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1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 2.7 勾股定理及其逆定理的实际应用 课标要点 1.理解勾股定理及其逆定理的意义，明确二者互逆关系。 2.能利用勾股定理解决实际场景中的边长、距离计算问题。 3.会用逆定理判断实际图形中的直角，识别直角三角形。 4.具备结合生活情境建模、解决简单实际应用问题的能力。 学习重难点 重点： 1.熟练运用勾股定理求解实际问题中的线段长度、两点距离。 2.掌握逆定理判定方法，利用三边关系判断实际模型中的直角。 3.能从生活情境中抽象出直角三角形模型并解题。 难点： 1.区分两类定理应用场景：实际求长度用勾股定理，证直角用逆定理。 2.准确选取最长边，正确利用平方关系完成直角判定。 3.综合情境中灵活转化线段，解决测距、最值、路线等实际问题。 知识点 勾股定理中最短路径问题（重点） 1. 圆柱中的最短路径模型： （1）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A 到点C 的最短路径： 第二章 特殊三角形 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A 到点C 的最短路径为线段AC，𝐴𝐶2 = （𝜋𝑟） 2 + ℎ2 = 𝜋2𝑟2 + ℎ2 （2）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A 到点C 的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A 到点B 的最短路径为线段AB，𝐴𝐵2 = （2𝜋𝑟） 2 + ℎ2 = 4𝜋2𝑟2 + ℎ2 2. 长方体中的最短路径模型（求长方体上A、B 两点之间的距离）： ①右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab ②上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc 3 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ③上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 总结：长方体中最短路径AB=√最长边 2 + （较长边+ 较短边） 2 ； 正方体中最短路径AB=√棱长 2 + （棱长+ 棱长） 2=√5棱长 。 随学随练 1．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱外的下底面点𝐴 处有一只蚂蚁，它想吃到与点𝐴相对、离外上底面1cm的点𝐵处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径 示意图是（ ） A． B． C． D． 特别提醒 1）核心原则：立体表面爬行必须展开成平面，依据 “两点之间线段最短”，再用勾股定理计算； 2）长方体存在3 种展开方式，需全部计算对比，取最小值才是最短路径。 4 / 31 学科网（北京）股份有限公司 2．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，𝐴，𝐷为长方体的两个顶点． (1)求点𝐴到点𝐷之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点𝐴爬到点𝐷，求爬行的最短路程． 拓展 最短路径模型中圆柱模型与长方体模型的联系与区别 对比维度 正方体 长方体 圆柱 展开方案 数量 3 种展开方式 3 种不同展开方式 仅1 种侧面展开形式 路径长度 特点 三种展开计算结果相等，无需 比大小 三种路径长度不同，必须计 算对比取最小值 只有一组计算结果，无需对比 直角边构 造规律 任意两条棱长之和为一条直角 边，第三条棱为另一直角边 最短两条棱相加作一条直角 边，路径最短 竖直直角边为圆柱高；上下异 侧点水平边取底面半周长πr 核心解题 特点 计算最简单，无择优步骤 需分类计算、择优，步骤最 多 仅展开侧面，无多方案选择 特殊拓展 点 棱长全部相等，模型单一 长宽高互不相等，是考试高 频易错模型 含曲面转化平面，易混淆整周 长、半周长 共同前提 均为几何体表面爬行，不可穿透内部；依托 “两点之间线段最短 + 勾股定理” 求解 活学活用 1．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为4cm的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A 处；它沿木块的表面走到棱𝐶𝐶1的中点P 处吃食物，所走的最短路程是（ ） A．2√17cm B．10cm C．2√13cm D．3√5cm 2．（25-26 八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为8cm，圆柱高为6cm，𝐵𝐶为底面圆的 直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A 爬到点C 的最短距离为________cm． 5 / 31 学科网（北京）股份有限公司 3．（25-26 八年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为3 cm的正方体表面从点𝐴出发，经过3 个面爬 到点𝐵正下方1 cm的𝐶处，则蚂蚁走的最短路径为__________cm． 拓展 易错总结 1. 定理混用易错：分不清适用场景；逆定理判定时不找最长边，直接随意代入三边平方，导致直角判断 错误。 2. 公式计算易错：混淆斜边与直角边，默认后一个数为斜边，忽略𝑐必须是最长边。 3. 实际建模易错：无直角的生活场景，不主动作辅助线构造直角三角形，直接套用公式；忽略题目隐藏 直角条件，无法抽象出直角三角形模型。 4. 蚂蚁爬行最短路径易错：长方体只算一种展开图，不对比三种路径长度，误判最短路线；圆柱展开误 用完整底面周长，上下异侧点应取半圆弧长𝜋𝑟；混淆几何体内部直线距离与表面爬行路径，审题忽略 “表面” 限制。 活学活用 1．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B 两点，现 要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B 两点．若礼盒高10cm，底面圆的周长 为48cm，那么需要丝带的长度最少为________cm． 