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2.6 探索勾股定理
课标要点
1.经历勾股定理的观察、猜想、拼图验证与探索过程，掌握勾股定理的内容，理解直角三
角形三边之间的数量关系，明确勾股定理仅适用于直角三角形。
2.掌握勾股定理的文字表述与符号表达式，即在Rt△中，两直角边的平方和等于斜边的
平方，熟记公式形式，能根据直角三角形边长位置准确套用公式。
3.理解勾股定理的拼图证明原理，通过面积法推导勾股定理，体会数形结合思想、等积转
化思想，掌握几何定理常见的面积证明方法。
4.能熟练运用勾股定理，已知直角三角形任意两条边长，求解第三条边长，能处理整数、
小数、根式等不同形式的边长计算，规范化简计算结果。
5.了解常见勾股数，熟记基础勾股数，理解勾股数的整数特征，能快速利用勾股数简化直
角三角形边长计算。
6.能结合直角三角形的特殊性质、等腰三角形、简单图形折叠等知识，综合运用勾股定理
解决基础几何综合计算问题，提升几何建模与运算能力。
学习重难点
重点：
1.掌握勾股定理的内容与公式，明确适用条件为直角三角形，能准确区分直角边与斜边，
正确代入公式进行边长计算。
2.熟练运用勾股定理已知两边求第三边，掌握变式公式，灵活求解直角三角形各边长。
3.掌握基础勾股数，能利用勾股数快速解题，简化运算过程。
难点：
1.理解勾股定理的面积法证明原理，掌握数形结合、等积转化的数学思想，突破单纯记公
式的浅层学习。
2.区分斜边与直角边，避免公式代换错误，在边长未知、条件模糊的题型中分类讨论，防
止漏解、错解。
3.结合折叠、动点、等腰直角三角形等综合题型，灵活运用勾股定理建立方程求解边长，
掌握几何方程解题思想。
4.综合运用勾股定理与直角三角形特殊性质，解决多步几何计算问题，提升几何综合应用
能力。
第二章
特殊三角形
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知识点
勾股定理（重点）
1. 勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，那么𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
2. 勾股定理的运用：①已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
②用于解决带有平方关系的证明问题；
③利用勾股定理，作出长为√𝑛的线段。
随学随练
1．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4，则𝐴𝐶的长为
（ ）
C
B
A
𝑎
𝑏
𝑐
直角边
直角边
斜边
易错提醒
1）非直角三角形绝对不能使用勾股定理；
2）公式代入时分不清斜边和直角边，习惯性乱代数值；
3）求边长开方后需舍去负数，边长为正数。
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，
由勾股定理得：𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √52 −42 = 3．
2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐴𝐵= 5, 𝐵𝐶= 3，将点A 沿𝐷𝐸折叠，恰好可以落
在点B 处，则𝐶𝐷=_____．
【答案】
7
8
【分析】先由勾股定理求解𝐴𝐶，然后根据折叠的性质得到𝐴𝐷= 𝐵𝐷，再设𝐶𝐷= 𝑥，对Rt △𝐶𝐷𝐵运用勾股
定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°,𝐴𝐵= 5, 𝐵𝐶= 3
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 4
由折叠得𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
设𝐶𝐷= 𝑥，则𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 4 −𝑥
∵∠𝐶= 90°
∴𝐶𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷2
∴𝑥2 + 32 = (4 −𝑥)2，
解得𝑥=
7
8
∴𝐶𝐷=
7
8．
3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, ∠𝐵= 45°,𝐴𝐶= 6，求𝐴𝐵的长．
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【答案】6√2
【分析】先根据已知求出𝐴𝐶= 𝐵𝐶，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，
∵∠𝐶= 90°,∠𝐵= 45°, 𝐴𝐶= 6，
∴∠𝐴= ∠𝐵= 45°，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 6，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 62 = 6√2．
知识点
勾股定理的证明（重点）
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑐2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏，所以𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑐2 = (𝑏−𝑎)2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏，所以𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2。
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
S梯形ABCD =
（a+b）（a+b）
2
= 2 ×
1
2 ab +
1
2 c2，所以𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
特别提醒
教材采用面积法证明，核心思路：图形割补、面积不变，通过大图形面积等于各小图形面积和推导公
式。
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随学随练
1．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对
完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两
条直角边长分别为𝑎，𝑏，且𝑏> 𝑎，斜边为𝑐)拼成一个边长为𝑐的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，
该图被后人称为“赵爽弦图”．
(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．
(2)若𝑏= 15，𝑐=17，求中间小正方形(阴影部分)的面积．
【答案】(1)
证明：∵最外面的大正方形的边长为c，
∴最外面的大正方形的面积为𝑐2；
∵中间小正方形的边长为𝑏−𝑎，
∴中间小正方形的面积为(𝑏−𝑎)2；
又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，
∴(𝑏−𝑎)2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏= 𝑐2，
∴𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 𝑐2，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
(2)49
【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键．
（1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小
正方形的面积进行证明即可；
（2）根据勾股定理可求出a 的值，进而可求出中间小正方形的面积．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝑏= 15，𝑐=17，𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
∴𝑎2 + 152 = 172，
∴𝑎= 8或𝑎= −8（舍去），
∴中间小正方形的面积为(𝑏−𝑎)2 = (15 −8)2 = 49．
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知识点
勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2. 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的一般步骤：
①首先确定最大边（如
）；
②验证
与
是否具有相等关系：若
，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
，则△ABC 不是直角三角形。
随学随练
1．（25-26 八年级上·福建漳州·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，则（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵= 90°
C．∠𝐶= 90°
D．无法确定
【答案】B
【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为𝑎, 𝑏, 𝑐，且满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，则该三角形是直角三角
形，边长为𝑐的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，满足𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角，
∴𝐴𝐶是斜边，斜边𝐴𝐶所对的角是∠𝐵，
因此∠𝐵= 90°．
2．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 9，𝐵𝐶= 12，𝐶𝐷= 17，𝐴𝐷= 8，∠𝐵=
90°．
(1)连接𝐴𝐶，求𝐴𝐶的长；
(2)求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
【答案】(1)15
c
2
c
2
2
a
b
+
2
2
2
c
a
b
=
+
2
2
2
c
a
b
+
易错提醒
1）必须用最短两边平方和与最长边平方对比，随意组合计算会判定错误；
2）只能判定是否为直角三角形，不能直接得出锐角、钝角三角形；
3）逆定理与勾股定理易混淆（定理：直角→边长关系；逆定理：边长关系→直角）。
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(2)114
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠𝐶𝐴𝐷= 90°，再根据𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶列式求解即可．
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 9，𝐵𝐶= 12，∠𝐵= 90°，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √122 + 92 = 15；
（2）解：∵𝐶𝐷= 17，𝐴𝐷= 8，𝐴𝐶= 15，
∴𝐴𝐷2 + 𝐴𝐶2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289，𝐶𝐷2 = 172 = 289，
∴𝐴𝐷2 + 𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷2，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶
= 1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+ 1
2 𝐴𝐷⋅𝐴𝐶
= 1
2 × 9 × 12 + 1
2 × 8 × 15
= 114．
知识点
勾股数
1. 勾股数：像8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
随学随练
1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名
的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4
B．4，5，6
C．2，2，4
D．9，12，15
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股
数，据此逐一验证选项即可．
【详解】解： A 选项：22 + 32 = 4 + 9 = 13，42 = 16，13 ≠16，不符合勾股数定义，A 错误；
B 选项：42 + 52 = 16 + 25 = 41，62 = 36，41 ≠36，不符合勾股数定义，B 错误；
易错提醒
1）勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数；
2）熟记常用勾股数，不可记错倍数关系；
3）并非所有满足平方关系的数都是勾股数，需满足整数条件。
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C 选项：2 + 2 = 4，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C 错误；
D 选项：92 + 122 = 81 + 144 = 225，152 = 225，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定
义．
2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1
B．9，10，11
C．7，24，25
D．√5，√12，√13
【答案】C
【详解】解：A、0.6，0.8，1不是正整数，故不是勾股数；
B、92 + 102 = 81 + 100 = 181，112 = 121，181 ≠121，故不是勾股数；
