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2.3 等腰三角形的性质定理（第一课时）
题型一：垂直平分线与等边对等角求角度
1．（24-25 八年级下·江西景德镇·期中）如图，在
ABC
中，
54
ABC
=
，P 为
ABC
内一点，过点P 的直
线MN 分别交AB
BC
，
于点M，N，若M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则
APC
的度
数为（ ）
A．104
B．106
C．117
D．136
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌
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握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得
126
BMN
BNM
+
=
，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得
MAP
MPA
=
，NPC
NCP
=
，
再利用三角形的外角性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵在BMN
中，
54
ABC
=
，
∴
180
126
BMN
BNM
B
+
=
−
=
，
∵M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，
∴MA
MP
=
，NP
NC
=
，
∴
MAP
MPA
=
，
NPC
NCP
=
，
∴
2
2
126
BMN
BNM
MPA
NPC
+
=
+
=
，
∴
63
MPA
NPC
+
=
，
∴
(
)
180
117
APC
MPA
NPC
=
−
+
=
，
故选C．
2．（24-25 七年级下·江苏连云港·期中）如图，在
ABC
中，AC 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，垂足为点
E ，CD平分
ACB
，若
46
A
=
，则
B
的度数为（ ）
A．25
B．30
C．42
D．44
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活
运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得CD
AD
=
，则
A
ACD
=
，由CD平分
ACB
可得，
ACD
BCD
=
，再根据三角形内角和定理，求解即可．
【详解】解：∵DE 垂直平分AC ，
AD
CD
=
，
A
ACD
=
，
又 ∵CD平分
ACB
，
ACD
BCD
=
，
46
A
=
，
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46
A
ACD
BCD
=
=
=
，
180
A
ACD
BCD
B
+
+
+=
，
3
180
A
B
+=
，
180
3 46
42
B
=
−
=
，
故选：C．
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在
ABC
中，
60
50
C
B
=
=
，
，线段AB 的垂直平分线DE 交BC 点D，
交AB 点E，连接AD，则
CAD
的大小是（ ）
A．15
B．20
C．25
D．30
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能根据
定理求出AD
BD
=
是解此题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出AD
BD
=
，求出
50
DAB
=
，根据三
角形内角和定理得出
70
CAB
=
，再求解即可．
【详解】解：线段AB 的垂直平分线DE 交BC 点D，交AB 点E，
AD
BD
=
，
50
B
DAB
=
=
，
50
B
=
，
60
C
=
，
180
50
60
70
CAB
=
−
−
=
，
70
50
20
CAD
CAB
DAB
=
−
=
−
=
，
故选：B．
4．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，ABC
中，
30
A
=
，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB
于E ，则
BDC
的度数为（ ）
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A．72
B．36
C．60
D．82
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由垂直平分线性质可得AD
BD
=
，
则
30
A
ABD
=
=
，然后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，
∴AD
BD
=
，
∴
30
A
ABD
=
=
，
∴
30
30
60
BDC
A
ABD
= +
=
+
=
，
故选：C ．
5．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）如图，线段
，
AB
DE 的垂直平分线交于点C，且
72
ABC
EDC
=
=
，
112
AEB
=
，则
EBD
的度数为（ ）
A．168°
B．158°
C．148°
D．138°
【答案】C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握
线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．先由线段垂直平分线的性质得CA
CB
=
，CD
CE
=
，
得到
72
BAC
ABC
=
=
，
72
DEC
EDC
=
=
，再证
(
)
SAS
BCD
ACE
≌
，得
72
CBD
CAE
BAE
=
=
+
，然后由三角形内角和定理得
68
ABE
BAE
=
−
，进而得出答案．
【详解】解：连接CE ，如图所示：
线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，
CA
CB
=
，CD
CE
=
，
72
BAC
ABC
=
=
，
72
DEC
EDC
=
=
，
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ACB
DCE
=
，
ACE
BCD
=
，
在
BCD
△
和
ACE
△
中，
CB
CA
BCD
ACE
CD
CE
=
=
=
(
)
SAS
BCD
ACE
≌
，
72
CBD
CAE
BAE
=
=
+
，
112
AEB
=
，
180
180
112
68
ABE
AEB
BAE
BAE
BAE
=
−
−
=
−
−
=
−
，
(
)
(
)
360
360
72
72
68
148
EBD
CBD
ABC
ABE
BAE
BAE
=
−
−
−
=
−
+
−
−
−
=
，
故选：C ．
6．（2025·广西梧州·二模）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
40
A
=
，DE 是AB 的垂直平分线，分别交AB 、
AC 于点D，E ，则
EBC
的度数为（ ）
A．40
B．35
C．32
D．30
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等边对等角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性
质，运用数形结合思想是解题的关键．由等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得
ABC
的度数，又
由线段垂直平分线的性质可得AE
BE
=
，继而求得
ABE
的度数，继而即可求解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
40
A
=
，
∴
(
)
180
2
70
ABC
C
A
=
=
−
=
，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
=
，
∴
40
ABE
A
= =
，
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∴
30
CBE
ABC
ABE
=
−
=
，
故选：D．
题型二：角平分线与等边对等角求角度
1．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
,
AB
AC AD
CE
=
、
分别是
ABC
的中线和角
平分线．若
20
CAD
=
，则
ACE
的度数是（ ）
A．35
B．30
C．25
D．20
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到
20
BAD
CAD
=
=
，
A
ABC
CB
=
∠
，根据三角形内角和定理求出
ACB
，根据角平分线的定义计算即可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD是
ABC
的中线，
∴
20
BAD
CAD
=
=
，
A
ABC
CB
=
∠
，
∴
20
20
40
BAC
BAD
CAD
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
40
70
2
2
ACB
BAC
=
−
=
−
=
，
∵CE 是
ABC
的角平分线，
∴
1
1
70
35
2
2
ACE
ACB
=
=
=
，
即
ACE
的度数是35．
故选：A．
2．（24-25 八年级上·山东济南·期末）如图，在
ABC
中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为点E ，CD
平分
ACB
，若
48
A
=
，则
B
的度数为（ ）
A．25
B．30
C．36
D．40
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【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解
题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得CD
AD
=
，则
A
ACD
=
，由
CD平分
ACB
可得，
ACD
BCD
=
，再根据三角形内角和定理，求解即可．
【详解】解：∵DE 垂直平分AC ，
∴AD
CD
=
，
∴
A
ACD
=
，
又∵CD平分
ACB
，
∴
ACD
BCD
=
，
∵
48
A
=
，
∴
48
A
ACD
BCD
=
=
=
，
∵
180
A
ACD
BCD
B
+
+
+=
，
∴3
180
A
B
+=
，
∴
180
3 48
36
B
=
−
=
．
故选：C．
3．
（2025 七年级下·全国·专题练习）如图：在
ABC
中，AB
AC
=
，BD平分
ABC
，交AC 于点D，若BD
BC
=
，
则
A
等于（ ）
A．30
B．36
C．40
D．42
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键．设
ABD
x
= ，由条件结合等腰三角形的性质可证明
A
x
= ，在
ABC
中由三角形内角和定理列出方程可求
得x，可求得
A
．
【详解】解：设
ABD
x
= ，
∵BD平分
ABC
，
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∴
DBC
x
= ，
∵AB
AC
=
，
∴
2
C
ABC
x
=
=
，
又∵BD
BC
=
，
∴
2
BDC
C
x
=
=
，
又∵
BDC
A
ABD
= +
，即2x
A
x
= + ，
∴
A
x
= ，
在
ABC
中，
180
A
ABC
C
+
+
=
，
∴
2
2
180
x
x
x
+
+
=
，
解得
36
x =
，
∴
36
A
=
，
故选：B．
4．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）如图，在
ABC
中，
31
C
=
，
ABC
的平分线BD交AC 于点D ，
如果DE 垂直平分BC ，那么
A
的度数为（ ）
A．87
B．62
C．90
D．93
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义．由垂直平分线的性质可得
31
DBE
=
，由
三角形的内角和可求得
59
CDE
=
，从而可求得
118
CDB
=
，再由角平分线的定义得
31
ABD
DBE
=
=
，利用三角形的外角性质，即可求
A
的度数．
【详解】解：∵DE 垂直平分BC ，
31
C
=
，
∴
31
DBE
=
，
90
DEC
=
，
CDE
BDE
=
，
∴
180
59
CDE
DEC
C
=
−
−
=
，
∴
59
BDE
=
，
∴
118
BDC
CDE
BDE
=
+
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
31
ABD
DBE
=
=
，
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∵
BDC
是
ABD
△
的外角，
∴
BDC
ABD
A
=
+，
∴
87
A
BDC
ABD
=
−
=
．
故选：A．
5．（2025·安徽宿州·一模）如图，在
ABC
中，AB
BC
=
，DE 垂直平分BC ，CD平分
ACB
，则
B
的度
数为（ ）
A．25
B．30
C．35
D．36
【答案】D
【分析】根据AB
BC
=
，DE 垂直平分BC ，CD平分
ACB
推得
1
1
2
2
B
ACD
BCD
ACB
A
=
=
=
=
，
代入
180
A
B
ACB
++
=
即可得到
B
．
【详解】解：
AB
BC
=
，
A
ACB
=
，
DE
垂直平分BC ，
BD
CD
=
，
B
BCD
=
，
CD
平分
ACB
，
1
2
ACD
BCD
ACB
=
=
，
1
1
2
2
B
ACD
BCD
ACB
A
=
=
=
=
，
ABC
中，
180
A
B
ACB
++
=
，
2
2
180
B
B
B
++ =
，
解得
36
B
=
．
故选：D ．
6．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD，BE 分别是
ABC
的中线和角平
分线．若
20
CAD
=
，则
ABE
的度数为（ ）
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10 /
A．70
B．45
C．40
D．35
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出
70
ABC
=
是解题的关键．
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出
2
40
CAB
CAD
=
=
，
(
)
1 180
70
2
ABC
C
CAB
=
=
−
=
，再利用角平分线定义即可得出
1
35
2
ABE
ABC
=
=
．
【详解】解：∵AD是
ABC
的中线，AB
AC
=
，
20
CAD
=
，
∴
2
40
CAB
CAD
=
=
，
(
)
1 180
70
2
ABC
C
CAB
=
=
−
=
，
∵BE 是
ABC
的角平分线，
∴
1
35
2
ABE
ABC
=
=
，
故选：D．
题型三：三角形的外角与等边对等角相关求解
1．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底
角度数为（ ）
A．15
B．75
C．150
D．15或75
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，根据题意画出图形，得出
30
DAC
=
，根据
等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，取AC 中点E ，连接DE ，
依题意，
1
1
2
2
CD
AB
AC
CE
AE
=
=
=
=
，
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∴
DAE
EDA
=
∠
∠
，
EDC
EDC
=
，
∵
2
DEC
ADE
CDE
=
=
，
90
ADE
CDE
+
=
，
∴
2
90
ADE
ADE
+
=
，
∴
30
DAE
ADE
=
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
1
15
2
B
C
DAC
=
=
=
，
故选：A ．
2．（24-25 七年级下·上海长宁·期末）如图，在
ABC
中，点D 在边BC 上，AB
AD
DC
=
=
，
58
B
=
，则
C
的度数为（ ）
A．34
B．64
C．29
D．32
【答案】C
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题
的关键．
先根据等腰三角形的性质求出
ADB
的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵
ABD
△
中，AB
AD
=
，
58
B
=
，
∴
58
B
ADB
=
=
，
∵AD
CD
=
，
∴
1
29
2
C
ADB
=
=
．
故选：C ．
3．（2025·安徽六安·三模）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，45角三角尺的直
角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若BD
AB
=
，则
CFE
的度数是（ ）
A．65
B．70
C．75
D．80
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【答案】C
【分析】本题考查与三角板有关的计算，等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角求出
ADB
的度数，
进而求出
CDE
的度数，再利用外角的性质，求出
CFE
的度数即可．
【详解】解：由题意，得：
90 ,
30
ABD
ADE
C
=
=
=
，
∵BD
AB
=
，
∴
45
ADB
BAD
=
=
，
∴
180
45
FDC
ADB
ADE
=
−
−
=
，
∴
75
CFE
C
CDE
= +
=
；
故选：C．
4．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰
ABC
纸片（AB
AC
=
）可按图中所示方法折成一个四边形，
点A 与点B 重合．点C 与点D 重合，请问原等腰
ABC
中的
B
= （ ）度．
A．60
B．70
C．45
D．72
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间
的关系式正确解答本题的关键．把图展开后，可知AD
BD
BC
=
=
，
,
A
ABD
BCD
BDC
=
=
，可由三
角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得
B
的度数．
【详解】解：如图：
由题意知：
,
,
AD
BD
BC
A
ABD
BCD
BDC
=
=
=
=
，
∵
2
,
2
180
C
BDC
A
A
C
=
=
+
=
，
∴5
180
A
=
，即
36
A
=
，
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∴
(
)
1 180
72
2
ABC
C
A
=
=
−
=
．
故选：D．
5．（24-25 七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在PAB
中，A
B
=，M，N，K 分别是PA，PB，AB 上
的点，且AM
BK
BN
AK
=
=
，
，若
114
P
=
，则
MKN
的度数为（ ）
A．44
B．66
C．33
D．42
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得
(SAS)
AMK
BKN
≌
是
解题的关键．
利用三角形内角和可求得
A
，由条件可证明AMK
BKN
≌
，再结合外角的性质可求得
A
MKN
=
．
【详解】解：∵
A
B
=，
114
P
=
，
180
114
33
2
A
B
−
= =
=
，
在
AMK
△
和
BKN
△
中，
AM
BK
A
B
AK
BN
=
=
=
(SAS)
AMK
BKN
≌
，
AMK
BKN
=
，
A
AMK
MKN
BKN
+
=
+
，
33
A
MKN
=
=
，
故选：C．
6．
（2025·河南安阳·三模）如图，ABC
和ECD
是一副三角板，
30
A
=
，
45
E
=
，CD与AB 交于点F ，
DE 与BC 交于点G ，FC
FA
=
，则
CGD
的度数是（ ）
A．80
B．75
C．65
D．60
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14 /
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角性质，三角板中的角度求解，根据等边对等角求出
FCA
的
度数，再根据直角三角形两锐角互余求出
ECB
的度数，最后利用三角形外角性质即可求出结果．
【详解】解：
FC
FA
=
，
30
A
=
，
30
FCA
A
= =
，
90
ACB
=
90
30
60
BCD
=
−
=
90
ECD
=
90
90
60
30
ECB
BCD
=
−
=
−
=
45
30
75
CGD
E
ECB
= +
=
+
=
，
故选：B．
7．（24-25 八年级下·四川雅安·期中）ABC
中，AD是高，E 是AC 的中点，且线段DE 平分
ABC
的周长，
若
32
C
=
，则
B
=（ ）
A．64
B．32
C．58
D．36
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；在BC 边上截取DF
BD
=
，由直角
三角形的性质得到DE
CE
AE
=
=
，再由线段DE 平分
ABC
的周长得到CD
AB
BD
=
+
，进而可证明
AC
AB
CF
=
=
，则
C
CAF
=
