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2.4 等腰三角形的判定定理
题型一：格点中画等腰三角形
1．（24-25 七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个
4 4
方格纸中，找出格点P 使
MNP
△
为等腰三角形，那么满足条件的格点P 的个数是（ ）
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2 /
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（24-25 八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B 两点都在小方格的顶点上，如果点C
也是图中小方格的顶点，且
ABC
是等腰三角形，那么点C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B
是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使
ABC
为等腰直角三角形，那么点C 的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点A 、B 均在格点（小正方形的顶点）上，连接AB ，
以AB 为一边，在格点上找一点C ，使得
ABC
为等腰三角形的点C 有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（24-25 八年级上·福建福州·期末）如图，A，B，C，D，E 五点都在小正方形网格的格点上，则下列各
组点能构成等腰三角形的是（ ）
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3 /
A．A，B，C
B．B，C，D
C．A，D，E
D．A，C，E
6．（24-25 八年级上·云南昆明·期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B 在格点
上，点C 也在格点上，若
ABC
为等腰三角形，则图中符合条件的点C 有（ ）
A．4 个
B．6 个
C．8 个
D．10 个
7．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，点A ，B 在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得ABC
是等腰三角形，则满足条件的格点C 共有( )
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 和B 是
两个格点，如果C 也是图中的格点，且使得
ABC
为等腰三角形，则点C 的个数为 ．
题型二：找出图中的等腰三角形
1．（23-24 八年级上·全国·单元测试）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
72
B
=
，CD平分
ACB
交AB 于
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点D ，DE
AC
∥
交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）
A．3个
B．4 个
C．5个
D．6 个
2．（24-25 八年级上·江苏南京·期中）如图，已知
ABC
中，
6
AB =
，
10
AC =
，
14
BC =
，若过
ABC
的
顶点的一条直线将
ABC
分割成两个三角形，使其中有一个边长为6 的等腰三角形，则这样的直线最多可
画（ ）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
3．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2
B．3
C．5
D．4
4．（23-24 八年级下·四川成都·期末）如图，在
ABC
中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线
交于点P ，连接PA PB
PC
、
、
，则图中有 个等腰三角形．
5．（22-23 八年级上·河南南阳·期末）如图，ABC
中，
72
ABC
=
，
36
A
=
，用尺规作图作出射线BD
交AC 于点D，则图中等腰三角形共有 个．
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题型三：利用等腰三角形中等边对等角求线段长度
1．（2025·湖南郴州·二模）如图，
10
AB =
，
8
BC = ，
A
ACD
=
，则BCD
的周长是（ ）
A．18
B．20
C．26
D．28
2．
（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在
ABC
中，
,
ABC
ACB
的平分线交于点D，过点D作EF
BC
∥
，
分别交AB
AC
、
于点E、F．若
12,
8
AB
AC
=
=
，则
AEF
△
的周长是（ ）
A．15
B．18
C．20
D．22
3．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，
AOB
的边OA、OB 均为平面反光镜，一束光线从OB 上的C
点射出，经OA上的D 点反射后，反射光线DE 恰好与OB 平行，已知
ADE
ODC
=
，
10
OC =
，则光线CD
的长度是（ ）
A．8
B．10
C．15
D．20
4．（24-25 八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，BD是
ABC
的角平分线，过点D 作DE
AB
∥
交BC 于
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点E ，若
4
CE =
，
3
DE = ，则边BC 的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．（23-24 八年级上·广西河池·期中）如图，ABC
中，BO、CO分别平分
ABC
、
ACB
，OM
AB
∥
，
ON
AC
∥
，
10cm
BC =
，则OMN
的周长= ．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）在
ABC
中，
B
C
=
，
2
AB =
，则AC 的长度为 ．
7．
（24-25 八年级上·上海·期中）如图，已知AB
CD
∥
，BE 平分
ABC
，点E 为AD中点，如果
3
AB = ，
7
BC =
，
那么CD = ．
8．（2024 八年级上·全国·专题练习）（23-24 七年级下·山东烟台·期末）如图，A
EGF
=
，F 为BE ，CG
的中点，
4
DB =
，
8
DE = ，则AD的长为 ．
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题型四：判断是否为等腰三角形
1．（24-25 八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定
ABC
为等腰三角形的是（ ）
A．
:
:
1:1:3
A
B
C
=
B．
:
:
2:2:3
AB BC CA =
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．2 A
B
C
= +
2．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）下列条件中，不能判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
3
AB = ，
3
AC =
，
4
BC =
B．
:
:
3: 4: 4
A
B
C
=
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．
:
:
4:5:6
AB AC BC =
3．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）在
ABC
中，
90
45
C
A
=
