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1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 2.7 勾股定理及其逆定理的实际应用 课标要点 1.理解勾股定理及其逆定理的意义，明确二者互逆关系。 2.能利用勾股定理解决实际场景中的边长、距离计算问题。 3.会用逆定理判断实际图形中的直角，识别直角三角形。 4.具备结合生活情境建模、解决简单实际应用问题的能力。 学习重难点 重点： 1.熟练运用勾股定理求解实际问题中的线段长度、两点距离。 2.掌握逆定理判定方法，利用三边关系判断实际模型中的直角。 3.能从生活情境中抽象出直角三角形模型并解题。 难点： 1.区分两类定理应用场景：实际求长度用勾股定理，证直角用逆定理。 2.准确选取最长边，正确利用平方关系完成直角判定。 3.综合情境中灵活转化线段，解决测距、最值、路线等实际问题。 知识点 勾股定理中最短路径问题（重点） 1. 圆柱中的最短路径模型： （1）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A 到点C 的最短路径： 第二章 特殊三角形 2 / 65 学科网（北京）股份有限公司 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A 到点C 的最短路径为线段AC，𝐴𝐶2 = （𝜋𝑟） 2 + ℎ2 = 𝜋2𝑟2 + ℎ2 （2）蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A 到点C 的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A 到点B 的最短路径为线段AB，𝐴𝐵2 = （2𝜋𝑟） 2 + ℎ2 = 4𝜋2𝑟2 + ℎ2 2. 长方体中的最短路径模型（求长方体上A、B 两点之间的距离）： ①右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab ②上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc 3 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ③上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 总结：长方体中最短路径AB=√最长边 2 + （较长边+ 较短边） 2 ； 正方体中最短路径AB=√棱长 2 + （棱长+ 棱长） 2=√5棱长 。 随学随练 1．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱外的下底面点𝐴 处有一只蚂蚁，它想吃到与点𝐴相对、离外上底面1cm的点𝐵处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径 示意图是（ ） A． B． C． D． 特别提醒 1）核心原则：立体表面爬行必须展开成平面，依据 “两点之间线段最短”，再用勾股定理计算； 2）长方体存在3 种展开方式，需全部计算对比，取最小值才是最短路径。 4 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离 为线段𝐴𝐵，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段𝐴𝐵， 故选：A． 2．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，𝐴，𝐷为长方体的两个顶点． (1)求点𝐴到点𝐷之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点𝐴爬到点𝐷，求爬行的最短路程． 【答案】(1)√29 (2)√41 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点𝐵，𝐶，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷，根据勾股定理先算出𝐴𝐶的长，再利用勾股定理计算出𝐴𝐷的 长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面 与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出𝐴𝐷的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点𝐵，𝐶，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷． 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √22 + 42 = √20 = 2√5． 5 / 65 学科网（北京）股份有限公司 在Rt △𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐷=90°， ∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = √(2√5) 2 + 32 = √29． 即点𝐴到点𝐷的距离为√29． （2）将长方体中含有𝐴，𝐷两点的平面展开成平面图． 如图2 所示，𝐴𝐷= √𝐴𝑀2 + 𝑀𝐷2 = √22 + (3 + 4)2 = √53， 如图3 所示，𝐴𝐷= √𝐴𝑁2 + 𝑁𝐷2 = √(2 + 4)2 + 32 = √45， 如图4 所示，𝐴𝐷= √𝐴𝑃2 + 𝑃𝐷2 = √42 + (3 + 2)2 = √41， 因为√41 < √45 < √53， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点𝐴爬到点𝐷，爬行的最短路程为√41． 拓展 最短路径模型中圆柱模型与长方体模型的联系与区别 6 / 65 学科网（北京）股份有限公司 对比维度 正方体 长方体 圆柱 展开方案 数量 3 种展开方式 3 种不同展开方式 仅1 种侧面展开形式 路径长度 特点 三种展开计算结果相等，无需 比大小 三种路径长度不同，必须计 算对比取最小值 只有一组计算结果，无需对比 直角边构 造规律 任意两条棱长之和为一条直角 边，第三条棱为另一直角边 最短两条棱相加作一条直角 边，路径最短 竖直直角边为圆柱高；上下异 侧点水平边取底面半周长πr 核心解题 特点 计算最简单，无择优步骤 需分类计算、择优，步骤最 多 仅展开侧面，无多方案选择 特殊拓展 点 棱长全部相等，模型单一 长宽高互不相等，是考试高 频易错模型 含曲面转化平面，易混淆整周 长、半周长 共同前提 均为几何体表面爬行，不可穿透内部；依托 “两点之间线段最短 + 勾股定理” 求解 活学活用 1．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为4cm的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A 处；它沿木块的表面走到棱𝐶𝐶1的中点P 处吃食物，所走的最短路程是（ ） A．2√17cm B．10cm C．2√13cm D．3√5cm 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图及勾 股定理进行求解． 【详解】解：∵点P 是𝐶𝐶1的中点， ∴𝐶𝑃= 𝐶1𝑃= 1 2 𝐶𝐶1 = 2cm， 如图， ∴𝐴𝐶= 8cm， ∴𝐴𝑃= √𝐴𝐶2 + 𝐶𝑃2 = 2√17cm； 如图， 7 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐴𝑃= √42 + (4 + 2)2 = 2√13cm； 如图， ∴𝐴𝑃= √42 + (8 + 2)2 = 2√29cm， ∵2√13 < 2√17 < 2√29， ∴所走的最短路程是2√13cm； 故选C． 2．（25-26 八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为8cm，圆柱高为6cm，𝐵𝐶为底面圆的 直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A 爬到点C 的最短距离为________cm． 【答案】2√13 【分析】把圆柱的侧面展开，找出最短路径𝐴𝐶，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时𝐴𝐷是底面周长的一半， ∴𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶= 1 2 × 8 = 4cm， 𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 = √62 + 42 = 2√13(cm)， 8 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴蚂蚁在圆柱的表面上从点A 爬到点C 的最短距离为2√13cm． 3．（25-26 八年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为3 cm的正方体表面从点𝐴出发，经过3 个面爬 到点𝐵正下方1 cm的𝐶处，则蚂蚁走的最短路径为__________cm． 【答案】√85 【分析】此题考查了平面展开−最短路径问题，勾股定理，熟练求出𝐴𝐶的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时𝐴𝐶 最短， ∴𝐴𝐵= √(3 × 3)2 + (3 −1)2 = √81 + 4 = √85， 故答案为：√85． 拓展 易错总结 1. 定理混用易错：分不清适用场景；逆定理判定时不找最长边，直接随意代入三边平方，导致直角判断 错误。 2. 公式计算易错：混淆斜边与直角边，默认后一个数为斜边，忽略𝑐必须是最长边。 3. 实际建模易错：无直角的生活场景，不主动作辅助线构造直角三角形，直接套用公式；忽略题目隐藏 直角条件，无法抽象出直角三角形模型。 4. 蚂蚁爬行最短路径易错：长方体只算一种展开图，不对比三种路径长度，误判最短路线；圆柱展开误 用完整底面周长，上下异侧点应取半圆弧长𝜋𝑟；混淆几何体内部直线距离与表面爬行路径，审题忽略 “表面” 限制。 9 / 65 学科网（北京）股份有限公司 活学活用 1．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B 两点，现 要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B 两点．若礼盒高10cm，底面圆的周长 为48cm，那么需要丝带的长度最少为________cm． 【答案】52 【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如 图，点𝐴为展开图长方形一边的中点，𝐵𝐶为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出𝐴𝐵即可得到解答． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点𝐴为展开图长方形一边的中点，𝐵𝐶为底面圆周长的一半， ∴𝐵𝐶= 24cm， 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √102 + 242 = 26cm， ∴需要丝带的长度最少为26 × 2 = 52cm． 故答案为：52． 2．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6 米处（点𝐵） 折断，树顶部（点𝐴）落在离树干底部（点𝐶）8 米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少 米？ 【答案】16 米 【详解】解：由题意可知：𝐴𝐶= 8米，𝐵𝐶= 6米，∠𝐶= 90°， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 10（米）， ∴𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 6 + 10 = 16（米）． 答：这棵树在折断前的高度为16 米． 3．（25-26 八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有 10 / 65 学科网（北京）股份有限公司 一个由传感器控制的门铃𝐴，如图1 所示，人只要移至该门口4m及4m以内时（图2 中𝐵𝐷），门铃就会自 动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高1.5m的学生走到𝐷处，门铃恰好自动响起，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于 点𝐸，求该学生头顶𝐶到门铃𝐴的距离． 【答案】该学生头顶𝐶到门铃𝐴的距离为5m 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，由题意，得 𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 1.5m, 𝐴𝐵= 4.5m， 𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 4.5 −1.5 = 3(m)， 𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 4m， 在Rt△𝐴𝐸𝐶中， 根据勾股定理，得 𝐴𝐶= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 = √32 + 42 = 5(m)， 故该学生头顶𝐶到门铃𝐴的距离为5m． 题型 梯子滑行问题 11 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ▌例1．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端 将滑动（ ） A．4m B．6m C．8m D．10m 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： 𝐵𝑂= √252 −72 = 24(m)， 梯子的顶端下滑4m后，顶端距离墙角的距离： 𝐵′𝑂= 24 −4 = 20(m)， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： 𝐴′𝑂= √252 −202 = 15(m)， 梯子的底端滑动的距离为： 𝐴𝐴′ = 15 −7 = 8(m)． 故选：C． ▌例2．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）如图，一根5m长的竹竿𝐴𝐵，斜靠在一竖直的墙𝐴𝑂上，这时𝐴𝑂 为3m，杆子的顶端𝐴沿墙下滑1m(𝐴𝐶= 1m)．求梯子底端𝐵外移的距离（𝐵𝐷的长）？ 【答案】(√21 −4)m 解题贴士 梯子长度始终不变，为直角三角形斜边；墙与地面为直角边，利用勾股定理分别求解滑动前后底边、高 的长度，作差得到滑行距离。 12 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出𝑂𝐵、𝑂𝐶的长度，进而即可求解，熟练掌握勾股 定理是解题的关键． 【详解】解：在Rt △𝐴𝑂𝐵中，𝐴𝑂= 3m，𝐴𝐵= 5m， ∴𝑂𝐵= √𝐴𝐵2 −𝐴𝑂2 = √52 −32 = 4m， ∵𝐴𝐶= 1m， ∴𝑂𝐶= 𝐴𝑂−𝐴𝐶= 3 −1 = 2m， 在Rt △𝐶𝑂𝐷中，𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 5m， ∴𝑂𝐷= √𝐶𝐷2 −𝑂𝐶2 = √52 −22 = √21m， ∴𝐵𝐷= 𝑂𝐷−𝑂𝐵= (√21 −4)m． 答：梯子底端𝐵外移的距离为(√21 −4)m． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）如图，长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端 离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________m． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理 即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 2.5m，一条直角边长为 0.7m， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：√2.52 −0.72 = √6.25 −0.49 = √5.76 = 2.4(m)． 