平分线段BF ，可判定②；根据EA
EC
=
，AE
AF
可判定③，根据三角形的面
积公式即可判定④．
【详解】解：由作图可知MN 垂直平分线段AC ，
EA
EC
=
，
C
EAC
=
，
由作图可知AE 平分
BAC
，
BAE
EAC
=
，
90
ABC
=
，
30
C
EAC
BAE
=
=
=
，故①正确；
2
AC
AB
=
，
AF
CF
=
，
AB
AF
=
，
又AE 平分
BAC
，
AP 垂直平分线段BF ，故②正确；
EA
EC
=
，AE
AF
CE
AF
，故③错误；
EA
EC
=
，
2
EA
BE
，
2
EC
BE
=
，
1
3
BEF
BCF
S
S
=
，
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AF
CF
=
，
1
2
BCF
ABC
S
S
=
△
△
，
1
6
BEF
ABC
S
S
=
△
△
，故④正确；
综上可知，正确的有① ② ④，共3 个，
故选C．
5．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，在
ABC
中，
60
ABC
=
，CF 平分
ACB
交AB 于点F，AE 平分
BAC
交BC 于点E，AE 、CF 相交于点G，AD
CF
⊥
交CF 的延长线于点D，连接BD．当AB
AC
时，
下列结论中正确的有（ ）
①若
80
ACE
=
，则
10
BAD
=
；②
2
AG
DG
=
；③AC
AF
BE
=
+
；④
AGF
CGE
S
AG
S
CG
=
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30 度角的直角三角形的性质等知
识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
① 先利用角平分线的定义求出
BCF
，再由三角形内角和定理求出
BFC
，然后在直角三角形
ADF
△
中，
求
BAD
；
② 利用角平分线的定义，三角形内角和定理，推出
60
ACG
CAG
+
=
，接着由三角形外角知识可得
60
=
AGD
，然后在直角三角形
ADF
△
中求解；
③在AC 上截取AH
AF
=
，先后证明HAG
FAG
，GCE
GCH
，推出AC
AF
CE
=
+
，
又由AB
AC
可得CE
BE
，从而得出结论；
④ 在③的解答基础上，过点H 作HM
AG
⊥
于M ，作HN
CG
⊥
于N ，利用角平分线的性质得HM
HN
=
，
进一步可得
AGH
CGH
S
AG
S
CG
=
，再利用全等三角形的面积相等进行等量代换．
【详解】解：
CF
平分
ACB
，
80
ACE
=
，
1
40
2
BCF
ACE
=
=
，
又
60
ABC
=
，
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180
80
BFC
ABC
BCF
=
−
−
=
，
80
AFD
BFC
=
=
，
AD
CF
⊥
90
10
BAD
AFD
=
−
=
，故①正确；
在
ABC
中，
60
ABC
=
，
120
ACB
CAB
+
=
，
CF
平分
ACB
，AE 平分
BAC
，
1
2
ACG
ACB
=
，
1
2
CAG
CAB
=
，
(
)
1
60
2
ACG
CAG
ACB
CAB
+
=
+
=
，
60
AGD
ACG
CAG
=
+
=
，
AD
CF
⊥
，
90
ADG
=
，
30
DAG
=
，
2
AG
DG
=
，故②正确；
在AC 上截取AH
AF
=
，如图1 所示：
又
CAG
BAG
=
，AG
AG
=
，
(
)
SAS
HAG
FAG
，
60
AGH
AGD
=
=
，
180
60
CGH
AGH
AGD
=
−
−
=
，
60
CGE
AGD
=
=
，
CGE
CGH
=
，
又CG
CG
=
，
GCE
GCH
=
∠
∠
，
(
)
ASA
GCE
GCH
，
CE
CH
=
∴
，
AC
AH
CH
AF
CE
=
+
=
+
，
又
AB
AC
，
CE
BE
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AC
AF
BE
+
，故③不正确；
在③的解答基础上，过点H 作HM
AG
⊥
于M ，作HN
CG
⊥
于N ，如图2 所示：
又
60
AGH
CGH
=
=
，
HM
HN
=
，
1
2
1
2
AGH
CGH
AG HM
S
AG
S
CG
CG HN
=
=
，
又HAG
FAG
，GCE
GCH
，
AGF
AGH
S
S
=
，
CGE
CGH
S
S
=
，
AGF
AGH
CGE
CGH
S
S
AG
S
S
CG
=
=
，故④正确；
综上可知，①②④正确．
故选：C．
6．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在
ABC
中，
90 ,
30
C
B
=
=
，以A 为圆心，任意长为半
径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，
连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是
BAC
的平分线；②
60
ADC
=
；③DA
DB
=
；④
12
DAC
ABC
S
S
=
:
:
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30 度角的直角三角形，由作图过程可知，射线AP
为
BAC
的平分线，即AD是
BAC
的平分线；由题意得
60
CAB
=
，由角平分线的定义得
1
30
2
CAD
BAD
BAC
=
=
=
，则
60
ADC
BAD
B
=
+=
；根据
30
BAD
B
= =
，可得AD
BD
=
；
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过点D 作DE
AB
⊥
于点E，由角平分线的性质可得CD
DE
=
，根据含30 度角的直角三角形的性质可得
2
AB
AC
=
，进而可得
12
DAC
ABD
S
S
=
：
：
，则
13
DAC
ABC
S
S
=
：
：
，即可得出答案．
【详解】解：由作图过程可知，射线AP 为
BAC
的平分线，
即AD是
BAC
的平分线，
故①正确，符合题意；
∵
90
30
C
B
=
=
，
，
∴
60
CAB
=
．
∵AD是
BAC
的平分线，
∴
1
30
2
CAD
BAD
BAC
=
=
=
，
∴
60
ADC
BAD
B
=
+=
，
故②正确，符合题意；
∵
30
BAD
B
= =
，
∴AD
BD
=
，
故③正确，符合题意；
过点D 作DE
AB
⊥
于点E，
∵AD是
BAC
的平分线，
90
C
=
，
∴CD
DE
=
．
∵
90
30
C
B
=
=
，
，
∴
2
AB
AC
=
．
∴
1
1
1
1
:
:
:
2
1: 2
2
2
2
2
DAC
ABD
S
S
AC CD
AB DE
AC
CD
AC
CD
=
=
=
，
∴
13
DAC
ABC
S
S
=
：
：
，
故④不正确，不符合题意．
综上所述，正确的个数是3．
故选：C．
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7．（24-25 八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形ABCD中，
,
AB
BC AD
CD
=
=
，我们把这种两组邻边
分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线
,
AC BD 相交于点O．已知
120
ADC
=
，
60
ABC
=
，
小婵同学得到如下结论：①
ABC
是等边三角形；②
2
BD
AD
=
；③
ABCD
S
AC BD
=
四边形
；④点M、N 分
别在线段
,
AB BC 上，且
60
MDN
=
，则MN
AM
CN
=
+
，其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【分析】由
,
60
AB
BC
ABC
=
=
可证明
ABC
是等边三角形，故可判定①；证明
(
)
SSS
ABD
CBD
≌
，
根据全等三角形的性质得到
1
1
60
30
2
2
ABD
CBD
BC
=
=
=
=
，由多边形内角和定理求出
90
DAB
DCB
=
=
，由直角三角形的性质即可得出
2
BD
AD
=
，故可判定②；
由面积关系可求出四边形ABCD的面积，故可判定③；证明
(
)
SAS
DAM
DCE
≌
，
(
)
SAS
MDN
EDN
≌
，
可得到MN
AM
CN
=
+
，故可判断④．
【详解】解：
,
60
AB
BC
ABC
=
=
,
ABC
是等边三角形，
故结论①正确；
,
,
AD
CD AB
BC BD
BD
=
=
=
,
(
)
SSS
ABD
CBD
≌
,
DAB
DCB
=
,
1
1
60
30
2
2
ABD
CBD
BC
=
=
=
=
,
(
)
(
)
360
260
120
60
180
DAB
DCB
ADC
ABC
+
=
−
+
=
−
+
=
,
90
DAB
DCB
=
=
,
2
BD
AD
=
,
故结论②正确；
ABC
是等边三角形，
1
2
ABD
CBD
ABC
=
=
，
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BD
垂直平分AC ,
(
)
1
1
1
1
2
2
2
2
ABD
CBD
ABCD
S
S
S
BD AO
BD CO
BD AO
CO
AC BD
=
+
=
+
=
+
=
四边形
,
故结论③错误；
如图，延长BC 到E ，使CE
AM
=
，连接DE ，
90
DAB
DCB
=
=
,
180
90
DCE
DCB
=
−
=
,
DAM
DCE
=
,
在
DAM
△
和
DCE
△
中
AD
CD
DAM
DCE
AM
CE
=
=
=
,
(
)
SAS
DAM
DCE
≌
,
ADM
CDE
=
, DM
DE
=
,
120 ,
60
ADC
MDN
=
=
,
60
ADM
CDN
ADC
MDN
+
=
−
=
60
CDE
CDN
EDN
+
=
=
,
在
MDN
△
和
EDN
△
中
DM
DE
MDN
EDN
DN
N
=
=
=
,
(
)
SAS
MDN
EDN
≌
,
MN
EN
CN
CE
=
=
+
,
MN
AM
CN
=
+
,
故结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
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题型三：直角三角形判定定理综合应用
1．（24-25 七年级下·安徽池州·期末）把一块含60角的直角三角尺EFG（其中
90
EFG
=
，
60
EGF
=
）
按下图所示的方式摆放在两条平行线AB ，CD之间．
(1)如图1，若三角形的60角的顶点G 落在CD上，且
2
1
= ，求1
的度数．
(2)如图2，若把三角尺的直角顶点F 放在CD上，30角的顶点E 落在AB 上，AEG
与
DFG
的数量如何？
说明理由．
【答案】(1) 1
60
=
(2)
120
AEG
DFG
−
=
，见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，
是解题的关键．
（1）由平行线的性质可得1
EGD
=
，从而可得
2
1
EGD
=
= ，再
2
60
180
EGD
+
+
=
，进行计算
即可得到答案；
（2）由平行的性质可得
180
AEF
CFE
+
=
，从而得到
180
CFE
AEF
=
−
，再由
90
CFE
DFG
=
−
，
从而得到180
90
AEF
DFG
−
=
−
，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：
AB
CD
，