，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，在BC 边上截取DF
BD
=
，
AD
是高，
AD
BC
⊥
，
90
ADB
ADC
=
=
，
E
是AC 的中点，
CE
AE
=
，
线段DE 平分
ABC
的周长，
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15 /
CD
CE
AE
AB
BD
+
=
+
+
，
CD
AB
BD
=
+
，
,
AD
BC DF
BD
⊥
=
，
AF
AB
=
，
B
AFB
=
，
CD
AB
BD
=
+
，
CF
AB
AF
=
=
，
C
CAF
=
，
2
64
AFB
C
CAF
C
=
+
=
=
，
64
B
AFB
=
=
．
故选：A．
8．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，AB
CE
∥
，
20
C
=
，CE
DE
=
，则
A
=（ ）
A．40
B．30
C．20
D．10
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和的性质．根据等边对等角可得
20
C
D
=
=
，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和求出
2
2 C
=
，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】解：∵CE
DE
=
，
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16 /
∴
20
C
D
=
=
，
∴
2
2
40
C
D
C
= +
=
=
，
∵AB
CE
∥
，
∴
2
40
A
= =
，
故选：A．
题型四：三角形内角和与等边对等角相关求解
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，
90
A
=
，DB
DC
=
，
35
ABD
=
，则
BDC
为（ ）
A．35
B．55
C．70
D．125
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，“两直线平行，内错角相等”，三角形内角和定理，
先根据三角形内角和定理求出
ADB
，再根据“两直线平行，内错角相等”求出
DBC
，然后根据等腰三角
形的性质得出答案．
【详解】解：∵
90 ,
35
A
ABD
=
=
，
∴
180
55
ADB
A
ABD
=
−−
=
．
∵AD
BC
∥
，
∴
55
DBC
ADB
=
=
．
∵DB
DC
=
，
∴
180
2
70
BDC
DBC
=
−
=
．
故选：C．
2．（2025·江苏南京·一模）如图，在ABC
中，点D 在BC 上，AB
AD
CD
=
=
，
56
BAD
=
，则
C
等于
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17 /
（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．解题的关键是分析各角之间关系的能
力，运用所学的三角形知识求解．根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得
180
118
ADC
ADB
=
−
=
，由AB
AD
DC
=
=
可得
DAC
C
=
，从而即可求解．
【详解】解：∵AB
AD
CD
=
=
，
56
BAD
=
，
62
ABD
ADB
=
=
，
DAC
C
=
，
∴
180
118
ADC
ADB
=
−
=
，
又
AD
DC
=
，
(
)
1 180
118
31
2
C
=
−
=
．
故选：D ．
3．
（2025·陕西汉中·一模）如图，点A，B 在直线m 上，点C，D 在直线n 上，连接AC 、BD、BC ，BD
CD
=
，
m
n
∥，若
100
=
BDC
，
41
ACB
=
，则
BAC
的度数为（ ）
A．101°
B．100
C．99
D．91
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，先根据等腰三角
形的性质以及三角形内角和定理求出
40
BCD
=
，得出
81
ACD
=
，再根据平行线的性质得出
BAC
的
度数．
【详解】解：∵BD
CD
=
，
∴
DCB
DBC
=
，
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∵
180
DCB
DBC
BDC
+
+
=
，
100
=
BDC
，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
100
40
2
2
DCB
BDC
=
−
=
−
=
，
又
41
ACB
=
，
∴
ACD
ACB
BCD
=
+
，
∴
41
40
81
ACD
=
+
=
。
∵m
n
∥，
∴
180
BAC
ACD
+
=
，
∴
180
180
81
99
BAC
ACD
=
−
=
−
=
，
故选：C．
4．（2025·安徽宿州·三模）如图，直线1
2
l
l
∥，把一块含30角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，
点A 在1l 上，点B ，D在2l 上，BD
BC
=
，若1
72
=
，则
2
的度数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．36
【答案】B
【分析】该题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得出
1
72
BCD =
=
∠
∠
，根据三角形内角和定理求出
36
CBD
=
，结合平行线性质即可求解．
【详解】解：
BD
BC
=
，
1
72
BCD
=
=
，
36
CBD
=
，
66
ABD
=
．
1
2
l
l
∥，
180
2
ABD
BAC
−
=
+
，
即
2
114
90
24
=
−
=
，
故选：B．
5．（24-25 八年级下·贵州毕节·期中）如图，AB
CD
∥
，M、N 为直线AB 上的两点，连接CN ，ME
CN
⊥
于
点E，点F 在CN 上，连接DF ，CF
DF
=
，若
70
EMN
=
，则
D
的度数为（ ）
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19 /
A．20
B．30
C．40
D．45
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，根据三角形的内角和定理求出
ANC
的度数，平行线的性质，得到
NCD
的度数，等边对等角，得到
D
的度数即可．
【详解】解：∵ME
CN
⊥
，
∴
90
MEN
=
，
∵
70
EMN
=
，
∴
20
MNE
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
20
NCD
MNE
=
=
，
∵CF
DF
=
，
∴
20
D
NCD
=
=
；
故选A．
6．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在
ABC
中，
35
B
=
，
50
C
=
，AB 的垂直平分线EF 交AB
于点E ，交BC 于点F ，
FAC
的平分线AD交FC 于点D ，则
DAF
的度数为 ．
【答案】30/30 度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，
熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出
95
BAC
=
，根据等腰三角形的性质的
性质和线段垂直平分线的性质可得
35
B
BAF
=
=
，从而得
60
CAF
=
，然后根据角平分线即得答案．
【详解】解：∵
35
B
=
，
50
C
=
，
180
50
35
95
BAC
=
−
−
=
，
∵EF 垂直平分AB ，
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FA
FB
=
，
35
B
BAF
=
=
，
95
35
60
CAF
BAC
BAF
=
−
=
−
=
，
∵AD平分
FAC
，
∴
1
30
2
DAF
FAC
=
=
，
故答案为：30．
7．
（24-25 七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段AB 、CD的垂直平分线交于点O，连接OA、OD 、AC 、
BD，若
76
BAO
CDO
=
=
，
118
ACD
=
，那么
ODB
的度数是 ．
【答案】42/42 度
【分析】如图，连接
,
OB OC ，根据线段垂直平分线性质得出
,
OA
OB OC
OD
=
=
，即可得
1
2
76
BAO
CDO
= =
= =
，三角形内角和定理得出
3=
4
，则
AOC
BOD
=
，根据
118
ACD
=
，
求出
6
42
=
，证明AOC
BOD
≌
，即可求出
6
42
ODB
= =
．
【详解】解：如图，连接
,
OB OC ，
∵线段AB 、CD的垂直平分线交于点O，
∴
,
OA
OB OC
OD
=
=
，
∴
1
2
76
BAO
CDO
= =
= =
，
∴
3
4
180
2 76
28
= =
−
=
，
∴
3
5
4
5
+= +，即
AOC
BOD
=
，
∵
118
ACD
=
，
∴
6
2
118
76
42
ACD
=
−=
−
=
，
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∵OA
OB
=
，
AOC
BOD
=
，OC
OD
=
，
∴
(
)
AOC
BOD SAS
≌
，
∴
6
42
ODB
= =
，
故答案为：42．
8．（24-25 七年级下·上海普陀·期末）在
ABC
中，边
AB
AC
、
的垂直平分线相交于点O，如果点O在边BC
上，那么
BAC
= °．
【答案】90
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，
得到OA
OB
=
，OA
OC
=
，由等边对等角，得到
OAB
B
= ，
OAC
C
=
，再根据三角形内角和定理列
式计算即可求解．
【详解】解：连接OA，
∵边
AB
AC
、
的垂直平分线相交于点O，
∴OA
OB
=
，OA
OC
=
，
∴
OAB
B
= ，
OAC
C
=
，
∵
180
B
C
BAC
+
+
=
，
∴2
180
BAC
=
，
∴
90
BAC
=
，
故答案为：90．
9．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线AB
CD
∥
，直线EF 分别交AB，CD 于点E，F，点G，H 分别在
射线FC，射线FD 上，且FE
FG
FH
=
=
．若
62
AEG
=
，则
EHD
的度数为 ．
【答案】152
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由等腰三角
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22 /
形的性质得
GEF
EGF
=
，
EHG
HEF
=
，从而可求
90
GEF
HEF
+
=
，再求出
28
BEH
=
，然后
利用平行线的性质即可求解．
【详解】
FE
FG
FH
=
=
，
GEF
EGF
=
，
.
EHG
HEF
=
180
GEF
EGF
EHG
HEF
+
+
+
=
，
90
GEF
HEF
+
=
，
180
90
90
AEG
BEH
+
=
−
=
．
62
AEG
=
，
28
BEH
=
．
∵AB
CD
∥
，
180
BEH
EHD
+
=
，
152
EHD
=
．
10．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O 是
ABC
各边垂直平分线的交点，连接BO
CO
、
．如果
72
BOC
=
，那么
A
= ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接OA，由线段垂直
平分线的性质得到OA
OB
OC
=
=
，则由等边对等角可得
OAC
OCB
OAB
OBA
=
=
∠
∠
，∠
∠
，利用三角形内
角和定理可得
108
OBC
OCB
+
=
∠
∠
，则可求出
72
OAC
OCB
OAB
OBA
+
+
+
=
∠
∠
∠
∠
，进而得到
36
OAC
OAB
+
=
∠
∠
，即
36
BAC
=
．
【详解】解：如图所示，连接OA，
∵点O 是
ABC
各边垂直平分线的交点，
∴OA
OB
OC
=
=
，
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∴
OAC
OCB
OAB
OBA
=
=
∠
∠
，∠
∠
，
∵
72
BOC
=
，
∴
180
108
OBC
OCB
BOC
+
=
−
=
∠
∠
，
∵
180
OBC
OCB
OAC
OCB
OAB
OBA
+
+
+
+
+
=
∠
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
72
OAC
OCB
OAB
OBA
+
+
+
=
∠
∠
∠
∠
，
∴2
2
72
OAC
OAB
+
=
∠
∠
，
∴
36
OAC
OAB
+
=
∠
∠
，即
36
BAC
=
，
故答案为；36．
题型五：等边对等角与尺规作图的结合
1．（24-25 九年级下·山东烟台·期中）如图，以点A 为圆心作弧，使弧与直线l 相交于点B 和点C ，再分别以
点A ，B 为圆心，以大于1
2 AB 的长度为半径作弧，两弧相交于点E 和点F ，直线EF 与直线l 相交于点D ，
若
38
BAC
=
，则
CAD
的度数 ．
【答案】33
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，三角形内角和定理，由作图可知
AB
AC
=
，直线EF 是线段AB 的垂直平分线，即得
A
ABC
CB
=
∠
，DA
DB
=
，进而得到
ABC
ACB
DAB
=
=
，再根据三角形内角和定理求出
DAB
即可求解，掌握线段垂直平分线的作法和性
质是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，AB
AC
=
，直线EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴
A
ABC
CB
=
∠
，DA
DB
=
，
∴
DAB
DBA
=
，
∴
ABC
ACB
DAB
=
=
，
∵
38
BAC
=
，
∴
180
38
71
2
ABC
ACB
DAB
−
=
=
=
=
，
∴
71
38
33
CAD
DAB
BAC
=
−
=
−
=
，
故答案为：33．
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2．（2025·贵州遵义·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，分别以点
,
A B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径
画弧，两弧分别交于点
,
M N ，作直线MN 分别交
,
BC AB 于点
,
D E ，连接AD．若
30
B
=
，则
CAD
的
度数为 °．
【答案】30
【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出
60
CAB
=
，再求出
30
=
=
DAB
DBA
，可得
结论．
【详解】解：根据题意可知，DE 垂直平分线的AB ，
DA
DB
=
，
30
DAB
DBA
=
=
，
90 ,
30
C
B
=
=
，
180
90
180
90
30
60
CAB
B
=
−
−=
−
−
=
，
60
30
30
CAD
CAB
DAB
=
−
=
−
=
，
故答案为：30．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，以
ABC
的顶点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点D ，再
分别以C ，D 为圆心，大于1
2CD 的长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AC 于点F ．若
3
AB
AC
ABF
FBC
=
=
，
，则
A
的度数是 ．
【答案】36
【分析】设
FBC
x
= ，则
3
ABF
x
=
，
4
ABC
C
x
=
=
，利用三角形内角和定理构建方程求解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
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∴
ABC
C
=
，
设
FBC
x
= ，则
3
ABF
x
=
，
4
ABC
C
x
=
=
，
由作图可知BF
AC
⊥
，
∴
90
3
A
x
=
−
,
∵
180
A
ABC
C
+
+
=
，
∴90
3
4
4
180
x
x
x
−
+
+
=
，
∴
18
x =
，
∴
90
54
36
A
=
−
=
．
故答案为：36．
4．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，以点A 为圆心作弧，使弧与直线l 相交于点B 和点C，再
分别以点
,
A B 为圆心，以大于1
2 AB 的长度为半径作弧，两弧相交于点E 和点F，直线EF 与直线l 相交于点
D，若
38
BAC
=
，则
CAD
的度数是 ．
【答案】33/33 度
【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的作法和线段垂直平分线的作法，根据作图步骤可知AB
AC
=
，
EF 是线段AB 的垂直平分线，结合等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意得，AB
AC
=
，EF 是线段AB 的垂直平分线，
ABC
ACB
=
，DA
DB
=
，
DAB
DBA
=
，
ACB
DAB
=
，
38
BAC
=
，
180
38
71
2
ABC
ACB
−
=
=
=
，
71
38
33
CAD
DAB
BAC
=
−
=
−
=
，
故答案为：33．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在已知的
ABC
中，按如下步骤作图：
①分别以点
,
B C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点
,
M N ；
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②作直线MN ，交AB 于点D ，连接CD．
若
,
64
CD
AC
ACD
=
=
，则
ACB
的度数为 ．
【答案】93/93度
【分析】本题主要考查了垂直平分线，等角对等边，三角形外角和内角的定义，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
由题中作图方法可知，MN 为线段BC 的垂直平分线，则CD
BD
=
，根据等角对等边，可得
DCB
B
= ，
再结合三角形外角和内角可得
29
DCB
=
，即可求得
ACB
．
【详解】解：∵
,
64
CD
AC
ACD
=
=
，
∴
(
)
1 180
58
2
ADC
ACD
=
−
=
，
由题中作图方法可知，MN 为线段BC 的垂直平分线，
则CD
BD
=
，
∴
1
29
2
DCB
B
ADC
= =
=
，
∴
64
29
93
ACB
ACD
BCD
=
+
=
+
=
．
故答案为：93．
6．
（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，若
25
ABD
=
，则
BDC
的度数为 ．
【答案】130/130 度
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相
等．根据尺规作图得到DE 是线段BC 的垂直平分线，BF 平分
ABC
，得到DB
DC
=
，
ABF
CBF
=
，
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根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：由作图可知：DE 是线段BC 的垂直平分线，BF 平分
ABC
，
则DB
DC
=
，
ABF
CBF
=
，
∴
DCB
CBF
=
，
∴
25
DCB
CBF
ABD
=
=
=
，
∴
180
25
25
130
BDC
=
−
−
=
，
故答案为：130．
7．（2025·湖南常德·一模）如图，直线1
2
l
l
∥，直线AB 分别交1l ，2l 于点A ，B ，
120
MAB
=
，以点B 为
圆心，BA长为半径画弧，若在弧上存在点C 使
20
ACB
=
，则1
的度数是 ．
【答案】80
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，首先根据平行线的性质可得：
60
NBA
=
，因为点C 在以点B 为圆心，BA长为半径的弧上，所以BA
BC
=
，根据等腰三角形的性质可知
20
BAC
BCA
=
=
，再根据三角形外角的性质可求1
的度数．
【详解】解：
1
2
l
l
∥，
180
MAB
NBA
+
=
，
120
MAB
=
，
180
120
60
NBA
=
−
=
，
BA
BC
=
，
20
BAC
BCA
=
=
，
1
20
60
80
BAC
NBA
=
+
=
+
=
．
故答案为：80．
8．（2025·湖南·一模）如图，在
ABC
中，CA
CB
=
，
80
C
=
，分别以点A，C 为圆心，大于1
2 AC 的长
为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，作直线MN 交AC 于点D，交AB 于点E，则
AED =
∠
．
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【答案】40
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求
解
50
A
B
= =
，结合
90
ADE
=
，再进一步的解答即可.