=
，
，则对
ABC
的形状判断最准确的
一项是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
4．（24-25 八年级上·江苏南通·阶段练习）下列条件中，不能判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
3
3
4
a
b
c
=
=
=
，
，
B．: :
2:2:4
a b c =
C．
50
80
B
C
=
=
，
D．
:
:
1:1:2
A
B
C
=
5．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定
ABC
是等腰三角形的是（ ）
A．
3
a = ，
3
b =
，
4
c =
B．: :
2:3:4
a b c =
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．
:
:
1:1:2
A
B
C
=
6．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在
ABC
中，
A
、
B
、
C
的对边分别为a 、b 、c ，
给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（ ）
A．
:
:
1:1:3
A
B
C
=
B．: :
2: 2:1
=
a b c
C．
50
B
=
，
80
C
=
D．2 A
B
C
= +
题型五：等腰三角形中尺规作图（选填题）
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知在
ABC
中，AB
BC
，用尺规在BC 边上确定一点D，使得
AD CD
BC
+
=
，则下列作图中，一定符合要求的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，已知直线m
n
，线段AC 分别与直线m，n 相交于点B 、点C ，
以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若
70
A
=
，则的度数为（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60
3．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l 及直线l 外一点P，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作
法中错误
．．的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段
的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（ ）
A．I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③
B．I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→②
C．I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→①
D．I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→②
5．（24-25 九年级上·山东德州·期中）已知锐角
40
AOB
=
，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，
以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C．②以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，GH 与OB 交于
点E，连接DC 并延长，使DC 的延长线交GH 于点P，连接DE ，则
POC
的度数为 ．
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题型六：尺规作图----作等腰三角形（解答题）
1．（24-25 七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，
AOB
，求作：等腰
COD
△
，使得点C 、D 分别在OA、
OB 上，且底边CD上的高长为3a ．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在
ABC
中，
40
A
=
，点D 在边C 上．请用尺规作图法，在
ABC
内求作一点F ，使
70
CFD
=
．（保留作图痕迹，不写作法）
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在钝角
ABC
中，
30
C
=
，请用尺规作图法，求作一个等边BDE
，
使得顶点D，E 均在
ABC
的边上．（作出符合题意的一个等边三角形即可．保留作图痕迹，不写作法）
4．（2025 九年级下·江苏南京·专题练习）如图，已知
，线段a ．用直尺和圆规按下列要求作图．（保
留作图痕迹，写出必要的文字说明）
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(1)作出一个等腰三角形ABC ，使其底角
=
，底边长
a
=
；
(2)作出一个等腰三角形DEF ，使其底角
=
，底边上的高
a
=
．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知线段a 和b ．求作以a 的长为底，b 的长为腰的等腰三角形，并
画出边a 上的高h．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
6．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知角，线段a ．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，
写出必要的文字说明）
(1)作出一个等腰三角形ABC ，使其底角
=
，底边长
a
=
；
(2)作出一个等腰三角形DEF ，使其底角
=
，底边上的高
a
=
．（用两种不同的方法）
7．（2025·陕西咸阳·一模）如图，A 为直线l 外一点，点B ，C 在直线l 上，已知
ABC
为锐角．请用尺规
作图法，在直线l 上求作一点D ，使得
2
ADB
ABC
=
，（保留作图痕迹，不写作法）
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8．（24-25 八年级上·山东滨州·期末）尺规作图：
(1)如图，电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B 的距离必须
相等，到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点．
(2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
9．
（2025·陕西西安·二模）如图，在四边形ABCD中，点E 是BC 边上的点，请用尺规作图法作一个等腰
BEP
△
，
点P 在四边形ABCD内部，且点P 到边AB 、BC 的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保
留作图痕迹，不写作法）
题型七：根据等边角对等边证明等腰三角形
1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，F 是CB 的延长线上一点，连接DF 交AB
于点E，
ADF
DFC
=
，点G 在边BC 上，连接DG ，DF 平分
ADG
．求证：
DGF
△
是等腰三角形．
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2．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线AB 是ACD
的外角平分线，且
AB
CD
∥
．请判断该卡通形象头部ACD
的形状，并说明理由．
3．