C、72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252，且7，24，25均为正整数，故是勾股数；
D、√5，√12，√13不是正整数，故不是勾股数．
拓展
勾股定理与勾股定理逆定理双向对比
1．二者为互逆逻辑定理，是判定直角三角形与计算边长的核心依据，适用场景、推理方向完全相反，具
体对比如下：
对比维度
勾股定理
勾股定理逆定理
前提条件
已知三角形为直角三角形
任意普通三角形，未知形状
核心内容
两直角边的平方和等于斜边的平方：𝑎2 +
𝑏2 = 𝑐2
三角形两边平方和等于第三边平方，则为直角
三角形
逻辑方向
由图形性质推边长数量关系
由边长数量关系推图形性质
核心用途
求边长、平方关系证明、作二次根式线段 判定三角形是否为直角三角形
活学活用
1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 20，𝐵𝐶= 11，𝐴𝐶= 13，过点𝐴作𝐴𝐷⊥
𝐵𝐶，交𝐵𝐶的延长线于点𝐷，则𝐴𝐷的长为（ ）
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A．5
B．6
C．12
D．16
【答案】C
【分析】设𝐶𝐷= 𝑥，则𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 11 + 𝑥，然后利用勾股定理构建方程求出𝐶𝐷，再利用勾股定理计
算𝐴𝐷的长即可．
【详解】解：设𝐶𝐷= 𝑥，则𝐵𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 11 + 𝑥，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴𝐴𝐷2 = 𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2，𝐴𝐷2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2，
∴𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2，即132 −𝑥2 = 202 −(11 + 𝑥)2，
解得：𝑥= 5，
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √132 −52 = 12．
2．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点𝐴处，点𝐴与地面上点𝐵之间的距离
𝐴𝐵= 24米，点𝐴与地面上点𝐶（点𝐵，𝐶处于同一水平面上）的距离𝐴𝐶= 26米，且𝐵𝐶= 10米．
(1)求∠𝐴𝐵𝐶的度数；
(2)现这架无人机沿𝐴𝐵所在直线向下飞行至点𝐷处，连接𝐶𝐷，当点𝐷恰好在边𝐴𝐶的垂直平分线上时，求这
架无人机向下飞行的距离𝐴𝐷的长．
【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐶= 90°
(2)这架无人机向下飞行的距离𝐴𝐷的长为
169
12 米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答；
（2）设𝐴𝐷= 𝑥米，在Rt △𝐵𝐷𝐶中，利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 242 + 102 = 676，𝐴𝐶2 = 262 = 676，
∴𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶= 90°．
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（2）解：设𝐴𝐷= 𝑥米，
∵点𝐷恰好在边𝐴𝐶的垂直平分线上，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 𝑥米，𝐵𝐷= (24 −𝑥)米，
在Rt △𝐵𝐷𝐶中，𝐷𝐶2 = 𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2，
∴𝑥2 = (24 −𝑥)2 + 102，
解得𝑥=
169
12 ，
答：这架无人机向下飞行的距离𝐴𝐷的长为
169
12 米．
拓展
勾股定理三种证明方法共性与区别
证明方法
图形构造方式
核心特点
外嵌正方形法
四个全等直角三角形拼成边长为𝑎+ 𝑏
的大正方形
图形规整，计算简单，是最通用的基础证明方
法
内嵌正方形法
四个全等直角三角形拼成斜边为边长
的大正方形，内部形成小正方形
利用边长差值构造图形，贴合斜边平方推导逻
辑
直角梯形法
两个全等直角三角形拼接成直角梯形
图形构造最简，仅用两个三角形，计算步骤最
少
活学活用
1．（25-26 八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多
样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦
图”．这个图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：“赵爽弦图”是：
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2．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025 年7 月1 日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵
爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的
证明方法至今约有500 多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形𝐴𝐶𝐷𝐸是直角梯形，点𝐵在
𝐶𝐷上．在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐵𝐷𝐸中，∠𝐶= ∠𝐷= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 𝑎, 𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 𝑏, 𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 𝑐．试利用该
图形验证勾股定理．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明．证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐵𝐷𝐸(SSS)，可得
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐵𝐷，从而得到∠𝐴𝐵𝐸= 90°，再根据图形的面积解答即可．
【详解】解：因为𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 𝑎, 𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 𝑏, 𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 𝑐，
所以△𝐴𝐶𝐵≌△𝐵𝐷𝐸(SSS)．
所以∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐵𝐷．
因为∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
所以∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90°．
所以∠𝐴𝐵𝐸= 90°．
因为Rt △𝐴𝐶𝐵,Rt △𝐵𝐷𝐸,Rt △𝐴𝐵𝐸的面积分别为
1
2 𝑎𝑏,
1
2 𝑎𝑏和
1
2 𝑐2，梯形𝐴𝐶𝐷𝐸的面积为
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏),
所以
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2．
所以(𝑎+ 𝑏)2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2，
即𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
题型
利用勾股定理解三角形
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▌例1．（25-26 八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为17，一条直角边长为8，则另一条直
角边长是（ ）
A．7
B．8
C．10
D．15
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得
到结果．
【详解】解：设另一条直角边长为𝑥
∵该三角形是直角三角形，斜边长为17，一条直角边长为8
∴根据勾股定理可得𝑥2 + 82 = 172
整理得𝑥2 = 172 −82 = 289 −64 = 225
∵三角形边长为正数
∴𝑥= √225 = 15
▌例2．（25-26 八年级下·山东滨州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 17，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶边上的高𝐴𝐻= 8．
(1)根据图1，求𝐵𝐶的长；
(2)根据图2，求𝐵𝐶的长．
【答案】(1)21
(2)9
【分析】（1）利用勾股定理求出𝐵𝐻, 𝐶𝐻，再由𝐵𝐶= 𝐵𝐻+ 𝐶𝐻求解；
（2）利用勾股定理求出𝐵𝐻, 𝐶𝐻，再由𝐵𝐶= 𝐵𝐻−𝐶𝐻求解．
【详解】（1）解：如图1，当𝐴𝐻在三角形的内部时，
在Rt △𝐴𝐵𝐻中, ∵𝐴𝐵= 17, 𝐴𝐻= 8,
∴𝐵𝐻= √172 −82 = 15;
在Rt △𝐴𝐶𝐻中, ∵𝐴𝐶= 10, 𝐴𝐻= 8,
∴𝐶𝐻= √102 −82 = 6,
解题贴士
在直角三角形中，分清斜边与直角边，套用𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；已知两边直接求第三边；已知一边、两边数量
关系设未知数，列方程求解。
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∴𝐵𝐶= 𝐵𝐻+ 𝐶𝐻= 15 + 6 = 21；
（2）如图2，当𝐴𝐻在三角形的外部时，
在 Rt △𝐴𝐵𝐻中, ∵𝐴𝐵= 17,𝐴𝐻= 8,
∴𝐵𝐻= √172 −82 = 15;
在 Rt △𝐴𝐶𝐻中, ∵𝐴𝐶= 10,𝐴𝐻= 8,
∴𝐶𝐻= √102 −82 = 6,
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐻−𝐶𝐻= 15 −6 = 9．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，则𝐴𝐶的长
是（ ）
A．8
B．4
C．2√34
D．8或2√34
【答案】A
【分析】直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，先确定斜边，再代入公式计算即可．
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，
∴𝐴𝐵是斜边，𝐴𝐶和𝐵𝐶是直角边，
由勾股定理得𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
代入𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，
可得𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 102 −62 = 64，
解得𝐴𝐶= √64 = 8．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 1，𝐵𝐶= 2，则正
方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积是________．
【答案】5
【分析】利用勾股定理求出𝐴𝐶2的值，再根据正方形的面积公式可得答案．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°,𝐴𝐵= 1,𝐵𝐶= 2，
∴由勾股定理得𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 12 + 22 = 5，
∴正方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积= 𝐴𝐶2 = 5．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，D 是𝐴𝐶的中点．若
𝐴𝐵= 8，𝐵𝐷= 5，则𝐵𝐶的长为________．
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【答案】6
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，D 是𝐴𝐶的中点，
∴𝐴𝐶= 2𝐵𝐷= 10，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = 6．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·甘肃张掖·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= √7，求𝐴𝐶的长．
【答案】3
【分析】本题考查勾股定理，能够正确使用勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，
由勾股定理，得𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2，
又∵𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= √7，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √42 −(√7)2 = 3．
题型
勾股数
▌例1．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．8，15，17
B．1.5，2，2.5
C．0.3，0.4，0.5
D．7，11，13