故答案为：2.4． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学 们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B 上，另一端拴在A 的正下方物体C 上，滑块B 放 置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体C 的升降．实验初始状态如图1 所示，物体 C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距离𝐵𝐶= 5cm，物体C 到定滑轮𝐴的垂直距离𝐴𝐶= 12cm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） 13 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C 升高2cm至𝐶1处，求滑块B 向左滑动至𝐵1处的距离． 【答案】(1)25cm (2)4cm 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在Rt △𝐴𝐶𝐵中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为25cm，得到𝐴𝐵1 = 15cm，在Rt △𝐴𝐶𝐵1中利用勾股定理求出𝐵1𝐶= 9cm， 再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴在Rt △𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √52 + 122 = 13cm， ∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 13 + 12 = 25cm． 答：绳子的总长度为25cm． （2）解：由题意得，𝐶𝐶1 = 2cm， ∴𝐴𝐶1 = 𝐴𝐶−𝐶𝐶1 = 12 −2 = 10cm， 由（1）得，绳子的总长度为25cm， ∴𝐴𝐵1 = 25 −𝐴𝐶1 = 25 −10 = 15cm， 在Rt △𝐴𝐶𝐵1中，𝐴𝐵1 2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵1𝐶2， ∴𝐵1𝐶= √𝐴𝐵1 2 −𝐴𝐶2 = √152 −122 = 9cm， ∴𝐵𝐵1 = 𝐵1𝐶−𝐵𝐶= 9 −5 = 4cm， 答：滑块𝐵向左滑动的距离为4cm． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在 左墙𝐷𝐸时，梯子𝐴到左墙的距离𝐴𝐸为0.7m，梯子顶端𝐷到地面的距离𝐷𝐸为2.4m，若梯子底端𝐴保持不动， 将梯子斜靠在右墙𝐵𝐶上，梯子顶端𝐶到地面的距离𝐶𝐵为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽𝐵𝐸 的长度．（单位：m） 14 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】𝐵𝐸= 2.7m 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想 的应用．先根据勾股定理求出𝐴𝐷的长，同理可得出𝐴𝐵的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得𝐴𝐷= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°， ∵ 𝐴𝐸= 0.7m，𝐷𝐸= 2.4m， ∴ 𝐴𝐶= 𝐴𝐷= √𝐴𝐸2 + 𝐷𝐸2 = √0.72 + 2.42 = 2.5m， ∵ 𝐵𝐶= 1.5m， ∴ 𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √2.52 −1.52 = 2m， ∴ 𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐵= 0.7 + 2 = 2.7m， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽𝐵𝐸= 2.7m． 题型 旗杆问题 ▌例1．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12 米（𝐵𝐶= 12米）处向地面拉一条长 为15 米（𝐴𝐶= 15米）的钢缆，则地面钢缆固定点𝐴到电线杆底部𝐵的距离为（ ） A．9 米 B．8 米 C．7 米 D．6 米 【答案】A 【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 12米，𝐴𝐶= 15米， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √152 −122 = 9（米）． 解题贴士 1）旗杆垂直地面构成直角，旗杆高、地面距离为直角边、拉线为斜边； 2）常设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列方程求解高度、拉线长。 15 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ▌例2．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）如图，一根电线杆在离地面12 米高的点A 处各用15 米长的铁 丝向两侧地面拉线固定，固定点为C 和D，求固定点𝐶𝐷之间的距离． 【答案】18 米 【分析】根据题意可以得到△𝐴𝐶𝐷是等腰三角形，进而得到𝐵𝐶= 1 2 𝐶𝐷，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理求 出𝐵𝐶长，从而求出𝐶𝐷长． 【详解】解：由题意可知，𝐴𝐵= 12米，𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 15米，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷， ∴△𝐴𝐶𝐷是等腰三角形， ∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 1 2 𝐶𝐷， ∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°， 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = √152 −122 = 9米， ∴𝐶𝐷= 2 × 9 = 18米． ▌对点练1-1．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度𝐷𝐸= 0.5m，将它往前推送3m（水 平距离𝐵𝐶= 3m）时，踏板离地的垂直高度𝐵𝐹= 1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索𝐴𝐷的长度 是______． 【答案】5m 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 𝑥，表示出𝐴𝐶= 𝐴𝐷− 𝐶𝐷= (𝑥−1)m，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千绳索𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 𝑥m， ∵ 𝐷𝐸= 0.5m，𝐵𝐹= 𝐶𝐸= 1.5m， ∴ 𝐶𝐷= 1m， 16 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 𝐴𝐶= 𝐴𝐷−𝐶𝐷= (𝑥−1)m， 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，即(𝑥−1)2 + 32 = 𝑥2， 解得𝑥= 5， ∴秋千绳索𝐴𝐷的长度是5m． 故答案为：5m． ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江西上饶·期中）如图，某自动感应门的正上方A 处安装着一个感应器， 离地𝐴𝐵= 2.6m，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高1.7m的学生𝐶𝐷面对着 自动感应门，缓慢走到离门1.2m的地方时(𝐵𝐶= 1.2m)，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的 距离． 【答案】1.5m 【分析】过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，构造Rt △𝐴𝐷𝐸，利用勾股定理求得𝐴𝐷的长度即可． 【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸， 由题意可得𝐷𝐶𝐵𝐸为长方形， ∵𝐴𝐵= 2.6m，𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 1.7m，𝐸𝐷= 𝐵𝐶= 1.2m， ∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 2.6 −1.7 = 0.9m， 在Rt △𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得： 𝐴𝐷= √𝐴𝐸2 + 𝐷𝐸2 = √0.92 + 1.22 = 1.5m． ▌对点练1-3．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆𝐴𝐵的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳 子比旗杆长1 米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离𝐶𝐷为1 米，到旗杆的距离𝐶𝐸为6 米（如 图所示），求旗杆𝐴𝐵的高度． 17 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】旗杆𝐴𝐵的高度为9 米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设𝐴𝐵= 𝑥米，则绳子长为 (𝑥+ 1)米，再由题意得出𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= (𝑥−1)米，然后由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：设𝐴𝐵= 𝑥米，则绳子长为(𝑥+ 1)米， ∴𝐴𝐶= (𝑥+ 1)米， 由题意得：四边形𝐶𝐷𝐵𝐸是长方形， ∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 1米， ∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= (𝑥−1)米， 在Rt △𝐴𝐶𝐸中，由勾股定理得：𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 𝐴𝐶2， 即(𝑥−1)2 + 62 = (𝑥+ 1)2， 解得：𝑥= 9， 答：旗杆𝐴𝐵的高度为9 米． 题型 小鸟飞行问题 ▌例1．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树𝐴𝐵上觅食，它的巢筑在与该树 水平距离（𝐵𝐶）为12m的一棵大树𝐶𝑀上，大树高𝐶𝑀= 8m，喜鹊的巢位于树顶下方1m的𝐷处，当它听到 巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ） A．6.5s B．6s C．5.5s D．5s 【答案】A 解题贴士 将两棵树高度差为竖直直角边、水平间距为水平直角边，小鸟直线飞行距离为斜边，直接用勾股定理求 解。 18 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【分析】过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐶于𝐸，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过𝐴作𝐴𝐸⊥𝑀𝐶于𝐸，如图所示： 由题意可知，𝐴𝐵= 𝐶𝐸= 2m, 𝐴𝐸= 𝐵𝐶= 12m,𝐷𝑀= 1m,𝐶𝑀= 8m， ∴𝐷𝐸= 8 −1 −2 = 5m， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为𝐴𝐷，由勾股定理可得𝐴𝐷= √𝐴𝐸2 + 𝐷𝐸2 = √122 + 52 = 13， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是13 ÷ 2 = 6.5(s)． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）公园内有两棵相距4m的树，一棵树高为5m，另一棵 树高为8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三 角形的斜边长，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意画图如下：其中𝐴𝐵= 8m,𝐶𝐷= 5m, 𝐵𝐷= 4m，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷, 𝐶𝐷⊥𝐵𝐷， ∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷， 过C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵于𝐸， ∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 5m, 𝐶𝐸= 𝐵𝐷= 4m， ∴两棵树的高度差𝐴𝐸= 8 −5 = 3m，两棵树的水平距离𝐶𝐸= 4m， 根据勾股定理可得𝐴𝐶= √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5(m)， 即小鸟至少要飞5m． ▌对点练1-2．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞 口的距离还有3 倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰 向何处扑击才能恰好抓到蛇． 19 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设𝐶𝐵的长为𝑥m，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D 处为树顶，鹰向点B 处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得𝐷𝐵= 𝐴𝐵， 设𝐶𝐵的长为𝑥m，则152 + 𝑥2 = (15 × 3 −𝑥)2， 解得𝑥= 20． 答：鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇． ▌对点练1-3．如图，小明操纵无人机从树尖𝐴飞向旗杆顶端𝐶，已知树高5m，旗杆高21m，树与旗杆之间 的水平距离为12m，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】20m 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于𝐸，连接𝐴𝐶，由题意得：𝐷𝐸= 𝐴𝐵= 5m，𝐴𝐸= 𝐵𝐷= 12m，∠𝐴𝐸𝐶= 90°，求出𝐶𝐸= 16m，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解 此题的关键． 【详解】解：如图，作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于𝐸，连接𝐴𝐶， 由题意得：𝐷𝐸= 𝐴𝐵= 5m，𝐴𝐸= 𝐵𝐷= 12m，∠𝐴𝐸𝐶= 90°， ∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 21 −5 = 16m， 20 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 = √122 + 162 = 20m． 即：无人机飞行的最短距离为20m． 题型 大树折断问题 ▌例1．