2．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6 米处（点𝐵） 折断，树顶部（点𝐴）落在离树干底部（点𝐶）8 米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少 6 / 31 学科网（北京）股份有限公司 米？ 3．（25-26 八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有 一个由传感器控制的门铃𝐴，如图1 所示，人只要移至该门口4m及4m以内时（图2 中𝐵𝐷），门铃就会自 动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高1.5m的学生走到𝐷处，门铃恰好自动响起，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于 点𝐸，求该学生头顶𝐶到门铃𝐴的距离． 题型 梯子滑行问题 ▌例1．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端 将滑动（ ） A．4m B．6m C．8m D．10m ▌例2．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）如图，一根5m长的竹竿𝐴𝐵，斜靠在一竖直的墙𝐴𝑂上，这时𝐴𝑂 解题贴士 梯子长度始终不变，为直角三角形斜边；墙与地面为直角边，利用勾股定理分别求解滑动前后底边、高 的长度，作差得到滑行距离。 7 / 31 学科网（北京）股份有限公司 为3m，杆子的顶端𝐴沿墙下滑1m(𝐴𝐶= 1m)．求梯子底端𝐵外移的距离（𝐵𝐷的长）？ ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）如图，长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端 离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________m． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学 们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B 上，另一端拴在A 的正下方物体C 上，滑块B 放 置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体C 的升降．实验初始状态如图1 所示，物体 C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距离𝐵𝐶= 5cm，物体C 到定滑轮𝐴的垂直距离𝐴𝐶= 12cm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C 升高2cm至𝐶1处，求滑块B 向左滑动至𝐵1处的距离． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在 左墙𝐷𝐸时，梯子𝐴到左墙的距离𝐴𝐸为0.7m，梯子顶端𝐷到地面的距离𝐷𝐸为2.4m，若梯子底端𝐴保持不动， 将梯子斜靠在右墙𝐵𝐶上，梯子顶端𝐶到地面的距离𝐶𝐵为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽𝐵𝐸 的长度．（单位：m） 8 / 31 学科网（北京）股份有限公司 题型 旗杆问题 ▌例1．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12 米（𝐵𝐶= 12米）处向地面拉一条长 为15 米（𝐴𝐶= 15米）的钢缆，则地面钢缆固定点𝐴到电线杆底部𝐵的距离为（ ） A．9 米 B．8 米 C．7 米 D．6 米 ▌例2．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）如图，一根电线杆在离地面12 米高的点A 处各用15 米长的铁 丝向两侧地面拉线固定，固定点为C 和D，求固定点𝐶𝐷之间的距离． ▌对点练1-1．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度𝐷𝐸= 0.5m，将它往前推送3m（水 平距离𝐵𝐶= 3m）时，踏板离地的垂直高度𝐵𝐹= 1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索𝐴𝐷的长度 是______． 解题贴士 1）旗杆垂直地面构成直角，旗杆高、地面距离为直角边、拉线为斜边； 2）常设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列方程求解高度、拉线长。 9 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江西上饶·期中）如图，某自动感应门的正上方A 处安装着一个感应器， 离地𝐴𝐵= 2.6m，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高1.7m的学生𝐶𝐷面对着 自动感应门，缓慢走到离门1.2m的地方时(𝐵𝐶= 1.2m)，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的 距离． ▌对点练1-3．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆𝐴𝐵的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳 子比旗杆长1 米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离𝐶𝐷为1 米，到旗杆的距离𝐶𝐸为6 米（如 图所示），求旗杆𝐴𝐵的高度． 题型 小鸟飞行问题 ▌例1．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树𝐴𝐵上觅食，它的巢筑在与该树 解题贴士 将两棵树高度差为竖直直角边、水平间距为水平直角边，小鸟直线飞行距离为斜边，直接用勾股定理求 解。 10 / 31 学科网（北京）股份有限公司 水平距离（𝐵𝐶）为12m的一棵大树𝐶𝑀上，大树高𝐶𝑀= 8m，喜鹊的巢位于树顶下方1m的𝐷处，当它听到 巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ） A．6.5s B．