【答案】A
【详解】解：勾股数定义为：三个正整数𝑎，𝑏，𝑐（𝑐为最大数），满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
选项A，8，15，17均为正整数，且82 + 152 = 64 + 225 = 289，172 = 289，∴82 + 152 = 172，因此8，
15，17是勾股数；
选项B，1.5，2，2.5不是正整数，不是勾股数；
选项C，0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数；
选项D，7，11，13均为正整数，但72 + 112 = 49 + 121 = 170，132 = 169，170 ≠169，因此7，11，
解题贴士
1）满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2的三个正整数为勾股数；
2）一组勾股数同时扩大正整数倍，仍然是勾股数。
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13不是勾股数．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖北·期末）勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整
数，下列属于勾股数的是（ ）
A．1，√2，√3
B．2，3，4
C．3，4，5
D．6，7，8
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，较小两数的平方和等于最
大数的平方，逐一验证选项即可得到结果．
【详解】解：选项A，√2，√3不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意．
选项B，22 + 32 = 4 + 9 = 13，42 = 16，13 ≠16，故这组数不是勾股数，不符合题意．
选项C，32 + 42 = 9 + 16 = 25，52 = 25，三个数均为正整数且满足勾股定理，故这组数是勾股数，符合
题意．
选项D，62 + 72 = 36 + 49 = 85，82 = 64，85 ≠64，故这组数不是勾股数，不符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古
代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．1，√3，2
B．8，9，10
C．0.3，0.4，0.5
D．5，12，13
【答案】D
【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根
据定义逐项判断即可．
【详解】解：根据勾股数的定义依次判断：
选项A 中√3不是正整数，选项C 中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C 不符合定义，排除；
选项B 中，82 + 92 = 64 + 81 = 145，102 = 100，145 ≠100，不满足平方关系，因此B 不符合定义，排
除；
选项D 中，5，12，13都是正整数，且52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132，满足勾股数的定义，故选D．
题型
勾股树
▌例1．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你
是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕
达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（ ）
解题贴士
以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积；逐层利用面积转化进行计
算。
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A．天元术
B．正负术
C．勾股定理
D．杨辉三角
【答案】C
【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方
形，所有的三角形都是直角三角形．正方形𝐴，𝐵，𝐶，𝐷的面积分别是3，6，3，4，则正方形𝐺的面积是
______．
【答案】
16
【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形𝐺的面积等于正方形𝐴，𝐵面积之和与正方形𝐶，𝐷面积
之和的总和，由此即可求解．
【详解】解：设正方形𝐴，𝐵下方相邻的正方形面积为𝑆1，正方形𝐶，𝐷下方相邻的正方形面积为𝑆2，
根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，
∴𝑆1 = 𝑆𝐴+ 𝑆𝐵= 3 + 6 = 9，𝑆2 = 𝑆𝐶+ 𝑆𝐷= 3 + 4 = 7，
∴正方形𝐺的面积𝑆𝐺= 𝑆1 + 𝑆2 = 9 + 7 = 16．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1 的正方形，经过1 次“生长”后，在它
的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1 次这样
的“生长”后，变成了如图1 所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2 所示的“枝繁叶茂
的勾股树”，请你算出“生长”了2027 次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______．
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【答案】2028
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根
据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那
么𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A 的面积为1，
∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，
∴由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形C 的面积= 1，
∴“生长”了1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……，
∴“生长”了2027 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028．
题型
勾股定理中图形面积问题
▌例1．（25-26 八年级下·云南普洱·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为边作正方
形．若𝐴𝐵= 6，正方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积为9，则正方形𝐵𝐶𝐹𝐺的面积为（ ）
解题贴士
以直角三角形三边向外作同类图形（正方形、半圆等），两小图形面积之和 = 最大图形面积；借助面积
公式结合勾股定理转化计算。
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A．27
B．24
C．21
D．15
【答案】A
【分析】根据正方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积为9可得𝐴𝐶2 = 9，再在Rt △𝐴𝐵𝐶中利用勾股定理求出𝐵𝐶2的值，即为正
方形𝐵𝐶𝐹𝐺的面积．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐷𝐸𝐶为正方形，且面积为9，
∴𝐴𝐶2 = 9，
∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 6，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 = 62 = 36，
∴𝐵𝐶2 = 36 −𝐴𝐶2 = 36 −9 = 27，
∵四边形𝐵𝐶𝐹𝐺为正方形，
∴正方形𝐵𝐶𝐹𝐺的面积为𝐵𝐶2 = 27．
▌例2．（25-26 八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，分别以𝐴𝐶、𝐵𝐶为边向外作正
方形，面积分别记为𝑆1、𝑆2，若𝑆1 = 6，𝑆2 = 3，则𝐴𝐵=________．
【答案】√3
【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方，求出𝐴𝐵的平方，进而求出𝐴𝐵．
【详解】解：由题意得：
𝑆1 = 𝐴𝐶2 = 6, 𝑆2 = 𝐵𝐶2 = 3，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = 𝑆1 −𝑆2 = 6 −3 = 3，
∴𝐴𝐵= √3．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则𝐴所代表的正方形
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的边长是（ ）
A．100
B．28
C．9
D．10
【答案】D
【详解】解：根据勾股定理得，𝐴所代表的正方形的面积为36 + 64 = 100，
∴𝐴所代表的正方形的边长是10．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，分别以
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑．若𝑎= 2，𝑏+ 𝑐= 12，则
𝐴𝐷=______．
【答案】√10
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
由题意可知：𝑎= 𝐴𝐵2，𝑏= 𝐵𝐶2，𝑐= 𝐶𝐷2，𝑑= 𝐴𝐷2．
在直角△𝐴𝐵𝐷和△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = 𝐶𝐷2 + 𝐵𝐶2，
即𝑎+ 𝑑= 𝑏+ 𝑐，
∵ 𝑏+ 𝑐= 12，𝑎= 2，
∴𝑑= 10．
∴𝐴𝐷= √10．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·广东茂名·期末）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 10，以𝐴𝐶，
𝐵𝐶为直径的半圆的面积分别为𝑆1，𝑆2，则𝑆1 −𝑆2 =________（结果保留π）．
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【答案】
25
2 π
【分析】本题考查了半圆的面积公式、勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 根据半圆面积
公式，求出𝑆1、𝑆2即可解决问题．
【详解】解：由题意知𝑆1 =
1
2 π (
𝐴𝐶
2 )
2
=
1
8 π𝐴𝐶2，𝑆2 =
1
8 π𝐵𝐶2．
在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，由勾股定理，得𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2．
∵𝐴𝐵= 10，
∴𝑆1 −𝑆2 =
1
8 π𝐴𝐶2 −
1
8 π𝐵𝐶2 =
1
8 π(𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2) =
1
8 π𝐴𝐵2 =
1
8 π × 102 =
25
2 π．
故答案为
25
2 π．
题型
网格中的勾股定理
▌例1．（25-26 八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形网格中，点A，B 均在
格点上，则线段𝐴𝐵的长度为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．10
【答案】B
【详解】解：由图，可得
𝐴𝐵= √32 + 42 = 5．
▌例2．如图，在边长均为1 个单位长度的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格点上，则△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵
边上的高为______．
解题贴士
把线段看作网格直角三角形斜边，横向、纵向格数为直角边，用勾股定理求线段长度；再利用长度判断
三角形形状。
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【答案】
9
5
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，过点A 作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶的延长
线于点E．由题意可得𝐵𝐶= 3，𝐴𝐵= √32 + 42 = 5，𝐴𝐸= 3，根据△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷即可求出𝐶𝐷．
【详解】解：过点C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，过点A 作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶的延长线于点E．
由题意可得𝐵𝐶= 3，𝐴𝐵= √32 + 42 = 5，𝐴𝐸= 3，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷，
∴
1
2 × 3 × 3 =
1
2 × 5 × 𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷=
9
5，
即△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高为
9
5．
故答案为：
9
5
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点𝐴为圆心，𝐴𝐵
长为半径画弧，交网格线于点𝐸，则𝐷𝐸的长为（ ）
A．5
B．3
C．√7
D．4 −√7
【答案】C
【分析】连接𝐴𝐸，利用勾股定理进行求解即可.
