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2.6 探索勾股定理
课标要点
1.经历勾股定理的观察、猜想、拼图验证与探索过程，掌握勾股定理的内容，理解直角三
角形三边之间的数量关系，明确勾股定理仅适用于直角三角形。
2.掌握勾股定理的文字表述与符号表达式，即在Rt△中，两直角边的平方和等于斜边的
平方，熟记公式形式，能根据直角三角形边长位置准确套用公式。
3.理解勾股定理的拼图证明原理，通过面积法推导勾股定理，体会数形结合思想、等积转
化思想，掌握几何定理常见的面积证明方法。
4.能熟练运用勾股定理，已知直角三角形任意两条边长，求解第三条边长，能处理整数、
小数、根式等不同形式的边长计算，规范化简计算结果。
5.了解常见勾股数，熟记基础勾股数，理解勾股数的整数特征，能快速利用勾股数简化直
角三角形边长计算。
6.能结合直角三角形的特殊性质、等腰三角形、简单图形折叠等知识，综合运用勾股定理
解决基础几何综合计算问题，提升几何建模与运算能力。
学习重难点
重点：
1.掌握勾股定理的内容与公式，明确适用条件为直角三角形，能准确区分直角边与斜边，
正确代入公式进行边长计算。
2.熟练运用勾股定理已知两边求第三边，掌握变式公式，灵活求解直角三角形各边长。
3.掌握基础勾股数，能利用勾股数快速解题，简化运算过程。
难点：
1.理解勾股定理的面积法证明原理，掌握数形结合、等积转化的数学思想，突破单纯记公
式的浅层学习。
2.区分斜边与直角边，避免公式代换错误，在边长未知、条件模糊的题型中分类讨论，防
止漏解、错解。
3.结合折叠、动点、等腰直角三角形等综合题型，灵活运用勾股定理建立方程求解边长，
掌握几何方程解题思想。
4.综合运用勾股定理与直角三角形特殊性质，解决多步几何计算问题，提升几何综合应用
能力。
第二章
特殊三角形
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知识点
勾股定理（重点）
1. 勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，那么𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
2. 勾股定理的运用：①已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
②用于解决带有平方关系的证明问题；
③利用勾股定理，作出长为√𝑛的线段。
随学随练
1．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4，则𝐴𝐶的长为
（ ）
C
B
A
𝑎
𝑏
𝑐
直角边
直角边
斜边
易错提醒
1）非直角三角形绝对不能使用勾股定理；
2）公式代入时分不清斜边和直角边，习惯性乱代数值；
3）求边长开方后需舍去负数，边长为正数。
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A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐴𝐵= 5, 𝐵𝐶= 3，将点A 沿𝐷𝐸折叠，恰好可以落
在点B 处，则𝐶𝐷=_____．
3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, ∠𝐵= 45°,𝐴𝐶= 6，求𝐴𝐵的长．
知识点
勾股定理的证明（重点）
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑐2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏，所以𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑐2 = (𝑏−𝑎)2 + 4 ×
1
2 𝑎𝑏，所以𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2。
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方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
S梯形ABCD =
（a+b）（a+b）
2
= 2 ×
1
2 ab +
1
2 c2，所以𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
随学随练
1．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对
完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两
条直角边长分别为𝑎，𝑏，且𝑏> 𝑎，斜边为𝑐)拼成一个边长为𝑐的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，
该图被后人称为“赵爽弦图”．
(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．
(2)若𝑏= 15，𝑐=17，求中间小正方形(阴影部分)的面积．
知识点
勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2. 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的一般步骤：
特别提醒
教材采用面积法证明，核心思路：图形割补、面积不变，通过大图形面积等于各小图形面积和推导公
式。
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①首先确定最大边（如
）；
②验证
与
是否具有相等关系：若
，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
，则△ABC 不是直角三角形。
随学随练
1．（25-26 八年级上·福建漳州·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，则（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵= 90°
C．∠𝐶= 90°
D．无法确定
2．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 9，𝐵𝐶= 12，𝐶𝐷= 17，𝐴𝐷= 8，∠𝐵=
90°．
(1)连接𝐴𝐶，求𝐴𝐶的长；
(2)求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
知识点
勾股数
1. 勾股数：像8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
随学随练
1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名
c
2
c
2
2
a
b
+
2
2
2
c
a
b
=
+
2
2
2
c
a
b
+
易错提醒
1）必须用最短两边平方和与最长边平方对比，随意组合计算会判定错误；
2）只能判定是否为直角三角形，不能直接得出锐角、钝角三角形；
3）逆定理与勾股定理易混淆（定理：直角→边长关系；逆定理：边长关系→直角）。
易错提醒
1）勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数；
2）熟记常用勾股数，不可记错倍数关系；
3）并非所有满足平方关系的数都是勾股数，需满足整数条件。
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的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4
B．4，5，6
C．2，2，4
D．9，12，15
