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2.3 等腰三角形的判定定理
课标要点
1.理解并掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”，等边三角形的判定方法，能够准确
用文字语言、几何符号语言表述定理，明确定理的适用条件，区分等腰三角形性质定理与
判定定理的因果关系。
2.经历等腰三角形判定定理与等边三角形的判定定理的探索与证明过程，掌握通过作顶角
平分线、底边高线或底边中线构造全等三角形完成证明的方法，理解判定定理的推导原
理，体会几何演绎推理的严谨性。
3.能在几何图形、折叠、平行线、复杂组合图形中，挖掘等角、等边等隐含条件，判定等
腰三角形，进而转化边角关系，解决基础几何综合问题。
4.区分等腰三角形“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异：性质是“由边等推角等”，
判定是“由角等推边等”，规避定理混用的逻辑错误，规范几何推理书写格式。
学习重难点
重点：
1.熟练掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理的内容与几何表达，能准确运用定理判定
等腰三角形。
2.掌握等腰三角形判定定理的证明思路与辅助线添加方法，能独立完成定理的完整证明过
程。
3.熟练掌握等边三角形的两种判定方法，能根据已知条件判定等边三角形。
4.能灵活运用等腰三角形、等边三角形判定定理，结合已有几何知识完成边角计算与几何
证明。
难点：
1.精准区分等腰三角形性质定理与判定定理的因果逻辑，避免“性质、判定混用”，理清
“边等⇋角等”的双向推理关系。
2.在复杂图形、平行线模型、折叠模型中，主动挖掘隐藏的相等角，通过等角推导等边，
判定等腰三角形，找到解题突破口。
3.综合运用三角形内角和、外角、平行线、全等三角形等知识，多层推理得出等角条件，
再完成等腰三角形判定，构建完整推理链。
4.灵活选用等边三角形的判定方法，区分一般三角形与等腰三角形前提下60°角的判定
差异，避免判定条件误用。
第二章
特殊三角形
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5.结合分类讨论思想解决等腰三角形判定的多解问题，结合三角形三边关系、内角和排除
不合理答案，提升解题严谨性。
知识点
等腰三角形的判定（重点）
1. 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。
随学随练
1．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶，𝐴𝐷∥𝐵𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐶是等腰
三角形．
【答案】
证明：∵𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵, ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶，
特别提醒
核心判定依据为等角对等边，是从角度关系推边的关系，与“等边对等角”互为逆定理，仅限同一个
三角形中使用。
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∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，即△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是
关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到∠𝐵= ∠𝐶，结合等腰三角形的定义即可求解．
【详解】略
2．（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，𝐶𝐵= 𝐷𝐴，𝐶𝐴= 𝐷𝐵，𝐶𝐵、𝐷𝐴相交于点O，求证：
𝑂𝐴= 𝑂𝐵．
【答案】
证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷中，{
𝐶𝐵= 𝐷𝐴,
𝐶𝐴= 𝐷𝐵,
𝐴𝐵= 𝐵𝐴,
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(SSS)，
∴∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐷𝐴𝐵，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵．
【分析】找到隐含的公共边𝐴𝐵这一条件，通过SSS先证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，从而得到∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐷𝐴𝐵，最后
利用等角对等边即可证明结论．
【详解】略
知识点
等边三角形的判定（重点）
2. 等边三角形判定的定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。
3. 等边三角形判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
4. 等边三角形判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
随学随练
易错提醒
1）“有一个角是60°的三角形”不能直接判定，必须限定是等腰三角形；
2）勿混淆判定条件，两个角为60°也可间接推出三角相等，可用于判定；
3）等边三角形判定无需区分边角位置，任意位置满足条件即可。
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1．（25-26 八年级上·河南新乡·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点𝐷在线段𝐵𝐶上．若∠𝐶𝐴𝐸= 60∘，𝐴𝐷=
1，则△𝐴𝐵𝐷的周长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质，由题意得𝐴𝐵= 𝐴𝐷, ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
推出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 60°，得△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，即可求解；
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷, ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 60°；
∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长为：3𝐴𝐷= 3；
故选：B
2．（25-26 八年级上·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60°．点𝐷是边𝐵𝐴延长线上一点，
𝐷𝐸∥𝐴𝐶，且∠𝐷= ∠𝐵．求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由𝐷𝐸∥𝐴𝐶得到∠𝐷=
∠𝐵𝐴𝐶，然后等量代换得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，推出𝐴𝐶= 𝐵𝐶，然后结合∠𝐴𝐶𝐵= 60°即可证明△𝐴𝐵𝐶是等边三角
形．
【详解】证明：∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐷= ∠𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
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∵∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
拓展
等腰三角形两种判定方法对比
对比维度
定义法判定
判定定理（等角对等边）
判定依据
三角形有两条边长度相等
三角形有两个内角角度相等
判定核心
通过边长关系直接判定
通过角度关系间接推导边长关系
适用场景
已知边长数值、可直接对比边长的题型
已知角度关系、无明确边长条件的题型
活学活用
1．（25-26 八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这个三角形一定是
（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．不能确定
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类
型．
【详解】解：第三个内角的度数为180° −70° −40° = 70°，
∵有两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶，D 为𝐵𝐶的中点，下列结论不一定成立的是（ ）
A．𝐴𝐵= 𝐴𝐶
B．𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵
C．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
D．∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
【答案】B
【分析】根据等角对等边得出𝐴𝐵= 𝐴𝐶，根据三线合一得出𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，即可判断．
【详解】解：∵∠𝐵= ∠𝐶，
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∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
又D 为𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
故A、C、D 选项正确，但不符合题意；
B 选项无法证明，故错误，符合题意．
拓展
等边三角形三种判定方法对比
判定方法
判定核心内容
判定特点
定义法（边判
定）
三条边全部相等的三角形为等边三角
形
最基础判定方法，依据边长全等判定，直观
无推导
定理1（角判
定）
三个内角全部相等的三角形为等边三
角形
纯角度判定，无需边长条件，三角相等可直
接推三边相等
定理2（混合判
定）
有一个角是60°的等腰三角形为等
边三角形
结合等腰三角形属性+特殊角度，判定步骤更
简便，适用性极强
活学活用
1．（25-26 八年级上·山东德州·期中）关于等边三角形的说法：
（1）等边三角形有1 条对称轴；
（2）有一个角等于60°的三角形是等边三角形；
（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
（4）等边三角形两条中线的交点到三边的距离相等．
其中正确的说法有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，
根据等边三角形的性质（对称轴数量、内心性质）和判定定理（角的条件），逐一判断各说法的正确性．
【详解】解：（1）∵等边三角形有三条对称轴，∴说法（1）错误；
（2）∵有一个角等于60°的三角形不一定是等边三角形（如含60°的直角三角形），∴说法（2）错误；
（3）∵有两个角等于60°，则第三个角为60°，∴三角形是等边三角形，∴说法（3）正确；
（4）∵等边三角形的中线交点为内心，内心到三边距离相等，∴说法（4）正确；
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∴正确的说法有2 个．
故选：C．
2．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，△𝐴𝐷𝐵，△𝐵𝐶𝐷均是等边三角形，E，F 分别是𝐴𝐵，𝐴𝐷边上
的两个动点，且满足𝐴𝐸= 𝐷𝐹，𝐵𝐹与𝐷𝐸交于点G，连接𝐶𝐺．
（1）∠𝐸𝐺𝐵的度数是________ ；
（2）若𝐷𝐺= 4，𝐵𝐺= 6，则𝐶𝐺=_______ ．
【答案】 60°/60 度 10
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键
是掌握以上性质．
（1）根据等边三角形的性质得出相等的边和角，根据SAS证明△𝐴𝐸𝐷≌△𝐷𝐹𝐵，得出∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐵𝐷，然
后根据三角形的外角定理进行求解即可；
（2）延长𝐵𝐺到点H，使𝐺𝐻= 𝐺𝐷，连接𝐷𝐻，得出△𝐷𝐻𝐺是等边三角形，证明△𝐷𝐻𝐵≌△𝐷𝐺𝐶，得出相
等的线段，然后利用线段的和差进行求解即可．
【详解】解：（1）∵△𝐴𝐷𝐵、△𝐵𝐶𝐷都是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐷= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐵= 60°，
在△𝐴𝐸𝐷和△𝐷𝐹𝐵中，
{
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐵
𝐴𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐷𝐹𝐵(SAS)，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐵𝐷，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐺𝐷𝐵+ ∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐺𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐸= 60°；
故答案为：60°；
（2）延长𝐵𝐺到点H，使𝐺𝐻= 𝐺𝐷，连接𝐷𝐻，
∵∠𝐷𝐺𝐻= ∠𝐸𝐺𝐵= 60°，
∴△𝐷𝐻𝐺是等边三角形，
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∴𝐷𝐻= 𝐷𝐺，∠𝐻𝐷𝐺= 60°，