（24-25 八年级下·河南焦作·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，AC
BC
=
，
90
ACB
=
，D 为BC 的中点，DE
AB
⊥
，
垂足为E，过点B 作BF
AC
∥
交DE 的延长线于点F，连接CF ．
(1)求证：AD
CF
⊥
；
(2)连接AF ，试判断
ACF
△
的形状，并说明理由．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，AB
CD
∥
，
ACD
的平分线交AB 于点E ．求证：
ACE
△
是
等腰三角形．
5．（24-25 八年级下·陕西榆林·期中）如图，在
ABD
△
和
DCA
△
中，AB
DC
=
，AC 交BD于点O，且
AC
DB
=
．求证：
AOD
△
是等腰三角形．
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13 /
6．（24-25 八年级下·广东清远·期中）如图，在
ABC
中，
BAC
的平分线交BC 于点D，过点D 作DE
AB
∥
交AC 于点E．
(1)求证：
AED
△
是等腰三角形；
(2)若
110
C
=
，
30
B
=
，求
AED
的度数．
7．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，ADB
ADC
≌
，E 是边AC 上一点，连接DE ．若AB
DE
∥
，
求证：
ADE
是等腰三角形．
8．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，
36
A
=
，CD平分
ACB
，交
AB 于点D ，求证：CDB
是等腰三角形．
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9．（24-25 八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，ABC
是等边三角形，BD
AC
⊥
，点E 在BC 的延长线上，
且
30
EDC
=
．求证：BDE
是等腰三角形．
10．（24-25 九年级下·广东茂名·期中）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，BE 是角平分线，AD是高，BE 、
AD相交于点F ．求证：AF
AE
=
．
11．（2025·四川自贡·中考真题）如图，
ABE
BAF
=
，CE
CF
=
．求证：AE
BF
=
．
12．（23-24 八年级上·广东汕头·期中）已知：
ABC
中，
ABC
ACB
、
的角平分线相交于点D，过D 作
EF
BC
∥
交AB 于点E，交AC 于点F．求证：BE
CF
EF
+
=
．
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15 /
13．（24-25 七年级下·山东威海·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，分别以AC ，AB 为边作两个等
边
ACE
△
和
ABF
△
，连接FE并延长交BC 于点D．
(1)求
AEF
的度数；
(2)求证：DC
DE
=
．
14．
（2025 九年级下·海南·专题练习）如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上，
,
AF
CD AB
DE
A
D
=
=
=
,
，
线段BC 与线段EF 交于点H ．
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
(2)求证：FH
CH
=
．
题型八：等腰三角形的性质与判定求边长
1．（24-25 八年级上·湖南湘西·期中）如图，在ABC
中，
CAB
的角平分线AD与
CBA
的角平分线BD交
于点D，过D 点作AB 的平行线分别交AC 、BC 于点M 、N ，若ABC
的周长为25
9
AB =
、
，则CMN
的
周长为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
2．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）如图，在
ABC
中，
45 ,
ABC
F
=
是高AD和BE 的交点，
4
CD =
，
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16 /
则线段DF 的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
3．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知等腰
ABC
的一腰AB 长为4 厘米，过底边BC 上任意一
点D 作AC 、AB 的平行线，分别交AB 、AC 于点E、F，则四边形AEDF 的周长为（ ）
A．4 厘米
B．8 厘米
C．12 厘米
D．16 厘米
4．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在
ABC
中，
6
AB
AC
=
=
，点E，F，D 分别在边AC ，AB ，BC 上，EF
∥AB ，DF ∥AC ，则四边形AEFD的周长是（ ）
A．6
B．15
C．18
D．12
5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，ABC
和
ADE
均为等腰直角三角形，其中点, ,
B C E 在同一直线上，
6,
4
BE
BC
=
=
，连接BD，则BD的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．（2025 九年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形ABC 中，过点B，A 作BD
AC
⊥
，AE
BC
⊥
，BD
AE
，
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交于点F，若
45
5
2
BAC
AD
CD
=
=
=
，
，
，则线段BF 的长度为（ ）
A．2
B．3 2
2
−
C．3
D．5
2
7．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）如图，在
ABC
中，CD平分
BCA
，点E 是BA的中点，过点E 作
EG
D
C
∥
，交BC 的延长线于点G ，若
1
1
4
CF
AF
=
= ，则BC = ．
8．（24-25 八年级下·宁夏银川·期中）如图，在
ABC
中，
5
AB =
，
4
AC =
，
8
BC = ，AI 平分
BAC
，CI
平分
ACB
，将
BAC
平移使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为 ．
9．
（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，AD
BC
∥
，E 为DC 中点且AE
BE
⊥
，若
41
DAE
=
，则
EBC
= ．
10．（24-25 七年级下·上海普陀·期末）在
ABC
中，D 是边BC 上一点，AD平分
BAC
BD
CD
=
，
，在不
添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使
ABC
为等边三角形，那么可以添加的条件
是 ．（只需写出一个）
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题型九：等腰三角形的性质与判定求角度
1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，BE平分
ABC
分别交AD、AC 于点O、E，若
26
ABE
=
，则
BAD
的度数为（ ）
A．52
B．50
C．40
D．38
2．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在
ABC
中，
72
，
，
AB
AC
B
AC
=
=
的垂直平分线交AB 于
E
D
，
为垂足，连接EC ，若
BCE
的度数为（ ）
A．36
B．72
C．48
D．30
3．（24-25 七年级下·山东威海·期中）如图，在