1
EGD
=
2
1
= ，
2
1
=
=
EGD
，
2
60
180
EGD
+
+
=
，
180
60
2
60
2
EGD
−
=
=
=
，
1
60
=
．
（2）
120
AEG
DFG
−
=
．
理由如下：
AB
CD
，
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180
AEF
CFE
+
=
∴
，
180
CFE
AEF
=
−
，
180
CFE
EFG
DFG
+
+
=
，
90
EFG
=
，
180
180
90
90
CFE
EFG
DFG
DFG
DFG
=
−
−
=
−
−
=
−
，
180
90
AEF
DFG
−
=
−
，
AEF
AEG
FEG
=
−
，
30
FEG
=
，
(
)
180
90
AEG
FEG
DFG
−
−
=
−
，
180
30
90
AEG
DFG
−
+
=
−
，
120
AEG
DFG
−
=
．
2．（24-25 七年级下·四川成都·期末）在
ABC
中，
90
ABC
=
．
(1)当
30
BAC
=
时，
①如图1，作边AB 的垂直平分线DE ，交AC 于点D，交AB 于点E．若
3
BC = ，求AC 的长；
②如图2，AF 为
ABC
的角平分线，在边AB 上取一点G，使得GF
CF
=
，求
CFG
的度数；
(2)如图3，作BH
AC
⊥
于点H，AM 平分
HAB
，交BH 于点M，点N在边AB 上，连接CM
MN
，
，若AN
MN
=
，
2
90
CAB
BCM
+
=
，试探究CH
CM
+
与AH 的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①6；②150
(2) AH
CH
CM
=
+
，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30 度角的直角三角形的
性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）①直接根据含30 度角的直角三角形的性质可得答案；②过点F 作FE
AC
⊥
于E，求出
180
60
C
B
BAC
=
−−
=
；证明
(
)
AAS
AEF
ABF
≌
，得到FE
FB
=
，再证明
(
)
Rt
Rt
HL
FCE
FGB
≌
，
得到
60
FGB
C
=
=
∠
∠
，则
150
CFG
FGB
B
=
+=
；
（2）过点C 作CT
AB
∥
交BH 的延长线于T，则
180
90
ACT
BAC
BCT
ABC
=
=
−
=
∠
∠
，∠
∠
，根据
2
90
CAB
BCM
+
=
，可证明
BAC
ACM
=
；过点M 作MD
AB
∥
交AC 于D，则
MDC
BAC
=
∠
∠
，
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DMA
MAN
=
，证明
MDC
ACM
=
∠
∠
，得到DM
CM
=
，由三线合一定理得到DH
CH
=
；证明
DAM
DMA
=
，得到DA
DM
=
，则DA
CM
=
，据此可得AH
AD
DH
CM
CH
=
+
=
+
．
【详解】（1）解：①∵在
ABC
中，
90
ABC
=
，
30
BAC
=
，
∴
2
6
AC
BC
=
=
；
②如图所示，过点F 作FE
AC
⊥
于E，
∴
90
FEA
FEC
=
=
，
∵在
ABC
中，
90
ABC
=
，
30
BAC
=
，
∴
180
60
C
B
BAC
=
−−
=
；
∵AF 为
ABC
的角平分线，
∴
FAE
FAB
=
，
又∵
90
AF
AF
AEF
ABF
=
=
=
，∠
∠
，
∴
(
)
AAS
AEF
ABF
≌
，
∴FE
FB
=
，
又∵FG
FC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
FCE
FGB
≌
，
∴
60
FGB
C
=
=
∠
∠
，
∴
150
CFG
FGB
B
=
+=
；
（2）解：AH
CH
CM
=
+
，理由如下：
如图所示，过点C 作CT
AB
∥
交BH 的延长线于T，
∴
180
90
ACT
BAC
BCT
ABC
=
=
−
=
∠
∠
，∠
∠
，
∴
90
ACT
ACM
BCM
+
+
=
∠
∠
∠
，
∴
90
BAC
ACM
BCM
+
+
=
∠
∠
∠
∵2
90
CAB
BCM
+
=
，
∴
BAC
ACM
=
；
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86 /
如图所示，过点M 作MD
AB
∥
交AC 于D，
∴
MDC
BAC
=
∠
∠
，
DMA
MAN
=
，
∴
MDC
ACM
=
∠
∠
，
∴DM
CM
=
，
∵BH
AC
⊥
，
∴DH
CH
=
；
∵AM 平分
HAB
，
∴
NAM
DAM
=
，
∴
DAM
DMA
=
，
∴DA
DM
=
，
∴DA
CM
=
，
∴AH
AD
DH
CM
CH
=
+
=
+
．
3．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·期末）在
ABC
中，点D 是AC 的中点，CE
AB
⊥
于点E ，BD与CE 交于点
O，且BE
CD
=
．
(1)如图1，当点E 为AB 的中点时，
①求证：
ABC
是等边三角形；
②
OBC
ABC
S
S
=
___________；
(2)如图2，判断
BDC
与
ABD
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②1
3 ；
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(2)
3
BDC
ABD
=
，理由见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判
定和性质，三角形外角的性质等知识，掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键．
（1）①根据线段中点得到AC
AB
=
，根据垂直平分线的性质，得到AC
BC
=
，即可证明结论；
②连接AO 并延长交BC 于点F ，根据等边三角形的性质，得到AF
BC
⊥
，
30
CBD
=
，OA
OB
=
，进而得
到
2
OA
OB
OF
=
=
，推出
3
AF
OF
=
，再根据
OBC
ABC
S
OF
S
AF
=
求解即可；
（2）连接DE ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到DE
AD
CD
=
=
，根据等边对等对等角和三角
形外角的性质得到
ABD
BDE
=
，
2
A
AED
ABD
=
=
，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：①点D 是AC 的中点，点E 为AB 的中点，
2
AC
CD
=
，
2
AB
BE
=
，
BE
CD
=
，
AC
AB
=
，
CE
AB
⊥
，点E 为AB 的中点，
CE
是AB 的垂直平分线，
AC
BC
=
，
AC
BC
AB
=
=
，
ABC
是等边三角形；
②如图，连接AO 并延长交BC 于点F ，
由①可知，
ABC
是等边三角形，
点D 是AC 的中点，点E 为AB 的中点，CE
AB
⊥
，
AF
BC
⊥
，
1
30
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，OA
OB
=
，
在Rt
BOF
△
中，
2
OB
OF
=
，
2
OA
OF
=
，
3
AF
OF
=
，
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1
1
2
1
3
2
OBC
ABC
BC OF
S
OF
S
AF
BC AF
=
=
=
，
故答案为：1
3
（2）解：
3
BDC
ABD
=
，理由如下：
如图，连接DE ，
CE
AB
⊥
，
90
AEC
=
，
点D 是AC 的中点，
1
2
DE
AC
AD
CD
=
=
=
，
BE
CD
=
，
BE
DE
=
，
ABD
BDE
=
，
2
AED
ABD
BDE
ABD
=
+
=
，
DE
AD
=
，
2
A
AED
ABD
=
=
，
3
BDC
A
ABD
ABD
= +
=
，
即
3
BDC
ABD
=
．
4．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）几何探究：
已知：
ABD
△
利
AEC
△
都是等边三角形，连接CD，BE 交于点P ．
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(1)如图1，①判断BE 与DC 的数量关系：_______________．
BPD
=______________：
②连接
,
AP
APD
与
APE
的数量关系是：______________；
(2)如图2，H，G 分别是DC ，BE 的中点，
①当
60
BAC
=
时，
AGH
=______________；
②当
BAC
发生变化时，请探究
AGH
的度数是否发生变化，并说明理由：
(3)连接AP ，求
2
PB
PC
PA
PD
PE
+
+
+
的值．
【答案】(1)①BE
DC
=
；60；②
APD
APE
=
(2)①60；②不变；理由见解析
(3)
2
1
PB
PC
PA
PD
PE
+
+
=
+
【分析】（1）①证明
(
)
SAS
ACD
AEB
≌
，得出BE
DC
=
，
ABE
ADC
S
S
=
，
ADC
ABE
=
，根据
180
180
AFD
ADC
BFP
ABE
−
−
=
−
−
，得出
60
BPD
BAD
=
=
；
②过点A 作AM
CD
⊥
于点M，AN
BE
⊥
于点N，根据BE
DC
=
，
ABE
ADC
S
S
=
，得出1
1
2
2
BE AN
CD AM
=
，
证明AM
AN
=
，即可得出答案；
（2）①连接AH ，证明AEG
ACH
≌
，得出AH
AG
=
，
EAG
CAH
=
，证明AGH
为等边三角形，得
出
60
AGH
=
；
②连接AH ，当
BAC
发生变化时，同理可证明AEG
ACH
≌
，得出AH
AG
=
，
EAG
CAH
=
，证明
AGH
为等边三角形，得出
60
AGH
=
；
（3）过点A 作AM
CD
⊥
于点M，作AN
BE
⊥
于点N，证明
(
)
Rt
Rt
HL
AMC
ANE
≌
，得出CM
EN
=
，求
出
2
PB
PC
PA
BE
PM
PN
+
+
=
+
+
，PD
PE
DC
PM
PN
+
=
+
+
，根据BE
DC
=
，即可得出
2
1
PB
PC
PA
PD
PE
+
+
=
+
．
【详解】（1）解：①∵
ABD
△
利
AEC
△
都是等边三角形，
∴AB
AD
=
，AC
AE
=
，
60
BAD
CAE
=
=
，
∴
=
DAB
BAC
BAC
CAE
+
+
，
即
BAE
DAC
=
，
∴
(
)
SAS
ACD
AEB
≌
，
∴BE
DC
=
，
ABE
ADC
S
S
=
，
ADC
ABE
=
，
∵
AFD
BFP
=
，
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∴180
180
AFD
ADC
BFP
ABE
−
−
=
−
−
，
∴
60
BPD
BAD
=
=
；
②过点A 作AM
CD
⊥
于点M，AN
BE
⊥
于点N，如图所示：
∵BE
DC
=
，
ABE
ADC
S
S
=
，
∴1
1
2
2
BE AN
CD AM
=
，
∴AM
AN
=
，
∴点A 在
DPE
的角平分线上，
∴
APD
APE
=
；
（2）解：①连接AH ，如图所示：
∵H，G 分别是DC ，BE 的中点，
∴
1
2
CH
CD
=
，
1
2
EG
BE
=
，
∴CH
EG
=
，
根据解析（1）可知：ACD
AEB
≌
，
