学科网（北京）股份有限公司
1 /
2.3 等腰三角形的性质定理（第二课时）
题型一：根据等腰三角形“三线合一”求角度
1．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 为BC 的中点，若
44
C
=
，则
BAD
的度数为（ ）
A．46
B．48
C．50
D．52
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答
本题的关键 ．
先由等腰三角形的性质得到
44
C
B
=
=
，再结合题意和三角形的内角和定理得到
46
BAD
=
．
学科网（北京）股份有限公司
2 /
【详解】解：∵
44
AB
AC
C
=
=
，
，
∴
44
C
B
=
=
,
∵D 是边BC 的中点，
∴AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
44
46
BAD
=
−
=
，
故选：A．
2．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
AD
=
，
是BC 边上的中线，BE 平分
ABC
分别交AD、AC 于点O、E ，若
26
ABE
=
，则
BAD
的度数为（ ）
A．52
B．50
C．40
D．38
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得
90
ADB
=
，
从而得
90
BAD
ABD
+
=
，再根据角平分线定义可得
52
ABC
=
，据此计算即可求解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
BAD
ABD
+
=
，
∵BE 平分
ABC
，
26
ABE
=
，
∴
5
2
2
A
ABC
BE
=
=
，
∴
0
38
9
AB
BAD
C
=
=
−
，
故选：D．
3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰
ABC
中，
,
110 ,
AD
BC
BAC
BAD
⊥
=
的度数是（ ）
A．80
B．70
C．60
D．55
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司
3 /
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键．
直接根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】解：∵在等腰
ABC
中，
,
110
AD
BC
BAC
⊥
=
，
∴
1
55
2
BAD
BAC
=
=
．
故选D．
4．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
,
AB
AC AD
CE
=
、
分别是
ABC
的中线和角
平分线．若
20
CAD
=
，则
ACE
的度数是（ ）
A．35
B．30
C．25
D．20
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到
20
BAD
CAD
=
=
，
A
ABC
CB
=
∠
，根据三角形内角和定理求出
ACB
，根据角平分线的定义计算即可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD是
ABC
的中线，
∴
20
BAD
CAD
=
=
，
A
ABC
CB
=
∠
，
∴
20
20
40
BAC
BAD
CAD
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
40
70
2
2
ACB
BAC
=
−
=
−
=
，
∵CE 是
ABC
的角平分线，
∴
1
1
70
35
2
2
ACE
ACB
=
=
=
，
即
ACE
的度数是35．
故选：A．
5．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，AD
CE
、
分别是
ABC
的中线和高线．若
,
34 ,
AB
AC
ACE
=
=
则
BAD
的度数为（ ）
学科网（北京）股份有限公司
4 /
A．34
B．56
C．29
D．28
【答案】D
【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出
BAC
的度数，三线合
一求出
BAD
的度数即可．
【详解】解：∵CE 是高线，
∴
90
AEC
=
，
∵
34 ,
ACE
=
∴
90
34
56
CAE
=
−
=
，
∵AB
AC
=
，AD是
ABC
的中线，
∴
1
28
2
BAD
CAD
BAC
=
=
=
；
故选D．
6．
（24-25 八年级下·广东梅州·期中）如图，在
ABC
中，点E 在BC 上，DE 垂直平分AB 于点D，AE
AC
⊥
，
若1
60
=
，则
C
= ．
【答案】30/30 度
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三线合一，垂直的定义，三角形的内角和为180，掌握知识点是解
题的关键；由DE 垂直平分AB ，得AE
BE
=
，DE
AB
⊥
，继而求出
3
60
=
，根据AE
AC
⊥
，可得
90
CAE
=
，
即可解答．
【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，
∴AE
BE
=
，DE
AB
⊥
，
∴
2
1
60
= =
∴
3 180
1
2
60
=
−
−
=
∠
∠
∠
∵AE
AC
⊥
学科网（北京）股份有限公司
5 /
∴
90
CAE
=
，
∴
90
3
30
C =
−
=
∠
∠
．
故答案为：30．
7．（24-25 八年级上·广东惠州·期中）如图，在
ABC
中，点D 在BC 边上，BD
AD
AC
=
=
，E 为CD的中
点，若
16
CAE
=
，则
B
的大小为 ．
【答案】37/37 度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是关键；由AD
AC
=
，E
为CD的中点，求得
74
ADC
C
=
=
；再由AD
BD
=
及三角形外角的性质即可求得
B
的大小．
【详解】解：∵AD
AC
=
，E 为CD的中点，
∴
ADC
C
=
，AE
CD
⊥
，
∴
90
74
ADC
C
CAE
=
=
−
=
；
∵AD
BD
=
，
∴
B
DAB
=
，
∴
1
37
2
B
ADC
=
=
．
故答案为：37．
8．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点E 在BC 边上，在线段AC 的延长线
上取点D ，使得CD
CE
=
，连接DE ，CF 是CDE
的中线，若
52
FCE
=
，则
A
的度数为 ．
【答案】28
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三
角形的性质与判定．
利用等腰三角形的三线合一求出
ECD
，再求出
ACB
即可解决问题．
学科网（北京）股份有限公司
6 /
【详解】解：∵CD
CE
=
，CF 是CDE
的中线，
∴
2
104
ECD
FCE
=
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
180
104
76
B
ACB
=
=
−
=
，
∴
180
2
28
A
B
=
−=
，
故答案为：28．
题型二：根据等腰三角形“三线合一”求线段长度
1．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如图，在
ABC
中，AD是BC 边上的中线，作BE
AD
⊥
，交AD的延
长线于点E．已知
,
9
AC
CD AE
=
=
，那么AD = ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形
是解题关键．过点C 作CF
AE
⊥
于点F ，先证出BDE
CDF
≌
，根据全等三角形的性质可得DE
DF
=
，再
根据等腰三角形的三线合一可得AF
DF
=
，然后根据线段的和差求解即可得．
【详解】解：如图，过点C 作CF
AE
⊥
于点F ，
∴
90
CFD
=
，
∵BE
AD
⊥
，
∴
90
E
=
，
∵在
ABC
中，AD是BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
在BDE
和CDF
中，
学科网（北京）股份有限公司
7 /
90
E
CFD
BDE
CDF
BD
CD
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BDE
CDF
≌
，
∴DE
DF
=
，
又∵AC
CD
=
，CF
AE
⊥
，
∴AF
DF
=
，
∴DE
DF
AF
=
=
，
∵
9
AF
DF
DE
AE
+
+
=
=
，
∴
3
DE
DF
AF
=
=
=
，
∴
6
AD
AF
DF
=
+
=
，
故答案为：6．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在
ABC
中，
2
B
C
= ，AD
BC
⊥
于点D ．若
ABC
的周长为20，
6
CD = ，
则AC 的长为 ．
【答案】8
【分析】本题由倍角构造等腰三角形，在运用等腰三角形的性质即可解答．
在CD上取点E，使AE
AB
=
运用等腰三角形的性质，可得BD
AB
DC
+
=
，再用
ABC
的周长为20，即可求
出答案．
【详解】解：如图，在CD上取点E，使AE
AB
=
，
则
2
BD
DE
AEB
B
C
=
= =
，
，
故CE
AE
AB
=
=
，
得CD
DE
AE
BD
AB
=
+
=
+
．
则
20
2 6
8
AC =
−= ．
学科网（北京）股份有限公司
8 /
故答案为：8
3．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，且
4
BC =
，则BD长为
【答案】2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到
1
2
BD
BC
=
即可得解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴
1
2
2
BD
BC
=
=
，
故答案为：2．
4．
（24-25 八年级上·山西吕梁·期末）在
ABC
中，AB
AC
=
，BD
AC
⊥
于点D，E 在AB 上，CB
CE
=
，
5
CD = ，
则BE = ．
【答案】10
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点C 作CF
AB
⊥
，交AB 于点F ，可证
得
(
)
AAS
BDC
CFB
≌
，得
5
BF
CD
=
= ，由CB
CE
=
，得
5
BF
EF
=
= ，掌握等腰三角形的性质是解决问题
的关键．
【详解】解：过点C 作CF
AB
⊥
，交AB 于点F ，
学科网（北京）股份有限公司
9 /
∵BD
AC
⊥
，CF
AB
⊥
，
∴
90
BDC
CFB
=
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
A
ABC
CB
=
∠
，
又∵BC
CB
=
，
∴
(
)
AAS
BDC
CFB
≌
，
∴
5
BF
CD
=
= ，
∵CB
CE
=
，
∴
5
BF
EF
=
= ，则
10
BE
BF
EF
=
+
=
，
故答案为：10．
5．（24-25 八年级上·湖南长沙·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
于点D ，点P 是AD上一点，
连接PB ，PC ，若
27 cm
PB =
，则线段PC 的长度为 cm．
【答案】27
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为AB
AC
=
，AD
BC
⊥
于点D ，
则BD
CD
=
，故AD是线段BC 的垂直平分线，即可作答．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
于点D ，
∴BD
CD
=
，
∴AD是线段BC 的垂直平分线，
∴
27 cm
P
PB
C =
=
，
故答案为：27．
学科网（北京）股份有限公司
10 /
6．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，AB
AC
=
，DB
DC
=
，若
6 cm
BC =
，则BE = cm．
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的知识点，解题的关键是证明AE 是
BC 的垂直平分线．
通过证明
ABD
△
和ACD
全等得到
BAE
CAE
=
，再结合AB
AC
=
利用等腰三角形三线合一性质得出BE
与BC 的关系，进而求出BE 的长度．
【详解】在
ABD
△
和ACD
中，
AB
AC
DB
DC
AD
AD
=
=
=
SSS
ABD
ACD
（
）
≌
，
BAD
CAD
=
，即AE 是
BAC
的平分线，
又AB
AC
=
，在等腰三角形
ABC
中，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AE 也是BC 边上的中线，
1
2
BE
BC
=
，
6cm
BC =
，
1
6
3cm
2
BE =
=
．
故答案为：3．
7．
（24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图，在等腰
ABC
中，AB
AC
=
，AD为
ABC
的角平分线，若
ABC
的周长为16cm，
ABD
△
的周长为12cm，则AD的长为 cm．
【答案】4
学科网（北京）股份有限公司
11 /
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直接利用三线合一可得BD
CD
=
，再进一步解答即可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD为
ABC
的角平分线，
∴BD
CD
=
，
∵
ABC
的周长为16cm，
ABD
△
的周长为12cm，
∴
16
AB
AC
BC
+
+
=
，
12
AB
AD
BD
+
+
=
，
∴2
2
16
AB
BD
+
=
，2
2
2
24
AB
AD
BD
+
+
=
，
∴2
24 16
8
AD =
−
=
，
∴
4
=
AD
，
故答案为：4．
8．（24-25 八年级上·福建泉州·期中）如图，ABC
中，AB
AE
=
，且AD
BC
⊥
，EF 垂直平分AC ，交AC
于点F ，交BC 于点E ，若
ABC
周长为20，
6
CD = ，则AF = ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、
等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形的周长公式求出AB
AC
BC
+
+
的值，根据线段垂直平分线的
性质和定义可得EA
EC
=
，
2
AC
AF
=
，由等腰三角形的性质可得BD
DE
=
，结合图形，进行计算即可得到
答案．
【详解】解：
ABC
的周长为20，
20
AB
AC
BC
+
+
=
，
EF
垂直平分AC ，
EA
EC
=
，
2
AC
AF
=
，
AB
AE
=
，AD
BC
⊥
，
BD
DE
=
，AB
AE
CE
=
=
，
∴
6
AB
AE
CE
CD
DE
DE
=
=
=
−
=
−
，
∴6
2
6
2
20
DE
DE
DE
AF
−
+
+ −
+
=
，
学科网（北京）股份有限公司
12 /
∴
4
AF =
，
故答案为：4．
题型三：“三线合一”中的面积问题
1．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB AC
AD
BC
⊥
=
，
于点D ，点E ，F 是AD
上的两点，若
3
5
BD
AD
=
=
，
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4.5
B．6
C．7.5
D．15
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，
以及等腰三角形的性质是解题的关键．
先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD是BC 的垂直平分线，从而可得EB
EC
FB
FC
=
=
，
，然后利用
SSS证明
EBF
ECF
≌
△
△
，从而可得图中阴影部分的面积
ABD
=△
的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：∵AB AC
AD
BC
⊥
=
，
，
∴AD是BC 的垂直平分线，
∴EB
EC
FB
FC
=
=
，
，
在
EBF
△
和
ECF
△
中，
EB
EC
FB
FC
EF
EF
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
EBF
ECF
≌
△
△
，
∴
EBF
△
的面积
ECF
=
的面积，
∵
3
5
BD
AD
=
=
，
，BD
CD
=
，
∴
ABD
△
的面积
1
3 5
7.5
2
=
=
，
∴图中阴影部分的面积
ABD
=△
的面积
7.5
=
，
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司
13 /
2．（2025·云南临沧·二模）如图，CD是等腰
ABC
底边上的中线，BE平分
ABC
，交CD于点E ，
8
2
AC
DE
=
=
，
，则BCE
的面积是（ ）
A．16
B．12
C．8
D．6
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助
线．过E 作EF
BC
⊥
交BC 于点F ，根据等腰三角形底边上三线合一得到DE
AB
⊥
，结合EF
BC
⊥
，BE 平
分
ABC
得到
=
DE
EF 即可得到答案；
【详解】解：如图，过E 作EF
BC
⊥
交BC 于点F ，
∵CD是等腰三角形
ABC
底边上的中线，
∴DE
AB
⊥
，AC
BC
=
，
∵BE 平分
ABC
，EF
BC
⊥
，
∴
=
DE
EF ，
∵
8
2
AC
DE
=
=
，
∴
1
1
1 8 2
8
2
2
2
BCE
S
BC
EF
AC
DE
=
=
=
=
，
故选：C．
3．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AE 是
BAC
的平分线，点D 是AE 上的一点，
2
AD
DE
=
，若
ADC
△
的面积为4，则
ABC
的面积是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
14 /
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得BE
CE
=
，推出
1
2
ABE
ACE
ABC
S
S
S
=
=
△
△
△
，由
2
AD
DE
=
，推出
1
2
2
CDE
CAD
S
S
=
=
，据此求解即可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AE 是
BAC
的平分线，
∴AE
BC
⊥
，BE
CE
=
，
∴
1
2
ABE
ACE
ABC
S
S
S
=
=
△
△
△
，
∵
2
AD
DE
=
，
∴
1
2
2
CDE
CAD
S
S
=
=
，
∴
6
ACE
CDE
CAD
S
S
S
=
+
=
△
△
△
，
∴
2
12
ABC
ACE
S
S
=
=
，
故选：D．
4．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
6
AC
BC
=
=
，D 是AB 的中点，
点E ，F 分别在边AC ，CB 上，且满足AE
CF
=
，则四边形CEDF 的面积为（）
A．36
B．18
C．9
D．9
2
【答案】C
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证
明
EAD
FCD
≌
△
△
是解题的关键．由
90
ACB
=
，
6
AC
BC
=
=
，得
18
ABC
S
=
，
45
A
B
= =
，由D 是AB
学科网（北京）股份有限公司
15 /
的中点，得
1
9
2
ADC
ABC
S
S
=
=
，CD
AD
BD
=
=
，
45
FCD
ACD
=
=
，则
A
FCD
=
，而AE
CF
=
，即可根
据“SAS”证明
EAD
FCD
≌
△
△
，则
EAD
FCD
S
S
=
，推导出
9
ADC
CEDF
S
S
=
=
四边形
，于是得到问题的答案．
【详解】解：
90
ACB
=
，
6
AC
BC
=
=
，
1
1
6 6
18
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
，
45
A
B
= =
，
D
是AB 的中点，
1
9
2
ADC
BDC
ABC
S
S
S
=
=
=
，
1
2
CD
AD
BD
AB
=
=
=
，
1
45
2
FCD
ACD
ACB
=
=
=
，
A
FCD
=
，
在EAD
和FCD
中，
AD
CD
A
FCD
AE
CF
=
=
=
，
(SAS)
EAD
FCD
≌
，
EAD
FCD
S
S
=
，
9
ECD
FCD
ECD
EAD
ADC
CEDF
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
=
四边形
，
故选：C．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD平分
BAC
交BC 于点D ，
5
AD = ，
3
CD =
，
则
ABC
的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．由等
腰三角形的性质可得AD
BC
⊥
，
2
6
BC
CD
=
=
，最后根据
1
2
ABC
S
BC AD
=
，即可求解．
【详解】解：在
ABC
中，AB
AC
=
，AD平分
BAC
交BC 于点D ，
AD
BC
⊥
，
2
6
BC
CD
=
=
，
1
1
6 5
15
2
2
ABC
S
BC AD
=
=
=
，
故答案为：15．
学科网（北京）股份有限公司
16 /
6．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，D 在直线AC 左侧，满足
DC
AC
⊥
且DC
AC
=
，垂足为C．连接BD，若
BCD
△
的面积为16，则BC 的长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性
质成为解题的关键．
如图：过A 作AE
BC
⊥
于E，过D 作DF
BF
⊥
于E，即
90
DFC
AEC
=
=
，先证明
(
)
AAS
FDC
ECA
≌
可
得DF
EC
=
，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得
1
2
DF
BC
=
，最后根据
BCD
△
的面积为16 列方程
求解即可．
【详解】解：如图：过A 作AE
BC
⊥
于E，过D 作DF
BF
⊥
于E，即
90
DFC
AEC
=
=
，
∴
90
DCF
FDC
+
=
，
∵DC
AC
⊥
，
∴
90
DCF
ACE
+
=
，
∴
FDC
ACE
=
，
∵DC
AC
=
，
∴
(
)
AAS
FDC
ECA
≌
，
∴DF
EC
=
，
∵AE
BC
⊥
，AB
AC
=
，
学科网（北京）股份有限公司
17 /
∴
2
2
BC
EC
DF
=
=
，即
1
2
DF
BC
=
，
∵
BCD
△
的面积为16，
∴1
16
2 BC DF
=
，即1
1
16
2
2
BC
BC
=
，
解得：
8
BC = （已舍弃负值）．
故答案为：8．
7．（23-24 八年级上·广东东莞·期中）如图，在
ABC
中，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CD
AE
⊥
，交AE
的延长线于点D，连接BD．若AB
BD
=
，
BCD
△
的面积为15，则
ABC
的面积为 ．
【答案】45
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作BF
AE
⊥
于点F ，先证明
BEF
CED
≌
△
△
，则BF
CD
=
，FE
DE
=
，由AB
BD
=
得AF
DF
