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学科网（北京）股份有限公司 1 / 2.5 逆命题和逆定理 题型一：写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为180．要求：根据题意画出图形，结合画出的 图形写出已知和求证，并尝试证明． 2．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 3．（24-25 七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 4．（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图 形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在 ABC 中，_____，BD和CE 是 ABC 的角平分线． 学科网（北京）股份有限公司 2 / 求证：_____． 证明： 5．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等。根据条件和结论，结合图形， 用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在 ABC 中，______，BD和CE 是 ABC 的角平分线． 求证：______ 证明： 6．（24-25 七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F 分别是三角形ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点， 给定以下三个条件：①DE BA ∥ ；② FDE A = ；③DF CA ∥ ．请从这三个条件中选择两个作为条件（放 在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 学科网（北京）股份有限公司 3 / 7．（24-25 八年级上·上海·期中）求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 8．（24-25 七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）证明三角形内角和定理（画图并写出已知、求证、证明） （2）证明全等三角形的对应边上的高一定相等．（画图并写出已知、求证、证明） 9．（23-24 七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数 学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证， 并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 题型二：已知证明过程填写理论依据 1．（23-24 七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，EF BC ⊥ ，AD BC ⊥ ，1 2 = ，试说明DG BA ∥ ． 解：∵EF BC ⊥ ，AD BC ⊥ ，（已知）， ∴ 90 BFE BDA = = （垂直的定义）， 学科网（北京）股份有限公司 4 / ∴EF AD （____________）． ∴ 2 3 = （____________）． ∵1 2 = （已知）， ∴____________（等量代换）． ∴DG AB ∥ （____________）． 2．（23-24 七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知AB CE ， A E =，试说明： CGD FHB = ， 解：∵AB CE （已知） A ADC = （______） A E = （已知） E ADC = （______） AD EF ∥ （______） CGD GHE = （______） FHB GHE = （______） CGD FHB = 3．（24-25 七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： 学科网（北京）股份有限公司 5 / ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴AB∥CD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CD∥EF（ ）． ∴AB∥EF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 题型三：判断命题的真假 1．（24-25 七年级下·江苏无锡·期末）关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是( ) A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题是假命题，逆命题是真命题 C．原命题和逆命题都是真命题 D．原命题和逆命题都是假命题 2．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（ ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 3．（24-25 八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果| | | | a b = ，那 么a b = ．则下列判断正确的是（ ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 4．（24-25 八年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题的逆命题正确的是（ ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．如果a＝b，那么a2＝b2 5．（24-25 八年级下·山西运城·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形 学科网（北京）股份有限公司 6 / C．如果 0 a ， 0 b ，则 0 a b + ． D．两个全等三角形的面积相等 6．（24-25 八年级下·山西晋中·期末）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（ ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 7．（24-25 八年级下·辽宁营口·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 8．（24-25 七年级下·上海崇明·期末）下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（ ） A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．直角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 9．（24-25 八年级下·湖北武汉·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等 C．对顶角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 10．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）下列命题的逆命题不正确的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．若 2 2 a b = ，则a b = C．对顶角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 11． （23-24 八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（ ） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 题型四：写出逆命题（选填题） 1．（2024·江苏南京·一模）直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 学科网（北京）股份有限公司 7 / 2．（24-25 七年级下·江苏常州·期末）命题“如果 0 a = 或 0 b = ，那么 2 2 2 ( ) a b a b + = + ”的逆命题是 ． 3．（24-25 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是 ，此逆 命题是 命题（填“真”或“假”）． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知命题：“同位角相等”它的逆命题是 5．（24-25 七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形 式写出）． 6．（24-25 八年级下·江西萍乡·期中）命题“等腰直角三角形的两个锐角相等”，请写出它的逆命 题 ．该逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 7．（24-25 八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题 是 ． 8．（24-25 八年级上·全国·期末）把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式 为： ． 题型五：写出逆命题并判断真假 1．（24-25 八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11 页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 2．