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∴
AEG
ACH
=
，
∵AE
AC
=
，
∴AEG
ACH
≌
，
∴AH
AG
=
，
EAG
CAH
=
，
∴
EAC
CAG
CAG
GAH
+
=
+
，
∴
60
GAH
CAE
=
=
，
∴AGH
为等边三角形，
∴
60
AGH
=
；
②当
BAC
发生变化时，
AGH
的度数不变；理由如下：
连接AH ，如图所示：
当
BAC
发生改变时，同理可证AEG
ACH
≌
，
∴AH
AG
=
，
EAG
CAH
=
，
∴
EAC
CAG
CAG
GAH
+
=
+
，
∴
60
GAH
CAE
=
=
，
∴AGH
为等边三角形，
∴
60
AGH
=
；
（3）解：过点A 作AM
CD
⊥
于点M，作AN
BE
⊥
于点N，如图所示：
根据解析（1）可知：AM
AN
=
，
APM
APN
=
，
60
BPD
=
，
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∴
180
60
120
DPE
=
−
=
，
∴
1
120
60
2
APM
APN
=
=
=
，
∵
90
AMP
ANP
=
=
，
∴
90
60
30
MAP
PAN
=
=
−
=
，
∴
2
2
AP
PM
PN
=
=
，
∴PM
PN
=
，
∵AE
AC
=
，AM
AN
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
AMC
ANE
≌
，
∴CM
EN
=
，
∴
2
PB
PC
PA
+
+
(
)
2
PB
PC
PM
PN
=
+
+
+
(
) (
)
PB
PN
PC
PM
PM
PN
=
+
+
+
+
+
BN
CM
PM
PN
=
+
+
+
BN
NE
PM
PN
=
+
+
+
BE
PM
PN
=
+
+
，
PD
PE
+
DM
PM
PN
NE
=
+
+
+
DM
CM
PM
PN
=
+
+
+
DC
PM
PN
=
+
+
，
∵BE
DC
=
，
∴
2
PB
PC
PA
PD
PE
+
+
=
+
，
∴
2
1
PB
PC
PA
PD
PE
+
+
=
+
．
5．
（24-25 八年级上·重庆秀山·期末）在
ABC
中，点P 为AB 上一点，D 为AC 上一点，连接PC 、BD、PD，
已知
,
,
PD
PB AP
CP
BPC
APD
=
=
=
．
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93 /
(1)如图1，若
35
BAC
=
，求
ACB
的度数．
(2)如图2，点E 是BD的中点，过点E 作CP 的垂线，分别交CP 于点F ，交AC 于点G ，交BC 于点H ．求
证：AG
CG
=
．
(3)如图3，ABC
中，若
=60
B
，M 为线段BC 上一点，N 为线段AB 上一点，且BN
BC
=
，点Q 在AB 下
方，若
60 ,
MNQ
MN
NQ
=
=
，
24,
16
AB
BC
=
=
，连接AQ ，当AQ 取最小值时，直接写出BM 的长度．
【答案】(1)70
(2)见解析
(3)4
【分析】
（1）先证明
(
)
SAS
APD
CPB
≌
，则
35
BAC
PCB
=
=
，再由等边对等角得到
35
PAC
PCA
=
=
，
然后通过
ACB
ACP
PCB
=
+
即可求解；
（2）过点B 作AC 的平行线交GH 的延长线于点K ，先证明
(
)
ASA
CGF
CHF
≌
，则CG
CH
=
，再证明
(
)
AAS
DEG
BEK
≌
，则DG
BK
=
，得到DG
BH
=
，由AD
BC
=
可知AD
DG
BC
BH
−
=
−
，则AG
CH
=
，
故AG
CG
=
；
（3）连接
,
CN BQ ，可得BNC
为等边三角形，然后证明
(
)
SAS
NCM
NBQ
≌
，则
60
NBQ
NCM
=
=
，
故当AQ
BQ
⊥
时，AQ 最短，再根据30角直角三角形性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
,
,
PD
PB AP
CP
BPC
APD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
APD
CPB
≌
，
∴
35
BAC
PCB
=
=
，
∵AP
CP
=
，
∴
35
PAC
PCA
=
=
，
∴
35
35
70
ACB
ACP
PCB
=
+
=
+
=
（2）证明：过点B 作AC 的平行线交GH 的延长线于点K ，
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由（1）得APD
CPB
≌
，
∴AD
BC
=
，
2
A
= ，
∵PA
PC
=
，
∴
1
A
=，
∴1
2
= ，
∵GH
CP
⊥
，
∴
90
CFG
CFH
=
=
，
∵CF
CF
=
，
∴
(
)
ASA
CGF
CHF
≌
，
∴CG
CH
=
，
∴
3
CHG
BHK
=
=
，
∵BK
AC
∥
，
∴
3=
4
，
∴
4
BHK
= ，
∴BH
BK
=
，
∵点E 是BD的中点，
∴DE
BE
=
，
∵
DEG
BEK
=
，
∴
(
)
AAS
DEG
BEK
≌
，
∴DG
BK
=
，
∴DG
BH
=
，
∵AD
BC
=
，
∴AD
DG
BC
BH
−
=
−
，
∴AG
CH
=
，
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∴AG
CG
=
；
（3）解：连接
,
CN BQ ，
∵
,
60
BN
BC
ABC
=
=
，
∴BNC
为等边三角形，
∴
,
60
NC
NB
CNB
BCN
=
=
=
，
∵
60
MNQ
=
，
∴
MNQ
CNB
=
，
∴
CNM
BNQ
=
，
∵NM
NQ
=
，
∴
(
)
SAS
NCM
NBQ
≌
，
∴
60
NBQ
NCM
=
=
，
∴当AQ
BQ
⊥
时，AQ 最短，
∴
30
BAQ
=
，
∴
1
12
2
BQ
CM
AB
=
=
=
，
∴
16 12
4
BM
BC
CM
=
−
=
−
=
．
6．（24-25 八年级下·全国·期中）已知，ABC
是等边三角形，
6
AB =
，将一块含有30角的直角三角板DEF
如图放置，让等边三角形ABC 向右平移( BC 只能在EF 上移动)，如图(1)，当点E 与点B 重合时，点A 恰好
落在直角三角板的斜边DF 上．
(1)若点C 平移到与点F 重合，求等边三角形ABC 平移的距离．
(2)等边三角形ABC 在向右平移过程中，AB ，AC 与三角板斜边的交点分别为G，H，连接EH 交AB 于点P，
如图(2)．
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①求证：EB
AH
=
．
②若
30
HEF
=
，则EH = _ ．
③判断PG 的长是否会发生变化．如果不会变化，请求出PG 的长；如果会变化，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)①见解析；②4
3 ；③不会发生变化，3
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出
60
BAC
ACB
=
=
．进而得出
30
FAC
=
，求出CF 即可；
（2）①作EM
DF
⊥
于点M ，EN
AB
⊥
于点N ，证明
EBN
HAG
≌
△
△
即可；
②此时HEF 是等腰三角形，作HI
EF
⊥
于点I ，由（1）知，
2
EF
AB
=
，从而
6
IE
AB
=
=
，EH 自然求出；
③由于前面已经证明了
EBN
HAG
≌
△
△
，从而有GH
EN
=
，则
ENP
HGP
≌
△
△
，
1
2
PG
NP
AB
=
=
．
【详解】（1）解：∵ABC
是等边三角形，
∴
60
BAC
ACB
=
=
．
∵
30
F
=
，
∴
30
FAC
=
，
∴
90
BAF
=
，
∴
2
12
EF
AB
=
=
，
∴
12 6
6
CF
EF
BC
=
−
=
−=
，
∴等边三角形ABC 平移的距离为6．
（2）证明：①证明：∵ABC
是等边三角形，
∴
60
ACB
=
，AC
BC
=
．
∵
30
F
=
，
∴
60
30
30
CHF
=
−
=
，
∴
CHF
F
=
，
∴CH
CF
=
．
∵
2
2
EF
AB
BC
=
=
，
∴BE
CF
BC
+
=
．
∵AH
CH
AC
+
=
，AC
BC
=
，
∴AH
EB
=
．
②如图3，作HI
EF
⊥
于点I ，
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∵
30
HEF
HFE
=
=
，
∴IE
IF
=
，
由（1）知
2
12
EF
AB
=
=
，
∴
6
IE =
，
∴
2 3
IH =
，
∴
4 3
=
EH
；
③不会发生变化，
如图，过点H 作HM
EF
，交AB 于点M，
∴
60
AHM
ACB
=
=
，
60
AMH
ABC
=
=
，
∴AMH
是等边三角形，
∴MH
AH
=
．
∵AH
BE
=
，
∴MH
BE
=
，
∵HM
EF
，
∴
ABE
BMH
=
，
BEH
MHP
=
，
∴
(
)
ASA
EBP
HMP
≌
，
∴PM
PB
=
．
∵AMH
是等边三角形，HG
AB
⊥
，
∴AG
GM
=
，
∴
1
3
2
PG
AB
=
=
．
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98 /
题型四：直角三角形判定定理中实践探究问题
1．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题提出：如图1，点E 为等腰
ABC
内一点，AB
AC
=
，若另
有一个以AD、AE 为腰的等腰
AED
△
且
BAC
EAD
=
，求证：ABE
ACD
≌
．
（2）尝试应用：如图2，点D 为等腰Rt
ABC
△
外一点，AB
AC
=
，BD
CD
⊥
，过点A 的直线分别交DB的
延长线和CD的延长线于点N 、M ，BD与AC 交于点K ，
60
M
=
，
90
BAC
=
，求证：
2
MC
NB
AM
+
=
．
（3）问题拓展：如图3，ABC
中，AB
AC
=
，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，
60
BDA
BEA
=
=
，AE ，
BD交于点H ，等边
ABF
△
的边AF 与BC 相交于G 点．若
4
CE =
，
2
AH =
，请直接写出BE 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得AE
AD
=
，BAC
EAD
=
，进而得证
BAE
CAD
=
，即可利用
SAS证明ABE
ACD
≌
．
（2）延长MC 至G，使 CG
BN
=
，连 接AG ，设 BD交AC 于K，如图：证明
(
)
SAS
ABN
ACG
≌
，
30
G
=
，
可得
2
MG
AM
=
，再进一步可得结论；
（3）过A 作AM
BC
⊥
于M ，连接EF ，证明
(
)
SAS
ACE
AFE
≌
，进而证明
BEH
BEF
△
≌△
，可得
4
EH
EF
=
=
，则
6
AE
AH
EH
=
+
=
，证明
30
MAE
=
，可得
1
3
2
EM
AE
=
= ，再进一步可得答案．
【详解】（1）证明：
AED
是以AD、AE 为腰的等腰三角形，
AE
AD
=
，
BAC
BAC
=
，
BAE
CAD
=
，
在ABE
和ACD
中，
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AB
AC
BAE
CAD
AE
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABE
ACD
≌
；
（2）证明：延长MC 至G ，使CG
BN