ABC
中，AI 平分
BAC
，BI 平分
ABC
，点O 是AC
BC
、
的垂直平分线的交点，连接AO
BO
、
，若
AOB
=
，则
AIB
的大小为（ ）
A．
1
90
2
+
B．
1
90
4
+
C．
1
90
4
−
D．
1
180
2
+
4．（2025·安徽阜阳·三模）如图，直线m
n
∥，把一块含45角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，
点A 在m 上，点B 在n 上，AC 与n 相交于点D ，以A，B 为圆心，大于1
2 AB 为半径画弧，两弧相交于点P，
Q，作直线PQ 交直线m 于点E ，连接BE．若
1
= ，则
CBD
=（ ）
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19 /
A．90
−
B．
1
45
2
−
C．2
135
−
D．1
30
2
−
5．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，在
ABC
中，AB
BC
=
，点D 是边BC 上一点，连接AD，线段AD
的垂直平分线交AB 于点E，交AD于点F，连接DE ，若
a
CAD
=
，则
BDE
=（ ）
A．30
+
B．
1
45
2
+
C．2
D．90
−
6．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰
ABC
中，AB
AC
=
，CE 是
ABC
的角平分线．若
40
BAC
=
，则
BEC
的度数为（ ）
A．70
B．75
C．105
D．125
题型十：等腰三角形的性质与判定综合
1．（24-25 七年级下·四川巴中·期末）如图，C 是线段AB 的中点，
,
A
B
D
E
=
=
．
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20 /
(1)求证：ACE
BCD
≌
；
(2)请判断线段OD 与OE 的数量关系，并说明理由；
(3)分别连接CO，GF ，求证CO垂直平分GF ．
2．（24-25 八年级上·湖南湘西·期中）如图，在
ABC
中，1
2
36
= =
，
4
72
=
．
(1)求证：
ABC
是等腰三角形；
(2)若
ABD
△
的周长比
ADC
△
的周长大9，求AC 的长．
3．（24-25 八年级下·辽宁阜新·期末）在
ABC
中，AB
CB
=
，
90
ABC
=
，点D 是AC 上一点，AD
AB
=
，
点E 是AB 上一点，AE
CD
=
．
(1)如图1，求证：BDE
是等腰三角形；
(2)如图2，延长ED、BC 交于点G，求证：点C 在DG 的垂直平分线上．
4．（24-25 八年级上·广东东莞·期中）如图所示，在
ABC
中，AB
AC
=
，DE 是边AB 的垂直平分线，交AB
于E ，交AC 于D，连接BD．
(1)若
50
A
=
，求
DBC
的度数．
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21 /
(2)若
BCD
△
的周长为18cm，
ABC
的周长为30cm，求BE 的长．
5．（2025·河北·中考真题）如图．四边形ABCD的对角线AC ，BD相交于点E ，AC
AD
=
，ACB
ADB
，
点F 在ED上，
BAF
EAD
=
．
(1)求证：ABC
AFD
≌
；
(2)若BE
FE
=
，求证：AC
BD
⊥
．
6．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期中）如图1，在
ABC
中，AD是它的角平分线．
(1)求证：
:
:
ABD
ACD
S
S
AB AC
=
；
(2)如图2，在
ABC
中，AD是它的角平分线，且
2
C
B
= ，请同学们探究线段AB 、AC 、CD三者的数
量关系，并证明．
7．（24-25 七年级下·上海青浦·期中）已知：如图
ABC
DCB
=
，BD
AC
、
分别平分
ABC
，
DCB
．
(1)求证：
ABO
DCO
△
≌△
；
(2)求证：AD
BC
∥
．
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22 /
8．（24-25 八年级下·四川达州·期中）如图，CD为Rt
ABC
△
斜边上的高，
BAC
的平分线分别交CD，BC
于点E、F，FG
AB
⊥
，垂足为点G．
(1)求证：CE
FG
=
；
(2)若
12
AC =
，
15
AB =
，
4
CE =
，求
ABC
的面积．
题型十一：等边三角形的判定
1．（24-25 八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60，则这个三角形一
定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．不能确定
2．（24-25 八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定
ABC
为等边三角形的是（ ）
A．
60
A
=
B．
120
B
C
+
=
C．
B
C
=
D．
60 ,
B
AB
AC
=
=
3．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断
ABC
是等边三角形的是（ ）
A．
A
B
C
= =
B．
,
AB
BC
A
C
=
=
C．
,
60
AB
BC
B
=
=
D．
,
AB
BC AC
BC
=
=
4．（24-25 七年级下·全国·课后作业）若
ABC
三条边的长分别为m，n，p，且
(
)
2
0
m
n
n
p
−
+
−
=
，则这
个三角形为（ ）
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
5．（23-24 八年级上·北京西城·期中）ABC
的三边长分别为a ，b ，c ，若满足(
)
(
)
2
2
0
a
b
b
c
c
a
−
+
−
+
−
=
，
则
ABC
的形状为（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有30角的直角三角形
D．钝角三角形
6．（2024 八年级上·浙江·专题练习）如图，在Rt ABC
中，
90
C
=
，
30
A
=
，点P 从点A 出发，沿射
线AB 方向运动，在运动开始后，PCB
形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
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23 /
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等边三角形→直角三角形→等腰三角形
C．等边三角形→等腰三角形→直角三角形
D．等腰三角形→直角三角形→等边三角形
7．（24-25 八年级下·四川成都·期中）已知a
b
c
，，为
ABC
三边的长，若
(
)
2
2
2
2
2
b
c
a
c a
b
+
+
=
+
，则
ABC
的形状为 ．
题型十二：等边三角形的性质与判定综合
1．（辽宁省本溪市2024-2025 学年八年级下学期7 月期末数学试题）如图，
ABC
是等边三角形，点D 在
边BC 上，点E 在AD的延长线上，连接BE ，EC ，且
BAE
BCE
=
．
(1)求证：
60
AEC
=
；
(2)求证：BE
CE
AE
+
=
．
2．（24-25 八年级上·福建莆田·期中）如图，
ABD
△
与CDE
都是等边三角形，若BE 与AC 相交于点F ，BD
与AC 相交与点G ，BE 与CD相交于点H ．
(1)求证：AC
BE
=
；
(2)求
DHG
的度数．
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24 /
3．（24-25 八年级下·山东枣庄·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，AD是BC 边上的中
线，分别以点C ，D为圆心，大于1
2CD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN 分别交AC ，BC