∵△𝐵𝐶𝐷是等边三角形，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐷𝐶= 60°，
∴∠𝐻𝐷𝐺+ ∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐸，
即∠𝐻𝐷𝐵= ∠𝐺𝐷𝐶，
∴△𝐷𝐻𝐵≌△𝐷𝐺𝐶(SAS)，
∴𝐶𝐺= 𝐵𝐻= 𝐵𝐺+ 𝐺𝐻= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐺= 6 + 4 = 10，
故答案为：10．
3．（25-26 八年级下·陕西商洛·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，D 为𝐵𝐶边延长线上一点，𝐶𝐸平分
∠𝐴𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐵𝐷．
(1)求证：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸；
(2)判别△𝐴𝐷𝐸是什么特殊三角形？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）先证明∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，再根据SAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸即可得出结论；
（2）证明△𝐴𝐷𝐸是等边三角形即可．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐴𝐶𝐵= 120°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐸=
1
2 × 120° = 60°，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸
又𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸；
（2）解：△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，理由如下：
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，
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∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐷𝐸是等边三角形．
题型
根据等角对等边证明等腰三角形
▌例1．（25-26 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 36°，∠𝐵= 72°，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐵𝐶
于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明．
【答案】△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐶,△𝐴𝐵𝐷，证明见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定．
根据题目中的已知条件，结合三角形的内角和定理及角平分线的概念，可求出△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐶及△𝐴𝐵𝐷各内
角的度数．若同一个三角形中有两个相等的角，即可判定该三角形是等腰三角形．
【详解】解：图中有 3 个等腰三角形，分别为△𝐴𝐵𝐶,△𝐴𝐷𝐶,△𝐴𝐵𝐷．
∵∠𝐶= 36°,∠𝐵= 72°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −36° −72° = 72°，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶= 72°，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶（等角对等边），
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 36° = ∠𝐶，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐶是等腰三角形，
∵∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 72° = ∠𝐵，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
解题贴士
在同一三角形中，通过内角和、外角性质、平行线性质、角平分线等条件，证出两个内角相等，即可直
接推出对应两条边相等，判定三角形为等腰三角形。
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∴△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，过线段𝐶𝐷上一点E 作
𝐸𝐺∥𝐴𝐷，交𝐴𝐶于点F，交𝐵𝐴的延长线于点G．请判断△𝐴𝐹𝐺的形状，并加以证明．
【答案】解：△𝐴𝐹𝐺是等腰三角形，
证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
∵𝐸𝐺∥𝐴𝐷，
∴∠𝐺= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶𝐴𝐷．
∴∠𝐺= ∠𝐴𝐹𝐺．
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹．
∴△𝐴𝐹𝐺是等腰三角形．
【分析】由𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷；由𝐸𝐺∥𝐴𝐷，根据平行线的同位角、内错角相等，得∠𝐺=
∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶𝐴𝐷．等量代换得∠𝐺= ∠𝐴𝐹𝐺，由等角对等边得𝐴𝐺= 𝐴𝐹，故△𝐴𝐹𝐺是等腰三角形．
【详解】略
▌对点练1-2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分内角∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐸平分外角∠𝐶𝐴𝐷．
(1)若𝐴𝐸∥𝐵𝐶，求证：△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形．
(2)若∠𝐶= 68°，求∠𝐸的度数．
【答案】(1)见解析
(2)34°
【分析】（1）根据平行线得到∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶，∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐷𝐴𝐸，结合角平分线得到∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐶，最后根据等
角对等边得到等腰三角形；
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（2）根据三角形的外角和角平分线得到∠𝐸=
1
2 ∠𝐶，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐸平分外角∠𝐶𝐴𝐷．
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶，∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形．
（2）解：∵𝐵𝐸平分内角∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐸平分外角∠𝐶𝐴𝐷．
∴∠𝐸𝐵𝐴=
1
2 ∠𝐶𝐵𝐴，∠𝐸𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐶𝐴𝐷，
由三角形的外角可得∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐸𝐵𝐴，∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐶𝐵𝐴，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐸𝐵𝐴=
1
2 ∠𝐶𝐴𝐷−
1
2 ∠𝐶𝐵𝐴=
1
2 ∠𝐶，
∵∠𝐶= 68°，
∴∠𝐸=
1
2 ∠𝐶= 34°．
题型
等角对等边的其他证明题
▌例1．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是𝐵𝐶上一点，过点
D 作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点E，交𝐵𝐴的延长线于点F．求证：𝐴𝐹= 𝐴𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到∠𝐵= ∠𝐶，等角的余角相等，结合对
顶角相等，得到∠𝐹= ∠𝐴𝐸𝐹，即可得证．
【详解】证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
解题贴士
先通过平行、折叠、角平分线、垂直、对顶角等条件转化角度，得到两角相等，再利用等角对等边证线
段相等，进而证明线段关系、图形形状。
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∴∠𝐵= ∠𝐶，
∵𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵+ ∠𝐹= 90°, ∠𝐶+ ∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐹= ∠𝐶𝐸𝐷，
又∵∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐶𝐸𝐷，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐸𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，点C，D 在𝐴𝐵上，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐸𝐴= 𝐹𝐵，∠𝐴=
∠𝐵，𝐸𝐷，𝐹𝐶相交于点G．
(1)求证：∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹；
(2)求证：𝐸𝐺= 𝐹𝐺．
【答案】(1)证明：在△𝐸𝐴𝐷和△𝐹𝐵𝐶中，
{
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
∠𝐴= ∠𝐵
𝐸𝐴= 𝐹𝐵
∴△𝐸𝐴𝐷≌△𝐹𝐵𝐶(SAS)，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹；
(2)证明：∵△𝐸𝐴𝐷≌△𝐹𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐹，
∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐶𝐹，
∴𝐶𝐺= 𝐷𝐺，
∴𝐷𝐸−𝐷𝐺= 𝐶𝐹−𝐶𝐺，
∴𝐸𝐺= 𝐹𝐺．
【分析】（1）证明△𝐸𝐴𝐷≌△𝐹𝐵𝐶(SAS)，利用全等三角形的对应角相等可得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到𝐷𝐸= 𝐶𝐹，再根据等角对等边得到𝐶𝐺= 𝐷𝐺，进而可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点D，且∠𝐴=
2∠𝐵，求证：𝐵𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐶．
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【答案】证明：如图，在𝐵𝐶边上取点𝐸，使𝐸𝐶= 𝐴𝐶，连接𝐷𝐸，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐸𝐶𝐷中，
{
𝐴𝐶= 𝐸𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷
𝐷𝐶= 𝐷𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐷𝐸，∠𝐴= ∠𝐷𝐸𝐶，
∵∠𝐴= 2∠𝐵，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 𝐴𝐷，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐶．
【分析】在𝐵𝐶边上取点𝐸，使𝐸𝐶= 𝐴𝐶，连接𝐷𝐸，由角平分线的定义可得∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷，再利用SAS证明
△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，可得𝐶𝐸= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐷𝐸，∠𝐴= ∠𝐷𝐸𝐶，再结合三角形外角的定义及性质得出∠𝐵=
∠𝐵𝐷𝐸，推出𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 𝐴𝐷，即可得证．
【详解】略．
题型
根据等角对等边求解
▌例1．如图，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶右侧一点，连接𝐴𝐷、𝐶𝐷，若∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵， ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷， 𝐴𝐵= 4，则𝐴𝐷的
长为（ ）
解题贴士