=
，连接AG ，如图：
90
,
BAK
CDK
AKB
DKC
=
=
=
，
ABK
DCK
=
，
ABN
ACG
=
，
在ABN
和ACG
中，
AB
AC
ABN
ACG
BN
CG
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABN
ACG
≌
，
BAN
CAG
=
，
90
CAG
BAG
+
=
，
90
BAN
BAG
+
=
，即
90
NAG
=
，
90
MAG
=
，
60
M
=
，
30
G
=
，
2
MG
AM
=
，
MG
MC
CG
MC
NB
=
+
=
+
，
2
MC
NB
AM
+
=
；
（3）过A 作AM
BC
⊥
于M ，连接EF ．
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ABF
为等边三角形，
,
60
BF
AF
AB
AC
AFB
ABF
BDA
BEA
=
=
=
=
=
=
=
，
AHD
BHE
=
，
3
2
=，
AGE
BGF
=
，
4
1
=，
60
2,
60
4
AEB
C
ABF
ABC
=
=
+
=
=
+
，
2
4
C
ABC
+=
+，
AB
AC
=
，
C
ABC
=
，
2
4
= ，
1
2
3
4
= = = ，
在
ACE
△
和
AFE
△
中，
1
2
AC
AF
AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ACE
AFE
≌
，
4,
CE
EF
AEC
AEF
=
=
=
，
60
AEB
=
，
120
AEC
AEF
=
=
，
60
BEF
AEF
AEB
AEB
=
−
=
=
，
3
4,BE
BE
=
=
，
(
)
ASA
BEH
BEF
≌
，
4
EH
EF
=
=
，
2
4
6
AE
AH
EH
=
+
=
+
= ，
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AM
BC
⊥
，
60
AEM
=
，
30
MAE
=
，
1
3
2
EM
AE
=
=
，
3 4
7
CM
EM
CE
=
+
= +
=
，
,
AB
AC AM
BC
=
⊥
，
7
BM
CM
=
=
，
7
3
10
BE
BM
EM
=
+
=
+ =
．
2．（24-25 九年级下·北京·阶段练习）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
B
=
，点D 在AB 边上，点F 在射线AC
上，连接FD ，将线段FD 绕点F 逆时针旋转2得到线段FE，点E 在BC 边上．
(1)如图1，点F 与点C 重合，FD
AB
⊥
，求证：E 是BC 的中点；
(2)如图2，点F 在AC 的延长线上时，作EG
CA
交AB 于点G ，用等式表示线段BG 与AD的数量关系，并
证明．
【答案】(1)见解析
(2)
2
BG
AD
=
，理由见解析
【分析】本题考查30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等腰
三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据直角三角形的两锐角互余求出α
30
=
，再根据30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）在AB 于取一点M，使得FM
FA
=
，连EM ，取BG 的中点N，连接EN ，即可得到
2α
ENM
=
，
1
2
FN
NB
BG
=
=
，然后证明AFD
FME
≌
，得到ME
AD
=
，EMN
ENM
=
，即可得到EM
EN
=
，解答
即可．
【详解】（1）证明：∵FD
AB
⊥
，
∴
90
DFE
=
，
∵
B
=
，
2α
EFD
=
，
∴α
2α
90
+
=
，
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解得α
30
=
，
∴
1
2
FE
FD
BC
=
=
，
∴点E 是BC 的中点；
（2）解：
2
BG
AD
=
，理由为：
在AB 于取一点M，使得FM
FA
=
，连EM ，取BG 的中点N，连接EN ，
∵EG
CA
，
∴
90
GEB
ACB
=
=
，
∴
1
2
FN
NB
BG
=
=
，
∴
α
NEB
B
= =
，即
2α
ENM
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
A
=
−
，
又∵FA
FM
=
，
∴
90
FMA
A
= =
−
，
∴
180
2
AFM
FMA
A
DAE
=
−
−=
=
，
∴
AFD
MAE
=
，
又∵FD
FE
=
，
∴AFD
FME
≌
，
∴ME
AD
=
，
90
FME
A
= =
−
，
∴
180
2
EMN
FMD
FME
ENM
=
−
−
=
=
，
∴EM
EN
=
，
∴
2
BG
AD
=
．
3．（24-25 八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角a
，
满足
2
90
a
+
=
，那么我
们称这个三角形为“近直角三角形”．
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(1)在
ABC
中，
40
115
B
C
=
=
，
，则
ABC
___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若
ABC
是“近直角三角形”，
90
B
，
50
C
=
，则
A
=___________；
(3)如图②，在Rt
ABC
△
中，
90
30
1
BAC
C
AB
=
=
=
，
，
，在AB 的延长线上是否存在点E ，使得BCE
是“近直角三角形”？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是
(2)20
(3)存在，AE 的长为3
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判
定和性质等知识，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理可得
25
A
=
，再根据“近直角三角形”即可作判断；
（2）根据“近直角三角形”的定义列等式即可解答；
（3）根据BCE
是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况：2
90
BCE
E
+
=
或
2
90
BCE
E
+
=
，即
可求解．
【详解】（1）解：
40
B
=
，
115
C
=
，
180
40
115
25
A
=
−
−
=
，
2
40
2 25
90
B
A
+ =
+
=
，
三角形ABC 是“近直角三角形”；
故答案为：是；
（2）解：
90
B
，
B
不可能是或，
当
A
=
时，
50
C
=
=
，
2
90
+
=
，不成立；
当
A
=
时，
50
C
=
=
，
2
90
+
=
，则
20
=
，
20
A
=
；
故答案为：20；
（3）解：存在，
如图，
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90
BAC
=
，
30
ACB
=
，
1
AB = ，
2
2
BC
AB
=
=
，
90
E
ACE
+
=
，
120
CBE
=
，
BCE
是“近直角三角形”，
2
90
BCE
E
+
=
或
2
90
BCE
E
+
=
，
①当2
90
BCE
E
+
=
时，
2
ACE
BCE
=
，
30
ACB
BCE
=
=
，
30
E
BCE
=
=
，
2
BC
BE
，
1 2
3
AE
AB
BE
=
+
= +
=
；
②当
2
90
BCE
E
+
=
时，
ACE
BCE
E
=
+，
30
E
ACB
=
=
，
30
BCE
E
=
= ，
2
BC
BE
，
1 2
3
AE
AB
BE
=
+
= +
=
；
综上，
3
AE = ．
4．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在
ABC
和A B C
中，AD，A D
分别是BC 和B C
边上的高线，且AD
A D
=
，则
ABC
和A B C
是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用
ABC
S
，
A B C
S
分别表示
ABC
和A B C
的面积．
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则
1
2
ABC
AD
S
BC
=
，
1
2
A B C
S
B C
A D
=
△
，
AD
AD
=
∴
:
:
.
ABC
A B C
S
S
BC B C
=
△
【性质应用】
(1)如图②，D是
ABC
的边BC 上的一点．若
3
BD =
，
4
DC =
，则
:
ABD
ADC
S
S
=
△
△
______；
(2)如图③，在
ABC
中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若
:
1:2
BE AB =
，
:
1:3
CD BC =
，
1
ABC
S
=
△
，
则
BEC
S
=
△
______，
CDE
S
=
△
______；
(3)如图③，在
ABC
中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若
:
1:
BE AB
m
=
，
:
1:
CD BC
n
=
，
ABC
S
a
=
，
则
CDE
S
=
△
______．
(4)在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，CD是AB 边上的高．
求：①ACD
与
BCD
△
的面积之比；
②若
Rt
16
ABC
S
=
△
，求
ACD
S
和
BCD
S△
的具体值．
【答案】(1)3:4
(2) 1
2 ，1
6
(3) a
mn
(4)①3:1；②
12
ACD
S
=
，
4
BCD
S
=
△
【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质
并能灵活运用是解题的关键．
（1）由图可知
ABD
△
和
ADC
△
是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据
:
1:2
BE AB =
，
1
ABC
S
=
△
和等高三角形的性质可求得
BEC
S
，然后根据
:
1:3
CD BC =
和等高三角形
的性质可求得
CDE
S△
；
（3）根据
:
1:
BE AB
m
=
，
ABC
S
a
=
和等高三角形的性质可求得S BEC
，然后根据
:
1:
CD BC
n
=
，和等高
三角形的性质可求得
CDE
S△
．
（4）①设
2
BC
x
=
，利用含30 度角的直角三角形的性质分别求得BD
x
= ，
3
AD
x
=
，然后根据“等高三角
形”的面积关系可得结论；
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②根据①中面积关系求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点A 作AE
BC
⊥
于E，
则
1
2
ABD
S
BD AE
=
，
1
2
ADC
S
DC AE
=
，
∴
:
:
3: 4
ABD
ADC
S
S
BD CD
=
=
△
△
；
（2）解：∵BEC
和
ABC
是等高三角形，
∴
:
:
1:2
BEC
ABC
S
S
BE AB
=
=
△
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
BEC
ABC
S
S
=
=
=
△
；
∵CDE
和
BEC
是等高三角形，
∴
:
:
1:3
CDE
BEC
S
S