（25-26 八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折 竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1 丈 = 10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处𝐶点离竹子底部𝐴点3 尺远， 求折断后竹子𝐴𝐵的长．设𝐴𝐵的长为𝑥尺，下列方程正确的是（ ） A．𝑥2 + 32 = (10 −𝑥)2 B．𝑥2 = (10 −𝑥)2 + 32 C．𝑥2 + 32 = (10 + 𝑥)2 D．𝑥2 + 32 = 102 【答案】A 【分析】根据题意可得𝐵𝐶的长为(10 −𝑥)尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设𝐴𝐵的长为𝑥尺，则𝐵𝐶的长为(10 −𝑥)尺， 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，则由勾股定理得𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2， ∴𝑥2 + 32 = (10 −𝑥)2． ▌例2．（25-26 八年级下·河南开封·期末）如图，一棵18米高的大树在一次强台风中在距地面5m处折断， 倒下后树顶端落在点𝐴处，离这棵大树底端𝐵点14米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿 车，并说明理由． 【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 解题贴士 1）折断后树的下段垂直地面、上段为斜边、树底到落点距离为水平直角边； 2）整树高度=剩余竖直高度+折断斜边长度，设未知数列勾股方程求解。 21 / 65 学科网（北京）股份有限公司 根据题意可知：𝐵𝐶= 5m，𝐴𝐶= 18 −5 = 13m，∠𝐶𝐵𝐴= 90°， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12m， ∵12m<14m， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【分析】由勾股定理得出𝐴𝐵的长，再与14米比较即可得出答案． 【详解】略 ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6 米处断裂，树顶端落在离底 部8 米的地面上，则树折断之前有_______米． 【答案】16 【分析】树折断之前有x 米，画出模型图，结合勾股定理即可作答． 【详解】解：树折断之前有x 米，模型如图， 根据题意有：𝐶𝐴+ 𝐴𝐵= 𝑥，𝐶𝐴= 6，𝐶𝐵= 8，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， 即𝐴𝐵= 𝑥−6， 根据勾股定理有：𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2， ∴(𝑥−6)2 = 62 + 82， (𝑥−6)2 = 102， ∴𝑥−6 = ±10， 解得：𝑥= 16（负值舍去）， 即树折断之前有16米． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·上海奉贤·期末）水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活 化石”．如图，一棵水杉在离地5 米（点𝐶）处折断，水杉的顶端（点𝐴）落在离水杉底端（点𝐵）12 米 处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米． 【答案】18 22 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际生活中的运用能力，是解题的关键． 由题意得，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而可得这棵水杉折断之 前的高度． 【详解】解：∵𝐵𝐶= 5，𝐴𝐵= 12，∠𝐴𝐵𝐶= 90°， ∴折断的部分长为𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 13（m）， ∴折断前高度为5 + 13 = 18（m）． 故答案为：18． ▌对点练1-3．（25-26 八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在𝐴点处被拦腰折断，如图所 示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部𝐶处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知𝐴𝐵= 4m，𝐵𝐶= 13m，两 棵树之间的水平距离为12m，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为19m 【分析】过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点𝐷，在Rt △𝐵𝐶𝐷和Rt △𝐴𝐶𝐷中用勾股定理即可得到折断前甲 树的高度． 【详解】解：过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点𝐷，𝐴𝐵= 4m，𝐵𝐶= 13m， 由题可知𝐶𝐷= 12m， 在Rt △𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷= √𝐶𝐵2 −𝐶𝐷2 = √132 −122 = 5m， ∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 4 + 5 = 9m， 在Rt △𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶= √𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 = √122 + 92 = 15m， ∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐵= 15 + 4 = 19m， ∴折断前甲树的高度为19m． 题型 风筝问题 23 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ▌例1．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段𝐵𝐶）．勘测组测量 了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离𝐵𝐷的长为15 米，风筝线𝐵𝐶 的长为25 米，牵线放风筝的手到地面的距离𝐵𝐴的长为1.7 米． (1)根据测量所得数据，求风筝离地面的垂直高度𝐶𝐸的长； (2)若风筝沿𝐶𝐸方向下降了12 米到达点M，𝐵𝐷的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】(1)21.7 米 (2)8 米 【分析】（1）利用勾股定理求出𝐶𝐷的长，再加上𝐷𝐸的长度，即可求解； （2）设此时风筝下降到点M，勾股定理求出𝐵𝑀的长，再计算𝐵𝐶−𝐵𝑀即可． 【详解】（1）解：由题意得：𝐷𝐸= 𝐴𝐵= 1.7米， 在Rt △𝐶𝐷𝐵中，由勾股定理得，𝐶𝐷= √𝐵𝐶2 −𝐵𝐷2 = √252 −152 = 20（米）， ∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐸= 20 + 1.7 = 21.7（米）， 答：风筝的高度CE 为21.7 米； （2）解：设此时风筝下降到点M， 由题意得，𝐷𝑀= 𝐶𝐷−𝐶𝑀= 20 −12 = 8（米）， 在Rt △𝑀𝐷𝐵中，由勾股定理得，𝐵𝑀= √𝐷𝑀2 + 𝐵𝐷2 = √82 + 152 = 17（米）， ∴𝐵𝐶−𝐵𝑀= 25 −17 = 8（米）， 答：此时要回收8 米的风筝线． ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东梅州·期中）10 月25 −26日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同 学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的 水平距离𝐵𝐷为24m；根据手中余线长度，计算出𝐴𝐶的长度为25m；牵线放风筝的手到地面的距离𝐴𝐵为 1.5m．已知点A，B，C，D 在同一平面内． 解题贴士 风筝线为斜边、手持高度与风筝竖直高度差为竖直直角边、水平偏移距离为水平直角边，套用勾股定理 求高度或线长。 24 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)求风筝离地面的垂直高度𝐶𝐷； (2)在余线仅剩6m的情况下，若想要风筝沿射线𝐷𝐶方向再上升11m，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1)8.5m (2)能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）过点A 作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点E，在Rt △𝐴𝐸𝐶中，由勾股定理得出𝐶𝐸的长可推出结果； （2）假设能上升11m，如图，延长𝐷𝐶至点F，使𝐶𝐹= 11m，连接𝐴𝐹，根据勾股定理求出𝐴𝐹的长，可推 出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A 作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点E， 则𝐴𝐸= 𝐵𝐷= 24m, 𝐴𝐵= 𝐸𝐷= 1.5m, ∠𝐴𝐸𝐶= 90°， 在Rt △𝐴𝐸𝐶中，由勾股定理得： 𝐶𝐸= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐸2 = √252 −242 = 7m， ∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐸𝐷= 7 + 1.5 = 8.5m； （2）解：能成功，理由如下： 假设能上升11m， 如图，延长𝐷𝐶至点F，使𝐶𝐹= 11m，连接𝐴𝐹， ∴𝐸𝐹= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 7 + 11 = 18m， 25 / 65 学科网（北京）股份有限公司 在Rt △𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐹= √𝐴𝐸2 + 𝐸𝐹2 = √182 + 242 = 30m， ∵𝐴𝐶= 25m，余线剩6m， ∴25 + 6 = 31 > 30， ∴能成功上升11m． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为 探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程 如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1 所示的示意图，其中点A 为风筝所在的位 置，𝐵𝐶为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，𝐴𝐵为风筝线的长度，𝐴𝐷为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1 相关数据，测得𝐵𝐶长为24 米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐴𝐵 的长为25 米，牵线放风筝的手到地面的距离（即𝐶𝐷的长）为1.8米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1 中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷； (2)如图2，若风筝沿𝐷𝐴方向再上升8 米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线𝐵𝐶方向前 进，放风筝的手水平移至点F 处，则𝐵𝐹的长度是多少米？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷为8.8米 (2)4 米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 7米，进而求解即可； （2）首先得到𝐶𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐸= 7 + 8 = 15米，𝐸𝐹= 𝐴𝐵= 25米，然后根据勾股定理求出𝐶𝐹= √𝐸𝐹2 −𝐸𝐶2 = 20米，进而求解即可． 【详解】（1）解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √252 −242 = 7米， ∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 7 + 1.8 = 8.8米． 答：此时风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷为8.8米． （2）解：𝐶𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐸= 7 + 8 = 15米， 由题意可得：𝐸𝐹= 𝐴𝐵= 25米， 在Rt △𝐸𝐹𝐶中，𝐶𝐹= √𝐸𝐹2 −𝐸𝐶2 = √252 −152 = 20米， 26 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐵𝐹= 𝐵𝐶−𝐶𝐹= 24 −20 = 4米， 答：他应该朝射线𝐵𝐶方向前进4 米． 题型 水杯中筷子问题 ▌例1．（25-26 八年级上·河北保定·期末）《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮 时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是10cm，内壁高24cm，若箭长36cm，则箭在投 壶外面部分的长度可能是（ ） A．8cm B．8.5cm C．9cm D．11cm 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾 股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为36 −24 = 12cm， 最小长度为36 −√102 + 242 = 36 −26 = 10cm， 故箭在投壶外面部分的长度可能是11cm， 故选：D． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一 丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有 一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸 边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（ ）． A．8尺 B．28尺 C．12尺 D．10尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为1丈，1丈= 10尺，葭生长在池中央， 解题贴士 1）水杯底面直径、杯高为直角边，杯中筷子斜长为斜边； 2）筷子总长=杯中斜长+外露长度，利用勾股定理求解长度、水深、直径。 27 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴池中心到岸边的水平距离为5尺， 设池水深度为𝑥尺，则葭长为(𝑥+ 1)尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角 三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：𝑥2 + 52 = (𝑥+ 1)2， 展开得：𝑥2 + 25 = 𝑥2 + 2𝑥+ 1， 移项，合并同类项，得：2𝑥= 24， 解得：𝑥= 12， ∴池水深度为12尺． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1 尺．一 阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方 向上移动了3 尺．由此可知水池的深度是______尺． 