利用等角对等边实现角度转边长，结合线段和差、周长、方程思想，设未知数表示边长，代入计算求值。
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A．2
B．4
C．5
D．8
【答案】B
【分析】根据等角对等边，由 ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵可得 𝐴𝐶= 𝐴𝐵，由 ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷可得 𝐴𝐷= 𝐴𝐶，进而求解即
可．
【详解】解：∵∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 4，
∴𝐴𝐶= 4，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐷= 4．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·重庆·期中）如图，已知∠𝐴= ∠𝐵, 𝐶𝐸∥𝐷𝐴, 𝐶𝐸交𝐴𝐵于E，且𝐵𝐶= 10，则
𝐶𝐸=________．
【答案】10
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用两直线平行，同位角相等可得∠𝐴= ∠𝐶𝐸𝐵，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结
论．
【详解】解：∵𝐶𝐸∥𝐷𝐴，
∴∠𝐴= ∠𝐶𝐸𝐵，
∵∠𝐴= ∠𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐵，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐵，
∵𝐵𝐶= 10，
∴𝐶𝐸= 10，
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故答案为：10．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝐸，
过点𝐸作𝑀𝑁∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐴𝐶于点𝑁．若𝐵𝑀+ 𝐶𝑁= 7，
(1)求𝑀𝑁的长度；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为25，𝐵𝐶= 10，求△𝐴𝑀𝑁的周长．
【答案】(1)7
(2)15
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等腰三角形的判定，
对于（1），先根据角平分线定义得∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，再根据“两直线平行内错角相等”得∠𝑀𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶，进
而得出𝑀𝐵= 𝑀𝐸，同理可得𝑁𝐶= 𝑁𝐸,然后根据𝑀𝑁= 𝑀𝐸+ 𝑁𝐸得出答案；
对于（2），先根据题意求出𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，再根据△𝐴𝑀𝑁的周长= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶得出答案．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，
∴∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶．
∵𝑀𝑁∥𝐵𝐶，
∴∠𝑀𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶，
即∠𝑀𝐸𝐵= ∠𝑀𝐵𝐸，
∴𝑀𝐵= 𝑀𝐸；
同理∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线 ，
∴∠𝑁𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸；
∵𝑀𝑁∥𝐵𝐶，
∴∠𝑁𝐸𝐶= ∠𝐵𝐶𝐸；
即∠𝑁𝐶𝐸= ∠𝑁𝐸𝐶，
∴𝑁𝐶= 𝑁𝐸,
∴𝑀𝑁= 𝑀𝐸+ 𝑁𝐸= 𝑀𝐵+ 𝑁𝐶= 7；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶的周长为25，𝐵𝐶= 10，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 15，
∴△𝐴𝑀𝑁的周长= 𝐴𝑀+ 𝑀𝑁+ 𝐴𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐵𝑀+ 𝐶𝑁+ 𝐴𝑁= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 15．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·云南昭通·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点D，点E 在
𝐴𝐵上，连接𝐷𝐸．已知∠𝐴= 30°，∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= 75°．
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(1)求证：𝐷𝐸∥𝐵𝐶；
(2)若𝐴𝐵= 12，𝐷𝐸= 4，求𝐴𝐷的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠𝐴𝐷𝐸= 75°，得到∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶，即可推出𝐷𝐸∥𝐵𝐶；
（2）由角平分线和平行线的性质得到∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐸，推出𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 4，然后由等角对等边求解即可．
【详解】（1）证明：在△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐸𝐷= 75°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 180° −30° −75° = 75°．
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶；
（2）解：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷．
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸= 4．
∵𝐴𝐵= 12，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 12 −4 = 8．
∵∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 75°，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 8．
题型
格点图中的等腰三角形
▌例1．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）如图，在4 × 4的正方形网格中有两个格点A、B，连接𝐴𝐵，在网
格中再找一个格点𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，满足条件的格点𝐶的个数是（ ）
解题贴士
1）通过网格边长相等判定等腰；
2）分类讨论：底边水平、竖直、倾斜三种情况，逐一排查找点。
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A．2
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①𝐴𝐵为等
腰直角△𝐴𝐵𝐶底边；②𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶其中的一条腰；画出图形，即可解决问题．
【详解】解：如图，分两种情况讨论：
①𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶底边时，符合条件的格点C 有0 个；
②𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶其中的一条腰时，符合条件的格点C 有3 个；
综上所述，满足条件的格点C 的个数是3 个．
故选：B．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，在3 × 3的正方形网格中，点A，B 均在格点处，若
点C 也在格点处，且△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，则满足条件的点C 的位置有__________处．
【答案】8
【详解】解：如图，点𝐶1，𝐶2，𝐶3，𝐶4，𝐶5，𝐶6，𝐶7，𝐶8即为所求．
∴满足条件的点C 的位置有8 处．
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▌对点练1-2．（25-26 八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是4 × 4的正方形网格，每个小正方形的边
长均为1 个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段𝐴𝐵的端点都在格点上，在图①、图②给定网
格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以𝐴𝐵为腰画一个等腰三角形𝐴𝐵𝐶；
(2)在图②中以𝐴𝐵为底边画一个等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的
定义是解题的关键．
（1）如图所示，取格点C，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，由网格的特点可得𝐴𝐶= 𝐴𝐵，则△𝐴𝐵𝐶即为所求；
（2）如图所示，取格点D，连接𝐴𝐷，𝐵𝐷，由网格的特点可得𝐴𝐷= 𝐵𝐷，则△𝐴𝐵𝐷即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，△𝐴𝐵𝐶即为所求（画出其中一个即可）；
（2）解：如图所示，△𝐴𝐵𝐷即为所求；
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·吉林·期末）如图，在6 × 6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格
点，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写
画法）．
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(1)在图①中的边上找一点𝐸，使得𝐵𝐸= 𝐸𝐶；
(2)在图②中画出一个△𝐴𝐵𝐷，使𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝐷为格点（点𝐷不与点𝐶重合）；
(3)在图③中以𝐵𝐶为边画一个等腰三角形𝐵𝐶𝐹．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，答案不唯一
(3)见解析，答案不唯一
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图及等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识，
熟知相关性质是正确解答此题的关键．
（1）取格点𝐺, 𝐻，线段𝐵𝐶与𝐺𝐻的交点，即为线段𝐵𝐶的中点点𝐸的位置；
（2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点𝐷的位置即可；
（3）根据等腰三角形的作法，可根据𝐶𝐵= 𝐶𝐹找出点𝐹的位置．
【详解】（1）解：取格点𝐺, 𝐻，连接𝐺, 𝐻，线段𝐵𝐶与𝐺𝐻的交点，即为线段𝐵𝐶的中点点𝐸的位置，如图所
示：
理由：在△𝐻𝐶𝐺和△𝐵𝐺𝐶中，
{
𝐶𝐺= 𝐺𝐶
∠𝐻𝐶𝐺= ∠𝐵𝐺𝐶= 90°
𝐶𝐻= 𝐺𝐵
，
∴△𝐻𝐶𝐺≌△𝐵𝐺𝐶(SAS)，
∴∠𝐻𝐺𝐶= ∠𝐵𝐶𝐺，
∴𝐶𝐸= 𝐺𝐸，
∵𝐶𝐺∥𝐵𝐻，
∴∠𝐵𝐶𝐺= ∠𝐻𝐵𝐶，
∴∠𝐻𝐵𝐶= ∠𝐻𝐺𝐶，
∵∠𝐻𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐺= ∠𝐻𝐺𝐶+ ∠𝐸𝐺𝐵= 90° ，
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∴∠𝐸𝐵𝐺= ∠𝐸𝐺𝐵，
∴𝐺𝐸= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸；
（2）解：如图所示：
△𝐴𝐵𝐷即为求作的，
理由：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐷，两个三角形的底边都是𝐴𝐵，高都为4，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶；
（3）解：如图所示：点𝐵与点关𝐹于点𝐶所在的水平格线轴对称，此时𝐵𝐶= 𝐶𝐹，△𝐵𝐶𝐹即为求作的．
题型
等腰三角形的性质与判定综合
▌例1．（25-26 八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，下列结论不一定
．．．
正确的是（ ）．
A．𝐴𝐵= 𝐴𝐶
B．𝐵𝐷= 𝐷𝐶
C．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
D．𝐴𝐵= 2𝐵𝐷
【答案】D
解题贴士
先通过角度条件判定等腰三角形（等角对等边），再利用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）进行
边角计算与证明。
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【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可．