=
，设FE
DE
m
=
=
，BF
CD
n
=
=
，则
2
2
AF
DF
FE
m
=
=
=
，
3
AE
m
=
，根据
15
BCD
S
=
△
求出mn 的值，再用含mn 的式子表示
ABC
S
，从而求出
ABC
的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，作BF
AE
⊥
于点F ，
∵CD
AE
⊥
，
∴
90
BFE
CDE
=
=
，
∵AE 是BC 边上的中线，
∴BE
CE
=
，
在
BEF
△
和
CED
△
中，
学科网（北京）股份有限公司
18 /
BFE
CDE
BEF
CED
BE
CE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BEF
CED
≌
，
∴FE
DE
=
，BF
CD
=
，
∵AB
BD
=
，
∴AF
DF
=
，
设FE
DE
m
=
=
，BF
CD
n
=
=
，则
2
2
AF
DF
FE
m
=
=
=
，
∴
3
AE
AF
FE
m
=
+
=
，
∴
1
1
1
1
·
·
2
2
2
2
BCD
BDE
CDE
S
S
S
DE BF
DE CD
mn
mn
mn
=
+
=
+
=
+
=
，
∵
15
BCD
S
=
△
，
∴
15
mn =
，
∴
1
1
1
1
·
·
3
3
3
45
2
2
2
2
ABC
ABE
ACE
S
S
S
AE BF
AE CD
mm
mn
mm
=
+
=
+
=
+
=
=
，
故答案为：45 ．
题型四：判断结论是否正确
1．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是
（ ）
A．
B
C
=
B．AD平分
BAC
C．AD
BC
⊥
D．
2
AB
BD
=
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD
BC
⊥
，AD平分
BAC
，从而判断B 与C 正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A 正确；根据已知条件不能判断D
正确．
【详解】解：∵
ABC
中，AB
AC
=
，D 是BC 中点
学科网（北京）股份有限公司
19 /
∴AD
BC
B
C
BAD
CAD
⊥
=
=
，
，
，即AD平分
BAC
，
故A、B、C 三项正确， D 不正确．
故选：D．
2．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）在
ABC
中，AB
AC
=
，过A 点作AD
BC
⊥
，垂足为点D ，下列结论
不正确的是（ ）
A．
B
C
=
B．
BAD
CAD
=
C．BD
CD
=
D．
1
2
BD
AB
=
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：在
ABC
中，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
B
C
=
，
BAD
CAD
=
，BD
CD
=
，
故选项A.B.C 正确，不符合题意；
不能证明
1
2
BD
AB
=
，
故选项D 不正确，符合题意；
故：D．
3．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是
一个筝形，其中AD
CD
=
，AB
CB
=
，小明在探究筝形的性质时，连接AC ，BD交于点O，下列说法错误
的是（ ）
A．BD平分
ABC
B．BD垂直平分AC
C．
1
2
ABCD
S
AC BD
=
四边形
D．AO
DO
BO
+
=
学科网（北京）股份有限公司
20 /
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式，熟练掌握以
上知识点是解答本题的关键．
证明ADB
CDB
≌
得
ABD
CBD
=
，可判断A 选项正确；由等腰三角形的性质得BD垂直平分AC ，可判
断B 选项正确；由
1
2
ABC
S
AC OB
=
，
1
2
ADC
S
AC OD
=
，推导出
1
1
1
2
2
2
A
A
C
BCD
ABC
D
S
S
AC OB
AC OD
AC BD
S
+
=
+
=
=
四边形
，可判断C 选项正确；举“反例”
1
2
DO
AO
=
，
1
2
AO
BO
=
，则
1
4
DO
BO
=
，所以
1
1
3
2
4
4
AO
DO
BO
BO
BO
+
=
+
=
，说明AO
DO
+
与BO不一定相等，可判
断D 选项错误．
【详解】解：在ADB
和
CDB
△
中，
AD
CD
AB
CB
DB
DB
=
=
=
，
(
)
SSS
ADB
CDB
△
≌△
，
ABD
CBD
=
，
BD
平分
ABC
，故A 选项正确；
AB
CB
=
，BD平分
ABC
，
BD
垂直平分AC ，故B 选项正确；
1
2
ABC
S
AC OB
=
，
1
2
ADC
S
AC OD
=
，
1
1
1
2
2
2
ABC
A
D
C
C
D
AB
S
S
AC OB
AC OD
AC BD
S
+
=
+
=
=
四边形
，故C 选项正确；
假设
1
2
DO
AO
=
，
1
2
AO
BO
=
，则
1
4
DO
BO
=
，
1
1
3
2
4
4
AO
DO
BO
BO
BO
+
=
+
=
，
AO
DO
+
与BO不一定相等，故D 选项错误；
故选：D．
4．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，ABC
中，AB
AC
=
，AM 是BC 边上的中线，点N 在AM 上，
则NB 与NC 的关系是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
21 /
A．NB
NC
B．NB
NC
C．NB
NC
=
D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题
的关键．
根据AB
AC
=
，AM 是BC 边上的中线得AM
BC
⊥
，所以得到AM 垂直平分BC ，再根据线段垂直平分线的
性质即可求解．
【详解】解：
AB
AC
=
，AM 是BC 边上的中线，
AM
BC
⊥
，
AM
垂直平分BC ，
点N 在AM 上，
NB
NC
=
，
故选：C．
5．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在
ABC
中，
,
=
⊥
AB
AC AD
BC ，垂足为D ，点E 是AD上一点，
连接
,
BE CE ．下列说法错误的是（ ）
A．BD
DC
=
B．
BAD
CAD
=
C．AB
AD
=
D．BE
CE
=
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得BD
DC
=
，
学科网（北京）股份有限公司
22 /
BAD
CAD
=
，进而得BE
CE
=
，再根据直角三角形的性质得AB
AD
，即可得出结论．
【详解】解：∵在
ABC
中，
,
=
⊥
AB
AC AD
BC ，
∴BD
DC
=
，
BAD
CAD
=
，A、B 正确，不符合题意；
∴AD是线段BC 的垂直平分线，
∴BE
CE
=
，D 正确，不符合题意；
在Rt
ABD
△
，AB 是斜边，AD是直角边，AB
AD
，
∴C 错误，符合题意．
故选：C．
6．（24-25 八年级上·青海海东·阶段练习）如图，AD平分
,
BAC EF
垂直平分AD于点E ，交BC 的延长线
于点F ，连接AF ．下列结论中不正确的是（ ）
A．AF
DF
=
B．BD
CD
=
C．
B
BAD
ADF
+
=
D．
BAD
DAC
=
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质可判断选项A ，根据等腰三角形三线合一性质可判断选项B ，根据等腰三
角形的性质及三角形外角性质可判断选项C ，根据三角形角平分线的定义可判断选项D ．
【详解】解：
AD
平分
BAC
，
BAD
DAC
=
，故选项D 的结论正确，不符合题意；
ABC
不一定是等腰三角形，
不能证明BD
CD
=
，故选项B 的结论错误，符合题意；
EF
垂直平分AD，
AF
DF
=
，故选项A 的结论正确，不符合题意；
ADF
是ABD
的外角，
ADF
B
BAD
=
+
，故选项C 的结论正确，不符合题意；
故选：B．
7．（24-25 八年级上·山东日照·期中）如图，在四边形ABCD中，AB
CD
∥
，AD
AB
⊥
，P 是AD边上的一
学科网（北京）股份有限公司
23 /
个动点，要使PC
PB
+
的值最小，则点P 应满足（ ）
A．
APB
DPC
=
B．PB
PC
=
C．PA
PD
=
D．
90
BPC
=
【答案】A
【分析】此题考查轴对称的性质，作点B 关于AD的对称点B，连接B C
，则交点P 即为符合题意的点，
根据轴对称的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，作点B 关于AD的对称点B，连接B C
，交AD于点P，连接BP，则PC
PB
+
的
最小值为B C
的长，点P 即为所求，
∵点B与点B 关于AD对称，
∴PB
PB
=
，PA
BB
⊥
，
∴
APB
APB
=
，
∵
DPC
B PA
=
，
∴
DPC
APB
=
，
故选：A．
题型五：“三线合一”中尺规作图问题（选填）
1．（2025·江苏苏州·一模）已知线段AB ，利用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，下列4 个作图中正确的有
（ ）
学科网（北京）股份有限公司
24 /
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的
关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断．
【详解】解：在图①中，由作图可知，AP
BP
=
，AQ
BQ
=
，
∴PQ 是AB 的垂直平分线，故①符合题意；
在图②中，由作图可知，AP
BP
=
，PQ 平分
APB
，
由等腰三角形“三线合一”可知，PQ 是AB 的垂直平分线，故②符合题意；
在图③中，由作图可知，AP
BP
=
，AQ
BQ
=
，
∴PQ 是AB 的垂直平分线，故③符合题意；
在图④中，由作图可知，AP
BP
，AQ
BQ
，
∴PQ 不是AB 的垂直平分线，故④不符合题意；
综上，4 个作图中正确的有①②③，共3 个，
故选：C．
2．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案．其中
OAB
△
与OCD
都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD的中点，OE
OF
⊥
．下
列判断错误
．．的是（ ）
A．
180
AOD
BOC
+
=
B．
BOF
COE
=
C．
90
BOD
=
D．
BOC
AOB
=
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司
25 /
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质等，掌握轴对称的性质是解题的关键．由对称的性
质得
AOB
DOC
=
，由等腰三角形的性质得
1
1
,
2
2
BOE
AOB
DOF
DOC
=
=
，即可判断B，C，D，
过O作GM
OH
⊥
，可得
GOD
BOH
=
，由对称性质得
BOH
COH
=
同理可证
AOM
BOH
=
，即可
判断A；
【详解】解：∵OE
OF
⊥
，
90
BOE
BOF
+
=
，
由对称得
AOB
DOC
=
，
∵点
,
E F 分别是底边
,
AB CD 的中点，
OAB
△
与ODC
都是等腰三角形，
1
1
,
2
2
BOE
AOB
COF
DOF
DOC
=
=
=
，
90
BOF
DOF
+
=
，
∴
90
BOD
=
，结论C 正确，不符合题意；
BOE
COF
=
，
BOE
BOC
COF
BOC
+
=
+
∴
，即
BOF
COE
=
，结论B 正确，不符合题意；
由对称可知，
AOB
COD
COB
=
，结论D 错误，故符合题意；
过O作GM
OH
⊥
，
90
GOD
DOH
+
=
，
90
BOH
DOH
+
=
，
,
GOD
BOH
BOH
COH
=
=
，
GOD
COH
=
，
同理可证
AOM
BOH
=
，
∴
180
AOD
BOC
AOD
AOM
DOG
+
=
+
+
=
，结论A 正确，故不符合题意；
故选：D．
3．（24-25 八年级上·河北秦皇岛·期末）在
ABC
中AB
AC
=
，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线
的交点为O，下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
26 /
A．点O 是
ABC
的重心
B．AC 的垂直平分线一定不经过点0
C．点O 到
ABC
三边距离相等
D．点O 到
ABC
三个顶点距离相等
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，利用三线合一的性质可得AD为
BAC
的
平分线，又是底边上的高和中线，即可解答，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可得AD为
BAC
的平分线，OE 为AB 的垂直平分线，
AB
AC
=
，
,
AD
BC BD
CD
⊥
=
，
AD
为BC 的垂直平分线，
交点O 为三角形垂直平分线的交点，
点O 到
ABC
三个顶点距离相等，
故选：D．
4．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）如图，在
ABC
中，AC
BC
．按下列步骤用直尺和圆规作图：
第一步：分别以点A 和点B 为圆心、大于AB 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N；
第二步：作直线MN 交边AC 于点D；
第三步：连接BD．
根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
27 /
A．CB
BD
=
B．
A
ABD
=
C．
ADN
BDN
=
D．MN
AB
⊥
【答案】A
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．利用线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质判断即可．
【详解】解：由作图可知，MN 垂直平分线段AC ，
∴DA
DB
=
，MN
AB
⊥
，
∴
A
ABD
=
，
ADN
BDN
=
，
故选项A 符合题意，选项B、C、D 不符合题意．
故选：A．
5．（24-25 八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，AD是边BC 上的高，
在BA，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE
BF
=
；分别以点E，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，
两弧在
ABC
内部交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M 作MN
AB
⊥
于点N．若
2
MN =
，
3
BD =
，
4
AD
MD
=
，则
ABC
的面积是（ ）
A．24
B．18
C．12
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得
2
6
BC
BD
=
=
，
由作图可得BP平分
ABC
，由角平分线的性质定理可得
2
MD
MN
=
= ，从而得出
8
AD = ，再由三角形面积
公式计算即可得解．
【详解】解：∵在等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，AD是边BC 上的高，
学科网（北京）股份有限公司
28 /
∴
2
6
BC
BD
=
=
，
由作图可得：BP平分
ABC
，
∵MN
AB
⊥
，AD
BC
⊥
，
∴
2
MD
MN
=
= ，
∵
4
AD
MD
=
，
∴
8
AD = ，
∴
1
1
6 8
24
2
2
ABC
S
BC AD
=
=
=
△
，
故选：A．
6．（24-25 八年级上·山东潍坊·阶段练习）在
ABC
中，
90 ,
39
ACB
B
=
=
，分别以点A，B 为圆心，大
于1
2 AB 的长为半径画弧，两弧交于D，E 两点，直线DE 交BC 于点F，连接AF ．以点A 为圆心，AF 的长
为半径画弧，交BC 延长线于点H，连接AH ．则
FAH
的度数是（ ）
A．20
B．24
C．39
D．44
【答案】B
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质等，先根据三角形内角和定理
求出
51
CAB
=
，再根据DF 垂直平分线段AB ，得出FB
FA
=
，根据等边对等角得出
39
FAB
B
= =
，
进而可得
12
FAC
=
，最后根据等腰三角形三线合一可得
2
24
FAH
FAC
=
=
．
【详解】解：
ABC
中，
90 ,
39
ACB
B
=
=
，
90
39
51
CAB
=
−
=
，
由作图可知DF 垂直平分线段AB ，
FB
FA
=
，
39
FAB
B
= =
，
51
39
12
FAC
CAB
FAB
=
−
=
−
=
，
由作图可知AH
AF
=
，
90
ACB
=
，
学科网（北京）股份有限公司
29 /
等腰FAH
中，AC
FH
⊥
，
2
24
FAH
FAC
=
=
，
故选：B．
7．（24-25 七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段AB 的端点A ，B 为圆心，取大于1
2 AB 长为半径，
作两条相交的弧，交点记为C ，D ，点E 在射线DC 上．若
100
ACB
=
，
30
AED
=
，则
EAC
= °．
【答案】20
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意
可知，CD垂直平分线段AB ，再根据垂直平分线的性质得出CA
CB
CD
AB
=
⊥
，
，再根据等腰三角形的性
质可得
1
2
ACD
ACB
=
，然后利用三角形外角的性质即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，CD垂直平分线段AB ，
CA
CB
CD
AB
=
⊥
，
，
1
50
2
ACD
ACB
=
=
，
ACD
AED
EAC
=
+
，
50
30
20
EAC
ACD
AED
=
−
=
−
=
，
故答案为：20．
8．
（23-24 八年级上·湖南株洲·期中）如图，在等腰
ABC
中，在AB
AC
、
上分别截取AP
AQ
、
，使AP
AQ
=
．再
分别以点P，Q 为圆心，以大于PQ 的长为半径作弧，两弧在
BAC
内交于点R，作射线AR ，交BC 于点D．已
知
5,
4,
6
AB
AC
AD
BC
=
=
=
=
．若点M、N 分别是线段AD和线段AB 上的动点，则BM
MN
+
的最小值为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司
30 /
A．5
B．6.4
C．4.8
D．6
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，根据作图可知，AD平分
BAC
，三线合一，得到AD
垂直平分BC ，连接CM ，则：BM
CM
=
，BM
MN
CM
MN
CN
+
=
+
，得到当
,
,
C M N 三点共线时，BM
MN
+
的值最小，再根据垂线段最短，得到当CN
AB
⊥
CN 最小，等积法求出CN 的长即可．
【详解】解：根据作图可知，AD平分
BAC
，
∵AB
AC
=
，
∴
,
BD
CD AD
BC
=
⊥
，
∴AD垂直平分BC ，
，连接CM ，则：BM
CM
=
，
∴BM
MN
CM
MN
CN
+
=
+
，
∴当
,
,
C M N 三点共线时，BM
MN
+
的值最小，为CN 的长，
∵N 是线段AB 上的动点，
∴当CN
AB
⊥
时，CN 最小，
此时1
1
2
2
AB CN
BC AD
=
，
∴5
6 4
CN =
，
∴
24
5
CN =
，
∴BM
MN
+
的最小值为24
4.8
5 =
；
故选C．
学科网（北京）股份有限公司
31 /
9．（24-25 八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在
ABC
中，点D 是AC 的中点，分别以点A，C 为圆心，
大于1
2 AC 的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD 交BC 于点E，连接AE ，若
2
AD =
，
ABC
的周长为
16，则ABE
的周长为( )
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形三线合一性质，垂直平分线判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．先证
明DF 垂直平分AC 得到AE
CE
=
，由
2
AD =
求出AC ，从而得到ABE
的周长为：
AB
BE
AE
AB
BE
CE
AB
BC
+
+
=
+
+
=
+
，继而得解．
【详解】连接AF 、CF ，
依题意可知：AF
CF
=
，
又∵点D 是AC 的中点，
2
AD =
∴DF 垂直AC ，
2
4
AC
AD
=
=
，
∴DF 垂直平分AC ，
∴AE
CE
=
，
∵
ABC
的周长为16，
∴
16
AB
BC
AC
+
+
=
，
∴
16
12
AB
BC
AC
+
=
−
=
，
学科网（北京）股份有限公司
32 /
∴ABE
的周长为：
12
AB
BE
AE
AB
BE
CE
AB
BC
+
+
=
+
+
=
+
=
，
10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
．在AB ，AC 上分别截取AP ，AQ ，使
AP
AQ
=
．再分别以点P，Q 为圆心，以大于1
2 PQ的长为半径作弧，两弧在
BAC
内交于点R，作射线AR ，
交BC 于点D．若
6
BD =
，则BC 的长为（ ）
A．12
B．3
C．8
D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得，AD平分
BAC
，
根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出AD平分
BAC
．
【详解】解：根据作图过程可得，AD平分
BAC
，
又∵AB
AC
=
，
∴
2
12
BC
BD
=
=
,
故选：A．
题型六：“三线合一”解决实际问题
1．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条
是否水平．在这个测平仪中，AB
AC
=
，BC 边的中点D 处挂了一个重锤．陈老师将BC 边与木条重合，观
察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形的“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
学科网（北京）股份有限公司
33 /
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A 点时，AD也是BC 边上的高，即AD
BC
⊥
，即这根木条是水平的，
据此即可解答．
【详解】解：∵在三角测平架中，AB
AC
=
，
∴AD为等腰
ABC
的底边BC 上的高，
又∵AD自然下垂，
∴BC 处于水平位置．
∴等腰三角形底边上的中线就是底边上的高．
故选C．
2．（24-25 八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在
ABC
中，AB
AC
=
，D
是BC 的中点，连接AD，E 是AC 上一点，且AD
DE
=
．若
=110
BAC
，则
ADE
的度数为（ ）
A．55
B．60
C．62.5
D．70
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知
55
BAD
CAD
=
=
，由等腰三角形两底角相等即可求解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，D 是BC 的中点，