【详解】解：连接𝐴𝐸，由作图可知，𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 4，
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在Rt △𝐴𝐷𝐸中，∠𝐴𝐷𝐸= 90°，𝐴𝐷= 3，
∴𝐷𝐸= √𝐴𝐸2 −𝐴𝐷2 = √7.
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏盐城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐中
边长是无理数的是________．
【答案】a
【分析】本题考查了无理数的定义，网格与勾股定理．先根据网格与勾股定理进行列式，求出每条边的长
度，再分析每条边长度是不是无理数，即可作答．
【详解】解：依题意，𝑏= √32 + 42 = 5, 𝑐= 4, 𝑎= √42 + 12 = √17
∵5,4都是有理数，√17是无理数，
∴△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐中边长是无理数的是a，
故答案为：a
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·安徽六安·期中）如图，在5 × 8的网格中，已知格点线段𝐴𝐵（格点为网格
线的交点）．
(1)利用网格画出格点线段𝐴𝐶，使𝐴𝐶= √13（点𝐶不在网格的边框上）；
(2)在（1）的条件下，∠𝐶𝐴𝐵=_____°，并证明此结论．
【答案】(1)见解析
(2)45，见解析
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【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可；
（2）运用勾股定理与勾股逆定理得𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2,又因为𝐴𝐶= 𝐵𝐶，则∠𝐶𝐴𝐵= 45°，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
∴𝐴𝐶= √22 + 32 = √13．
（2）证明：连接𝐵𝐶，
由画法知𝐴𝐶= √13，
由勾股定理得𝐴𝐵= √12 + 52 = √26,𝐵𝐶= √22 + 32 = √13，∵𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = (√13)
2 + (√13)
2 = 26, 𝐴𝐵2 =
(√26)
2 = 26,
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2,
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，且∠𝐴𝐶𝐵= 90°,
∵𝐵𝐶= √13 = 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶,
∴∠𝐶𝐴𝐵=
180°−90°
2
= 45°．
题型
勾股定理中折叠问题
▌例1．（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 8，将△𝐴𝐵𝐶折
叠，使点𝐵与𝐴𝐶的中点𝐹重合，折痕为𝐷𝐸，则𝐶𝐸的长为（ ）
解题贴士
1）折叠前后对应边相等、对应角相等；
2）设未知线段长𝑥，在图中找到包含𝑥的直角三角形，列勾股方程求解。
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A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到𝐸𝐹= 𝐵𝐸，设𝐶𝐸= 𝑥，在Rt △𝐶𝐸𝐹中结合勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，𝐴𝐹= 𝐶𝐹=
1
2 𝐴𝐶= 4，𝐸𝐹= 𝐵𝐸，
设𝐶𝐸= 𝑥，则𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 8 −𝑥，
在Rt △𝐶𝐸𝐹中，𝐸𝐹2 = 𝐶𝐹2 + 𝐶𝐸2，
∴(8 −𝑥)2 = 42 + 𝑥2，
解得𝑥= 3，
即𝐶𝐸= 3．
▌例2．如图，将直角三角形𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐴𝐷折叠，使点𝐵落在𝐴𝐶延长线上的点𝐸处．若𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 4，
求图中阴影部分的面积
【答案】
9
4
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出𝐴𝐵，设𝐶𝐷= 𝑥 ，则𝐵𝐷= 4 −𝑥，根据
𝐶𝐸2 + 𝐶𝐷2 = 𝐷𝐸2求出𝑥得到𝐶𝐷的长，再根据三角形面积公式求出答案．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 5，
由折叠得𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 5，𝐷𝐸= 𝐵𝐷，
设𝐶𝐷= 𝑥，则𝐵𝐷= 4 −𝑥，
在△𝐷𝐶𝐸中，∠𝐷𝐶𝐸= 90∘，𝐶𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐶= 5 −3 = 2，
∵𝐶𝐸2 + 𝐶𝐷2 = 𝐷𝐸2，
∴22 + 𝑥2 = (4 −𝑥)2，
解得𝑥=
3
2，
∴𝐶𝐷=
3
2，
∴ 图中阴影部分的面积是
1
2 𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=
1
2 × 3 ×
3
2 =
9
4．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4, 𝐴𝐷= 8，将此长方形
沿𝐸𝐹折叠，使点𝐷与点𝐵重合，则𝐴𝐸的长度为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解𝐸𝐷= 𝐸𝐵，先表示出𝐸𝐵= 8 −𝐴𝐸，再根据勾
股定理计算即可．
【详解】解：∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，使点D 与点B 重合，
∴𝐸𝐷= 𝐸𝐵，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐷= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 8 −𝐴𝐸，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 90°，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2，即42 + 𝐴𝐸2 = (8 −𝐴𝐸)2，
解得：𝐴𝐸= 3，
故选：A．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，将长方形纸片折叠，
使点D 与点B 重合，点C 落在点𝐶′处，折痕为𝐸𝐹，若𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 8，则𝐴𝐸的长为______．
【答案】3
【分析】根据折叠的性质得到𝐷𝐸= 𝐵𝐸，则𝐷𝐸= 𝐵𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 8 −𝐴𝐸，在Rt △𝐴𝐸𝐵中，利用勾股定
理列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到，𝐷𝐸= 𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷= 8，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 8 −𝐴𝐸，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，
∴∠𝐴= 90°，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2，
∵𝐴𝐵= 4，
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∴42 + 𝐴𝐸2 = (8 −𝐴𝐸)2，
∴𝐴𝐸= 3．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6 ，𝐵𝐶= 9，∠𝐵= 90°，将
△𝐴𝐵𝐶沿𝑀𝑁所在直线折叠（点𝑀、𝑁分别在𝐴𝐶、𝐵𝐶上），使点𝐶与𝐴𝐵的中点𝐷重合，则线段𝐵𝑁的长为
_____．
【答案】4
【分析】设𝐵𝑁= 𝑥，则由折叠可得，𝐷𝑁= 𝐶𝑁= 𝐵𝐶−𝐵𝑁= 9 −𝑥，再对Rt △𝐷𝐵𝑁运用勾股定理建立方
程求解．
【详解】解：设𝐵𝑁= 𝑥，则𝐶𝑁= 𝐵𝐶−𝐵𝑁= 9 −𝑥，
由折叠可得，𝐷𝑁= 𝐶𝑁= 𝐵𝐶−𝐵𝑁= 9 −𝑥
∵𝐴𝐵= 6，点D 为𝐴𝐵的中点，
∴𝐵𝐷= 3，
∵∠𝐵= 90°，
∴𝐵𝐷2 + 𝐵𝑁2 = 𝐷𝑁2
∴32 + 𝑥2 = (9 −𝑥)2
解得𝑥= 4，
∴线段𝐵𝑁的长为4．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐴𝐶折叠，顶点𝐵落在点𝐸处，
𝐸𝐶与𝐴𝐷交于点𝑂．
(1)求证：△𝐴𝑂𝐶是等腰三角形；
(2)若𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 8，求线段𝐸𝑂的长．
【答案】(1)见解析
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(2)3
【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐸，进而证明即可；
（2）由折叠得，𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 4，𝐵𝐶= 𝐸𝐶= 8，设𝑂𝐸= 𝑥，则𝐴𝑂= 𝐶𝑂= 8 −𝑥，然后根据勾股定理求
解．
【详解】（1）证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
由折叠得，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴𝐴𝑂= 𝐶𝑂，
∴△𝐴𝑂𝐶是等腰三角形；
（2）解：由折叠得，𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 4，𝐵𝐶= 𝐸𝐶= 8，
设𝑂𝐸= 𝑥，则𝐴𝑂= 𝐶𝑂= 8 −𝑥，
在Rt △𝐴𝐸𝑂中，根据勾股定理得：𝐴𝐸2 + 𝐸𝑂2 = 𝐴𝑂2，
∴42 + 𝑥2 = (8 −𝑥)2，
解得𝑥= 3，
∴𝐸𝑂= 3．
▌对点练1-5．（25-26 七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6, 𝐴𝐷= 18，将此长方
形纸片折叠，使点𝐷与点𝐵重合，点𝐶落在点𝐻的位置，折痕为𝐸𝐹，求𝐵𝐸的长．
【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题．
设𝐷𝐸= 𝑥，由折叠可知𝐵𝐸= 𝑥, 𝐴𝐸= 18 −𝑥，结合勾股定理建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设𝐷𝐸= 𝑥，
∵𝐴𝐷= 18，
由折叠可知𝐵𝐸= 𝑥, 𝐴𝐸= 18 −𝑥，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是长方形，𝐴𝐵= 6，
∴∠𝐴= 90°，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2.