【详解】解：∵∠𝐵= ∠𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，故A 选项正确，不符合题意；
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，故B，C 选项正确，不符合题意；
根据题意无法得到𝐴𝐵与𝐵𝐷的大小关系，故D 选项错误，符合题意；
故选：D
▌例2．（25-26 八年级下·河南平顶山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D，E 在边𝐵𝐶上，且𝐵𝐷=
𝐶𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐸为等腰三角形；
(2)若∠𝐴𝐷𝐸= 60°，𝐵𝐷= 𝐴𝐷，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐷𝐸为等腰三角形；
(2)120°
【分析】（1）先由等边对等角得到∠𝐵= ∠𝐶，再证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)即可；
（2）由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷= 30°，然后由全等三角形的性质求出
∠𝐶，最后由三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐵𝐷= 𝐴𝐷
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷
∵∠𝐴𝐷𝐸= 60°
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 60°
∴∠𝐵= 30°
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸
∴∠𝐶= ∠𝐵= 30°
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∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 120°．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·河南南阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐷∥𝐵𝐶．已知𝐴𝐵=
5，𝐴𝐷= 3，则△𝐴𝐸𝐷的周长为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐷𝐵，进而得到𝐵𝐸= 𝐷𝐸，得到△𝐴𝐸𝐷的周长等于𝐴𝐵+ 𝐴𝐷，即可得出结果．
【详解】解：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷, ∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐷𝐵，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐷的周长= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 5 + 3 = 8；
故选C．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·天津·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，D 为𝐵𝐶边上的一点，𝐴𝐷=
𝐵𝐷= 𝐴𝐶，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为______．
【答案】72°
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，设出未知数列出方程是
解题关键．
由题意可得△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐶𝐷都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶，
∵𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐴𝐶
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐵，
设∠𝐵= 𝑥，则∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 2𝑥，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
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即2𝑥+ 𝑥+ 2𝑥= 180°，
解得𝑥= 36°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 72°，
故答案为：72°．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°，其中△𝐸𝐷𝐹
的顶点𝐷与𝐵𝐶的中点重合，𝐷𝐸，𝐷𝐹分别与𝐴𝐵，𝐴𝐶交于点𝐺，𝐻．若△𝐴𝐵𝐶的面积为18，则阴影部分的面
积为________．
【答案】9
【分析】连接𝐴𝐷，利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而通过面积转化求出
阴影部分面积．
【详解】解：连接𝐴𝐷，
∵𝐷为𝐵𝐶中点，△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐶𝐷，∠𝐵= ∠𝐶= 45°，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 45°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶，∠𝐴𝐷𝐻+ ∠𝐶𝐷𝐻= 90°，
∵∠𝐸𝐷𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐺+ ∠𝐴𝐷𝐻= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐺= ∠𝐶𝐷𝐻，
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐺≌△𝐶𝐷𝐻(ASA)，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐺= 𝑆△𝐶𝐷𝐻，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 18，𝐷为𝐵𝐶中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 9，
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∴𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐷𝐺+ 𝑆△𝐴𝐷𝐻= 𝑆△𝐶𝐷𝐻+ 𝑆△𝐴𝐷𝐻= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 9，
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，分别交
𝐵𝐶，𝐴𝐶于点𝐸，𝐹，且满足𝐴𝐵= 𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵𝐴𝐸= 40°，求∠𝐶的度数；
(2)若𝐷𝐶= 5cm，求△𝐴𝐵𝐸的周长．
【答案】(1)35°
(2)10cm
【分析】（1）先由等腰△𝐴𝐵𝐸顶角求底角∠𝐴𝐸𝐵，依托三线合一得到𝐴𝐸= 𝐸𝐶，借助三角形外角建立角度
等式算出∠𝐶；
（2）利用三线合一推出𝐵𝐷= 𝐷𝐸，对△𝐴𝐵𝐸周长做线段等量代换，结合𝐴𝐸= 𝐸𝐶转化线段，代入𝐷𝐶长度
求出周长．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸是等腰三角形，
∵∠𝐵𝐴𝐸= 40°，
∴∠𝐴𝐸𝐵=
1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐸) =
1
2 × (180° −40°) = 70°，
∵𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，
∵∠𝐴𝐸𝐵是△𝐴𝐸𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐸𝐴𝐶= 2∠𝐶= 70°，
解得∠𝐶= 35°；
（2）∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸的周长：𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 2(𝐴𝐸+ 𝐷𝐸)，
由（1）知：𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∴𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 𝐸𝐶+ 𝐷𝐸= 𝐷𝐶= 5(cm)，
∴△𝐴𝐵𝐸的周长：2(𝐴𝐸+ 𝐷𝐸) = 2 × 5 = 10(cm)．
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▌对点练1-5．（25-26 七年级下·山东济南·期末）已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，在△𝐷𝐸𝐶中，𝐷𝐶= 𝐸𝐶，
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 𝛼，点𝐴、𝐷、𝐸在同一条直线上，𝐴𝐸与𝐵𝐶相交于点𝐹，连接𝐵𝐸．
(1)如图1，当𝛼= 40°时，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)如图2，当𝛼= 90°时，完成下列问题：
①判断𝐴𝐷与𝐵𝐸的数量关系和位置关系；
②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若
∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹，𝐵𝐸= 3，求线段𝐴𝐹的长．
【答案】(1)40°
(2)解：①𝐴𝐷⊥𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐵𝐸，理由如下：
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐶𝐷𝐴和△𝐶𝐸𝐵中，
{
𝐷𝐶= 𝐸𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∴△𝐶𝐷𝐴≌△𝐶𝐸𝐵(SAS)，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐶𝐷𝐴，𝐴𝐷= 𝐵𝐸，
∵𝐶𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝐵= 135°，
∵∠𝐶𝐸𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐸，
综上：𝐴𝐷⊥𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐵𝐸;
②𝐴𝐹= 6
【分析】（1）证明△𝐶𝐷𝐴≌△𝐶𝐸𝐵(SAS)，进一步证明∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 40°即可；
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（2）①证明△𝐶𝐷𝐴≌△𝐶𝐸𝐵(SAS)，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由△𝐶𝐷𝐴≌△𝐶𝐸𝐵，可
得𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 3，证明∠𝐴𝐶𝐷= 22.5° = ∠𝐶𝐴𝐷，可得𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 3，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐶𝐷𝐴和△𝐶𝐸𝐵中，
{
𝐷𝐶= 𝐸𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∴△𝐶𝐷𝐴≌△𝐶𝐸𝐵(SAS)，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵∠𝐶𝐹𝐴= ∠𝐸𝐹𝐵，∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐸𝐹𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐸= 180°，∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐹𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 40°；
（2）证明：①略
②∵△𝐶𝐷𝐴≌△𝐶𝐸𝐵，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 3，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴= 45°，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹= 22.5°，
∵∠𝐶𝐷𝐸= 45° = ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 22.5° = ∠𝐶𝐴𝐷，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 3