=110
BAC
，
∴
1
55
2
BAD
CAD
BAC
=
=
=
，
∵AD
DE
=
，
∴
180
2
70
ADE
CAD
=
−
=
．
故选：D．
3．（24-25 八年级下·河南焦作·阶段练习）河南所有行政村实现了5G网络覆盖，如图，为了让安装5G 设备
的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆DE 上一点A 往地面拉两条长度相等的固定绳AB 与AC ，当
BE
CE
=
，且点B ，E ，C 在同一直线上时，电线杆DE
BC
⊥
.这种操作方法的依据是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
34 /
A．等角对等边
B．两点之间线段最短
C．等腰三角形三线合一的性质
D．垂线段最短
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形
的性质进行求解即可．
【详解】解：
,
BE
CE AB
AC
=
=
，
DE
BC
⊥
，
依据是等腰三角形三线合一的性质．
故选C．
4．（24-25 七年级下·全国·单元测试）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶
溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状
元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC ，AB
AC
=
，D 是边BC 上的一点．下列条件不能说明AD平分
BAC
的是（ ）
A．
ADB
ADC
=
B．BD
CD
=
C．
2
BC
AD
=
D．
ABD
ACD
S
S
=
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质，三角形中线的性质逐项判定即
可．
【详解】解：∵
ADB
ADC
=
，
90
ADB
ADC
+
=
，
∴AD
BC
⊥
，
∵AB
AC
=
，
∴AD平分
BAC
，故选项A 不符合题意；
∵AB
AC
=
，BD
CD
=
，
学科网（北京）股份有限公司
35 /
∴AD平分
BAC
，故选项B 不符合题意；
∵
ABD
ACD
S
S
=
，
∴BD
CD
=
，
又AB
AC
=
，
∴AD平分
BAC
，故选项D 不符合题意；
而
2
BC
AD
=
无法说明AD平分
BAC
，故选项C 符合题意，
故选：C．
5．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角
尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质
是 ．
【答案】等腰三角形“三线合一”
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答
本题的关键．
因为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，座椅如果重物的线恰好经过三角板
底边的中点，则房梁就与竖直的线垂直，因而可以判断此房梁是水平的．
【详解】解：因为重垂线过底边的中点，则根据等腰三角形“三线合一”的性质得此线也为底边上的高，由于
垂线是垂直的，所以底边即房梁就是水平的，
故答案为：等腰三角形“三线合一”．
6．（24-25 八年级上·北京丰台·期末）为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角
三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，
结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数
学的角度分析，理由是 ．
学科网（北京）股份有限公司
36 /
【答案】 正确 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合
【分析】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数
学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．
根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，解答即可．
【详解】解：如图，
∵
ABC
是等腰三角形，
∴AC
BC
=
，
∵点O 为AB 的中点，
∴OC
AB
⊥
，即挂铅锤的绳与镜框垂直，
（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合）
故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合．
题型七：“三线合一”中基础解答题
1．（24-25 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，
且AD
AE
=
，若
30
CAD
=
，求
EDC
的度数．
学科网（北京）股份有限公司
37 /
【答案】15
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三
线合一，是解题的关键．
利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵
,
AB
AC AD
AE
=
=
，
∴
,
B
C
ADE
AED
=
=
，
∵点D 为BC 的中点，
∴AD
BC
⊥
，即
90
ADC
=
，
∴
90
ADE
CDE
+
=
，
∵
30
CAD
=
，
∴
(
)
1 180
75
2
ADE
CAD
=
−
=
，
∴
15
CDE
ADC
ADE
=
−
=
．
2．（24-25 七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：1
2
= ，DA
DB
=
，
1
2
AC
AB
=
．求
ACD
度数．
【答案】
=90
ACD
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长AC 到点E，使得AE
AB
=
，
证明ADB
ADE
≌
，得到BD
ED
=
，推出AC
CE
=
，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：延长AC 到点E，使得AE
AB
=
，
在ADB
和
ADE
中，
学科网（北京）股份有限公司
38 /
1
2
AB
AE
AD
AD
=
=
=
，
(
)
SAS
ADB
ADE
≌
，
BD
ED
=
，
1
2
AC
AB
=
，
1
2
AC
AE
=
，
AC
CE
=
，
即点C 为AE 的中点，
DA
DB
=
，
DA
DE
=
，
ADE
是等腰三角形，
DC
是
ADE
底边上的中线，
DC
AE
⊥
，
90
ACD
=
．
3．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，
7
AB
AC
cm
=
=
，
50
B
AD
BC
=
⊥
，
于点D，点
E 在AC 上且AE
AD
=
．
(1)若
ABC
的周长是22cm ，求线段BD的长；
(2)求
CDE
的度数．
【答案】(1)4cm
(2)20
【分析】（1）根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案；
（2）根据等腰三角形两底角相等及三线合一得到
,
DAC
C
，结合AE
AD
=
即可得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
39 /
【详解】（1）解：
7
AB
AC
cm AD
BC
=
=
⊥
，
，
∴
1
2
BD
CD
BC
=
=
，
ABC
的周长是22cm ，
22
8
BC
AB
AC
cm
=
−
−
=
，
4
BD
CD
cm
=
=
，
∴线段BD的长为4cm；
（2）
50
AB
AC
B
=
=
，
，
50
C
B
=
=
，
AD
BC
⊥
，
90
ADC
=
，
90
50
40
DAC
=
−
=
，
AD
AE
=
，
∴
180
70
2
DAC
ADE
AED
−
=
=
=
，
20
CDE
ADC
ADE
=
−
=
，
CDE
的度数为20．
4．
（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，
100
A
=
，D 为AC 边上一点，连接BD，BD
DC
=
，
过点D 作BC 的垂线，垂足为E．
(1)若
20
ABD
=
，求
C
的度数；
(2)若
5
CE =
，BDC
的周长为24，求BD的长．
【答案】(1)
30
C
=
(2)
7
BD =
【分析】该题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质．
（1）根据
100
A
=
，
20
ABD
=
，求出
60
ADB
=
，根据BD
DC
=
，得出
DBC
DCB
=
，再根据三角形
外角的性质即可求解．
（2）根据等腰三角形的性质得出
5
BE
CE
=
=
，结合BD
DC
=
和BDC
的周长为24，即可求解．
【详解】（1）解：∵
100
A
=
，
20
ABD
=
，
学科网（北京）股份有限公司
40 /
∴
180
100
20
60
ADB
=
−
−
=
，
∵BD
DC
=
，
∴
1
2
DBC
C
ADB
=
=
，
∵
60
ADB
DBC
C
=
+
=
，
∴
30
C
=
．
（2）解：∵BD
DC
=
，BC
DE
⊥
，
∴
5
BE
CE
=
=
，
∵
2
2
24
BDC
C
BD
CD
BE
CE
BD
CE
=
+
+
+
=
+
=
，
∴
7
BD =
．
5．（24-25 七年级上·山东·期末）如图
ABC
中，AB
AC
=
，AE 是
ABC
中线，
ACB
的平分线与AE 相
交于点D，
125
ADC
=
．
求
(1)
DCE
的度数．
(2)
BAC
的度数．
【答案】(1)35
(2)40
【分析】（1）由等腰三角形性质得
90
AEC
=
，由三角形外角的性质即可求解；
（2）由（1）所求可得
ACB
，由等腰三角形性质及三角形内角和即可求得结果．
【详解】（1）解：∵AB
AC
=
，AE 是
ABC
中线，
∴AE
BC
⊥
，即
90
AEC
=
，
∴
125
90
35
DCE
ADC
AEC
=
−
=
−
=
；
（2）解：∵CD平分
ACB
，
35
DCE
=
，
∴
2
70
ACB
DCE
=
=
；
∵AB
AC
=
，
学科网（北京）股份有限公司
41 /
∴
70
ABC
ACB
=
=
，
∴
180
40
BAC
ABC
ACB
=
−
−
=
．
6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，D 是BC 边上的中点，
20
B
=
．
(1)求
DAC
的大小；
(2)若
13
AB =
，
12
CD =
，求
ABC
的周长．
【答案】(1)70
(2)50
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
（1）由等边对等角可得
20
= =
C
B
，由等腰三角形的性质可得AD
BC
⊥
，从而得出
90
ADC
=
，即
可得解；
（2）由等腰三角形的性质可得
13
AC =
，
2
24
BC
CD
=
=
，再由三角形的周长公式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵AB
AC
=
，
20
B
=
，
∴
20
= =
C
B
，
∵AB
AC
=
，点D 是BC 的中点，
∴AD
BC
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
∴
90
20
70
DAC
=
−
=
；
（2）解：∵
13
AB =
，
12
CD =
，
∴
13
AC =
，
2
24
BC
CD
=
=
，
∴
ABC
的周长为
50
AB
AC
BC
+
+
=
．
7．（24-25 八年级上·云南昆明·期中）如图，在
ABC
中，边BC 的垂直平分线MN ，交边AC 于点D ，交边
BC 于点E ，连接BD．
学科网（北京）股份有限公司
42 /
(1)若
4
CE =
，
ABD
△
的周长为10，求
ABC
的周长．
(2)若
60
ADM
=
，
20
ABD
=
，求
A
的度数．
【答案】(1)18
(2)100
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形外角的性质，
（1）根据垂直平分线的性质可得
4
BE
CE
=
=
，根据三角形的周长公式可推出
10
AB
AC
+
=
，即可求解；
（2）根据对顶角相等可得
60
CDN
=
，根据垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质得
60
BDN
CDN
=
=
，进而根据三角形外角的性质即可求解；
解题的关键是掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【详解】（1）解：∵MN 垂直平分BC ，
4
CE =
，
∴DC
DB
=
，
4
BE
CE
=
=
，
∴
4
4
8
BC
BE
CE
=
+
=
+
= ，
∵
ABD
△
的周长为10，
∴10
AB
AD
DB
AB
AD
DC
AB
AC
=
+
+
=
+
+
=
+
，
∴
10 8 18
AB
AC
BC
+
+
=
+ =
，
∴
ABC
的周长为18；
（2）∵
60
ADM
=
，
20
ABD
=
，
∴
60
CDN
ADM
=
=
，
∵MN 垂直平分BC ，
∴DC
DB
=
，MN
BC
⊥
，
∴
60
BDN
CDN
=
=
，
∴
60
60
120
BDC
BDN
CDN
=
+
=
+
=
，
∴
120
20
100
A
BDC
ABD
=
−
=
−
=
，
∴
A
的度数为100．
8．（24-25 八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，点D 在BC 上，且点D 在AC 的垂
直平分线上，连接AD．
学科网（北京）股份有限公司
43 /
(1)若
10,
12
AB
BC
=
=
，求ABD
的周长；
(2)分别过点
,
A C 作AH
BC
⊥
于H 、CM
AD
⊥
于M ，若
2
DM =
，
8
CD =
，求BD的长．
【答案】(1)22
(2) 4
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质．
（1）根据垂直平分线的性质得到CD
AD
=
，由ABD
的周长为AB
BD
AD
AB
BC
+
+
=
+
即可解答；
（2）先证明
(
)
AAS
DHA
DMC
≌
，推出
,
2
AH
CM DH
DM
=
=
=
，求出
6
CH
CD
DH
=
−
=
，再根据等腰
三角形三线合一求出
6
BH
CH
=
=
，由BD
BH
DH
=
−
即可解答．
【详解】（1）解：点D 在AC 的垂直平分线上，
∴AD
CD
=
，
∴ABD
的周长为AB
BD
AD
AB
BC
+
+
=
+
，
∵
10,
12
AB
BC
=
=
，
∴ABD
的周长为12 10
22
+
=
；
（2）解：∵AH
BC
⊥
、CM
AD
⊥
，
∴
90
AHD
CMD
=
=
，
∵
,
MDC
ADH AD
CD
=
=
，
∴
(
)
AAS
DHA
DMC
≌
，
∴
,
2
AH
CM DH
DM
=
=
=
，
∴
6
CH
CD
DH
=
−
=
，
∵AB
AC
=
，AH
BC
⊥
，
∴
6
BH
CH
=
=
，
∴
6 2
4
BD
BH
DH
=
−
= −
=
．
9．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，AD
AE
、
分别为
ABC
的高线及角平分线，且
80
BAC
=
，
(1)若
25
C
=
，求
DAE
的度数；
(2)若AB
AE
=
，求
C
的度数．
学科网（北京）股份有限公司
44 /
【答案】(1)
25
DAE
=
(2)
30
C
=
【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线、等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的三线合一是解题的
关键．
（1）根据直角三角形的性质求出
DAC
，根据角平分线的定义求出
EAC
，计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出
BAD
，进而求出
B
，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵AD为
ABC
的高线，
∴
90
ADC
=
，
∵
25
C
=
，
∴
65
DAC
=
，
∵AE 为
ABC
的角平分线，
∴
1
40
2
CAE
CAB
=
=
，
∴
25
DAE
DAC
EAC
=
−
=
；
（2）∵AE 为
ABC
的角平分线，
∴
1
40
2
BAE
CAB
=
=
，
∵AB
AE
=
，AD
BC
⊥
，
∴
1
20
2
BAD
BAE
=
=
，
∴
90
20
70
B
=
−
=
，
∴
180
30
C
BAC
B
=
−
−=
∠
．
10．
（24-25 八年级上·湖北随州·期中）如图，在等腰
ABC
中，AB
AC
=
，
8
BC = ，
90
BAC
=
，AD是
BAC
的平分线，交BC 于D，
4
=
AD
，点E 是AB 的中点，连接DE ．
(1)求
B
的度数；
(2)求三角形BDE的面积．
【答案】(1)45
(2) 4
学科网（北京）股份有限公司
45 /
【分析】（1）利用等边对等角可得
B
C
=
，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案；
（2）由三线合一可得AD
BC
⊥
，点D 是BC 中点，然后根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）解：
AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
(
)
1 180
45
2
B
C
BAC
=
=
−
=
；
（2）解：
AB
AC
=
，AD是
BAC
的平分线，
AD
BC
⊥
，点D是BC 中点，
1
4
2
BD
AD
BC
=
=
=
，
点E 是AB 的中点，
1
BE
AB
2
=
，
1
2
BDE
S
S
=
△
△ABD
1
1
2
2
ABC
S
=
1
1
1
2
2
2
BC
AD
=
1
1
1 8 4
2
2
2
=
4
=
．
11．（24-25 八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在
ABC
中，AD
BC
⊥
于点D，EF 垂直平分AC ，交AC 于
点F，交BC 于点E，连接AE ，且AB
AE
=
．
(1)若
40
DAE
=
，求
C
的度数；
(2)若
ABC
的周长为19cm ，
7cm
AC =
，求DC 的长．
【答案】(1)25
(2)6cm
【分析】（1）由题意知，
40
BAD
DAE
=
=
，则
80
BAE
=
，求出
180
50
2
BAE
B
AEB
−
=
=
=
，由
EF 垂直平分AC ，可得EA
EC
=
，则
C
CAE
=
，由
50
AEB
C
CAE
= +
=
，计算求解即可；
（2）由AB
AE
AD
BC
=
⊥
，
，可得BD
DE
=
，AB
AE
EC
=
=
，由
ABC
的周长为19cm ，
7cm
AC =
，可得
学科网（北京）股份有限公司
46 /
2
2
2
12
AB
BC
AB
BD
DE
EC
EC
DE
DC
+
=
+
+
+
=
+
=
=
，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵
,
40 ,
AB
AE
DAE
AD
BC
=
=
⊥
，
∴
40
BAD
DAE
=
=
，
∴
80
BAE
=
，
∴
180
50
2
BAE
B
AEB
−
=
=
=
，
∵EF 垂直平分AC ，
∴EA
EC
=
，
∴
C
CAE
=
，
∵
50
AEB
C
CAE
= +
=
，
∴
25
C
=
，
∴
C
的度数为25；
（2）解：∵AB
AE
AD
BC
=
⊥
，
，
∴BD
DE
=
，
∵AE
EC
=
，
∴AB
AE
EC
=
=
，
∵
ABC
的周长为19cm ，
7cm
AC =
，
∴
2
2
2
19 7
12
AB
BC
AB
BD
DE
EC
EC
DE
DC
+
=
+
+
+
=
+
=
=
−
=
，
解得，
6cm
DC =
，
∴DC 的长为6cm．
题型八：“三线合一”中求证类问题
1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD为
ABC
的中线．以点A 为圆心、AD的
长为半径画弧，与AB
AC
，
分别交于点E
F
，，连接DE
DF
，
．
(1)求证：ADE
ADF
≌
；
(2)若
80
BAC
=
，求
BDE
的度数．
学科网（北京）股份有限公司
47 /
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得
BAD
CAD
=
，进而由SAS即可求证；
（2 ）由等腰三角形的性质可得
1
40
2
EAD
BAC
=
=
，即得
(
)
1 180
40
70
2
ADE
=
−
=
，进而由
90
ADB
=
即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的
关键．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
=
，AD是
ABC
的中线，
∴
BAD
CAD
=
，
由题意得，AE
AF
=
，
在
ADE
和
ADF
△
中，
AE
AF
EAD
FAD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
ADF
≌
；
（2）解：∵
80
BAC
=
，
BAD
CAD
=
，
1
40
2
EAD
BAC
=
=
，
∵AE
AD
=
，
AED
ADE
=
，
∴
(
)
1 180
40
70
2
ADE
=
−
=
，
∵AB
AC
=
，AD为
ABC
的中线，
∴AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
90
90
70
20
BDE
ADE
=
−
=
−
=
．
2．（24-25 八年级上·福建南平·期末）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
于D ，CE
AB
⊥
于E ，AD与CE 相交
于点F ，且AD
CD
=
．
学科网（北京）股份有限公司
48 /
(1)求证：AB
CF
=
；
(2)若
1
2
AE
CF
=
，求
BAD
的度数．
【答案】(1)详见解析；
(2)22.5．
【分析】（1）根据等角的余角相等得出
BAD
FCD
=
，然后证明
(
)
ASA
ABD
CFD
≌
△
△
，根据全等三角形
的性质即可求解；
（2 ）由（1）得：AB
CF
=
，
BAD
FCD
=
，则
1
2
AE
AB
=
，从而证明CE 垂直平分AB ，则有CA
CB
=
，由
等腰三角形的三线合一定理可得
1
2
BCE
ACE
ACB
=
=
，再由等腰三角形的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用
是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AD
BC
⊥
，CE
AB
⊥
，
∴
90
ADC
ADB
AEF
=
=
=
，
∴
90
FCD
DFC
+
=
，
90
BAD
AFE
+
=
，
又∵
AFE
DFC
=
，
∴
BAD
FCD
=
，
在
ABD
△
和
CFD
△
中，
BAD
FCD
AD
CD
ADB
FDC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
CFD
≌
△
△
，
∴AB
CF
=
；
（2）解：由（1）得：AB
CF
=
，
BAD
FCD
=
，
∵
1
2
AE
CF
=
，
学科网（北京）股份有限公司
49 /
∴
1
2
AE
AB
=
，
∵CE
AB
⊥
，
∴CE 垂直平分AB ，
∴CA
CB
=
，
∴
1
2
BCE
ACE
ACB
=
=