2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1
B．9，10，11
C．7，24，25
D．√5，√12，√13
拓展
勾股定理与勾股定理逆定理双向对比
1．二者为互逆逻辑定理，是判定直角三角形与计算边长的核心依据，适用场景、推理方向完全相反，具
体对比如下：
对比维度
勾股定理
勾股定理逆定理
前提条件
已知三角形为直角三角形
任意普通三角形，未知形状
核心内容
两直角边的平方和等于斜边的平方：𝑎2 +
𝑏2 = 𝑐2
三角形两边平方和等于第三边平方，则为直角
三角形
逻辑方向
由图形性质推边长数量关系
由边长数量关系推图形性质
核心用途
求边长、平方关系证明、作二次根式线段 判定三角形是否为直角三角形
活学活用
1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 20，𝐵𝐶= 11，𝐴𝐶= 13，过点𝐴作𝐴𝐷⊥
𝐵𝐶，交𝐵𝐶的延长线于点𝐷，则𝐴𝐷的长为（ ）
A．5
B．6
C．12
D．16
2．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点𝐴处，点𝐴与地面上点𝐵之间的距离
𝐴𝐵= 24米，点𝐴与地面上点𝐶（点𝐵，𝐶处于同一水平面上）的距离𝐴𝐶= 26米，且𝐵𝐶= 10米．
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(1)求∠𝐴𝐵𝐶的度数；
(2)现这架无人机沿𝐴𝐵所在直线向下飞行至点𝐷处，连接𝐶𝐷，当点𝐷恰好在边𝐴𝐶的垂直平分线上时，求这
架无人机向下飞行的距离𝐴𝐷的长．
拓展
勾股定理三种证明方法共性与区别
证明方法
图形构造方式
核心特点
外嵌正方形法
四个全等直角三角形拼成边长为𝑎+ 𝑏
的大正方形
图形规整，计算简单，是最通用的基础证明方
法
内嵌正方形法
四个全等直角三角形拼成斜边为边长
的大正方形，内部形成小正方形
利用边长差值构造图形，贴合斜边平方推导逻
辑
直角梯形法
两个全等直角三角形拼接成直角梯形
图形构造最简，仅用两个三角形，计算步骤最
少
活学活用
1．（25-26 八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多
样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦
图”．这个图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025 年7 月1 日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵
爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的
证明方法至今约有500 多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形𝐴𝐶𝐷𝐸是直角梯形，点𝐵在
𝐶𝐷上．在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐵𝐷𝐸中，∠𝐶= ∠𝐷= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 𝑎, 𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 𝑏, 𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 𝑐．试利用该
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图形验证勾股定理．
题型
利用勾股定理解三角形
▌例1．（25-26 八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为17，一条直角边长为8，则另一条直
角边长是（ ）
A．7
B．8
C．10
D．15
▌例2．（25-26 八年级下·山东滨州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 17，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶边上的高𝐴𝐻= 8．
(1)根据图1，求𝐵𝐶的长；
(2)根据图2，求𝐵𝐶的长．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，则𝐴𝐶的长
是（ ）
A．8
B．4
C．2√34
D．8或2√34
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 1，𝐵𝐶= 2，则正
方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积是________．
解题贴士
在直角三角形中，分清斜边与直角边，套用𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；已知两边直接求第三边；已知一边、两边数量
关系设未知数，列方程求解。
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▌对点练1-3．（25-26 八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，D 是𝐴𝐶的中点．若
𝐴𝐵= 8，𝐵𝐷= 5，则𝐵𝐶的长为________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·甘肃张掖·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= √7，求𝐴𝐶的长．
题型
勾股数
▌例1．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．8，15，17
B．1.5，2，2.5
C．0.3，0.4，0.5
D．7，11，13
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖北·期末）勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整
数，下列属于勾股数的是（ ）
A．1，√2，√3
B．2，3，4
C．3，4，5
D．6，7，8
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古
代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．1，√3，2
B．8，9，10
C．0.3，0.4，0.5
D．5，12，13
题型
勾股树
解题贴士
1）满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2的三个正整数为勾股数；
2）一组勾股数同时扩大正整数倍，仍然是勾股数。
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▌例1．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你
是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕
达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（ ）
A．天元术
B．正负术
C．勾股定理
D．杨辉三角
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方
形，所有的三角形都是直角三角形．正方形𝐴，𝐵，𝐶，𝐷的面积分别是3，6，3，4，则正方形𝐺的面积是