∵∠𝐷𝐶𝐹= 90° −∠𝐴𝐶𝐷= 67.5°，∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐹= 67.5°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐷𝐹𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐶= 3，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹= 6．
题型
等边三角形的判定
▌例1．（25-26 八年级上·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60°．点𝐷是边𝐵𝐴延长线上一点，
解题贴士
三种判定方法灵活选用：①三边都相等；②三角都相等（均为60°）；③有一个角是60°的等腰三角形，
即为等边三角形。
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𝐷𝐸∥𝐴𝐶，且∠𝐷= ∠𝐵．求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由𝐷𝐸∥𝐴𝐶得到∠𝐷=
∠𝐵𝐴𝐶，然后等量代换得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，推出𝐴𝐶= 𝐵𝐶，然后结合∠𝐴𝐶𝐵= 60°即可证明△𝐴𝐵𝐶是等边三角
形．
【详解】证明：∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐷= ∠𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长．若(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| =
0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
【答案】等边三角形
【分析】根据等式得出𝑎= 𝑏，𝑏= 𝑐即可得出结论．
【详解】解：∵(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，(𝑎−𝑏)2 ≥0，|𝑏−𝑐| ≥0，
∴𝑎−𝑏= 0，𝑏−𝑐= 0，
∴𝑎= 𝑏，𝑏= 𝑐，
即𝑎= 𝑏= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·陕西汉中·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是𝐵𝐶的中点，连接
𝐴𝐷，点𝐸在△𝐴𝐵𝐶的左侧，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸，∠𝐸= 90°，𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐸，且𝐵𝐸∥𝐴𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三
角形．
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【答案】证明见解析
【分析】根据等腰三角形的性质可得，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，由角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐸=
∠𝐵𝐴𝐷，从而得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸，由𝐵𝐸∥𝐴𝐶可得∠𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐶= 180°，从而得到∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷=
∠𝐶𝐴𝐷= 30°，即可求解．
【详解】证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∵𝐴𝐵平分∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸，
∵𝐵𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸=
1
3 ∠𝐸𝐴𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
题型
等边三角形的性质与判定综合
▌例1．（2025·河南商丘·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 9，∠𝐵= 60∘，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐵𝐶的方向
平移得到△𝐴′𝐵′𝐶′，连接𝐴′𝐶，若𝐵𝐵′ = 3，则△𝐴′𝐵′𝐶的周长为（ ）
解题贴士
先根据已知条件判定等边三角形，再利用三边相等、三角60°、三线合一全部性质，结合全等、平行、
角度转化，解决证明、计算综合题。
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A．27
B．18
C．24
D．20
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由𝐴′𝐵′，𝐵′𝐶的长度结合∠𝐵= 60°，判断△
𝐴′𝐵′𝐶的形状，得𝐴′𝐶的长度，可得△𝐴′𝐵′𝐶的周长．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 9，∠𝐵= 60∘，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐵𝐶的方向平移得到△𝐴′𝐵′𝐶′，
∴𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵= 6，∠𝐴′𝐵′𝐶′ = ∠𝐵= 60°，
∵𝐵𝐶= 9，𝐵𝐵′ = 3，
∴𝐵′𝐶= 𝐵𝐶−𝐵′𝐵= 6，
∴𝐴′𝐵′ = 𝐵′𝐶，
∴△𝐴′𝐵′𝐶是等边三角形，
∴𝐴′𝐶= 𝐵′𝐶= 6，
∴△𝐴′𝐵′𝐶的周长为：𝐴′𝐵′ + 𝐵′𝐶+ 𝐴′𝐶= 18，
故选：B．
▌例2．（25-26 八年级上·广东阳江·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，点F 在𝐴𝐸上，点D 在𝐶𝐵的延长
线上，∠𝐶𝐷𝐸= 120°，𝐹𝐷∥𝐴𝐵，且𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
(2)若𝐵𝐷= 2cm，𝐶𝐷= 6cm，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【答案】(1)
证明：∵∠𝐶𝐷𝐸= 120°，𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐹𝐷𝐸= 60°，
∵𝐹𝐷∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶= 60°，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形；
(2)12cm
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握
等边三角形的判定与性质．
（1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶= 60°，再由等边三角形的判定即可证明；
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（2）先求出𝐵𝐶，即可求出△𝐴𝐵𝐶的周长．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐵𝐷= 2cm，𝐶𝐷= 6cm，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐷−𝐵𝐷= 4cm，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为3 × 4 = 12(cm)．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·山东德州·期末）如图，𝑃是∠𝐵𝐴𝐶内部一点，𝑃关于𝐴𝐵、𝐴𝐶的对称点分别是
点𝑃1、点𝑃2，连接𝑃1𝑃2分别与𝐴𝐵，𝐴𝐶交于点𝑀，点𝑁，连接𝑃𝑀，𝑃𝑁，下列结论：①若∠𝐵𝐴𝐶= 30°，则
△𝑃1𝑃2𝐴是等边三角形；②△𝑃𝑀𝑁的周长等于线段𝑃1𝑃2的长；③𝑃𝐴平分∠𝑀𝑃𝑁；④
1
2 ∠𝑀𝑃𝑁+ ∠𝐵𝐴𝐶=
90°．正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可．
【详解】解：∵点𝑃关于𝐴𝐵、𝐴𝐶的对称点分别是点𝑃1、点𝑃2，
∴∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝑃1𝐴𝐵，∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃2𝐴𝐶，𝐴𝑃= 𝐴𝑃1，𝐴𝑃= 𝐴𝑃2．
∴𝐴𝑃1 = 𝐴𝑃2，∠𝑃1𝐴𝑃2 = 2∠𝐵𝐴𝐶= 60°．
∴△𝑃1𝑃2𝐴是等边三角形，故①正确．
由轴对称可知，𝑃𝑀= 𝑃1𝑀，𝑃𝑁= 𝑃2𝑁，
∴𝐶△𝑃𝑀𝑁= 𝑃𝑀+ 𝑀𝑁+ 𝑃𝑁= 𝑃1𝑀+ 𝑀𝑁+ 𝑃2𝑁= 𝑃1𝑃2，故②正确．
由轴对称可知，△𝑃1𝐴𝑀≌△𝑃𝐴𝑀(SAS)，△𝑃2𝐴𝑁≌△𝑃𝐴𝑁(SAS)，
∴∠𝐴𝑃𝑀= ∠𝐴𝑃1𝑀，∠𝐴𝑃𝑁= ∠𝐴𝑃2𝑁．
∵𝐴𝑃1 = 𝐴𝑃2，
∴∠𝐴𝑃1𝑀= ∠𝐴𝑃2𝑁．
∴∠𝐴𝑃𝑀= ∠𝐴𝑃𝑁．
∴𝑃𝐴平分∠𝑀𝑃𝑁，故③正确．
∵∠𝐴𝑃𝑀= ∠𝐴𝑃1𝑀，∠𝐴𝑃𝑁= ∠𝐴𝑃2𝑁，
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∴∠𝑀𝑃𝑁= ∠𝐴𝑃𝑀+ ∠𝐴𝑃𝑁= ∠𝐴𝑃2𝑁+ ∠𝐴𝑃1𝑀．
∵∠𝑃1𝐴𝑃2 + ∠𝐴𝑃1𝑀+ ∠𝐴𝑃2𝑁= 180°，
∴2∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝑀𝑃𝑁= 180°．
∴
1
2 ∠𝑀𝑃𝑁+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，故④正确．
▌对点练1-2．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2 的等边△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐴方向平移1 个单位长度，得到
△𝐷𝐸𝐹，𝐸𝐹与𝐴𝐶相交于点G，则四边形𝐴𝐷𝐹𝐺的周长为______．
【答案】5
【分析】由平移可得，𝐵𝐸= 𝐴𝐷= 1, 𝐷𝐹= 𝐴𝐶= 2, ∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= ∠𝐴𝐺𝐸= ∠𝐶= 60°，𝐸𝐹= 𝐵𝐶= 2，然
后证明△𝐴𝐸𝐺为等边三角形，再求出四边形𝐴𝐷𝐹𝐺的各边长，再相加即可．
【详解】解：∵等边△𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 2
由平移可得，𝐵𝐸= 𝐴𝐷= 1, 𝐷𝐹= 𝐴𝐶= 2, ∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= ∠𝐴𝐺𝐸= ∠𝐶= 60°，𝐸𝐹= 𝐵𝐶= 2
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 1，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐸𝐺= ∠𝐴𝐺𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐺为等边三角形，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐸= 𝐸𝐺= 1，
∴𝐹𝐺= 𝐸𝐹−𝐸𝐺= 1
∴四边形𝐴𝐷𝐹𝐺的周长为：𝐴𝐷+ 𝐷𝐹+ 𝐹𝐺+ 𝐴𝐺= 1 + 2 + 1 + 1 = 5．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰Rt △𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐴𝐵，则
∠𝐶𝐷𝐵=________．
【答案】15°/15 度
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明△𝐴𝐵𝐷为等边三角形，可得
∠𝐴𝐵𝐷= 60°，可得∠𝐶𝐵𝐷的度数，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐴𝐵，
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∴△𝐴𝐵𝐷为等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 60°，
∵等腰Rt △𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶= 150°, 𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷=
180°−∠𝐶𝐵𝐷
2
= 15°．
故答案为：15°
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·内蒙古·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷是𝐴𝐵的中点，𝐶𝐸⊥𝐵𝐶，垂
足为𝐶，𝐸𝐹是由𝐶𝐷沿𝐶𝐸方向平移得到的，连接𝐷𝐹，已知𝐸𝐹过点𝐴，𝐵𝐸交𝐶𝐷于点𝐺．
(1)求∠𝐷𝐶𝐸的度数；
(2)若𝐸𝐶= 2，求𝐴𝐸的长度；
(3)求证：△𝐶𝐸𝐺是等边三角形．
【答案】(1)60°
(2)2
(3)证明：
∵∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐸𝐴𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐸𝐶𝐴−∠𝐸𝐴𝐶= 180° −30° −30° = 120° ，
在△𝐸𝐶𝐵和△𝐸𝐴𝐵中，
{
𝐶𝐸= 𝐴𝐸
𝐶𝐵= 𝐴𝐵