【详解】解：CA
CB
=
，
80
C
=
，
, ∴
50
A
B
= =
MN
垂直平分AC
∴
90
ADE
=
∴
90
50
40
AED
=
−
=
．
故答案为：40．
题型六：等边对等角的简单证明
1．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）如图，AO 平分
BAC
，CO
AB
⊥
，BO
AC
⊥
，垂足分别为D ，E ．求
证：
OBC
OCB
=
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质
得到OD
OE
=
，再证明
(
)
ASA
BOD
COE
≌
得到OB
OC
=
，则可证明
OBC
OCB
=
．
【详解】证明：∵AO 平分
BAC
，CO
AB
⊥
，BO
AC
⊥
，
∴
90
OD
OE
ODB
OEC
=
=
=
，∠
∠
，
又∵
BOD
COE
=
，
∴
(
)
ASA
BOD
COE
≌
，
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∴OB
OC
=
，
∴
OBC
OCB
=
．
2．
（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F 在一条直线上，CF
BE
=
，AB
DC
ABC
BCD
=
=
，
，
AF 与DE 相交于点O，求证：
(1)
A
D
=
；
(2)OE
OF
=
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出BF
CE
=
，进而证明
≌
ABC
DCE是解题的关键．
（1）由CF
BE
=
，推导出BF
CE
=
，而
ABF
DCE
AB
DC
=
=
，
，即可根据“SAS”证明
≌
ABC
DCE ，
则
A
D
=
；
（2）由全等三角形的性质得
F
E
＝
，即可根据“等角对等边”证明OE
OF
=
．
【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F 在一条直线上，
∴CF
BC
BE
BC
+
=
+
，
∴BF
CE
=
，
∵
ABC
BCD
=
，
∴
ABF
DCE
=
，
在
ABC
和
DCE
△
中，
AB
DC
ABF
DCE
BF
CE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DCE
≌
，
∴
A
D
=
；
（2）证明：由（1）得
≌
ABC
DCE ，
∴
F
E
= ，
∴OE
OF
=
．
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3．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）已知，在
ABC
中，点D 是AC 上一点，过点D 的直线交AB 于点E，
交BC 延长线于点F，点G 是AD上一点，连接GE 并延长交CB 延长线于点H，
2
EGC
A
= ，
2
GEF
F
=
．
(1)若
36
A
F
=
=
，求
BEF
的度数；
(2)若AE
CF
=
，DG
DE
=
，求证：AC
EF
=
．
【答案】(1)72
(2)见解析
【分析】本题主要查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据
2
EGC
A
= ，
2
GEF
F
=
以及三角形外角的性质，可得
A
AEG
=
，
H
F
=
，再由
36
A
F
=
=
，可得
36
BEH
AEG
=
=
，
72
GEF
=
，即可求解；
（2）根据
2
EGC
A
= ，
2
GEF
F
=
以及三角形外角的性质，可得
A
F
=，可证明ADE
FDC
≌
，
可得DE
DC
=
，AD
DF
=
，即可求证．
【详解】（1）解：∵
2
EGC
A
= ，
EGC
A
AEG
= +
，
∴
A
AEG
=
，
∵
2
GEF
F
=
，
GEF
F
H
= +
，
∴
H
F
=
，
∵
36
A
F
=
=
，
∴
36
BEH
AEG
=
=
，
72
GEF
=
，
∴
108
HEF
=
，
∴
72
BEF
HEF
BEH
=
−
=
；
（2）证明：∵DG
DE
=
，
∴
EGC
GEF
=
，
∵
2
EGC
A
= ，
2
GEF
F
=
，
∴
A
F
=，
在
ADE
和
FDC
△
中，
∵
ADE
CDF
=
，
A
F
=，AE
CF
=
，
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∴ADE
FDC
≌
，
∴DE
DC
=
，AD
DF
=
，
∴AD
DC
DF
DE
+
=
+
，
即AC
EF
=
．
4．（24-25 八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，A
B
=
，AE
BE
=
，点D 在AC 边上，CED
AEB
=
，
AE 交BD于点F ．
(1)求证：
AEC
BED
△
△
≌
．
(2)求证：DE 平分
BDC
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由
CED
AEB
=
得
AEC
BED
=
，进而由ASA 可证
AEC
BED
△
△
≌
；
（2 ）由
AEC
BED
△
△
≌
得
C
BDE
=
，CE
DE
=
，得
C
EDC
=
，即得
BDE
EDC
=
，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵
CED
AEB
=
，
∴
CED
AED
AEB
AED
+
=
+
，
∴
AEC
BED
=
，
在
AEC
△
和BED
中，
A
B
AE
BE
AEC
BED
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
≌
AEC
BED
△
△
；
（2）证明：∵
AEC
BED
△
△
≌
，
∴
C
BDE
=
，CE
DE
=
，
∴
C
EDC
=
，
∴
BDE
EDC
=
，
∴DE 平分
BDC
．
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5．
（2025·陕西·模拟预测）如图，在
ABC
中，D 是BC 上一点，连接AD，AD是
BAC
的平分线，且AD
BD
=
，
P 是AD上一点，过点P 分别作PE
AB
、PF
AC
∥
交BC 于点
,
E
F PF
CD
=
、
．求证：EF
AC
=
．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明
PFE
ACD
=
，
CAD
PEF
=
，结合PF
CD
=
可得EPF
ADC
≌
，从而可得结论．
【详解】证明：∵PF
AC
∥
，
∴
PFE
ACD
=
，
∵AD
BD
=
，
∴
DAB
DBA
=
，
∵PE
AB
∥
，
∴
PEF
ABD
=
，
∵AD是
BAC
的平分线，
∴
BAD
CAD
=
，
∴
CAD
PEF
=
，
∵PF
CD
=
，
∴EPF
ADC
≌
，
∴EF
AC
=
．
6．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，点D 为BC 的中点，过点D 分别
作DE
AC
⊥
于E
DF
AB
⊥
、
于F ．
(1)求证：DE
DF
=
；
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(2)求证：AE
AF
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）由等边对等角得
B
C
=
，再证
(AAS)
DEC
DFB
≌
，即可得出DE
DF
=
；
（2）由DEC
DFB
≌
得CE
BF
=
，结合AB
AC
=
，可得AE
AF
=
．
【详解】（1）证明：
AB
AC
=
，
B
C
=
，
D
为BC 中点，
BD
CD
=
，
又
,
DE
AC DF
AB
⊥
⊥
，
DEC
DFB
=
，
在DEC
和
DFB
△
中，
B
C
DFB
DEC
BD
CD
=
=
=
，
(AAS)
DEC
DFB
≌
，
DE
DF
=
；
（2）证明：由（1）得：DEC
DFB
≌
，
CE
BF
=
，
又
AC
AB
=
，
AC
CE
AB
BF
−
=
−
，
AE
AF
=
．
7．（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，AB
AE
AC
AD
BAE
CAD
=
=
=
，
，
，点C 在DE 上．
(1)求证：BAC
EAD
≌
；
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(2)若AE 平分
,
42
BAC
EAC
=
，求
BCE
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)42
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）根据SAS即可证明BAC
EAD
≌
；
（2）由角平分线的定义得
42
BAE
CAE
=
=
，由全等三角形的性质得AC
AD
=
，
ACB
D
=
，从而
ACB
D
ACD
=
=
，进而可求出
42
BCE
CAD
=
=
．
【详解】（1）证明：
BAE
CAD
=
BAE
EAC
CAD
EAC
+
=
+
BAC
EAD
=
,
AB
AE AC
AD
=
=
(
)
SAS
BAC
EAD
≌
（2）解：
AE
平分
BAC
42
BAE
CAE
=
=
BAE
CAD
=
42
CAD
BAE
CAE
=
=
=
BAC
EAD
≌
,
AC
AD
ACB
D
=
=
ACB
D
ACD
=
=
180
ACD
D
CAD
+
+
=
，
180
ACD
ACB
BCE
+
+
=
42
BCE
CAD
=
=
8．（24-25 八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD是高线，AE 是角平分线，
80 ,
70
BAC
C
=
=
．
(1)求
BAE
的大小．
(2)求证：DE
DC
=
．
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【答案】(1)40
(2)证明见解析
【分析】本题考查角平分线和等腰三角形，熟练掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，
（1）根据角平分线的性质即可得到答案；
（2）根据题意可求出
EAD
的度数，再根据三角形内角和定理得到
AED
的度数，然后再根据等腰三角形
等角对等边的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵AE 是角平分线，
80
BAC
=
，
∴
1
1
80
40
2
2
BAE
BAC
=
=
=
．
（2）证明：∵AD是高线，
∴
90
ADC
=
，
∵
70
C
=
，
∴
180
180
90
70
20
CAD
ADC
C
=
−
−
=
−
−
=
，
∵AE 是角平分线，
80
BAC
=
，
∵
40
CAE
=
，
∴
40
20
20
EAD
CAE
CAD
=
−
=
−
=
，
∴
70
AED
=
，
∴
AED
C
=
，
∴DE
DC
=
．
题型七：等边对等角中的尺规作图（解答题）
1．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
108
A
=
．
(1)用尺规作AB 的垂直平分线DE ，交BC 于点D ，交AB 于点E ，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求
DAC
的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
72
DAC
=
【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
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（1）理解题意，则作AB 的垂直平分线DE ，连接AD，即可作答．
（2）先运用三角形内角和性质以及等边对等角得
36
B
C
=
=
，结合垂直平分线的性质，故AD
BD
=
，
则
72
DAC
A
DAB
= −
=
，即可作答．
【详解】（1）解：作AB 的垂直平分线DE ，连接AD，如图所示：
（2）解：∵AB
AC
=
，
108
A
=
．
∴
(
)
1
180
108
36
2
B
C
=
=
−
=
，
由（1）得DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD
BD
=
，
∴
36
DAB
B
= =
，
∴
108
36
72
DAC
A
DAB
= −
=
−
=
．
2．（24-25 八年级上·青海西宁·期中）如图，已知
ABC
，点D 在边BC 上，且DA
DC
=
．
(1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
BAC
B
C
= +，且
2
B
C
= ，求
ADB
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60
【分析】本题考查了作图−复杂作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质及线段垂
直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）作线段AC 的垂直平分线，交BC 于点D 即可；
（2）由
BAC
B
C
= +，且
2
B
C
= ，
180
B
C
BAC
++
=
，可得2
3
180
C
C
C
+
+
=
，再由GH 垂
直平分AC ，可得DC
DA
=
，从而得出
C
DAC
=
，再求解即可．
【详解】（1）解：如图，点D 即为所求；
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（2）解：∵
BAC
B
C
= +，且
2
B
C
= ，
180
B
C
BAC
++
=
，
∴2
3
180
C
C
C
+
+
=
，
∴
30
C
=
，
∵GH 垂直平分AC ，
∴DC
DA
=
，
∴
C
DAC
=
，
∵
ADB
CAD
C
=
＋
，
∴
30
30
60
ADB
=
+
=
．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知
ABC
，AB
AC
=
，利用尺规作图法在AC 边上求作一点D ，连
接BD，使得
1
2
ABD
C
=
．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，尺规作图---角平分线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关
键．
作出
ABC
的角平分线即可，由于AB
AC
=
，则
A
ABC
CB
=
∠
，那么
1
2
ABD
C
=
时，即
1
2
ABD
ABC
=
，
故作出
ABC
的角平分线即可．
【详解】解：如图所示，点D 即为所求．
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4．（24-25 八年级下·福建三明·期中）如图，在
ABC
中，
,
36
AB
AC
A
=
=
．
(1)在AC 上求作点D ，使AD
BD
=
（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，求
BDA
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)108
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段AB 的垂直平分线，交AC 于点D，则点D 即为所求．
（2）由等腰三角形的性质可得
36
A
ABD
=
=
，则
180
108
BDA
A
ABD
=
−−
=
．
【详解】（1）如图，作线段AB 的垂直平分线，交AC 于点D，
则点D 即为所求．
（2）解：
AD
BD
=
，
36
ABD
A
= =
，
180
108
ADB
A
ABD
=
−−
=
5．（24-25 七年级下·福建厦门·期中）如图，O 是直线AB 上一点，OP 平分
AOC
，点M 是射线OC 上一
点．
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(1)在直线AB 上方画一条射线OQ ，使得
90
POQ
=
．在射线OQ 上找一点N，使得
MON
MNO
=
．
(2)在（1）的条件下，判断MN 与AB 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)
∥
MN
AB，理由见解析．
【分析】（1）作OP 的垂线OQ 即可得到
90
POQ
=
，在射线OQ 上找一点N，连接MN ，使得MO
MN
=
，
即可得到
MON
MNO
=
；
（2）先证明
COQ
BOQ
=
，再根据内错角相等两直线平行证明即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：
∥
MN
AB．理由如下：
∵
90
POQ
=
，
∴
90
AOP
BOQ
+
=
，
90
COP
COQ
+
=
，
∵OP 平分
AOC
，
∴
AOP
COP
=
，
∴
COQ
BOQ
=
，
∵
MON
MNO
=
，
∴
BON
MNO
=
，
∴
∥
MN
AB.
6．（24-25 八年级下·福建宁德·期中）如图，
ABC
中，AB
BC
=
，
36
B
=
．
(1)求
BAC
的度数；
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40 /
(2)在BC 边上求作一点D ，使AD
BD
=
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；圆规仅用一次得3 分，圆
规使用多次得2 分）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
（1）由等腰三角形的性质可得
72
C
BAC
=
=
．
（2）作线段AB 的垂直平分线，交BC 于点D，则点D 即为所求．
【详解】（1）解：∵AB
AC
=
，
36
B
=
∴
180
180
36
72
2
2
B
C
BAC
−
−
=
=
=
=
；
（2）解；如图，
∴点D 即为所求．
7．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在
ABC
中，
40
B
=
，
50
C
=
．
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF 是线段AB 的 ，射线AE 是
DAC
的 ；
(2)在（1）所作的图中，求
DAE
的度数．
【答案】(1)垂直平分线，角平分线
(2)25．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定
义，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到
40
BAD
B
= =
，再结合三角形的内角和便能
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求得
90
BAC
=
，进而可得
50
DAC
=
，再根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可知：直线DF 是线段AB 的垂直平分线，射线AE 是
DAC
的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）解：∵DF 是线段AB 的垂直平分线，
∴DB
DA
=
，
∴
40
BAD
B
= =
，
∵
40
B
=
，
50
C
=
，
∴
180
90
BAC
B
C
=
−−
=
，
∴
50
DAC
BAC
BAD
=
−
=
．
∵射线AE 是
DAC
的平分线，
∴
25
DAE
=
．
题型八：利用等边三角形的性质求角度
1．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，ABC
与CDE
都是等边三角形，点A，D，E 在同一直线上，
连接BE ．若
2
BE = ，
8
AE = ，则CE 的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关
键．由等边三角形的性质证明
(
)
SAS
ACD
BCE
△
≌△
，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：
ABC
与CDE
都是等边三角形，
60
ACB
ECD
=
=
，AC
BC
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCB
ECD
DCB
−
=
−
，即
ACD
BCE
=
，
在ACD
和BCE
中，
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AC
BC
ACD
BCE
CD
CE
=
=
=
，
(
)
SAS
ACD
BCE
△
≌△
，
2
AD
BE
=
=
，
8
AE =
，
8 2
6
DE
AE
AD
=
−
= −
=
，
6
CE
DE
=
=
，
故选：C．
2．（24-25 八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E 分别是等边三角形ABC 两边AB 、AC 上的点，连接BE 、
CD，BE 与CD交于点O，
=
AD
CE ，则
BOD
的度数是（ ）
A．50
B．60
C．65
D．70
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形
是解题关键．根据等边三角形的性质证明
(
)
SAS
ACD
CBE
≌
，得到
ACD
CBE
=
，再结合三角形外角的性
质求解即可．
【详解】解：
ABC
是等边三角形，
AC
BC
=
，
60
A
ACB
=
=
，
在ACD
和
CBE
△
中，
AD
CE
A
BCE
AC
CB
=
=
=
，
(
)
SAS
ACD
CBE
≌
，
ACD
CBE
=
，
60
BOD
CBE
BCO
ACD
BCO
ACB
=
+
=
+
=
=
，
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故选：B．
3．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边
ABC
中，AD为BC 边上的中线，点E 在AC 边上，连
接DE ，若AD
AE
=
，则
CDE
的度数为（ ）
A．20
B．25
C．10
D．15
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，
先根据等边三角形的性质得
1
30 ,
90
2
CAD
BAC
ADC
=
=
=
，再根据等腰三角形的性质求出
ADE
，
然后根据
CDE
ADC
ADE
=
−
得出答案．
【详解】解：∵
ABC
是等边三角形，且AD是BC 边上的中线，
∴
1
30 ,
90
2
CAD
BAC
ADC
=
=
=
．
∵AD
AE
=
，
∴
180
30
75
2
ADE
AED
−
=
=
=
，
∴
90
75
15
CDE
ADC
ADE
=
−
=
−
=
．
故选：D．
4．
（2025·浙江温州·三模）如图，点D ，E 分别在等边三角形ABC 的边AB ，AC 上，
=
AD
CE ，若
18
CBE
=
，
则
ADC
为（ ）
A．98
B．102
C．108
D．112
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三
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角形的性质得到
60
AC
CB
A
BCA
=
=
=
，∠
∠
，则可证明
ADC
CEB
△
≌△
得到
18
ACD
CBE
=
=
∠
∠
，据此
根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
AC
CB
A
BCA
=
=
=
，∠
∠
，
又∵
=
AD
CE ，
∴
(
)
SAS
ADC
CEB
≌
△
△
，
∴
18
ACD
CBE
=
=
∠
∠
，
∴
180
102
ADC
A
ACD
=
−
−
=
∠
∠
，
故选：B．
5．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，直线m
n
∥，等边
ABC
的顶点B 在直线n 上，直线m 交AB 边于点D ．若
22
=
，则的度数为 ．
【答案】82/82 度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性
质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
ABC
=
，
∵m
n
∥，
22
60
82
ABC
=
+
=
+
=
，
故答案为：82．
6．（24-25 九年级下·重庆·阶段练习）如图，
ABC
和
ADE
均为等边三角形，点,
,
B D E 在同一直线上，若
35
EBC
=
，则
ECA
的度数为 ．
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【答案】25
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，由等边三角形的性质得到
60
AB
AC
AD
AE
BAC
DAE
ABC
=
=
=
=
=
，
，∠
∠
∠
，则可证明
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，得到
25
ECA
ABD
ABC
CBE
=
=
−
=
∠
∠
∠
∠
．
【详解】解：∵
ABC
和
ADE
均为等边三角形，
∴
60
AB
AC
AD
AE
BAC
DAE
ABC
=
=
=
=
=
，
，∠
∠
∠
，
∴
60
BAD
CAE
CAD
=
=
−
，
∴
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
∴
25
ECA
ABD
ABC
CBE
=
=
−
=
∠
∠
∠
∠
，
故答案为：25．
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，
ABC
和DEF
都是等边三角形，点
,
,
D E F 分别在边
,
,
AB BC AC 上，若
ABC
的周长为15,
2
AF =
，则BE 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形
全等的判定和性质是解题的关键．根据
ABC
和DEF
都是等边三角形，证明
(
)
AAS
AFD
CEF
≌
，
(
)
AAS
AFD
BDE
≌
，得到
2
AF
BD
CE
=
=
=
，根据
5 2
3
BE
BC
CE
=
−
= −
= 解答即可．
【详解】解：∵
ABC
和DEF
都是等边三角形，
∴
,
60
AB
BC
CA
A
B
C
=
=
=
=
=
，
,
60
DE
EF
FD
DEF
EFD
FDE
=
=
=
=
=
，
∴
120
ADF
AFD
+
=
，
120
CFE
AFD
+
=
，
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∴ADF
CFE
?
?