______．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1 的正方形，经过1 次“生长”后，在它
的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1 次这样
的“生长”后，变成了如图1 所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2 所示的“枝繁叶茂
的勾股树”，请你算出“生长”了2027 次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______．
解题贴士
以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积；逐层利用面积转化进行计
算。
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题型
勾股定理中图形面积问题
▌例1．（25-26 八年级下·云南普洱·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为边作正方
形．若𝐴𝐵= 6，正方形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积为9，则正方形𝐵𝐶𝐹𝐺的面积为（ ）
A．27
B．24
C．21
D．15
▌例2．（25-26 八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，分别以𝐴𝐶、𝐵𝐶为边向外作正
方形，面积分别记为𝑆1、𝑆2，若𝑆1 = 6，𝑆2 = 3，则𝐴𝐵=________．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则𝐴所代表的正方形
的边长是（ ）
A．100
B．28
C．9
D．10
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，分别以
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑．若𝑎= 2，𝑏+ 𝑐= 12，则
𝐴𝐷=______．
解题贴士
以直角三角形三边向外作同类图形（正方形、半圆等），两小图形面积之和 = 最大图形面积；借助面积
公式结合勾股定理转化计算。
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▌对点练1-3．（25-26 八年级上·广东茂名·期末）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 10，以𝐴𝐶，
𝐵𝐶为直径的半圆的面积分别为𝑆1，𝑆2，则𝑆1 −𝑆2 =________（结果保留π）．
题型
网格中的勾股定理
▌例1．（25-26 八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形网格中，点A，B 均在
格点上，则线段𝐴𝐵的长度为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．10
▌例2．如图，在边长均为1 个单位长度的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格点上，则△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵
边上的高为______．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点𝐴为圆心，𝐴𝐵
长为半径画弧，交网格线于点𝐸，则𝐷𝐸的长为（ ）
解题贴士
把线段看作网格直角三角形斜边，横向、纵向格数为直角边，用勾股定理求线段长度；再利用长度判断
三角形形状。
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A．5
B．3
C．√7
D．4 −√7
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏盐城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐中
边长是无理数的是________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·安徽六安·期中）如图，在5 × 8的网格中，已知格点线段𝐴𝐵（格点为网格
线的交点）．
(1)利用网格画出格点线段𝐴𝐶，使𝐴𝐶= √13（点𝐶不在网格的边框上）；
(2)在（1）的条件下，∠𝐶𝐴𝐵=_____°，并证明此结论．
题型
勾股定理中折叠问题
▌例1．（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 8，将△𝐴𝐵𝐶折
叠，使点𝐵与𝐴𝐶的中点𝐹重合，折痕为𝐷𝐸，则𝐶𝐸的长为（ ）
解题贴士
1）折叠前后对应边相等、对应角相等；
2）设未知线段长𝑥，在图中找到包含𝑥的直角三角形，列勾股方程求解。
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A．5
B．4
C．3
D．2
▌例2．如图，将直角三角形𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐴𝐷折叠，使点𝐵落在𝐴𝐶延长线上的点𝐸处．若𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 4，
求图中阴影部分的面积
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4, 𝐴𝐷= 8，将此长方形
沿𝐸𝐹折叠，使点𝐷与点𝐵重合，则𝐴𝐸的长度为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，将长方形纸片折叠，
使点D 与点B 重合，点C 落在点𝐶′处，折痕为𝐸𝐹，若𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 8，则𝐴𝐸的长为______．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6 ，𝐵𝐶= 9，∠𝐵= 90°，将
△𝐴𝐵𝐶沿𝑀𝑁所在直线折叠（点𝑀、𝑁分别在𝐴𝐶、𝐵𝐶上），使点𝐶与𝐴𝐵的中点𝐷重合，则线段𝐵𝑁的长为
_____．
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▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐴𝐶折叠，顶点𝐵落在点𝐸处，
𝐸𝐶与𝐴𝐷交于点𝑂．
(1)求证：△𝐴𝑂𝐶是等腰三角形；
(2)若𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 8，求线段𝐸𝑂的长．
▌对点练1-5．（25-26 七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6, 𝐴𝐷= 18，将此长方
形纸片折叠，使点𝐷与点𝐵重合，点𝐶落在点𝐻的位置，折痕为𝐸𝐹，求𝐵𝐸的长．
题型
利用勾股定理求平方和（差）
▌例1．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，斜边𝐴𝐵= 1，则𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川巴中·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 13，𝐴𝐶= 20，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点
𝐷，𝐸为𝐴𝐷上任意一点，则𝐶𝐷2 −𝐵𝐷2的结果为（ ）
解题贴士
1）构造直角三角形，把线段平方转化为边长平方；
2）结合线段等量代换，整体求平方和或平方差，不必求出线段本身。