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∴62 + (18 −𝑥)2 = 𝑥2，
解得：𝑥= 10，
∴𝐵𝐸的长为10．
题型
利用勾股定理求平方和（差）
▌例1．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，斜边𝐴𝐵= 1，则𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，𝐴𝐵是斜边，且𝐴𝐵= 1，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 = 12 = 1．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川巴中·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 13，𝐴𝐶= 20，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点
𝐷，𝐸为𝐴𝐷上任意一点，则𝐶𝐷2 −𝐵𝐷2的结果为（ ）
A．7
B．33
C．231
D．569
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理，可得𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2，𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2，据此即可求得答案．
【详解】在Rt △𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理可得𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2，
同理可得𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2，
所以𝐶𝐷2 −𝐵𝐷2 = 𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = 202 −132 = 231．
故选：C．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏盐城·期中）如图，𝐶𝐷为Rt △𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵上的高，设𝐶𝐷= ℎ，𝐴𝐷=
𝑚，𝐵𝐷= 𝑛．求证：ℎ2 = 𝑚𝑛．
解题贴士
1）构造直角三角形，把线段平方转化为边长平方；
2）结合线段等量代换，整体求平方和或平方差，不必求出线段本身。
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【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得出ℎ2 + 𝑚2 + ℎ2 + 𝑛2 = (𝑚+ 𝑛)2，则可得出答案．
【详解】证明：在Rt △𝐴𝐷𝐶中，根据勾股定理，得𝐴𝐶2 = ℎ2 + 𝑚2，
在Rt △𝐷𝐵𝐶中，根据勾股定理，得𝐵𝐶2 = ℎ2 + 𝑛2，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，根据勾股定理，得𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2，
∵𝐴𝐵= 𝑚+ 𝑛，
∴ℎ2 + 𝑚2 + ℎ2 + 𝑛2 = (𝑚+ 𝑛)2，
∴ℎ2 = 𝑚𝑛．
▌对点练1-3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，对角线
𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点O．
(1)若𝐴𝑂= 2，𝐵𝑂= 3，𝐶𝑂= 4，𝐷𝑂= 5，请求出𝐴𝐵2，𝐵𝐶2，𝐶𝐷2，𝐷𝐴2的值；
(2)若𝐴𝐵= 6，𝐶𝐷= 10，求𝐵𝐶2 + 𝐴𝐷2的值．
【答案】(1)𝐴𝐵2 = 13，𝐵𝐶2 = 25，𝐶𝐷2 = 41，𝐴𝐷2 = 29
(2)136
【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，再由勾股定理即可求解；
（2）由（1）可得𝐵𝐶2 + 𝐴𝐷2 = (𝐵𝑂2 + 𝐶𝑂2) + (𝐴𝑂2 + 𝐷𝑂2) = 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是“垂美”四边形，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐷= 90°，
∴在Rt △𝐴𝑂𝐵中，𝐴𝐵2 = 𝐴𝑂2 + 𝐵𝑂2 = 22 + 32 = 13，
在Rt △𝐵𝑂𝐶中，𝐵𝐶2 = 𝐵𝑂2 + 𝐶𝑂2 = 32 + 42 = 25，
在Rt △𝐶𝑂𝐷中，𝐶𝐷2 = 𝐶𝑂2 + 𝐷𝑂2 = 42 + 52 = 41，
在Rt △𝐴𝑂𝐷中，𝐴𝐷2 = 𝐴𝑂2 + 𝐷𝑂2 = 22 + 52 = 29．
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（2）解：由（1）有𝐴𝐵2 = 𝐴𝑂2 + 𝐵𝑂2，𝐵𝐶2 = 𝐵𝑂2 + 𝐶𝑂2，𝐶𝐷2 = 𝐶𝑂2 + 𝐷𝑂2，𝐴𝐷2 = 𝐴𝑂2 + 𝐷𝑂2．
∴𝐵𝐶2 + 𝐴𝐷2
= (𝐵𝑂2 + 𝐶𝑂2) + (𝐴𝑂2 + 𝐷𝑂2)
= (𝐵𝑂2 + 𝐴𝑂2) + (𝐶𝑂2 + 𝐷𝑂2)
= 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2，
∵𝐴𝐵= 6，𝐶𝐷= 10，
∴𝐵𝐶2 + 𝐴𝐷2 = 62 + 102 = 136．
题型
勾股定理的证明
▌例1．如图，四边形𝐴𝐶𝐷𝐸是直角梯形，点B 在𝐶𝐷上．在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐵𝐷𝐸中，∠𝐶= ∠𝐷= 90°, 𝐴𝐶=
𝐵𝐷= 𝑎, 𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 𝑏, 𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 𝑐．试利用该图形验证勾股定理．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段
和角相等的重要工具．
证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐵𝐷𝐸(SSS)，得出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐵𝐷，根据Rt △𝐴𝐶𝐵，Rt △𝐵𝐷𝐸，Rt △𝐴𝐵𝐸的面积分别为
1
2 𝑎𝑏，
1
2 𝑎𝑏和
1
2 𝑐2，梯形𝐴𝐶𝐷𝐸的面积为
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏)，得出
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，再化简
即可．
【详解】证明：∵𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 𝑎，𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 𝑏，𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 𝑐，
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐵𝐷𝐸(SSS)，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐵𝐷．
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 90°．
解题贴士
多采用面积法证明：用割补法表示同一个图形面积，列出两种面积表达式，化简推导出𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
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∵Rt △𝐴𝐶𝐵，Rt △𝐵𝐷𝐸，Rt △𝐴𝐵𝐸的面积分别为
1
2 𝑎𝑏，
1
2 𝑎𝑏和
1
2 𝑐2，梯形𝐴𝐶𝐷𝐸的面积为
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏)，
∴
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2，
化简，得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定
理，设图1 中空白部分的面积为𝑆1，图2 中空白部分的面积为𝑆2，则下列判断不正确的是（ ）
A．𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 B．𝑆2 = 𝑐2 + 𝑎𝑏
C．𝑆1 = 𝑆2
D．𝑆1 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决
问题．
【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变，
∴𝑆1 = 𝑆2，故C 正确；
∵𝑆1 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2 ×
1
2 𝑎𝑏= 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏，故D 不正确，
𝑆2 = 𝑐2 + 2 ×
1
2 𝑎𝑏= 𝑐2 + 𝑎𝑏，故B 正确，
∴𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏 = 𝑐2 + 𝑎𝑏，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，故A 正确．
故选：D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东潮州·期中）图1 所示的图形在数学中占有重要地位，1955 年希腊曾经
发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重
要的数学定理，这个定理是 （ ）
A．勾股定理
B．平行线的判定定理
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C．平行线的性质定理
D．三角形内角和定理
【答案】A
【分析】利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可
推导出勾股定理．
【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积
等于边长的平方可推导出勾股定理，
∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理．
▌对点练1-3．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．
(1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角
三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积
即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
(2)【结论运用】如图2，已知△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐶= 90°．若𝐵𝐶= 5，𝐴𝐵的长比𝐴𝐶的长大1，求𝐴𝐵
的长；
(3)【应用拓展】学校校内有一块如图3 所示的三角形花圃𝐴𝐵𝐶，其中𝐴𝐵= 13米，𝐵𝐶= 14米，𝐴𝐶= 15
米，计划在这块花圃中起一道栅栏𝐴𝐷，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏𝐴𝐷与三角形边𝐵𝐶互相垂直，预
计栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？
【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为(𝑎+ 𝑏)2，又可以表示为𝑐2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑐2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏，
∴𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 𝑐2 + 2𝑎𝑏，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
(2)13
(3)600元
【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为(𝑎+ 𝑏)2，又可以表示为𝑐2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏，联立等式即可
求解；
（2）由𝐴𝐶= 𝐴𝐵−1，根据勾股定理得𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，代入已知条件可得𝐴𝐵2 = 52 + (𝐴𝐵−1)2，进
而求解；
（3）根据题意可得𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，设𝐵𝐷= 𝑥米，则𝐶𝐷= (14 −𝑥)米，根据勾股定理可得𝐴𝐷2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2 =
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𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2，由此列方程解得𝐵𝐷= 5米，进而求出𝐴𝐷= 12米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资.