于点F ，E ，连接DF ．
(1)
ADF
△
是等边三角形吗？为什么？
(2)若EF 的长为2，求AB 的长．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，
40
B
=
，
20
C
=
，AD平分
BAC
，交BC
于点D，过点D 作DE
AB
∥
，交AC 于点E ．
(1)求
ADC
的度数．
(2)若
ADC
△
与
EDC
△
的周长分别为11和9，求DE 的长．
5．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D、E 分别在边BC 、AC 上，DE
AB
∥
，
过点E 作EF
DE
⊥
，交BC 的延长线于点F．
(1)求
F
的度数；
(2)若
2
CD = ，求DE 的长．
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25 /
6．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，在
ABC
中，
ABC
ACB
BD
AC
=
⊥
，
于点D，E 是BC 上一
点，连接AE ，与BD相交于点O，连接OC
DE
，
，且OB
OC
=
．
(1)求证：AE 垂直平分BC
(2)若
60
BAC
=
，求证：CDE
是等边三角形．
7．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，AD
BC
⊥
，垂足为G ，
且AD
AB
=
，
4
AC =
，
60
EDF
=
，
EDF
的两边分别交AB ，AC 于点E ，F ，
1
AF = ．
(1)求证：
ABD
△
是等边三角形．
(2)求AE 的长．
8．（2025·福建·中考真题）如图，
ABC
是等边三角形，D 是AB 的中点，CE
BC
⊥
，垂足为C，EF 是由
CD沿CE 方向平移得到的．已知EF 过点A，BE 交CD于点G．
(1)求
DCE
的大小；
(2)求证：CEG
是等边三角形．
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26 /
9．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如图，ABC
和CDE
是等边三角形，连接BD
AE
、
交于点P，BD
AC
、
交于点Q．点F 为线段BD上一点，且FP
AP
=
．
求证：
(1) BCD
ACE
≌
；
(2) AFP
是等边三角形．
题型一：等腰三角形判定定理中多结论问题
1．（24-25 七年级下·山东东营·期末）已知：如图，ABC
中，点D 是AB 边上一点，
=90
BDC
，BD
CD
=
，
BE平分
ABC
，且BE
AC
⊥
于E ，与CD相交于点F ，若DH
BC
⊥
于H ，交BE于点G ．有以下结论：
①BF
AC
=
；②
30
ECF
=
；③若连接AF ，则AF
DH
∥
；④点G 是BE的中点；⑤ABE
与
CBE
△
成
轴对称．以上五个结论中正确的是（ ）
A．①③⑤
B．①④⑤
C．①②③⑤
D．①③④⑤
2．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分
别作等边
ABC
和等边ECD
，AD与BE 交于点O，AD与BC 交于点P ，BE 与CD交于点Q ，连接PQ ，
则有以下五个结论：①AD
BE
=
；②PQ
AE
∥
；③AP
BQ
=
；④DE
DP
=
；⑤
60
AOB
=
．其中正确
的有（ ）
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27 /
A．①③⑤
B．①②⑤
C．①②③⑤
D．①②③④⑤
3．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，
60
ABC
=
，AD平分
BAC
交BC 于点D ，CE
平分
ACB
交AB 于点E ，AD
CE
，
交于点F ．则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A．
120
AFC
=
B．若
2
AB
AE
=
，则CE
AB
⊥
C．
ABD
△
的面积
ADC
=
的面积
D．CD
AE
AC
+
=
4．（24-25 八年级上·广东惠州·期中）如图，
ABC
中，
45 ,
ABC
CD
AB
=
⊥
于D，BE 平分
ABC
，且
BE
AC
⊥
于点E，与CD相交于点F，DH
BC
⊥
于H，交BE 于G，有下列结论：①BH
DH
=
；②BD
CD
=
；
③AD
CF
BD
+
=
；④
1
2
CE
BF
=
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
5．（24-25 八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边
ABC
中，D 是边AC 上一点，连接BD，将
BCD
△
绕
点B 逆时针旋转60°，得到BAE
，连接ED．若
5
BC = ，
4
BD =
，则下列结论①AE
BC
∥
；②
ADE
的周
长是9；③BDE
是等边三角形；④
ADE
BDC
=
，正确的是（ ）
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28 /
A．①③
B．①②③
C．②③
D．①②③④
6．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分
别作等边
ABC
和等边CDE
AD
，
与BE 交于点O
AD
，
与BC 交于点P
BE
，
与CD交于点Q ，连接PQ
OC
，
，
有如下四个结论：①AD
BE
=
，②PQ
OC
=
，③
60
AOB
=
，④OC 平分
AOE
，⑤CO平分
BCD
，
其中结论正确的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
7．（24-25 七年级下·河南驻马店·期末）如图，在ABC
中，
45
ABC
=
，BE平分
ABC
，BE
AC
⊥
于点
E，CD
AB
⊥
于点D，BE交CD于点F，H 是边BC 的中点，连接DH 与BE交于点G．现有下列结论：①
2AE
BF
=
；②
67.5
A
=
；③是DGF
等腰三角形；④四边形ADGE 和四边形GHCE 面积相等．其中正
确的结论有（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（24-25 八年级下·四川成都·期中）如图，在
ABC
中，D 为
ABC
内一点，CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，
垂足为D ，交AC 于点E ，
A
ABE
=
．若
6
AC =
，
4
BC =
，则BD的长为（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
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29 /
题型二：根据等边对等角求边长
1．
（24-25 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，点D 是
ABC
内一点，连接AD、BD、CD，其中BD
CD
⊥
，
BD平分
ABC
，若
10cm
AB =
，
6cm
BC =
，
2
BCD
DCA
=
，则DC = （ ）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．3cm
2．（24-25 八年级上·云南玉溪·期中）如图，BN 是
MBC
的角平分线，P 为BN 上一点，PA
BC
∥
，
PD
BC
⊥
．若
4
PA =
，
3
PD =
，则ABP
的面积为（ ）
A．24
B．12
C．7
D．6
3．
（23-24 七年级下·山东济南·期末）如图，在
ABC
中，BE ，CE 分别是
ABC
和
ACB
的平分线，ED
AC
∥
，
交BC 于点D，EF
AB
⊥
于点F．若
35
BC =
，
5
EF = ，
13
DE =
，则
EBD
△
的面积为（ ）
A．50
B．55