，
∵AD
CD
=
，
90
ADC
=
，
∴
45
ACD
CDA
=
=
，
∴
1
22.5
2
BAD
ACB
=
=
．
3．（24-25 八年级上·广西崇左·期末）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点P 是BC 上的一动点，
AP
AQ
=
，
90
PAQ
=
，连接CQ ．
(1)求证：CQ
BC
⊥
；
(2)当点P 在什么的位置时，ACQ
是直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当点P 在BC 的中点时，ACQ
是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等：
（1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出
B
ACB
∠，∠
的度数，再证明
(
)
SAS
BAP
CAQ
≌
得到
45
ACQ
B
=
=
∠
∠
．据此求出
BCQ
的度数即可证明结论；
（2）根据题意可证明
90
AQC
=
，则可推出
45
BAP
CAP
=
=
，由三线合一定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
∴
180
45
2
BAC
B
ACB
−
=
=
=
，
∵
90
BAC
PAQ
=
=
，
∴
90
BAP
CAQ
CAP
=
=
−
∠
∠
∠
，
又∵AP
AQ
=
，
学科网（北京）股份有限公司
50 /
∴
(
)
SAS
BAP
CAQ
≌
，
∴
45
ACQ
B
=
=
∠
∠
，
∴
90
BCQ
ACB
ACQ
=
+
=
，
∴CQ
BC
⊥
；
（2）解：当点P 在BC 的中点时，ACQ
是直角三角形，理由如下
∵
90
45
CAQ
PAQ
ACQ
=
=
∠
∠
，∠
，
∴ACQ
是直角三角形时，
90
AQC
=
，
∴
45
CAQ
=
，
∴
45
CAP
=
，
∴
45
BAP
CAP
=
=
，
∴P 为BC 的中点，
∴当点P 在BC 的中点时，ACQ
是直角三角形．
4．（24-25 八年级上·江苏镇江·期末）如图，在
ABC
中，BA
BC
=
，CD
AB
⊥
，垂足为D ，BE
AC
⊥
，垂
足为E ，CD、BE 交于点F ，BD
CD
=
．求证：
(1)
BDF
CDA
△
≌△
；
(2)
2
BF
CE
=
．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出
BDF
CDA
△
≌△
，
属于中考常考题型．
（1）根据ASA证出
BDF
CDA
△
≌△
即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出AE
CE
=
，再根据
BDF
CDA
△
≌△
，推出AC
BF
=
即可．
【详解】（1）证明：∵
,
CD
AB BE
AC
⊥
⊥
，
90
BDF
ADC
FEC
=
=
=
，
90
,
90
DBF
BFD
DCA
EFC
=
−
=
−
，且
BFD
EFC
=
，
DBF
DCA
=
，
学科网（北京）股份有限公司
51 /
在Rt DFB
和Rt DAC
中，
BDF
ADC
BD
CD
DBF
ACD
=
=
=
，
(
)
Rt DFB
Rt DAC AAS
≌
．
（2）证明：∵
,
BA
BC BE
AC
=
⊥
，
1
2
CE
AE
AC
=
=
，
又由（1）知
DFB
DAC
△
≌△
，
∴BF
AC
=
，
2CE
AC
BF
=
=
．
5．（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，D、E、F 分别在三边上，且BE
CD
=
，
BD
CF
=
，G 为EF 的中点．
(1)若
40
A
=
，求
ABC
的度数；
(2)求证：DG 垂直平分EF ．
【答案】(1)70
(2)见解析
【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质
等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据等边对等角证明
A
ABC
CB
=
∠
，运用三角形的内角和定理即可解决问题．
（2）连接DE 、DF ；证明
(
)
SAS
BDE
CFD
≌
，得到DE
DF
=
，运用等腰三角形的性质证明DG
EF
⊥
，
即可解决问题．
【详解】（1）解：∵AB
AC
=
，
∴
A
ABC
CB
=
∠
，
∵
40
A
=
，
学科网（北京）股份有限公司
52 /
∴
180
40
70
2
ABC
−
=
=
．
（2）证明：如图，连接DE 、DF ；
在BDE
与
CFD
△
中，
BD
CF
B
C
BE
CD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BDE
CFD
≌
，
∴DE
DF
=
，
∵G 为EF 的中点，
∴DG
EF
⊥
，
∴DG 垂直平分EF ．
6．（2024 八年级下·天津·专题练习）如图，在
ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，
D为线段CE 的中点，BE
AC
=
．
(1)求证：AD
BC
⊥
；
(2)若
75
BAC
=
，求
B
= ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)35．
【分析】（1）连接AE ， 由垂直平分线的性质得AE
BE
=
，可知AE
BE
AC
=
=
，根据等腰三角形的“三线
合一”性质即可求证；
学科网（北京）股份有限公司
53 /
（2 ）设
B
x
=
，则
BAE
B
x
=
=
∠
∠
，根据三角形的外角性质可得
2
AEC
BAE
B
x
=
+=
，根据等边对
等角得
2
C
AEC
x
=
=
∠
∠
，最后通过三角形的内角和定理即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握
知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接AE ，
∵EF 垂直平分AB ，
∴AE
BE
=
，
∵BE
AC
=
，
∴AE
AC
=
，
∵D是EC 的中点，
∴AD
BC
⊥
；
（2）解：设
B
x
=
，
∵AE
BE
=
，
∴
BAE
B
x
=
=
∠
∠
，
∴由三角形的外角的性质，
2
AEC
BAE
B
x
=
+=
，
∵AE
AC
=
，
∴
2
C
AEC
x
=
=
∠
∠
，
在
ABC
中，
180
B
C
BAC
++
=
，
即
2
75
180
x
x
+
+
=
，
解得：
35
x =
，
∴
35
B
=
，
故答案为：35．
7．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，
,
AE
BC CE
AE
⊥
∥
，垂足为E．
学科网（北京）股份有限公司
54 /
(1)求证：
ABD
CAE
△
△
≌
；
(2)若
ABD
△
的面积是2，求四边形ABCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解题的关键．
（1）先证明
B
EAC
=
，
90
ADC
CEA
=
=
，然后根据AAS即可证明
ABD
CAE
△
△
≌
；
（2）由中线的性质得
ABD
ACD
S
S
=
，由全等三角形的性质得
ABD
CAE
S
S
=
，进而可求出四边形ABCE的面积．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
=
，
∴
B
ACD
=
，
∵AE
BC
∥
，
∴
EAC
ACD
=
，
∴
B
EAC
=
，
∵AD是BC 边上的中线，
∴AD
BC
⊥
，
∵CE
AE
⊥
，
∴
90
ADB
CEA
=
=
．
在
ABD
△
和CAE
中，
B
EAC
ADB
CEA
AB
CA
=
=
=
∴
(
)
AAS
ABD
CAE
≌
；
（2）解：∵AD是BC 边上的中线，
∴
ABD
ACD
S
S
=
．
∵
ABD
CAE
△
△
≌
，
学科网（北京）股份有限公司
55 /
∴
ABD
CAE
S
S
=
，
∵
ABD
△
的面积是2，
∴四边形ABCE的面积为6．
8．
（24-25 八年级上·山东临沂·期中）如图：在
ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，
D为线段CE 的中点，BE
AC
=
．
(1)求证：AD
BC
⊥
；
(2)若
35
B
=
，求
C
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70
【分析】（1）连接AE ，利用线段垂直平分线的性质证得AE
BE
=
，再根据等腰三角形的三线合一性质即可
求证结论；
（2）由三角形的外角的性质可得
2
AEC
B
= ，进而得到
C
．
【详解】（1）证明：连接AE ，
∵AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，
∴AE
BE
=
，
∵BE
AC
=
，
∴AE
AC
=
，
∵D为线段CE 的中点，
∴AD
BC
⊥
．
（2）解：∵AE
BE
=
，
35
BAE
B
=
=
，
∴
2
70
AEC
B
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
56 /
AE
AC
=
，
2
70
C
AEC
B
=
=
=
．
题型九：“三线合一”中尺规作图解答题
1．（24-25 八年级上·广东广州·期中）已知：在
ABC
中，AB
AC
=
，
(1)（尺规作图）求作：
BAC
的角平分线AD，使得AD与BC 相交于点D ．
(2)若
5
CD = ，求BC 的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)10
【分析】本题考查了基本尺规作图，等腰三角形的性质，解决问题的关键是熟悉角平分线的尺规作图方法．
（1）根据基本尺规作图-作角平分线的方法,结合题中几何语言画出对应的几何图形即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
AD
即为所求；
（2）解：
AB
AC
=
，AD是
BAC
的角平分线，
由等腰三角形三线合一性质可得
5
BD
CD
=
=
，
2
10
BC
CD
=
=
．
2．（24-25 七年级下·河南平顶山·期末）作图题：以下画图或尺规作图不写画法，保留作图痕迹．
学科网（北京）股份有限公司
57 /
(1)如图1，Rt
ABC
△
的顶点A 在直线l 上，已知
90 , 1
35
BAC
=
=
，画出
ABC
关于直线l 的对称
AB C
△
，
并直接写出
CAC
的度数；
(2)如图2，
, ,
A B C 表示不在同一直线上的三个小区位置，现要建一个快递接收站点P ，使PA
PB
PC
=
=
，
请利用尺规作图，画出点P 的位置，并说出其中用到的数学道理．
【答案】(1)如图：
AB C
△
即为所求，
CAC
的度数为110
(2)如图：点P 即为所求，数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，
灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先作出点B、C 关于直线l 的对称点B
C
、
，然后顺次连接即可；由平角和角的和差可得
55
CAD
=
，
再由轴对称的性质可得
,
AC
AC l
CC
=
⊥
，然后由等腰三角形三线合一的性质即可解答；
（2）如图：连接AB
BC
、
，再作线段AB
BC
、
的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求的点P．通过作
图可知应用的定理是垂直平分线的性质定理．
【详解】（1）解：如图：
AB C
△
即为所求；
∵
90
1
35
BAC
=
=
，
，
∴
180
1
55
CAD
BAC
=
−−
=
，
∵
ABC
关于直线l 的对称
AB C
△
，
∴
,
AC
AC l
CC
=
⊥
，
∴
2
110
CAC
CAD
=
=
．
（2）解：如图：点P 即为所求．
学科网（北京）股份有限公司
58 /
数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知在
ABC
中，B
C
=
，请用尺规作图法在边BC 上求作一点D ，
连接AD，使得
ABD
ACD
△
≌△
．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定，三线合一定理，分别以B、C 为
圆心，以大于BC 长的一半为半径画弧，二者交于一点，作过该点和点A 的直线交BC 于D，则可得到
90
ADB
ADC
BD
CD
=
=
=
∠
∠
，
，则可利用SAS证明
ABD
ACD
△
≌△
．
【详解】解：如图，点D即为所求．
4．（2025·广东潮州·一模）如图，在
ABC
中，AB
BC
=
．用尺规作图：作
ABC
关于直线AC 对称的
ADC
△
．（不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．作
ABC
的平分线BE 交AC 与点E，然后在BE 的
延长线上取点D，使DE
BE
=
，即可求解．
【详解】解：如图，
ADC
△
即为所求．
学科网（北京）股份有限公司
59 /
理由：由作法得：BE 平分
ABC
，DE
BE
=
，
∵AB
BC
=
，
∴BE
AC
⊥
，
∵DE
BE
=
，
∴AC 垂直平分BD，
即
ABC
和
ADC
△
关于直线AC 对称．
5．（2025·江西新余·二模）如图，在6 6
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，ABC
的顶点均在
格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
(1)在图（1）中画出一个ABP
，使
ABP
ABC
S
S
=
△
△
，P 为格点（点P 不在点C 处）；
(2)在图（2）中的边BC 上找一点D ，使点D 到AB 和AC 所在直线距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形高的定义及其作法、平行线线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等
知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键．
（1）利用平行线间距离处处相等，作出同底等高的三角形即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图：
学科网（北京）股份有限公司
60 /
（2）解：如图：
6．（24-25 七年级下·吉林·期中）如图，在6 6
的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小
正方形的边长均为1，、、
A
B
C 三点均在格点上．
(1)在图①中，作
ABC
的角平分线AE ；
(2)在图②中，作
BAC
的角平分线AF ；
(3)在图③中，CD是
ABC
的角平分线，作
ABC
的角平分线AG ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查了格点作图，三线合一性质，三角形角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知
识点．
（1）取BC 中点E，连接AE ，根据三线合一可得AE 即为
ABC
的角平分线；
（2）连接BC ，取BC 中点F，连接AF ，根据三线合一可得AF 即为
ABC
的角平分线；
（3）取AC 中点H，连接BH 与CD交于点M，连接AM 并延长交BC 于点G，由三角形角平分线交于一点
可得AG 即为
ABC
的角平分线；
【详解】（1）如图所示，AE 即为所求；
学科网（北京）股份有限公司
61 /
（2）如图所示，AF 即为所求；
（3）如图所示，AG 即为所求；
7．（2025·河南·二模）如图，已知ABC
．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC 上方作
CBE
ACB
=
，在射线BE上截取BD
BA
=
，连接AD交BC 于点
F ．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AD
BC
⊥
，求证：BF
CF
=
．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判的性质，掌握以上
知识是关键．
（1）根据尺规作角等于已知角即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得到AF
DF
=
，再证明
(
)
ACF
DBF AAS
≌
，得到BF
CF
=
，由此即可
求解．
【详解】（1）解：如图所示，
以点C 为圆心，以任意长为半径画弧交
,
CB CA于点
,
M N ，连接MN ，
以点B 为圆心，以CM 长为半径画弧交BC 于点P ，
以点P 为圆心，以MN 长为半径画弧交于点Q ，连接AQ 并延长得到射线AE ，
学科网（北京）股份有限公司
62 /
∵
,
,
CM
BQ CN
BP MN
PQ
=
=
=
，
∴
(
)
CMN
BQP SSS
≌
，
∴
MCN
PBQ
=
，即
CBE
ACB
=
，
∴射线BE即为所求，
以点B 为圆心，以BA长为半径画弧，交射线BE于点D ，连接AD交BC 于点F ，如图所示，
∴BA
BD
=
；
（2）解：∵
,
BA
BD AD
BC
=
⊥
，
∴AF
DF
=
，
∵
ACB
CBE
=
，
AFC
DFB
=
，
∴
(
)
ACF
DBF AAS
≌
，
∴BF
CF
=
．
8．（23-24 八年级下·贵州六盘水·期中）在
ABC
中，AB
AC
=
．
(1)利用直尺和圆规完成如下操作，作
BAC
的平分线和AB 的垂直平分线，交点为P （不写作法，保留作
图痕迹）
(2)连接PB ，若
70
ABC
=
，求
ABP
的度数．
【答案】(1)作图见解析
(2)
20
ABP
=
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法及其性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是
解题的关键．
（1）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可；
（2 ）由三线合一可得
90
ADB
=
，即得
20
BAD
=
，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质
即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，点P 即为所求；
学科网（北京）股份有限公司
63 /
（2）解：
AB
AC
=
，AD为
BAC
的平分线，
AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
90
70
20
BAD
ABC
=
−
=
−
=
，，
点P 在AB 的垂直平分线上，
PA
PB
=
，
20
ABP
BAP
=
=
．
9．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
DAC
EAB
=
．
(1)求证：BD
EC
=
．
(2)用直尺和圆规作图：过点A 作AF
BC
⊥
，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合
等腰三角形性质理解过点A 作AF
BC
⊥
，即作BC 的垂直平分线．
（1）根据题意证明DAB
EAC
≌
，利用全等三角形性质求解，即可解题；
（2）利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点A 作AF
BC
⊥
，即作BC 的垂直平分线，根据垂直平分线
作法作图，即可解题．
【详解】（1）证明：∵
DAC
EAB
=
，
∴
DAC
BAC
EAB
BAC
−
=
−
，
即
DAB
EAC
=
．
在ADB
和
AEC
△
中，
学科网（北京）股份有限公司
64 /
AB
AC
DAB
EAC
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
DAB
EAC SAS
≌
，
∴BD
CE
=
．
（2）解：如图，AF 即为所求．
题型一：等腰三角形“三线合一”中线段和最值问题
1．（24-25 七年级下·安徽宿州·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
5
AB =
，AD
是
BAC
的平分线，若P 、Q 分别是AD和AC 上的动点，则PC
PQ
+
的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2.4
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转
化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在AB 上取一
点Q，使AQ
AQ
=
，连接
,
,
PQ CQ QQ
， QQ交AD于E，过点C 作CH
AB
⊥
于点H，根据等腰三角形的
性质可证AD是QQ的垂直平分线，可得PQ
PQ
=
，根据两点之间线段最短可知，PC
PQ
+
的最小值即为
CQ的最小值，再根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：在AB 上取一点Q，使AQ
AQ
=
，连接
,
,
PQ CQ QQ
， QQ交AD于E，过点C 作CH
AB
⊥
于
学科网（北京）股份有限公司
65 /
点H，
AQ
AQ
=
，AD是
BAC
的平分线，
,
AE
QQ QE
Q E
⊥
=
，
AD是QQ的垂直平分线，
PQ
PQ
=
，
PC
PQ
PC
PQ
+
=
+
，
当C，P，Q三点共线，且CQ
AB
⊥
时，PC
PQ
+
的值最小，即为CH 的值，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CH
=
=
，
1
1
3 4
5
2
2
CH
=
，
2.4
CH
=
，
PC
PQ
+
的最小值是2.4 ，
故选：D．
2．（2025·山东济宁·一模）如图，在ABC
中，
10
AB
AC
=
=
，
12
BC =
，
8
AD = ，AD
BC
⊥
．若P、Q 分
别是AD和AC 上的动点，则PC
PQ
+
的最小值是 ．
【答案】48
5
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC ，过点B 作BE
AC
⊥
于点
,
E BE 交AD
于点F ，当点P 在点F 处时，PC
PQ
+
取最小值，且最小值为BE 的长，在
ABC
中，利用面积法可求出BE
的长度，此题得解．
【详解】解：连接BP，
∵
,
=
⊥
AB
AC AD
BC ，
∴AD垂直平分BC ，
学科网（北京）股份有限公司
66 /
BP
CP
=
，
PC
PQ
PB
PQ
+
=
+
，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当B 、P 、Q 三点共线，且BQ
AC
⊥
时，PC
PQ
+
最小，
过点B 作BE
AC
⊥
于点
,
E BE 交AD于点F ，如图所示：
∴当点P 在点F 处，点Q 在点E 处时，PC
PQ
+
取最小值，且最小值为BE 的长，
1
1
2
2
ABC
S
BC
AD
AC
BE
=
=
，
12 8
48
10
5
BC
AD
BE
AC
=
=
=
，
即PC
PQ
+
的最小值为48
5 ．
故答案为：48
5 ．
3．
（24-25 八年级下·江西九江·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，D 为BC 的中点，
4
3
5
AD
BD
AB
=
=
=
，
，
，
点P 为AD边上的动点，点E 为AB 边上的动点，则PE
PB
+
的最小值为 ．
【答案】4.8
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质等知识；连接PC ，过点C 作
CF
AB
⊥
于点F，则易得PE
PB
PE
PC
CF
+
=
+
，当点C，P，E 共线且与CF 重合时，取得最小值，利用
面积关系可求得最小值．