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐶= 90°．
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
又∵𝐴𝐵的长比𝐴𝐶的长大1，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵−1，
∴𝐴𝐵2 = 52 + (𝐴𝐵−1)2，
解得𝐴𝐵= 13．
（3）解：根据题意可得𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
设𝐵𝐷= 𝑥米，则𝐶𝐷= (14 −𝑥)米，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2，
在Rt △𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶2，
∴𝐴𝐷2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2 = 𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2，则132 −𝑥2 = 152 −(14 −𝑥)2，
解得𝑥= 5，
∴𝐵𝐷= 5米，
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2 = √132 −52 = 12（米），
学校修建这道栅栏需要投资：50 × 12 = 600（元）．
答：学校修建这道栅栏需要投资600 元．
题型
勾股定理与数轴结合
▌例1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）如图．点A 在数轴上表示的数是−1，点C 在数轴上表示的数是
1，线段𝐵𝐶与数轴垂直，且𝐵𝐶= 1．以A 为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D 表示的数
是（ ）
A．√5
B．√3
C．√5 −1
D．√5 −2
【答案】C
解题贴士
在数轴上构造直角边为整数的直角三角形，以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点表示无理数。
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【分析】首先利用勾股定理求出𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √5，然后得到𝑂𝐷= √5 −1，即可得到点D 表示的
数．
【详解】解：∵𝐵𝐶= 1，𝐴𝐶= 2，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √5，
由作图得，𝐴𝐷= 𝐴𝐵= √5，
∴𝑂𝐷= √5 −1，
∴点D 表示的数是√5 −1．
▌例2．在数轴上找出√20对应的点．
【答案】图见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用以及数轴与实数，构造直角三角形利用勾股定理得到所需长度是
解题的关键．
作𝐴𝐵⊥数轴，且使𝐴𝐵= 2，连接𝑂𝐵，以O 为圆心，𝑂𝐵为半径画弧交数轴的正半轴于P，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，点P 为所求
∵𝑂𝐴= 4，𝐴𝐵= 2
∴𝑂𝑃= 𝑂𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = √42 + 22 = √20．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山西阳泉·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作
了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字−1所在点为圆心，正方形的对角线为半径
画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A 表示的实数为______．
【答案】√2 −1
【分析】利用勾股定理求出正方形对角线的长，确定圆的半径，再根据圆心位置和点𝐴的方向确定点𝐴表示
的数即可．
【详解】解：∵ 正方形的边长为1，
∴对角线长= √12 + 12 = √2，
∵圆心表示的数为−1，半径为√2，且点𝐴在圆心的右侧，
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∴点𝐴表示的实数为−1 + √2，即√2 −1．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点𝐴表示的数是________．
【答案】√13
【详解】解：由图可知𝑂𝐴= √32 + 22 = √13，
即数轴上的点𝐴表示的数是√13．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·陕西安康·期中）在数轴上作出(−√10 + 1)对应的点，记为𝐴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．如图点B 对应的数为−2，点D 对应的数为1，作𝐵𝐶⊥𝑥轴，
截取𝐵𝐶= 1，根据勾股定理可得𝐷𝐶= √32 + 12 = √10，再以点D 为圆心，以𝐷𝐶为半径画弧与数轴的交点
𝐴即为所求．
【详解】解：如图，点𝐴即为−√10 + 1对应的点．
题型
利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
▌例1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．4，6，10
C．6，8，15
D．5，12，14
【答案】A
【详解】解：A、∵32 + 42 = 9 + 16 = 25，52 = 25，∴32 + 42 = 52，∴可以构成直角三角形，符合题意；
B、∵4 + 6 = 10，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵6 + 8 = 14 < 15，∴不能构成三角形，不符合题意；
解题贴士
1）找出三边中最大边，验证最大边的平方是否等于另外两边平方和，成立则为直角三角形；
2）最大边对角为直角。
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D、∵52 + 122 = 25 + 144 = 169，142 = 196，∴52 + 122 ≠142，∴不可以构成直角三角形，不符合题意.
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）下列条件能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是（ ）
A．𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2
B．∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶
C．∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
D．∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 3: 4: 5
【答案】A
【详解】解：对选项A，∵勾股定理逆定理指出，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为
直角三角形，已知𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，符合直角三角形的判定条件，∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，符合题意；
对选项B，∵三角形内角和为180°，∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶，∴3∠𝐴= 180°，得∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= 60°，△𝐴𝐵𝐶是等
边三角形，不是直角三角形，不符合题意；
对选项C，所有三角形的内角和都为180°，该条件无法判定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不符合题意；
对选项D，设∠𝐴= 3𝑥，∠𝐵= 4𝑥，∠𝐶= 5𝑥，∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，∴3𝑥+ 4𝑥+ 5𝑥= 180°，解得𝑥=
15°，最大角∠𝐶= 5 × 15° = 75°，不是直角，因此不能判定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，𝐴𝐷= 2，𝐵𝐷=
1，𝐶𝐷= 4，求证：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【答案】证明：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷= 2，𝐵𝐷= 1，𝐶𝐷= 4
∴𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 5，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 20，𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 5，
∴𝐵𝐶2 = 25，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°，即△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可．
【详解】略
▌对点练1-3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点𝐴, 𝐵, 𝐶均在格点上．判断△𝐴𝐵𝐶的
形状，并说明理由．
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【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】先由勾股定理求解𝐴𝐵2, 𝐴𝐶2,𝐵𝐶2，再由勾股定理逆定理求解即可．
【详解】解：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，𝐴𝐵2 = 32 + 62 = 45，𝐴𝐶2 = 22 + 42 = 20，𝐵𝐶2 = 42 + 72 = 65，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 45 + 20 = 65，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，
∴∠𝐴= 90°，即△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
基础通关
1.（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5 和12，则斜边长为（ ）
A．13
B．15
C．17
D．20
【答案】A
【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方
和后开平方即可得到斜边长．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5 和12，
∴斜边长为√52 + 122 = √25 + 144 = √169 = 13.