𝐵𝐸= 𝐵𝐸
，
∴△𝐸𝐶𝐵≌△𝐸𝐴𝐵(SSS) ，
∴∠𝐶𝐸𝐺= ∠𝐴𝐸𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐸𝐶=
1
2 × 120° = 60° ，
由（1）得∠𝐷𝐶𝐸= 60°，即∠𝐺𝐶𝐸= 60° ，
∴∠𝐶𝐸𝐺= ∠𝐺𝐶𝐸 ，
∴𝐶𝐺= 𝐸𝐺 ，
∵𝐶𝐺= 𝐸𝐺 ，∠𝐺𝐶𝐸= 60° ，
∴△𝐶𝐸𝐺是等边三角形．
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【分析】（1）由等边三角形的性质得∠𝐴𝐶𝐵= 60°，由三线合一得到∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 30°，由𝐶𝐸⊥𝐵𝐶得
∠𝐵𝐶𝐸= 90°，则∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 60°．
（2）先求得∠𝐸𝐶𝐴= 30°，由平移得𝐸𝐹∥𝐶𝐷，则∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷= 30°，即可等量代换∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐸𝐴𝐶，则
𝐴𝐸= 𝐸𝐶= 2．
（3）由∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐸𝐴𝐶= 30°，求得∠𝐴𝐸𝐶= 120°，可根据“SSS”证明△𝐸𝐶𝐵≌△𝐸𝐴𝐵，得∠𝐶𝐸𝐺= ∠𝐴𝐸𝐵=
60°，而∠𝐺𝐶𝐸= 60°，所以𝐶𝐺= 𝐸𝐺，即可根据“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”证明△𝐶𝐸𝐺
是等边三角形．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∵𝐷是𝐴𝐵的中点，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2 × 60° = 30°，
∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 90° −30° = 60°，
∴∠𝐷𝐶𝐸的度数是60°．
（2）解：∵∠𝐵𝐶𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐵= 90° −60° = 30°，
∵𝐸𝐹是由𝐶𝐷沿𝐶𝐸方向平移得到的，
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷
∵∠𝐴𝐶𝐷= 30°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷= 30°，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐸𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶= 2，
∴𝐴𝐸的长是2．
（3）略
基础通关
1．（2026·广西贵港·三模）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 60°，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ）
A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
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【分析】先根据边相等的条件得到三角形为等腰三角形，再利用等边三角形的判定定理即可判断形状．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
∵∠𝐵= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
2．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）如图，下列关于△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹的说法中正确的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形
B．△𝐷𝐸𝐹是等腰三角形
C．△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹均是等腰三角形
D．△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹均不是等腰三角形
【答案】A
【详解】解：△𝐴𝐵𝐶的第三个内角为180° −70° −55° = 55°，△𝐴𝐵𝐶有两个角都是55°，故△𝐴𝐵𝐶是等腰
三角形；
△𝐷𝐸𝐹的第三边的长不确定，故△𝐷𝐸𝐹不一定是等腰三角形；
故选：A．
3．（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，已知，𝐵𝐶= 12，𝐷𝐵，𝐷𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸∥𝐴𝐵，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，则△𝐷𝐸𝐹的周长为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据𝐷𝐸∥𝐴𝐵，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，以及
𝐷𝐵，𝐷𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，得出∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸, ∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐹𝐶𝐷，则𝐵𝐸= 𝐸𝐷，𝐷𝐹= 𝐹𝐶，则△𝐷𝐸𝐹
的周长= 𝐸𝐷+ 𝐸𝐹+ 𝐷𝐹= 𝐵𝐶= 12，即可作答．
【详解】解：∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐸, ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐹𝐷𝐶，
∵𝐷𝐵，𝐷𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐸, ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐹𝐶𝐷，
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∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸, ∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐷，𝐷𝐹= 𝐹𝐶，
∴△𝐷𝐸𝐹的周长= 𝐸𝐷+ 𝐸𝐹+ 𝐷𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐵𝐶= 12，
故选：A
4．（25-26 八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长2.6米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆
𝐸𝐹的倾斜角为65°．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆𝐸𝐹′的倾斜角为55°，
那么𝐹𝐹′的长是______米．
【答案】2.6
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质．
求出∠𝐹𝐸𝐹′ = 60°，证明△𝐸𝐹𝐹′是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出𝐹𝐹′的长．
【详解】解：由图可知，∠𝐹𝐸𝐹′ = 180° −65° −55° = 60°，
∵𝐸𝐹= 𝐸𝐹′，
∴△𝐸𝐹𝐹′是等边三角形，
∴𝐹𝐹′ = 𝐸𝐹= 𝐸𝐹′ = 2.6米．
故答案为：2.6．
5．（25-26 八年级上·江苏盐城·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，若
𝐴𝐵= 12，则𝐶𝐷=______．
【答案】6
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质进行推理计算．先证明
△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 12，
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∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐶= 6，
故答案为：6．
6．（2026·陕西渭南·二模）如图，延长△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶至点E，点D 在𝐵𝐸下方，连接𝐶𝐷、𝐴𝐷、𝐸𝐷、𝐵𝐶=
𝐷𝐸、∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸，求证：𝐴𝐵= 𝐶𝐸．
【答案】见解析
【分析】由等角对等边可得𝐴𝐶= 𝐶𝐷，再利用SAS证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐶𝐷𝐸，然后利用全等三角形的性质即可
证明结论．
【详解】证明：∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝐵和△𝐶𝐷𝐸中，
{
𝐵𝐶= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐸．
7．（25-26 七年级上·山东烟台·期末）如图，方格纸中小方格的边长均为1，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在格点上，请
你只用无刻度的直尺
．．．．．．．．完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图1 中作点D，使得𝐷𝐴= 𝐷𝐵= 𝐷𝐶；
(2)在图2 中的𝐵𝐶边上作点E，使△𝐴𝐵𝐸为等腰直角三角形；
(3)在图3 中作一个格点
．．F（不与点B 重合），使得∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵．
【答案】(1)如图，点D 即为所求．
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(2)
如图，点E 即为所求，
(3)
如图，点F 即为所求．
【分析】此题考查了等腰三角形的判定，网格中的作图，根据网格的特点正确作图是关键．
（1）根据网格的特点作图即可；
（2）根据网格特点作等腰三角形即可；
（3）根据网格的特点可知∠𝐵= 45°，据此利用网格的特点作图即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
8．如图，已知𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= 120°，∠𝐶𝐴𝐸= 30°．
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷为等边三角形；
(2)若∠𝐵= 42°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
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【答案】(1)见解析；
(2)∠𝐵𝐴𝐶= 78°．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是
解题的关键．
（1）根据补角求出∠𝐴𝐷𝐶，通过互余求出∠𝐶，再运用内角和定理可求出△𝐴𝐶𝐷三个角都为60°，即为等边
三角形；
（2）由（1）可得∠𝐶= 60°，运用三角形内角和定理可求出∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【详解】（1）解：证明：∵∠𝐴𝐷𝐵= 120°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐵= 180° −120° = 60°．
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐸= 30°，
∴∠𝐶= 90° −∠𝐶𝐴𝐸= 90° −30° = 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐶𝐷为等边三角形．
（2）解：由（1）得∠𝐶= 60°，
又∵∠𝐵= 42°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −42° −60° = 78°．
9．（25-26 八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点O，
𝑂𝐷∥𝐴𝐵交于点D，且𝑂𝐸∥𝐴𝐶交于点E．
(1)是判断△𝑂𝐷𝐸的形状，并说明理由．
(2)若𝑂𝐷= 3，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【答案】(1)△𝑂𝐷𝐸为等边三角形；见解析
(2)27
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三
角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案；
（2）由角平分线定义、平行线性质得到∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐷𝐵𝑂，由等腰三角形性质可得𝐵𝐷= 𝑂𝐷，同理𝐶𝐸=
𝑂𝐸，再由△𝑂𝐷𝐸的周长，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：△𝑂𝐷𝐸为等边三角形．理由如下：