C．60
D．65
4．（24-25 八年级上·吉林松原·期末）如图，D 为
ABC
内一点，CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，垂足为D，
交AC 于点E，若
A
ABE
=
，
1
BD = ，
3
BC = ，则AC 的长为 ．
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30 /
5．（23-24 八年级上·浙江宁波·期中）如图，D 为
ABC
内一点，CD平分
ACB
，BD
CD
⊥
，A
ABD
=
，
若
10
AC =
，
6
BC =
，则BD的长为 ．
6．（24-25 八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在
ABC
中，DE
BC
∥
，
ABC
和
ACB
的平分线分别交DE
于点G ，F ，BG ，CF 相交于点O．
（1）若
50
A
=
，则
BOC
的度数为 ；
（2）若
5
FG =
，
8
ED =
，则EB
DC
+
的值为 ．
7．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，在
ABC
中，AD为BC 边上的中线，E 为AD上一点，连接BE
并延长交AC 于点F ，若
FAE
FEA
=
，
5
BE =
，
1.8
AF =
，则CF 的长为 ．
题型三：等腰三角形的个数
1．（24-25 八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，
ABC
中
70
B
=
，
80
C
=
，在直线BA上找一
点D ，使ACD
或
BCD
△
为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）
A．9 个
B．8 个
C．7 个
D．6 个
2．（23-24 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
A
=
．在直线BC 或AC
上取一点P，使得PAB
是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）处．
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31 /
A．6
B．7
C．8
D．3
3．（23-24 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，
75
ABC
=
，
30
BAC
=
．点P 为直线BC 上
一动点，若点P 与
ABC
三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P 的位置有（ ）
A．4 个
B．6 个
C．8个
D．9个
4．（23-24 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知
(
)
4,1
A
，在坐标轴上确定一点P
使得AOP
为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（ ）
A．4 个
B．6 个
C．8 个
D．7 个
5．（24-25 八年级上·全国·单元测试）已知(
)
0,2
A
、
(
)
4,0
B
，点C 在x 轴上，若
ABC
是等腰三角形，则
满足这样条件的C 有 个．
6．
（23-24 八年级上·吉林白城·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
(
)
2,2
P
，点Q 在坐标轴上，PQO
是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有 个．
7．（24-25 八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知
(
)
1,1
A
，在x 轴上确定点
P ，使AOP
为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 个．
题型四：等腰三角形的性质与判定中最值问题
1．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
60
BAC
=
，BC 边上的高
7
AD =
，
E 是AD边上的一个动点，F 是边AB 的中点，则EB
EF
+
的最小值是（ ）
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32 /
A．3.5
B．5
C．7
D．10
2．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，点E ，F 分别为AB ，BC
上的两个定点且
3
BE
CF
=
= ，
2
DE =
，在CD上有一动点M 使ME
MF
+
最短，则ME
MF
+
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．
（24-25 八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知
AOB
的大小为，P 是
AOB
内部的一个定点，且
8
OP = ，
点E，F 分别是OA、OB 上的动点，若PEF
周长的最小值等于8，则=（ ）
A．30
B．45
C．60
D．90
4．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）已知，点P 是等边三角形ABC 的边BC 上的一点（点P 与点C 、点B
不重合），则在以线段AP ，BP，CP 为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ）
A．90
B．100
C．110
D．120
5．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）如图，点P 是
AOB
内任意一点，
30
AOB
=
，
8
OP = ，点M 和点N
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33 /
分别是射线OA和射线OB 上的动点，则PMN
周长的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
6．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为45
8 的锐角
ABC
中，
5
2
AB =
，
30
C
=
，D 是
ABC
内部一点，E，F 分别是边BC
AC
，
上的动点，连接AD
BD
DE
DF
EF
，
，
，
，
．若
ABD
△
的面积为2，则DEF
周长的最小值为 ．
7．（24-25 七年级下·山东济南·阶段练习）如图，点C、D 在线段AB 的同侧，
4,
12,
9,
CA
AB
BD
M
=
=
=
是
AB 的中点，
120
CMD
=
，则CD长的最大值是 ．
题型五：等腰三角形的性质与判定中需分情况讨论
1．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）已知BD是等腰
ABC
一腰上的高，且
40
ABD
=
，则
ABC
三内
角度数为 ．
2．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）在
ABC
中，AB
AC
=
，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交直线AC
于点E，
60
AEB
=
，那么
EBC
等于 ．
3．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在
ABC
中，AC 与AB 边上的垂直平分线DM 、EN 分别交BC
于点D、点E ．连接DA、EA，
60
DAE
=
，则
BAC
= ．
4．（19-20 八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知点P 是射线ON 上的一动点，若
40
O
=
，当
A
= 时，
AOP
为等腰三角形．