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A．7
B．33
C．231
D．569
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏盐城·期中）如图，𝐶𝐷为Rt △𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵上的高，设𝐶𝐷= ℎ，𝐴𝐷=
𝑚，𝐵𝐷= 𝑛．求证：ℎ2 = 𝑚𝑛．
▌对点练1-3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，对角线
𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点O．
(1)若𝐴𝑂= 2，𝐵𝑂= 3，𝐶𝑂= 4，𝐷𝑂= 5，请求出𝐴𝐵2，𝐵𝐶2，𝐶𝐷2，𝐷𝐴2的值；
(2)若𝐴𝐵= 6，𝐶𝐷= 10，求𝐵𝐶2 + 𝐴𝐷2的值．
题型
勾股定理的证明
▌例1．如图，四边形𝐴𝐶𝐷𝐸是直角梯形，点B 在𝐶𝐷上．在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐵𝐷𝐸中，∠𝐶= ∠𝐷= 90°, 𝐴𝐶=
𝐵𝐷= 𝑎, 𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 𝑏, 𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 𝑐．试利用该图形验证勾股定理．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定
解题贴士
多采用面积法证明：用割补法表示同一个图形面积，列出两种面积表达式，化简推导出𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2。
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理，设图1 中空白部分的面积为𝑆1，图2 中空白部分的面积为𝑆2，则下列判断不正确的是（ ）
A．𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 B．𝑆2 = 𝑐2 + 𝑎𝑏
C．𝑆1 = 𝑆2
D．𝑆1 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东潮州·期中）图1 所示的图形在数学中占有重要地位，1955 年希腊曾经
发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重
要的数学定理，这个定理是 （ ）
A．勾股定理
B．平行线的判定定理
C．平行线的性质定理
D．三角形内角和定理
▌对点练1-3．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．
(1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角
三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积
即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
(2)【结论运用】如图2，已知△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐶= 90°．若𝐵𝐶= 5，𝐴𝐵的长比𝐴𝐶的长大1，求𝐴𝐵
的长；
(3)【应用拓展】学校校内有一块如图3 所示的三角形花圃𝐴𝐵𝐶，其中𝐴𝐵= 13米，𝐵𝐶= 14米，𝐴𝐶= 15
米，计划在这块花圃中起一道栅栏𝐴𝐷，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏𝐴𝐷与三角形边𝐵𝐶互相垂直，预
计栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？
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题型
勾股定理与数轴结合
▌例1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）如图．点A 在数轴上表示的数是−1，点C 在数轴上表示的数是
1，线段𝐵𝐶与数轴垂直，且𝐵𝐶= 1．以A 为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D 表示的数
是（ ）
A．√5
B．√3
C．√5 −1
D．√5 −2
▌例2．在数轴上找出√20对应的点．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山西阳泉·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作
了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字−1所在点为圆心，正方形的对角线为半径
画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A 表示的实数为______．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点𝐴表示的数是________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·陕西安康·期中）在数轴上作出(−√10 + 1)对应的点，记为𝐴．
题型
利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
解题贴士
在数轴上构造直角边为整数的直角三角形，以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点表示无理数。
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▌例1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．4，6，10
C．6，8，15
D．5，12，14
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）下列条件能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是（ ）
A．𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2
B．∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶
C．∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
D．∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐶= 3: 4: 5
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，𝐴𝐷= 2，𝐵𝐷=
1，𝐶𝐷= 4，求证：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
▌对点练1-3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点𝐴, 𝐵, 𝐶均在格点上．判断△𝐴𝐵𝐶的
形状，并说明理由．
基础通关
1.（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5 和12，则斜边长为（ ）
A．13
B．15
C．17
D．20
2．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．1，1，2