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∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝑂𝐷∥𝐴𝐵，𝑂𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝑂𝐷𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝑂𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝑂𝐷𝐸= ∠𝑂𝐸𝐷= 60°，
∴∠𝐷𝑂𝐸= 60°，
∴△𝑂𝐷𝐸为等边三角形；
（2）解：∵𝑂𝐷= 3，△𝑂𝐷𝐸为等边三角形，
∴△𝑂𝐷𝐸的周长为3 × 3 = 9，
∵ 𝑂𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝐷𝐵𝑂，
∵𝑂𝐷∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝐷𝑂𝐵，
∴∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐷𝐵𝑂，
∴𝐵𝐷= 𝑂𝐷，
同理𝐶𝐸= 𝑂𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐶𝐸= 𝑂𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝑂𝐸= 9，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为3 × 9 = 27．
10．（25-26 八年级上·湖北·期中）上午8 时，一条渔船从港口𝐴出发，以每小时10 海里的速度向正北方向
𝐴𝑁航行，上午12 时到达海岛𝐵处．从𝐴, 𝐵望海岛𝐶，测得∠𝑁𝐴𝐶= 30°，∠𝑁𝐵𝐶= 60°（如图所示）．
(1)求海岛𝐵到海岛𝐶的距离；
(2)渔船从海岛𝐵按原来的方向继续航行40 海里（记为点𝐷处）出现了故障，它向海岛𝐵和海岛𝐶都发出了求
救信号．接到求救信号后，海岛𝐵派出的救援队立即以每小时25 海里的速度前往，海岛𝐶派出的救援队晚
出发10 分钟，速度为每小时30 海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
【答案】(1)海岛𝐵到海岛𝐶的距离为40 海里
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(2)海岛𝐶派出的救援队先到达渔船处
【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质求出∠𝐴𝐶𝐵= 30° = ∠𝑁𝐴𝐶，进而得到𝐵𝐶= 𝐴𝐵，即可求解；
（2）证明△𝐵𝐶𝐷是等边三角形，进而得到𝐶𝐷的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结
论．
【详解】（1）解：由题意得：𝐴𝐵= 10 × 4 = 40（海里），
∵∠𝑁𝐵𝐶= 60°，∠𝑁𝐴𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑁𝐵𝐶−∠𝑁𝐴𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑁𝐴𝐶，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵= 40（海里），
∴海岛𝐵到海岛𝐶的距离为40 海里；
（2）解：∵∠𝑁𝐵𝐶= 60°，𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 40，
∴△𝐵𝐶𝐷是等边三角形，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶= 40，
海岛𝐵派出的救援队用的时间为
40
25 × 60 = 96（分钟），
海岛𝐶派出的救援队用的时间为10 +
40
30 × 60 = 90（分钟），
∵90 < 96，
∴海岛𝐶派出的救援队先到达渔船处．
素养提升
1．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
垂足为点𝐷，连接𝐶𝐸，∠𝐵= 50°，则∠𝐵𝐶𝐸的度数为（）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【答案】A
【分析】连接𝐵𝐸，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出𝐸𝐵= 𝐸𝐶及∠𝐴𝐵𝐸的度数，进
而求解.
【详解】解：连接𝐵𝐸，
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∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 50°，∠𝐵𝐴𝐶= 180° −50° −50° = 80°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸= 40°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸
∵∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸= 50° −40° = 10°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 10°
2．（25-26 九年级下·湖北武汉·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐸, 𝐹分别为𝐴𝐵, 𝐵𝐶上的点，将△𝐵𝐸𝐹
沿𝐸𝐹折叠得△𝑃𝐸𝐹，连接𝐴𝑃, 𝐶𝑃，过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷．点𝐷恰好是𝐴𝐶的中点．若∠𝐴𝐶𝐵= 65°，𝐴𝑃平
分∠𝐵𝐴𝐶，则∠𝑃𝐹𝐶=（ ）
A．100°
B．90°
C．80°
D．60°
【答案】C
【分析】连接𝑃𝐵，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶于点𝐺，利用𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，得到∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐶= 25°，证明△
𝐴𝑃𝐷≌△𝐶𝑃𝐷后，求出∠𝑃𝐶𝐹，再证明△𝑃𝐺𝐵≌△𝑃𝐺𝐶，利用三角形外角得到∠𝑃𝐹𝐶．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 65°，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 65°，
∵𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，
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∴∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐵𝐶𝐴= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐶= 25°，
∵点𝐷恰好是𝐴𝐶的中点，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝑃𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝑃𝐷𝐶= 90°，
∵𝑃𝐷= 𝑃𝐷，
∴△𝐴𝑃𝐷≌△𝐶𝑃𝐷(SAS)，
∴∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝑃𝐴𝐷= 25°，
∴∠𝐹𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝐴−∠𝐷𝐶𝑃= 40°，
连接𝑃𝐵，延长𝐴𝑃，交𝐵𝐶于点𝐺，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐶, 𝐴𝐺= 𝐴𝐺，
∴△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐶𝐺(SAS)，
∴∠𝑃𝐺𝐵= ∠𝑃𝐺𝐶= 90°，𝐵𝐺= 𝐺𝐶，
∵𝑃𝐺= 𝑃𝐺，
∴△𝑃𝐺𝐵≌△𝑃𝐺𝐶(SAS)，
∴∠𝑃𝐵𝐺= ∠𝑃𝐶𝐺= 40°，
∵△𝐵𝐸𝐹沿𝐸𝐹折叠得△𝑃𝐸𝐹，
∴𝐵𝐹= 𝑃𝐹，
∴∠𝐵𝑃𝐹= ∠𝑃𝐵𝐹= 40°，
∴∠𝑃𝐹𝐶= ∠𝐵𝑃𝐹+ ∠𝑃𝐵𝐹= 80°．
3．（25-26 七年级下·上海金山·期末）如图，∠𝐵，∠𝐶的平分线相交于点𝐷，过点𝐷作𝐸𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵于点𝐸，
交𝐴𝐶于点𝐹，下列结论中：①𝐵𝐸= 𝐷𝐸；②𝐷𝐹= 𝐸𝐷；③∠𝐵𝐷𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐴；④△𝐴𝐸𝐹周长= 𝐴𝐵+
𝐴𝐶，正确的有（ ）
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A．①②
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】由△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵与∠𝐶的平分线交于点𝐷，𝐸𝐹∥𝐵𝐶，易证得△𝐵𝐸𝐷和△𝐶𝐹𝐷都是等腰三角形，继而
可得𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐹，又由△𝐴𝐸𝐹的周长为：𝐴𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶；即可得△
𝐴𝐸𝐹的周长等于𝐴𝐵与𝐴𝐶的和．
【详解】解：∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵，
∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵与∠𝐶的平分线交于点𝐷，
∴∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐸𝐷𝐵，∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐹𝐷𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸，𝐶𝐹= 𝐷𝐹，故①正确；
𝐷𝐹与𝐸𝐷不一定相等，故②错误；
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵和∠𝐶的平分线相交于点𝐷，
∴∠𝐷𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶+
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2 (180° −∠𝐴) = 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 180° −(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵) = 90° +
1
2 ∠𝐴，故③正确；
∴△𝐴𝐸𝐹的周长为：
𝐴𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐷+ 𝐷𝐹+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐵+ 𝐹𝐶+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，故④正确；
综上，正确的有①③④．
4．（25-26 七年级下·山东威海·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐼，𝐶𝐼分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹交于点𝐼，过点𝐼作
𝐷𝐼∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸．若𝐵𝐷= 8cm，𝐷𝐸= 3cm，则𝐶𝐸等于_______．
【答案】5
【分析】首先根据角平分线的定义可知∠𝐶𝐵𝐼= ∠𝐴𝐵𝐼，根据平行线的性质可知∠𝐷𝐼𝐵= ∠𝐶𝐵𝐼，从而可知
∠𝐴𝐵𝐼= ∠𝐷𝐼𝐵，根据等角对等边可证𝐷𝐵= 𝐷𝐼= 8cm，同理可证𝐸𝐼= 𝐶𝐸，再根据线段的和与差求出𝐶𝐸的
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长度．
【详解】解：∵𝐵𝐼平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐼= ∠𝐴𝐵𝐼，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐼𝐵= ∠𝐶𝐵𝐼，
∴∠𝐴𝐵𝐼= ∠𝐷𝐼𝐵，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐼= 8cm，
∵𝐶𝐼平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐼= ∠𝐹𝐶𝐼，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐼𝐶= ∠𝐹𝐶𝐼，
∴∠𝐴𝐶𝐼= ∠𝐸𝐼𝐶，
∴𝐶𝐸= 𝐸𝐼= 𝐷𝐼−𝐷𝐸= 8 −3 = 5cm．
5．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，D 是边𝐴𝐶的中点，𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，且
𝐴𝐸∥𝐵𝐷，𝐶𝐸交𝐵𝐷于点F．
(1)求∠𝐵𝐴𝐸的度数；
(2)求证：△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
【答案】(1)30°