2．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．1，1，2
B．3，4，5
C．7，24，25
D．5，12，13
【答案】A
【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股
数．
【详解】解：A．12 + 12 = 2 ≠22，不是勾股数；
B、C、D 组分别满足32 + 42 = 52，72 + 242 = 252，52 + 122 = 132，均为勾股数．
3．（25-26 八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”
也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是
（ ）．
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A．分类讨论思想 B．转化思想
C．数形结合思想 D．整体思想
【答案】C
【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键．
结合题干的描述，判断对应的数学思想即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想．
故选：C．
4．（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个
全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为𝑚，
𝑛(𝑚> 𝑛)．若小正方形面积为5，(𝑚+ 𝑛)2 = 21，则大正方形面积为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．21
【答案】B
【分析】根据图形特征，小正方形的边长为直角三角形两直角边之差，即为(𝑚−𝑛)，大正方形的面积为
直角三角形斜边的平方即(𝑚2 + 𝑛2)，结合已知条件利用完全平方公式建立方程组求解即可．
【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为(𝑚−𝑛)，
∴小正方形的面积为 (𝑚−𝑛)2 = 5，
即𝑚2 + 𝑛2 −2𝑚𝑛= 5①，
∵(𝑚+ 𝑛)2 = 21，
∴𝑚2 + 𝑛2 + 2𝑚𝑛= 21②，
①+ ②得2(𝑚2 + 𝑛2) = 26 ，
∴𝑚2 + 𝑛2 = 13，
∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，
∴大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即𝑚2 + 𝑛2 = 13，
5．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= √5，𝐵𝐶= 1，则△𝐴𝐵𝐶的面积
为________．
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【答案】1
【分析】根据勾股定理求出𝐴𝐶，再由三角形的面积公式计算即可．
【详解】解∶∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= √5，𝐵𝐶= 1，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √(√5)
2 −12 = 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=
1
2 × 2 × 1 = 1．
6．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1 的小正方形组成的方格纸中，△𝐴𝐵𝐶经过一次平移后得到△
𝐴′𝐵′𝐶′，点B 的对应点𝐵′的位置如图所示，则平移距离为________．
【答案】√29
【分析】在网格中以𝐵𝐵′为斜边构建直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，以𝐵𝐵′为斜边构建直角三角形，
平移距离𝐵𝐵′ = √52 + 22 = √29．
7．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝑎= 10，则𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 =_______．
【答案】200
【分析】根据三角形边角对应关系，∠𝐴对边为斜边𝑎，利用勾股定理得到𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2，可将原式整理为
2𝑎2，再代入𝑎= 10计算即可．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，
故𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2；
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∴𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑎2 = 2𝑎2，
∵𝑎= 10，
故2𝑎2 = 2 × 102 = 200，
即𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 200．
8．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的
面积为1，两边的正方形面积分别是𝑆1，𝑆2，则𝑆1 + 𝑆2 =_______．
【答案】1
【分析】根据正方形的性质得𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷= 90°，再根据等角的余角相等得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，则可根
据“AAS”判定△𝐴𝐶𝐵≌△𝐶𝐷𝐸，得到𝐴𝐵= 𝐶𝐸，𝐵𝐶= 𝐷𝐸；由勾股定理得𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐷𝐸2，
即𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆= 1．进而可以解决问题．
【详解】解：如图，
∵在水平桌面上依次摆着三个正方形，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，
在△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸中，
{
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐸𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐶𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐸，𝐵𝐶= 𝐷𝐸；
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐷𝐸2，
即𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆= 1．
9．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，𝐴𝐵= 20,𝐴𝐶=
15，𝐶𝐷= 9．试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
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【答案】△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下：
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∵𝐴𝐶= 15，𝐶𝐷= 9
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = 12
∵𝐴𝐵= 20
∴𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = 16
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 16 + 9 = 25
∴𝐵𝐶2 = 252 = 625，
∵𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 202 + 152 = 625
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【分析】先对Rt △𝐴𝐵𝐷,Rt △𝐴𝐶𝐷运用勾股定理求解𝐵𝐶，再对Rt △𝐴𝐵𝐶运用勾股定理逆定理求解即可．
【详解】略
10．（25-26 八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐴𝐵= 2m,𝐴𝐶= 1.5m,𝐷𝐶= 0.9m
(1)求𝐵𝐷的长；
(2)判断支架外框△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
【答案】(1)1.6m
(2)△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，理由如下：
由（1）知，𝐵𝐷= 1.6m，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶= 1.6 + 0.9 = 2.5m，
∵𝐴𝐵= 2m，𝐴𝐶= 1.5m，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 22 + 1.52 = 6.25，𝐵𝐶2 = 2.52 = 6.25，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°
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∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【分析】（1）对Rt △𝐴𝐷𝐶和Rt △𝐴𝐷𝐵运用勾股定理求解即可；
（2）证明△𝐴𝐵𝐶三边长满足𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，由勾股定理的逆定理可知，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐶= 1.5m，𝐷𝐶= 0.9m，
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √1.52 −0.92 = 1.2(m)
在Rt △𝐴𝐷𝐵中，𝐴𝐵= 2m，𝐴𝐷= 1.2m
∴𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √22 −1.22 = 1.6(m)
∴𝐵𝐷的长为1.6m；
（2）略
11．（25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在边𝐴𝐵上，将△𝐴𝐷𝐸沿直线𝐷𝐸翻
折，点A 恰好落在边𝐵𝐶上的点F 处，𝐴𝐸= 13，𝐵𝐹= 12．
(1)求𝐴𝐵的长；
(2)求△𝐶𝐷𝐹的面积．
【答案】(1)18
(2)
135
2
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）由折叠的性质可知，𝐸𝐹= 𝐴𝐸= 13，然后再直角△𝐵𝐸𝐹中利用勾股定理求出𝐵𝐸的长即可得到答案；
（2）设𝐶𝐹= 𝑥，则𝐷𝐹= 𝐷𝐴= 𝐷𝐶= 𝑥+ 12，根据勾股定理得出𝑥2 + 182 = (𝑥+ 12)2，求出𝑥=
15
2 ，即可
得到答案．
【详解】（1）解：由折叠可知：𝐸𝐹= 𝐴𝐸= 13，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，
在Rt △𝐵𝐸𝐹中，由勾股定理得：
𝐵𝐸= √𝐸𝐹2 −𝐵𝐹2 = √132 −122 = 5，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 13 + 5 = 18；
（2）解：由折叠可知：𝐷𝐴= 𝐷𝐹，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，𝐷𝐴= 𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 18，
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设𝐶𝐹= 𝑥，则𝐷𝐹= 𝐷𝐴= 𝐵𝐶= 𝑥+ 12，
在Rt △𝐷𝐶𝐹中，由勾股定理得：𝐶𝐹2 + 𝐶𝐷2 = 𝐷𝐹2
∴𝑥2 + 182 = (𝑥+ 12)2，
解之得：𝑥=
15
2 ，
∴𝐶𝐹=
15
2 ，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐹=
1
2 𝐶𝐹⋅𝐶𝐷=
1
2 ×
15
2 × 18 =
135
2 ．
素养提升
1．（25-26 八年级下·湖北黄冈·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13
B．6，8，10
C．√2，√3，√5
D．7，9，11
【答案】D
【分析】由勾股定理的逆定理，只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角
三角形．
【详解】解：A、最长边为13，则52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132，即5，12，13能构成直角三角形；
B、最长边为10，则62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102，即6，8，10能构成直角三角形；
C、最长边为√5，则(√2)
2 + (√3)
2 = 2 + 3 = 5 = (√5)
2，即√2，√3，√5能构成直角三角形；
D、最长边为11，则72 + 92 = 49 + 81 = 130，112 = 121，130 ≠121，得到72 + 92 ≠112，即7，9，11
不能构成直角三角形．
2．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）如图，折叠长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的一边𝐴𝐷，使点𝐷落在𝐵𝐶边上的点𝐹处，若
𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 5，则𝐶𝐸的长为（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．√5
【答案】B
【分析】先由勾股定理求得𝐵𝐹= 3，则𝐶𝐹= 2，在Rt △𝐶𝐸𝐹中，由勾股定理求解𝐶𝐸即可．
【详解】解：在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 5，∠𝐵= ∠𝐶= 90°，
由折叠性质得𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 5，𝐸𝐹= 𝐷𝐸，
在Rt △𝐴𝐵𝐹中，𝐵𝐹= √𝐴𝐹2 −𝐴𝐵2 = √52 −42 = 3，