B．3，4，5
C．7，24，25
D．5，12，13
3．（25-26 八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”
解题贴士
1）找出三边中最大边，验证最大边的平方是否等于另外两边平方和，成立则为直角三角形；
2）最大边对角为直角。
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也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是
（ ）．
A．分类讨论思想 B．转化思想
C．数形结合思想 D．整体思想
4．（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个
全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为𝑚，
𝑛(𝑚> 𝑛)．若小正方形面积为5，(𝑚+ 𝑛)2 = 21，则大正方形面积为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．21
5．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= √5，𝐵𝐶= 1，则△𝐴𝐵𝐶的面积
为________．
6．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1 的小正方形组成的方格纸中，△𝐴𝐵𝐶经过一次平移后得到△
𝐴′𝐵′𝐶′，点B 的对应点𝐵′的位置如图所示，则平移距离为________．
7．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝑎= 10，则𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 =_______．
8．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的
面积为1，两边的正方形面积分别是𝑆1，𝑆2，则𝑆1 + 𝑆2 =_______．
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9．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，𝐴𝐵= 20,𝐴𝐶=
15，𝐶𝐷= 9．试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
10．（25-26 八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐴𝐵= 2m,𝐴𝐶= 1.5m,𝐷𝐶= 0.9m
(1)求𝐵𝐷的长；
(2)判断支架外框△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
11．（25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在边𝐴𝐵上，将△𝐴𝐷𝐸沿直线𝐷𝐸翻
折，点A 恰好落在边𝐵𝐶上的点F 处，𝐴𝐸= 13，𝐵𝐹= 12．
(1)求𝐴𝐵的长；
(2)求△𝐶𝐷𝐹的面积．
素养提升
1．（25-26 八年级下·湖北黄冈·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13
B．6，8，10
C．√2，√3，√5
D．7，9，11
2．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）如图，折叠长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的一边𝐴𝐷，使点𝐷落在𝐵𝐶边上的点𝐹处，若
𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 5，则𝐶𝐸的长为（ ）
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A．1
B．1.5
C．2
D．√5
3．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90°，以△𝐴𝐵𝐶的两直角边为边向外作正
方形，面积分别为𝑆1，𝑆2，若𝑆1 = 25，𝑆2 = 9，则𝐵𝐶的长为（ ）
A．4
B．√34
C．3
D．16
4．（25-26 八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋
铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的
是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察
下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为
1，若某个此类勾股数的勾为9，则其弦是________．
6．（25-26 八年级下·河南商丘·期末）如图，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝐵𝐶= 2，𝐵𝐶⊥𝑂𝐶．
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(1)数轴上点A 表示的数为___________；比较点A 表示的数与4 的大小：_________．
(2)在数轴上找出−√17对应的点．（保留作图痕迹）
7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐵𝐶𝐴．
(1)求证：𝐵𝐶= 𝐷𝐶；
(2)若𝑂𝐷= 2，𝑂𝐶= 2√3，求𝐵𝐶的长．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
按照国际标准，A 系列纸为长方形．如图所示，将A4纸进行两次折叠（折痕分别是𝐴𝐵和𝐴𝐸），使线段𝐴𝐹和
𝐴𝐵均落在𝐴𝐶边上，点𝐷的对应点为点𝐷′．请结合图形解决以下问题：
(1)线段𝐴𝐵与𝐴𝐶之间的数量关系是：________；（填“相等”或“不相等”）
(2)若A4纸的宽为𝐴𝐹，长为𝐴𝐶，则
𝐴𝐶
𝐴𝐹=________；
(3)已知𝐴𝐶∥𝐹𝐷，试判断𝐴𝐵与𝐶𝐷′的位置关系，并证明．
2．（25-26 七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也
称“赵爽弦图”（如图1 所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2 是由8个全等的
直角三角形拼成，其中直角边分别为𝑎，𝑏，(𝑎> 𝑏)，请回答以下问题：
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(1)正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是_____，正方形𝐼𝐽𝐾𝐿的面积是_____，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积是_____；（用含𝑎，𝑏的
式子表示）；
(2)若正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是45，正方形𝐼𝐽𝐾𝐿的面积为5，求正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长；
(3)若(𝑛−2023)2 + (2026 −𝑛)2 = 6，求(𝑛−2023)(2026 −𝑛)的值；
(4)如图3，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐵= 5，若Rt △𝐴𝐵𝐶的周长为11，求Rt △𝐴𝐵𝐶的面积．