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34 /
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在
ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D 在BC 边上，把
ABD
△
沿AD
折叠后，使得点B 落在点E 处，连接BE 、CE ，若
20
DBE
=
，则
DCE
= ．
8．（24-25 九年级下·河南驻马店·阶段练习）在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
4
AB =
，P 为BC 上不与端点重合
的一动点，将ABP
沿直线AP 翻折得到
ADP
△
，连接CD，若
CDP
△
是以PC 为直角边的等腰直角三角形，
则BC 的长等于 ．
9．（24-25 九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）
ABC
中，
60
BAC
=
，
90
ACB
=
，点D 在直线AB 上，
ACD
是等腰三角形，则
BCD
的度数为 ．
10．（24-25 八年级上·江西上饶·期末）已知
ABC
是以AB 为腰的等腰三角形，D 为线段BC 上一点，且
90
ADC
=
，若AD恰好为
ABC
一边的1
2 ，则
C
的大小为 ．
题型六：等腰三角形的性质与判定解答题压轴
1．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）已知
ABC
是等边三角形，点D 是AB 所在直线左侧的一动点，且在
BC 边的上方．
(1)如图1，CD平分
ACB
，连接
90
AD BD
DAC
=
,
,
．求证：DB
BC
⊥
；
(2)如图2，若
BAD
BCD
=
，点G 是BC 延长线上一点，连接DG 交AC 于点E ．
①求
BDC
的度数；
②若点E 为AC 的中点，
ABD
G
=
，探究线段EG DE AD
,
,
之间的数量关系．
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2．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美
【初步探究】
在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：“折叠中隐含着许多轴对称问题．” 为了深入理解，小明决定动
于实验．他拿出一张长方形纸片ABCD，其中，AB
CD
∥
，AD
BC
∥
．他在边AD上取一点E ，在边BC 上
取一点F ，并将纸片沿直线EF 折叠，使得点C 落在新位置C，如图1，小明发现
GEF
△
是等腰三角形；
（1）请结合图1 证明
GEF
△
是一个等腰三角形（即GE
GF
=
）
【深入探究】
小明又沿着对称轴GH 折叠，使得点E 与F 重合，展开后如图2 ，GH 与EF 交于点O，连接EH 后，他想
进行以下探究活动：
活动1（计算面积）：
若测量得
10
EF =
，
8
GH =
，求四边形GFHE 的面积；
活动2（证明性质）：
小明发现四边形GFHE 的四条边均相等，你能证明吗？
（2）请选择以上任意一个活动完成．
3．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期末）在
ABC
中，D 为AB 边上一点，E 为BC 边上一点，连接DE
CD
，
，
将BDE
沿DE 折叠得到FDE
，直线DF 与直线BC 相交于点G ．
(1)当D为AB 边的中点，且CD
AD
=
时，
①如图1，探究
ABC
的形状，并说明理由；
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36 /
②如图2，若DE
DG
=
，探究BE 与CG 的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，AC
AD
=
，
40
ACD
B
−=
，
10
A
B
= +
，当EF
AC
∥
时，求
DGE
的度数．
4．（23-24 八年级上·福建莆田·期中）已知
ABC
和
ADE
都是等边三角形，分别连接BD
CE
，
．
(1)如图1，若BD
AD
⊥
，求
CED
的度数；
(2)如图2，若点D 在边AC 上，延长BD交CE 于点G，连接AG ．
①求证：GA平分
BGE
．
②判断DG
EG
AG
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
5．（24-25 八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形
的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．
(1)①如图1，在
ABC
中，
36
A
=
，
72
C
=
，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分
得的各等腰三角形顶角的度数；
②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”．
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(2)如图3，
50
EFP
=
，点G 在射线FP上，若EFG
存在“等腰线段EH ”，则
EGF
的度数为 ．
6．（24-25 八年级上·湖南益阳·期中）（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的
探究：如图1，AD是
ABC
的中线，过点B 作AC 的平行线，交AD的长线于点E ，发现DE 的长恰好等于
中线AD的长，请验证这一结论；
【深入探究】
（2）如图2，
ABC
中，点D ，E 在BC 边上，CD
DE
=
，过点E 作EF
AB
∥
，交
BAC
的角平分线AD于
点F ，试判断EF 与AC 的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD平分
BAC
，点E 为BC 边的中点，过点E 作EF
AD
∥
，交
AC 于点F ，交BA的延长线于点G ，若
24
ABC
S
=
，
8
=
CF
，则AG 的长度．
7．（23-24 八年级上·广西桂林·期中）如图，在等边角形
ABC
中，BDC
是等腰三角形，
,
120
BD
CD
BDC
=
=
，以D 为顶点作一个60的
MDN
，角的两边分别交AB
AC
、
边于M、N 两点，连
接MN ．延长ND
MD
、
分别与BC 交于点P、Q，
小学
初中
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(1)求证：
MDB
CDP
=
；
(2)求证：MDB
PDC
≌
；
(3) MN 与PQ 有怎样的数量关系，请说明理由；
(4)若
ABC
的边长为1，求AMN
的周长．
8．（24-25 八年级下·山东枣庄·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
，AD是BC 边上的中
线，分别以点C ，D为圆心，大于1
2CD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN 分别交AC ，BC
于点F ，E ，连接DF ．
(1)
ADF
△
是等边三角形吗？为什么？
(2)若EF 的长为2，求AB 的长．
1．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，ABC
是等边三角形，BD是中线，延长BC 至E ，使 CE
CD
=
，
则下列结论错误的是（ ）
A．
30
CED
=
B．
3
BE
AD
=
C．DE
BD
=
D．
1
2
CD
BD
=
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2．（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）如图，点I 为
ABC
的角平分线的交点，
4cm
AB =
，
3cm
AC =
，
2cm
BC =
，将
ACB