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∴𝐶𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝐹= 5 −3 = 2
在Rt △𝐶𝐸𝐹中，由勾股定理得𝐶𝐹2 + 𝐶𝐸2 = 𝐸𝐹2，
∴22 + 𝐶𝐸2 = (4 −𝐶𝐸)2，解得𝐶𝐸= 1.5．
3．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90°，以△𝐴𝐵𝐶的两直角边为边向外作正
方形，面积分别为𝑆1，𝑆2，若𝑆1 = 25，𝑆2 = 9，则𝐵𝐶的长为（ ）
A．4
B．√34
C．3
D．16
【答案】B
【分析】由题意得𝑆1 = 𝐴𝐶2 = 25，𝑆2 = 𝐴𝐵2 = 9，再结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：由题意得𝑆1 = 𝐴𝐶2 = 25，𝑆2 = 𝐴𝐵2 = 9，
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90°，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = √25 + 9 = √34．
4．（25-26 八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋
铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的
是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表
示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积为：𝑐2；
也可看作是4 个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
1
2 𝑎𝑏× 4 + (𝑏−𝑎)2 = 𝑎2 + 𝑏2，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
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故A 选项能证明勾股定理；
B、梯形的面积为：
1
2 (𝑎+ 𝑏)(𝑎+ 𝑏) =
1
2 (𝑎2 + 𝑏2) + 𝑎𝑏；
也可看作是2 个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：
1
2 𝑎𝑏× 2 +
1
2 𝑐2 = 𝑎𝑏+
1
2 𝑐2，
∴𝑎𝑏+
1
2 𝑐2 =
1
2 (𝑎2 + 𝑏2) + 𝑎𝑏，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
故B 选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：(𝑎+ 𝑏)2；
也可看作是4 个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
1
2 𝑎𝑏× 4 + 𝑐2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
故C 选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：(𝑎+ 𝑏)2；
也可看作是2 个矩形和2 个小正方形组成，则其面积为：𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏，
∴D 选项不能证明勾股定理．
5．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察
下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为
1，若某个此类勾股数的勾为9，则其弦是________．
【答案】41
【分析】已知勾为9，弦与股相差1，根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：设该勾股数的股为𝑥，则弦为𝑥+ 1，
根据勾股定理可得92 + 𝑥2 = (𝑥+ 1)2，
展开等式右边得81 + 𝑥2 = 𝑥2 + 2𝑥+ 1，
消去𝑥2后整理得2𝑥= 80，
解得𝑥= 40，
因此弦为𝑥+ 1 = 41．
6．（25-26 八年级下·河南商丘·期末）如图，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝐵𝐶= 2，𝐵𝐶⊥𝑂𝐶．
(1)数轴上点A 表示的数为___________；比较点A 表示的数与4 的大小：_________．
(2)在数轴上找出−√17对应的点．（保留作图痕迹）
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【答案】(1)2√5；2√5 > 4
(2)解：如图，点F 表示的数为−√17，即为所求．
【分析】（1）根据勾股定理求出𝑂𝐵= 2√5，即可得到𝑂𝐴的长，从而得出点A 表示的数．先比较√5与2 的
大小，进而得出2√5与4 的大小关系；
（2）在表示−4的点D 处作垂线，在该垂线上取点E，使得𝐷𝐸= 1，连接𝑂𝐸，以O 为圆心，𝑂𝐸的长为半
径画弧，交数轴负半轴于点F，则点F 为所求．
【详解】（1）解：由图可得𝑂𝐶= 4，𝐵𝐶⊥𝑂𝐶，
∴在Rt △𝐵𝑂𝐶中，𝑂𝐵= √𝑂𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √42 + 22 = 2√5，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 2√5，
∴点A 表示的数是2√5．
∵√5 > 2，
∴2√5 > 4．
（2）解：由作图可得𝑂𝐷= 4，𝐷𝐸= 1，
∴在Rt △𝑂𝐷𝐸中，𝑂𝐸= √𝑂𝐷2 + 𝐷𝐸2 = √42 + 12 = √17，
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐸= √17，
∴点F 表示的数是−√17，即为所求．
7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐵𝐶𝐴．
(1)求证：𝐵𝐶= 𝐷𝐶；
(2)若𝑂𝐷= 2，𝑂𝐶= 2√3，求𝐵𝐶的长．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°，
∵在△𝐶𝑂𝐷和△𝐶𝑂𝐵中，
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{
∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐵
𝐶𝑂= 𝐶𝑂
∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐵𝐶𝐴
，
∴△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐵(ASA)，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐶．
(2)𝐵𝐶= 4
【分析】（1）证明△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐵(ASA)即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出𝐶𝐷，再由𝐵𝐶= 𝐷𝐶即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵在Rt △𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐷= 2，𝑂𝐶= 2√3，
∴𝐶𝐷= √𝑂𝐷2 + 𝑂𝐶2=√22 + (2√3)
2=4，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 4．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
按照国际标准，A 系列纸为长方形．如图所示，将A4纸进行两次折叠（折痕分别是𝐴𝐵和𝐴𝐸），使线段𝐴𝐹和
𝐴𝐵均落在𝐴𝐶边上，点𝐷的对应点为点𝐷′．请结合图形解决以下问题：
(1)线段𝐴𝐵与𝐴𝐶之间的数量关系是：________；（填“相等”或“不相等”）
(2)若A4纸的宽为𝐴𝐹，长为𝐴𝐶，则
𝐴𝐶
𝐴𝐹=________；
(3)已知𝐴𝐶∥𝐹𝐷，试判断𝐴𝐵与𝐶𝐷′的位置关系，并证明．
【答案】(1)相等
(2)√2
(3)𝐴𝐵∥𝐶𝐷′，理由如下：
∵𝐴𝐶∥𝐹𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷= 180°
由折叠可知：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷′
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷′ = 180°
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷′
【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结果；
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（2）易得△𝐴𝐵𝐹为等腰直角三角形，进而求出𝐴𝐵= √2𝐴𝐹，即可得出结果；
（3）根据平行线的性质，折叠的性质，推出∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷′ = 180°，即可得出结论.
【详解】（1）解：由折叠可知，𝐴𝐵= 𝐴𝐶；
（2）解：由折叠可知，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐶𝐴𝐹= 45°，
∵∠𝐹𝐴𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐹为等腰直角三角形，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐹，𝐴𝐵= √𝐴𝐹2 + 𝐵𝐹2 = √2𝐴𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶= √2𝐴𝐹，
∴
𝐴𝐶
𝐴𝐹= √2；
（3）略
2．（25-26 七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也
称“赵爽弦图”（如图1 所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2 是由8个全等的
直角三角形拼成，其中直角边分别为𝑎，𝑏，(𝑎> 𝑏)，请回答以下问题：
(1)正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是_____，正方形𝐼𝐽𝐾𝐿的面积是_____，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积是_____；（用含𝑎，𝑏的
式子表示）；
(2)若正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是45，正方形𝐼𝐽𝐾𝐿的面积为5，求正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长；
(3)若(𝑛−2023)2 + (2026 −𝑛)2 = 6，求(𝑛−2023)(2026 −𝑛)的值；
(4)如图3，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5，若Rt △𝐴𝐵𝐶的周长为11，求Rt △𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】(1)(𝑎+ 𝑏)2，(𝑎−𝑏)2，𝑎2 + 𝑏2
(2)5
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(3)
3
2
(4)
11
4
【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可；
（2）由题意得，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是(𝑎+ 𝑏)2 = 45，正方形𝐼𝐽𝐾𝐿的面积是(𝑎−𝑏)2 = 5，两式相加得到
𝑎2 + 𝑏2 = 25，即可得解；
（3）设𝑥= 𝑛−2023，𝑦= 2026 −𝑛，则𝑥+ 𝑦= 3，𝑥2 + 𝑦2 = 6，根据完全平方公式变形求出𝑥𝑦的值，
即可求解；
（4）设Rt △𝐴𝐵𝐶的两直角边分别为𝑎，𝑏，则𝑎+ 𝑏= 6，𝑎2 + 𝑏2 = 25，根据完全平方公式变形求出2𝑎𝑏的
值，即可求解．
【详解】（1）解：正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是(𝑎+ 𝑏)2，
正方形𝐼𝐽𝐾𝐿的面积是(𝑎−𝑏)2，
正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积是𝑎2 + 𝑏2，
故答案为：(𝑎+ 𝑏)2，(𝑎−𝑏)2，𝑎2 + 𝑏2；
（2）解：∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是(𝑎+ 𝑏)2 = 45，正方形𝐼𝐽𝐾𝐿的面积是(𝑎−𝑏)2 = 5，
∴ (𝑎+ 𝑏)2 + (𝑎−𝑏)2 = 45 + 5，
𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 + (𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2) = 50，
𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 + 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 50，
2𝑎2 + 2𝑏2 = 50，
𝑎2 + 𝑏2 = 25，
∴正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积是𝑎2 + 𝑏2 = 25，
∴正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为√25 = 5；
（3）解：设𝑥= 𝑛−2023，𝑦= 2026 −𝑛，则𝑥+ 𝑦= 𝑛−2023 + 2026 −𝑛= 3，
∵ (𝑛−2023)2 + (2026 −𝑛)2 = 6，
∴ 𝑥2 + 𝑦2 = 6，
∴ 2𝑥𝑦= (𝑥+ 𝑦)2 −(𝑥2 + 𝑦2) = 32 −6 = 3，
∴ (𝑛−2023)(2026 −𝑛) = 𝑥𝑦=
3
2；
（4）解：设Rt △𝐴𝐵𝐶的两直角边分别为𝑎，𝑏，
∵ 𝐴𝐵= 5，Rt △𝐴𝐵𝐶的周长为11，
∴ 𝑎+ 𝑏= 11 −5 = 6，
∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5，
∴ 𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2，即𝑎2 + 𝑏2 = 52 = 25，
∴ 2𝑎𝑏= (𝑎+ 𝑏)2 −(𝑎2 + 𝑏2) = 62 −25 = 11，
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∴ Rt △𝐴𝐵𝐶的面积为
1
2 𝑎𝑏=
1
2 ×
11
2 =
11
4 ．