，
∵
A
C
ADF
CFE
DF
FE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AFD
CEF
≌
，
同理可证，
(
)
AAS
AFD
BDE
≌
，
∴
2
AF
BD
CE
=
=
=
，
∵
ABC
的周长为15，
∴
15 3
5
BC =
=
，
∴
5 2
3
BE
BC
CE
=
−
= −
= ，
故答案为：3．
8．（2025·湖南常德·二模）如图，
ABC
为等边三角形，点D 是BC 边的中点，过点D 的直线与AC 相交于
点E，与AB 的延长线相交于点F，当AE
AD
=
时，则
F
= ．
【答案】45
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的性质是
解题的关键．根据等边三角形的性质得到
1
30
2
DAF
DAE
BAC
=
=
=
，由AE
AD
=
可得
180
75
2
DAE
ADE
−
=
=
，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：
ABC
为等边三角形，点D 是BC 边的中点，
1
1
60
30
2
2
DAF
DAE
BAC
=
=
=
=
，
AE
AD
=
，
180
180
30
75
2
2
DAE
ADE
−
−
=
=
=
，
75
30
45
F
ADE
DAF
=
−
=
−
=
．
故答案为：45．
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47 /
题型九：利用等边三角形的性质求线段长度
1．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据三边相等得出等边三角形的周长，即可作答．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，
∴3 3
9
=
，
∴等边三角形的周长为9，
故答案为：9
2．（24-25 七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边
ABC
中，
4cm
AB =
，点D 在边BC 上，连接AD，
线段AD 的垂直平分线分别交边AB 、AC 于点E、F，如果BDE
的周长比CDF
的周长小1cm，那么BD =
cm．
【答案】3 cm
2
【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等可得DE
AB
DF
AF
=
=
，
，根据BDE
的周长比CDF
的周长小1cm得出
1cm
BD CD
−
=
，再
结合
4cm
BD
CD
+
=
可求出BD．
【详解】解：∵
ABC
是等边三角形，
∴
4cm
AB
BC
AC
=
=
=
，
∵EF 垂直平分AD，
∴AE
DE
AF
DF
=
=
，
．
∴
CDF
BDE
C
C
−
(
)
CD
DF
CF
BE
BD
DE
=
+
+
−
+
+
AC
CD
AB
BD
=
+
−
−
CD
BD
=
−
1cm
=
．
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则
1
CD
BD
=
+ ，
又∵
4
BD
CD
+
=
，
∴
1
4
BD
BD
+
+ =
，
∴
3 cm
2
BD =
，
故答案为：3
2 ．
3．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，将边长为4 个单位的等边
ABC
沿边BC 向右平移2 个单位得
到DEF
，则四边形ABFD的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性
质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】将边长为4 个单位的等边
ABC
沿边BC 向右平移2 个单位得到DEF
，
2
AD
BE
CF
=
=
=
，
4
EF
BC
AB
=
=
= ，
4
DF
AC
=
=
，
四边形ABFD的周长
2
4
2
4
4
16
AD
AB
BE
EF
FD
=
+
+
+
+
=
+ + + +
=
故答案为：16
4．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，已知
ABC
是等边三角形，且边长为3，点D
E
，
分别在边AC
BC
，
上，将CDE
沿DE 所在的直线折叠．若点C 落在点C处，DC
EC
，
分别交边AB 于点F
H
，
，则阴影部
分图形的周长等于 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，利用折叠的性质可得CD
C D
=
，CE
C E
=
，利
用等量代换和等式的性质解答即可，由折叠的性质得CD
C D
=
，CE
C E
=
是解题的关键．
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【详解】解：利用折叠的性质可得：CD
C D
=
，CE
C E
=
．
阴影部分图形的周长
AD
C D
AH
C H
BH
BE
EH
=
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)
AD
C D
AH
BH
C H
HE
BE
=
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
AD
CD
AB
BE
EC
=
+
+
+
+
AB
AC
BC
=
+
+
，
ABC
是边长为3 的等边三角形，
3
AB
AC
BC
=
=
=
，
9
AB
AC
BC
+
+
= ，
阴影部分图形的周长等于9，
故答案为：9．
5．
（24-25 八年级上·北京平谷·期末）如图，在等边ABC
中，
8
BC = ，点D 在AB 上，点F 在BC 上，且
3
BD =
，
DE
DF
=
，
60
EDF
=
，则CE 的长为
【答案】5
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题
的关键．
根据全等三角形的性质求出
8
60
AC
BC
A
B
=
=
= =
，
，根据三角形内角和定理、平角定义求出
ADE
BFD
=
， 利用AAS证明ADE
BFD
≌
，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】解：∵ABC
是等边三角形，
∴
8,
60
AC
BC
A
B
=
=
=
=
，
∴
180
60
120
BDF
BFD
+
=
−
=
，
∵
60
EDF
=
，
∴
180
60
120
ADE
BDF
+
=
−
=
，
∴
ADE
BFD
=
，
在ADE
和BFD
中，
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A
B
ADE
BFD
DE
DF
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
BFD
≌
，
∴
3
AE
BD
=
= ，
∴
5
CE
AC
AE
=
−
=
，
故答案为：5．
6．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）如图，BD是等边三角形ABC 的中线，且
4cm
BD =
，延长BC 至E，
使CE
CD
=
，连接DE ，则DE 的长是 cm．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的
判定是解决问题的关键．
先求出
1
30
2
CBD
ABC
=
=
，再求出
30
E
=
，证出
CBD
E
= ，得出
4
DE
BD
=
=
．
【详解】解：
ABC
是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
．
∵BD是中线，
30
DBC
=
（等腰三角形三线合一）．
又
CE
CD
=
，
CDE
CED
=
．
又
BCD
CDE
CED
=
+
，
1
30
2
CDE
CED
BCD
=
=
=
，
DBC
CED
=
，
4cm
DB
DE
=
=
（等角对等边）．
故答案为4．
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51 /
题型一：等边对等角中折叠问题
1．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，将
ABC
沿DE 折叠，使点B 落在边AC
上的点F 处，若
57
CFD
=
，且
AEF
△
为等腰三角形，则
A
是度数为（ ）
A．49
B．52
C．52或41
D．49或38
【答案】D
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分
AE
AF
=
、AF
EF
=
、AE
EF
=
三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：当AE
AF
=
时，则
(
)
1 180
2
AFE
AEF
A
=
=
−
，
由折叠的性质可得
B
EFD
=
，
∵
90
C
=
，
∴
90
B
EFD
A
=
=
−
∵
57
CFD
=
，
∴
123
AFD
=
，
∴(
)
1 180
90
123
2
A
A
−
+
−=
，
∴
38
A
=
，
当AF
EF
=
时，则
AEF
A
=，
∴
180
2
AFE
A
=
−，
∴180
2
90
123
A
A
−+
−=
，
∴
49
A
=
，
当AE
EF
=
时，则
A
AFE
=
，
∵
90
57
147
180
AFE
EFD
CFD
A
A
+
+
= +
−+
=
，
∴AE
EF
=
不存在；
综上所述，
38
A
=
或49，
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故选：D．
2．（24-25 八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，AC
BC
，将
ABC
沿EF
折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点处，设EF 与AB ，AC 边分别交于点E 、点F ，如果折叠后CDF
与
BDE
均为等腰三角形，则
B
的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．60
D．30或45
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知
识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
先确定CDF
是等腰三角形，得出
45
CFD
CDF
=
=
，因为不确定BDE
是以那两条边为腰的等腰三角
形，故需讨论，①DE
DB
=
，②BD
BE
=
，③DE
BE
=
，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】解：∵CDF
中，
90
C
=
，且CDF
是等腰三角形，
∴CF
CD
=
，
∴
45
CFD
CDF
=
=
，
设
DAE
x
= ，由对称性可知，AF
FD
=
，AE
DE
=
，
∴
22.5
FDA
CFD
=
=
，
2
DEB
x
=
，
①如图1，当DE
DB
=
时，
2
B
DEB
x
=
=
，
∵
CDE
DEB
B
=
+，
∴45
22.5
4
x
x
+
+
=
，
解得：
22.5
x =
，
此时
2
45
B
x
=
=
；
②如图2 ，当BD
BE
=
时，则
180
4
B
x
=
−
，
∵
CDE
DEB
B
=
+，
∴45
22.5
2
180
4
x
x
x
+
+
=
+
−
，
解得
37.5
x =
，
此时
180
4
30
B
x
=
−
=
；
③DE
BE
=
时，则
180
2
B
x
=
−
，
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53 /
由
CDE
DEB
B
=
+得，45
22.5
2
180
2
x
x
x
+
+
=
+
−
，
此方程无解，
∴DE
BE
=
不成立，
综上所述，
45
B
=
或30，
故选：D ．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把一个等腰三角形纸片折叠，使其底角的顶点与顶角的顶点重合，折痕所在
的直线与腰所在直线的夹角为40则这个等腰三角形纸片的底角的度数为 ．
【答案】65或25
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握折叠中折痕是对称点连
线段的垂直平分线是解题的关键，注意分类讨论．
由折叠得折痕垂直平分三角形的一腰，当AB 的中垂线与线段AC 相交时，则可得
40
ADE
=
，由直角三角
形锐角互余求出
BAC
，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；当AB 的中垂线与线段CA 的延
长线相交时，同理可求．
【详解】解：由折叠得折痕垂直平分三角形的一腰，
如图①,当AB 的中垂线与线段AC 相交时，则可得
40
ADE
=
，
∵
90
AED
=
,
∴
90
40
50
A
=
−
=
,
∵AB
AC
=
,
180
65
2
A
B
C
−
=
=
=
；
如图②，当AB 的中垂线与线段CA 的延长线相交时, 则可得
40
ADE
=
，
∵
90
AED
=
,
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∴
90
40
50
DAE
=
−
=
,
∴
180
50
130
BAC
=
−
=
,
∵AB
AC
=
，
180
25
2
BAC
B
C
−
=
=
=
，
∴底角为65或25.
故答案为：65或25．
4．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在
ABC
中，
,
40
AB
AC
C
=
=
，点D 是边BC 上一动点
（点D不与点B 和点C 重合），将
ADC
△
沿AD所在直线折叠得到
ADE
，若
ADE
是等腰三角形，则
BAE
的度数为 ．
【答案】20或40
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解
决问题是关键．根据等边对等角的性质可得
40
B
C
=
=
，进而得到
100
BAC
=
，分三种情况讨论，利用
折叠的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：
,
40
AB
AC
C
=
=
，
40
B
C
=
=
，
180
100
BAC
B
C
=
−−
=
，
由折叠的性质可知，AC
AE
=
，
CAD
EAD
=
，
40
E
C
=
=
，
①如图，当AE
DE
=
时，则
180
70
2
E
DAE
ADE
−
=
=
=
，
2
140
CAE
DAE
=
=
，
40
BAE
CAE
BAC
=
−
=
；
②如图，当AD
DE
=
时，则
40
DAE
E
= =
，
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2
80
CAE
DAE
=
=
，
20
BAE
BAC
CAE
=
−
=
；
③当AD
AE
=
时，则AD
AC
=
，
点D 不与点B 和点C 重合，
此种情况不存在，
综上可知，
BAE
的度数为20或40，
故答案为：20或40．
5．（24-25 八年级下·河南·阶段练习）如图，
ABC
中，AB
BC
=
，
84
ABC
=
，
ABC
的平分线与BC 的
垂直平分线相交于点O，点M 、N 分别在AB 、AC 上，点A 沿MN 折叠后与点O重合，则
ONC
的度数
为 ．
【答案】12
【分析】连接OC ，设
ABC
的平分线与AC 交于点E，求出
48
BAC=
BCA
=
，
42
ABE
CBE
=
=
，
根据OD 垂直平分BC ，得到OB
OC
=
，即
42
OBC
OCB
=
=
，进一步可得
48
42
6
OCE
=
−
= ，利用
BE 垂直平分AC ，得到
6
OAC
OCA
=
= ，由折叠的性质可知：AN
ON
=
，所以
6
NAO
NOA
=
= ，
进一步可得
12
ONC
NAO
NOA
=
+
=
．
【详解】解：连接OC ，设
ABC
的平分线与AC 交于点E，如图
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∵AB
BC
=
，
84
ABC
=
，
∴
180
84
48
2
BAC
BCA
−
=
=
=
，
∵BE 平分
ABC
，
∴
42
ABE
CBE
=
=
，
∵OD 垂直平分BC ，
∴OB
OC
=
，即
42
OBC
OCB
=
=
，
∴
48
42
6
OCE
=
−
= ，
∵AB
BC
=
，BE 平分
ABC
，
由三线合一的性质可得：BE 垂直平分AC ，
∴OA
OC
=
，即
6
OAC
OCA
=
= ，
由折叠的性质可知：AN
ON
=
，
∴
6
NAO
NOA
=
= ，
∴
12
ONC
NAO
NOA
=
+
=
，
故答案为：12
6．（24-25 八年级下·河南郑州·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 是AC 上一点，连接BD，将
BCD
△
沿BD折叠，点C 落在AB 上的点E 处，若
24
A
=
，则
ADE
的度数 ．
【答案】54/54 度
【分析】本题主要考查折叠问题，三角形的内角和定理，等腰三角形的定义及性质；根据等腰三角形的性
质得到
78
ABC
C
=
=
∠
∠
，利用折叠得到
78
BED
C
=
=
∠
∠
，再根据三角形的内角和定理计算求解即
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可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
24
A
=
，
∴
180
78
2
A
ABC
C
−
=
=
=
∠
∠
∠
，
∵将
BCD
△
沿BD折叠，点C 落在AB 上的点E 处，
∴
78
BED
C
=
=
∠
∠
，
∴
180
102
AED
BED
=
−
=
∠
∠
，
∴
180
54
ADE
AED
A
=
−
−=
，
故答案为：54．
7．（24-25 八年级上·湖北宜昌·期末）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB
AC
=
，先将纸片折叠，
使点A 落到点B 点处，折痕为DE（如图乙），再将纸片沿过点B 的直线折叠，点C 恰好与点D 重合，折痕
为BF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，
BAC
的度数为 ．
【答案】36/36 度
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，外角定理，把握折叠的不变
性是解题的关键．
由折叠得，DA
DB
BC
=
=
，而AB
AC
=
，则
,
A
ABD
C
BDC
ABC
=
=
=
，设
A
ABD
=
=
，则
2
BDC
A
ABD
= +
=
，在
ABC
中，由三角形内角和定理得
2
2
180
+
+
=
，即可求解．
【详解】解：由折叠得，DA
DB
BC
=
=
，∵AB
AC
=
，
∴
,
A
ABD
C
BDC
ABC
=
=
=
，
设
A
ABD
=
=
，
则
2
BDC
A
ABD
= +
=
，
∴
2
C
BDC
ABC
=
=
=
，
∵
180
A
ABC
C
+
+
=
，
∴
2
2
180
+
+
=
，
解得：
36
=
，
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∴
36
BAC
=
，
故答案为：36．
8．
（24-25 八年级上·重庆大足·期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C 落在点E 处，
连接BE 交AD于点F ，再将DEF
沿DF 折叠后，点E 落在点G 处，若DG 刚好平分
ADB
，那么
BFG
的
度数是 ．
【答案】36/36 度
【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，等边对等角，三角形外角性质，根据折叠
可得
BDC
BDE
=
∠
∠
，
EDF
GDF
=
，由角平分线的定义可得
2
BDA
GDF
BDG
GDF
=
+
=
，证明
ADB
DBE
=
，得到
2
72
AFB
ADB
=
=
，然后根据
180
BFG
AFB
DFG
=
−
−
可得答案，正确掌握
折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠可知，
BDC
BDE
=
∠
∠
，
EDF
GDF
=
，
∵DG 平分
ADB
，
∴
BDG
GDF
=
，
∴
EDF
BDG
=
，
∴
3
BDE
EDF
GDF
BDG
GDF
=
+
+
=
，
∴
3
2
BDC
BDE
GDF
BDA
GDF
BDG
GDF
=
=
=
+
=
，
，
∵
90
3
2
5
BDC
BDA
GDF
GDF
GDF
+
=
=
+
=
，
∴
18
GDF
=
，
∴
2
2 18
36
ADB
GDF
=
=
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
ADB
DBC
=
，
∵
DBC
DBE
=
，
∴
ADB
DBE
=
，
∴
2
72
AFB
ADB
=
=
，
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∴
72
EFD
DFG
=
=
，
∴
180
36
BFG
AFB
DFG
=
−
−
=
，
故答案为：36．
9．
（23-24 八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，ABC
中，AB
AC
=
，
40
B
=
，点D 是BC 上一动点，将
ABD
△
沿AD折叠得到
ADE
，当
ADE
与
ABC
重叠部分是直角三角形时，