平移，使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4cm
B．3.5cm
C．3cm
D．2cm
3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在
ABC
中，
90
AB
AC
BAC
=
=
，
，点D 在AC 边上，点E 在BD
边上，
45
AED
=
，若
3
4
DE
BE
=
=
，
，则
BCD
△
的面积为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
4．（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50 海里的速度沿南偏东50的方向航行，当货轮在A 处
时，测得灯塔C 在其北偏东70的方向上，航行2 小时后货轮到达B 处，此时测得灯塔C 在其北偏东10的
方向上，则货轮到达B 处时与灯塔C 的距离是（ ）
A．100 海里
B．80 海里
C．60 海里
D．50 海里
5．（24-25 八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P 为等边
ABC
的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，
PA
CQ
=
，连接PQ 交AC 于D，若
3
CD =
，
10
BQ =
，则PA的长为（ ）
A．2
B．2.2
C．2.5
D．2.4
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6．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边QM 上某点A 出发，先到草地边PQ 上某点B 收马，再到
小河边PM 上某点C 饮马，最后回到点A 处．已知，点P 到QM 的距离为2 2km，
45
QPM
=
，若
ABC
的周长为m ，则m 的最小值是（ ）
A．3 2
B．4
C．4 2
D．4 3
7．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，在
ABC
中，BD平分
ABC
，BD
AD
⊥
，若
ACB
与
BAD
互补，
20
AC =
，则AD的长为 ．
8．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）如图，在
ABC
中，
45
BAC
=
，以BC 为边向外作等腰直角
,
90
BCD
CBD
=
，连接AD，若
6
AC =
，则
ACD
S
=
．
9．（24-25 七年级下·上海徐汇·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，BC
a
= ，
36
A
=
，AB 的垂直平分
线交AC 边于点D，交AB 边于点E CD
b
=
，则
ABC
的周长为 （用a 、b 表示）．
10．（23-24 八年级上·重庆永川·期中）如图，点C 是线段AB 上除点A、B 外的任意一点，分别以AC
BC
、
为边在线段AB 的同旁作等边ACD
和等边BCE
，连接AE 交DC 于M，连接BD交CE 于N，交AE 于点P ，
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连接MN ．
(1)求证：AE
BD
=
；
(2)求
APD
的度数；
11．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边
ABC
的边AB 上一点P，作PE
AC
⊥
于E，Q 为BC
延长线上一点，且PA
CQ
=
，连PQ 交AC 边于D．
(1)求证：PD
DQ
=
；
(2)线段DE 与AC 有什么样的数量关系？请说明理由．
12．（24-25 八年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴的正半轴上，点B 在x 轴的正半
轴上，且OA
OB
=
．
(1)如图1，若点D 在BA的延长线上，连接OD ，点E 在第一象限，且满足OD
OE
BD
BE
⊥
⊥
，
，连接DE ，
求证：DOE
是等腰直角三角形；
(2)如图2，点F 在AB 的延长线上，以OF 为斜边向上构等腰直角三角形OFM ，连接AM，若
10
2
AB
BF
=
=
，
，
求AMF
的面积．
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13．（24-25 七年级下·四川达州·期中）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
于D
AE
，
平分
BAC
．
(1)若
30
B
=
，且AE
CE
=
，求
DAE
的度数；
(2)若
3
CD
DE
=
，
ADE
的面积为2，
4
AC =
，求点E 到边AB 的距离．
14．（24-25 七年级下·河南驻马店·期末）如图①，在
ABC
中，
90
BAC
AB
AC
=
=
，
，直线MN 过点A ，
且MN
BC
∥
，点D是直线MN 上一点，不与点A 重合．
(1)若点E 是图①中线段AB 上一点，且DE
DA
=
，请判断线段DE 与DA的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接BD，过点D 作DP
DB
⊥
交线段AC 于点P ，求证：
ADP
EDB
≌
△
△
；
(3)如图③，在图（1）的基础上，改变点D 的位置后，连接BD，过点D 作DP
DB
⊥
交线段CA 的延长线于
点P ，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
15．（24-25 七年级下·上海静安·期末）如图，已知
ABC
是等边三角形，
2cm
BC =
，点P 从点A 出发，沿
射线AB 以1cm s 的速度运动，过点P 作PE
BC
∥
交射线AC 于点E，同时点Q 从点C 出发沿BC 的延长线
以1cm s 的速度运动，连接BE 、EQ ，设点P 的运动时间为( )s
t
．
(1)当点P 在边AB 上，且不与点A 、B 重合时，求证：BPE
ECQ
≌
；
(2)直接写出CE 的长（用含t 的代数式表示）；
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(3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3 时，直接写出t 的值和对应的等
腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
16．
（24-25 七年级下·重庆北碚·期末）在
ABC
中，点D 是边BC 上的一点，ABD
ADB
=
，BF 平分
ABC
，
与AD交于点E ，与AC 交于点F ．
(1)如图1，若BE
AD
⊥
，
45
ACB
=
，求
CAD
的度数；
(2)如图2，
DAM
是
ABD
△
的一个外角，AH 平分
DAM
，与BF 的延长线交于点H ，
DAC
C
=
，求
证：
H
C
=
．
17．（24-25 七年级下·福建福州·期末）综合与实践
问题提出：如图1，在
ABC
中，AD平分
BAC
，交BC 于点D，且
2
ACB
B
=
，则AB ，CD，AC 之
间存在怎样的数量关系？并说明理由．
方法运用：
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC 至点E，使得AE
AB
=
，连接DE ，……，
请判断AB ，CD，AC 之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB 上截取线段构造全等三角形来解题．如
图3，在线段AB 上截取AF ，使得AF =①________，连接②________．请补全空格，并在图3 中画出辅
助线．
延伸探究：
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形ABCDE 中，
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EA
ED
=
，AB
DC
BC
+
=
，
180
A
D
+
=
，若
140
BCD
=
，求
BCE
的度数．