（24-25 八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）说出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)如果两个角是锐角，那么这两个角相等； (2)全等三角形的对应边相等； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 8 / 3．（24-25 七年级下·四川绵阳·期中）举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5 整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 4．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其 中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论， 判断它的真假并说明理由． 5．（23-24 八年级上·全国·单元测试）如图． (1)在四边形ABCD中， ABC 与 ADC △ 的面积相等，求证：直线AC 必平分BD (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么? 6．（23-24 八年级下·江西九江·阶段练习）说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等三角形的面积相等． (2)如果 0 ab＞，那么 0 a＞， 0 b＞． 7． （23-24 八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 学科网（北京）股份有限公司 9 / 8．（23-24 八年级上·广西百色·期中）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)若a b = ，则 2 2 a b = ； (3)末位数字是0 的数一定能被5 整除． 9．（23-24 八年级上·山东菏泽·期中）已知命题“如果a b = ，那么 2 2 a b = ．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反 例． 10．（23-24 七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线AB CD EF 、 、 被直线BF 所截， 180 , 2 3 B F + = = ． 求证： 1 180 B += ． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 题型一：逆命题和逆定义综合 1．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3 整除？小明对下列一些能被3 整除的整数进行了研究：27，123， 159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3 整除，如：整数246 各个数位上的数 字之和为2 4 6 12 + + = ，12 能被3 整除；整数1233 各个数位上的数字之和为1 2 3 3 9 + + + = ，9 能被3 整除．由 此，他提出了这样一个命题； 学科网（北京）股份有限公司 10 / 命题1：如果一个数能被3 整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3 整除．小明以两位数为例进行了 证明； 设ab 是一个两位数，若两位数ab 能被3 整除，求证：a b + 能被3 整除． 证明：∵两位数ab 能被3 整除， ∴设 3 ab k = （k 为正整数）． 10 3 a b k + = ． ( ) 9 3 a a b k + + = ． ( ) 3 9 3 3 a b k a k a + = − = − ． 3 k a − 为整数． a b + 可以被3 整除． 由此推断，命题1 是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1 的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3 整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123 中，1 3 2 2 + = ；整数159 中，1 9 5 2 + = ；整数246 中，2 6 4 2 + = ．于 是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3 整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数 字的两倍． 任务1：证明命题 （1）设abc是一个三位数，若a b c + + 可以被3 整除，求证：这个三位数也能被3 整除． 任务2：写逆命题 （2）判断命题2 是真命题还是假命题，并写出它的逆命题； 任务3：应用结论 （3）若四位数abcd 能被3 整除，且a b c d + = + ，这个四位数的最小值为______． （4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3 整除的两位数；0.5h 后，看到里程 碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过2h ，看到里程碑上的数是第一次看 到的两位数的两个数字之间添加一个数字m 所得的三位数，且这个三位数也能被3 整除．则第一次看到的 里程碑上的两位数是多少？ 2．（24-25 八年级上·北京朝阳·期中）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，请你先补 全已知求证，并选择其中一种方法，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在 ABC 中， 90 ACB = ， ． 求证： ． 学科网（北京）股份有限公司 11 / 方法一 证明：如图，延长BC 到点D ，使得 CD BC = ，连接AD． 方法二 证明：如图，在线段AB 上取一点D ，使得 BD BC = ，连接CD． 3．（2025 八年级下·全国·专题练习）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出 了以下问题，请你完成． 任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是 ________________． 任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论： 南南： 阳阳，这个 问题好难啊，我没有任何思 路，你能分享一下你的想法 吗？ 阳阳： 由于直角边AC AC = ，我们移动 Rt ABC △ ，使点A 与点A、点C 与点C重合，且使点B 与点B分别位于A C 的两侧，这样就构成了等腰三角形， 利用其性质及三角形的判定就可以完成． 以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善． 如图，在Rt ABC △ 和Rt A B C 中， 90 ACB A C B = = ，AB A B = ，AC AC = ． 学科网（北京）股份有限公司 12 / 求证： t Rt R A B ABC C ≌ ． 证明：由于直角边AC AC = ，我们移动Rt ABC △ ，使点A 与点A、点C 与点C重合，且使点B 与点B分 别位于A C 的两侧． ∵ 90 ACB A C B = = ， ∴ 180 B C B A C B A C B = + = ，即点B、C、B 在同一条直线上． …… 4．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折 ( ) ABC AB AC △ ，使点C 落在边AB 上的点E 处，得到折痕AD，把纸片展平，如图①， 发现四边形AEDC 满足： , AE AC DE DC = = ．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 （1）如图①，在 ABC 中，若 80 , 30 BAC B = = ，则 EDB =____________； 【类比探究】 （2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：AD EC ⊥ ． 5．（24-25 九年级上·福建厦门·期中）小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角” 与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： （1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； 学科网（北京）股份有限公司 13 / （2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （3）…… 由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．…… (1)请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：______； (2)小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明， 他把第一个命题根据下图写出了已知，求证： 命题Ⅰ：在 ABC 中，AD平分 BAC ，AD BC ⊥ ，求证： ABC 是等腰三角形； 命题Ⅱ：______； ①请你写出命题Ⅱ的几何语言； ②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 6．