【答案】4 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h 尺，利用勾股定理，列 出关于h 的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h 尺，则： ℎ2 + 32 = (ℎ+ 1)2， 解得：ℎ= 4， 所以，水池的深度是4 尺． 故答案为：4． ▌对点练1-3．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷 茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm，高为16cm．老师遇到了这样一个问题：搅拌 棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少 28 / 65 学科网（北京）股份有限公司 需要 cm； (2)如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为ℎcm，你能求出h 的取值 范围吗？ 【答案】(1)18 (2)5cm ≤ℎ≤9cm 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为16cm，即杯内搅拌棒长度为16cm，题目要求长出杯 口2cm，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小， 据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要16 + 2 = 18cm； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长ℎ= 25 −16 = 9cm； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为√122 + 162 = 20cm， 露在杯子外面的长ℎ= 25 −20 = 5cm； ∴5cm ≤ℎ≤9cm． 题型 航海问题 ▌例1．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港𝐵沿正东方向向海港𝐶行驶，点𝐴处有一 座灯塔，轮船行驶了5km后到达点𝐷处（即𝐵𝐷= 5km），此时轮船正好位于灯塔𝐴的正南方，继续向东行 驶了9km到达海港𝐶处（即𝐷𝐶= 9km），已知灯塔𝐴到海港𝐵的距离𝐴𝐵为13km，求灯塔𝐴到海港𝐶的距离 𝐴𝐶． 【答案】15km 【分析】由题意可知𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∵𝐴𝐵= 13km，𝐵𝐷= 5km， 解题贴士 利用南北、东西垂直方向构造直角三角形，两段航行路程为直角边，直线返航距离为斜边；结合速度、 时间求路程，再用勾股计算。 29 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐴𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2 = 12km， ∵𝐷𝐶= 9km， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 15km． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，点𝑂是一港口，渔船𝐴从𝑂出发沿北偏东53°方向以 6 海里/时的速度出海，渔船𝐵同时从𝑂出发沿南偏东37°方向以5 海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔 船的距离为（ ）． A．2√11海里 B．√61海里 C．3√11海里 D．2√61海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，∠𝐴𝑂𝐵= 90°，𝑂𝐴= 12，𝑂𝐵= 10，根据勾股定理求得𝐴𝐵即可． 【详解】解：渔船A 从O 出发沿北偏东53°方向以6 海里/时的速度出海，渔船B 同时从O 出发沿南偏东 37°方向以5 海里/时的速度出海， ∴∠𝐴𝑂𝐵= 90°， 两小时后，𝑂𝐴= 12海里，𝑂𝐵= 10海里， 由勾股定理可得，𝐴𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = √122 + 1002 = √244 = 2√61（海里）． ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·宁夏吴忠·期中）一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然 后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有________km． 【答案】200 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意和勾股定理，得它离出发点有√1202 + 1602 = 200km. ▌对点练1-3．（25-26 八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日， 美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点𝐴处巡逻，突然发现在南偏东50° 方向距离15 海里的点𝐵处有可疑目标正在以16 海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，向我领海区域行 驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点𝐶处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速 度为多少海里/小时？ 30 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】34 海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得∠𝐴𝐵𝐺= 50°，并推得∠𝐴𝐵𝐶= 90°，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得∠𝐷𝐴𝐵= 50°，∠𝐸𝐵𝐶= 40°，𝐴𝐵= 15， 因为𝐷𝐹∥𝐸𝐺， 所以∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐷𝐴𝐵= 50°， 所以∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴𝐵𝐺−∠𝐸𝐵𝐶= 90°， 因为𝐵𝐶= 1 2 × 16 = 8， 故𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 17， 故我军巡逻舰队的航行速度为 𝐴𝐶 1 2 = 2 × 17 = 34（海里/小时）； 题型 河宽问题 ▌例1．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点𝐴，𝐵，点𝐶是与𝐵𝐴方向成直角的𝐴𝐶方向上 一点，测得𝐴𝐶= 60m，𝐵𝐶= 100m．则𝐴、𝐵两点间的距离为（ ） 解题贴士 河宽为竖直直角边、沿岸行走距离为水平直角边、斜渡距离为斜边，构造直角三角形，列勾股定理求解 河宽。 31 / 65 学科网（北京）股份有限公司 A．20√34m B．10√34m C．80m D．40m 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出𝐴𝐵的长度即可． 【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐶= 60m，𝐵𝐶= 100m， ∴𝐴𝐵= √𝐵𝐶2 −𝐴𝐶2 = √1002 −602 = 80m． ▌对点练1-1．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G 偏离欲到达点 F400m，结果他在水中实际划了500m，则该河流的宽度𝐸𝐹=______m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：𝐸𝐹= √5002 −4002 = 300(m)． 故答案为：300． ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度𝑀𝑃（𝑀𝑃垂直河岸），在地面上取参考点 H，测得𝑀𝐻= 34米，𝑁𝐻= 30米，𝐻𝑃= 31米，已知𝑀𝑁= 16米，（M、P、N 在同一直线上），求河宽 𝑀𝑃（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度𝑀𝑃为(16 −√61)米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定∠𝑁= 90°，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵𝑀𝑁= 16米，𝑁𝐻= 30米，𝑀𝐻= 34米， ∴𝑀𝑁2 + 𝑁𝐻2 = 𝑀𝐻2， ∴△𝑀𝑁𝐻为直角三角形，且∠𝑁= 90°， 在Rt △𝑁𝑃𝐻中，𝐻𝑃= 31米，𝑁𝐻= 30米， ∴𝑁𝑃= √𝐻𝑃2 −𝑁𝐻2 = √61米， 32 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝑀𝑃= 𝑀𝑁−𝑁𝑃= (16 −√61)米， 即这条河的宽度𝑀𝑃为(16 −√61)米． 题型 台阶地毯问题 ▌例1．（25-26 八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，𝐴和𝐵是这个台阶上两个相对的端点，点𝐴处有一只蚂蚁，想到点𝐵处去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点𝐵的最短路程是（ ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为20dm，宽为(3 + 2) × 3 = 15(dm)， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：AB = √202 + 152 = √400 + 225 = √625 = 25(dm)． ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度𝐵𝐶= 5 米，斜边长𝐴𝐵= 13米，楼梯的宽度为3 米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每 解题贴士 1）台阶展开后，总水平长度+总竖直高度=地毯总长； 2）先通过勾股定理求台阶斜面总长，再拆分横竖边长求和。 33 / 65 学科网（北京）股份有限公司 个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】51 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出𝐴𝐶的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求 出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐶= 5米，𝐴𝐵= 13米， 由勾股定理得，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 12 + 5 = 17米， 需要铺地毯的面积为17 × 3 = 51平方米， 故答案为：51． ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m 的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为4m． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元/m2，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68 平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160 元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为5m，斜边为13m， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：√132 −52 = 12m， 则需购买地毯的长为12 + 5 = 17m， 因为地毯的宽则是台阶的宽4 米， 所以面积是：17 × 4 = 68m2． 故共需购买68m2的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元/m2， 则购买地毯的费用为：120 × 68 = 8160元， 故购买地毯需花费8160 元． 34 / 65 学科网（北京）股份有限公司 题型 汽车超速问题 ▌例1．（25-26 八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行 驶到路对面车速检测仪𝐴处的正前方12 米的𝐶处，过了0.5 秒，小汽车到达𝐵处，此时测得小汽车与车速检 测仪间的距离为20 米．这辆小汽车在𝐵𝐶段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120 千米/小时，问该小 汽车是否超速，说明理由． 【答案】解：小汽车速度为32 米/秒，该小汽车不超速，理由如下： 由题意可知𝐴𝐶= 12米，𝐴𝐵= 20米，∠𝐵𝐶𝐴= 90°， ∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 16米， ∴小汽车速度为 16 0.5 = 32米/秒， ∵32 米/秒= 115.2千米/小时< 120千米/小时， ∴不超速． 【分析】根据勾股定理求出𝐵𝐶的值，根据速度公式求出小汽车在𝐵𝐶段的速度，与限速比较即可． 【详解】略 ▌对点练1-1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过 60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪𝐴处的正 前方50m的𝐶处，过了6s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130m，这辆小汽车超速了吗?（参考数据 转换：1m/s = 3.6km/h） 【答案】超速了 解题贴士 固定观测点、公路垂直距离为直角边，前后两个观测位置为水平边，用勾股定理求行驶路程，再结合时 间算速度，对比限速判断是否超速。 35 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出𝐵𝐶，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比 较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 50m，𝐴𝐵= 130m，∠𝐶= 90°， ∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √1302 −502 = 120m， ∴小汽车的速度为120 ÷ 6 = 20m/s = 72km/h， ∵72km/h > 60km/h， ∴这辆小汽车超速了． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这 条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线𝑙上的点𝐶处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车 速检测仪𝐶处正前方50 m的𝐵处，经过4 s后，大巴车到达𝐴处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离𝐴𝐶 为130 m． (1)求𝐴𝐵的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1 m/s = 3.6km/h） 【答案】(1)120米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段𝐴𝐵长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为 km/h，与高速公路限速100km/h比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐵𝐶= 50m，𝐴𝐶= 130m，则由勾股定理可得 𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √1302 −502 = 120 (m)， ∴𝐴𝐵的距离为120 米； （2）解：大巴车的速度为120 ÷ 4 = 30m/s， 则30m/s = 30 × 3.6km/h = 108km/h， ∵108 km/h > 100 km/h， ∴大巴车超速了． 