CD BC
=
=
△
，
∴
1
1
1
1
3
3
2
6
CDE
BEC
S
S
=
=
=
；
（3）解：∵BEC
和
ABC
是等高三角形，
∴
:
:
1:
BEC
ABC
S
S
BE AB
m
=
=
△
，
∴
1
1
BEC
ABC
a
S
S
a
m
m
m
=
=
=
△
；
∵CDE
和
BEC
是等高三角形，
∴
:
:
1:
CDE
BEC
S
S
CD BC
n
=
=
△
，
∴
1
1
CDE
BEC
a
a
S
S
n
n
m
mn
=
=
=
．
（4）解：如图，设
2
BC
x
=
，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，CD是AB 边上的高，
∴
2
4
AB
BC
x
=
=
，
90
CBD
CDA
=
=
，
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∴
90
30
BCD
ACD
A
=
−
= =
，
∴
1
2
BD
BC
x
=
=
，则
3
AD
AB
BD
x
=
−
=
，
∵ACD
与
BCD
△
是等高三角形，
∴
:
:
3:1
ACD
BCD
S
S
AD BD
=
=
；
②∵
Rt
16
ABC
S
=
△
，
:
3:1
ACD
BCD
S
S
=
，
∴
Rt
3
3 16
12
4
4
ACD
ABC
S
S
=
=
=
，
Rt
1
1 16
4
4
4
BCD
ABC
S
S
=
=
=
．
5．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）回归教材
教材上通过对两个含30角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”
这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程．
已知：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
30
ACB
ABC
=
=
，
．求证：
1
2
AC
AB
=
．
证明：如图，延长AC 至点D ，使CD
CA
=
，连接BD．
90
ACB
=
，
BC
垂直平分AD，
AB
BD
=
．
……
（1）请补全剩余的证明过程．
知识应用
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若
2
AD =
，
30
B
ACD
=
=
，则AB 的长为________．
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（3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板ACD沿着射线AB 方向平移，设平移的距离为m ，当点D 平
移到大三角板ABC 的边上时，求出m 的值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）
2
m =
或
6
m =
【分析】本题题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的性质，灵活运用这些性质解决问题
是解题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得AB
BD
=
，由等腰三角形的性质可求
30
ABC
DBC
=
=
，可证ABD
是等边三角形，可得
2
AB
AD
AC
=
=
，可求解；
（2）由在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半可求
2
AC
AD
=
，
2
AB
AC
=
，即可求解；
（3）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求DF ，DE 的长，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，延长AC 至点D ，使CD
CA
=
，连接BD．
90
ACB
=
，
BC
垂直平分AD，
AB
BD
=
．
又
BC
AD
⊥
，
30
ABC
DBC
=
=
，
60
ABD
=
，
ABD
是等边三角形，
2
AB
AD
AC
=
=
，
即
1
2
AC
AB
=
；
（2）解：
2
AD =
，
90
D
=
，
30
ACD
=
，
2
4
AC
AD
=
=
，
30
B
=
，
90
ACB
=
，
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2
8
AB
AC
=
=
，
故答案为：8；
（3）解：作DE
AB
交BC 于E ，交AC 于F ．
60
DFA
BAC
DAF
=
=
=
，
ADF
是等边三角形，
2
AF
AD
DF
CF
=
=
=
=
，
FE
AB
，
30
CEF
B
= =
，
2
4
EF
CF
=
=
，
6
DE
=
，
当点D平移到线段大三角板ABC 的边上时，
2
m =
或
6
m =
6．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知
两直线MN
PQ
，
且MN
PQ
∥
，在
ABC
中，
90
BCA
=
，
60
30
B
A
=
=
，
．
【解决问题】
（1）如图1，若
1
43
=
∠
，求
2
的度数；
【深入探究】
（2）如图2，当
1
43
=
∠
的度数不变时，创新小组的同学把直线MN 向上平移，求
3
的度数；
【拓展应用】
（3）创意小组将图形继续变化得到图3，若AC 平分
BAP
，求
4
的度数．
【答案】（1）47；（2）163；（3）60．
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【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，直角三角形的性质，角平分线的定义，
对于（1），根据平角定义求出
ACQ
，再根据“两直线平行，同位角相等”得出答案；
对于（2），作BD
MN
∥
，先根据平行线的性质求出
CBD
，进而求出
ABD
，再根据“两直线平行同旁内
角互补”得出答案；
对于（3），先根据角平分线的定义求出1
，再作CE
PQ
∥
，根据“两直线平行内错角相等”得
ACE
，进而
求出
BCE
，然后根据平行线的性质得出答案．
【详解】解：（1）∵
90 , 1
43
ACB
=
=
，
1
180
ACB
ACQ
+
+
=
，
∴
180
1
47
ACQ
ACB
=
−
−=
．
∵MN
PQ
∥
，
∴
2
47
ACQ
=
=
；
（2）如图，过点B 作BD
MN
∥
，
∵MN
PQ
∥
，
∴BD
PQ
∥
，
∴
1
43
CBD
= =
．
∵
60
ABC
=
，
∴
60
17
ABD
CBD
=
−
=
．
∵BD
PQ
∥
，
∴
3
180
163
ABD
=
−
=
；
（3）∵
30
BAC
=
，AC 平分
BAP
，
∴1
30
=
．
如图所示，作CE
PQ
∥
，
∵CE
PQ
∥
，
∴
1
30
ACE
= =
．
∵
90
ACB
=
，
∴
90
60
BCE
ACE
=
−
=
．
∵CE
PQ
∥
，MN
PQ
∥
，
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∴CE
MN
∥
，
∴
4
60
BCE
=
=
．
7．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点
之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【活动一】情境再现，明晰原理
示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线l 表示河岸，将军从
山脚下的点A 出发，到达河岸点C 饮马后回到点B 宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？
作法是：如图1②，作点B 关于直线l 的对称点B，连接AB与直线l 交于点C ，则点C 即为饮马的地方，
此时将军从点A 走到点C ，再回到点B 所走的总路程最短．
示例2，如图1③，要在河岸l 上建一座水泵房Q ，修建引水渠PQ，使得Q 到村庄P 的跑离最短．施工人员
的做法是：过点P 作PQ
l
⊥于点Q ，将水泵房建在Q 处，这样修建引水渠PQ 最短，即省人力又省物力．示
例1 中所经含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
【活动二】感悟方法，尝试应用
如图2，在等边三角形ABC 中，AD是
ABC
的中线．
①直接写出BD与AB 的数量关系__________________：
②若
4
=
AD
．点E 为AB 边的中点，点F 为AD上一点，当BF
EF
+
的值最小时，在图2 上标注点F 的位置，
并求出BF
EF
+
的最小值；
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【活动三】迁移拓展，综合应用
如图3，在Rt
ABC
△
中，
30
B
=
，点D 在斜边BC 上，且
4
4
BC
CD
=
=
，AE 是BAC
的角平分线，点F ，
点G 分别为AC ，AE 上一点，求DG
FG
+
的最小值．
【答案】活动一：A；活动二：①
2
AB
BD
=
；②见解析，4；活动三：DG
FG
+
的最小值为3
2 ．
【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可；
活动二：①根据三线合一得到
1
30
2
BAD
BAC
=
=
，AD
BC
⊥
，即可得到
2
AB
BD
=
；
②连接EC 交AD于点F，连接BF ，得到当点E，F，C 三点共线时，BF
EF
+
的值最小，即CE 的长度，然
后根据等边三角形三线合一性质求解即可；
活动三：如图所示，在AB 上取点F使，AF
AF
=
，连接GF，证明出
(
)
SAS
F AG
FAG
=
，得到GF
GF
=
，
然后得到当DF
AB
⊥
时，DF最小，求出
3
BD
BC
CD
=
−
= ，进而求解即可．
【详解】活动一：示例1 中所经含的数学原理是两点之间，线段最短
故选：A；
活动二：①∵在等边三角形ABC 中，AD是
ABC
的中线
∴
1
30
2
BAD
BAC
=
=
，AD
BC
⊥
∴
2
AB
BD
=
；
②如图所示，点F 即为所求；
∵点F 为AD上一点
∴BF
EF
CF
EF
EC
+
=
+
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∴当点E，F，C 三点共线时，BF
EF
+
的值最小，即CE 的长度
∵在等边三角形ABC 中，AD是
ABC
的中线，点E 为AB 边的中点，
∴
4
CE
AD
=
=
；
活动三：如图所示，在AB 上取点F使，AF
AF
=
，连接GF
∵AE 是BAC
的角平分线
∴
FAE
FAE
=
∵AG
AG
=
∴
(
)
SAS
F AG
FAG
=
∴GF
GF
=
∴GD GF
GD GF
DF
+
=
+
∴当点F，G，D 三点共线时，DG
FG
+
有最小值，即DF的长度
∴当DF
AB
⊥
时，DF最小
∵
4
4
BC
CD
=
=
∴
1
CD =
∴
3
BD
BC
CD
=
−
=
∵
30
B
=
∴
1
3
2
2
DF
BD
=
=
．
∴DG
FG
+
的最小值为3
2 ．
8．（2025·江西新余·一模）【课本再现】
（1）课本上通过对两个含30角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的
一半”这一性质．小涵受此启发给出如下不完整的证明过程：
已知：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
．求
证：
1
2
AC
AB
=