（23-24 七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①， BPC B C = + ，求证：AB CD ∥ ． （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为 （3）小明发现当AB CD ∥ 时，改变点P 的位置（点P 不在 、 AB CD上）， BPC B C 、 、 三个角的数量 关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两 个即可）． 学科网（北京）股份有限公司 14 / 7．（23-24 七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作p ）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q ），那么这两个命题叫做互逆 命题，其中命题p 称为原命题，命题q 称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题 : p “如果a b = ，那么a b = ．” (1)写出命题p 的题设和结论，及逆命题q ． (2)判断命题q 是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 8．（23-24 八年级上·北京顺义·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角 三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证： 1 2 AC AB = ． (2)补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段AB 的垂直平分线DE ，交AB 于点D，交BC 于点E，连接AE ．（在图中用尺规作图，并保留 作图痕迹） ∵直线DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AE BE = ．（________________________________）（填推理依据）． ∴ B BAE = ．（________________________________）（填推理依据）． ∵ 30 B = ， ∴ 30 BAE = ． ∵ ABC 中， 90 C = ， 30 B = ， ∴ 90 60 BAC B = −= ．（________________________________）（填推理依据）． ∴ 60 30 30 EAC BAC BAE = − = − = ． 学科网（北京）股份有限公司 15 / ∴ BAE EAC = ． ∵DE AB ⊥ ， 90 C = ， ∴ 90 ADE C = = ． 在 ADE 和 ACE △ 中， BAE EAC ADE C AE AE = = = ， ∴ ADE ACE △ ≌△ （________________________________）（填推理依据）． ∴AD AC = ， ∵直线DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD BD = = ________． ∴ 1 2 AC AB = ． 9．（23-24 八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第53页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形 叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形 边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质． 解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． 学科网（北京）股份有限公司 16 / (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 1．（24-25 八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（ ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 2．（24-25 八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（ ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 3．（24-25 八年级下·重庆合川·期末）下列命题中，其逆命题不成立 ．．．．．．的是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 4．（24-25 八年级下·湖北恩施·期中）下列命题：①两直线平行，同位角相等；②两个全等三角形的面积相 等；③线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：④若( ) 0 1 1 x − = ，则 1 x ．其中原命题与逆命 题均为真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25 八年级下·河南郑州·期末）“若 2 a = ，则 2 = a ”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 6．（24-25 七年级下·全国·假期作业）（1）命题“如果m 是有理数，那么m 一定是整数”是 命题 （填“真”或“假”）． （2）“如果m，n 互为相反数，那么 0 m n + = ”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 7．（24-25 七年级下·上海长宁·期末）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 8．（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并 用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和 学科网（北京）股份有限公司 17 / 求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，OP 平分 AOB ，点P 在OC 上，___________． 求证：___________． 9．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题， 请举反例画图说明． 10．（24-25 七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F 分别是三角形ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点， 给定以下三个条件：①DE BA ∥ ；② FDE A = ；③DF CA ∥ ．请从这三个条件中选择两个作为条件（放 在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 学科网（北京）股份有限公司 18 / 11．（24-25 八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE CF ∥ ，BE ，CF 分别平分 ABC 和 BCD ． 求证：AB CD ∥ ． 证明： BE ，CF 分别平分 ABC 和 BCD （已知）， 1 1 2 = _____， 1 2 2 = _____（_____________）． BE CF ∥ （已知）， 1 2 =（_______________）， 1 1 2 2 ABC BCD = （___________）， ABC BCD = （等式的性质）， AB CD ∥ （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 12．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③均是2 2 的正方形网格，每个小正方形的 顶点称为格点，点M、N 均在格点上． (1)在图①中，画出线段AB 关于MN 对称后的线段CD． (2)在图②中，画出线段AB 关于MN 对称后的线段EF ． (3)在图③中，画出点P 关于MN 对称后的点Q． 学科网（北京）股份有限公司 19 / 13．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）如图①所示，将两个含30角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以 证得 ABD △ 是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角 边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题： ． (1)请在上面空格中写出该命题； (2)小聪发现（1）中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已 知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， ． 求证： ． 证明： 14．（24-25 八年级下·辽宁锦州·期中）小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等” 是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证： 已知：如图， ABP CBP = ，点D 在射线BP上， ， 求证： ． (1)补全图形，已知和求证； (2)按小颖的想法写出证明过程． (3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