6s C．5.5s D．5s ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）公园内有两棵相距4m的树，一棵树高为5m，另一棵 树高为8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． ▌对点练1-2．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞 口的距离还有3 倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰 向何处扑击才能恰好抓到蛇． ▌对点练1-3．如图，小明操纵无人机从树尖𝐴飞向旗杆顶端𝐶，已知树高5m，旗杆高21m，树与旗杆之间 的水平距离为12m，则无人机飞行的最短距离为多少？ 题型 大树折断问题 ▌例1．（25-26 八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折 竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1 丈 = 10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处𝐶点离竹子底部𝐴点3 尺远， 解题贴士 1）折断后树的下段垂直地面、上段为斜边、树底到落点距离为水平直角边； 2）整树高度=剩余竖直高度+折断斜边长度，设未知数列勾股方程求解。 11 / 31 学科网（北京）股份有限公司 求折断后竹子𝐴𝐵的长．设𝐴𝐵的长为𝑥尺，下列方程正确的是（ ） A．𝑥2 + 32 = (10 −𝑥)2 B．𝑥2 = (10 −𝑥)2 + 32 C．𝑥2 + 32 = (10 + 𝑥)2 D．𝑥2 + 32 = 102 ▌例2．（25-26 八年级下·河南开封·期末）如图，一棵18米高的大树在一次强台风中在距地面5m处折断， 倒下后树顶端落在点𝐴处，离这棵大树底端𝐵点14米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿 车，并说明理由． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6 米处断裂，树顶端落在离底 部8 米的地面上，则树折断之前有_______米． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·上海奉贤·期末）水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活 化石”．如图，一棵水杉在离地5 米（点𝐶）处折断，水杉的顶端（点𝐴）落在离水杉底端（点𝐵）12 米 处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米． ▌对点练1-3．（25-26 八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在𝐴点处被拦腰折断，如图所 示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部𝐶处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知𝐴𝐵= 4m，𝐵𝐶= 13m，两 棵树之间的水平距离为12m，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 12 / 31 学科网（北京）股份有限公司 题型 风筝问题 ▌例1．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段𝐵𝐶）．勘测组测量 了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离𝐵𝐷的长为15 米，风筝线𝐵𝐶 的长为25 米，牵线放风筝的手到地面的距离𝐵𝐴的长为1.7 米． (1)根据测量所得数据，求风筝离地面的垂直高度𝐶𝐸的长； (2)若风筝沿𝐶𝐸方向下降了12 米到达点M，𝐵𝐷的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东梅州·期中）10 月25 −26日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同 学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的 水平距离𝐵𝐷为24m；根据手中余线长度，计算出𝐴𝐶的长度为25m；牵线放风筝的手到地面的距离𝐴𝐵为 1.5m．已知点A，B，C，D 在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度𝐶𝐷； (2)在余线仅剩6m的情况下，若想要风筝沿射线𝐷𝐶方向再上升11m，请问能否成功？请说明理由． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为 探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程 如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1 所示的示意图，其中点A 为风筝所在的位 置，𝐵𝐶为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，𝐴𝐵为风筝线的长度，𝐴𝐷为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1 相关数据，测得𝐵𝐶长为24 米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐴𝐵 解题贴士 风筝线为斜边、手持高度与风筝竖直高度差为竖直直角边、水平偏移距离为水平直角边，套用勾股定理 求高度或线长。 13 / 31 学科网（北京）股份有限公司 的长为25 米，牵线放风筝的手到地面的距离（即𝐶𝐷的长）为1.8米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1 中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷； (2)如图2，若风筝沿𝐷𝐴方向再上升8 米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线𝐵𝐶方向前 进，放风筝的手水平移至点F 处，则𝐵𝐹的长度是多少米？ 题型 水杯中筷子问题 ▌例1．