BAD
的度数为 ．
【答案】25或50或75
【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，
采用分类讨论的思想是解此题的关键．
分三种情况：当
90
ADC
=
时；当
90
AFD
=
时；当
90
AHD
=
时；分别求解即可得出答案．
【详解】解：如图，当
90
ADC
=
时，
40
B
=
，
90
90
40
50
BAD
B
；
如图，当
90
AFD
=
时，
由折叠的性质可得：ABD
AED
≌
，
BAD
EAD
=
，
40
B
=
，
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90
50
BAF
B
=
−=
，
1
25
2
BAD
BAF
=
=
；
如图，当
90
AHD
=
时，
由折叠的性质可得：
40
B
E
=
=
，
ADB
ADE
=
，
AB
AC
=
，
40
B
C
=
=
，
90
50
HDC
C
=
−
=
，
(
)
1 180
65
2
ADB
ADE
HDC
=
=
−
=
，
180
75
BAD
B
ADB
=
−−
=
；
综上所述，
BAD
的度数为25或50或75，
故答案为：25或50或75．
题型二：等边对等角中最值问题
1．（24-25 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形ABCD中，
122
90
BAD
B
D
=
=
=
，
，
在BC
CD
、
上分别找一点M、N，当AMN
周长最小时，
MAN
的度数为（ ）
A．58
B．60
C．62
D．64
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线
是解决最短的关键．
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延长AB 到A使得BA
AB
=
，延长AD到A使得DA
AD
=
，连接A A
与
,
BC CD 分别交于点
,
M N ，此时
AMN
周长最小，推出
(
)
2
AMN
ANM
A
A
+
=
+
，进而得出
MAN
的度数．
【详解】解：如图，延长AB 到A使得BA
AB
=
，延长AD到A使得DA
AD
=
，连接A A
与
,
BC CD 分别交
于点
,
M N ．
90
ABC
ADC
=
=
，
∴,
A A关于BC 对称，
,
A A关于CD对称，
,
BA
BA MB
AB
=
⊥
，
MA
MA
=
，
同理：NA
NA
=
，
此时AMN
的周长
MA
NA
MN
MA
NA
MN
A A
=
+
+
=
+
+
=
，AMN
的周长最小，
∵MA
MA
=
，NA
NA
=
，
,
A
MAB
A
NAD
=
=
，
2
,
2
AMN
A
MAB
A
ANM
A
NAD
A
=
+
=
=
+
=
(
)
2
AMN
ANM
A
A
+
=
+
，
122
BAD
=
，
180
58
A
A
BAD
+
=
−
=
，
2 58
116
AMN
ANM
+
=
=
，
180
116
64
MAN
=
−
=
，
故选：D．
2．
（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知
35
AOB
=
，点P 是
AOB
内部一点，点M、N 分别是OA、
OB 上的动点．当PMN
的周长最小时，
MPN
的度数为（ ）
A．140
B．110
C．90
D．70
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【答案】B
【分析】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路线问题等知识．分别
作点P关于OA的对称点E，关于OB 的对称点F，连接EF 分别交OA
OB
、
于点L、I，连接EM
FN
PE
PF
、
、
、
，
由EM
PM
FN
PN
=
=
，
，可知当当点M 与点L 重合，同时点N 与点I 重合时，PM
MN
PN
EF
+
+
=
，此时
PMN
的周长最小，因为
2
70
EOF
AOB
=
=
，所以
110
MPN
OEL
OFI
=
+
=
，于是得到问题的答
案．
【详解】解：分别作点P 关于OA的对称点E，关于OB 的对称点F，连接EF 分别交OA
OB
、
于点L、I，连
接EM
FN
PE
PF
、
、
、
，
∵OA垂直平分PE，OB 垂直平分PF ，
∴EM
PM
FN
PN
=
=
，
，
∵EM
MN
FH
EF
+
+
，
∴PM
MN
PN
EF
+
+
，
∴当点M 与点L 重合，同时点N 与点I 重合时，PM
MN
PN
EF
+
+
=
，此时PMN
的周长最小，
连接OE
OF
OP
、
、
，则OE
OF
OP
=
=
，
∴
OPE
OEP
OPF
OFP
=
=
，
，
∵
LPE
LEP
IPF
IFP
=
=
，
，
∴
OPE
LPE
OEP
LEP
−
=
−
，
OPF
IPF
OFP
IFP
−
=
−
，
∴
OPL
OEL
OPI
OFI
=
=
，
，
∴
MPN
LPI
OPL
OPI
OEL
OFI
=
=
+
=
+
，
∵
EOA
POA
FOB
POB
=
=
，
，
∴
2
2
2
2 35
70
EOF
POA
POB
AOB
=
+
=
=
=
，
∴
180
180
70
110
MPN
OEL
OFI
EOF
=
+
=
−
=
−
=
，
故选：B．
3．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点D 为AB 上一定点，
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点E、F 分别为边AC
BC
、
上的动点，当DEF
的周长最小时，则
FDE
度数（ ）
A．45
B．60
C．90
D．135
【答案】C
【分析】作D 关于AC 的对称点D¢，D 关于BC 的对称点D，连接D D
交AC 于E 交BC 于F，则此时DEF
的周长最小，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，正确的作出图形是解题的关
键
【详解】解：作D关于AC 的对称点D¢，D关于BC 的对称点D，连接D D
交AC 于E交BC 于F，则DD
AC
⊥
，
DD
BC
⊥
，
则此时DEF
的周长最小（三点共线），
∵AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
∴
45
B
=
，
∴
45
BDD
=
，
∴
135
D DD
=
，
∴在DD D
中，
45
D
D
+
=
，
∵ED
ED
=
，DF
D F
=
，
∴
D
DDE
=
，
D
D DF
=
，
∴
45
D DF
DDE
+
=
，
∴
135
45
90
FDE
−
=
=
，
故选：C．
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64 /
4．（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）在
ABC
中，AC
BC
=
，
90
ACB
=
，D 、E 分别为边AB 、AC 上
的动点，且满足
=
AD
CE ，当CD
BE
+
最小时，
CDB
的度数为（ ）
A．60
B．67.5
C．75
D．90
【答案】B
【分析】过点A 作AF
AB
⊥
于点A，且AF
AC
=
，连接
,
FD CF ，设CF 与AB 的交点为G，证明
(
)
SAS
AFD
CBE
≌
，得到FD
BE
=
，根据CD
FD
CF
+
，得到当
,
,
D F C 三点共线时，CD
DF
+
取得最小
值即CD
BE
+
取得最小值，解答即可．
【详解】解：过点A 作AF
AB
⊥
于点A，且AF
AC
=
，连接
,
FD CF ，设CF 与AB 的交点为G，
∵AC
BC
=
，
90
ACB
=
，
∴
45
CAB
=
，AF
CB
=
∵
=
AD
CE ，
90
ECB
DAF
=
=
，
∴
(
)
SAS
AFD
CBE
≌
，
∴FD
BE
=
，
∵CD
FD
CF
+
，
∴CD
BE
CF
+
，
∴当
,
,
D F C 三点共线时，CD
DF
+
取得最小值即CD
BE
+
取得最小值，
故当点D 与点G 重合时，CD
BE
+
取得最小值，
根据题意，得
90
45
135
CAF
=
+
=
，
∵AF
AC
=
，
∴
180
22.5
2
CAF
AFC
−
=
=
，
∴
67.5
AGF
=
，
∴
67.5
CGB
=
，
∴
67.5
CDB
=
，
故选：B．
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5．
（24-25 八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，
146
BAE =
∠
，
90
B
E
= =
，AB
BC
=
，
AE
DE
=
．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN
的周长最小时，则
AMN
ANM
+
的度数为（ ）
A．68
B．76
C．84
D．96
【答案】A
【分析】本题考查了最短路线问题,垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用．延长AB 至
A，使A B
AB
=
，延长AE 至A，使A E
AE
=
，则BC 垂直平分AA，DE 垂直平分AA，所以AM
AM
=
，
A N
AN
=
，
ABC
的周长为AM
MN
AN
+
+
，要使其周长最小，即使A M
MN
A N
+
+
最小，设
MAA
x
= ，
则
2
AMN
x
=
，设
NAA
y
=
，则
2
ANM
y
=
，在
AA A
△
中，利用三角形内角和定理，可以求出
34
x
y
+
=
，
进一步可以求出
AMN
ANM
+
的值．
【详解】解：如图，延长AB 至A，使A B
AB
=
，
延长AE 至A，使A E
AE
=
，
则BC 垂直平分AA，DE 垂直平分AA，
AM
A M
=
，AN
A N
=
，
根据两点之间，线段最短，
当A，M ，N ，A四点在一条直线时，AM
MN
NA
+
+
最小，
则AM
MN
AN
+
+
的值最小，
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66 /
即AMN
的周长最小，
AM
AM
=
，AN
A N
=
，
可设
MAA
MA A
x
=
= ，
NAA
NA A
y
=
=
，
在
AA A
△
中，
180
180
146
34
x
y
BAE
+
=
−
=
−
=
，
2
AMN
MAA
MA A
x
=
+
=
，
2
ANM
y
=
，
2
2
68
AMN
ANM
x
y
+
=
+
=
，
故选：A．
6．（24-25 八年级上·陕西商洛·期末）如图，点P 在
MON
内，
150
MON
=
，OM
ON
、
的垂线PA
PB
、
相
交于点P，E、F 分别是AP
PB
、
上的动点，连接OE
OF
EF
、
、
，当EOF
的周长最小时，
EOF
的度数为
．
【答案】120
【分析】作点O 关于AP 的对称点O，关于BP的对称点O，由轴对称的性质可得点E 和点F 在线段O O
上
时，EOF
的周长最小，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得
(
)
(
)
2
2 180
OEF
OFE
OO E
OO F
MON
+
=
+
=
−
，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，作点O 关于AP 的对称点O，连接O E
，作点O 关于BP的对称点O，连接O F
，
则O E
OE
=
，O F
OF
=
，
EOF
的周长
OE
OF
EF
O E
O F
EF
O O
=
+
+
=
+
+
，
即点E 和点F 在线段O O
上时，EOF
的周长最小，如图：
O E
OE
=
，O F
OF
=
，
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OO E
O OE
=
，
OO F
O OF
=
，
(
)
(
)
(
)
2
2 180
2
180
150
60
OEF
OFE
OO E
OO F
MON
+
=
+
=
−
=
−
=
，
∴
(
)
180
120
EOF
OEF
OFE
=
−
+
=
故答案为：120．
7．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，等腰
ABC
，AB
AC
=
，
70
BCA
=
，AD
BC
⊥
于点D，点P、
Q 分别为AD
AB
、
上的动点，联结BP
PQ
、
，当BP
PQ
+
最小时，
PBD
= ．
【答案】20
【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，理解等腰三角形的性质和垂线
段最短是解题的关键．过点C 作CQ
AB
⊥
，垂足为Q，根据等腰三角形的性质可得AD垂直平分BC ，因此
BP
CP
=
，故当BP
PQ
+
最小时，即CP
PQ
+
最小，此时C、P、Q 共线，且CQ
AB
⊥
，根据三角形的内角
和与等腰三角形的两底角相等可求得
70
ACB
ABC
=
=
，
50
ACQ
=
，从而
20
QCB
PBD
=
=
．
【详解】解：如图，过点C 作CQ
AB
⊥
，垂足为Q，
∵等腰
ABC
，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
于点D，
∴AD垂直平分BC ，
∴BP
CP
=
，
当BP
PQ
+
最小时，即CP
PQ
+
最小，
∴此时C、P、Q 共线，且CQ
AB
⊥
，
∵
70
BCA
=
，
∴
70
BCA
ABC
=
=
，
∴
180
40
BAC
BCA
ABC
=
−
−
=
，
∴
50
ACQ
=
，
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∴
20
QCB
PBD
=
=
．
故答案为：20．
8．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
40
B
=
，点M，N 为AB 边上的
两个定点，点P，Q 为
,
AC BC 边上的两个动点．在点P，Q 运动过程中，当四边形MNPQ 的周长最小时，
NPQ
MQP
+
的大小为 ．
【答案】100/100 度
【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形
的内角和、外角和的综合运用是解题的关键．
根据题意，作点N 关于AC 的对称点D，作点M 关于BC 的对称点E，连接DE 交于AC ，BC 点
,
P Q
，则
,
DP
NP MQ
EQ
=
=
，根据两点之间线段最短可得，DP
P Q
EQ
+
+
的值最小，从而得到四边形MNPQ 的周
长最小值为：MN
PD
P Q
QE
+
+
+
，根据三角形内角和定理可得
50
C
=
，从而得到1
3 130
+=
，再根
据三角形的外角的性质可得
(
)
(
)
(
)
2 90
2
2 90
4
360
2
2
4
NP Q
MQ P
+
=
−
+
−
=
−
+
，即可求解．
【详解】解：如图，作点N 关于AC 的对称点D，作点M 关于BC 的对称点E，连接DE 交于AC ，BC 点
,
P Q
，
则
,
DP
NP MQ
EQ
=
=
，
∴根据两点之间线段最短可得，DP
P Q
EQ
+
+
的值是MQ
PQ
NP
+
+
的最小值，
∴四边形MNPQ 的周长为MN
PN
PQ
QM
MN
DP
P Q
EQ
+
+
+
+
+
+
，
∴四边形MNPQ 的周长最小值为：MN
DP
P Q
EQ
+
+
+
，
在Rt
ABC
△
中，∵
90
A
=
，
40
B
=
，
∴
50
C
=
，
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在CPQ
中，1
3
180
C
++
=
，
∴1
3 130
+=
，
由对称的性质得：
,
NDP
DNP
EMQ
MEQ
=
=
，
90
BAC
MPQ
=
=
，
∴
2
,
2
NP Q
NDP
DNP
NDP
MQ P
EMQ
MEQ
MEQ
=
+
=
=
+
=
，
90
2
,90
4
NDP
MEQ
−=
−=
，
∴
(
)
(
)
2 90
2 ,
2 90
4
NP Q
MQ P
=
−
=
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
2 90
2
2 90
4
360
2
2
4
NP Q
MQ P
+
=
−
+
−
=
−
+
，
∵
1
2,
3
4
=
= ，
∴
(
)
(
)
360
2
2
4
360
2
1
3
360
2 130
100
NP Q
MQ P
+
=
−
+
=
−
+
=
−
=
．
即当四边形MNPQ 的周长最小时，
NPQ
MQP
+
的大小为100．
故答案为：100
9．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰
ABC
中，AB
AC
=
，
116
BAC
=
，点D，E 分别为
边
,
AB BC 上的动点，且AD
BE
=
，连接
,
AE CD ，当AE
CD
+
的值最小时，
AEB
的大小是 ．
【答案】132/132 度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．将
ADC
△
拼接
到
BEF
△
，连接AF 交BC 于点G ，推出AE
CD
AE
EF
AF
+
=
+
，当点E 与点G 重合时，AE
CD
+
的值最
小，据此求解即可．
【详解】解：如图，将
ADC
△
拼接到
BEF
△
，连接AF 交BC 于点G ，
则ADC
BEF
≌
，
CD
EF
=
，AC
BF
=
，
116
EBF
DAC
=
=
，
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70 /
AE
CD
AE
EF
AF
+
=
+
，
当A，E ，F 三点共线，即点E 与点G 重合时，AE
CD
+
的值最小，
AB
AC
=
，
116
BAC
=
，
180
116
32
2
ABC
ACB
−
=
=
=
，
32
116
148
ABF
=
+
=
，AB
AC
BF
=
=
，
16
BAF
BFA
=
=
，
180
32
16
132
AGB =
−
−
=
∠
即AE
CD
+
最小时，
AEB
的度数为132．
故答案为：132．
题型三：等边三角形的性质中多结论问题
1．（24-25 八年级上·新疆伊犁·期中）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别
作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD与BE 交于点O，AD与BC 交于点P ，BE 与CD交于点Q ，连接
PQ ．以下五个结论：①AD
BE
=
；②AP
BQ
=
；③
60
AOB
=
；④DE
DP
=
；⑤CPQ
是正三角形．其
中正确的结论有（ ）
A．①②③⑤
B．①③④⑤
C．①②⑤
D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；由于
ABC
和CDE
是等边三角形，可
知AC
BC
=
，CD
CE
=
，
60
ACB
DCE
=
=
，从而证出
≌
ACD
BCE
，可推知AD
BE
=
，①正确；由
≌
ACD
BCE
得
CBE
DAC
=
，加之
60
ACB
DCE
=
=
，AC
BC
=
，得到
(
)
ASA
CQB
CPA
≌
，再根
据
60
PCQ
=
推出
PCQ
△
为等边三角形，⑤正确；同理得：
ACP
BCQ
△
≌△
，即可得出②正确；根据
60
DQE
ECQ
CEQ
CEQ
=
+
=
+
，
60
CDE
=
，可知
DQE
CDE
，可知④错误；利用等边三角形
的性质，BC
DE
∥
，再根据平行线的性质得到
CBE
DEO
=
，于是可知③正确．
【详解】解：∵
ABC
和CDE
是等边三角形，
∴AC
BC
=
，CD
CE
=
，
60
ACB
DCE
=
=
，
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∴
ACD
BCE
=
，
在ACD
和BCE
中，
AC
BC
ACD
BCE
CD
CE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ACD
BCE
△
≌△
，
∴AD
BE
=
，
ADC
BEC
=
，①正确；
180
2 60
60
DCP
ECQ
=
−
=
=
，
在
CDP
△
和CEQ
中，
ADC
BEC
DCP
ECQ
CD
CE
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
CDP
CEQ
≌
，
∴CP
CQ
=
，DP
EQ
=
，
∴CPQ
是等边三角形，⑤正确；
同理得：
ACP
BCQ
△
≌△
，
∴AP
BQ
=
，②正确；
∵
60
60
DQE
DCE
CEQ
CEQ
=
+
=
+
，
60
CDE
=
，
∴
DQE
CDE
∴DE
QE
，
∵DP
QE
=
，
∴DE
DP
，故④错误；
∵
60
ACB
DCE
=
=
，
∴
60
BCD
=
，
∵
DCE
△
是等边三角形，
60
EDC
BCD
=
=
，
∴BC
DE
∥
，
∴
CBE
DEO
DAC
=
=
，
∴
60
AOB
DAC
BEC
BEC
DEO
DEC
=
+
=
+
=
=
，
∴③正确；
综上，正确的有①②③⑤；
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故选：A．
2．（24-25 七年级下·广东揭阳·期末）如图，ABC
的三条边相等，三个内角也相等，且AD
BF
CE
=
=
，连
接DE ，DF ，EF ，CD与BE交于H 点，以下结论：①ADE
BFD
≌
；②BDE
与
CFD
△
的面积相等；
③BE
CD
=
；④
60
EHC
=
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质.