(2)证明：∵𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐴= 90° −60° = 30° = ∠𝐵𝐴𝐸．
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐵，∠𝐴𝐸𝐵= 180° −30° −30° = 120°，∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷= 60°．
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐶，
∵𝐸𝐶= 𝐸𝐶，
∴△𝐸𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐴(SSS)，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐸𝐵= 60°，
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∴△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，根据平行线的性
质即可求出∠𝐵𝐴𝐸的度数；
（2）根据垂线的性质得到∠𝐸𝐵𝐶= 90°，可知∠𝐸𝐵𝐴= 30° = ∠𝐵𝐴𝐸，进而得到𝐸𝐴= 𝐸𝐵，∠𝐴𝐸𝐵= 120°，
∠𝐸𝐵𝐹= 60°，根据等边三角形的性质得到𝐵𝐶= 𝐴𝐶，证明△𝐸𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐴(SSS)，得到∠𝐵𝐸𝐶= 60°，即可
证明△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∵D 是边𝐴𝐶的中点，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°．
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷= 30°；
（2）略．
6．（25-26 七年级下·山东威海·期末）已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
(1)如图1，𝐵𝐷，𝐶𝐸分别为两腰上的中线．求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
(2)如图2，若点𝐷为𝐴𝐶上任意一点，试问，在𝐴𝐵上是否存在点𝐸，使𝐵𝐷= 𝐶𝐸？若存在，请添加一个条件
（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷、𝐶𝐸分别是两腰上的中线，
∴𝐴𝐷=
1
2 𝐴𝐶，𝐴𝐸=
1
2 𝐴𝐵，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中：
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴= ∠𝐴
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
(2)解：存在，添加条件：𝐴𝐸= 𝐴𝐷．
证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶, ∠𝐴= ∠𝐴，
小学
初中
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又∵𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中：
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴= ∠𝐴
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
【分析】（1）已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷、𝐶𝐸为两腰中线，可得𝐴𝐷= 𝐴𝐸，结合公共角∠𝐴，通过△𝐴𝐵𝐷≌△
𝐴𝐶𝐸(SAS)证得𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
（2）已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，添加𝐴𝐸= 𝐴𝐷后，结合公共顶角∠𝐴，可证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，由全等对应边相等得
𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
【详解】（1）略
（2）略
7．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 120°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐺，且
𝐴𝐷= 𝐴𝐵，𝐸，𝐹分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，且∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷是等边三角形；
(2)若𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 11，𝐶𝐹= 8，求𝐵𝐸的长．
【答案】(1)证明：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 120°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐺，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，
(2)𝐵𝐸的长为3
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知∠𝐵𝐴𝐷= 60°，又因为𝐴𝐷= 𝐴𝐵，则题目可证；
（2）由已知可证△𝐵𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(ASA)，则𝐵𝐸= 𝐴𝐹即可求解．
【详解】（1）略；
（2）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 11，𝐶𝐹= 8，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐶−𝐶𝐹= 3，
由（1）可知：△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，∠𝐷𝐴𝐹= 60°，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷，∠𝐷𝐵𝐸= 60°，
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∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，
在△𝐵𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐹中，
{
∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹
𝐵𝐷= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(ASA)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐹= 3，
即𝐵𝐸的长为3．
迁移创新
1．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：
如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 5.4，𝐴𝐷= 3，若𝐴𝐶边的长度为奇数，求𝐴𝐶的长．小
明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长𝐴𝐷至点E，使𝐴𝐷= 𝐷𝐸，连接𝐵𝐸，由已知和作图
能得到△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶，所以𝐴𝐶= 𝐵𝐸．
【思考发现】
(1)如图①，△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)请根据小明的方法思考，直接写出𝐴𝐶的长可能为______（写一个值即可）；
【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分
散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中．
(3)如图②，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐺交𝐴𝐶于G，交𝐴𝐷于F，𝐴𝐶= 𝐵𝐹．探究∠𝐴𝐹𝐺与∠𝐺𝐴𝐹的关系，并说
明理由．
【答案】(1)B
(2)1（或3，5，7，9，11）
(3)解：∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐺𝐴𝐹，
理由：如图，延长𝐴𝐷至点E，使𝐴𝐷= 𝐷𝐸，连接𝐵𝐸，
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同（1），可证△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐹，
∴∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸，
∵∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐺，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐺𝐴𝐹．
【分析】（1）由题意知𝐴𝐷= 𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵，𝐶𝐷= 𝐵𝐷，可得△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)；
（2）由△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶得𝐵𝐸= 𝐶𝐴，在△𝐴𝐵𝐸中，根据三角形三边关系可得𝐴𝐸−𝐴𝐵< 𝐵𝐸< 𝐴𝐸+ 𝐴𝐵，
进而即可求解；
（3）倍长𝐴𝐷至E，连 𝐵𝐸，同（1），可证△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)， 推出𝐵𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐸，结合
𝐴𝐶= 𝐵𝐹，可得𝐵𝐸= 𝐵𝐹，由等边对等角可得∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐺，等量代换后可得∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐺𝐴𝐹．
【详解】（1）解：在△𝐸𝐷𝐵和△𝐴𝐷𝐶中，{
𝐴𝐷= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐷𝐵
𝐶𝐷= 𝐵𝐷
，
∴ △𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，
∴△𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶的理由是SAS；
（2）解：∵ △𝐸𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶，
∴ 𝐵𝐸= 𝐶𝐴，
∵在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵= 5.4，𝐴𝐸= 2𝐴𝐷= 6，𝐴𝐸−𝐴𝐵< 𝐵𝐸< 𝐴𝐸+ 𝐴𝐵，
∴6 −5.4 < 𝐵𝐸< 6 + 5.4， 即0.6 < 𝐵𝐸< 11.4，
∵𝐴𝐶为奇数，𝐵𝐸= 𝐶𝐴，
∴𝐴𝐶的长可以为1，3，5，7，9，11 中之一；
（3）略
2．（25-26 七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究
在折叠中探索几何元素的关系
材料准备
定点𝑃在△𝐴𝐵𝐶(∠𝐵< ∠𝐶)纸片内的位置如图1 所示．
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【垂直可折】
操作要求：按如图2 所示方法折叠，可以得到折痕𝑀𝑁与三角形底边𝐵𝐶垂直．
操作说明：①过点𝑃折叠纸片，使得点𝐵落在𝐵𝐶上的𝐵′处，展平纸片，得到折痕𝑀𝑁．
(1)任务一：说明𝑀𝑁⊥𝐵𝐶．
【平行可折】
操作要求：在图2 中折叠，使得折痕经过点P 且平行于𝐵𝐶．
(2)任务二：在图3 中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明．
【等角可折】
操作要求：如图4，过点𝑃折出折痕𝑙，使得𝑙与𝐴𝐵、𝐴𝐶分别相交于点𝐷，𝐸，且∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶．
(3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明．
【答案】(1)
证明：由折叠可知∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝐵′𝑁𝑀
∵∠𝐵𝑁𝑀+ ∠𝐵′𝑁𝑀= 180°，
∴∠𝐵𝑁𝑀= 90°，
∴𝑀𝑁⊥𝐵𝐶．
(2)
解：
①过点𝑃折叠纸片，使得点𝐵落在𝐵𝐶上的𝐵′处，展平纸片，得到折痕𝑀𝑁．
②过点𝑃再次折叠纸片，使得点𝑁落在射线𝑃𝑀上．
③展平纸片，得到折痕𝑎．
(3)
解：
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①过点𝐴折叠纸片，使得点𝐶落在𝐴𝐵上的𝐶′处，展平纸片，得到折痕𝐴𝐹．
②过点𝑃再次折叠纸片，使得点𝐶′落在𝐶′𝐹的𝐶″处，展平纸片，得到折痕𝑃𝐺．
③过点𝑃再次折叠纸片，使得点𝐺落在射线𝐺𝑃上．展平纸片，得到折痕𝐷𝐸, 𝐷𝐸即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