．
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证明：如图，延长AC 至点D ，使CD
CA
=
，连接BD，
90
ACB
=
，
BC
垂直平分AD，
BA
BD
=
……
请补充上述证明过程．
【知识应用】
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的短直角边正好重合，已
知：
2
AD =
，
30
B
ACD
=
=
．
①AB 的长为_____；
②如图2，若将小三角板ACD沿着射线AB 方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A 沿AB 方向所经
过的线段长度）．当点D 平移到大三角板ABC 的边上时，直接写出相应的m 的值．
【答案】（1）见解析；（2）①8；②2 或6
【分析】
（1）根据题干思路，根据
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，得出
60
A
=
，即可得BAD
是等边三角形．得
出
2
AB
AD
AC
=
=
，即
1
2
AC
AB
=
．
（2）①在Rt
ACD
△
中，根据
2
AD =
，
30
ACD
=
，得出
2
4
AC
AD
=
=
，在Rt
ACB
△
中，根据
30
B
=
，
4
AC =
，得出
2
8
AB
AC
=
= ．
②如图，作DE
AB
∥
交BC 于点E ，交AC 于点F ．证明
ADF
△
是等边三角形，得出
2
AF
AD
DF
CF
=
=
=
=
，
根据FE
AB
∥
，得出
30
CEF
B
= =
，即可得
2
4
EF
CF
=
=
，
2
4
6
DE
DF
EF
=
+
=
+
=
，当点D 平移到
三角板ABC 的边AC 上时，m 的值为
2
DF = ，当点D 平移到三角板ABC 的边BC 上时，m 的值为
6
DE = ．
【详解】解：（1）如图，延长AC 至点D ，使CD
CA
=
，连接BD，
90
ACB
=
，
BC
垂直平分AD，
BA
BD
=
，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，
90
60
A
ABC
=
−
=
，
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BAD
是等边三角形．
2
AB
AD
AC
=
=
，
即
1
2
AC
AB
=
．
（2）①在Rt
ACD
△
中，
2
AD =
，
30
ACD
=
，
2
4
AC
AD
=
= ，
在Rt
ACB
△
中，
30
B
=
，
4
AC =
，
2
8
AB
AC
=
= ．
②如图，作DE
AB
∥
交BC 于点E ，交AC 于点F ．
60
DFA
BAC
DAF
=
=
=
，
ADF
是等边三角形，
2
AF
AD
DF
=
=
=
，
∵
4
AC =
，
2
CF
AC
AF
=
−
=
，
FE
AB
∥
，
30
CEF
B
= =
，
2
4
EF
CF
=
=
，
2
4
6
DE
DF
EF
=
+
=
+
=
，
当点D平移到三角板ABC 的边AC 上时，m 的值为
2
DF =
，
当点D平移到三角板ABC 的边BC 上时，m 的值为
6
DE = ，
当点D平移到三角板ABC 的边上时，相应的m 的值为2 或6．
9．（24-25 八年级下·山西运城·期中）综合与探究
【问题情境】如图1，已知
ABC
是等边三角形，
6
AB =
，D 是AC 边的中点，以AD为边，在
ABC
外部
作等边三角形ADE ．
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【操作探究】将
ADE
从图1 的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A，D，E 的对应点分别为点A，D¢，
E．
（1）如图2，善思小组的同学画出了BA
BD
=
时的情形，求此时
ADE
平移的距离；
（2）如图3，F 是BC 的中点，A在线段AC 上（不与点C 重合），连接EF交AC 于点O，敏学小组的同学
发现OE
OF
=
始终成立，请你证明这一结论；
【拓展延伸】
（3）在
ADE
平移的过程中，当以F，A，D¢为顶点的三角形成为直角三角形时，直接写出
ADE
平移的
距离．
【答案】（1）3
2 ；（2）见解析；（3）3
2 或9
2
【分析】（1）连接BD，由
ABC
是等边三角形，
6
AB =
，点D 是AC 边的中点，得
3
AD
CD
= =
，BD
AC
⊥
，
根据平移可得
3
A D
AD
=
=
，即可得
1
3
2
2
A D
DD
A D
=
=
=
，即可得到
ADE
平移的距离DD；
（2）证明
(
)
AAS
A OE
COF
≌
，即可得OE
OF
=
；
（3）分两种情况：当A与C 重合时，可得
90
FDE
A DF
A DE
=
+
=
，即以F ，D¢，E为顶点的三角
形成为直角三角形，此时
6
DD=
，即
ADE
平移的距离是6；当
90
DE F
=
时，可得
DD
CD CO
A O
A D
=
+
+
+
，即可得到
ADE
平移的距离．
【详解】（1）解：连接BD，如图：
ABC
是等边三角形，
6
AB =
，点D 是AC 边的中点，
3
AD
CD
=
= ，BD
AC
⊥
，
将
ADE
从图1 的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A 、D 、E 的对应点分别为点A、D¢、E；
3
A D
AD
=
= ；
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BA
BD
=
，BD
AC
⊥
，
1
3
2
2
A D
DD
A D
=
=
=
，
ADE
平移的距离DD为3
2 ；
（2）证明：如图3：
ADE
是等边三角形，
3
AD = ，
60
DAE
=
，
3
AE = ，
将
ADE
从图1 的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A ，D ，E 的对应点分别为点A，D¢，E；
60
DA E
DAE
=
=
，
3
A E
=
；
ABC
是等边三角形，
6
AB =
，点F 是BC 边的中点，
60
ACB
=
∴
，
1
3
2
CF
BC
=
= ，
60
DA E
ACB
=
=
，
3
A E
CF
=
= ，
A OE
COF
=
，
(AAS)
A OE
COF
△
≌△
，
OE
OF
=
；
（3）当
90
A D F
=
时，如图4：
则
180
90
90
FD C
=
−
=
∠
，
∵
60
FCD=
∠
，
∴
90
60
30
CFD=
−
=
∠
，
∵
1
3
2
FC
BC
=
= ，
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∴
1
3
2
2
CD
FC
=
=
，
∵
1
3
2
CD
AC
=
= ，
∴
3
2
DD
CD
CD
=
−
=
，
ADE
平移的距离是3
2 ；
当
90
FA D
=
时，如图5：
∵
60
FCA
=
，
∴
90
60
30
A FC
=
−
=
∠
，
∵
1
3
2
FC
BC
=
= ，
∴
1
3
2
2
A C
FC
=
=
，
∴
3
9
6
2
2
AA
AC
A C
=
−
=
−
=
，
ADE
平移的距离是9
2 ；
综上所述，以F ，A，D¢为顶点的三角形成为直角三角形时，
ADE
平移的距离是3
2 或9
2 ．
10．（24-25 八年级下·山西晋中·期中）阅读与思考
下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务．
3 月28 日 星期五 晴
对含30角的三角形的进一步探索
在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，
会出现新的结论．下面是我对含30角的三角形进行的一些探究．如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
A
=
．
【初步探究】
如图2，在图1 的基础上，作
ABC
的角平分线BD，可以得到
2
AD
CD
=
．
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如图3，在图1 的基础上，作边AB 的垂直平分线分别交边AC
AB
，
于点D，E，也可以得
到
2
AD
CD
=
．
【深入探究】
如图4，在图1 的基础上，作
ABC
的高线CF ，发现了线段AF 与BF 的数量关系．
【拓展延伸】
如图5，在
ABC
中，AB
AC
=
，
30
B
=
，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图
找到边BC 的三等分点．
任务：
(1)求证：
2
AD
CD
=
（从图2、图3 中选择一个进行证明即可）；
(2)请直接写出图4 中线段AF 与BF 的数量关系；
(3)请在图5 中找到边BC 的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)
3
AF
BF
=
(3)见解析
【分析】本题考查30的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线线的性质；
（1）选择图2，过点D 作DE
AB
⊥
，垂足为点E，根据角平分线的性质得到CD
DE
=
，然后根据30的直
角三角形的性质解答即可；选择图3，连接BD，根据垂直平分线的性质得到AD
BD
=
，然后根据30的直
角三角形的性质解答即可；
（2）根据30的直角三角形的性质解答即可；
（3）作边AB 的垂直平分线或过点A 作AP
AC
⊥
交BC 于点P，根据30的直角三角形的性质即可得到．
【详解】（1）选择图2
证明：过点D 作DE
AB
⊥
，垂足为点E．
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在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
DC
BC
⊥
．
又
BD
是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
，
CD
DE
=
．
在Rt ADE
中，
90 ,
30
AED
A
=
=
，
1
2
DE
AD
=
．
2
AD
DE
=
．
CD
DE
=
，
2
=
AD
CD．
选择图3
证明：连接BD．
在Rt
ABC
△
中，
90 ,
30
ACB
A
=
=
，
90
60
ABC
A
=
−=
．
DE
是AB 的垂直平分线，
AD
BD
=
．
30
ABD
A
= =
．
30
CBD
ABC
ABD
=
−
=
．
在Rt
BCD
△
中，
90 ,
30
ACB
CBD
=
=
，
1
2
CD
BD
=
．
2
BD
CD
=
．
AD
BD
=
．
2
=
AD
CD．
（2）解：∵
30
A
=
，
∴
2
AB
BC
=
，
60
B
=
，
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又∵CF
AB
⊥
，
∴
30
BCF
=
，
∴
1
1
2
4
BF
BC
AB
=
=
，
∴
3
AF
BF
=
；
（3）如图所示，点P 即为所求．
1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，
60
90
AB
AD
A
ADC
=
=
=
，
，
，过点
C 作CE
AB
∥
，分别交AD、BD于点E
F
、，若
8
CE =
，则CF 的长为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30 度角的直角三角形的性质，先证明
ABD
△
为等边三
角形，
30
DCE
=
，DEF
为等边三角形，再进一步求解即可.