题型 是否受台风影响问题 36 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ▌例1．（25-26 八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的 圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B 与监测点A 所在的直线由东向西移动，已知点C 为一处海港，且点C 与A、B 两点的距离分别为600km、800km， ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，过点C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，以台风中心为圆心，半径为460km的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A 与监测点B 之间的距离． (2)请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1)1000km (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出𝐶𝐸= 480km，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 600km，𝐵𝐶= 800km，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 1000(km)， 答：监测点A 与监测点B 之间的距离为1000km； （2）解：海港C 不会受到台风影响，理由如下： 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°, 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸， ∴600 × 800 = 1000𝐶𝐸， 解得：𝐶𝐸= 480km， ∵460 < 480 ∴海港C 不会受到此次台风的影响． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型 压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路𝐴𝐵由点A 向点B 匀速行驶，路边有一所 牧区寄宿制小学C；点C 与公路上A、B 两点距离分别为150 m、200 m，公路总长𝐴𝐵= 250m，工程车周 边150 米范围为噪声影响区域． 解题贴士 1）计算地点到台风行进路线的垂直距离，与台风影响半径对比； 2）垂距≤半径则受影响，再用勾股定理求影响路程、时长。 37 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)求∠𝐴𝐶𝐵的度数； (2)学校C 会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1)90° (2)学校C 会受到噪声影响．原因： 过𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 150×200 250 = 120（m）， ∵120m < 150m（噪声影响范围半径）， ∴学校C 会受到噪声影响． (3)4.5 分钟 【分析】（1）已知△𝐴𝐵𝐶三边长度，因为三边满足勾股定理的逆定理的条件，所以可通过勾股定理逆定 理判断三角形形状，进而求出∠𝐴𝐶𝐵的度数． （2）要判断学校是否受噪声影响，需先求点C 到直线𝐴𝐵的距离，因为点到直线的最短距离是垂线段长 度，所以过C 作𝐴𝐵的垂线段，用等面积法求出垂线段长度后，与150m比较即可． （3）求噪声持续时间，先确定工程车在𝐴𝐵上到C 点距离等于150m的两个交点，因为这两个交点之间的距 离就是噪声影响的行驶路程，所以用勾股定理求出该路段长度后，再结合速度公式即可计算时间． 【详解】（1）解：∵𝐴𝐶= 150m，𝐵𝐶= 200m，𝐴𝐵= 250m， ∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 1502 + 2002 = 62500 = 2502 = 𝐴𝐵2， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘． （2）略． （3）解：设工程车进入影响区的点为𝐸，离开影响区的点为𝐹， 38 / 65 学科网（北京）股份有限公司 则𝐶𝐸= 𝐶𝐹= 150m． 在Rt △𝐶𝐷𝐸中，∵𝐷𝐸= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √1502 −1202 = 90（m）， ∴𝐸𝐹= 2𝐷𝐸= 180m， ∵行驶速度为40m/分钟， ∴持续时间：180 ÷ 40 = 4.5（分钟） ， 即噪声持续干扰的时间为4.5 分钟． ▌对点练1-2．（25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，某公园在笔直公路上有A，B 两个出口，相距500 米，在距公路不远处的C 地是烟火晚会烟花燃放处，已知C 地与A 出口的距离为300 米，与B 出口的距离 为400 米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C 地周围半径250 米范围内不得进入． (1)求烟花燃放点C 地到公路的垂直距离． (2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B 之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并 求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)240 米 (2)需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140 米 【分析】（1）由勾股定理的逆定理得△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，过C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，根据 三角形面积求得𝐶𝐷的长即可； （2）由于𝐶𝐷= 240米，小于安全距离250 米．因此公路上存在两点E、F 到𝐶的距离为250 米，公路上𝐸𝐹 之间到燃放点C 的距离均小于250 米，需要暂时封锁．连接𝐶𝐸、𝐶𝐹，根据勾股定理求出𝐷𝐸，进而求出𝐸𝐹 即可． 【详解】（1）解：由题意得𝐴𝐵= 500米，𝐴𝐶= 300米，𝐵𝐶= 400米， ∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90°． 如图，过C 作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D， 39 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， 即 1 2 × 300 × 400 = 1 2 × 500𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷= 240米， 答：烟花燃放点C 地到公路的垂直距离为240 米； （2）解：按照安全要求，𝐴、𝐵之间的公路需要暂时封锁，理由如下： 如图，由（1）可知，𝐶𝐷= 240米，小于安全距离250 米． ∴公路上存在两点E、F 到𝐶的距离为250 米，公路上𝐸𝐹之间到燃放点C 的距离均小于250 米， ∴按照安全要求，A、B 之间的公路𝐸𝐹段需要暂时封锁， 连接𝐶𝐸、𝐶𝐹， ∵𝐶𝐸= 𝐶𝐹= 250米，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴𝐸𝐹= 2𝐷𝐸， ∵在Rt △𝐶𝐷𝐸中，𝐷𝐸= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √2502 −2402 = 70（米）， ∴𝐸𝐹= 2𝐷𝐸= 140（米）， 即需要封锁的公路长为140 米． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·河北保定·期末）春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移 动广播车在公路上进行广播宣传．如图11，已知一辆移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上，沿东西方向由𝐴向𝐵 行驶，嘉嘉家在公路的一侧点𝐶处，且点𝐶与直线𝐴𝐵上的两点𝐴、𝐵的距离分别为𝐴𝐶= 300m，𝐵𝐶= 400m，又𝐴𝐵= 500m，假如移动广播车周边260米以内能听到广播宣传． (1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点𝐸时，嘉嘉在家刚好听 到广播，当移动广播车行驶到点𝐹时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即𝐶𝐸= 𝐶𝐹= 260米，问嘉嘉在家听到 40 / 65 学科网（北京）股份有限公司 广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) 解：过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷， 则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷， 即 1 2 × 300 × 400 = 1 2 × 500 × 𝐶𝐷， 解得𝐶𝐷= 240（米）， ∵240 < 260， ∴嘉嘉在家能听到广播； (2)嘉嘉在家能听到广播 (3)20秒 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解答即可求解； （2）过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，利用三角形的面积可得𝐶𝐷= 240米，进而即可判断求解； （3）利用勾股定理可得𝐹𝐷= 𝐸𝐷= 100米，即得𝐸𝐹= 𝐸𝐷+ 𝐹𝐷= 200米，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： △𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下： ∵𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 3002 + 4002 = 250000，𝐴𝐵2 = 5002 = 250000， ∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形； （2）略 （3）解：由题意得，在Rt △𝐶𝐸𝐷中，𝐸𝐷= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √2602 −2402 = 100（米）, 同理得，𝐹𝐷= 𝐸𝐷= 100（米）， ∴𝐸𝐹= 𝐸𝐷+ 𝐹𝐷= 100 + 100 = 200（米）， ∵ 200 10 = 20（秒）， ∴嘉嘉在家听到广播宣传的时长是20秒． 题型 最短路径问题 41 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ▌例1．（25-26 八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点 B，则它走过的最短路程为（ ） A．√3 B．1 + √2 C．3 D．√5 【答案】D 【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段𝐴𝐵的 长，据此利用勾股定理求出𝐴𝐵的长即可得到答案． 【详解】解：将正方体展开，连接A、B， 由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段𝐴𝐵的长， 由题意得，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 2，𝐵𝐶= ，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √5， ∴蚂蚁走过的最短路程为√5． ▌例2．如图，长方体的底面边长分别为4cm 和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点𝑃开始经过4 个侧面爬 行一圈到达点𝑄，若蚂蚁的爬行速度为1.5cm/s, 20s内蚂蚁能否爬到点𝑄？ 【答案】20s内蚂蚁能爬到点𝑄 【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理 计算即可． 解题贴士 将立体图形（圆柱、长方体等）侧面展开为平面，两点之间线段最短，构造直角三角形，用勾股定理求 最短路径长。 42 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ∵𝑃𝐴= 2 × (8 + 4) = 24(cm),𝑄𝐴= 10cm,∠𝐴= 90°， ∴𝑃𝑄= √242 + 102 = 26(cm)． ∵26 ÷ 1.5 ≈17.3(s)， ∵17.3 < 20， ∴20s内蚂蚁能爬到点𝑄． ▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面𝐴 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点𝐴相对的食物𝐵，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用−最短路径问题，把圆柱体展开，连接𝐴𝐵，由两点之间线段最短，可 知线段𝐴𝐵即为爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，圆柱体侧面展开图为长方形𝐵𝐶𝐷𝐸，连接𝐴𝐵，则线段𝐴𝐵即为爬行的最短路径， ∴∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 1 2 𝐴𝐷= 1 2 × 12 = 6，𝐵𝐶= 8， ∴𝐴𝐵= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = √82 + 62 = 10， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是10， 故选：D． ▌对点练1-2．如图所示，圆柱高𝐴𝐶为4米，在底面周长为1.5米的圆柱上，有一条彩带从柱底𝐴点沿圆柱表 面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的𝐶点，则彩带长至少为________． 43 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】5米 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 将圆柱体侧面展开，通过勾股定理计算即可得解． 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图： 此时𝐴𝐶= 4米，𝐴𝐸= 1.5米， ∵有一条彩带从柱底𝐴点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的𝐶点， ∴𝐴𝐵= 1 2 𝐴𝐶= 2米， 在Rt △𝐴𝐵𝐸中，𝐵𝐸= √𝐴𝐸2 + 𝐴𝐵2 = √1. 52 + 22 = 2.5米， ∴则彩带长至少为2.5 × 2 = 5米． 故答案为：5米． ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池的示意图， 该U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 32 𝜋米的半圆，其边 缘𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 16米，点E 在𝐶𝐷上，𝐶𝐸= 4米，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离为 ________米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U 型池的侧面 44 / 65 学科网（北京）股份有限公司 展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为 32 2𝜋的半圆的弧长，长方形的长等于𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 16米，然后 问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 𝐴𝐷= 1 2 𝜋× 32 𝜋= 16米，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 16米，𝐷𝐸= 𝐶𝐷−𝐶𝐸= 12米， 在Rt △𝐴𝐷𝐸中，122 + (16)2 = 𝐴𝐸2， 解得𝐴𝐸= 20（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20 米； 故答案为：20． ▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长𝐴𝐵为7m，宽𝐴𝐷为4m的长方形草地上 放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽𝐴𝐷平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从 点𝐴处爬过木块到达点𝐶处需要走的最短路程是多少？ 【答案】√97米 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解 题的关键． 先画出展开图，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是𝐴𝐵+ 2个正方形的宽， ∴长为7 + 2 × 1 = 9米；宽为4 米． ∴最短路径为：√92 + 42 = √97（米）． 45 / 65 学科网（北京）股份有限公司 题型 勾股定理逆定理实际问题 ▌例1．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形 的三边长分别为5m，12m，13m，则该三角形的面积为（ ） A．78m2 B．65m2 C．60m2 D．30m2 【答案】D 【分析】由勾股定理逆定理得该三角形是直角三角形，即可求其面积． 【详解】解：∵该三角形的三边长分别为5m，12m，13m，52 + 122 = 132， ∴该三角形是直角三角形，直角边长为5m、12m， ∴该三角形的面积为 1 2 × 5 × 12 = 30(m2)． ▌例2．（25-26 八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示 的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测 量，𝐴𝐷= 6米，𝐴𝐵= 8米，𝐵𝐶= 24米，𝐶𝐷= 26米，∠𝐴= 90°． (1)为方便分区管理，学校计划在𝐵、𝐷两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要10米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为144平方米 【分析】（1）在Rt △𝐴𝐵𝐷中利用勾股定理求𝐵𝐷即可； （2）先由勾股定理逆定理证明△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，即可以𝐵𝐷为底，𝐵𝐶为高计算△𝐵𝐶𝐷面积，再计算△ 𝐴𝐵𝐷面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接𝐵𝐷， 解题贴士 1）提取实际场景中三段长度，取最长边，用逆定理验证： 2）最长边平方=另外两边平方和，判定是否为直角，解决垂直、方位、工程判定问题。 46 / 65 学科网（北京）股份有限公司 在Rt △𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴= 90°， ∵𝐴𝐷= 6，𝐴𝐵= 8， ∴𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = √62 + 82 = 10； 答：至少需要10 米的篱笆； （2）解：∵𝐵𝐷= 10，𝐵𝐶= 24，𝐶𝐷= 26， 𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 102 + 242 = 676，𝐶𝐷2 = 262 = 676， ∴𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2， ∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，∠𝐶𝐵𝐷= 90°， ∴𝑆△𝐵𝐶𝐷= 1 2 𝐵𝐷⋅𝐵𝐶= 1 2 × 10 × 24 = 120， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐷= 1 2 × 6 × 8 = 24， ∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 24 + 120 = 144． 答：这块劳动实践基地的总面积为144平方米． ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有 两个入口B，C，通过道路BA，CA 可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道𝐶𝐴，为方便游客观景， 分散人流，决定新修道路𝐴𝐷（点D 在𝐵𝐶上）．经测量：𝐴𝐵= 1.5km，𝐴𝐷= 1.2km，𝐵𝐷= 0.9km．则𝐴𝐷 是否为从A 到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2，则可得到∠𝐴𝐷𝐵= 90°，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵𝐴𝐵= 1.5km，𝐴𝐷= 1.2km，𝐵𝐷= 0.9km， ∴𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 1.22 + 0.92 = 1.44 + 0.81 = 2.25，𝐴𝐵2 = 1.52 = 2.25， ∴𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2， ∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形，且∠𝐴𝐷𝐵= 90°， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， 由垂线段最短可知𝐴𝐷是从A 到河边的最近道路． 47 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）图1 是某品牌手推车，图2 为其简化结构示意图．现测得 𝐴𝐵= 8dm，𝐵𝐶= 9dm，𝐶𝐷= 12dm，𝐴𝐷= 17dm，其中𝐴𝐵与𝐵𝐷之间由一个固定为90°的零件连接（即 ∠𝐴𝐵𝐷= 90°） (1)求线段𝐵𝐷的长度； (2)安全标准规定：需满足𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段𝐵𝐷的长度为15dm (2) 解：该车符合安全标准， 理由：∵𝐵𝐶= 9dm，𝐵𝐷= 15dm，𝐶𝐷= 12dm， ∴𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 92 + 122 = 225， ∵𝐵𝐷2 = 152 = 225 = 𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2， ∴𝐵𝐶⊥𝐶𝐷， 即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出𝐵𝐷的长度，再利用勾股定理的逆定理判断𝐵𝐶与𝐶𝐷是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐵𝐷= 90°，𝐴𝐵= 8dm，𝐴𝐷= 17dm， ∴在Rt △𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐵2 = 15(dm)． （2）略 ▌对点练1-3．（25-26 八年级上·湖南永州·期末）如图，点B， C 表示两地， 点A 表示供水站，𝐴𝐵= 12 千米，𝐴𝐶= 9千米，𝐵𝐶= 15千米．为了方便供水站A 往B，C 两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A 直接铺设管道到B，C 两地，即铺设的管道总长为𝐴𝐵+ 𝐴𝐶； 方案二：过点A 作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为点D，从供水站A 铺设管道到点D，再从点D 分别铺设管道到点B， C 两地，即铺设的管道总长为𝐴𝐷+ 𝐵𝐶． (1)试判断图中构成的△𝐴𝐵𝐶的形状，请说明理由； 48 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 【答案】(1) △𝐴𝐵𝐶是直角三角形． 理由如下：因为𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 122 + 92 = 225, 𝐵𝐶2 = 152 = 225， 所以𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，所以△𝐴𝐵𝐶是直角三角形； (2)方案一所铺设的管道总长较短，理由如下： 因为△𝐴𝐵𝐶的面积= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 1 2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷， 所以𝐴𝐷= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 12×9 15 = 7.2（千米）． 方案一：铺设的管道总长为：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 12 + 9 = 21（千米）； 方案二：铺设的管道总长为： 𝐴𝐷+ 𝐵𝐶= 7.2 + 15 = 22.2（千米）， 因为21千米＜22.2千米，所以方案一所铺设的管道总长较短． 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，线段的和差计算等知识，证明△𝐴𝐵𝐶是直角三角形是解题 的关键． （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）分别求出两种方案的管道总长度，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 基础通关 1．（25-26 八年级下·广东河源·期末）如图，要从电线杆离地面5 米的点𝐶处向地面拉一根钢缆，地面钢缆 固定点𝐴到电线杆底部𝐵的距离为12 米，则这根钢缆长为（ ） A．13 米 B．12 米 C．11 米 D．10 米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出𝐴𝐶的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 5米，𝐴𝐵= 12米，∠𝐴𝐵𝐶= 90°， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √122 + 52 = 13（米）， 49 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴这根钢缆长为13 米． 2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅 相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6 尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是 多少？（1 丈= 10尺）如果我们假设门的宽为𝑥尺，根据题意，可列方程为（ ） A．𝑥2 + (10 −𝑥)2 = 62 B．𝑥2 + (𝑥+ 6)2 = 102 C．𝑥2 + 102 = (𝑥+ 6)2 D．𝑥2 + 62 = (10 −𝑥)2 【答案】B 【分析】先用𝑥表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即 可． 【详解】解：设门的宽为𝑥尺，高比宽多6尺，则门的高为(𝑥+ 6)尺， 根据勾股定理可得𝑥2 + (𝑥+ 6)2 = 102． 3．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点𝐴处的激光测 距仪先将激光射向楼底端的点𝐵，仪器显示𝐴𝐵= 23.1m；再将激光射向楼顶端的点𝐶，仪器显示𝐴𝐶= 31.9m，则楼高𝐵𝐶=__________． 【答案】22m/22 米 【分析】根据题意及图形可知 △𝐴𝐵𝐶 是直角三角形，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另 一条直角边 𝐵𝐶 的长度 【详解】解：由题意可知，楼垂直于地面， 则 ∠𝐴𝐵𝐶= 90∘， 在 Rt △𝐴𝐵𝐶 中， 由勾股定理得 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2 ∵𝐴𝐵= 23.1, 𝐴𝐶= 31.9， ∴𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐵2 = √31.92 −23.12 = √(31.9 + 23.1)(31.9 −23.1) = √55 × 8.8 = √484 = 22 即楼高𝐵𝐶 为22m． 4．（25-26 八年级下·四川绵阳·期中）如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为9cm、高12cm的圆柱形水 杯中，设牙刷露在杯子外面的长度为ℎcm，则h 的取值范围是________________． 50 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】3 ≤ℎ≤6/6 ≥ℎ≥3 【分析】根据勾股定理求出斜边长，进而得到杯子内牙刷的长度取值范围，可知杯子外面长度的取值范 围． 【详解】解：∵底面直径为9cm、高12cm的圆柱形水杯， ∴杯子内牙刷的长度最大值为√92 + 122 = 15cm， ∵高12cm， ∴杯子内牙刷的长度最小值为12cm， ∵长18cm的牙刷， ∴18 −15 ≤ℎ≤18 −12， 即3 ≤ℎ≤6． 5．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是： 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一 个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇 拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为13尺，水深为12尺． 【分析】设水深为𝑥尺，则芦苇的长度为(𝑥+ 1)尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为𝑥尺，则芦苇的长度为(𝑥+ 1)尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴𝐵𝐶= 5尺， 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2, ∴𝑥2 + 52 = (𝑥+ 1)2， 解得：𝑥= 12， ∴𝑥+ 1 = 13（尺）． 答：这根芦苇的长度为13尺，水深为12尺． 51 / 65 学科网（北京）股份有限公司 6．（25-26 八年级下·广东汕头·期中）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定 点𝐴到电线杆底部𝐵的距离为2m，求钢索的长度． 【答案】钢索的长度为√29m 【分析】本题是勾股定理的实际应用，电线杆垂直地面，可构成直角三角形，已知两条直角边的长度，利 用勾股定理即可求出钢索的长度． 