（25-26 八年级上·河北保定·期末）《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮 时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是10cm，内壁高24cm，若箭长36cm，则箭在投 壶外面部分的长度可能是（ ） A．8cm B．8.5cm C．9cm D．11cm ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一 丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有 一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸 边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（ ）． A．8尺 B．28尺 C．12尺 D．10尺 ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1 尺．一 解题贴士 1）水杯底面直径、杯高为直角边，杯中筷子斜长为斜边； 2）筷子总长=杯中斜长+外露长度，利用勾股定理求解长度、水深、直径。 14 / 31 学科网（北京）股份有限公司 阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方 向上移动了3 尺．由此可知水池的深度是______尺． ▌对点练1-3．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷 茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm，高为16cm．老师遇到了这样一个问题：搅拌 棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少 需要 cm； (2)如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为ℎcm，你能求出h 的取值 范围吗？ 题型 航海问题 ▌例1．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港𝐵沿正东方向向海港𝐶行驶，点𝐴处有一 座灯塔，轮船行驶了5km后到达点𝐷处（即𝐵𝐷= 5km），此时轮船正好位于灯塔𝐴的正南方，继续向东行 驶了9km到达海港𝐶处（即𝐷𝐶= 9km），已知灯塔𝐴到海港𝐵的距离𝐴𝐵为13km，求灯塔𝐴到海港𝐶的距离 𝐴𝐶． 解题贴士 利用南北、东西垂直方向构造直角三角形，两段航行路程为直角边，直线返航距离为斜边；结合速度、 时间求路程，再用勾股计算。 15 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，点𝑂是一港口，渔船𝐴从𝑂出发沿北偏东53°方向以 6 海里/时的速度出海，渔船𝐵同时从𝑂出发沿南偏东37°方向以5 海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔 船的距离为（ ）． A．2√11海里 B．√61海里 C．3√11海里 D．2√61海里 ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·宁夏吴忠·期中）一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然 后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有________km． ▌对点练1-3．（25-26 八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日， 美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点𝐴处巡逻，突然发现在南偏东50° 方向距离15 海里的点𝐵处有可疑目标正在以16 海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，向我领海区域行 驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点𝐶处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速 度为多少海里/小时？ 题型 河宽问题 16 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ▌例1．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点𝐴，𝐵，点𝐶是与𝐵𝐴方向成直角的𝐴𝐶方向上 一点，测得𝐴𝐶= 60m，𝐵𝐶= 100m．则𝐴、𝐵两点间的距离为（ ） A．20√34m B．10√34m C．80m D．40m ▌对点练1-1．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G 偏离欲到达点 F400m，结果他在水中实际划了500m，则该河流的宽度𝐸𝐹=______m． ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度𝑀𝑃（𝑀𝑃垂直河岸），在地面上取参考点 H，测得𝑀𝐻= 34米，𝑁𝐻= 30米，𝐻𝑃= 31米，已知𝑀𝑁= 16米，（M、P、N 在同一直线上），求河宽 𝑀𝑃（结果保留根号）． 题型 台阶地毯问题 ▌例1．（25-26 八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，𝐴和𝐵是这个台阶上两个相对的端点，点𝐴处有一只蚂蚁，想到点𝐵处去吃可口的食 解题贴士 河宽为竖直直角边、沿岸行走距离为水平直角边、斜渡距离为斜边，构造直角三角形，列勾股定理求解 河宽。 解题贴士 1）台阶展开后，总水平长度+总竖直高度=地毯总长； 2）先通过勾股定理求台阶斜面总长，再拆分横竖边长求和。 17 / 31 学科网（北京）股份有限公司 物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点𝐵的最短路程是（ ） A．20 B．24 C．25 D．