【详解】解：如图，连接PC ，过点C 作CF
AB
⊥
于点F；
∵AB
AC
=
，D 为BC 的中点，
∴AD
BC
⊥
，BD
CD
=
，
∴PC
PB
=
，
2
6
BC
BD
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
67 /
∴PE
PB
PE
PC
CF
+
=
+
，
当点C，P，E 三点共线且与CF 重合时，取得最小值，最小值为线段CF 的长；
∵
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AB CF
=
=
△
，
∴
6 4
4.8
5
BC AD
CF
AB
=
=
=
；
故答案为：4.8 ．
4．（24-25 八年级上·山西大同·期末）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，
3
BC = ，
ABC
的面积是6．若D 为底
边BC 的中点，P 为AC 的垂直平分线EF 上的一个动点，连接
,
PD PC ，则PC
PD
+
的最小值是 ．
【答案】4
【分析】如图所示，连接AP ，根据线段垂直平分线的定义得到AP
CP
=
，则PC
PD
AD
+
=
，再根据三线合
一定理得到AD
BC
⊥
，再根据三角形面积求出AD的长即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质，
等腰三角形三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接AP ，
∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AP
CP
=
，
学科网（北京）股份有限公司
68 /
∴PC
PD
AP
PD
AD
+
=
+
=
，
∵AB
AC
D
=
，
为BC 的中点，
∴AD
BC
⊥
，
∵
3
BC = ，
ABC
的面积是6．
∴1
6
2 BC AD
=
，
∴
4
=
AD
，
∴PC
PD
+
的最小值是4 ，
故答案为：4 ．
5．（24-25 八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，直线EF 是AB 的垂直平分线，D
是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，
ABC
的面积为12，
4
BC =
，则BM
DM
+
的最小值为 ，
BM
DM
−
的最大值为 ．
【答案】 6 2
【分析】连接AD，由三线合一及线段中点的定义可得AD
BC
⊥
，
1
2
2
BD
BC
=
=
，由三角形的面积公式可
得
1
1
4
12
2
2
ABC
S
BC AD
AD
=
=
=
△
，由此即可求出AD的长，由“直线EF 是AB 的垂直平分线”可得点B 关
于直线EF 的对称点为点A ，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，AD的长即为BM
DM
+
的最小值；
由三角形三边之间的关系可得
2
BM
DM
BD
−
= ，
(
)
2
DM
BM
BM
DM
BD
−
= −
−
=
，进而可得
2
2
BM
DM
−
−
，由绝对值的意义可得
2
BM
DM
−
，由此即可得出BM
DM
−
的最大值；综上，即可
得解．
【详解】解：如图，连接AD，
学科网（北京）股份有限公司
69 /
AB
AC
=
，D 是BC 的中点，
AD
BC
⊥
，
1
1
4
2
2
2
BD
BC
=
=
=
，
1
1
4
12
2
2
ABC
S
BC AD
AD
=
=
=
，
6
AD
=
，
直线EF 是AB 的垂直平分线，
点B 关于直线EF 的对称点为点A ，
AD
的长为BM
DM
+
的最小值，
BM
DM
+
的最小值为6 ；
2
BM
DM
BD
−
=
，
(
)
2
DM
BM
BM
DM
BD
−
= −
−
=
，
2
2
BM
DM
−
−
，
2
BM
DM
−
，
BM
DM
−
的最大值为2 ；
故答案为：6 ，2 ．
6．（24-25 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在
ABC
中，
5
AB
AC
=
=
，
6
BC =
，
4
=
AD
，AD是BC
边上的中线，若P ，Q 分别是AD和AC 上的动点，则PC
PQ
+
的最小值是 ．
【答案】24
5
【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段的性质，线段垂直平分线的性质．由等腰三角形中三线合一，
可得AD垂直平分BC ，进而可得PC
PB
=
，PC
PQ
PB
PQ
BQ
+
=
+
，由垂线段最短可得BQ
AC
⊥
时，BQ
取最小值，即PC
PQ
+
取最小值．
学科网（北京）股份有限公司
70 /
【详解】解：
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，
AD
BC
⊥
，
AD垂直平分BC ，
PC
PB
=
，
PC
PQ
PB
PQ
BQ
+
=
+
，
由垂线段最短可得BQ
AC
⊥
时，BQ 取最小值，即PC
PQ
+
取最小值，
如图，过点B 作BQ
AC
⊥
于点Q，BQ 交AD于点P，此时PC
PQ
+
取最小值，
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AC BQ
=
=
，
6 4
24
5
5
BC AD
BQ
AC
=
=
=
，
即PC
PQ
+
的最小值是24
5 ，
故答案为：24
5 ．
7．（24-25 七年级下·山东青岛·期末）如图，
ABC
中，
13
10
AB
AC
BC
AD
=
=
=
，
，
是BC 边上的中线且
12
AD =
，F 是AD上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF
EF
+
的最小值为 ．
【答案】120
13 /
3
913
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，作E 关于AD的对称点M，连接CM 交AD于F，连接EF ，过
C 作CN
AB
⊥
于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD
BC
⊥
，根据三角形面积公式求出CN ，根据对称
性求出CF
EF
CM
+
=
，根据垂线段最短得出
120
13
CF
EF
+
，即可得出答案．
【详解】解：作E 关于AD的对称点M，连接CM 交AD于F，连接EF ，过C 作CN
AB
⊥
于N，
学科网（北京）股份有限公司
71 /
∵
13
10
AB
AC
BC
AD
=
=
=
，
，
是BC 边上的中线，
∴
5
BD
DC
AD
BC
AD
=
=
⊥
，
，
平分
BAC
，
∴M 在AB 上，
在Rt
ABD
△
中，
12
AD =
，
∴
1
2
ABC
S
=
1
2
BC
AD
AB CN
=
，
∴
10 12
120
13
13
BC
AD
A
CN
B
=
=
=
，
∵E 关于AD的对称点M，
∴EF
FM
=
，
∴CF
EF
CF
FM
CM
+
=
+
=
，
根据垂线段最短得出：CM
CN
，
即
120
13
CF
EF
+
，
即CF
EF
+
的最小值是120
13 ，
故答案为：120
13 ．
8．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，
4
BC =
，
8
ABC
S
=
△
，点D 是BC 中点，
EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB
PD
+
最小，则其最小
值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，在EF 上取一点P ，
学科网（北京）股份有限公司
72 /
连接AP
BP
PD
、
、
，由线段垂直平分线的性质得AP
BP
=
，即得PB
PD
AP
PD
+
=
+
，可知当点P 在AD上
时，PB
PD
+
的值最小，最小值为AD的长，又根据等腰三角形的性质可得AD
BC
⊥
，进而利用三角形面积
求出AD即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：在EF 上取一点P ，连接AP
BP
PD
、
、
，
∵EF 是AB 的垂直平分线，
∴AP
BP
=
，
∴PB
PD
AP
PD
+
=
+
，
∵点D 是定点，由两点之间线段最短可知，当点P 在AD上时，PB
PD
+
的值最小，最小值为AD的长，
∵AB
AC
=
，点D是BC 中点，
∴AD
BC
⊥
，
又∵
4
BC =
，
8
ABC
S
=
△
,
∴1
4
8
2
AD
=
，
∴
4
=
AD
，
∴PB
PD
+
最小值为4 ，
故答案为：4 ．
9．（24-25 八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在
ABC
中，BA
BC
=
，BD平分
ABC
，交AC 于点D，
点M、N 分别为BD、BC 上的动点，若
10
BC =
，
ABC
的面积为40 ，则CM
MN
+
的最小值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”
学科网（北京）股份有限公司
73 /
是解答此题的关键．
首先连接AM ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，因为BD平分
ABC
，交AC 于点D ，根据等腰三角形的性质
得BD是线段AC 的垂直平分线，从而得CM
AM
=
，则CM
MN
AM
MN
+
=
+
，然后根据“垂线段最短”得
AM
MN
AH
+
，据此可得出当点M 、N 在线段AH 上时，AM
MN
+
为最小，最小值为线段AH 的长，最
后根据三角形的面积求出AH 即可．
【详解】解：连接AM ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，如图所示，
BA
BC
=
，BD平分
ABC
，
BD
AC
⊥
且平分AC ．
即BD是线段AC 的垂直平分线，
CM
AM
=
．
CM
MN
AM
MN
+
=
+
根据垂线段最短得∶AM
MN
AH
+
，
即当点M 、N 在线段AH 上时，AM
MN
+
为最小，最小值为线段AH 的长，
ABC
的面积为40 ，
10
BC =
，
1
40
2
ABC
S
BC AH
=
=
∴
，
1 10
40
2
AH
=
∴
．
8
AH =
．
CM
MN
+
的最小值为8．
故答案为8
∶．
题型二：等腰三角形“三线合一”中周长最值问题
1．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形OAB 的底边在x 轴上，
(
)
6,0
B
，面积是18，腰AO 的垂直平分线EF 分别交AO
AB
、
边于E、F 点．若点C 为OB 边的中点，点M
为线段EF 上动点，则
COM
△
周长的最小值是 ．
学科网（北京）股份有限公司
74 /
【答案】9
【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接AC ，由于
AOB
是等腰
三角形，点C 是OB 边的中点，故AC
OB
⊥
，再根据三角形的面积公式求出AC 的长，再根据EF 是线段AO
的垂直平分线可知，点O 关于直线EF 的对称点为点A，故AC 的长为OM
MC
+
的最小值，由此即可得出
结论.
【详解】解：连接AC ，交EF 于点M ，
∵
(
)
6,0 ,
B
∴
6,
OB =
∵
AOB
是等腰三角形，点C 是OB 边的中点，
∴AC
OB
⊥
，
∴
1
3
2
OC
OB
=
= ，
∵
AOB
的面积为18，
∴1
18
2OB
AC
=
，
∴
6
AC =
；
∵EF 是线段AO 的垂直平分线，
∴点O 关于直线EF 的对称点为点A，
∴AC 的长为OM
MC
+
的最小值，
∴CDM
的周长最短
3 6
9
OC
CM
OM
OC
AC
=
+
+
=
+
= +
=
，
故答案为：9．
学科网（北京）股份有限公司
75 /
2．（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，在
ABC
中，
B
C
=
，
4
BC =
，
10
ABC
S
=
△
，AD
BC
⊥
于点
D，EF 垂直平分AB ，垂足为点E ，交AC 于点F ，点P 是EF 上一动点，则
PBD
△
周长的最小值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、线段的垂直平分线的性质及三角形的面积公式等知识，正确
作出辅助线是解题的关键．连接BP，首先结合三角形的面积公式求得AD的值，再根据垂直平分线的性质
易得BP
AP
=
，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BP，
∵
,
4,
10
ABC
AB
AC BC
S
=
=
=
，AD
BC
⊥
于点D ，
∴
2
5,
2
ABC
S
AD
BD
BC
BC
=
=
=
=
，
∵EF 垂直平分AB ，
∴BP
AP
=
，
∴
PBD
△
周长为：PB
BD
PD
AP
BD
PD
AD
BD
+
+
=
+
+
+
，
即
PBD
△
周长的最小值为：
7
DB
AD
+
=
．
故答案为：7．
3．
（24-25 八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
8
BC = ，ABC
面积为16，AD
BC
⊥
于点D，直线EF 垂直平分AB 交AB 于点E，交BC 于点F，P 为直线EF 上一动点，则
PBD
△
周长的最小
值为 ．
学科网（北京）股份有限公司
76 /
【答案】8
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．如图，连接PA．利用三角形的面积公式
求出AD，由EF 垂直平分AB ，推出PB
PA
=
，推出PB
PD
PA PD
+
=
+
，由PA
PD
AD
+
，推出
4
PA PD
+
，
推出PA
PD
+
的最小值为4，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接PA．
∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴
4
BD
DC
=
=
，
8
BC = ，
∵
1
16
2
ABC
S
BC AD
=
=
，
∴
4
=
AD
，
∵EF 垂直平分AB ，
∴PB
PA
=
，
∴PB
PD
PA PD
+
=
+
，
∵PA
PD
AD
+
，
∴
4
PA PD
+
，
∴PA
PD
+
的最小值为4，
∴
PBD
△
周长的最小值为
4
4
8
PB
PD
BD
PA
PD
BD
+
+
=
+
+
=
+
= ，
故答案为：8．
4．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
4
BC =
，
ABC
的面积是10，AB 的
垂直平分线ED分别交AC ，AB 边于E ，D 两点，若F 为BC 边的中点，在线段ED上存在一点P ，使P，
B，F 三点构成的
PBF
△
的周长最小，则
PBF
△
周长的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司
77 /
【答案】7
【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，，三角形的三边关系等
知识，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．连接AP 、AF ，由垂直平分线的性质可
得A 与B 关于ED对称，则当A、P、F 三点共线时，
PBF
△
周长最小为AF
FB
+
的长．
【详解】解：连接AP 、AF ，如图．
因为ED是线段AB 的垂直平分线，
所以点A 与点B 关于ED对称．
所以AP
PB
=
，
所以
PBF
△
周长
PB
PF
FB
AP
PF
FB
AF
FB
=
+
+
=
+
+
+
，
当A，P ，F 三点共线时，
PBF
△
周长最小，
因为F 为BC 边的中点，AB
AC
=
，
所以AF
BC
⊥
，
所以
1
10
2
ABC
S
BC AF
=
鬃
=
．
因为
4
BC =
，
所以
5
AF =
，
所以
PBF
△
的周长
5
2
7
AF
FB
+
= +
=
，
所以
PBF
△
周长的最小值为7，
故答案为：7．
5．（24-25 八年级上·山东聊城·期中）如图，在
ABC
中，
,
5,
AB
AC BC
ABC
=
=
△
的面积为20．DE 垂直平
学科网（北京）股份有限公司
78 /
分AC ，分别交边
,
AB AC 于点D，E，点F 为直线DE 上一动点，点G 为BC 的中点，连接
,
FG FC ，则
FGC
△
的周长的最小值为 ．
【答案】21
2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，将则
FGC
△
的周长的最小值转化为AG
CG
+
的长是解题的关键．连接AG
CF
，
，由DE 是AC 的垂直平分线，得点A 与
C 关于DE 对称，则FC
FG
+
最小值为AG 的长，且
5
2
CG =
为定值，再运用面积即可求出AG 的长，即可解
答．
【详解】解：如图，连接AG
CF
，
，
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴点A与C关于DE 对称，
∴GF
FC
AF
FG
AG
+
=
+
=
，
此时，FC
FG
+
最小值为AG 的长，
∵
,
5
AB
AC BC
=
=
，点G为BC 的中点，
∴AG
BC
⊥
，
1
5
2
2
CG
BC
=
=
∵ABC
的面积为20，
∴1
5
20
2
AG
=
，
∴
8
AG = ，
∴FC
FG
+
的最小值为8，
∴
FGC
△
的周长的最小值为
21
2
AG
CG
+
=
，
故答案为：21
2 ．
学科网（北京）股份有限公司
79 /
6．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，
12
BC =
，面积为48．EF 垂直平
分AC ，垂足为点E ，交AB 边于点F ，点D 是边BC 的中点，点M 在线段EF 上移动，连接CM ，DM ，
则DMC
的周长的最小值为 ．
【答案】14
【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三
线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，由AB
AC
=
，点D 是BC 边的中点可得AD
BC
⊥
，再根据三角
形的面积公式求出AD的长，再判断出点M 在AD上时，AM
CM
+
最小，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，AM ，
AB
AC
=
，点D 是BC 边的中点，
AD
BC
⊥
，
1
1 12
48
2
2
ABC
S
BC AD
AD
=
=
=
，
解得
8
AD = ，
EF
是线段AC 的垂直平分线，
AM
CM
=
，
当点M 在AD上时，CM
MD
+
最小，最小值为AD，
CDM
的周长最短
(
)
CM
MD
CD
=
+
+
1
8
6
14
2
AD
BC
=
+
=
+
=
．
故答案为：14．
7．（24-25 九年级上·北京·期中）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为3，面积是12，腰AC 的垂直平分
线EF 分别交AC
AB
，
边于E，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM
周长的
最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司
80 /
【答案】19
2
【分析】连接AD，AM ，由于
ABC
是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD
BC
⊥
，根据三角形的面
积公式求出AD的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD
的长为CM
MD
+
的最小值，即可求解．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：
掌握轴对称的性质．
【详解】解：连接AD，AM
ABC
是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
AD
BC
⊥
，
1
3
2
2
CD
BC
=
=
，
1
1 3
12
2
2
=
=
=
ABC
S
BC AD
AD
，
解得：
8
AD = ,
EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AM
CM
=
，
∴CM
DM
AM
DM
+
=
+
，
∴当A
M
D
、
、
三点共线时，AM
DM
+
最小，即此时CM
MD
+
最小，最小值为AD的长为8，
CDM
△
的周长最小值
1
3
19
8
2
2
2
CM
DM
CD
AD
BC
=
+
+
=
+
= +
=
，
故答案为：19
2 ．
8．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为12的
ABC
中，AB
AC
=
，
6
BC =
，AD
BC
⊥
于点D ，
直线EF 垂直平分AB 交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 为直线EF 上一动点，则
PBD
△
周长的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司
81 /
【答案】7
【分析】如图，连接PA．利用三角形的面积公式求出AD，由EF 垂直平分AB ，推出PB
PA
=
，推出
PB
PD
PA PD
AD
+
=
+
，推出
4
PA PD
+
，即可得解．
【详解】解：如图，连接PA，
∵AB
AC
=
，
6
BC =
，AD
BC
⊥
，
∴
1
1
6
3
2
2
BD
CD
BC
=
=
=
= ，
∵
ABC
的面积为12，
∴1
12
2 BC AD
=
，
∴
4
=
AD
，
∵EF 垂直平分AB ，
∴PB
PA
=
，
∵P 为直线EF 上一动点，
∴PB
PD
PA PD
AD
+
=
+
，
∴
4
PA PD
+
，
∴
3 4
7
BD
PB
PD
BD
PA
PD
BD
AD
+
+
=
+
+
+
= +
=
，
∴
PBD
△
周长的最小值为7 ．
故答案为：7 ．
题型三：等腰三角形“三线合一”中需分情况讨论问题
1．（24-25 八年级下·辽宁阜新·期中）已知
ABC
中，AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，且
40
BAD
=
，点
E 是边AC 上的一点，若
ADE
为等腰三角形，则
EDC
的度数是 ．
学科网（北京）股份有限公司
82 /
【答案】20或50
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性
质，分情况讨论ADE
为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出
CAD
度
数和AD
BC
⊥
，再分三种情况讨论ADE
为等腰三角形时
EDC
的度数．
【详解】解：
AB
AC
=
，AD是BC 边上的中线，
AD
平分
BAC
，AD
BC
⊥
（等腰三角形三线合一）．
40
BAD
=
，
40
CAD
BAD
=
=
，
90
ADC
=
．
情况一：当AE
AD
=
时
40
CAD
=
，AE
AD
=
，
180
40
70
2
ADE
AED
−
=
=
=
．
90
ADC
=
，
90
70
20
EDC
ADC
ADE
=
−
=
−
=
．
情况二：当DA
DE
=
时
DA
DE
=
，
40
CAD
=
，
40
DAE
DEA
=
=
，则
180
40
2
100
ADE
=
−
=
．
90
ADC
=
，此时
100
90
ADE
=
，不符合，舍去．
情况三：当EA
ED
=
时
EA
ED
=
，
40
CAD
=
，
40
ADE
CAD
=
=
．
90
ADC
=
，
90
40
50
EDC
ADC
ADE
=
−
=
−
=
．
综上，
EDC
的度数是20或50．
故答案为：20或50 ．