【详解】解：由题意得， 钢索的长度为√52 + 22 = √25 + 4 = √29(m) 答：钢索的长度为√29m． 7．（25-26 八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B 两点分别位于池塘的两端，利 用现有皮尺无法直接测量A，B 间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如 下： 实践任务 测量池塘两端A，B 间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段𝐴𝐵延长线的方向， 在池塘边的空地上选点C，使𝐵𝐶= 9m；第二步：在𝐴𝐶的一侧选点D，使点D 能直接到达A，B，C 三点，测得𝐵𝐷= 12m，𝐶𝐷= 15m，𝐴𝐷= 20m． 问题解决： (1)试判断△𝐵𝐶𝐷的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B 之间的距离． 【答案】(1)△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，理由见解析 (2)池塘两端A，B 之间的距离为16m 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； 52 / 65 学科网（北京）股份有限公司 （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，理由如下： ∵𝐵𝐶= 9m，𝐵𝐷= 12m，𝐶𝐷= 15m， ∴𝐵𝐶2 + 𝐵𝐷2 = 81 + 144 = 225 = 152 = 𝐶𝐷2， ∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形； （2）解：由（1）知：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，且∠𝐷𝐵𝐶= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝐷= 180° −∠𝐷𝐵𝐶= 90°， ∵𝐵𝐷= 12m，𝐴𝐷= 20m， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐷2 −𝐵𝐷2 = 16m； 答：池塘两端A，B 之间的距离为16m． 8．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12 海里和5 海里，2 小时后两船分别位于点 A，B 处，且相距26 海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【答案】慢船沿南偏西40°方向航行 【分析】根据三角形的三边长，可知𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，得∠𝐴𝐶𝐵= 90°，从而得出答案． 【详解】解：由题意知，𝐴𝐶= 24海里，𝐵𝐶= 10海里，𝐴𝐵= 26海里， ∵𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 242 + 102 = 676，𝐴𝐵2 = 262 = 676， ∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∵快船沿北偏西50°方向航行， ∴慢船沿南偏西40°方向航行． 9．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l 上有两个快递投放点B，C．快递投 放点C 的正北方向3km处有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为5km． (1)求快递投放点B，C 之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l 上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D 到 53 / 65 学科网（北京）股份有限公司 小区A 与快递投放点B 的距离相等，求自提柜D 与快递投放点B 之间的距离． 【答案】(1)4km (2) 25 8 km 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 3km，𝐴𝐵= 5km， ∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √52 −32 = 4km， ∴快递投放点B，C 之间的距离为4km； （2）解：设𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝑥km， ∴𝐶𝐷= (4 −𝑥)km， 在Rt △𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2， ∴32 + (4 −𝑥)2 = 𝑥2， 则有9 + 16 −8𝑥+ 𝑥2 = 𝑥2，解得𝑥= 25 8 ， ∴自提柜D 与快递投放点B 之间的距离为 25 8 km． 10．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向𝐴𝐵由点𝐴向点 𝐵移动，已知点𝐶为教学楼，点𝐶与直线𝐴𝐵上两点𝐴、𝐵的距离分别为30m和40m，且𝐴𝐵= 50m，以货车为 圆心的周围25m以内为受影响区域． (1)求证：∠𝐴𝐶𝐵= 90° (2)教学楼𝐶会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为2m/s，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】(1)证明见解析； (2)教学楼𝐶会受噪声影响，原因见解析； (3)货车影响教学楼持续的时间为7s． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于点𝐷，结合直角三角形面积计算公式求出𝐶𝐷的长，跟受影响区域的距离作比较即 可得出结论； （3）设当𝐸𝐶= 𝐹𝐶= 25m时，正好影响教学楼𝐶，利用勾股定理求出𝐷𝐸的长，进而得出𝐸𝐹的长，再根据 时间=路程÷速度即可得解． 【详解】（1）证：依题得：𝐶𝐴= 30m，𝐶𝐵= 40m， 54 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∵302 + 402 = 502， 即𝐶𝐴2 + 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐵2， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°； （2）解：作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于点𝐷， ∵Rt △𝐴𝐵𝐶中， 1 2 𝐴𝐶· 𝐵𝐶= 1 2 𝐶𝐷· 𝐴𝐵， ∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶·𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 30×40 50 = 24m < 25m， 以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域，故教学楼𝐶会受噪声影响； （3）解：如图，当𝐸𝐶= 𝐹𝐶= 25m时，正好影响教学楼𝐶， ∵Rt △𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷2 + 𝐷𝐸2 = 𝐶𝐸2， ∴𝐷𝐸= √𝐶𝐸2 −𝐶𝐷2 = √252 −242 = 7m， 同理可得𝐷𝐹= 7m， ∴𝐸𝐹= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹= 14m， ∵货车的速度为2m/s， ∴货车影响教学楼持续的时间为14 ÷ 2 = 7s． 11．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲 天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6 米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从 点A 到点C，B 为𝐴𝐶的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 米，则雕刻在石柱上的巨龙为多 少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20 米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是 55 / 65 学科网（北京）股份有限公司 长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2 即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2 个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2 个小长方形的对角线 的和， ∵底面周长约为6 米，柱身高约16 米， ∴𝐴𝐵= 6，𝐴𝐸= 1 2 𝐴𝐷= 1 2 × 16 = 8， 在Rt △𝐵𝐴𝐸中 ∴𝐵𝐸= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = √62 + 82 = 10， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为10 × 2 = 20米． 12．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西 安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄𝐶，河边原有两个观景台A，B，其中𝐴𝐵= 𝐵𝐶，现建设美丽乡 村，决定在渭河边新建一个观景台𝐷（点A，D，B 在同一条直线上），并新修一条路𝐶𝐷，测得𝐴𝐶= 3km，𝐶𝐷= 2.4km，𝐴𝐷= 1.8km． (1)通过计算说明，𝐶𝐷是从村庄𝐶到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线𝐵𝐶的长． 【答案】(1)见解析 (2)原来的路线𝐵𝐶的长为2.5km 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，即𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，即可得出结果； （2）设𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝑥km，则在Rt △𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶= 𝑥km，𝐵𝐷= (𝑥−1.8)km，𝐶𝐷= 2.4km，最后结合勾 股定理计算即可得出结果． 56 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶= 3km，𝐶𝐷= 2.4km，𝐴𝐷= 1.8km， ∴𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 = 2.42 + 1.82 = 9，𝐴𝐶2 = 32 = 9， ∴𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 = 𝐴𝐶2， ∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，即𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴𝐶𝐷是从村庄𝐶到渭河边的最短路线； （2）解：设𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝑥km， 在Rt △𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶= 𝑥km，𝐵𝐷= (𝑥−1.8)km，𝐶𝐷= 2.4km， 由勾股定理，得𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2，即𝑥2 = (𝑥−1.8)2 + 2.42， 解这个方程，得𝑥= 2.5， ∴原来的路线𝐵𝐶的长为2.5km． 素养提升 1．（25-26 八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去 根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1 丈（1 丈= 10尺），在点A 处折断后竹子顶 端点B 触地，测得点B 离竹子底端点C 距离为3 尺（即𝐵𝐶= 3尺），问折断处离地面高𝐴𝐶为多少 尺？”．设折断处离地面高𝐴𝐶为𝑥尺，可列方程为（ ） A．32 + 𝑥2 = (10 + 𝑥)2 B．32 + (10 + 𝑥)2 = 𝑥2 C．32 + (10 −𝑥)2 = 𝑥2 D．32 + 𝑥2 = (10 −𝑥)2 【答案】D 【详解】解：由题意得𝐵𝐶= 3尺，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 10尺，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， 设高𝐴𝐶为𝑥尺，则𝐴𝐵= (10 −𝑥)尺， 由勾股定理得𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2，即32 + 𝑥2 = (10 −𝑥)2． 2．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆𝐴𝐵，旗杆垂直于水平地面．将一根不可 伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端𝐴．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端𝐵，细绳还剩余1 米；现将细 绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点𝐷处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部𝐵与点𝐷相距 5 米．求旗杆𝐴𝐵的高度__________米． 57 / 65 学科网（北京）股份有限公司 【答案】12 【分析】设旗杆𝐴𝐵的高度为𝑥米，则绳子的长度𝐴𝐷= (𝑥+ 1)米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆𝐴𝐵的高度为𝑥米，则绳子的长度𝐴𝐷= (𝑥+ 1)米，根据题意可得： (𝑥+ 1)2 = 52 + 𝑥2， 解得：𝑥= 12， 即旗杆𝐴𝐵的高度为12 米． 3．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄𝑀，从村庄𝑀到公路 原有两个出口𝐴、𝐵，其中𝐴𝐵= 1.4km，𝑀𝐵= 1.3km，由于暴雨导致𝑀到𝐴的小路路面塌陷，现已不通， 该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路𝑀𝐶（𝐴，𝐶，𝐵在同一条直线上），测得𝑀𝐶= 1.2km， 𝐵𝐶= 0.5km． (1)从村庄𝑀到公路，请通过计算说明𝑀𝐶是否为距离最近的路； (2)求新修的路𝑀𝐶比原来的路𝑀𝐴短多少？ 【答案】(1)解：∵𝑀𝐵= 1.3km，𝑀𝐶= 1.2km，𝐵𝐶= 0.5km， ∴𝑀𝐵2 = 1.69，𝑀𝐶2 = 1.44，𝐵𝐶2 = 0.25 ∵0.25 + 1.44 = 1.69 ∴𝐵𝐶2 + 𝑀𝐶2 = 𝑀𝐵2 ∴△𝑀𝐵𝐶是直角三角形， ∴𝑀𝐶⊥𝐴𝐵 ∴从村庄𝑀到公路，𝑀𝐶是距离最近的路； (2)0.3km 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出△𝑀𝐵𝐶是直角三角形，得到𝑀𝐶⊥𝐴𝐵，即可说明； （2）利用勾股定理运算出𝑀𝐴的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵𝐴𝐵= 1.4km，𝐵𝐶= 0.5km， 58 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵−𝐵𝐶= 1.4 −0.5 = 0.9(km)， ∵𝑀𝐶⊥𝐴𝐵， ∴△𝐴𝑀𝐶是直角三角形， ∴在Rt △𝐴𝑀𝐶中，𝑀𝐴= √𝑀𝐶2 + 𝐴𝐶2 = √1.22 + 0.92 = 1.5(km)， ∴𝑀𝐴−𝑀𝐶= 1.5 −1.2 = 0.3(km)． 