35 ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度𝐵𝐶= 5 米，斜边长𝐴𝐵= 13米，楼梯的宽度为3 米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每 个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m 的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为4m． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元/m2，则购买地毯需花费多少元？ 题型 汽车超速问题 ▌例1．（25-26 八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行 驶到路对面车速检测仪𝐴处的正前方12 米的𝐶处，过了0.5 秒，小汽车到达𝐵处，此时测得小汽车与车速检 测仪间的距离为20 米．这辆小汽车在𝐵𝐶段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120 千米/小时，问该小 汽车是否超速，说明理由． 解题贴士 固定观测点、公路垂直距离为直角边，前后两个观测位置为水平边，用勾股定理求行驶路程，再结合时 间算速度，对比限速判断是否超速。 18 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过 60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪𝐴处的正 前方50m的𝐶处，过了6s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130m，这辆小汽车超速了吗?（参考数据 转换：1m/s = 3.6km/h） ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这 条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线𝑙上的点𝐶处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车 速检测仪𝐶处正前方50 m的𝐵处，经过4 s后，大巴车到达𝐴处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离𝐴𝐶 为130 m． (1)求𝐴𝐵的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1 m/s = 3.6km/h） 题型 是否受台风影响问题 ▌例1．（25-26 八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的 圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B 与监测点A 解题贴士 1）计算地点到台风行进路线的垂直距离，与台风影响半径对比； 2）垂距≤半径则受影响，再用勾股定理求影响路程、时长。 19 / 31 学科网（北京）股份有限公司 所在的直线由东向西移动，已知点C 为一处海港，且点C 与A、B 两点的距离分别为600km、800km， ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，过点C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，以台风中心为圆心，半径为460km的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A 与监测点B 之间的距离． (2)请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型 压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路𝐴𝐵由点A 向点B 匀速行驶，路边有一所 牧区寄宿制小学C；点C 与公路上A、B 两点距离分别为150 m、200 m，公路总长𝐴𝐵= 250m，工程车周 边150 米范围为噪声影响区域． (1)求∠𝐴𝐶𝐵的度数； (2)学校C 会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，某公园在笔直公路上有A，B 两个出口，相距500 米，在距公路不远处的C 地是烟火晚会烟花燃放处，已知C 地与A 出口的距离为300 米，与B 出口的距离 为400 米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C 地周围半径250 米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C 地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B 之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并 求出需要封锁的公路长． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·河北保定·期末）春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移 20 / 31 学科网（北京）股份有限公司 动广播车在公路上进行广播宣传．如图11，已知一辆移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上，沿东西方向由𝐴向𝐵 行驶，嘉嘉家在公路的一侧点𝐶处，且点𝐶与直线𝐴𝐵上的两点𝐴、𝐵的距离分别为𝐴𝐶= 300m，𝐵𝐶= 400m，又𝐴𝐵= 500m，假如移动广播车周边260米以内能听到广播宣传． (1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点𝐸时，嘉嘉在家刚好听 到广播，当移动广播车行驶到点𝐹时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即𝐶𝐸= 𝐶𝐹= 260米，问嘉嘉在家听到 广播宣传的时长是多长？ 题型 最短路径问题 ▌例1．（25-26 八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点 B，则它走过的最短路程为（ ） A．√3 B．1 + √2 C．3 D．√5 ▌例2．如图，长方体的底面边长分别为4cm 和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点𝑃开始经过4 个侧面爬 行一圈到达点𝑄，若蚂蚁的爬行速度为1.5cm/s, 20s内蚂蚁能否爬到点𝑄？ 