【详解】解：∵
60
90
AB
AD
A
ADC
=
=
=
，
，
，
∴
ABD
△
为等边三角形，
∴
60
ADB
A
ABD
=
= =
，
∵CE
AB
∥
，
∴
60
DEC
A
= =
，
∴
30
DCE
=
，
小学
初中
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∵
8
CE =
，
∴
1
4
2
DE
CE
=
=
，
∵CE
AB
∥
，
∴
60
EFD
ABD
=
=
，
∴DEF
为等边三角形，
∴
4
EF
DE
=
= ，
∴
4
CF =
；
故选：D
2．（24-25 八年级下·湖南怀化·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
30
A
=
．以点C 为圆心，任意长
为半径画弧，交CB
CA
、
于点D
E
、，再分别以点D
E
、为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧交于点P，作
射线CP 交AB 于点H．
8
CH = ，Q 是边AC 上一动点，则点H
Q
、
之间的最小距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】C
【分析】过点H 作HQ
AC
⊥
于点Q，则当HQ
AC
⊥
时，HQ 最小，由角平分线的定义得
=
=
= 30
A
HCA
HCB
，再由直角三角形的性质得
4
BH =
，最后根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：过点H 作HQ
AC
⊥
于点Q，则当HQ
AC
⊥
时，HQ 最小，
由题意得，CH 平分
ACB
，
∴
=
=
= 30
A
HCA
HCB
，
∵
8
CH = ，
∴
1
=
= 4
2
BH
CH
，
∵
=
= 90
B
HQC
，
∴
=
= 4
HQ
BH
，
故选：C．
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123 /
3．（24-25 八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在
ABC
中，
60
C
=
，过点A 作AD
BC
⊥
于点D ，过点B 作
BE
AC
⊥
于点E ，交AD于点F ．若AF
DF
=
，
1
EF = ，则BE 长为（ ）
A．5 3
B．4 3
C．5
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了含30 度角的直角三角形，熟练掌握30 度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
先求出
30
CAD
CBE
=
=
，连用两次30 度角的性质即可求出BE 长．
【详解】解：∵
60
C
=
，AD
BC
⊥
，BE
AC
⊥
∴
30
CAD
CBE
=
=
，
∴
2
AF
EF
=
，
2
BF
DF
=
，
∵
1
EF = ，AF
DF
=
，
∴
2
2 1
2
AF
EF
DF
=
= =
=
，
∴
2
2 2
4
BF
DF
=
= =
，
∴
4 1
5
BE
BF
EF
=
+
=
+ =
，
故选：C．
4．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄
正好与水面成60夹角，测得AB 长1m，则OB 长为（ ）
A．1m
B．2 m
C．3 m
D．4 m
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【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形30角所对的直角边为斜边的一半是解题的关键．由
题意可得
AOB
的度数，根据直角三角形的性质可得OB ．
【详解】解：在Rt
ABO
△
中，
90
OAB
=
，
60
ABO
=
，
∴
30
AOB
=
，
∵
1m
=
AB
，
则
2
2m
OB
AB
=
=
，
故选B．
5．（24-25 八年级上·江苏无锡·期中）如图，ABC
中，
60
ACB
=
，点D 在AB 上，
14,
60
CD
BDC
=
=
，
延长CB 至点E，使CE
AC
=
，过点E 作EF
CD
⊥
于点F，交AB 于点G，若5
3
DG
AD
=
，则DF 的值是（ ）
A．14
13
B．19
13
C．20
13
D．21
13
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“ AAS”可证
E
AHC
CF
≌
，可得
CF
AH
=
，由直角三角形的性质可得
1
7
2
DH
CD
=
=
，
2
DG
DF
=
，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅
助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C 作CH
AB
⊥
于H ，
60
ACB
BDC
=
=
，
BDC
A
ACD
= +
，
ACB
ACD
BCD
=
+
，
A
BCD
=
，
在AHC
和
CFE
△
中，
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90
A
BCD
AHC
EFC
AC
CE
=
=
=
=
，
(
)
AAS
AHC
CFE
≌
，
CF
AH
=
，
60
BDC
=
，EF
CD
⊥
，CH
AB
⊥
，
30
DGF
DCH
=
=
，
1
7
2
DH
CD
=
=
，
2
DG
DF
=
，
5
3
DG
AD
=
，
10
3
AD
DF
=
，
AH
CF
=
，
10
7
14
3 DF
DF
+
=
−
，
21
13
DF
=
，
故选：D．
6．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，ABC
中，
90
C
=
，BD是
ABC
的角平分线，点D 在AB 的
垂直平分线上，若
6
AD =
，则CD = ．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平
分线的定义可得
ABD
CBD
=
，由线段垂直平分线的性质可得
6
AD
BD
=
= ，从而可得
A
ABD
=
，再结
合三角形内角和定理求出
30
A
ABD
CBD
=
=
=
，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知
识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵BD是
ABC
的角平分线，
∴
ABD
CBD
=
，
∵点D 在AB 的垂直平分线上，
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∴
6
AD
BD
=
= ，
∴
A
ABD
=
，
∵
ABC
中，
90
C
=
，
∴
90
A
ABD
CBD
+
+
=
，
∴
30
A
ABD
CBD
=
=
=
，
∴
1
3
2
CD
BD
=
=
，
故答案为：3．
7．（24-25 七年级下·山东威海·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
60
BAC
=
．AD平分
BAC
，交BC
于点D，DE
AB
⊥
，垂足为点E ；DF 平分
BDE
，交AB 于点F ，FG
BC
⊥
，垂足为点G ．若
9
AC =
，
则FG = ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30角的直角三角形的性质，解题时注意，在直角三角形中，
30角所对的直角边等于斜边的一半．先根据
90
C
=
，
60
BAC
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
，求得
30
DAE
B
=
= ，
60
ADC
ADE
=
=
，再根据DF 平分
BDE
，FG
BC
⊥
，求得FG
FE
=
，
30
EDF
=
，
设FG
x
=
，根据
18
AB =
，列出方程求解即可．
【详解】解：
90
C
=
，
60
BAC
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
，
30
DAE
B
=
= ，
60
ADC
ADE
=
=
，
又
DF
平分
BDE
，FG
BC
⊥
，
FG
FE
=
，
30
EDF
=
，
设FG
x
=
，则
2
BF
x
=
，EF
x
=
，
3
AE
BE
x
=
=
，
Rt ABC
中
9
AC =
，
18
AB
=
，即2
3
18
x
x
x
+ +
=
，
解得
3
x = ，
即
3
FG =
．
故答案为：3
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8．（24-25 七年级下·河南洛阳·期末）如图，正三角形ABC 的面积是2，O 为三角形的中心（三条中线的交
点），点D、E 分别在边BC 、AB 上，且
120
DOE
=
，则阴影部分的面积为 ．
【答案】2
3
【分析】连接AO ，BO CO，延长CO交AB 于Ｆ点，则可得AO
BO
CO
=
=
，OF
AB
⊥
且
1
30
2
OAB
CAB
=
=
，
1
30
2
OBD
CBA
=
=
，由四边形内角和等于360可得
180
OEB
ODB
+
=
，进而可得
OEA
ODB
=
，由AAS可得OEA
ODB
≌
，进而可得
1
3
OAB
ABC
S
S
S
=
=
阴影
．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的做辅助线，将阴影部分的面积转化
成
OAB
△
的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AO ，BO CO，延长CO交AB 于Ｆ点
∵O 为正三角形ABC 的中心，
AO
BO
CO
=
=
，OF
AB
⊥
，
且
1
30
2
OAB
CAB
=
=
，
1
30
2
OBD
CBA
=
=
，
OAB
OBD
=
，
∵四边形OEBD 中
120
DOE
=
，
60
EBD
=
，
180
DOE
EBD
+
=
，
360
180
180
OEB
ODB
+
=
−
=
，
又
180
OEB
OEA
+
=
，
OEA
ODB
=
，
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在
OEA
△
和
ODB
△
中
OAE
OBD
OEA
ODB
AO
BO
=
=
=
，
AAS
(
)
OEA
ODB
≌
，
OEA
ODB
S
=S
，
OEB
ODB
OEB
OEA
OAB
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
阴影
S
，
∵OF
AB
⊥
，
30
OAB
=
，
1
1
2
2
OF
OA
OC
=
=
，
1
3
OF
AF
=
，
1
2
3
3
OAB
ABC
S
S
=
=
．
故答案为：2
3
9．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，
ABC
是等边三角形，AD
BC
⊥
于点D，DE
AB
⊥
于点E，
若
6
AB =
，则BE 的长度为 ．
【答案】1.5
【分析】本题考查等边三角形的性质、含30 度角的直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得到
1
3
2
BD
BC
=
=
，然后利用含30 度角的直角三角形的性质得到
1
2
BE
BD
=
，进而可求解．
【详解】解：∵
ABC
是等边三角形，
6
AB =
，
∴
=60
B
，
6
BC
AB
=
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
1
3
2
BD
BC
=
=
，
∵DE
AB
⊥
，
∴
90
30
BDE
B
=
−=
，
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∴
1
1 5
2
BE
BD
=
=
. ，
故答案为：1.5．
10．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，点P 为等边
ABC
内一点，过点P 分别向AB ，BC ，AC 边作
垂线，垂足分别为D，E ，F ；若
6
AD =
，
4
BD =
，
3
CE =
，则AF 的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30 度角的直角三角形的性质，三角
形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，以及含30 度角的直角三角形的性质是解题的关键；延
长
,
FP DP 分别交
,
AB AC 的延长线于点
,
G J ，交BC 于点
,
H I ，证明
,
,
CI
CJ BH
BG HE
EI
=
=
=
，进而根据
含30 度角的直角三角形的性质，得出
2
12
AJ
AD
=
=
，得出
2
CJ =
，再求得
6
BG =
，最后根据含30 度角的
直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，延长
,
FP DP 分别交
,
AB AC 的延长线于点
,
G J ，交BC 于点
,
H I ，
∵
ABC
是等边三角形，
6
AD =
，
4
BD =
∴
60
A
ABC
ACB
=
=
=
，
10
AB
AC
BC
=
=
=
，
∴
120
GBH
JCI
=
=
∵点P 分别向AB ，BC ，AC 边作垂线，垂足分别为D ，E ，F ；
∵
90
AFG
ADJ
=
=
∴
30
G
J
= =
∴
2
12
AJ
AD
=
=
∴
12 10
2
CJ
AJ
AC
=
−
=
−
=
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∵
30
G
J
= =
,
120
GBH
JCI
=
=
∴
30 ,
30
BHG
PHI
PIH
CIJ
=
=
=
=
∴
PHI
PIH
=
，
CIJ
J
= ，
G
BHG
=
∴PH
PI
=
，
2
CI
CJ
=
= ，BH
BG
=
∵
3
CE =
，
∴
1
EI =
又∵PE
HI
⊥
∴HE
EI
=
1
=
∴