4．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷，如 图，通过勘测得到水平距离𝐵𝐶的长为12 米，𝐵𝐶⊥𝐴𝐷于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐴𝐵的 长为13 米，小明牵线放风筝的手B 到地面的距离为1.8 米（即𝐶𝐷= 1.8米），他们发现根据全部数据就可 以计算出风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷．请求出线段𝐴𝐷的长． 【答案】线段𝐴𝐷的长为6.8 米 【详解】解：由勾股定理得，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −122 = 5（米）， ∴𝐴𝐷= 5 + 1.8 = 6.8（米）， ∴线段𝐴𝐷的长为6.8 米． 5．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，𝐴，𝐵两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量𝐴，𝐵间的距 离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端𝐴，𝐵间的距离 测量工具 皮尺 测量方案 及测量数 据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段𝐴𝐵延长线的方向，在池塘边 的空地上选点𝐶，使𝐵𝐶= 9 m；第二步：在𝐴𝐶的一侧选点𝐷，使点𝐷能直接到达𝐴，𝐵，𝐶 三点，测得𝐵𝐷= 12 m，𝐶𝐷= 15m，𝐴𝐷= 20 m． 问题解决： (1)试判断△𝐵𝐶𝐷的形状，并说明理由； 59 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (2)求池塘两端𝐴，𝐵之间的距离． 【答案】(1)解：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，理由如下： 在△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶= 9 m，𝐵𝐷= 12 m，𝐶𝐷= 15 m， ∴𝐵𝐶2 + 𝐵𝐷2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225，𝐶𝐷2 = 225， ∴𝐵𝐶2 + 𝐵𝐷2 = 𝐶𝐷2， ∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形； (2)池塘两端𝐴，𝐵之间的距离为16 m 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，点𝐴，𝐵，𝐶在同一直线上， ∴∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐷𝐵𝐶= 90°， ∴𝐴𝐵= √𝐴𝐷2 −𝐵𝐷2 = √202 −122 = 16(m)， 即池塘两端𝐴，𝐵之间的距离为16 m． 6．（25-26 八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km的快递投放点𝐵、𝐶， 快递投放点𝐶的正北方向有一小区𝐴，小区𝐴到快递投放点𝐵的距离为13km． (1)求小区𝐴到快递投放点𝐶的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点𝐷，新的投放点𝐷到小区𝐴与快递投放点𝐵的距 离相等，求快递投放点𝐵、𝐷之间的距离． 【答案】(1)5km (2) 169 24 km 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝑥(km)，则𝐶𝐷= (12 −𝑥)km，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A 在快递投放点C 的正北方向， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴𝐴𝐵= 13km，𝐵𝐶= 12km， ∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √132 −122 = 5(km)， ∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km； （2）解：设𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝑥(km)， 小学 初中 60 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐶𝐷= (12 −𝑥)km， ∵𝐴𝐷2 = 𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2， ∴𝑥2 = 52 + (12 −𝑥)2， ∴𝑥= 169 24 ， ∴快递投放点B，D 之间的距离为 169 24 km． 7．（25-26 八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究， 并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木 鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂 直高度． 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离𝐸𝐷的长为15米，𝐵𝐶⊥𝐴𝐷； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线𝐴𝐵的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离𝐵𝐸为1.7米． 说明 点𝐴，𝐵，𝐸，𝐷在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点𝐶离地面的垂直高度𝐶𝐷=_______米，𝐵𝐶=_______米； ②求风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷； (2)若将风筝沿𝐴𝐷方向下降12米至点𝐹，连接BF，则在𝐸𝐷长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线 应该往回收多少米？ 【答案】(1)①1.7；15；②风筝离地面的垂直高度𝐴𝐷为21.7米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B 作𝐵𝐶⊥𝐴𝐷于点C，证明四边形𝐵𝐸𝐷𝐶为矩形，得出𝐶𝐷= 𝐵𝐸= 1.7米，𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 15米； ②根据勾股定理求出𝐴𝐶的值即可得出结果； 61 / 65 学科网（北京）股份有限公司 （2）设风筝沿𝐴𝐷方向下降12 米至点F，连接𝐵𝐹，根据勾股定理求出𝐵𝐹的长即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，𝐵𝐸⊥𝐸𝐷，𝐴𝐷⊥𝐸𝐷， ∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶= 90°， ∴四边形𝐵𝐸𝐷𝐶为矩形， ∴𝐶𝐷= 𝐵𝐸= 1.7米，𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 15米. ②在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 25米， 由勾股定理，得𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = √252 −152 = 20（米）， ∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 20 + 1.7 = 21.7（米）； （2）解：如图，设风筝沿𝐴𝐷方向下降12 米至点F，连接𝐵𝐹， ∴𝐶𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐹= 20 −12 = 8（米）， ∴𝐵𝐹= √𝐶𝐹2 + 𝐵𝐶2 = √82 + 152 = 17（米）， ∵原来的风筝线的长为25 米， ∴25 −17 = 8（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8 米． 8．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它 们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R 处，且相距70 海里． (1)试判断△𝑅𝑃𝑄的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】(1)解：△𝑅𝑃𝑄是直角三角形，理由如下： 由题意知，𝑃𝑅= 12 × 3.5 = 42（海里），𝑃𝑄= 16 × 3.5 = 56（海里）， ∵𝑃𝑅2 = 1764, 𝑃𝑄2 = 3136,𝑄𝑅2 = 702 = 4900， ∴𝑃𝑅2 + 𝑃𝑄2 = 𝑄𝑅2， 62 / 65 学科网（北京）股份有限公司 ∴△𝑅𝑃𝑄是直角三角形． (2)北偏西40° 【分析】（1）根据“距离=速度×时间”求出𝑃𝑄, 𝑃𝑅的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，∠𝑅𝑃𝑄= 90°， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴∠𝑄𝑃𝑆= 50°， ∴∠𝑅𝑃𝑆= ∠𝑅𝑃𝑄−∠𝑄𝑃𝑆= 40°， ∴“海天号”沿北偏西40°航行． 9．（25-26 八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四 边形𝐴𝐵𝐶𝐷闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得 ∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 8m，𝐴𝐷= 6m，𝐵𝐶= 24m，𝐶𝐷= 26m． (1)为便于日常管护，计划在B，D 两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设0.4m厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立 方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】(1)这条步道最短需要10米 (2)该基地总共需要57.6 立方米的种植土 【分析】（1）在Rt △𝐴𝐵𝐷中利用勾股定理求𝐵𝐷即可； （2）先由勾股定理逆定理证明△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，然后根据𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷求出面积，然 后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接𝐵𝐷， 在Rt △𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐷= 6m，𝐴𝐵= 8m， ∴𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = √62 + 82 = 10(m)， 答：这条步道最短需要10米； 63 / 65 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：∵𝐵𝐷= 10m，𝐵𝐶= 24m，𝐶𝐷= 26m， ∴𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 102 + 242 = 676(m2)，𝐶𝐷2 = 262 = 676(m2)， ∴𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2， ∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，且∠𝐶𝐵𝐷= 90°， ∴𝑆△𝐵𝐶𝐷= 1 2 𝐵𝐷⋅𝐵𝐶= 1 2 × 10 × 24 = 120(m2)， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐷= 1 2 × 8 × 6 = 24(m2)， ∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 24 + 120 = 144(m2)， ∴144 × 0.4 = 57.6(m3)， 答：该基地总共需要57.6 立方米的种植土． 迁移创新 1．（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，有一个由传感器A 控制的灯，要装在门上方离地高4.5 米的墙 上，任何东西只要移至该灯5 米及5 米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 米的学生要走到离墙 多远的地方灯刚好发光？（ ） A．4 米 B．3 米 C．5 米 D．7 米 【答案】A 【分析】过点C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，利用勾股定理求出𝐶𝐸的长即可. 【详解】解：由题意，传感器A 距地面的高度为𝐴𝐵= 4.5米，人高𝐶𝐷= 1.5米， 如图②，过点C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，则人离墙的距离为𝐶𝐸，则𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 1.5米， ∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 4.5 −1.5 = 3（米）， 当人离传感器A 的距离𝐴𝐶= 5米时，灯发光， 在Rt △𝐴𝐶𝐸中，根据勾股定理可得，𝐶𝐸= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐸2 = √52 −32 = 4米， 故一个身高1.5 米的学生要走到离墙4 米远的地方灯刚好发光 2．（25-26 八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面𝐴𝐵与地面平行，点𝐴到墙面 （墙面与地面垂直）的距离为60cm．图1 中，一扫帚的一端与墙角𝑂重合，另一端靠在点𝐴处，𝑂𝐴= 100cm． 64 / 65 学科网（北京）股份有限公司 (1)求课桌的高度； (2)在图2 中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点𝐵重合，另一端挂在墙上的点𝐶处．若 𝑂𝐶= 240cm，彩带𝐵𝐶比桌宽𝐴𝐵长140cm，求桌宽𝐴𝐵的长度． 【答案】(1)80cm (2)60cm 【分析】（1）如图①，过𝐴作𝐴𝑀垂直于墙面，垂足为点𝑀，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长𝐵𝐴交墙面于点𝑁，则∠𝐵𝑁𝐶= 90°，设𝐴𝐵= 𝑥cm，则𝐶𝐵= (𝑥+ 140)cm，𝐵𝑁= (𝑥+ 60)cm，求出𝐶𝑁= 240 −80 = 160(cm)，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图①，过𝐴作𝐴𝑀垂直于墙面，垂足为点𝑀， 由题意可知，𝐴𝑀= 60cm， ∵桌面𝐴𝐵与地面平行， ∴𝐴𝑀⊥𝑂𝑀， 在Rt △𝑂𝐴𝑀中，由勾股定理得𝑂𝑀= √𝐴𝑂2 −𝐴𝑀2 = √1002 −602 = 80cm， 答：课桌的高度为80cm； （2）解：如图②，延长𝐵𝐴交墙面于点𝑁，则∠𝐵𝑁𝐶= 90°， 65 / 65 学科网（北京）股份有限公司 设𝐴𝐵= 𝑥cm，则𝐶𝐵= (𝑥+ 140)cm，𝐵𝑁= (𝑥+ 60)cm， ∵𝑂𝐶= 240cm，𝑂𝑁= 80cm， ∴𝐶𝑁= 240 −80 = 160(cm)， 在Rt △𝐵𝐶𝑁中，由勾股定理得：𝐵𝑁2 + 𝐶𝑁2 = 𝐵𝐶2， ∴(𝑥+ 60)2 + 1602 = (𝑥+ 140)2， 解得𝑥= 60， 答：桌宽𝐴𝐵的长度为60cm．