解题贴士 将立体图形（圆柱、长方体等）侧面展开为平面，两点之间线段最短，构造直角三角形，用勾股定理求 最短路径长。 21 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面𝐴 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点𝐴相对的食物𝐵，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 ▌对点练1-2．如图所示，圆柱高𝐴𝐶为4米，在底面周长为1.5米的圆柱上，有一条彩带从柱底𝐴点沿圆柱表 面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的𝐶点，则彩带长至少为________． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池的示意图， 该U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 32 𝜋米的半圆，其边 缘𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 16米，点E 在𝐶𝐷上，𝐶𝐸= 4米，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离为 ________米． ▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长𝐴𝐵为7m，宽𝐴𝐷为4m的长方形草地上 放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽𝐴𝐷平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从 点𝐴处爬过木块到达点𝐶处需要走的最短路程是多少？ 22 / 31 学科网（北京）股份有限公司 题型 勾股定理逆定理实际问题 ▌例1．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形 的三边长分别为5m，12m，13m，则该三角形的面积为（ ） A．78m2 B．65m2 C．60m2 D．30m2 ▌例2．（25-26 八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示 的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测 量，𝐴𝐷= 6米，𝐴𝐵= 8米，𝐵𝐶= 24米，𝐶𝐷= 26米，∠𝐴= 90°． (1)为方便分区管理，学校计划在𝐵、𝐷两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有 两个入口B，C，通过道路BA，CA 可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道𝐶𝐴，为方便游客观景， 分散人流，决定新修道路𝐴𝐷（点D 在𝐵𝐶上）．经测量：𝐴𝐵= 1.5km，𝐴𝐷= 1.2km，𝐵𝐷= 0.9km．则𝐴𝐷 是否为从A 到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）图1 是某品牌手推车，图2 为其简化结构示意图．现测得 𝐴𝐵= 8dm，𝐵𝐶= 9dm，𝐶𝐷= 12dm，𝐴𝐷= 17dm，其中𝐴𝐵与𝐵𝐷之间由一个固定为90°的零件连接（即 解题贴士 1）提取实际场景中三段长度，取最长边，用逆定理验证： 2）最长边平方=另外两边平方和，判定是否为直角，解决垂直、方位、工程判定问题。 23 / 31 学科网（北京）股份有限公司 ∠𝐴𝐵𝐷= 90°） (1)求线段𝐵𝐷的长度； (2)安全标准规定：需满足𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·湖南永州·期末）如图，点B， C 表示两地， 点A 表示供水站，𝐴𝐵= 12 千米，𝐴𝐶= 9千米，𝐵𝐶= 15千米．为了方便供水站A 往B，C 两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A 直接铺设管道到B，C 两地，即铺设的管道总长为𝐴𝐵+ 𝐴𝐶； 方案二：过点A 作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为点D，从供水站A 铺设管道到点D，再从点D 分别铺设管道到点B， C 两地，即铺设的管道总长为𝐴𝐷+ 𝐵𝐶． (1)试判断图中构成的△𝐴𝐵𝐶的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 基础通关 1．（25-26 八年级下·广东河源·期末）如图，要从电线杆离地面5 米的点𝐶处向地面拉一根钢缆，地面钢缆 固定点𝐴到电线杆底部𝐵的距离为12 米，则这根钢缆长为（ ） A．13 米 B．12 米 C．11 米 D．10 米 2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅 相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6 尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是 24 / 31 学科网（北京）股份有限公司 多少？（1 丈= 10尺）如果我们假设门的宽为𝑥尺，根据题意，可列方程为（ ） A．𝑥2 + (10 −𝑥)2 = 62 B．𝑥2 + (𝑥+ 6)2 = 102 C．𝑥2 + 102 = (𝑥+ 6)2 D．𝑥2 + 62 = (10 −𝑥)2 3．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点𝐴处的激光测 距仪先将激光射向楼底端的点𝐵，仪器显示𝐴𝐵= 23.1m；再将激光射向楼顶端的点𝐶，仪器显示𝐴𝐶= 31.9m，则楼高𝐵𝐶=__________． 4．（25-26 八年级下·四川绵阳·期中）如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为9cm、高12cm的圆柱形水 杯中，设牙刷露在杯子外面的长度为ℎcm，则h 的取值范围是________________． 5．