10 1 3
6
BH
BC
HE
EC
=
−
−
=
−−=
∴
6
BG
BH
=
=
∴
10
6
16
AG
AB
BG
=
+
=
+
=
在Rt
AGF
△
中，
30
G
=
∴
1
8
2
AF
AG
=
=
，
故答案为：8．
11．（24-25 八年级下·陕西西安·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
．用尺规作图法，
在边BC 上求作一点D，使得
:
1:2
CD BD =
（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、含30 度角的直角三角形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．作
BAC
的平分线，交BC 于点D ，结合题意可得
2
BD
CD
=
，即点D 为所求．
【详解】解：如图，作
BAC
的平分线，交BC 于点D ．
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，
60
BAC
=
，
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30
BAD
CAD
=
=
，
ABC
BAD
=
，
BD
AD
=
．
在Rt
ACD
△
中，
30
CAD
=
，
2
=
AD
CD，
2
BD
CD
=
，即
:
1:2
CD BD =
∴点D 即为所求．
12．（24-25 八年级下·全国·期中）已知在
ABC
中，
ACB
的平分线CD交AB 于点D，DE
BC
∥
．
(1)如图1，求证：CDE
是等腰三角形；
(2)如图2，若DE 平分
ADC
交AC 于E，
30
ABC
=
，在BC 边上取点F 使BF
DF
=
，若
12
BC =
，求DF
的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，
平行线的性质是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵CD是
ACB
的平分线，
BCD
ACD
=
，
DE
BC
∥
，
BCD
EDC
=
，
EDC
ACD
=
，
ED
EC
=
；
即CDE
是等腰三角形；
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（2）解：∵
,
30
=
DE
BC
ABC
∥
，
30
ADE
ABC
=
=
，
180
CFD
EDF
+
=
，
又
DE
平分
ADC
，
30
ADE
CDE
=
=
，
由（1）可知，
30
ACD
BCD
CDE
=
=
=
，
BF
DF
=
，
30
B
BDF
=
=
，
30
30
60
DFC
=
+
=
，
∴
180
90
FDC
CFD
CDE
=
−
−
=
，
∴
30
FCD
=
，
1
2
DF
FC
=
，
又∵
,
12
=
=
DF
BF BC
，
1
1 12
4
3
3
DF
BC
=
=
=
．
13．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，
30
ACB
=
，DE 是边AC 的垂直平分线，点O
在DE 上，
OAB
OBA
=
．
(1)求证：
OAB
△
是等边三角形；
(2)若
2
4
OD
OE
=
=
，
，求BE 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)8．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，含30 度
角的直角三角形的性质，熟知掌握相关知识是解题的关键。
（1）根据线段垂直平分线的性质得到OA
OC
=
，则
OAC
OCA
=
，由等边对等角可得OC
OB
=
，则
OBC
OCB
=
，据此可证明
30
OAC
OBC
+
=
，再由三角形内角和定理可得
60
OAB
OBA
=
=
，据
此可证明结论；
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（2）过点O 作OF
BC
⊥
于点F．求出
6
DE
OD
OE
=
+
=
．可得
2
12
60
CE
DE
CED
=
=
=
，
，再求出
30
EOF
=
，得到
1
2
2
EF
OE
=
=
．则
10
CF
CE
EF
=
−
=
．由三线合一定理打得到
2
20
BC
CF
=
=
．则
8
BE
BC
CE
=
−
=
．
【详解】（1）证明：∵DE 是边AC 的垂直平分线，
∴OA
OC
=
．
∴
OAC
OCA
=
．
∵
OAB
OBA
=
，
∴OA
OB
=
．
∴OC
OB
=
．
∴
OBC
OCB
=
．
∵
30
ACB
OCA
OCB
=
+
=
，
∴
30
OAC
OBC
+
=
．
∴
(
)
1
180
30
30
60
2
OAB
OBA
=
=
−
−
=
．
∴
60
AOB
=
．
∴
AOB
是等边三角形．
（2）解：如图，过点O 作OF
BC
⊥
于点F．
∵
2
4
OD
OE
=
=
，
，
∴
6
DE
OD
OE
=
+
=
．
∵
30
90
ACB
CDE
=
=
，
，
∴
2
12
60
CE
DE
CED
=
=
=
，
，
∴
90
60
30
EOF
=
−
=
∴
1
2
2
EF
OE
=
=
．
∴
10
CF
CE
EF
=
−
=
．
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∵OC
OB
OF
BC
=
⊥
，
，
∴
2
20
BC
CF
=
=
．
∴
20 12
8
BE
BC
CE
=
−
=
−
= ．
14．
（24-25 七年级下·河南驻马店·期中）一艘客轮由西向东行驶，在A 点处测得距灯塔B 的距离为40nmile ，
前进方向AC 与直线AB 夹角为30．
(1)分别用方向和距离描述灯塔相对于客轮的位置和客轮相对于灯塔的位置？
(2)如果在灯塔B 的周围25nmile的范围内有暗礁，客轮若不改变方向有没有触礁的危险．（温馨提示：按照
适当的比例画图测量换算）
【答案】(1)见解析
(2)有触礁的危险
【分析】本题主要考查的是方位角的定义、含30 度直角三角形的性质等知识点，掌握方位角的定义是解题
的关键．
（1）分别以点A 和点B 为中心，依据上北下南左西右东确定方向，然后依据方位角的定义解答即可；
（2）如图：过点B 作BD
AC
⊥
，垂足为D，可求得DB的长，依据DB与25 大小关系可作出判断即可．
【详解】（1）解：灯塔B 在客轮的北偏东60方向，距客轮40nmile的地方．客轮在灯塔的南偏西60方向，
距离灯塔40nmile的地方．
（2）解：客轮若不改变方向有触礁的危险．理由如下：
如图：过点B 作BD
AC
⊥
，垂足为D，
∵
30
A
=
，
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∴
1
20nmile
2
BD
AB
=
=
，
∵20
25
，
∴客轮若不改变方向有触礁的危险．
15．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，
ABC
是等边三角形，
12 cm
AB
AC
BC
=
=
=
，点P 从点B 开
始以3 cm / s 的速度向点A 运动，点Q 从点C 开始以2cm / s的速度向点B 运动，
,
P Q 两点同时出发，当有一
点到达目标点时另一点也随之停止运动，连接PQ ，设运动的时间为st ，请解答下面的问题：
(1)用含t 的代数式表示：BP = _____cm，BQ = _____cm；
(2)当t 为何值时，
BPQ
是直角三角形？
【答案】(1)3t ；(
)
12
2t
−
(2)当t 为1.5或24
7 时，
BPQ
是直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质，注意分类讨论．
（1）根据已知速度求解即可．
（2）分为两种情况：①
90
BPQ
=
，②
90
BQP
=
，根据含30 度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】（1）解：
3 cm,
(12
2 )cm
BP
t
BQ
t
=
=
−
，
故答案为：
(
)
3 , 12
2
t
t
−
．
（2）解：分为两种情况：①
90
BPQ
=
，
∵
ABC
是等边三角形，
60
B
=
，
30
PQB
=
，
2
BQ
BP
=
，
即12 2
2 3
t
t
−
=
，
解得：
1.5(s)
t =
；
②
90
BQP
=
，
60
=
B
，
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30
BPQ
=
，
2
BP
BQ
=
，
2(12
2 )
3
t
t
−
=
，
解得：
24 (s)
7
t =
；
∴当t 为1.5s 或24 s
7
时，
BPQ
是直角三角形．
16．（24-25 八年级下·广东深圳·期中）已知：
ABC
中，AB
AC
=
，点D 为AC 上一点，连接BD并延长至
点E ，连接AE
CE
，
，使
BEC
BAC
=
．
(1)【初步探究】如图1，当
60
BAC
=
时，求证：AE
CE
BE
+
=
．为了解决这一问题，八年级2 班数学兴趣
小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：“在BE 上截取BH
CE
=
，连接AH ，如图2 ，通过证明
(
)
SAS
ABH
ACE
≌
可推出AH
AE
=
，再证出
HAE
△
为等边三角形，从而顺利得到AE
CE
BE
+
=
这一结论”，
请你按照该思路写全
．．证明过程；
(2)【深入领会】如图3，当
90
BAC
=
时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直
接写出结论： ；
(3)【问题解决】如图4 ，在（2 ）的条件下，在BE 上截取BF
CE
=
，连接CF ，点G 在EF 上，连接AG ，
且
75
EAG
=
，
BAG
ACF
=
，
4 3
CF =
，求AG 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)结论不成立，2AE
CE
BE
+
=
(3) 2 3
【分析】
（1）在BE 上截取BH
CE
=
，连接AH ，可证
(
)
SAS
ABH
ACE
≌
，可得
BAH
CAE
=
，AH
AE
=
，
进而可得
HAE
△
为等边三角形，即得AE
HE
=
，即得到BE
BH
HE
CE
AE
=
+
=
+
，即可求证；
（2 ）在BE 上截取BH
CE
=
，连接AH ，同理（1）可得
HAE
△
为等腰直角三角形，即得
2
HE
AE
=
，进
而即可求证；
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（3）连接AF ，过点A 作AM
EF
⊥
于点M ，同理（2 ）可得
HAE
△
为等腰直角三角形，即得
45
AEF
AFE
=
=
，即可得
60
AGE
=
，进而得到
60
FCE
=
°，
30
EFC
=
，再根据直角三角形的性质
得
1
2 3
2
CE
CF
=
=
，由勾股定理得
2
2
6
EF
CF
CE
=
−
=
，利用等腰直角三角形性质得
1
3
2
AM
EM
FM
EF
=
=
=
= ，又
30
GAM
=
得
1
2
GM
AG
=
，最后根据勾股定理
2
2
2
AG
AM
GM
=
+
得
2
2
2
1
3
2
AG
AG
=
+
，据此即可求解．
【详解】（1）证明：在BE 上截取BH
CE
=
，连接AH ，如图1所示，
BEC
BAC
ADB
CDE
=
=
，
，
ABH
ACE
=
，
AB
AC
BH
CE
=
=
，
，
(
)
SAS
ABH
ACE
≌
，
BAH
CAE
AH
AE
=
=
，
，
60
HAE
HAC
CAE
HAC
BAH
BAC
=
+
=
+
=
=
，
HAE
为等边三角形，
AE
HE
=
，
BE
BH
HE
CE
AE
=
+
=
+
，
即AE
CE
BE
+
=
；
（2）解：（1）中结论不成立，2AE
CE
BE
+
=
，理由如下：
在BE 上截取BH
CE
=
，连接AH ，如图2 所示，
BEC
BAC
ADB
CDE
=
=
，
，
ABH
ACE
=
，
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AB
AC
BH
CE
=
=
，
，
(
)
SAS
ABH
ACE
≌
，
BAH
CAE
AH
AE
=
=
，
，
90
HAE
HAC
CAE
HAC
BAH
BAC
=
+
=
+
=
=
，
HAE
为等腰直角三角形，
2
HE
AE
=
，
2
BE
BH
HE
CE
AE
=
+
=
+
，
故答案为：2AE
CE
BE
+
=
；
（3）解：连接AF ，过点A 作AM
EF
⊥
于点M ，如图3所示，
BEC
BAC
ADB
CDE
=
=
，
，
ABF
ACE
=
，
AB
AC
BF
CE
=
=
，
，
(
)
SAS
ABF
ACE
≌
，
BAF
CAE
AF
AE
=
=
，
，
90
FAE
FAC
CAE
FAC
BAF
BAC
=
+
=
+
=
=
，
FAE
为等腰直角三角形，
45
AEF
AFE
=
=
，
75
EAG
=
，
180
180
75
45
60
AGE
EAG
AEG
=
−
−
=
−
−
=
，
∵
ABG
ACE
BAG
ACF
=
=
，
，
ABG
BAG
ACE
ACF
+
=
+
，
即
ABG
BAG
FCE
+
=
，
60
ABG
BAG
AGE
+
=
=
，
60
FCE
=
，
90
BEC
BAC
=
=
，
90
60
30
EFC
=
−
=
，
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1
2 3
2
CE
CF
=
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
4 3
2 3
6
EF
CF
CE
=
−
=
−
=
，
FAE
△
为等腰直角三角形，AM
EF
⊥
，
1
3
2
AM
EM
FM
EF
=
=
=
= ，
60
AGM
=
，
90
AMG
=
，
90
60
30
GAM
=
−
=
，
1
2
GM
AG
=
，
2
2
2
AG
AM
GM
=
+
，
2
2
2
1
3
2
AG
AG
=
+
，
解得
2 3
AG =
，
AG
的长为2 3 ．