2．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在
ABC
中，AD是BC 边上的高，垂足为点D ，点E 在
射线BC 上，连接AE ，若AB
AE
CE
=
=
，
10
AB =
，
8
BD =
，则CD = ．
【答案】18或2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质；根据三线合一的性质得出
8
BD
DE
=
=
，然后分类讨论，即可求解．
【详解】解：如图所示，当点E 在BC 的延长线上时，
学科网（北京）股份有限公司
83 /
∵AB
AE
=
，AD
BE
⊥
，
∴
8
BD
DE
=
=
，
∴
16 10
6
BC
BE
CE
BE
AE
=
−
=
−
=
−
=
，
∴
8 6
2
CD
BD
BC
=
−
= −=
，
如图所示，当点E 在线段BC 上时，
∵
8,
10
BD
DE
EC
EA
AB
=
=
=
=
=
，
∴
10 8
18
CD
CE
DE
=
+
=
+ =
．
故答案为：2 或18．
3．（24-25 九年级上·上海·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角
是 ．
【答案】30或90或150
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键；
分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，
腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可；
【详解】解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半，
设等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，AD是底边上的高，BC 为底边，且
1
2
AD
BC
=
．
AD是底边上的高，
D 为BC 中点，即
1
2
BD
BC
=
，
90
ADB
=
1
2
AD
BC
=
，
BD
AD
=
，
45
B
BAD
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
84 /
AB
AC
=
，
45
B
C
=
=
顶角
180
2 45
90
BAC
=
−
=
；
，
当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半
设等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，BD是腰AC 上的高，
1
2
BD
AB
=
，
在Rt
ABD
△
中，
1
2
BD
AB
=
，
30
A
=
，
即此时顶角为30；
当等腰三角形是钝角三角形时，
设等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，BD是腰CA 延长线上的高，，
90
ADB
=
在Rt
ABD
△
中，
1
2
BD
AB
=
30
DAB
=
，
学科网（北京）股份有限公司
85 /
顶角
180
30
150
BAC
=
−
=
，
综上所述：这个等腰三角形的顶角是30或90或150．
故答案为：30或90或150．
4．（2025 七年级下·全国·专题练习）已知，在
OPQ
△
中，OP
OQ
=
，OP 的垂直平分线交OP 于点D，交直
线OQ 于点E，
50
OEP
=
，求
POQ
的度数．
【答案】
POQ
的度数为65或115
【分析】
OPQ
△
为锐角三角形时，根据线段垂直平分线的定义得到
90
ODE
PDE
=
=
，从而求得
1
2
OED
PED
OEP
=
=
，继而可得
90
25
65
EOD
=
−
=
，问题得解；
OPQ
△
为钝角三角形时，同理
可得
90
25
65
EOD
=
−
=
，即
180
POQ
EOD
=
−
，问题得解．
【详解】解：①如答图①，当
OPQ
△
为锐角三角形时，
因为DE 垂直且平分OP ，
所以
90
ODE
PDE
=
=
，OE
PE
=
．
所以
1
2
OED
PED
OEP
=
=
．
又因为
50
OEP
=
，
所以
25
OED
PED
=
=
，
所以
90
25
65
EOD
=
−
=
，即
65
POQ
=
；
②如答图②，当
OPQ
△
为钝角三角形时，
因为DE 垂直且平分OP ，
所以
90
ODE
PDE
=
=
，OE
PE
=
，
所以
1
2
OED
PED
OEP
=
=
．
又因为
50
OEP
=
，
所以
25
OED
PED
=
=
，
所以
90
25
65
EOD
=
−
=
，
所以
180
65
115
POQ
=
−
=
．
综上，
POQ
的度数为65或115．
学科网（北京）股份有限公司
86 /
题型四：“三线合一”中多结论问题
1．（23-24 八年级上·西藏拉萨·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
AD
=
，
平分
BAC
DE
AB
DF
AC
E
F
⊥
⊥
，
，
，，为垂足，则下列结论：
（1）BD
DC
=
；
（2）BAD
CAD
=
；
（3）AD
BC
⊥
；
（4）DE
DF
=
，其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的
性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）．
【详解】解：∵AB
AC
AD
=
，
平分
BAC
，
∴BD
DC
=
，
BAD
CAD
=
，AD
BC
⊥
，
故（1）（2）（3）正确，
∵AD平分
BAC
，
∴DE
AB
DF
AC
⊥
⊥
，
，
∴DE
DF
=
故（4）正确，
综上，一共有4 个正确，
故选：D
2．（24-25 八年级上·广东东莞·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形ABCD是一个筝
形，其中AD
CD
=
，AB
CB
=
，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC
BD
⊥
；②
1
2
AO
CO
AC
=
=
；
③
ABD
CBD
≌
△
△
；④若
6
AC =
，
8
BD =
，则四边形ABCD的面积等于48，其中正确的结论有（ ）
学科网（北京）股份有限公司
87 /
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质．先证明
ABD
△
与
CBD
△
全等，再证明
AOD
△
与
COD
△
全等
即可判断．
【详解】解：在
ABD
△
与
CBD
△
中，
AD
CD
AB
BC
DB
DB
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
CBD
≌
，故③正确；
∴
ADB
CDB
=
，
∴
90
AOD
COD
=
=
，
∴AC
DB
⊥
，故①正确
在
AOD
△
与
COD
△
中，
AD
CD
ADB
CDB
OD
OD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOD
COD
≌
，
∴
1
2
AO
OC
AC
=
=
，
故②正确；
四边形ABCD的面积
1
1
1
2
2
2
ADB
BDC
S
S
DB OA
DB OC
AC BD
=
+
=
+
=
，
∵
6
AC =
，
8
BD =
，
∴四边形ABCD的面积
1
6 8
24
2
=
=
，故④错误；
故选C．
学科网（北京）股份有限公司
88 /
3．（24-25 七年级上·山东泰安·期末）如图，分别以
ABC
的顶点
,
A C 为圆心，以大于1
2 AC 的长为半径画
弧，两弧相交于
,
D E 两点，连接ED交AC 于F ，再以F 为圆心，FC 为半径画弧，交BC 于点G ，连接AG ．若
AB
AC
=
，则下列说法：①AG
BC
⊥
；②
BAG
CAG
=
∠
∠
；③AG
BG
=
；④BG
CG
=
．其中不一定正确
的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，连接GF ，根据题意得AF
CF
=
，CF
GF
=
，即可得
AF
CF
GF
=
=
，则
GAF
AGF
=
，
FGC
C
=
，根据
180
AGC
GAF
C
+
+=
得
180
AGF
FGC
GAF
C
+
+
+=
，可得
90
AGF
FGC
+
=
，即可得
90
AGC
AGF
FGC
=
+
=
，
AG
BC
⊥
，利用等腰三角形的性质可得BG
CG
=
，
BAG
CAG
=
∠
∠
，即可得，掌握尺规作图，全等三角形
的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接GF ，
∵分别以
ABC
的顶点
,
A C 为圆心，以大于1
2 AC 的长为半径画弧，两弧相交于
,
D E 两点，
∴ED垂直平分AC ，
∴AF
CF
=
，
∵以F 为圆心，FC 为半径画弧，交BC 于点G ，连接AG ，
∴CF
GF
=
，
∴AF
CF
GF
=
=
，
∴
GAF
AGF
=
，
FGC
C
=
，
∵
180
AGC
GAF
C
+
+=
，
学科网（北京）股份有限公司
89 /
∴
180
AGF
FGC
GAF
C
+
+
+=
，
2
2
180
AGF
FGC
+
=
，
90
AGF
FGC
+
=
,
∴
90
AGC
AGF
FGC
=
+
=
，
∴AG
BC
⊥
，故①一定成立，不符合题意；
∵AB
AC
=
，
∴BG
CG
=
，
BAG
CAG
=
∠
∠
，故②④一定成立，不符合题意；
无法说明AG
BG
=
，故③不一定成立，符合题意；
综上分析可知，不一定成立的有1 个．
故选：A．
4．（24-25 八年级上·全国·期末）如图所示，在
ABC
中，内角
BAC
与外角
CBE
的平分线相交于点P，
BE
BC
=
，PB 与CE 交于点H，PG
AD
∥
交BC 于点F，交AB 于点G，连接CP ．下列结论：①
2
ACB
APB
=
∠
∠
；
②
:
:
PAC
PAB
S
S
PC PB
=
△
△
；③BP垂直平分CE ；④
PCF
CPF
=
∠
∠
．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得2
2
PAB
ACB
PBE
+
=
，
2
2
2
PBE
PAB
APB
=
+
，然后可得①正确；过P 作PM
AB
⊥
于M，PN
AC
⊥
于N，PS
BC
⊥
于S，根据
角平分线的性质可得PM
PN
PS
=
=
，然后利用三角形面积公式列式，继而得出
PAC
PAB
S
S
AC
AB
=
：
：
，②
错误；根据三线合一可知③正确；证明CP 平分
DCB
，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正
确．
【详解】解：∵AP 平分
CAB
，BP平分
CBE
，
∴
2
CAB
PAB
=
，
2
CBE
PBE
=
，
∵
2
2
CBE
CAB
ACB
PAB
ACB
PBE
=
+
=
+
=
，
PBE
PAB
APB
=
+
，
∴2
2
2
PBE
PAB
APB
=
+
，
∴2
2
2
PAB
ACB
PAB
APB
+
=
+
，
学科网（北京）股份有限公司
90 /
∴
2
ACB
APB
=
∠
∠
，①正确；
过P 作PM
AB
⊥
于M，PN
AC
⊥
于N，PS
BC
⊥
于S，
∵AP 平分
CAB
，BP平分
CBE
，
∴PM
PN
PS
=
=
，
∵
1
1
2
2
PAC
PAB
S
S
AC PN
AB PM
AC
AB
=
=
：
：
：
，
但无法证明
:
:
PAC
PAB
S
S
PC PB
=
△
△
，②错误；
∵BE
BC
=
，BP平分
CBE
，
∴BP垂直平分CE （三线合一），③正确；
∵PG
AD
∥
，
∴
FPC
DCP
=
，
∵PN
AC
⊥
，PS
BC
⊥
，PN
PS
=
，
∴CP 平分
DCB
，
∴
DCP
PCF
=
，
∴
PCF
CPF
=
∠
∠
，④正确．
综上，正确的是①③④，共3 个，
故选：C．
5．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，
ABC
中，
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
，
ABC
的平
分线BE 交AD于点F ，AG 平分
DAC
．给出下列结论：①
BAD
C
=
；②
AEF
AFE
=
；③
EBC
C
=
；④AG
EF
⊥
；⑤点G 在EF 的垂直平分线上，其中正确结论是（ ）
A．②③⑤
B．①②④⑤
C．②④⑤
D．①③④⑤
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的
学科网（北京）股份有限公司
91 /
余角相等的性质，①根据同角的余角相等求出
BAD
C
=
；②再根据等角的余角相等可以求出
AEF
AFE
=
；③只有
30
C
=
时
EBC
C
=
；④根据等腰三角形三线合一的性质求出AG
EF
⊥
；⑤
根据等腰三角形三线合一的性质求出AG 垂直平分EF ，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系
是解题的关键．
【详解】解：∵
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
，
∴
90
C
ABC
+
=
，
90
BAD
ABC
+
=
，
∴
BAD
C
=
，故①正确；
∵BE 是
ABC
的平分线，
∴
ABE
CBE
=
，
∵
90
ABE
AEF
+
=
，
90
CBE
BFD
+
=
，
∴
AEF
BFD
=
，
又∵
AFE
BFD
=
，
∴
AEF
AFE
=
，故②正确；
∵
ABE
CBE
=
，
∴只有
30
C
=
时
EBC
C
=
，故③错误；
∵
AEF
AFE
=
，
∴AE
AF
=
，
∵AG 平分
DAC
，
∴AG
EF
⊥
，故④正确；
如图，设BE 与AG 交于点H ，
由②得
AEF
AFE
=
，
∴AE
AF
=
，
∵AG 平分
DAC
，
∴AH
EF
⊥
，FH
EH
=
，
∴AG 垂直平分EF ，
∴点G 在EF 的垂直平分线上，故⑤正确；
学科网（北京）股份有限公司
92 /
综上所述，正确的结论是①②④⑤，
故选：B．
6．（24-25 九年级下·河北石家庄·阶段练习）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，
其中
OAB
△
与ODC
都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD的中点，
OE
OF
⊥
．下列推断：①OB
OD
⊥
；②
BOC
AOB
=
；③OE
OF
=
；④
180
BOC
AOD
+
=
，正确的
是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是
解题的关键．
由对称的性质得
AOB
COD
=
，由等腰三角形的性质得
1
2
BOE
AOB
=
，
1
2
DOF
DOC
=
，即可判断
①；由
BOC
不一定等于
AOB
，即可判断②；由对称的性质得OAB
ODC
≌
，根据全等三角形的性质
即可判断③；如图，过点O作GM
OH
⊥
，可得
GOD
BOH
=
，由对称性质得
BOH
COH
=
，同理可
证
AOM
BOH
=
，即可判断④；综上即可得答案．
【详解】解：如图，过点O作GM
OH
⊥
，
∵OE
OF
⊥
，
∴
90
BOE
BOF
+
=
，
∵
OAB
△
与ODC
都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，
∴
AOB
COD
=
，
∵点E ，F 分别是底边AB ，CD的中点，OE
OF
⊥
，
学科网（北京）股份有限公司
93 /
∴
1
2
BOE
AOB
=
，
1
2
DOF
DOC
=
，
∴
AOE
BOE
COF
DOF
=
=
=
，
∴
BOE
BOF
DOF
BOF
+
=
+
，即
90
BOD
EOF
=
=
，
∴OB
OD
⊥
，故①正确，
∵
BOH
不一定等于BOE ，
∴
BOC
不一定等于
AOB
，故②错误，
∵
OAB
△
与ODC
关于直线l 对称，
∴OAB
ODC
≌
，
∵点E ，F 分别是底边AB ，CD的中点，
∴OE
OF
=
，故③正确，
∵
90
GOD
DOH
+
=
，
90
BOH
DOH
+
=
，
∴
GOD
BOH
=
，
同理可得：
AOM
BOH
=
，
由轴对称性质可知：
BOH
COH
=
，
∴
AOM
GOD
BOC
+
=
，
∴
180
BOC
AOD
+
=
，故④正确，
综上所述：正确的结论有①③④．
故选：C．
7．（23-24 八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，等腰
ABC
中，AB
AC
=
， BD
AC
⊥
，CE
AB
⊥
，下列结论：
①BD
CE
=
；②
BCE
CBD
=
；③
1
2
DBC
BAC
=
；④AF 垂直平分BC ；正确的个数是（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】D
【分析】证明
(
)
AAS
BEC
CDB
≌
，得出BD
CE
=
，
BCE
CBD
=
，可判定①②正确；证明点A F
、
在
线段BC 的垂直平分线上，得出AF 垂直平分BC，判定④正确；延长AF 交BC 于点G ，根据等腰三角形的
学科网（北京）股份有限公司
94 /
性质得到
1
2
BAG
CAG
BAC
=
=
，根据余角性质得出
1
2
DBC
CAG
BAC
=
=
，可判定③正确，据此
即可求解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
∴
A
ABC
CB
=
∠
，
∵BD
AC
⊥
，CE
AB
⊥
，
∴
90
BDC
CEB
=
=
，
∵ BC
CB
=
，
∴
(
)
AAS
BEC
CDB
≌
，
∴BD
CE
=
，
BCE
CBD
=
，故①②正确；
∵
BCE
CBD
=
，
∴BF
CF
=
，
∵AB
AC
=
，
∴点A F
、
在线段BC 的垂直平分线上，
∴AF 垂直平分BC ，故④正确；
延长AF 交BC 于点G ，如图所示，
∵AB
AC
=
，AF 垂直平分BC ，
∴
1
2
BAG
CAG
BAC
=
=
，
∵
90
BDC
AGC
=
=
，
∴
90
DBC
BCD
BCD
CAG
+
=
+
=
，
∴
1
2
DBC
CAG
BAC
=
=
，故③正确；
综上可知，正确的结论有4 个，
故选：D ．
题型五：“三线合一”中解答题压轴
学科网（北京）股份有限公司
95 /
1．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）如图，
90
BAD
CAE
=
=
，AB
AD
=
，AE
AC
=
，AF
CB
⊥
，垂足
为F．
(1)求证：
ABC
ADE
△
≌△
；
(2)求
FAC
的度数；
(3)求证：
ABF
ADC
=
，并直接写出线段CD、BC 、BF 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)45
(3)见解析，
2
CD
BF
BC
=
+
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解
题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
（1）根据SAS证明
ABC
ADE
△
≌△
即可；
（2）根据
90
CAE
=
，AC
AE
=
，求出
45
E
=
，根据全等三角形性质得出
45
BCA
E
=
=
，根据
AF
BC
⊥
，得出
90
CFA
=
，即可求出
45
CAF
=
；
（3）延长BF 到G ，使得FG
FB
=
，连接AG ，由
BAC
DAE
△
≌△
得
CBA
EDA
=
，证明
(
)
AAS
CGA
CDA
≌
，
得出CG
CD
=
，根据
2
CG
CB
BF
FG
CB
BF
=
+
+
=
+
，即可证明结论．
【详解】（1）证明：
90
BAD
CAE
=
=
，
90
BAC
CAD
+
=
，
90
CAD
DAE
+
=
，
BAC
DAE
=
，
在BAC
和DAE
中，
AB
AD
BAC
DAE
AC
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
BAC
DAE
≌
；
学科网（北京）股份有限公司
96 /
（2）解：
90
CAE
=
，AC
AE
=
，
45
E
=
，
由（1）知
BAC
DAE
△
≌△
，
45
BCA
E
= =
，
AF
CB
^
，
90
CFA
=
，
45
FAC
=
；
（3）解：
2
CD
BF
BC
=
+
；理由如下：
延长BF 到G，使得FG
FB
=
，连接AG ，如图所示：
AF
BG
⊥
，
AB
AG
=
，
ABF
G
=，
BAC
DAE
△
≌△
，
AB
AD
=
，
CBA
EDA
=
，
AG
AD
=
，
ABF
CDA
=
，
G
CDA
=
，
45
GCA
DCA
=
=
，
∴在
CGA
△
和CDA
中，
GCA
DCA
G
CDA
AG
AD
=
=
=
，
(
)
AAS
CGA
CDA
≌
，
CG
CD
=
，
2
CG
CB
BF
FG
CB
BF
=
+
+
=
+
，
2
CD
BF
BC
=
+
．
学科网（北京）股份有限公司
97 /
2．（24-25 八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
ABC
ADC
+
=
．E、
F 两点分别是BC 、CD上的点，且EF
BE
FD
=
+
，试探究图中
EAF
与
BAD
的数量关系．
小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长FD 到点G，使DG
BE
=
，连接AG ．然后顺利的完成了此题的
解答．请你按照他的方法写出解答过程．
（2）如图2，在四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
+
=
，AB
AD
=
．若E、Ｆ分别在CB 、CD的延长线上，
且仍然满足EF
BE
FD
=
+
，请直接写出
EAF
与
BAD
的数量关系．
【答案】（1）
2
BAD
EAF
=
，见解析；（2）
1
180
2
EAF
BAD
+
=
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的三线合一等
知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）延长FD 到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ．先证出
ABE
ADG
△
≌△
，根据全等三角形的性质可得AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
，从而可得EF
GF
=
，再证出AEF
AGF
≌
，根据全等三角形的性质可得
EAF
GAF
BAE
DAF
=
=
+
，由此即可得；
（2）延长FC 到点M ，使DM
BE
=
，连接
,
AM EM ，延长FB，交EM 于点N ，先证出ADM
ABE
≌
，根
据全等三角形的性质可得
DAM
BAE
=
，AM
AE
=
，再证出FN 垂直平分EM ，然后根据等腰三角形的三
线合一可得
MAN
EAN
=
，从而可得
1
2
E N
BA
A
D
=
，最后根据
180
EAF
EAN
+
=
即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，延长FD 到点G ，使DG
BE
=
，连接AG ．
∵
180
ABC
ADC
+
=
，
180
ADG
ADC
+
=
，
∴
ABC
ADG
=
，
在ABE
和
ADG
△
中，
学科网（北京）股份有限公司
98 /
AB
AD
ABE
ADG
BE
DG
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABE
ADG
≌
，
∴AE
AG
=
，
BAE
DAG
=
，
∵EF
BE
FD
=
+
，DG
BE
=
，
∴EF
DG
FD
GF
=
+
=
，
在
AEF
△
和AGF
中，
AE
AG
EF
GF
AF
AF
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