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是： 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一 个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇 拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 6．（25-26 八年级下·广东汕头·期中）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定 点𝐴到电线杆底部𝐵的距离为2m，求钢索的长度． 25 / 31 学科网（北京）股份有限公司 7．（25-26 八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B 两点分别位于池塘的两端，利 用现有皮尺无法直接测量A，B 间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如 下： 实践任务 测量池塘两端A，B 间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段𝐴𝐵延长线的方向， 在池塘边的空地上选点C，使𝐵𝐶= 9m；第二步：在𝐴𝐶的一侧选点D，使点D 能直接到达A，B，C 三点，测得𝐵𝐷= 12m，𝐶𝐷= 15m，𝐴𝐷= 20m． 问题解决： (1)试判断△𝐵𝐶𝐷的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B 之间的距离． 8．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12 海里和5 海里，2 小时后两船分别位于点 A，B 处，且相距26 海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 9．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l 上有两个快递投放点B，C．快递投 放点C 的正北方向3km处有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为5km． 26 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)求快递投放点B，C 之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l 上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D 到 小区A 与快递投放点B 的距离相等，求自提柜D 与快递投放点B 之间的距离． 10．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向𝐴𝐵由点𝐴向点 𝐵移动，已知点𝐶为教学楼，点𝐶与直线𝐴𝐵上两点𝐴、𝐵的距离分别为30m和40m，且𝐴𝐵= 50m，以货车为 圆心的周围25m以内为受影响区域． (1)求证：∠𝐴𝐶𝐵= 90° (2)教学楼𝐶会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为2m/s，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 11．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲 天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6 米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从 点A 到点C，B 为𝐴𝐶的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 米，则雕刻在石柱上的巨龙为多 少米？ 12．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西 安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄𝐶，河边原有两个观景台A，B，其中𝐴𝐵= 𝐵𝐶，现建设美丽乡 村，决定在渭河边新建一个观景台𝐷（点A，D，B 在同一条直线上），并新修一条路𝐶𝐷，测得𝐴𝐶= 3km，𝐶𝐷= 2.4km，𝐴𝐷= 1.8km． 27 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)通过计算说明，𝐶𝐷是从村庄𝐶到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线𝐵𝐶的长． 素养提升 1．（25-26 八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去 根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1 丈（1 丈= 10尺），在点A 处折断后竹子顶 端点B 触地，测得点B 离竹子底端点C 距离为3 尺（即𝐵𝐶= 3尺），问折断处离地面高𝐴𝐶为多少 尺？”．设折断处离地面高𝐴𝐶为𝑥尺，可列方程为（ ） A．32 + 𝑥2 = (10 + 𝑥)2 B．32 + (10 + 𝑥)2 = 𝑥2 C．32 + (10 −𝑥)2 = 𝑥2 D．32 + 𝑥2 = (10 −𝑥)2 2．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆𝐴𝐵，旗杆垂直于水平地面．将一根不可 伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端𝐴．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端𝐵，细绳还剩余1 米；现将细 绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点𝐷处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部𝐵与点𝐷相距 5 米．求旗杆𝐴𝐵的高度__________米． 3．