根据等边三角形的性质以及根据SAS即可证明ADE
BFD
≌
；再证
BDE
CFD
△
≌△
，可得BDE
与
CFD
△
的面积相等和BE
CD
=
，也得到
DBE
FCD
=
，由外角与内角的关系就可以得出结论．
【详解】证明：∵ABC
为等边三角形，AD
BF
CE
=
=
，
∴AE
BD
CF
=
=
，
∵
A
DBF
=
，
∴ADE
BFD
≌
（SAS），所以①正确；
∴DE
FD
=
，
ADE
BFD
=
，
∴
BDE
CFD
=
，
∵BD
CF
=
∴
BDE
CFD
△
≌△
，
∴BDE
与
CFD
△
的面积相等，（故②正确）；BE
CD
=
，（故③正确）；
DBE
FCD
=
，
∴
EHC
HBC
FCD
=
+
HBC
DBE
=
+
ABC
=
60
=
，故④正确；
故选：D．
3．（24-25 七年级下·上海·期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A，E 重合），在AE 同侧分别作等边
ABC
和等边ECD
，AD与BE交于点O，AD与BC 交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ ．以下结论
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不正确的是（ ）
A．AD
BE
=
B．DE
DP
=
C．AP
BQ
=
D．
60
AOB
=
【答案】B
【分析】通过证明
(
)
ACD
BCE SAS
≌
，得到AD
BE
=
可判断A 正确，通过证明
(
)
CDP
CEQ ASA
≌
，得
到DP
EQ
=
，可判断B 错误；证明CQB
CPA ASA
≌
（
），得到BQ
AP
=
，故判定结论C 正确；利用
60
AOB
OAE
AEO
CBE
AEO
ACB
=
+
=
+
=
=
，可判断D 正确．
【详解】解：由于ABC
和ECD
是等边三角形，
可知AC
BC
=
，CD
CE
=
，
60
ACB
DCE
=
=
，
∴
60
BCD
=
，
120
ACD
BCE
=
=
，
∴
(
)
ACD
BCE SAS
≌
，
∴AD
BE
=
，
ADC
BEC
=
，
可判断A 正确；
∵
60
DCP
ECQ
=
=
，CD
CE
=
，
∴
(
)
CDP
CEQ ASA
≌
，
∴DP
EQ
=
，
∵DE
EQ
，
∴DE
DP
，可判断B 错误；
∵ACD
BCE
≌
，
∴
DAC
EBC
=
，
又∵
60
ACP
BCQ
=
=
，
∴CQB
CPA ASA
≌
（
），
∴BQ
AP
=
，故结论C 正确；
∵
60
AOB
OAE
AEO
CBE
AEO
ACB
=
+
=
+
=
=
，可判断D 正确．
故选： B．
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74 /
4．（24-25 八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧
分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，连接AD，BE ，AD与BE 交于点O，AD与BC 交于点P ，BE
与CD交于点Q ，连接PQ ．给出下列结论：①AD
BE
=
；②
50
AOB
=
；③APC
BQC
≌
．其中正确的
有 ．（填序号）
【答案】①③
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60，可以证明ACD
与BCE
全等，根据全等三角形
对应边相等可得AD
BE
=
，所以①正确，对应角相等可得
CAD
CBE
=
，运用三角形内角和性质列式，
即可得出
60
AOB
=
，然后证明
ACP
△
与
BCQ
△
全等，本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判
定与性质，以及三角形内角和性质，难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
【详解】解：∵在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，
∴AC
BC
=
，CD
CE
=
，
60
ACB
ECD
=
=
，
∴180
180
ECD
ACB
−
=
−
，
即
ACD
BCE
=
，
在ACD
与BCE
中，
AC
BC
ACD
BCE
CD
CE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ACD
BCE
△
≌△
∴AD
BE
=
，故①正确；
∴
CAD
CBE
=
，
∵∠
∠
APC
BPO
=
，
∴180
180
BPO
CBE
APC
CAD
−
−
=
−
−
即
60
AOB
ACB
=
=
，
故②是错误的；
∵
60
ACB
ECD
=
=
（已证），
∴
180
60
2
60
BCQ
=
−
=
，
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75 /
∴
60
ACB
BCQ
=
=
，
在
ACP
△
与
BCQ
△
中，
CAD
CBE
AC
BC
ACB
BCQ
=
=
=
，
∴
ASA
ACP
BCQ
≌
（
）
故③小题正确；
故答案为：①③．
5．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B 三点在同一条直线上，
DAC
△
和EBC
都是等边三角
形，AE ，BD分别与CD，CE 交于点M ，N ，有如下结论：①
ACE
DCB
≌
；②
DAE
ABD
=
；③AC
DN
=
；
④
=
EM
BN其中正确结论的是（填序号） ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定
理是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得AC
DC
=
、
60
ACD
BCE
=
=
，CE
BC
=
，再说明
ACE
DCB
=
，即可证
明
ACE
DCB
≌
，即可判断①；然后可得
CAE
CDB
=
，再分别表示出
DAE
和
ABD
，即可判定②
正确；求出
60
ACM
DCN
=
=
，证明
(
)
ASA
ACM
DCN
≌
可判定③；由
(
)
ASA
ACM
DCN
≌
可得
AM
DN
=
，然后结合AE
DB
=
可得
=
EM
BN，可判定④．
【详解】解：∵
DAC
△
和EBC
均为等边三角形，
∴
60
AC
DC
ACD
BCE
CE
BC
=
=
=
=
，
，
，
∴
ACD
DCE
DCE
BCE
+
=
+
，即
ACE
DCB
=
，
∴
(
)
SAS
ACE
DCB
≌
，故①正确；
∴
CAE
CDB
=
，
∵
60
DAE
DAC
CAE
CAE
=
−
=
−
，
60
ABD
ACD
CDB
CDB
=
−
=
−
，
∴
DAE
ABD
=
，故②正确；
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∵
60
ACD
BCE
=
=
，
∴
60
DCN
=
，
∴
60
ACM
DCN
=
=
，
又∵AC
DC
CAE
CDB
=
=
，
，
∴
(
)
ASA
ACM
DCN
≌
，
∴DN
AM
CM
CN
=
=
，
，
∵AM
AC
，
∴DN
AC
即③错误；
∵
ACE
DCB
△
△
≌
，
∴AE
DB
=
，
∴AE
AM
DB
DN
−
=
−
，即
=
EM
BN，则④正确．
综上，正确结论的是①②④．
故答案为：①②④．
6．（24-25 八年级下·河北保定·期中）如图，ABC
和CDE
都是等边三角形，连接AD、BE 交于点P，AD、
BC 与BE 、CD分别交于M、N，则下列说法中：①AD
BE
=
；②
60
APB
=
；③当A、C、E 三点共线
时，CM
CN
=
；④点C 在
APE
的角平分线上．正确的有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的
定义及性质，证明
(
)
SAS
ACD
BCE
≌
即可判断①；由三角形外角的定义及性质即可判断②；证明
(
)
ASA
ACM
BCN
≌
即可判断③；根据全等三角形的性质结合三角形面积公式得出CG
CH
=
，再由角平
分线的判定定理即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
ABC
和CDE
都是等边三角形，
∴AC
BC
=
，CD
CE
=
，
60
ACB
DCE
=
=
，
∴
ACB
BCD
DCE
BCD
+
=
+
，即
ACD
BCE
=
，
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∴
(
)
SAS
ACD
BCE
≌
，
∴AD
BE
=
，
DAC
CBE
=
，故①正确；
∴
60
APB
PAE
AEP
CBE
AEP
ACB
=
+
=
+
=
=
，故②正确；
当A、C、E 三点共线时，
180
60
BCD
ACB
DCE
ACM
=
−
−
=
=
，
∵AC
BC
=
，
CAM
CBN
=
，
∴
(
)
ASA
ACM
BCN
≌
，
∴CM
CN
=
，故③正确；
如图：作CG
AD
⊥
于G ，CH
BE
⊥
于H ，
∵
(
)
SAS
ACD
BCE
≌
，
∴AD
BE
=
，
ACD
BCE
S
S
=
，
∴1
1
2
2
AD CG
BE CH
=
，
∴CG
CH
=
，
∴点C 在
APE
的角平分线上，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
7．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，
ABC
中，
A
ACB
=
，CP 平分
ACB
，BD
CD
，
分别
是
ABC
的两外角的平分线，下列结论中：①CP
CD
⊥
；②
1
2
P
A
=
；③BC
CD
=
；④
1
90
2
D
A
=
−
；
⑤PD
AC
∥
．其中正确的结论是 （直接填写序号）．
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【答案】①②④⑤
【分析】根据邻补角平分线性质可判断①；根据三角形外角与角平分线定义列出等式
2
2
PBG
A
PCB
PBG
P
PCB
= +
= +
，
，可判断②，根据外角性质与角平分线定义，结合三角形内
角和
1
1
1
90
2
2
2
BC
BCD
B
C
F
A
BD
C E
+
=
+
=
+
可判断④，利用等腰三角形性质与外角性质，可得
DBC
A
= ，可得
2
0
1
9
D
DBC
−
=
，得出2
180
D
DBC
+
=
，当
60
A
=
时，
60
D
DBC
=
=
成
立，可判断③，根据
DBC
A
ACB
= =
，利用平行线判定定理可判断⑤．
【详解】解：∵CP 平分
ACB
，CD平分
BFC
，
∴
1
1
2
2
PCB
ACB
BCD
BCF
=
=
∠
，
∠
，
∵
180
ACB
BCF
+
=
，
∴
(
)
1
1
1
90
2
2
2
PCD
PCB
BCD
ACB
BCF
ACB
BCF
=
+
=
+
=
+
=
，
∴CP
CD
⊥
，故①正确；
延长CB ，如图所示：
∵BD平分
CBE
，
CBE
ABH
=
，
∴BP平分
ABH
，
∴
PBH
BCP
P
=
+，
∵
2
2
A
PCB
PBH
+
=
，
∴
2
2
2
A
PCB
BCP
P
+
=
+ ，
∴
2
A
P
= ，
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即：
1
2
P
A
=
，故②正确；
假设BC
CD
=
，
∴
CBD
D
=
，
∵
EBD
CBD
=
，
∴
EBD
D
=，
∴AB
CD
∥
，
∴
DCF
A
= ，
∵
ACB
A CD
= ，
平分
BCF
，
∴
ACB
BCD
DCF
=
=
，
∴
60
A
ACB
=
=
，
∴
ABC
是等边三角形，
而
ABC
中，
A
ACB
=
，
∴
ABC
是等腰三角形，
∴假设不成立，故③错误；
∵BD
CD
、
分别是
ABC
的两个外角
EBC
FCB
、
的平分线，
∴
EBD
DBC
BCD
DCF
=
=
，
，
∴
180
DBC
DCB
D
+
+
=
，
∴
180
A
ABC
ACB
+
+
=
，
而
180
2
ABC
DBC
=
−
，
180
2
ACB
DCB
=
−
，
∴
180
2
180
2
180
A
DBC
DCB
+
−
+
−
=
，
∴
(
)
2
180
A
DBC
DCB
−
+
= −
，
∴
(
)
2 180
180
A
D
−
−
= −
，
∴
2
180
A
D
−
=
，
∴
1
90
2
D
A
=
−
，故④正确；
∵
EBC
A
ACB
A
ACB
= +
=
，
，
∴
1
2
A
EBC
=
，
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∵
1
2
EBD
EBC
=
，
∴
EBD
A
= ，
∴PD
AC
∥
，故⑤正确；
综上分析可知，确的结论是①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
题型四：等边对等角中综合证明题型
1．（24-25 七年级下·内蒙古包头·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C
重合），以AD为一边在AD的右边作
ADE
，使AD
AE
DAE
BAC
=
=
，
，连接CE ．
(1)如图1，当点D在线段BC 上时，如果
90
BAC
=
，
①求证：
ABD
ACE
≌
△
△
；
②
BCE
的度数为___________；
(2)设
BAC
BCE
=
=
，
．
①如图2，当点D 在线段BC 上移动时，
，
之间有怎样的数量关系？请说明理由：
②当点D在线段BC 的反向延长线上移动时，，之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．
【答案】(1)①见解析；②90
(2)①
180
+
=
，理由见解析；②
=
【分析】（1）①由“SAS”可证BAD
CAE
≌
，
②根据全等三角形的性质可得
45
ABC
ACE
=
=
，可求
BCE
的度数；
（2）①由“SAS”可证BAD
CAE
≌
得出
ABD
ACE
=
，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证BAD
CAE
≌
得出
ABD
ACE
=
，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】（1）①证明：∵
90
BAC
=
，
∴
90
DAE
BAC
=
=
，
∵AB
AC
AD
AE
=
=
，
，
∴
45
45
B
ACB
ADE
AED
=
=
=
=
，
，
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∵
DAE
BAC
=
，
∴
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
SAS
BAD
CAE
△
≌△
（
），
②∵BAD
CAE
≌
∴
45
ACE
B
= =
，
∴
90
BCE
ACB
ACE
=
+
=
，
（2）①
180
+
=
，
理由如下：∵AB
AC
AD
AE
=
=
，
，
DAE
BAC
=
，
∴
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
SAS
BAD
CAE
△
≌△
（
），
∴
ACE
B
= ，
∴
ACE
ACB
B
ACB
+
= +
，
∵
BCE
ACB
ACE
=
+
=
，
∴
B
ACB
+
=
，
∵
BAC
=
，
180
BAC
B
ACB
++
=
，
∴
180
+
=
；
②如图，当点D 在BC 的反向延长线上时，
=
，
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理由如下：∵
DAE
BAC
=
，
∴
DAB
BAE
EAC
BAE
+
=
+
，
∴
DAB
EAC
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
SAS
BAD
CAE
△
≌△
（
），
∴
ABD
ACE
=
，
∵
ABD
BAC
ACB
ACE
BCE
ACB
=
+
=
+
，
，
∴
BAC
BCE
=
，
∵
BAC
BCE
=
=
，
，
∴
=
．
2．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在
ABC
中，若
10
AB =
，
6
AC =
，则BC 边上的中线AD的取值
范围是_____；
（2）如图②，在
ABC
中，D 是BC 边上的中点，DE
DF
⊥
于点D
DE
，
交AB 于点E
DF
，
交AC 于点F，
连接EF ，求证：BE
CF
EF
+
；
（3）如图③，在四边形ABCD中，
180
B
D
+
=
，CB
CD
=
，
140
BCD
=
，以C 为顶点作一个70角，
角的两边分别交AB ，AD于E，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2
8
AD
；（2）见解析；（3）BE
DF
EF
+
=
，证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作
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辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
（1）延长AD至E ，使DE
AD
=
，连接BE ，证明
(
)
SAS
BDE
CDA
≌
，得出
6
BE
AC
=
=
，再利用三角形
三边关系即可得出答案；
（2）延长FD 至点M ，使DM
DF
=
，连接BM ，EM ，同（1）得，
(
)
SAS
BMD
CFD
≌
，得出BM
CF
=
再证明
(
)
SAS
EDM
EDF
≌
，得出EM
EF
=
，最后再利用三角形三边关系即可得出答案；
（3）延长AB 至点N ，使BN
DF
=
，连接CN ，证明
(
)
SAS
NBC
FDC
≌
得出CN
CF
NCB
FCD
=
=
，
，
再证明
(
)
SAS
NCE
FCE
≌
，得出EN
EF
=
，即可得证．
【详解】（1）解：延长AD至E ，使DE
AD
=
，连接BE ，如图1 所示：
∵AD是BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
在BDE
和CDA
中，
BD
CD
BDE
CDA
DE
AD
=
=
=
∴
(
)
SAS
BDE
CDA
≌
，
∴
6
BE
AC
=
=
，
在ABE
中，由三角形的三边关系得：AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，
∴10 6
10
6
AE
−
+ ，即4
16
AE
，
∴2
8
AD
；
故答案为：2
8
AD
；
（2）证明：延长FD 至点M ，使DM
DF
=
，连接BM ，EM ，如图所示，
同（1）得，
(
)
SAS
BMD
CFD
≌
，
BM
CF
=
DE
DF
⊥
，DM
DF
=
，DE
DE
=
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∴
(
)
SAS
EDM
EDF
≌
，
EM
EF
=
在BME
中，由三角形的三边关系得BE
BM
EM
+
，
BE
CF
EF
+
；
（3）BE
DF
EF
+
=
，
证明如下：延长AB 至点N ，使BN
DF
=
，连接CN ，如图所示，
，
180
ABC
D
+
=
，
180
NBC
ABC
+
=
NBC
D
=
在NBC
和
FDC
△
中，
BN
DF
NBC
D
BC
DC
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
NBC
FDC
≌
，
CN
CF
=
，
NCB
FCD
=
140
BCD
=
，
70
ECF
=
70
BCE
FCD
+
=
，
70
ECN
ECF
=
=
在
NCE
△
和
FCE
△
中，
CM
CF
ECN
ECF
BC
DC
=
=
=
∴
(
)
SAS
NCE
FCE
≌
，
EN
EF
=
．
BE
BN
EN
+
=
，
BE
DF
EF
+
=
．
3．
（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知：如图1，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，CD
AB
∥
，
P 为BC 边上一点，过点P 作AP
PE
⊥
，PE交直线CD于点E．求证：AP
PE
=
；
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（2）如图2，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，CD
AB
∥
，P 为BC 边上一点，过点P 作
APE
BAC
=
，PE交
直线CD于点E．求证：AP
PE
=
；
（3）如图3，
ABC
中，直线DF 过点C，BC 平分
ACF
，P 为BC 边上一点，连接AP ，若
ACP
的度数
为，
CAP
的度数为，且0
90
+
，则直线DF 上必有一点E，使得AP
PE
=
，请计算
APE
= ．（用
,
的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）180
2
−
或2
2
+
【分析】（1）过点P 作PF
BC
⊥
交AC 于点F，证明APF
EPC
≌
，根据全等三角形的性质得出答案即可；
（2）以点P 为圆心，PC 为半径画弧，交AC 于点F，得出PC
PF
=
，证明
(
)
ASA
PAF
EPC
≌
，根据全
等三角形的性质得出答案即可；