AEF
AGF
≌
，
∴
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
=
=
+
=
+
，
又∵
BAD
EAF
BAE
DAF
=
+
+
，
∴
2
BAD
EAF
=
．
（2）如图，延长FC 到点M ，使DM
BE
=
，连接
,
AM EM ，延长FB，交EM 于点N ，
∵
180
ABC
ADC
+
=
，
180
ABC
ABE
+
=
，
∴
ADC
ABE
=
，
在
ADM
△
和ABE
中，
DM
BE
ADM
ABE
AD
AB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADM
ABE
≌
，
∴
DAM
BAE
=
，AM
AE
=
，
学科网（北京）股份有限公司
99 /
∴点E 在线段EM 的垂直平分线上，
∵EF
BE
FD
=
+
，DM
BE
=
，
∴EF
DM
FD
FM
=
+
=
，
∴点F 在线段EM 的垂直平分线上，
∴FN 垂直平分EM ，
∴
MAN
EAN
=
（等腰三角形的三线合一），
∴
2
BAD
DAM
MAN
EAN
EAN
EAN
=
+
=
+
=
，即
1
2
E N
BA
A
D
=
，
又∵
180
EAF
EAN
+
=
，
∴
1
180
2
EAF
BAD
+
=
．
3．（24-25 八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，E 为AC 的中点，过点
A 作AD
AB
⊥
交BE 的延长线于点D ，CG 平分
ACB
交BD于点G ．
(1)求证：点G 在AB 的垂直平分线上；
(2)在AB 上确定一点F ，使得AF
AD
=
，连接CF ，求证：
180
CFB
CGB
+
=
．（利用尺规作图将图形补
充完整，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识点，正
确作出辅助线成为解题的关键．
（1）如图：延长CG 交AB 于点H，根据等腰三角形三线合一的性质可知CH 是AB 的垂直平分线，据此即
可证明结论；
（2）先根据要求补全图形，然后
E
ADE
CG
≌
可得AD
CG
=
，进而证得CG
AF
=
，再证明BCG
CAF
≌
可得
CGB
AFC
=
，最后根据等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明∶如图：延长CG 交AB 于点H，
学科网（北京）股份有限公司
100 /
∵AC
BC
=
，CG 平分
ACB
，
∴．CH
AB
AH
BH
⊥
=
，
，
∴CH 是AB 的垂直平分线，
∴点G 在AB 的垂直平分线上．
（2）解：补全图形如图：
∵
90
ACB
AC
BC
=
=
，
，
∴
45
CAB
CBA
=
=
，
∵AD
AB
⊥
，
∴
90
DAB
=
，
∴
90
45
45
DAC
DAB
CAB
=
−
=
−
=
，
∴
DAC
ACG
=
，
∵点E 为AC 中点，
∴AE
CE
=
，
在
ADE
和CGE
中，
DAC
ACG
AE
CE
AED
CEG
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ADE
CGE
≌
，
∴AD
CG
=
，
∵AD
AF
=
，
学科网（北京）股份有限公司
101 /
∴CG
AF
=
，
又∵CG 平分
ACB
，
∴
45
BCG
ACG
ACB
=
=
=
，
∴
BCG
CAB
=
在ABCG 和ACAF 中
CG
AF
BCG
CAB
BC
CA
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BCG
CAF
≌
，
∴
CGB
AFC
=
，
180
CFB
AFC
+
=
，
∴
180
CFB
CGB
+
=
．
4．（24-25 八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，AB
CD
∥
，BP和PC 分别平分
ABC
和
DCB
，两线相交
于点P，过P 点的直线EF 分别与射线BA，射线CD相交于点E，F．
【问题引入】（1）若EF
AB
⊥
，求证：PE
PF
=
．
【探索研究】（2）若将（1）中“ EF
AB
⊥
”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
【拓展应用】（3）若
7
BC
m
=
+
，
5
CF
m
=
+
，求BE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2
【分析】（1）作PM
BC
⊥
于M，由AB
CD
∥
，EF
AB
⊥
可得出EF
CD
⊥
，由角平分线的性质定理了得出
PE
PM
PM
PF
=
=
，
，即可得出PE
PF
=
．
（2）方法一：过点P 作GH
AB
⊥
于G，交CD于H，则PG
AB
⊥
，PH
CD
⊥
，由（1）得：PG
PH
=
，证
明
(
)
ASA
PGE
PHF
≌
，由全等三角形的性质即可得出PE
PF
=
．方法二：延长BP交CD于点M，由平行
线的性质得出
180
ABC
BCD
+
=
，
EBP
FMP
=
，利用角平分线的定义可推出
180
90
CPM
BPC
BPC
=
−
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
102 /
再利用等腰三角形三线合一的性质可得出BP
MP
=
，再证明
(
)
ASA
BPE
MPF
≌
即可得出PE
PF
=
．
（3）由方法二（2）BPE
MPF
≌
可得出PE
PF
=
，再根据BC
CM
CF
FM
CF
BE
=
=
+
=
+
即可得出答案．
【详解】证明：（1）作PM
BC
⊥
于M，如图．
∵AB
CD
∥
，EF
AB
⊥
，
∴EF
CD
⊥
，
∵BP和PC 分别平分
ABC
和
DCB
，PM
BC
⊥
，
∴PE
PM
PM
PF
=
=
，
，
∴PE
PF
=
．
（2）成立，
方法一：过点P 作GH
AB
⊥
于G，交CD于H，如图．
则PG
AB
⊥
，
∵AB
CD
∥
，
则PH
CD
⊥
，
∴
90
PGE
PHF
=
=
∠
∠
，
由（1）得：PG
PH
=
，
在PGE
和PHF
中，
PGE
PHF
PG
PH
GPE
HPF
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
PGE
PHF
≌
，
学科网（北京）股份有限公司
103 /
∴PE
PF
=
．
方法二：延长BP交CD于点M，
∵AB
CD
∥
，
∴
180
ABC
BCD
+
=
，
EBP
FMP
=
，
∵BP平分
ABC
，
∴
1
2
EBP
CBP
ABC
=
=
，
同理，
1
2
BCP
BCD
=
，
∴
(
)
1
90
2
CBP
BCP
ABC
BCD
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
90
BPC
CBP
BCP
=
−
+
=
，
∴
180
90
CPM
BPC
BPC
=
−
=
=
，
∵CP 平分
DCB
，
∴
BCP
MCP
=
，
∴
CBP
CMP
=
，
∴BC
MC
=
，
∴BP
MP
=
，
在
BEP
△
和MFP
中，
BPE
FPM
BP
PM
EBP
FMP
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BPE
MPF
≌
，
∴PE
PF
=
．
（3）∵BPE
MPF
≌
，
∴PE
PF
=
，
∴BC
CM
CF
FM
CF
BE
=
=
+
=
+
，
学科网（北京）股份有限公司
104 /
∵
7
BC
m
=
+
，
5
CF
m
=
+
，
∴7
5
m
m
BE
+
= +
+
，
∴
2
BE =
．
5．
（23-24 七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt
ABC
△
中，AB
AC
=
，
45
DEF
=
且
DEF
的顶点E 在边BC
上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M，N，
(1)当BE
CN
=
且M 与A 重合时，求证：
ABE
ECN
△
≌△
(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC
AM
MN
=
+
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得
=
= 45
ABE
ECN
，利用三角形外角的性质与等量代换可得
BAE
CEN
=
∠
∠
，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接AE ，在AC 上截取AM
CG
=
，根据等腰直角三角形的性质可得AE
EC
=
，
=
=
= 45
MAE
CAE
ACE
，证得
(
)
AME
CGE SAS
≌
，可得
=
ME
GE，
=
MEA
GEC
，利用等量代
换可得
=
= 45
MEN
GEN
，证得
(
)
MEN
GEN SAS
≌
，可得MN
GN
=
，即可得证．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
∴
=
= 45
ABE
ECN
，
∵
=
= 45
AEC
AEN
CEN
CEN
+
+
，
又∵
=
= 45
AEC
ABE
BAE
BAE
+
+
，
∴
BAE
CEN
=
∠
∠
，
又∵BE
CN
=
，
∴
(
)
ABE
ECN AAS
≌
；
（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM
CG
=
，
∵AB
AC
=
，
90
BAC
=
，E 为BC 中点，
学科网（北京）股份有限公司
105 /
∴AE
BC
⊥
，AE
EC
=
，
∴
=
=
= 45
MAE
CAE
ACE
，
在
AME
△
和CGE
中，
AM
CG
MAE
GCE
AE
CE
=
=
=
，
∴
(
)
AME
CGE SAS
≌
，
∴
=
ME
GE，
=
MEA
GEC
，
∵
90
AEG
GEC
+
=
，
∴
= 90
MEA
AEG
+
，即
90
MEG
=
，
∵
45
DEF
=
，
∴
=
= 45
MEN
GEN
，
又∵NE
NE
=
，
=
ME
GE，
∴
(
)
MEN
GEN SAS
≌
，
∴MN
GN
=
，
∵
=
CN
CG
GN
+
，
∴
=
CN
AM
MN
+
．
6．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（1），正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A B C O
与
正方形ABCD的边长相等．在正方形A B C O
绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形
OEBF 的面积）始终等于正方形ABCD面积的1
4 ．
【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形A B C O
这一条件主要用到的信息是
90
A OC
=
，
图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（2 ），ABC
中，
90
ABC
=
，
BA
BC
=
，O是边AC 的中点．以O为顶点作
90
A OC
=
，OA交线段AB 于点E ，OC交线段BC 于点F ．请
完成以下问题：
学科网（北京）股份有限公司
106 /
问题（1）：四边形OEBF 的面积是
ABC
面积的________．
问题（2）：猜想线段BE
BF
AB
、
、
之间的等量关系，并说明理由．
【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让
A OC
绕点O旋转，OA交直线AB 于点E，
OC交直线BC 于点F ，连接EF ．若
4
AB =
，
1
BE = ，请直接写出OEF
的面积．
【答案】（1）1
2 ；（2 ）BE
BF
AB
+
=
，理由见解析；延伸探究：5
2 或13
2 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌
握知识点的应用是解题的关键．
（1）由
90
ABC
=
，BA
BC
=
，O是边AC 的中点，得OB
OC
=
，
45
OBE
OCF
=
=
，
90
BOC
=
，
根据同角的余角相等得
BOE
COF
=
，证明
(
)
ASA
BOE
COF
≌
，则
BOE
COF
S
S
=
，最后
1
2
BOE
BOF
COF
BOF
BOC
ABC
OEBF
S
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
=
四边形
即可；
（2 ）
90
ABC
=
，BA
BC
=
，O是边AC 的中点，得OB
OC
=
，
45
OBE
OCF
=
=
，
90
BOC
=
，根
据同角的余角相等得
BOE
COF
=
，证明
(
)
ASA
BOE
COF
≌
，得BE
CF
=
即可；
延伸探究：分两种情况讨论即可；
【详解】（1）如图，连接OB ，
∵
90
ABC
=
，BA
BC
=
，O是边AC 的中点，
∴
1
2
OB
OC
AC
OA
=
=
=
，
45
OBE
OCF
=
=
，
90
BOC
=
，
∴
90
BOF
COF
+
=
，
∵
90
EOF
=
，
∴
90
BOF
BOE
+
=
，
学科网（北京）股份有限公司
107 /
∴
BOE
COF
=
，
在
BOE
△
和COF
中，
BOE
COF
OB
OC
OBE
OCF
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BOE
COF
≌
，
∴
BOE
COF
S
S
=
，
∴
1
2
BOE
BOF
COF
BOF
BOC
ABC
OEBF
S
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
=
四边形
，
故答案为：1
2 ；
（2 ）BE
BF
AB
+
=
，理由如下：
连接OB ，
∵
90
ABC
=
，BA
BC
=
，O是边AC 的中点，
∴OB
OC
OA
=
=
，
45
OBE
OCF
=
=
，
90
BOC
=
，
∴
90
BOF
COF
+
=
，
∵
90
EOF
=
，
∴
90
BOF
BOE
+
=
，
∴
BOE
COF
=
，
在
BOE
△
和COF
中，
BOE
COF
OB
OC
OBE
OCF
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BOE
COF
≌
，
∴BE
CF
=
，
学科网（北京）股份有限公司
108 /
∴BE
BF
CF
BF
BC
AB
+
=
+
=
=
；
【延伸探究】①如图，连接OB ，过O作OH
AB
⊥
于点H ，
∴
90
AHO
OHE
=
=
，
∵由（1）知在等腰直角AOB
中，
∴
1
2
2
OH
HB
AB
=
=
=
，
∵BA
BC
=
，O是边AC 的中点，
∴
1
2
OB
OC
AC
=
=
，
∴
90
C
AOB
COB
A O
=
=
=
，
∴
BOF
AOE
=
，
45
OBF
OCB
BAC
=
=
=
，
∴
135
OBE
OCF
=
=
，
∴
(
)
ASA
BOE
OCF
≌
，
∴OE
OF
=
，
∴EOF
是等腰直角三角形，
∵
1
BE = ，
∴
2 1
3
HE
HB
BE
=
+
=
+ = ，
由勾股定理得：
2
2
2
2
2
3
13
OE
OH
HE
=
+
=
+
=
，
∴OEF
的面积为
2
1
13
2
2
OE =
；
②如图，
学科网（北京）股份有限公司
109 /
同理
(
)
ASA
BOE
OCF
≌
，
∴OE
OF
=
，
∴EOF
是等腰直角三角形，
∵
1
BE = ，
∴
2 1 1
PE
PB
BE
=
−
= −= ，
由勾股定理得：
2
2
2
2
2
1
5
OE
OP
PE
=
+
=
+
=
，
∴OEF
的面积为
2
1
5
2
2
OE =
，
综上可知：OEF
的面积为5
2 或13
2 ．
7．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图1，在Rt
ABC
△
中．
90
BAC
=
，AB
AC
=
，D 为
ABC
内一
点．
90
EAD
=
，且AE
AD
=
，连接CE ，BD的延长线与CE 交于点F．
(1)求证：BD
CE
=
，BD
CE
⊥
；
(2)如图2，连接AF ，DC ，已知
135
BDC
=
．
①判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由；
②当F 是线段CE 中点时，直接写出线段AD与线段BD的关系： ．
【答案】(1)见解析
(2)①AF
CD
∥
，见解析；②互相垂直
【分析】（1）通过SAS证明
ABD
CAE
△
△
≌
，可得BD
CE
=
，
ABD
ACE
=
，再利用三角形内角和定理
可证BD
CE
⊥
；
学科网（北京）股份有限公司
110 /
（2）①作AG
BF
⊥
，AH
CE
⊥
，由全等知AG
AH
=
，从而得到AF 平分
BFE
，证出
45
AFD
FDC
，
从而证出平行；
②连接DE ．由
90
EAD
=
，且AE
AD
=
，推出
45
AED
ADE
=
=
，由（1）BD
CE
⊥
，F 是线段CE 中
点，推出
45
EDF
CDF
=
=
，从而得出
90
ADB
=
，即可证明AD
BD
⊥
．
【详解】（1）证明：如图1，设AC 与BF 交于O 点，
∵
90
BAC
=
，
90
DAE
=
∴
BAC
DAE
=
，
∴
BAD
CAE
=
，
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AE
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴BD
CE
=
，
ABD
ACE
=
，
又∵
AOB
COF
=
，
∴
90
BFC
BAC
=
=
，
∴BD
CE
⊥
；
（2）解：AF
CD
，
理由如下：
如图2，作AG
BF
⊥
于G，AH
CE
⊥
于H，
学科网（北京）股份有限公司
111 /
由（1）知
ABD
ACE
△
△
≌
，
∴BD
CE
=
，
ABD
ACE
S
S
=
，
∴AG
AH
=
，
又∵AG
BF
⊥
，AH
CE
⊥
，
∴AF 平分
BFE
，
又∵
90
BFE
=
，
∴
45
AFD
=
，
∵
135
BDC
=
，
∴
45
FDC
=
，
∴
AFD
FDC
=
，
∴AF
CD
∥
．
②连接DE ．
∵
90
EAD
=
，且AE
AD
=
，
∴
45
AED
ADE
=
=
，
∵
135
BDC
=
，
∴
45
CDF
=
，
由（1）BD
CE
⊥
，
∵F 是线段CE 中点，
∴CD
DE
=
，
∴
45
EDF
CDF
=
=
，
∴
90
ADB
=
，
∴AD
BD
⊥
．
8．（24-25 八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索
如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
6
BC =
，点P 从点B 出发沿射线BA移动，同时，点Q 从点C 发沿线段AC
的延长线移动，已知点P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D．
学科网（北京）股份有限公司
112 /
(1)如图1，当点P 为AB 的中点时，求证：PD
DQ
=
．
(2)如图2，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E，当点P，Q 在移动的过程中，线段ED长度是否保持不变？
请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)保持不变，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）过P 点作PF
AQ
∥
交BC 于F，由题意可证DPF
DQC
≌
，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）分点P 在线段AB 上，点P 在线段BA的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得DE
的长度不变．
【详解】（1）证明：如图1，过点P 作PF
AQ
∥
交BC 于点F ．
,
PFB
ACB
DPF
Q
=
=
．
点P 和点Q 同时出发，且移动的速度相同，
BP
CQ
=
．
AB
AC
=
，
B
ACB
=
，
B
PFB
=
，
BP
PF
CQ
=
=
．
PDF
QDC
=
，
DPF
DQC
△
≌△
．
PD
DQ
=
．
（2）解：线段ED的长度保持不变，理由如下：
学科网（北京）股份有限公司
113 /
分两种情况，①若点P 在线段AB 上，
如图2，过点P 作PF
AC
∥
交BC 于点F ．
与（1）同理可知，PB
PF
=
，DPF
DQC
≌
，
DF
DC
=
．
PE
BC
⊥
，
BE
EF
=
．
1
3
2
ED
EF
FD
BE
DC
BC
=
+
=
+
=
=
．
②若点P 在线段BA的延长线上，
如图3，过点P 作PM
AC
交BC 的延长线于点M ．
M
ACB
．
又
AB
AC
=
，
B
ACB
=
．
PM
PB
=
．
PE
BM
⊥
，
BE
EM
=
．
PM
AC
，
MPD
CQD
=
，
又
PDM
CDQ
=
，
PMD
QCD
△
≌△
．
CD
DM
．
,
BE
EM CD
DM
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
114 /
3
3
2
2
2
BC
CM
BC
CM
ED
EM
DM
DM
DM
DM
DM
+
=
−
=
−
=
+
−
=
+
−
= ．
综上所述，线段ED的长度保持不变．
1．（24-25 七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这
个等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A．90
B．60
C．45
D．30
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，
先画出图形，可知AB
AC
=
，DE 垂直平分AC ，点D 是边BC 的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平
分线的性质得AD
BC
⊥
，AD
CD
BD
=
=
，则答案可得．
【详解】解：如图所示，
根据题意可知AB
AC
=
，DE 垂直平分AC ，点D 是边BC 的中点，
∴AD
BC
⊥
，AD
CD
BD
=
=
，
∴
90
ADC
ADB
=
=
，
∴
45
CAD
BAD
=
=
，
∴
90
BAC
=
．
故选：A．
2．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知
ABC
的面积为12，BP平分
ABC
，且AP
BP
⊥
于
点P ，则BPC
的面积是（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
小学
初中
学科网（北京）股份有限公司
115 /
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，
作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长AP 交BC 于E ，根据已知条件证得ABP
EBP
≌
，根据全
等三角形的性质得到AP
PE
=
，得出
ABP
EBP
S
S
=
△
△
，
ACP
ECP
S
S
=
△
△
，推出
1
2
PBC
ABC
S
S
=
．
【详解】解：延长AP 交BC 于E ，
BP
平分
ABC
，
ABP
EBP
=
，
AP
BP
⊥
，
90
APB
EPB
=
=
，
在ABP
和
EBP
△
中，
ABP
EBP
BP
BP
APB
EPB
=
=
=
，
(ASA)
ABP
EBP
△
≌△
，
AP
PE
=
，
ABP
EBP
S
S
=
，
ACP
ECP
S
S
=
△
△
，
1
1 12
6
2
2
PBC
ABC
S
S
=
=
=
，
故选：C ．