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄𝑀，从村庄𝑀到公路 原有两个出口𝐴、𝐵，其中𝐴𝐵= 1.4km，𝑀𝐵= 1.3km，由于暴雨导致𝑀到𝐴的小路路面塌陷，现已不通， 该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路𝑀𝐶（𝐴，𝐶，𝐵在同一条直线上），测得𝑀𝐶= 1.2km， 28 / 31 学科网（北京）股份有限公司 𝐵𝐶= 0.5km． (1)从村庄𝑀到公路，请通过计算说明𝑀𝐶是否为距离最近的路； (2)求新修的路𝑀𝐶比原来的路𝑀𝐴短多少？ 4．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷，如 图，通过勘测得到水平距离𝐵𝐶的长为12 米，𝐵𝐶⊥𝐴𝐷于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐴𝐵的 长为13 米，小明牵线放风筝的手B 到地面的距离为1.8 米（即𝐶𝐷= 1.8米），他们发现根据全部数据就可 以计算出风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷．请求出线段𝐴𝐷的长． 5．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，𝐴，𝐵两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量𝐴，𝐵间的距 离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端𝐴，𝐵间的距离 测量工具 皮尺 测量方案 及测量数 据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段𝐴𝐵延长线的方向，在池塘边 的空地上选点𝐶，使𝐵𝐶= 9 m；第二步：在𝐴𝐶的一侧选点𝐷，使点𝐷能直接到达𝐴，𝐵，𝐶 三点，测得𝐵𝐷= 12 m，𝐶𝐷= 15m，𝐴𝐷= 20 m． 问题解决： (1)试判断△𝐵𝐶𝐷的形状，并说明理由； (2)求池塘两端𝐴，𝐵之间的距离． 6．（25-26 八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km的快递投放点𝐵、𝐶， 29 / 31 学科网（北京）股份有限公司 快递投放点𝐶的正北方向有一小区𝐴，小区𝐴到快递投放点𝐵的距离为13km． (1)求小区𝐴到快递投放点𝐶的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点𝐷，新的投放点𝐷到小区𝐴与快递投放点𝐵的距 离相等，求快递投放点𝐵、𝐷之间的距离． 7．（25-26 八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究， 并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木 鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂 直高度． 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离𝐸𝐷的长为15米，𝐵𝐶⊥𝐴𝐷； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线𝐴𝐵的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离𝐵𝐸为1.7米． 说明 点𝐴，𝐵，𝐸，𝐷在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点𝐶离地面的垂直高度𝐶𝐷=_______米，𝐵𝐶=_______米； ②求风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷； (2)若将风筝沿𝐴𝐷方向下降12米至点𝐹，连接BF，则在𝐸𝐷长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线 应该往回收多少米？ 8．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它 们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R 处，且相距70 海里． 30 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)试判断△𝑅𝑃𝑄的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 9．（25-26 八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四 边形𝐴𝐵𝐶𝐷闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得 ∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 8m，𝐴𝐷= 6m，𝐵𝐶= 24m，𝐶𝐷= 26m． (1)为便于日常管护，计划在B，D 两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设0.4m厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立 方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 迁移创新 1．（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，有一个由传感器A 控制的灯，要装在门上方离地高4.5 米的墙 上，任何东西只要移至该灯5 米及5 米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 米的学生要走到离墙 多远的地方灯刚好发光？（ ） A．4 米 B．3 米 C．5 米 D．7 米 2．（25-26 八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面𝐴𝐵与地面平行，点𝐴到墙面 （墙面与地面垂直）的距离为60cm．图1 中，一扫帚的一端与墙角𝑂重合，另一端靠在点𝐴处，𝑂𝐴= 100cm． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 (1)求课桌的高度； (2)在图2 中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点𝐵重合，另一端挂在墙上的点𝐶处．若 𝑂𝐶= 240cm，彩带𝐵𝐶比桌宽𝐴𝐵长140cm，求桌宽𝐴𝐵的长度．