（3）分两种情况讨论：当点E 在射线CD上时，当点E 在射线CF 上时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）证明：过点P 作PF
BC
⊥
交AC 于点F，如图所示：
∵AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
∴
1 90
45
2
B
ACB
=
=
=
，
∵PF
BC
⊥
，
∴
90
FPC
=
，
∴
135
AFP
FPC
ACB
=
+
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
90
ACD
BAC
=
=
，
∴
90
45
135
PCE
=
+
=
，
∴
=
AFP
PCE，
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∵
90
FPC
=
，
45
FCP
=
，
∴FCP
为等腰直角三角形，
∴PF
PC
=
，
∵AP
PE
⊥
，
∴
90
APE
=
，
∴
90
APF
FPE
FPE
EPC
+
=
+
=
，
∴
APF
EPC
=
∴APF
EPC
≌
，
∴AP
PE
=
；
（2）以点P 为圆心，PC 为半径画弧，交AC 于点F，如图所示：
则PC
PF
=
，
∴
PCF
PFC
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
B
PCF
=
，
∴
PFC
B
PCF
= =
，
∵
180
B
PCF
BAC
CPF
PCF
PFC
+
+
=
+
+
=
，
∴
BAC
FPC
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
BAC
ACD
=
，
∴
ACD
CPF
BAC
=
=
，
∵
APE
BAC
=
，
∴
ACD
CPF
BAC
APE
=
=
=
，
∴
APF
FPE
FPE
EPC
+
=
+
，
∴
APF
EPC
=
，
∵
AFP
FPC
PCF
=
+
，
PCE
PCF
ACD
=
+
，
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∴
=
AFP
PCE，
∴
(
)
ASA
PAF
EPC
≌
，
∴AP
PE
=
；
（3）当点E 在射线CD上时，作AB
CD
∥
，交BC 于点B，作
APE
ACP
=
=
，交CD于点E，如图所
示：
∴
AB C
FCP
=
，
∵BC 平分
ACF
，
∴
ACP
FCP
=
，
∴
AB C
ACB
=
，
∴AB
AC
=
，
根据解析（2）可知：PE
AP
=
，
∴此时
180
2
APE
BAC
=
=
−
；
当点E 在射线CF 上时，过点P，作PG
AC
⊥
于点G，作PH
CE
⊥
于点H，如图所示：
∴
90
AGP
PHE
CGP
CHP
=
=
=
=
，
∵BC 平分
ACF
，
∴PG
PH
=
，
∵AP
PE
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
APG
EPH
≌
，
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∴
PAC
PEC
=
=
，
∴
BPE
PCE
PEC
=
+
=
+
，
APB
PAC
ACP
=
+
=
+
，
∴
2
2
APE
BPE
APB
=
+
=
+
；
综上分析可知：
180
2
APE
=
−
或
2
2
APE
=
+
．
4．（24-25 八年级上·河南三门峡·期末）已知Rt
ABC
△
中，AB
AC
=
，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不
与点B、C 重合），以AD为边作Rt ADE
，AD
AE
=
，连接CE ．
(1)发现问题
如图1，当点D 在边BC 上时．
①请写出BD和CE 之间的数量关系为______，位置关系为______；
②求证：CE
CD
BC
+
=
(2)尝试探究
如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，请写出BC 、CE 、CD之间存在的数量关系并说明
理由．
(3)拓展延伸
如图3，当点D 在CB 的延长线上且其他条件不变时，若
6
BC =
，
2
CE =
，求线段CD的长．
【答案】(1)①BD
CE
=
，BD
CE
⊥
；②证明见解析
(2)CE
BC
CD
=
+
，理由见解析
(3)8
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题
关键．
（1）①先证出
BAD
CAE
=
，再证出
ABD
ACE
≌
△
△
，根据全等三角形的性质可得BD
CE
=
，
45
ABD
ACE
=
=
，根据角的和差可得
90
BCE
ACE
ACB
=
+
=
，则BD
CE
⊥
，由此即可得；
②根据BD
CE
=
和BD
CD
BC
+
=
即可得证；
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（2）先证出
BAD
CAE
=
，再证出
ABD
ACE
≌
△
△
，根据全等三角形的性质可得BD
CE
=
，然后根据
BD
BC
CD
=
+
即可得出结论；
（3）先证出
BAD
CAE
=
，再证出
ABD
ACE
≌
△
△
，根据全等三角形的性质可得
2
BD
CE
=
=
，然后根
据CD
BC
BD
=
+
求解即可得．
【详解】（1）解：①∵在Rt
ABC
△
中，AB
AC
=
，在Rt ADE
中，AD
AE
=
，
∴
90 ,
45
BAC
DAE
ABC
ACB
=
=
=
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
∴BD
CE
=
，
45
ABD
ACE
=
=
，
∴
90
BCE
ACE
ACB
=
+
=
，
∴BD
CE
⊥
，
故答案为：BD
CE
=
，BD
CE
⊥
．
②由（1）①已证：BD
CE
=
，
∵BD
CD
BC
+
=
，
∴CE
CD
BC
+
=
．
（2）解：CE
BC
CD
=
+
，理由如下：
∵在Rt
ABC
△
中，AB
AC
=
，在Rt ADE
中，AD
AE
=
，
∴
90
BAC
DAE
=
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
∴BD
CE
=
，
又∵BD
BC
CD
=
+
，
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90 /
∴CE
BC
CD
=
+
．
（3）解：∵在Rt
ABC
△
中，AB
AC
=
，在Rt ADE
中，AD
AE
=
，
∴
90
BAC
DAE
=
=
，
∴
DAE
BAE
BAC
BAE
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
∴
2
BD
CE
=
=
，
∵
6
BC =
，
∴
6
2
8
CD
BC
BD
=
+
=
+
= ．
5．（24-25 八年级上·广西崇左·期末）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点P 是BC 上的一动点，
AP
AQ
=
，
90
PAQ
=
，连接CQ ．
(1)求证：CQ
BC
⊥
；
(2)当点P 在什么的位置时，ACQ
是直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当点P 在BC 的中点时，ACQ
是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等：
（1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出
B
ACB
∠，∠
的度数，再证明
(
)
SAS
BAP
CAQ
≌
得到
45
ACQ
B
=
=
∠
∠
．据此求出
BCQ
的度数即可证明结论；
（2）根据题意可证明
90
AQC
=
，则可推出
45
BAP
CAP
=
=
，由三线合一定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
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∴
180
45
2
BAC
B
ACB
−
=
=
=
，
∵
90
BAC
PAQ
=
=
，
∴
90
BAP
CAQ
CAP
=
=
−
∠
∠
∠
，
又∵AP
AQ
=
，
∴
(
)
SAS
BAP
CAQ
≌
，
∴
45
ACQ
B
=
=
∠
∠
，
∴
90
BCQ
ACB
ACQ
=
+
=
，
∴CQ
BC
⊥
；
（2）解：当点P 在BC 的中点时，ACQ
是直角三角形，理由如下
∵
90
45
CAQ
PAQ
ACQ
=
=
∠
∠
，∠
，
∴ACQ
是直角三角形时，
90
AQC
=
，
∴
45
CAQ
=
，
∴
45
CAP
=
，
∴
45
BAP
CAP
=
=
，
∴P 为BC 的中点，
∴当点P 在BC 的中点时，ACQ
是直角三角形．
6．（24-25 八年级上·山西朔州·期中）如图，在
ABC
中，AC
BC
．
(1)作出边AC ，BC 的垂直平分线m ，n ，并分别与边AB 交于点D ，E ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法，标明字母）
(2)连接CD，CE ．
①若
8
AB =
，则
DCE
△
的周长为______．
②若
135
ACB
=
，求
DCE
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①8；②90
【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作图方法画图即可；
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（2）①由线段垂直平分线的性质得，AD
CD
=
，BE
CE
=
，进而可求出
DCE
△
的周长；
②先由三角形内角和求出
45
A
B
+=
，进而得出
45
ACD
BCE
+
=
，进而可求
DCE
的度数．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：①如图，
∵点D 在AC 的垂直平分线上，
∴AD
CD
=
．
同理：BE
CE
=
，
∴
DCE
△
的周长
CD
DE
CE
=
+
+
8
AD
DE
BE
AB
=
+
+
=
= ．
故答案为：8；
②∵
135
ACB
=
，
∴
180
135
45
A
B
+=
−
=
．
∵AD
CD
=
，BE
CE
=
，
∴
,
A
ACD
B
BCE
=
=
，
∴
45
ACD
BCE
+
=
，
∴
(
)
90
DCE
ACB
ACD
BCE
=
−
+
=
．
7．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B ，C 重
合），以AD为一边在AD的右侧作
ADE
，使AD
AE
=
，
DAE
BAC
=
，连接CE ．
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(1)如图①，当点D在线段CB 上，
90
BAC
=
时，那么
DCE
=_____
(2)设
BAC
=
，
DCE
=
．
①如图②，当点D 在线段CB 上，
90
BAC
时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
②如图③，当点D 在线段CB 的延长线上，
90
BAC
时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之
间的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)90
(2)①
180
+
=
，理由见解析；②补充图形见解析，
=
，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌
握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
（1）先证
BAD
CAE
=
，即可证明BAD
CAE
≌
(
)
SAS ，可得
B
ACE
=
，等量代换可得
DCE
ACB
B
=
+，进而根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）①先证
BAD
CAE
=
，即可证明BAD
CAE
≌
(
)
SAS ，可得
B
ACE
=
，等量代换可得
DCE
ACB
B
=
+，结合
180
BAC
B
ACB
++
=
，可证
180
+
=
；
②先根据题意补充图形，由（1）同理可得BAD
CAE
≌
(
)
SAS ，推出
AEC
ADB
=
，可得
180
AED
ADE
+
+
=
，根据
DAE
BAC
=
=
，
180
DAE
AED
ADE
+
+
=
，可得
180
AED
ADE
+
+
=
，即可得出
=
．
【详解】（1）解：AB
AC
=
，
B
ACB
=
，
DAE
BAC
=
，
DAE
CAD
BAC
CAD
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
BAD
CAE
≌
(
)
SAS ，
小学
初中
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B
ACE
=
，
180
90
DCE
ACB
ACE
ACB
B
BAC
=
+
=
+=
−
=
，
故答案为：90．
（2）解：①
180
+
=
，
证明如下：
AB
AC
=
，
B
ACB
=
，
DAE
BAC
=
，
DAE
CAD
BAC
CAD
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
BAD
CAE
≌
(
)
SAS ，
B
ACE
=
，
DCE
ACB
ACE
ACB
B
=
+
=
+，
即
B
ACB
=
+
，
180
BAC
B
ACB
++
=
，
180
+
=
；
②
=
，证明如下：
如图，
由（1）同理可得BAD
CAE
≌
(
)
SAS ，
AEC
ADB
=
，
180
DCE
CDE
CED
+
+
=
，
DCE
CDE
AED
AEC
+
+
+
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DCE
CDE
AED
ADB
=
+
+
+
180
DCE
AED
ADE
=
+
+
=
，
即
180
AED
ADE
+
+
=
，
DAE
BAC
=
=
，
180
DAE
AED
ADE
+
+
=
，
180
AED
ADE
+
+
=
，
=
．
1．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，在
ABC
中，AD
BD
BC
=
=
，若
35
A
=
，则
DBC
等于（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是
解题的关键．利用等腰三角形等边对等角的性质，先由AD
BD
=
求出
ABD
，进而得到
BDC
，再结合
BD
BC
=
求出
C
，最后根据三角形内角和求出
DBC
．
【详解】解：∵ AD
BD
=
，
35
A
=
∴
35
ABD
A
=
=
∴
35
35
70
BDC
A
ABD
=
+
=
+
=
∵ BD
BC
=
∴
70
C
BDC
=
=
在DBC
中，
∵ 三角形内角和为180
∴
180
180
70
70
40
DBC
BDC
C
=
−
−
=
−
−
=
故选：C．
2．（河南省焦作市2024-2025 学年七年级下学期6 月期末数学试题）如图，已知ABC
，按以下步骤作图：
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①分别以B ，C 为圆心，以大于1
2 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于
点D ，连接CD．若CD
AC
=
，
50
A
=
，则
ACB
的度数为( )
A．105
B．100
C．95
D．90
【答案】A
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，
掌握以上知识是解题的关键．根据等边对等角得出
50
CDA
A
= =
，利用线段垂直平分线的性质得出
DC
BD
=
，得出
25
DCB
DBC
=
=
，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：
CD
AC
=
，
50
A
=
，
50
CDA
A
= =
，
∵
CDA
DBC
DCB
=
+
由题意可得：MN 垂直平分BC ，
则DC
BD
=
，
∴
25
DCB
DBC
=
=
，
180
50
25
105
ACB
=
−
−
=
．
故选：A．
3．（24-25 八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在
ABC
中，
114
APC
=
，P 为
ABC
内一点，过点P 的直
线MN 分别交AB 、BC 于点M 、N ． 若M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则
ABC
的
度数为 （ ）
A．48
B．52
C．62
D．66
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【答案】A
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性
质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直
平分线的性质得到
,
MAP
MPA
CPN
PCN
=
=
，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
得
BMN
MAP
MPA
=
+
，
BNM
CPN
PCN
=
+
，可得
2
,
2
BMN
MPA
BNM
CPN
=
=
，求出
132
BMN
BNM
+
=
，根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，
AM
PM
PN
CN
=
=
，
，
,
MAP
MPA
CPN
PCN
=
=
，
BMN
MAP
MPA
=
+
，
BNM
CPN
PCN
=
+
，
2
,
2
BMN
MPA
BNM
CPN
=
=
，
又∵
114
APC
=
(
)
2(
)
2 180
132
BMN
BNM
MPA
CPN
APC
+
=
+
=
−
=
，
∴
(
)
180
48
ABC
BMN
BNM
=
−
+
=
，
故选：A．
4．
（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，在
ABC
中，D ，E 为BC 边上两点，且满足AB
BE
=
，AC
CD
=
，
连结AD，AE ．若
=110
BAC
，则
DAE
的度数为（ ）
A．45
B．40
C．35
D．30
【答案】B
【分析】本题考查求角度，涉及等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，设
B
=
，
C
=
，由等腰
三角形性质得到
BAD
B
= =
，
CAE
C
=
=
，在
ABC
中，由三角形内角和定理可得
2
2
180
DAE
+
+
=
①，再由
=110
BAC
得到2
2
2
220
DAE
+
+
=
②，解方程组即可得到答案．熟
记等腰三角形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键．
【详解】解：设
B
=
，
C
=
，
AB
BE
=
，AC
CD
=
，
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BAD
B
= =
，
CAE
C
=
=
，
在
ABC
中，由三角形内角和定理可得
180
B
C
BAC
++
=
，
即2
2
180
DAE
+
+
=
①，
=110
BAC
，
110
DAE
+
+
=
，则2
2
2
220
DAE
+
+
=
②，
由②−①得
40
DAE
=
，
故选：B．
5．（2025·吉林长春·模拟预测）数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到，一个三角
形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在
ABC
中，AB
AC
，
下面操作不能说明
C
B
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等
角、三角形外角的性质，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、由图可得BD
CD
=
，
B
BCD
=
，
ACB
BCD
，
ACB
B
，故A 选项不符合题意；
B、由图可得AE
AC
=
，
AEC
C
=
，
AEC
B
，
C
B
，故B 选项不符合题意；
C、由图可得
AED
C
=
，
AED
B
，
C
B
，故C 选项不符合题意；
D、由图可得AD
BD
=
，
DAB
B
=，
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99 /
根据图形无法说明
C
与
DAB
的大小关系，
不能说明
C
B
，故D 选项符合题意；
故选：D．
6．
（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB
CD
∥
，
AC
OD
∥
，
,
46
OD
OC
BAC
=
=
，则
DOC
的度数为（ ）
A．88
B．90
C．80
D．92
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到
46
ACD
BAC
=
=
，
46
ODC
ACD
=
=
，根据等腰三角形的性质得到
46
OCD
ODC
=
=
，再根据