3．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线
D．全等三角形的对应角平分线相等
【答案】D
【分析】根据三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识逐
项判定即可得到答案．
学科网（北京）股份有限公司
116 /
【详解】解：A、三角形的三条高线所在的直线交于一点，原说法错误，不符合题意；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，不符合题意；
D、全等三角形的对应角平分线相等，说法正确，符合题意；
故选：D．
4．
（2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形ABC 中，
90
ABC
=
，D 为AC 边上中点，过D 点作DE
DF
⊥
交AB 于E ，交BC 于F ，若AB 的长为8，则四边形BFDE的面积为（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练
掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键．
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明EDB
FDC
≌
，结合图形
得出四边形BFDE的面积
1
2
ABC
S
=
，即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
等腰直角三角形
ABC
中，D 为AC 边上中点，
∴BD
AC
⊥
，BD
CD
AD
=
=
，
45
ABD
=
，
∴
45
C
=
，
∴
ABD
C
=
，
又∵DE
DF
⊥
，
∴
90
FDC
BDF
EDB
BDF
+
=
+
=
，
∴
FDC
EDB
=
，
学科网（北京）股份有限公司
117 /
在
EDB
△
和
FDC
△
中，
EBD
C
BD
CD
EDB
FDC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
EDB
FDC
≌
，
∴四边形BFDE的面积
1
2
ABC
S
=
，
∵AB 的长为8，
∴
8
AB
BC
=
=
，
∴四边形BFDE的面积
1
1
1 8 8
16
2
2
2
ABC
S
=
=
=
，
故选：B．
5．
（23-24 八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线l 经过线段AB 的中点O，点P 在直线l 上，且PA
PB
=
，
则下列结论：
PAO
PBO
=
①
；
30
A
=
②
；
PO
③
平分
APB
；
PO
④
垂直平分线段AB ．其中正确的
个数有（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可．
【详解】解：直线l 经过线段AB 的中点O，点P 在直线l 上，且PA
PB
=
，
PAO
PBO
=
，PO平分
APB
，PO垂直平分线段AB ，
故
④
①③
正确，
条件不足，无法求出
A
的度数，故②错误；
故选：C．
6．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点D ，C ，E 在直线l 上，点A ，B 在l 的同侧，AC
BC
⊥
，
若AD
AC
BC
BE
=
=
=
，
6
CD = ，
12
ACD
S
=
，则CE 的长是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
118 /
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】过点A 作AM
CD
⊥
于点M，BN
CE
⊥
于点N，证明
ACM
CBN
△
≌△
，得出AM
CN
=
，根据
6
CD = ，
12
ACD
S
=
，得出
2 12
4
6
AM
=
=
，根据等腰三角形的性质得出
1
2
CN
NE
CE
=
=
，最后求出结果即可．
【详解】解：过点A 作AM
CD
⊥
于点M，BN
CE
⊥
于点N，如图所示：
则
90
AMD
AMC
BNC
=
=
=
，
∵AC
BC
⊥
，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
ACM
BCN
BCN
CBN
+
=
+
=
，
∴
ACM
CBN
=
，
∵AC
BC
=
，
90
AMC
BNC
=
=
，
∴
ACM
CBN
△
≌△
，
∴AM
CN
=
，
∵
6
CD = ，
12
ACD
S
=
，
∴
2 12
4
6
AM
=
=
，
∴
4
AM
CN
=
=
，
∵BC
BE
=
，BN
CE
⊥
，
∴
1
2
CN
NE
CE
=
=
，
∴
2
8
CE
CN
=
= ，
故答案为：8．
7．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ，
C 重合），连接AD，作
40
ADE
B
= =
，DE 交线段AC 于点E ，下列结论：①
DEC
BDA
=
；②若
学科网（北京）股份有限公司
119 /
AB
DC
=
，则AD
DE
=
；③当DE
AC
⊥
时，则D 为BC 中点；④当
ADE
为等腰三角形时，
40
BAD
=
；
其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的
性质得到
40
C
ADE
B
=
= =
，利用角度的转换即可得到
DEC
BDA
=
，故①正确；当AB
DC
=
时，
可证明BAD
CDE
≌
，即可得到AD
DE
=
，故②正确；当DE
AC
⊥
时，可得
90
ADB
DEC
=
=
，利用
等腰三角形三线合一的性质可得D 为BC 中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得
40
AED
，则可
得到
40
DAE
=
或70，即可求出
BAD
的度数为60或30，故可得④不正确．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
40
B
C
ADE
=
=
=
，
180
DEC
C
EDC
+
+
=
，
180
BDA
ADE
EDC
+
+
=
，
DEC
BDA
=
，故①正确；
若AB
DC
=
，
由①得
,
DEC
BDA
C
B
=
= ，
(
)
ASA
BAD
CDE
≌
，
AD
DE
=
，故②正确；
若DE
AC
⊥
，则可得
90
ADB
DEC
=
=
，
∵AB
AC
=
，
D 为BC 中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得
40
AED
，
故
ADE
AED
，
当
40
ADE
EAD
=
=
时，
180
60
BAD
B
C
DAE
=
−−−
=
；
当
180
70
2
ADE
AED
EAD
−
=
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
120 /
180
30
BAD
B
C
DAE
=
−−−
=
，故④不正确，
所以正确的为①②③，
故选：A．
8．
（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中AB
AC
=
，立柱AD
BC
⊥
，
且顶角
110
BAC
=
，则
DAB
的度数为 ．
【答案】55/55度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三
角形的三线合一性质，即可解答．
【详解】解：
AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
1
55
2
DAB
DAC
=
=
，
故答案为：55．
9．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在
ABC
中，
,
AB
BC BE
=
是
ABC
的中线，AD
BC
⊥
于
点D ，若
36
DAB
=
，则
EBC
的度数为 ．
【答案】63
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等据三角形的性质是解决问题的关键．
根据三角形外角的性质得
126
ABC
DAB
D
=
+
=
，由等腰三角形的性质可得BE 是
ABC
的平分线，即
可求出
EBC
的度数．
【详解】AD
BC
⊥
于点D ，
90
D
=
，
36
DAB
=
，
126
ABC
DAB
D
=
+
=
，
学科网（北京）股份有限公司
121 /
,
AB
BC BE
=
是
ABC
的中线，
BE
是
ABC
的角平分线，
1
63
2
EBC
ABC
=
=
．
故答案为：63．
10．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在
ABC
中，BC 的垂直平分线EF 交
ABC
的平分线BD
于点E，若
66
BAC
=
，
24
ACE
=
，则
BEF
的度数为 ．
【答案】60
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据线段垂
直平分线的性质，角平分线的定义以及等边对等角可得出
EBC
ECB
ABD
=
=
，然后根据三角形内角和定
理求出
30
ABD
EBC
ECB
=
=
=
，
120
=
BEC
，最后根据三线合一的性质求解即可．
【详解】解：∵EF 垂直平分BC ，
∴BE
CE
=
，
∴
EBC
ECB
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
EBC
=
，
∵
66
BAC
=
，
24
ACE
=
，
∴
180
90
ABC
ECB
BAC
ACE
+
=
−
−
=
，
即
90
ABD
EBC
ECB
+
+
=
，
∴
30
ABD
EBC
ECB
=
=
=
，
∴
180
120
BEC
EBC
ECB
=
−
−
=
，
∵BE
CE
=
，EF
BC
⊥
，
∴
1
60
2
BEF
BEC
=
=
，
故答案为：60．
11．（2025·陕西·模拟预测）如图，在
ABC
中，AC
BC
=
，CG
AB
⊥
于点G ，点D 、E 在边AB 上，点D 在
学科网（北京）股份有限公司
122 /
点G 的左侧，且AD
BE
=
，则图中全等三角形的对数共有 对．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得
出AG
BG
=
，
90
CGA
CGB
=
=
，推出
(
)
HL
AGC
BGC
≌
，根据SAS推出ADC
BEC
≌
，根据HL推出
CGD
CGE
△
≌△
，最后根据SAS推出ACE
BCD
≌
．
【详解】解：
AB
BC
=
，CG
AB
⊥
，
AG
BG
=
，
90
CGA
CGB
=
=
，
(
)
HL
AGC
BGC
≌
，
AB
BC
=
，
A
B
=
，
又
AD
BE
=
，
(
)
SAS
ADC
BEC
△
≌△
，
CD
CE
=
，
又
90 ,
CGD
CGE
CG
CG
=
=
=
，
(
)
HL
CGD
CGE
≌
，
AD
BE
=
，
AD
DE
BE
DE
+
=
+
，
AE
BD
=
，
又
,
A
B AC
BC
=
=
，
(
)
SAS
ACE
BCD
△
≌△
，
即有4 对全等三角形，
故答案为：4．
12．（23-24 七年级下·山东东营·期中）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AC 的垂直
平分线EF 分别交AC ，AB 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM
的
周长的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司
123 /
【答案】8
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，连接AD交EF 于点M，连接AM ，由线段垂直平分线的性
质可知AM
CM
=
，则CM
MD
MD
AM
+
=
+
，故此当点M 位于点M处时，MB
MD
+
有最小值，然后依据等
腰三角形三线合一的性质可证明AD为
ABC
底边上的高线，依据三角形的面积为12 可求得AD的长．
【详解】解：连接AD交EF 于点M，连接AM ，
∵
ABC
是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
4
BC =
，
∴AD
BC
⊥
，
2
CD
BD
=
=
，
∴
1
1
4
12
2
2
ABC
S
BC AD
AD
=
=
=
△
，
解得
6
AD =
，
∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AM
CM
=
，
∴CM
MD
MD
AM
+
=
+
，
∴当点M 位于点M处时，MB
MD
+
有最小值，最小值6，
∴CDM
的周长的最小值为
2 6
8
CD
AD
+
= + = ．
故答案为：8．
13．（24-25 八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
=
，AD
BC
∥
，AB
BC
=
，E
是AB 的中点，CE
BD
⊥
．
学科网（北京）股份有限公司
124 /
(1)求证：
ABD
BCE
△
△
≌
．
(2)求证：AC 是线段ED的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由
90
ABC
=
，AD
BC
∥
得
90
BAD
ABC
=
=
，
90
ADB
ABD
+
=
；再由CE
BD
⊥
得
90
ABD
CEB
+
=
，即可得
CEB
ADB
=
，利用AAS即可证明
ABD
BCE
△
△
≌
；
（2）由
ABD
BCE
△
△
≌
及E 为中点可得AD
AE
=
；由AB
BC
=
及AD
BC
∥
得AC 平分
EAD
，从而由等
腰三角形的性质得AC 是线段ED的垂直平分线．
【详解】（1）证明：∵
90
ABC
=
，AD
BC
∥
，
∴
90
BAD
ABC
=
=
，
∴
90
ADB
ABD
+
=
；
∵CE
BD
⊥
，
∴
90
ABD
CEB
+
=
，
∴
CEB
ADB
=
；
在
ABD
△
与BCE
中，
BAD
ABC
CEB
ADB
AB
BC
=
=
=
，
∴
(AA )
S
ABD
BCE
≌
；
（2）证明：∵
ABD
BCE
△
△
≌
，
∴AD
BE
=
；
∵点E 为AB 的中点，
∴AE
BE
=
，
∴AD
AE
=
；
∵AB
BC
=
，
学科网（北京）股份有限公司
125 /
∴
BAC
BCA
=
；
∵AD
BC
∥
，
∴
DAC
BCA
=
，
∴
DAC
BAC
=
，
∴AC 平分
EAD
；
∵AE
AD
=
，
∴AC 是线段ED的垂直平分线．
14．（24-25 七年级下·河南驻马店·期末）如图：在
ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于
点F ，D为线段CE 的中点，BE
AC
=
．
(1)试说明：AD
BC
⊥
；
(2)若
35
B
=
，求
C
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知
识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）连接AE ，利用线段垂直平分线的性质证得AE
BE
=
，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结
论；
（2）由三角形的外角的性质可得
2
AEC
B
= ，进而得到
C
．
【详解】（1）证明：连接AE ，
∵AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，
学科网（北京）股份有限公司
126 /
∴AE
BE
=
，
∵BE
AC
=
，
∴AE
AC
=
，
∵D为线段CE 的中点，
∴AD
BC
⊥
．
（2）解：∵AE
BE
=
，
35
BAE
B
=
=
，
∴
2
70
AEC
B
=
=
，
AE
AC
=
，
2
70
C
AEC
B
=
=
=
．
15．（24-25 七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：在
ABC
中，点D
E
F
、、
分别在边BC
AC
AB
、
、
上，
FD
DE
BF
CD
FDE
B
=
=
=
，
，
．
FDE
B
=．
(1)求证：AB
AC
=
；
(2)连接AD，如果AD平分
FDE
，求证：AD
BC
⊥
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，证
明
BDF
CED
△
≌△
是解题的关键．
（1）由
FDE
B
=，得
180
180
CDE
BDF
FDE
B
+
=
−
=
−，而
180
BFD
BDF
B
+
=
−，所以
BFD
BDF
CDE
BDF
+
=
+
，则
BFD
CDE
=
，而FD
DE
=
，BF
CD
=
，即可根据“SAS”证明
BDF
CED
△
≌△
，得
B
C
=
，所以AB
AC
=
；
（2）由AD平分
FDE
，得
ADF
ADE
=
，而FD
ED
=
，AD
AD
=
，即可根据“SAS”证明
ADF
ADE
≌
，
得
=
DAB
DAC ，即可由AB
AC
=
，AD平分
BAC
，根据等腰三角形的“三线合一”证明AD
BC
⊥
．
【详解】（1）证明：
FDC
FDE
EDC
=
+
，
FDC
B
BFD
= +
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
且
FDE
B
=，
学科网（北京）股份有限公司
127 /
BFD
CDE
．
在BDF
和
CED
△
中，
FD
DE
BFD
CDE
BF
CD
=
=
=
，
，
，
(
)
SAS
BDF
CED
△
≌△
．
B
C
=
（全等三角形的对应角相等）．
AB
AC
=
（等角对等边）．
（2）证明：
AD
平分
FDE
，
ADF
ADE
=
．
在
ADF
△
和
ADE
中，
DF
DE
ADF
ADE
AD
AD
=
=
=
，
，
，
(
)
SAS
ADF
ADE
≌
．
DAF
DAE
=
（全等三角形的对应角相等）．
又
AB
AC
=
，
AD
BC
⊥
（等腰三角形三线合一）．
16．（2025·陕西榆林·三模）已知，
ABC
中，AB
AC
=
，
40
A
=
，D 为BC 的中点，请利用尺规作图法
在
ABC
内部确定点E ，使E 到B 、C 的距离相等且
55
BED
=
．（不写做法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，尺规作角平分线，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质，
三角形的外角和的计算是关键．
根据题意，尺规作
ABC
的角平分线交AD于点E ，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，点E 为所求．
学科网（北京）股份有限公司
128 /
∵
,
40
AB
AC
A
=
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
40
70
2
2
ABC
ACB
A
=
=
−
=
−
=
，
∵连接AD，点D是BC 中点，
∴
1
20
2
BAD
CAD
BAC
=
=
=
，
∵70
35
2
=
，20
35
55
+
=
，
∴作
ABC
的角平分线交AD于点E ，
如图，连接AD，以点B 为圆心，以BD为半径画弧交AB 于点M ，分别以点
,
D M 为圆心，以大于1
2 DM 为
半径画弧交于点G ，连接BG 交AD于点E ，
∴
BED
BAD
ABE
=
+
1
1
2
2
BAC
ABC
=
+
(
)
1
2
BAC
ABC
=
+
(
)
1
40
70
2
=
+
55
=
，
∴E 为所求点．
17．（2025·广东广州·二模）以线段AC 、CB 为底，在平面内构造等腰ACD
与等腰
CBE
△
，DA
DC
=
，
EC
EB
=
，
ADC
=
，
CEB
=
，且
180
+
=
．
学科网（北京）股份有限公司
129 /
(1)如图1，当点A 、B 、C 三点共线时，求证：DC
CE
⊥
(2)如图2，当点A 、B 、C 三点不共线时，若
60
=
，连接AB ，点F 为AB 中点，连接DF 、EF ，求证：
DF
EF
；
(3)如图3，当点B 在线段AD上运动且点E 在直线BC 的下方时（点B 与A 、D 不重合），请直接写出
．．．．
AEC
与
DBC
的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
2
360
AEC
DBC
+
=
或
2
AEC
DBC
=
．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得
180
2
DCA
DAC
−
=
=
，
180
2
ECB
EBC
−
=
=
，进而得
90
DCA
ECB
+
=
，得到
90
DCE
=
，即可求证；
（2 ）延长DF 至Q ，使FQ
DF
=
，连接BQ
EQ
，
，证明
(
)
SAS
AFD
BFQ
≌
可得AD
BQ
=
，DAF
QBF
=
，
再证明
(
)
SAS
DCE
QBE
≌
，得到DE
QE
=
，进而根据等腰三角形的性质即可求证；
（3）取AB 的中点F ，连接EF ，由（2 ）知DF
EF
，即得EB
EA
=
，即可得EC
EA
=
，得到
EAC
ECA
=
，
再分点E 在AC 上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解．
【详解】（1）证明：∵DA
DC
=
，EC
EB
=
，
∴
180
2
DCA
DAC
−
=
=
，
180
2
ECB
EBC
−
=
=
，
∴
(
)
180
180
1
180
2
2
2
DCA
ECB
−
−
+
=
+
=
−
+
，
∵
180
+
=
，
∴
1
180
180
90
2
DCA
ECB
+
=
−
=
，
∴
90
DCE
=
，
∴DC
CE
⊥
；
（2）证明：如图，延长DF 至Q ，使FQ
DF
=
，连接BQ
EQ
，
，
学科网（北京）股份有限公司
130 /
在
AFD
△
与BFQ 中，
AF
BF
DFA
QFB
DF
QF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AFD
BFQ
≌
，
∴AD
BQ
=
，
DAF
QBF
=
，
∵DA
DC
=
，
∴DC
BQ
=
，
∵DA
DC
=
，
60
ADC
=
=
，
∴
60
DCA
DAC
=
=
，
∴
60
1
QBF
DAF
=
=
−，
∵
180
+
=
，
∴
120
=
，
∵EC
EB
=
，
∴
30
ECB
EBC
=
=
，
∴
(
)
60
1
30
2
90
1
2
QBE
QBF
FBE
=
+
=
−+
−
=
−−，
在
ABC
中，
180
1
2
ACB
=
−−，
∴
180
1
2 60
30
90
1
2
DCE
ACB
DCA
ECB
=
−
−
=
−−−
−
=
−−，
∴
DCE
QBE
=
，
∵DC
BQ
=
，EC
EB
=
，
∴
(
)
SAS
DCE
QBE
≌
，
∴DE
QE
=
，
∵DF
QF
=
，
∴DF
EF
；
学科网（北京）股份有限公司
131 /
（3）解：取AB 的中点F ，连接EF ，
由（2 ）知DF
EF
，
∴EB
EA
=
，
∵EB
EC
=
，
∴EC
EA
=
，
∴
EAC
ECA
=
，
设
EAC
ECA
z
=
= ，
当点E 在AC 上方时，如图，
∵
180
180
90
2
2
DBC
BAC
BCA
z
z
−
−
=
+
=
+
+
=
+ ，
∴
90
z
DBC
=
−
，
∴
(
)
180
2
180
2
90
360
2
AEC
z
DBC
DBC
=
−
=
−
−
=
−
，
即
2
360
AEC
DBC
+
=
；
当点E 在AC 下方时，如图，
∵
180
180
90
2
2
DBC
BAC
BCA
z
z
−
−
=
+
=
+
−
=
−
，
∴
90
z
DBC
=
−
，
∴
(
)
180
2
180
2 90
2
AEC
z
DBC
DBC
=
−
=
−
−
=
，
即
2
AEC
DBC
=
；
综上，
2
360
AEC
DBC
+
=
或
2
AEC
DBC
=
．