三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵AB
CD
∥
，
46
BAC
=
，
∴
46
ACD
BAC
=
=
，
∵AC
OD
∥
，
∴
46
ODC
ACD
=
=
，
∵OD
OC
=
，
∴
46
OCD
ODC
=
=
，
∴
180
88
DOC
OCD
ODC
=
−
−
=
，
故选：A．
7．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，在
ABC
中，AF 平分
BAC
，AC 的垂直平分线交BC 于点E，交
AC 于点D，
69
B
=
，
18
FAE
=
，则
C
的度数为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
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100 /
根据线段垂直平分线的性质得到EA
EC
=
，根据等腰三角形的性质得到
EAC
C
=
，根据角平分线的定义、
三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴EA
EC
=
，
∴
EAC
C
=
，
∵
18
FAE
=
，
∴
18
18
FAC
EAC
C
=
+
= +
，
∵AF 平分
BAC
，
∴
18
BAF
FAC
C
=
= +
，
∵
180
B
BAC
C
+
+
=
，
∴69
18
18
180
C
C
C
++
++
+
=
，
解得：
25
C
=
．
故答案为：25．
8．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，BD平分
ABC
，BC 的中垂线交BC 于点E，交
BD于点F，连接CF ．若
75
A
=
，
25
ABD
=
，则
ACF
= ．
【答案】30/30 度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，
熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到
25
CBD
ABD
=
=
，
2
50
ABC
ABD
=
=
，再利用三角形的内角和定理求得
55
ACB
=
，然后利用线段垂直平分线的性质和
等腰三角形的性质得到
25
BCF
CBD
=
=
，进而可求解．
【详解】解：∵BD平分
ABC
，
25
ABD
=
，
∴
25
CBD
ABD
=
=
，则
2
50
ABC
ABD
=
=
，
∵
75
A
=
，
∴
180
55
ACB
A
ABC
=
−−
=
，
∵EF 垂直平分BC ，
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∴BF
CF
=
，
∴
25
BCF
CBD
=
=
，
∴
30
ACF
ACB
BCF
=
−
=
，
故答案为：30．
9．（24-25 七年级下·江西抚州·期末）如图，在
ABC
中，
40
B
=
，
30
C
=
．点D 在线段BC 上运动．连
接AD，当
ABD
△
是等腰三角形时，则
ADC
△
中最大内角的度数是 ．
【答案】140或110或80
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分AB
AD
=
、AB
BD
=
、BD
AD
=
三种情况，分别运用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵
40
30
B
C
=
=
，
，
∴
180
110
BAC
B
C
=
−−
=
，
当AB
AD
=
时，则
40
ADB
B
= =
，
∴此时
ADC
△
中最大内角是
180
40
140
ADC
=
−
=
；
当AB
BD
=
时，
(
)
1
180
70
2
BDA
BAD
B
=
=
−
=
，
∴此时
ADC
△
中最大内角是
180
70
110
ADC
=
−
=
；
当BD
AD
=
时，
40
BAD
B
= =
，
∴
180
40
40
100
ADB
=
−
−
=
，
∴
180
100
80
ADC
=
−
=
，
∵
70
DAC
BAC
BAD
=
−
=
，
∴此时
ADC
△
中最大内角是
80
ADC
=
，
综上所述：当
ABD
△
是等腰三角形时，
ADC
△
中最大内角的度数是140或110或80．
故答案为：140或110或80．
10．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在第1 个
1A BC
中，
30
B
=
，
1AB
CB
=
；在边
1A B 上任
取一点D，延长
1
CA 到点
2
A ，使
1
2
1
A A
A D
=
，连接
2
A D，得到第2 个
1
2
A A D
；在边
2
A D上任取一点E，延长
1
2
A A 到
3
A ，使
2
3
2
A A
A E
=
，得到第3 个
2
3 ,
A A E
△
按此作法继续下去，则第2023 个三角形的底角度数
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是 ．
【答案】
2022
1
75
2
【分析】先根据等腰三角形的性质求得
1
BAC
的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角
和，分别求出
2
1
3
2
4
3
DA A
EA A
FA A
、
、
的度数，找出规律即可得到第n 个三角形中以
n
A 为顶点的底角度数．
【详解】解：在
1
CBA
中，
1
30 ,
B
A B
CB
=
=
1
180
75
2
B
BAC
−
=
=
1
2
1
1
,
A A
A D
BAC
=
是
1
2
A A D
的外角，
2
1
1
1
1
75
2
2
DA A
BAC
=
=
同理得
2
3
2
1
75
2
EA A
=
，
3
4
3
1
75
2
FA A
=
第n 个三角形中以
n
A 为顶点的底角度数是
1
1
75
2
n−
第2023 个三角形的底角度数是：
2022
1
75
2
，
故答案为：
2022
1
75
2
．
11．（2025·新疆·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AC
BC
，将三角形沿某条直线折叠，使点
A 落在边BC 上的D点，折痕与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．若折叠后的CDF
为等腰三角形，BDE
为
直角三角形，则
B
= ．
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【答案】22.5或45
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌
握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接AD，设
(
)
0
B
x x
=
，则
90
BAC
x
=
−
，再根据CDF
为
等腰三角形，可得
45
CDF
CFD
=
=
，再根据折叠的性质可得
90
EDF
A
x
= =
−，由此求出
180
45
BDE
EDF
CDF
x
=
−
−
=
+
，最后分两种情况：①
90
DEB
=
和
90
EDB
=
，列方程求解即
可．
【详解】解：设
(
)
0
B
x x
=
，则
90
BAC
x
=
−
，
∵在
ABC
中，AC
BC
，
∴
B
BAC
，即
90
x
x
−
，
∴
45
x
，
∵在
ABC
中，
90
ACB
=
，CDF
为等腰三角形，
∴
180
90
45
2
CFD
−
=
=
，
由折叠的性质得：，
∴
90
EDF
A
x
= =
−，
∴
180
180
(90
)
45
45
BDE
EDF
CDF
x
x
=
−
−
=
−
−
−
=
+
，
则分以下两种情况：
①当
90
DEB
=
时，BDE
为直角三角形，
90
B
BDE
+
=
，
∴即45
90
x
x
+
+
=
，
解得
22.5
x =
，符合题意，
∴
22.5
B
=
；
②当
90
BDE
=
时，BDE
为直角三角形，
∴45
90
x
+
=
，
解得
45
x =
，符合题意，
∴
45
B
=
；
综上，
22.5
B
=
或
45
B
=
，
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104 /
故答案为：22.5或45．
12．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）如图，在
ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点
F
D
，
为线段CE 的中点，BE
AC
=
．
(1)判断AD与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)若AB
BC
=
，求
C
的度数．
【答案】(1)见解析(2)72
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以
上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接AE ，由线段垂直平分线的性质得到AE
BE
=
，得到AE
AC
=
，根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到
EAB
B
= =
，由三角形外角的性质得到
2
AED
EAB
B
=
+=
，利
用等边对等角得到
(
)
1 180
2
C
BAC
=
=
−
，再根据
C
AED
=
列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接AE ，
AD
BC
⊥
，理由如下：
∵EF 是AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
=
，
∵BE
AC
=
，
∴AE
AC
=
，
∵D 为线段CE 的中点，
∴AD
BC
⊥
；
（2）解：设
B
=
，
∵AE
BE
=
，
∴
EAB
B
= =
，
∴
2
AED
EAB
B
=
+=
，
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105 /
∵AB
BC
=
，
∴
(
)
1 180
2
C
BAC
=
=
−
，
∵AE
AC
=
，
∴
C
AED
=
，即(
)
1 180
2
2
−
=
，
解得
36
=
，
∴
2
72
C
=
=
．
13．（24-25 八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰
ABC
中，BA
BC
=
，点F 在AB 边上，延长CF 交
AD于点E，BD
BE
=
，
ABC
DBE
=
．
(1)试说明：ABD
CBE
≌
；
(2)若
30
ABC
=
，
45
AFC
=
，求
EAC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)90
【分析】（1）首先得到
ABD
CBE
=
，然后证明出
(
)
SAS
ABD
CBE
≌
即可；
（2）根据三角形外角的性质可得
15
BCF
=
，利用全等三角形的性质即可得到
15
EAB
=
，根据等边对
等角得到
75
BAC
BCA
=
=
，利用角的和差即可求解．
【详解】（1）∵
ABC
DBE
=
，
∴
ABC
ABE
DBE
ABE
+
=
+
，
即
ABD
CBE
=
，
在
ABD
△
和
CBE
△
中，
BA
BC
ABD
CBE
BD
BE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
CBE
≌
；
（2）∵
30
ABC
=
，
45
AFC
=
，
∴
45
30
15
BCF
=
−
=
，
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∵ABD
CBE
≌
，
∴
15
EAB
BCF
=
=
∵BA
BC
=
，
∴
(
)
1 180
75
2
BAC
BCA
ABC
=
=
−
=
，
∴
90
EAC
EAB
BAC
=
+
=
．
14．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 的垂直平分线交BC 于点D，交AC
于点E，连接AD．
(1)若
25
B
=
，则
BAD
=_______．
(2)若
10
AC =
，
14
BC =
，求
ABD
△
的周长．
【答案】(1)105；
(2)24．
【分析】本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和等知识点，掌握这些是解题的
关键．
（1）根据垂直平分线的性质得线段相等，再根据“等边对等角”和“三角形内角和180”即可求得答案；
（2）根据垂直平分线性质得线段相等，再等量代换可得
ABD
△
为AB
BC
+
即可．
【详解】（1）解：AB
AC
=
，
25
B
=
，
25
B
C =
=
，
180
130
BAC
B
C
=
−−
=
，
AC 的垂直平分线交BC 于点D，
AD
CD
=
，
25
DAC
C
=
=
，
130
25
105
BAD
BAC
DAC
=
−
=
−
=
．
故答案为：105；
（2）AB
AC
=
，
10
AC =
，
10
AB
=
，
AC 的垂直平分线交BC 于点D，
AD
CD
=
，
又
14
BC =
，
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ABD
△
的周长为：
10 14
24
AB
BD
AD
AB
BD
DC
AB
BC
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
．
15．（24-25 七年级下·江苏扬州·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
30
A
=
，请用无刻度直尺和圆规
作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
(1)图①，在边AC 上找一点D ，使得
60
BDC
=
；
(2)图②，E 是AB 上一点，在边AC 上作点F ，使
2
EFC
A
= ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作
ABC
的角平分线交AC 于点D ，则点D 即为所求；
（2）作AE 的垂直平分线，交AC 于点F ，则点F 即为所求．
【详解】（1）解：如图，点D 即为所求，
∵
90
C
=
，
30
A
=
，
∴
60
ABC
=
∵BD平分
ABC
∴
30
CBD
=
∴
60
BDC
=
；
（2）解：如图，点F 即为所求，连接EF ，
∵FG 是AE 的垂直平分线，
∴EF
AF
=
，
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∴
AEF
A
=，
∴
2
EFC
AEF
A
A
=
+=
．
16．（24-25 七年级下·河南周口·期末）如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线1l 交BC 于点D ，边AC 的垂
直平分线2l 交BC 于点E ，1l 与2l 相交于点O，
ADE
的周长为9cm．
(1)求线段BC 的长；
(2)若
118
BAC
=
，求
DAE
的度数；
(3)连接OA，OB ，OC ，若
OBC
△
的周长为21cm ，求线段OA的长．
【答案】(1)
9cm
BC =
(2)56(3)6cm
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线
上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD
BD
AE
CE
=
=
，
，再根据AD
DE
AE
BD
DE
CE
BC
+
+
=
+
+
=
即
可得出结论；
（2）先根据三角形的内角和求得
62
ABC
ACB
+
=
，再根据等腰三角形的性质可得
BAD
ABC
EAC
ACB
=
=
，
，进而计算即可；
（3）先根据线段垂直平分线的性质得出OA
OC
OB
=
=
，再由
OBC
△
的周长为21cm ，求出OC 的长，进而
得出结论．
【详解】（1）解：∵直线DO
EO
、
分别是线段AB
AC
、
的垂直平分线，
∴AD
BD
AE
CE
=
=
，
，
∴AD
DE
AE
BD
DE
CE
BC
+
+
=
+
+
=
，
∵
ADE
的周长为9cm，即
9cm
AD
DE
AE
+
+
=
，
∴
9cm
BC =
；
（2）解：∵
118
BAC
=
，
∴
180
62
ABC
ACB
BAC
+
=
−
=
∠
，
∵DA
DB
EA
EC
=
=
，
，
∴
BAD
ABC
EAC
ACB
=
=
，
，
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∴
(
)
(
)
56
DAE
BAC
BAD
EAC
BAC
ABC
ACB
=
−
=
−
−
=
＋
；
（3）解：∵AB 边的垂直平分线1l 交BC 于D，AC 边的垂直平分线2l 交BC 于E，
∴OA
OC
OB
=
=
，
∵
OBC
△
的周长为21cm ，即
21cm
OC
OB
BC
+
+
=
，
∴
21 9
12cm
OC
OB
+
=
−
=
，
∴
6cm
OC =
，
∴
6cm
OA
OC
OB
=
=
=
．
17．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37 第4 题后进行了拓展探究：
如图1，在
ABC
中，
BAC
的平分线AD交边BC 于点D，AE
BC
⊥
，垂足为E．
小海猜想：通过
C
的度数可求出
CAE
的度数，再结合
B
C
、
的度数可求出
CAD
的度数，从而确定
B
C
、
与
DAE
之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组
B
C
、
的度数后(
)
B
C
，验证了这
一猜想．
(1)请补全下表：
B
36
30
24
……
C
44
60
72
……
DAE
4
______
______
……
(2)如图2，若
B
=
，
(
)
C
=
，那么
DAE
=______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作AD的垂直平分线，交BC 的延长线于点F，连接AF ．如图3，如果
64
ACB
=
，
请直接写出
BAF
=______．
【答案】(1)见解析
(2) 1
1
2
2
−
，证明见（1）
(3)116
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，
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熟知三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由垂线的定义可得
90
AEC
=
，则由三角形内角和定理可得
90
CAE
C
=
−
，
180
BAC
B
C
=
−−
，再由角平分线的定义可得
1
1
90
2
2
CAD
B
C
=
−
−
，则可求出
1
1
2
2
DAE
C
B
=
−
，据此计算求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）由（1）可得
1
32
2
DAE
B
=
−
∠
∠，则可求出
1
58
2
ADE
B
=
+
∠
∠；由线段垂直平分线的性质可得FD
FA
=
，
则
1
58
2
FAD
FDA
B
=
=
+
∠
∠
∠，求出
1
1
58
2
2
BAD
BAC
B
=
=
−
∠
∠
∠，即可得到
1
1
58
58
116
2
2
BAF
BAD
FAD
B
B
=
+
=
+
+
−
=
∠
∠
∠
∠
∠
．
【详解】（1）解：∵AE
BC
⊥
，
∴
90
AEC
=
，
∴
180
90
CAE
C
AEC
C
=
−
−
=
−
∠
∠
∠
∠，
∵
180
BAC
B
C
=
−−
，
BAC
的平分线AD交边BC 于点D，
∴
1
1
1
90
2
2
2
CAD
BAC
B
C
=
=
−
−
∠
∠
∠
∠
，
∴
(
)
1
1
1
1
90
90
2
2
2
2
DAE
CAD
CAE
B
C
C
C
B
=
−
=
−
−
−
−
=
−
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠，
当
30
60
B
C
=
=
，
时，
1
1
60
30
15
2
2
DAE =
−
=
∠
；
当
24
72
B
C
=
=
∠
，∠
时，
1
1
72
24
24
2
2
DAE =
−
=
∠
；
填表如下：
B
36
30
24
……
C
44
60
72
……
DAE
4
15
24
……
（2）解：由（1）可得
1
1
2
2
DAE
C
B
=
−
，
∵
B
=
，
(
)
C
=
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
DAE
C
B
=
−
=
−
∠
∠
∠
；
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111 /
（3）解：由（1）可得
1
1
1
32
2
2
2
DAE
ACB
B
B
=
−
=
−
∠
∠
∠
∠，
∵AE
BC
⊥
，
∴
90
AED
=
，
∴
1
180
58
2
ADE
DAE
AED
B
=
−
−
=
+
∠
∠
∠
∠；
由线段垂直平分线的性质可得FD
FA
=
，
∴
1
58
2
FAD
FDA
B
=
=
+
∠
∠
∠，
∵
180
BAC
B
C
=
−−
，
BAC
的平分线AD交边BC 于点D，
∴
1
1
58
2
2
BAD
BAC
B
=
=
−
∠
∠
∠，
∴
1
1
58
58
116
2
2
BAF
BAD
FAD
B
B
=
+
=
+
+
−
=
∠
∠
∠
∠
∠
．
